Unidad 2- Trigonometría

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Unidad 2: Trigonometría
Universidad Nacional del Nordeste
Instituto de Ciencias Criminalísticas y Criminología
Ángulos
La semirrecta que permanece fija (OA) se llama
lado origen y la semirrecta que rota (OB) se llama
lado terminal del ángulo.
El punto O, vértice del ángulo.
Definición: Se llama ángulo a la región del plano
comprendida entre dos semirrectas de origen
común.
B
O A
Cuando OB coincide con OA, el ángulo se llama
nulo.
A medida que OB rota, se genera una serie de
ángulos llamados agudos, hasta que OB y OA son
perpendiculares; el ángulo correspondiente a esta
posición se llama recto.
 Al continuar el desplazamiento de la semirrecta
OB, se genera una serie de ángulos llamados
obtusos, hasta la posición en que las semirrectas
OA y OB son opuestas; en esta posición el ángulo
se llama llano.
Continuando el desplazamiento, tenemos los
ángulos cóncavos.
Al coincidir nuevamente la semirrecta OB con
OA, se ha engendrado un ángulo de un giro, ya
que OB ha dado una vuelta completa.
Pero OB puede seguir girando y engendrar
ángulos mayores que un giro.
SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS
SISTEMA SEXAGESIMAL
En este sistema de medición de ángulos, se
adopta como unidad al ángulo que resulta de
dividir un ángulo recto en 90 partes iguales; esta
unidad se llama grado sexagesimal (1°)
El grado sexagesimal (1°) es la noventava parte
de un ángulo recto.
SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Como submúltiplos de esta unidad se tiene el
minuto sexagesimal (1’), que se obtiene al dividir
un grado sexagesimal en 60 partes iguales y el
segundo sexagesimal (1’’), que se obtiene al
dividir un minuto sexagesimal en 60 partes
iguales.
90
1
1
R

60
1
1́


60
1́
´´1 
 En símbolos:
1 R = 90° ; 1° = 60’ ; 1’ = 60’’
 Haciendo pasajes de términos, se tiene que:
SISTEMA CENTESIMAL
En este sistema de medición de ángulos, se
adopta como unidad al ángulo que resulta de
dividir un ángulo recto en 100 partes iguales; esta
unidad se llama grado centesimal (1G).
SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Se llama grado centesimal (1G) a la centésima
parte de un ángulo recto.
Como submúltiplos de esta unidad se tiene el
minuto centesimal (1M), que se obtiene al dividir
un grado centesimal en 100 partes iguales y el
segundo centesimal (1S), que se obtiene al
dividir un minuto centesimal en 100 partes
iguales.
100
1
1
RG 
100
1
1
G
M 
100
1
1
M
S 
En símbolos:
1 R = 100G ; 1G = 100M ; 1M = 100S
Haciendo pasajes de términos, se tiene que:
SISTEMA CIRCULAR O RADIAL
Este sistema usa como unidad un ángulo llamado
radián.
SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Un radián es el ángulo cuyo vértice es el centro de
una circunferencia y cuyos lados comprenden un
arco cuya longitud es igual al radio de la
circunferencia.
Longitud R = Longitud AB 
SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Es importante destacar que en todas las
circunferencias los ángulos correspondientes
a un arco igual al radio tienen la misma
amplitud.
Para determinar la medida de los ángulos en
radianes hagamos el siguiente razonamiento:


2
..2

R
R
La longitud de una circunferencia es: L = 2  R
Para saber cuántos radianes “entran” en una
circunferencia se debe dividir la longitud total de la
curva por la longitud del arco que ocupa cada
radián, que es igual a la longitud del radio.
Es decir:
N° de radianes en una circunferencia
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS 
AGUDOS
B
O
B´´
B´
A´´ AA´

Dado un triángulo rectángulo AOB, es posible
establecer 6 razones entre dos cualesquiera de sus
lados, que resulta una constante:
O
B´´
B
B´
A´´ AA´

seno 
coseno 
tangente 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS 
AGUDOS


A
B
C
a
b
c

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
.P=(x,y)
R
α
Se llama circunferencia trigonométrica a
una circunferencia con centro en el origen de
un sistema de coordenadas cartesianas y
radio igual a 1.
Consideremos una circunferencia trigonométrica.
Tomemos un ángulo α positivo, cuyo vértice coincide
con el origen del sistema y cuyo lado origen coincide
con el eje de las abscisas.
.P=(x,y)
R
α
El lado terminal del ángulo intersecta a la
circunferencia en un punto P (x; y), quedando
determinado un triángulo rectángulo de hipotenusa R
y cuyos catetos son x e y como se observa en la
figura:
A partir de estos elementos, se definen las
siguientes razones trigonométricas:
y
R
y
sen
yy
R
cosec
1

x
R
x
cos
xx
R 1
sec
y
x
cotg
x
y
tg
.P=(x,y)
R
α
1) A partir de las definiciones de las razones
trigonométricas, tenemos:



sen
R
yy
R
cosec
11



cos
11
R
xx
R
sec



tg
x
yy
x 11
cotg


sen
cosec
1



cos
1
sec


tg
1
cotg
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE UN MISMO ÁNGULO
2) Relación Pitagórica: 
A partir del triángulo rectángulo de que
hablábamos antes, y usando el teorema de
Pitágoras, se tiene que:
1cos 22  sen
222 Ryx 
Como en una circunferencia trigonométrica:
x = cos α
y = sen α resulta:
De la siguiente identidad se desprende:
1cos 22  sen
 22 cos1sen
 2cos1sen
 21cos sen
Análogamente:
3) De la definición dada de tangente de un
ángulo, pueden obtenerse otras dos
relaciones importantes en una circunferencia
trigonométrica:
cosα
sen
tg
x
y
tg

 




cos
sentg
cotg
11



sen
cos
cotg 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Pensemos ahora el siguiente problema: conociendo
el valor de una de las razones trigonométricas de un
ángulo, se quiere saber de qué ángulo se trata. Por
ejemplo: Si sen  = 0.5   = ?
Esto se expresa diciendo que “ es un ángulo cuyo
seno vale 0.5” y se simboliza de la siguiente
manera:
 = arc sen 0.5
O también:  = sen-1 0.5
Es decir que el problema planteado se resuelve así:
sen  = 0.5   = 30°
Sistema 
Sexagesimal
Sistema 
Circular
Un sistema de ejes cartesianos divide al plano
en cuadro cuadrantes:
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
A partir de las definiciones de las razones
trigonométricas y dado que en ellas
intervienen la abscisa y la ordenada de un
punto, se tiene que serán números positivos o
negativos según de qué cuadrante sea el
ángulo.
cosx  seny 
El radio de la circunferencia siempre es un
número positivo.
Además, en una circunferencia
trigonométrica se tiene:
1° Cuadrante
x > 0 ; y > 0
2° Cuadrante 
x < 0 ; y > 0
3° Cuadrante 
x < 0 ; y < 0 
4° Cuadrante
x > 0 ; y < 0
+ + - -
+ - - +
+ - + -
Ry /sen
Rx /cos
xy /tg
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE
Dado un ángulo del primer cuadrante se pueden
encontrar otros tres ángulos, uno en cada uno de los
otros cuadrantes, tales que sus correspondientes
razones trigonométricas son números que tienen el
mismo valor absoluto.

AA´
Observemos que los triángulos rectángulos
AOB y A’OB’ son congruentes ya que sus
tres lados son iguales y por lo tanto, el ángulo
A’OB’ =  .
AA´
Podemos afirmar que:  = 180° - 
De donde se deduce:
sen  = sen (180° - ) = sen 
cos  = cos (180° - ) =  cos 
tg  = tg (180°  ) =  tg 
Podemos ver: 
1°) sen  = AB y sen (180° - ) = A’B’ = AB
2°) cos  = OB y cos (180° - ) = OB’ = -OB
3°) tg  = AB y tg (180°  ) = A’B’ = AB
OB OB’ -OB
AA´

Observemos que los triángulos rectángulos
AOB y A’OB’ son congruentes ya que sus
tres lados son iguales y por lo tanto, el ángulo
A’OB’ =  .
Podemos afirmar que:  = 180° + 
De donde se deduce:
sen  = sen (180° + ) = - sen 
cos  = cos (180° + ) = - cos 
tg  = tg (180° + ) = tg 
Podemos ver: 
1°) sen  = AB y sen (180° + ) = A’B’ = - AB
2°) cos  = OB y cos (180° + ) = OB’ = - OB
3°) tg  = AB y tg (180° + ) = A’B’ = - AB
OB OB’ - OB

Observemos que los triángulosrectángulos
AOB y A’OB son congruentes ya que sus
tres lados son iguales y por lo tanto, el ángulo
A’OB =  .
Podemos afirmar que:  = 360° - 
De donde se deduce:
sen  = sen (360° - ) = - sen 
cos  = cos (360° - ) = cos 
tg  = tg (360° - ) = - tg 
Podemos ver: 
1°) sen  = AB y sen (360° - ) = A’B = - AB
2°) cos  = OB y cos (360° - ) = OB = OB
3°) tg  = AB y tg (360° - ) = A’B = - AB
OB OB OB
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y 
LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
Sen ( + ) = sen   cos   cos  . sen 
Sen (  ) = sen   cos   cos  . sen 
Cos ( + ) = cos   cos   sen  . sen 
Cos (  ) = cos   cos  + sen  . sen 
Teorema: En un triángulo rectángulo, el cuadrado
de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
TEOREMA DE PITÁGORAS
a
a
b
a
b a
b
c
b
c
c
c
Demostración: Tomamos un cuadrado de longitud
(a+b). En él dibujamos cuatro triángulos
rectángulos con catetos a y b.
 El cuadrilátero formado por las cuatro
hipotenusas es un cuadrado.
a
a
b
a
b a
b
c
b
c
c
c
 Por el postulado LAL, dichos triángulos son
congruentes. Por lo tanto, todos tienen hipotenusa
de longitud c.
 Como los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo son complementarios, se tiene:
r + s = 90
 Como: r + s + t = 180, se deduce que t = 90.
 Lo mismo ocurre para los otros ángulos del
cuadrilátero.
a
a
b
a
b a
b
c
b
c
c
c
r
s
st
El área del cuadrado de lado , es: )).(( babaA ba
2cA 
2
.ba
A 
2
2
.
.4)).(( c
ba
baba 
222 22 cabbaba 
222 cba 
a
a
b
a
b a
b
c
b
c
c
c
El área del cuadrado de lado c, es: 
El área de cada uno de los triángulos es:
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo rectángulo es calcular la
medida de los lados y ángulos desconocidos del
mismo, en función de los que se conocen.
Para ello, es imprescindible conocer dos
elementos, entre los cuales figure por lo menos un
lado.
c

α
b
a
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
1º Caso: Se tienen como datos un ángulo y el
cateto adyacente. Datos: b;  y  son datos.
º90º180   y
  º90
 tgbc
b
c
tg .


cos
cos
b
a
a
b

c

α
b
a
2º Caso: Se tienen como datos un ángulo y el
cateto opuesto al mismo. Datos: b;  y  = 90°
º90º180   y
  º90


tg
b
c
c
b
tg 


sen
b
a
a
b
sen 
c

α
b
a
3º Caso: Se tienen como datos los dos catetos.
Datos: b; c y  = 90°
22 cba 
b
c
arctg
b
c
tg  
c
b
arctg
c
b
tg  
c

α
b
a
4º Caso: Se tienen como datos un cateto y la
hipotenusa.
Datos: b; a y  = 90°
a
b
arcsen
a
b
sen  
a
b
a
b
arccoscos  
22 bac  c

α
b
a
5º Caso: Se tienen como datos la hipotenusa y
un ángulo.
Datos: a;  y .
  º90
 senac
a
c
sen .
 cos.cos ab
a
b

c

α
b
a
Se llama triángulo oblicuángulo a aquel en el cual ninguno de 
sus ángulos es recto.
Teorema del seno: En todo triángulo, los lados son
proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
En el triángulo ABC, se verifica:
Igualando ambas expresiones: 
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS


α
c
C
B
c´
b
a
hc
A
 senbh
b
h
sen c
c .
 senah
a
h
sen c
c .
 senasenb .. 
 sen
a
sen
b

De forma análoga, podemos demostrar:
Se puede concluir que: 
 sen
c
sen
b

 sen
c
sen
a

 sen
c
sen
b
sen
a

Estas igualdades sirven para relacionar dos lados
de un triangulo con los ángulos opuestos.
Por tanto se podrá resolver con él cualquier
triángulo del que se conozca dos ángulos y un
lado opuesto a uno de ellos, o dos lados y un
ángulo opuesto a uno de ellos.
Si tomáramos un triángulo obtusángulo, la demostración
sería:
Como , se tiene: 
En el triángulo BCD se verifica: 
Igualando ambas expresiones: 
)180(   sensen  senbh
b
h
sen c
c .
 senah
a
h
sen c
c .
c
C
BD
b
a
hc
A


α
 senasenb .. 
 sen
a
sen
b

Teorema del coseno: En todo triángulo, el
cuadrado de un lado cualquiera es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos
lados menos el doble producto de dichos
lados por el coseno del ángulo
comprendido.
cos...2222 cbcba 


α
c
C
B
c´
b
a
hc
Acos...2
222 cacab 
cos...2222 babac 
Demostración


α
C
B
b
a
hc
A
m n
c
22222 )( mchnha cc 
2222 ..2 mmccha c 
mccmha c ..2)(
2222 
222 mhb c 
 cos.cos bm
b
m

cos...2222 cbcba 
Por el Teorema de Pitágoras en el triángulo ACD se 
tiene: 
D
Además: 


α
C
B
b
a
hc
A
m n
c
cos...2222 cacab 
cos...2222 babac 
cos...2222 cbcba 
Análogamente se puede probar: