Notas 01 Trigonometría - Axel Sánchez Nazario (1)

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T R I G O N O M E T R Í A 
 
 
1 
 
La trigonometría se puede definir como el estudio de los triángulos, su medición y las relaciones entre sus 
componentes. 
 
 
Un triángulo es una figura cerrada formada por tres 
lados rectos. 
 
 
La unión de cada lado recibe el nombre de vértice. 
 
 
Se acostumbra nombrar a los lados con letras 
minúsculas, a los vértices con letras mayúsculas y sus 
ángulos con letras griegas. 
 
Por el tamaño de sus lados, se clasifican en equilátero, isósceles y escaleno 
 
Equilátero 
3 lados iguales 
Isósceles 
2 lados iguales, 1 diferente 
Escaleno 
3 lados diferentes 
 
 
 
Por el tamaño de sus ángulos, se clasifican en acutángulo, rectángulo y obtusángulo 
 
Acutángulo 
Ángulos menores a 90° 
Rectángulo 
1 ángulo de 90° 
Obtusángulo 
1 ángulo mayor a 90° 
 
 
 
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2 
 
 
Para cada vértice de un triángulo, dos lados forman un 
ángulo que se pueden medir dentro del triángulo 
(ángulo interior) o fuera del mismo (ángulo exterior). 
 
 
La suma de los tres ángulos interiores siempre es 180° 
 
 
La suma de los tres ángulos exteriores es 360° 
 
 
La suma de los tres lados del triángulo se conoce como perímetro. 
 
 
La altura de un triángulo, que se acostumbra nombrarla con la letra h, es la distancia perpendicular a un lado y 
que llega al vértice opuesto. En ocasiones, debe medirse afuera del triángulo, desde la extensión imaginaria de la 
base seleccionada. 
 
 
 
El área contenida en un triángulo se puede obtener de 
dos formas: 
𝐴 =
 𝑏ℎ 
2
 
 
 
Y con la fórmula de Herón 
 
 
𝐴 = √ 𝑠 (𝑠 − 𝑎) (𝑠 − 𝑏) (𝑠 − 𝑐) 
 
donde 
𝑠 =
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
2
 
 
 
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3 
 
Cuando dos triángulos tienen diferente tamaño pero la misma forma, se dice que son triángulos semejantes 
 
 
Podemos identificarlos porque tienen entre ellos sus tres lados paralelos o porque tienen sus tres ángulos interiores 
iguales. 
 
 
Cuando dos triángulos son semejantes, tienen sus lados proporcionales entre sí. 
 
 𝑎 
𝑑
=
 𝑏 
𝑓
=
 𝑐 
𝑒
 
 
 
Cuando conocemos tres datos, el cuarto dato se puede 
obtener despejándolo de su igualdad de semejanza. 
 
270
𝐻
=
6
5
 
 
 
𝐻 =
(270)(5)
6
= 225 𝑚 
 
El edificio mide 225 m de altura. 
 
 
Ejercicio: Un velero se aleja de un faro de 10m de altura. El capitán se encuentra de pie a 5.50m de la proa y la 
sombra que proyecta por la luz del faro llega al borde de la proa. Si el capitán mide 2.78m de estatura, ¿qué tan 
lejos se encuentra el velero del faro? 
 
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4 
 
Ejercicio: Se está llenando una alberca que mide 25m de ancho por 50m de largo. El fondo de la alberca es de 2m 
en una cabecera, mientras que en el otro extremo tiene 5m de fondo. ¿Cuánto mide de largo el espejo de agua, 
cuando la altura del agua es de 1.8m? 
 
 
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CIRCULARES 
 
Se obtienen a partir de un círculo unitario el cual, tiene su centro en el origen cartesiano. 
 
 
Desde esta referencia, se traza un arco de circunferencia de tamaño θ, que inicia en el punto donde la 
circunferencia corta al eje X hasta un punto P cualquiera de la circunferencia, medido en sentido contrario a las 
manecillas del reloj. 
 
El valor del arco de circunferencia θ (que siempre se 
mide en radianes) es igual al ángulo central θ que se 
forma con dicho arco (y que se mide en grados 
sexagesimales) 
 
 
La proyección horizontal del punto P, medida desde 
el origen, y que en la figura aparece en color verde, 
es lo que llamamos el coseno de teta. 
 
 
La altura de esta proyección, medida desde el eje X, y 
que en la figura aparece en color rojo, es lo que 
llamamos el seno de teta. 
 
 
Como se miden dentro de la circunferencia, su tamaño 
siempre es menor o igual a 1. 
 
 
El signo de la función trigonométrica lo establece la convención de signos del sistema cartesiano, en el cual todo 
segmento medido hacia la derecha del origen se considera positivo, mientras que si se mide hacia la izquierda 
será negativo. 
 
 
También establece que si un segmento se mide hacia arriba del origen se considera positivo, mientras que al 
medirse hacia abajo se considera negativo. 
 
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5 
 
El signo del ángulo también es una convención arbitraria: 
 
 
Si el ángulo se mide en sentido Si por el contario, el ángulo se 
contrario a las manecillas de mide a favor de las manecillas un reloj, se 
considera un del reloj, se considera ángulo positivo. 
negativo. 
 
 
Como la circunferencia es una figura cerrada, las funciones trigonométricas son cíclicas, ya que repiten su valor 
a un cierto intervalo de giro. 
 
 
Si trazamos dos rectas tangentes a la circunferencia, una vertical a la derecha y otra horizontal arriba, podremos 
medir los valores de la función tangente y la función cotangente del arco de circunferencia teta. 
 
 
Cuando prolongamos el radio del arco de circunferencia hasta 
que cruce a las rectas tangentes, se forman dos segmentos: 
 
 
En color rojo, y medido sobre la recta tangente vertical, tenemos 
la dimensión de la función tangente de teta. 
 
 
En color verde, y medido sobre la recta tangente horizontal, 
tenemos la dimensión de la función cotangente de teta. 
 
 
 
 
Cuando el ángulo teta mide 90°, el radio y la recta tangente vertical son paralelas, por lo tanto la tangente de 
90° se indetermina. 
 
 
Cuando el ángulo teta mide 0°, el radio y la recta tangente horizontal son paralelas, por lo tanto la cotangente de 
0° se indetermina. 
 
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6 
 
La función tan 𝜃 y el radio horizontal de la circunferencia forman parte de un triángulo rectángulo, cuya 
hipotenusa es la función sec 𝜃 
 
 
 
 
La función cot 𝜃 y el radio vertical de la circunferencia forman un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa es la 
función csc 𝜃 
 
 
Con las figuras anteriores podemos formar triángulos rectángulos semejantes 
 
 
 
con las cuales podemos establecer las siguientes equivalencias de funciones trigonométricas circulares 
 
 
𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
𝑠𝑒𝑛 𝜃
cos 𝜃
 cot 𝜃 =
cos 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃
 sec 𝜃 =
1
cos 𝜃
 csc 𝜃 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
 
 
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7 
 
Para un mejor estudio, se acostumbra desarrollar las múltiples vueltas que puede dar el arco sobre la 
circunferencia, a lo largo del eje horizontal cartesiano, y esto nos lleva a la siguiente representación cartesiana de 
las funciones trigonométricas. 
 
 
 Función 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
 
El valor del argumento θ puede ser cualquier número real 𝜃 ∈ ℝ 
 
El valor de 𝑠𝑒𝑛 𝜃 sólo puede estar comprendido en el intervalo −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≤ 1 
 
 
 
 Función 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
 
 
 
 
El valor del argumento θ puede ser cualquier número real 𝜃 ∈ ℝ 
 
El valor de 𝑐𝑜𝑠 𝜃 sólo puede estar comprendido en el intervalo −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ≤ 1 
 
 
Las funciones 𝑠𝑒𝑛 𝜃 y 𝑐𝑜𝑠 𝜃 son funciones que siguen el mismo recorrido pero se encuentran desfasadas 90° entre 
ellas, por lo tanto 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜃 − 90° ) 
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8 
 
 Función 𝑡𝑎𝑛 𝜃 
 
 
 
 
Es una curva ascendente con asíntotas verticales a cada 180° a partir del valor 90° por lo tanto 
 
𝜃 ≠
 2𝑛 − 1 
2
 𝜋 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ∈ ℤ 
 
 
En las asíntotas verticales decimos que la tangente se indetermina, y usamos los símbolos ∞ y −∞ para 
indicarlos. 
 
 
Recordemos que la tangente se obtiene con 
𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝜃
 
 
 
Las asíntotas son los valores donde 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 0 
 
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9 
 
 Función 𝑐𝑜𝑡 𝜃 
 
 
 
 
Es una curva descendente con asíntotas verticales a cada
180° a partir del valor 0° por lo tanto 
 
𝜃 ≠ 𝑛 𝜋 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ∈ ℤ 
 
 
En las asíntotas verticales decimos que la cotangente se indetermina, y usamos los símbolos ∞ y −∞ para 
indicarlos. 
 
 
Recordemos que la cotangente se obtiene con 
𝑐𝑜𝑡 𝜃 =
𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
 
 
Las asíntotas son los valores donde 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0 
 
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 Función 𝑠𝑒𝑐 𝜃 
 
 
 
 
Es una curva con asíntotas verticales a cada 180° a partir del valor 90° por lo tanto 
 
𝜃 ≠
 2𝑛 − 1 
2
 𝜋 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ∈ ℤ 
 
 
En las asíntotas verticales decimos que la secante se indetermina, y usamos los símbolos ∞ y −∞ para indicarlos. 
 
 
Recordemos que la secante se obtiene con 
𝑠𝑒𝑐 𝜃 =
1
𝑐𝑜𝑠 𝜃
 
 
Las asíntotas son los valores donde 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 0 
 
 
La secante se encuentra comprendida en 
 
sec 𝜃 ∈ ( −∞ , −1 ] ∪ [ 1 , ∞ ) 
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11 
 
 Función 𝑐𝑠𝑐 𝜃 
 
 
 
 
Es una curva con asíntotas verticales a cada 180° a partir del valor 0° por lo tanto 
 
𝜃 ≠ 𝑛 𝜋 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ∈ ℤ 
 
 
En las asíntotas verticales decimos que la cosecante se indetermina, y usamos los símbolos ∞ y −∞ para 
indicarlos. 
 
 
Recordemos que la cosecante se obtiene con 
𝑐𝑠𝑐 𝜃 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
 
Las asíntotas son los valores donde 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0 
 
 
La cosecante se encuentra comprendida en 
 
csc 𝜃 ∈ ( −∞ , −1 ] ∪ [ 1 , ∞ ) 
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12 
 
RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CIRCULARES 
 
Como las funciones trigonométricas básicas se construyen a partir de un triángulo en el círculo unitario, basta con 
utilizar las relaciones de semejanza de triángulos, para extender sus valores a cualquier triángulo rectángulo. 
 
 
 
 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑐. 𝑜.
ℎ
 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
𝑐. 𝑎.
ℎ
 𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
𝑐. 𝑜.
𝑐. 𝑎.
 𝑐𝑜𝑡 𝜃 =
𝑐. 𝑎.
𝑐. 𝑜.
 𝑠𝑒𝑐 𝜃 =
ℎ
𝑐. 𝑎.
 𝑐𝑠𝑐 𝜃 =
ℎ
𝑐. 𝑜.
 
 
Estas relaciones son unas de las herramientas más utilizadas en todos los campos de las matemáticas. 
 
 
Por ejemplo, si sabemos que 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
1
2
 
 
Entonces podemos obtener el valor de las 5 restantes funciones trigonométricas asociadas al argumento, pues sólo 
debemos completar el triángulo rectángulo utilizando el teorema de Pitágoras. 
 
 
 
𝑎2 + 12 = 22 → 𝑎 = √ 22 − 12 = √3 
 
cos 𝑥 =
√3
2
 tan 𝑥 =
1
√3
 cot 𝑥 = √3 sec 𝑥 =
2
√3
 csc 𝑥 = 2 
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13 
 
Ejercicio. A partir de la función trigonométrica proporcionada, obtener el valor de las 5 funciones trigonométricas 
restantes. 
 
a) 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
1
5
 
b) 
𝑐𝑜𝑡 𝑥 =
3
2
 
c) 
𝑡𝑎𝑛 𝑥 =
3
4
 
 
 
 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PITAGÓRICAS 
 
 
Nuevamente, a partir de los triángulos rectángulos básicos del círculo unitario, llegamos a las siguientes 
relaciones, llamadas pitagóricas. 
 
 
 
 
𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 𝑡𝑎𝑛2𝜃 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 1 + 𝑐𝑜𝑡2𝜃 = 𝑐𝑠𝑐2𝜃 
 
 
Que de forma algebraica la segunda se obtiene dividiendo a la primera entre 𝑐𝑜𝑠2𝜃 y la tercera se obtiene al 
dividir la primera entre 𝑠𝑒𝑛2𝜃 
 
 
En muchas ocasiones, las dos últimas se pueden presentar despejando al 1 
 
 
𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 𝑡𝑎𝑛2𝜃 = 1 𝑐𝑠𝑐2𝜃 − 𝑐𝑜𝑡2𝜃 = 1 
 
 
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14 
 
ÁNGULOS NOTABLES Y SUS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Para algunos ángulos, sus valores de funciones trigonométricas son de uso tan frecuente, que se les conoce como 
ángulos notables. 
 
Ángulo o Argumento Función trigonométrica 
Radianes Grados ° 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑡𝑎𝑛 𝜃 
0 0° 0 1 0 
𝜋
6
 30° 
1
2
 
√3
2
 
1
√3
 
𝜋
4
 45° 
√2
2
 
√2
2
 1 
𝜋
3
 60° 
√3
2
 
1
2
 √3 
𝜋
2
 90° 1 0 ∞ 
 
Recuerda que el símbolo ∞ significa indeterminación. 
 
Como las funciones trigonométricas son cíclicas, a cada cierto múltiplo se van repitiendo en valor o simplemente 
cambian de signo. 
 
 
𝑠𝑒𝑛 30° = 𝑠𝑒𝑛 150° =
1
2
 
 
 
𝑠𝑒𝑛 210° = 𝑠𝑒𝑛 330° = −
1
2
 
 
Con un poco de práctica, estos valores serán fáciles de identificar. 
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15 
 
Ejercicio. Sin el uso de una calculadora, determina el valor de las siguientes funciones trigonométricas que 
involucran ángulos notables: 
 
𝑠𝑒𝑛 30° 𝑐𝑜𝑠 45° 𝑡𝑎𝑛 120° 𝑐𝑜𝑠 240° 𝑠𝑒𝑛 225° 𝑡𝑎𝑛 300° 
 
 
Ejercicio. Sin el uso de una calculadora, determina el resultado de las siguientes operaciones trigonométricas que 
involucran ángulos notables: 
 
5 𝑠𝑒𝑛245° + 8 𝑐𝑜𝑠230° = 3 𝑠𝑒𝑛 30° + 6 𝑐𝑜𝑠245° = 
𝑠𝑒𝑛230° + 𝑠𝑒𝑐245° = 𝑐𝑠𝑐245° + 𝑐𝑜𝑠230° = 
 𝑠𝑒𝑛 30° + csc 30° 
𝑠𝑒𝑛230° + 𝑐𝑜𝑠260°
= 
 𝑡𝑎𝑛230° + 𝑠𝑒𝑛230° 
𝑐𝑠𝑐245° + 𝑐𝑠𝑐230°
= 
 
 
 
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
Son igualdades que involucran identidades trigonométricas. El argumento buscado es aquel que hace cierta la 
igualdad. 
 
3 + 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
 
 
Primero homologamos la ecuación con una sola función trigonométrica mediante una identidad trigonométrica. 
(Es indistinto la función elegida, pero con la práctica se podrá reconocer aquella que simplifica mejor los 
procedimientos) 
 
3 + 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 
 
 
En este caso, resultó una ecuación de segundo grado en términos del 𝑐𝑜𝑠 𝑥, por lo que igualamos todo a cero 
 
 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2 = 0 
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Usando los coeficientes de la ecuación en la fórmula general de segundo grado 
 
cos 𝑥 =
−3 ± √ 32 − 4(1)(2) 
2(1)
=
 −3 ± 1 
2
 
 
 
Lo anterior nos conduce a dos posibles resultados: 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −2 y 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −1 
 
 
La primera opción 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −2 no es posible para la función coseno, por lo que se descarta como válida. 
 
 
La segunda opción 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −1 es cierta con el ángulo de 180° 
 
 
Entonces, la solución de la ecuación es 𝑥 = 𝜋 
 
 
¿Por qué se escribe la solución en radianes? Cuando un argumento va a trabajar dentro de una función 
trigonométrica, es indistinto el uso de radianes o grados sexagesimales. Sin embargo, si el argumento será aplicado 
sólo, junto con operaciones algebraicas, debemos utilizar expresamente radianes. 
 
 
Ejercicio. Encuentra el valor de los argumentos 𝑥 que hacen ciertas las siguientes ecuaciones trigonométricas. 
(Determina todas las posibles soluciones entre 0° y 360°) 
 
 
4 + 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 
 
3 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 3 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 
 
 
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17 
 
IDENTIDADES DE LA SUMA Y LA RESTA DE DOS ÁNGULOS 
 
Estas identidades son muy útiles cuando trabajamos procesos de cambio de variable, derivación o integración. 
 
Su deducción es relativamente simple y se basa en la siguiente figura: 
 
 
Los triángulos rectángulos OEC y OBE son 
semejantes, por lo tanto comparten sus ángulos 
interiores. Nos apoyaremos con el ángulo α. 
 
También utilizaremos el triángulo rectángulo OEC y 
el ángulo β que comparte un lado con el ángulo α. 
 
Para el triángulo rectángulo OAC se forma el ángulo 
interior 𝛼 + 𝛽 
 
De este último triángulo se verifica que 
 
𝑠𝑒𝑛 (𝛼 + 𝛽) =
 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 
𝑂𝐶̅̅ ̅̅
 
 
Nuestro objetivo es encontrar una equivalencia para la función trigonométrica del ángulo 𝛼 + 𝛽, que se obtiene 
con el siguiente desarrollo 
 
𝑠𝑒𝑛 (𝛼 + 𝛽) =
 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 
𝑂𝐶̅̅ ̅̅
=
 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ + 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ 
𝑂𝐶̅̅ ̅̅
=
 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ 
𝑂𝐶̅̅ ̅̅
+
 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ 
𝑂𝐶̅̅ ̅̅
=
 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ 
𝑂𝐶̅̅ ̅̅
+
 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ 
𝑂𝐶̅̅ ̅̅
 
 
 
Ahora recurrimos a un pequeño truco algebraico: multiplicamos y dividimos al primer sumando por el segmento 
𝑂𝐸̅̅ ̅̅ y multiplicamos y dividimos al segundo sumando por el segmento 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ , con lo cual tenemos 
 
 
𝑠𝑒𝑛 (𝛼 + 𝛽) =
 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ 
𝑂𝐸̅̅ ̅̅
 
 𝑂𝐸̅̅
̅̅ 
𝑂𝐶̅̅ ̅̅
+
 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ 
𝐶𝐸̅̅ ̅̅
 
 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ 
𝑂𝐶̅̅ ̅̅
 
 
 
𝑠𝑒𝑛 (𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽 
 
 
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18 
 
De la definición a partir del circulo unitario 𝑐𝑜𝑠(−𝛽) = 𝑐𝑜𝑠 𝛽 y 𝑠𝑒𝑛 (−𝛽) = −𝑠𝑒𝑛 𝛽 por lo tanto 
 
 
𝑠𝑒𝑛 (𝛼 − 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽 
 
 
Para la función 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) procedemos de forma semejante desde la figura anterior. Así 
 
𝑐𝑜𝑠 (𝛼 + 𝛽) =
 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ 
𝑂𝐶̅̅ ̅̅
=
 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ − 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
𝑂𝐶̅̅ ̅̅
=
 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ 
𝑂𝐶̅̅ ̅̅
−
 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
𝑂𝐶̅̅ ̅̅
=
 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ 
𝑂𝐶̅̅ ̅̅
−
 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ 
𝑂𝐶̅̅ ̅̅
 
 
 
Volvemos a aplicar el truco algebraico: multiplicamos y dividimos al primer sumando por el segmento 𝑂𝐸̅̅ ̅̅ y 
multiplicamos y dividimos al segundo sumando por el segmento 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ , con lo cual tenemos 
 
𝑐𝑜𝑠 (𝛼 + 𝛽) =
 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ 
𝑂𝐸̅̅ ̅̅
 
 𝑂𝐸̅̅ ̅̅ 
𝑂𝐶̅̅ ̅̅
−
 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ 
𝐶𝐸̅̅ ̅̅
 
 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ 
𝑂𝐶̅̅ ̅̅
 
 
 
𝑐𝑜𝑠 (𝛼 + 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽 
 
 
De la definición a partir del circulo unitario 𝑐𝑜𝑠(−𝛽) = 𝑐𝑜𝑠 𝛽 y 𝑠𝑒𝑛 (−𝛽) = −𝑠𝑒𝑛 𝛽 por lo tanto 
 
 
𝑐𝑜𝑠 (𝛼 − 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽 
 
 
Como 
𝑡𝑎𝑛(𝛼 + 𝛽) =
 𝑠𝑒𝑛 (𝛼 + 𝛽) 
𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽)
 𝑡𝑎𝑛(𝛼 − 𝛽) =
 𝑠𝑒𝑛 (𝛼 − 𝛽) 
𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽)
 
 
 
Podemos llegar a las siguientes identidades 
 
 
𝑡𝑎𝑛(𝛼 + 𝛽) =
 𝑡𝑎𝑛 𝛼 + 𝑡𝑎𝑛 𝛽 
1 − 𝑡𝑎𝑛 𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝛽
 𝑡𝑎𝑛(𝛼 − 𝛽) =
 𝑡𝑎𝑛 𝛼 − 𝑡𝑎𝑛 𝛽 
1 + 𝑡𝑎𝑛 𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝛽
 
 
 
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19 
 
IDENTIDADES DEL ÁNGULO DOBLE 
 
Estas identidades son muy útiles cuando trabajamos procesos de cambio de variable, derivación o integración. Su 
obtención es muy fácil. 
 
𝑠𝑒𝑛 2𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 (𝛼 + 𝛼) = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 2𝛼 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 
 
 
cos 2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 + 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos 2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼 
 
 
tan 2𝛼 = 𝑡𝑎𝑛(𝛼 + 𝛼) =
 𝑡𝑎𝑛 𝛼 + 𝑡𝑎𝑛 𝛼 
1 − 𝑡𝑎𝑛 𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝛼
 tan 2𝛼 =
 2 tan 𝛼 
1 − 𝑡𝑎𝑛2𝛼
 
 
 
 
IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD 
 
Estas identidades son muy útiles cuando trabajamos procesos de cambio de variable, derivación o integración. Se 
obtienen combinando las identidades pitagóricas básicas y las identidades del ángulo doble. 
 
 
𝑠𝑒𝑛2𝛼 =
1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝛼
2
 𝑐𝑜𝑠2𝛼 =
1 + 𝑐𝑜𝑠 2𝛼
2
 
 
 
IDENTIDADES DE LA MULTIPLICACIÓN 
 
Estas identidades son muy útiles cuando trabajamos procesos de cambio de variable, derivación o integración. 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑚𝛼 cos 𝑛𝛼 =
1
2
 [ 𝑠𝑒𝑛 (𝑚 + 𝑛)𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 (𝑚 − 𝑛)𝛼 ] 
 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑚𝛼 sen 𝑛𝛼 = −
1
2
 [ 𝑐𝑜𝑠 (𝑚 + 𝑛)𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 (𝑚 − 𝑛)𝛼 ] 
 
 
𝑐𝑜𝑠 𝑚𝛼 cos 𝑛𝛼 =
1
2
 [ 𝑐𝑜𝑠 (𝑚 + 𝑛)𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 (𝑚 − 𝑛)𝛼 ] 
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LEY DE LOS SENOS 
 
 
Establece que la razón entre un lado del triángulo y el seno del ángulo 
opuesto a él, es la misma constante para todos los lados del triángulo. 
 
 
De esta manera 
 
 
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝛼
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛽
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝛾
 
 
 
LEY DE LOS COSENOS 
 
Para todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma del cuadrado de cada uno de los otros lados, menos 
el doble producto de los mismos y el coseno del ángulo entre ellos. 
 
 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝛼 
 
 
Ejercicio. Con los tres elementos de un triángulo que se proporcionan, determina el dato requerido: 
 
 
i) 𝑆𝑖 𝑎 = 41 𝑏 = 19.5 𝑐 = 32.48 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝛾 
 
 
ii) 𝑆𝑖 𝑎 = 33 𝑏 = 51.47 𝑐 = 46.25 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝛽 
 
 
iii) 𝑆𝑖 𝑎 = 32.45 𝑏 = 27.21 𝛾 = 66°56′ 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝛼 
 
 
iv) 𝑆𝑖 𝑎 = 40 𝑐 = 24.86 𝛽 = 98°6′ 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑏 
 
 
 
T R I G O N O M E T R Í A 
 
 
21 
 
Ejercicio. Con los tres elementos del triángulo que se proporcionan, determina la variable x 
 
 
 
 
Ejercicio. Para las siguientes figuras, determina los ángulos que se indican: