Copia de 12,2 Func trig inversas propiedades y generalizadas_VF sab 12jun - Patricia Torres

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2021-2
PREUNIVERSITARIO
12,2
Funciones Trigonométricas 
Inversas propiedades. 
FTI.generalizadas
2
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES 
TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 𝑖) 𝑆𝑖: 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
8
17
⟹ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
8
17
𝛼 𝜖 −
𝜋
2
;
𝜋
2
𝑖𝑖) 𝑆𝑖: 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 −
21
29
⟹ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = −
21
29
𝜃 𝜖 0; 𝜋
1. PROPIEDAD
𝛼 = arcsen 𝑛 ⟺ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑛 , 𝛼 𝜖 −
𝜋
2
;
𝜋
2
α = arccos n ⟺ cos α = n , α ϵ 0; π
𝛼 = arctan 𝑛 ⟺ 𝑡𝑎𝑛 𝛼 = 𝑛 , 𝛼 𝜖 −
𝜋
2
;
𝜋
2
𝛼 = arccot 𝑛 ⟺ 𝑐𝑜𝑡 𝛼 = 𝑛 , 𝛼 𝜖 0; 𝜋
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐 𝑛 ⟺ 𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 𝑛 , 𝛼 𝜖 0; 𝜋 −
𝜋
2
𝛼 = arccsc 𝑛 ⟺ 𝑐𝑠𝑐 𝛼 = 𝑛 , 𝛼 𝜖 −
𝜋
2
;
𝜋
2
− 0
Ejemplos
17
8
15

r = 29 𝜃
20
21
3
APLICACIÓN 01
𝑆𝑖: 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
4
7
⟹ cos(𝜃) =
4
7
𝑆𝑖: 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(
3
7
) ⟹ 𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
3
7
Representamos las RT
𝑘 = 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − cos2 𝛼
𝑘 =
33
49
−
40
49
∴ 𝑘 = −
1
7
Calcule: 𝑠𝑒𝑛2 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
4
7
− cos2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
3
7
𝐴) − 3/7 𝐶) − 1/7𝐵) − 2/7 𝐷) 1/7 𝐸) 2/7
RESOLUCIÓN
=
33
7
2
−
2 10
7
2
Reemplazamos en la expresión pedida 𝜃
7
4
33
CLAVE: C
2 10
7
3

4
APLICACIÓN 02
RESOLUCIÓN
Calcule: 𝐴) 𝜋/4
𝐶) 5𝜋/12
𝐵) 𝜋/3
𝐷) 2𝜋/3 𝐸) 3𝜋/4
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
3
34
+ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
4
17
𝑆𝑖: 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
3
34
⟹ 𝑐𝑜𝑠(𝜃) =
3
34
𝑆𝑖: 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
4
17
⟹ 𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
4
17
Calculamos (𝛼 + 𝜃):
𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝜶 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜶 − 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒔𝒆𝒏(𝜶)
cos 𝜃 + 𝛼 = (
3
34
)(
1
17
) − (
5
34
)(
4
17
) = −
1
2
⟹ 𝛼 + 𝜃 =
3𝜋
4
CLAVE: E
α17
4
1
𝜃
5
3
34
5
2. PROPIEDAD
𝐬𝐞𝐧 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝒙 ⇔ −𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝐱 = 𝒙 ⇔ −𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏
𝒕𝒂𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒙 = 𝒙 ⇔ 𝒙 𝝐 ℝ
𝒄𝒐𝒕 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕 𝒙 = 𝒙 ⇔ 𝒙 𝝐 ℝ
𝒔𝒆𝒄 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒄 𝒙 = 𝒙 ,⇔ 𝒙 ≤ −𝟏 ∨ 𝒙 ≥ 𝟏
𝐜𝐬𝐜 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐬𝐜 𝐱 = 𝒙 ,⇔ 𝒙 ≤ −𝟏 ∨ 𝒙 ≥ 𝟏
∗ sen arccos x = 1 − x2 , −1 ≤ x ≤ 1
Tambié
n
∗ cos arcsen x = 1 − x2 , −1 ≤ x ≤ 1
∗ tan 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡 𝑥 =
1
𝑥
, ∀ 𝑥 𝜖 ℝ − 0
∗ cot 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 =
1
𝑥
, ∀ 𝑥 𝜖 ℝ − 0
∗ sec 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 1 + 𝑥2 , ∀ 𝑥 𝜖 ℝ
∗ csc 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡 𝑥 = 1 + 𝑥2 , ∀ 𝑥 𝜖 ℝ
∗ sen 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 =
𝑥
1 + 𝑥2
, ∀ 𝑥 𝜖 ℝ
∗ cos 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡 𝑥 =
𝑥
1 + 𝑥2
, ∀ 𝑥 𝜖 ℝ
6
𝑘 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥

Demostraciones.
= 𝑠𝑒𝑛  →  = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 ; 𝟎 ≤  ≤ π → 𝑠𝑒𝑛  ≥ 0
→ 𝒄𝒐𝒔  = 𝒙; 𝑠𝑒𝑛2  + 𝑐𝑜𝑠2  = 1 → 𝒔𝒆𝒏  = 1 − 𝑥2
∴ 𝑘 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1 − 𝑥2
𝑁 = 𝑐𝑜𝑡 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝜽
= 𝑐𝑜𝑡 𝜽 → 𝜽 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 → 𝑡𝑎𝑛 𝜽 = 𝑥
∴ 𝑁 = 𝑐𝑜𝑡 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 =
1
𝑥
→ 𝑐𝑜𝑡 𝜽 =
1
𝑥
𝑄 = 𝑠𝑒𝑐 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥

= 𝑠𝑒𝑐  →  = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 ; −
π
𝟐
<  <
π
𝟐
→ 𝑠𝑒𝑐  ≥1
→ 𝒕𝒂𝒏  = 𝒙; 𝑠𝑒𝑐2  = 1 + 𝑡𝑎𝑛2  → 𝒔𝒆𝒄  = 1 + 𝑥2
∴ 𝑄 = 𝑠𝑒𝑐 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 1 + 𝑥2
𝐹 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡 𝑥
ψ
= 𝑐𝑜𝑠 ψ
→ 𝒄𝒐𝒕 ψ = 𝒙
𝛙
𝒙
𝟏
𝐹 = 𝑐𝑜𝑠 ψ =
𝑥
1 + 𝑥2
7
APLICACIÓN 03
Calcule:
𝐴) 22
𝐶) 24
𝐵) 23
𝐷) 25 𝐸) 26
𝑐𝑠𝑐2 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡 11 + 𝑠𝑒𝑐2(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛( 13))
RESOLUCIÓN
𝑘 = 𝑐𝑠𝑐2 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡 11 + 𝑠𝑒𝑐2(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛( 13))Sea:
Aplicamos las identidades Pitagóricas:
𝑘 = 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕 𝟏𝟏 + 𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐(𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝟏𝟑)) + 𝟏
𝑘 = 2 + cot 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡 11
2
+ 𝑡𝑎𝑛 𝑎𝑟𝑡𝑎𝑛 13
2
𝟏𝟏 𝟏𝟑
∴ 𝑘 = 26
CLAVE: E
8
APLICACIÓN 04
Calcule:
𝐴) 6/13
𝐶) 11/13
𝐵) 7/13
𝐷) 1 𝐸) 14/13
𝑡𝑎𝑛
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(
84
85
) + 𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
2
3
))
RESOLUCIÓN
Sean: 𝑖) 𝑎 = 𝑡𝑎𝑛
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
84
85
Por identidad del arco mitad
𝑎 =
1 − cos(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
84
85
)
1 + cos(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
84
85
)
=
1 −
84
85
1 +
84
85
=
𝟏
𝟏𝟑
En (𝑖𝑖): Por identidad del arco doble
𝑏 =
2𝑡𝑎𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
2
3))
1 + 𝑡𝑎𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
2
3
2 =
4
3
1 +
4
9
=
𝟏𝟐
𝟏𝟑
∴ 𝑎 + 𝑏 = 1
𝑖𝑖) 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
2
3
En (𝑖):
Así la expresión pedida es:
𝒂 + 𝒃 =
𝟏
𝟏𝟑
+
𝟏𝟐
𝟏𝟑
CLAVE: D
9
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝐬𝐞𝐧(𝐱) = 𝐱 ⇔ −
𝛑
𝟐
≤ 𝐱 ≤
𝛑
𝟐
𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝐜𝐨𝐬(𝐱) = 𝐱 ⇔ 𝟎 ≤ 𝐱 ≤ 𝛑
𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝐭𝐚𝐧(𝐱) = 𝐱 ⇔ −
𝛑
𝟐
< 𝐱 <
𝛑
𝟐
𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐭 𝐜𝐨𝐭(𝐱) = 𝐱 ⇔ 𝟎 < 𝐱 < 𝛑
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐜 𝐬𝐞𝐜(𝐱) = 𝐱 ⇔ 𝟎 ≤ 𝐱 ≤ 𝛑 −
𝛑
𝟐
𝐚𝐫𝐜𝐜𝐬𝐜 𝐜𝐬𝐜(𝐱) = 𝐱 ⇔ −
𝛑
𝟐
≤ 𝐱 ≤
𝛑
𝟐
− 𝟎
3. PROPIEDAD Ejemplos
∗ arcsen sen
π
5
=
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧(𝐱)𝛜 −
𝛑
𝟐
;
𝛑
𝟐
𝜋
5
∗ arccos cos
5π
7
=
𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬(𝐱)𝛜 𝟎;𝛑
5𝜋
7
10
∗ arctan 𝑡𝑎𝑛 −
𝜋
8
= −
𝜋
8
𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(𝐱)𝛜 −
𝛑
𝟐
;
𝛑
𝟐
∗ arcco𝑡 cot 3 = 3
𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐭 𝐱 𝛜 𝟎;𝝅
∗ arcsec sec
3
2
=
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐜 𝐱 𝛜 𝟎;𝛑 −
𝝅
𝟐
3
2
∗ 𝑎𝑟𝑐c𝑠𝑐 c𝑠c −
5𝜋
12
=
𝒂𝒓𝒄c𝒔c 𝒙 𝝐 −
𝝅
𝟐
;
𝝅
𝟐
− 0
−
5𝜋
12
11
APLICACIÓN 05
Calcule: 𝐴) 11𝜋/5
𝐶) 7𝜋/5
𝐵) 2𝜋
𝐷) 4𝜋/5 𝐸) 3𝜋/5
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛(
3𝜋
5
) + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠
8𝜋
5
Tenemos
:
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛(
3𝜋
5
) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝒔𝒆𝒏(𝝅 −
𝟐𝝅
𝟓
) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛(
2𝜋
5
) =
2𝜋
5
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠(
8𝜋
5
) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝅 −
𝟐𝝅
𝟓
) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠(
2𝜋
5
) =
2𝜋
5
∴ 𝛼 + 𝜃 =
4𝜋
5
¡ 𝐶𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑𝑜!
3𝜋
5
∉ −
𝜋
2
;
𝜋
2
RESOLUCIÓN
¡ 𝐶𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑𝑜!
8𝜋
5
∉ 0; 𝜋
CLAVE: D
12
OBSERVACIÓN
Con el fin de facilitar la aplicación de esta propiedad, en el caso que se tenga un arco
𝜃 positivo, mayor a 𝜋/2 y menor a 2𝜋, tal que el arco no se encuentre dentro del
rango de la FTI, podemos aplicar la siguiente regla de reducción de la medida del
arco, con el fin que se consiga un nuevo arco, que si pertenezca al rango de la FTI .
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧(𝐬𝐞𝐧(𝛉))
𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬(𝐜𝐨𝐬(𝛉))
𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(𝐭𝐚𝐧(𝛉))
𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐭(𝐜𝐨𝐭(𝛉))
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐜(𝐬𝐞𝐜(𝛉))
𝐚𝐫𝐜𝐜𝐬𝐜(𝒄𝒔𝒄(𝜽))
sen θ = sen π − θ = sen(θ − 2π)
cos θ = cos 2π − θ
tan θ = tan θ − π = tan(θ − 2π)
cot θ = cot θ − π
sec θ = sec 2π − θ
csc θ = csc π − θ = csc(θ − 2π)
RECORDEMOS QUE
13
APLICACIÓN 06
Calcule: A) − 2π
C) − 6π/5
𝐵) − 𝜋
𝐷) 𝜋/5 𝐸)2 𝜋/5
arcsen sen(
6π
5
) − arccos(cos(
6π
5
))
RESOLUCIÓN
α = arcsen sen(
6π
5
) θ = arccos(cos(
6π
5
))
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝜋 −
6𝜋
5
)
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛(−
𝜋
5
)
𝜶 = −
𝝅
𝟓
−𝝅/𝟓
θ = arccos(cos(𝟐𝛑 −
𝟔𝛑
𝟓
))
θ = arccos(cos(
𝟒𝛑
𝟓
))
𝜽 =
𝟒𝝅
𝟓
𝟒𝝅/𝟓
∴ 𝛼 − 𝜃 = −𝜋
CLAVE: B
14
APLICACIÓN 07
)
Calcule: 𝐴) − 4
𝐶) − 2
𝐵) − 3
𝐷) 2 𝐸) 4
2arcsen sen 2 + arccos cos 4
arctan tan 5 − 1
RESOLUCIÓN
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛(2)
α = arcsen sen(π − 2)
α = π − 2
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠(4)
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝅 − 𝟒)
𝜃 = 2𝜋 − 4
𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛(5)
𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝒕𝒂𝒏(𝟓 − 𝟐𝝅)
𝛽 = 5 − 2𝜋
Reemplazamos
𝑘 =
2 𝜋 − 2 + (2𝜋 − 4)
5 − 2𝜋 − 1
∴ 𝑘 = −2
𝝅 − 𝟐
𝟐𝝅 − 𝟒
𝟓 − 𝟐𝝅
CLAVE: C
15
4. PROPIEDAD
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝒙 =
𝝅
𝟐
, ∀𝒙𝝐 −𝟏;𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒙 + 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕 𝒙 =
𝝅
𝟐
, ∀𝒙𝝐ℝ
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒄 𝒙 + 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒔𝒄 𝒙 =
𝝅
𝟐
, ∀𝒙𝝐ℝ − −𝟏; 𝟏
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝐱 + 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝐱 =
𝛑
𝟐
; ∀𝐱𝛜 −𝟏; 𝟏
Sea: μ = arcsen(x)
⟹ 𝑠𝑒𝑛 𝜇 = 𝑥 , 𝜇𝜖 −
𝜋
2
;
𝜋
2
𝑆𝑖: 𝑣 =
𝜋
2
− 𝜇, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑣𝜖 0; 𝜋
𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠: cos 𝑣 = cos
𝜋
2
− 𝜇 = 𝑠𝑒𝑛 𝜇 = 𝑥
𝐶𝑜𝑚𝑜: cos 𝑣 = 𝑥 , 𝑣𝜖 0; 𝜋
⟹ 𝑣 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑃𝑒𝑟𝑜: 𝜇 + 𝑣 =
𝜋
2
⟹ 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝐱 + 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬(𝐱) =
𝛑
𝟐
Demostración
LQQD
16
APLICACIÓN 08
Resuelva:
𝐴) 5 − 1 𝐵) 5 + 1
𝐸) 6 − 2𝐷) 6 + 2
𝐶) 2 3
4𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑥
4
= 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(
𝑥
4
)
RESOLUCIÓN
4𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑥
4
= 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(
𝑥
4
)
𝝅
𝟐
− 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(
𝒙
𝟒
)
5𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑥
4
=
𝜋
2
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑥
4
=
𝜋
10
⟹
𝑥
4
= 𝑠𝑒𝑛(
𝜋
10
)
𝑥 = 4𝑠𝑒𝑛(18°)
𝑥 = 4(
5 − 1
4
)
∴ 𝑥 = 5 − 1
CLAVE: A
17
APLICACIÓN 09
Determine el rango de la función f, definida por:
𝐴)
𝜋
3
;
5𝜋
6
𝐶)
𝜋
6
;
5𝜋
6𝐵)
𝜋
6
;
2𝜋
3
𝐷) 0; 𝜋 𝐸)
𝜋
6
;
2𝜋
3
f x = arcsen x + arccos x + arctan( 3x)
RESOLUCIÓN
𝝅/𝟐
Determinamos el dominio de f. 
𝐷𝑜𝑚 𝑠𝑒𝑛−1 𝑥 ⋂𝐷𝑜𝑚 cos−1 𝑥 ⋂𝐷𝑜𝑚 (𝑡𝑎𝑛−1( 3𝑥)) = −1; 1
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(3𝑥)⟹ 𝒇 𝒙 =
𝝅
𝟐
+ 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝟑𝒙)
Siendo f una función creciente, establecemos que: 
⟹ 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = −𝟏; 𝟏
S𝑖: −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 ⟹ 𝒇(−𝟏) ≤ 𝒇(𝒙) ≤ 𝒇(𝟏) ∴ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 =
𝜋
6
;
5𝜋
6
CLAVE: C
18
5. PROPIEDAD
Nota: Las funciones trigonométricas inversas del seno, tangente y cosecante, son 
impares, por tanto estas verifican con 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥). 
Demostración de 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 −𝒙 = 𝝅 − 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝒙 , ∀𝒙𝝐 −𝟏;𝟏
∀𝑥𝜖 −1; 1 ∶ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
𝜋
2
Sumamos (1) 𝑦 (2):𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 −𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝜋 ⟹ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 −𝒙 = 𝝅 − 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒄 −𝒙 = 𝝅 − 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒄(𝒙), ∀𝒙𝝐ℝ − −𝟏; 𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 −𝒙 = −𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝒙 , ∀𝒙𝝐 −𝟏; 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 −𝒙 = 𝝅 − 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝒙 , ∀𝒙𝝐 −𝟏;𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕 −𝒙 = 𝝅 − 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕(𝒙), ∀𝒙𝝐ℝ𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 −𝒙 = −𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒙 , ∀𝒙𝝐ℝ
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒔𝒄 −𝒙 = −𝒂𝒓𝒄𝒄𝒔𝒄 𝒙 , ∀𝒙𝝐ℝ − −𝟏; 𝟏
−𝑥𝜖 −1; 1 ∶ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 −𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 −𝑥 =
𝜋
2
⟹ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 −𝑥 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
𝜋
2
(𝟏)
(𝟐)
LQQD
19
APLICACIÓN 10
RESOLUCIÓN
Dada la función f definida por: 
𝐴)
3𝜋
2
; 2𝜋 𝐶) 0; 5𝜋𝐵) 2𝜋;
5𝜋
2
𝐷) 0;
5𝜋
2 𝐸) 0;
3𝜋
2
𝑓 𝑥 = 2𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 3𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠( 𝑥 ), determine su rango.
✓ 𝑆𝑖: −1 ≤ 𝑥 < 0
⟹ 𝑓 𝑥 = 2𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 3𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(−𝒙)
𝑓 𝑥 = 2𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 3(𝝅 − 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝒙 )
𝒇 𝒙 = 𝟑𝝅 − 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜:−1 ≤ 𝑥 < 0 ⟹
𝜋
2
< 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜s 𝑥 ≤ 𝜋
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [−1; 1]
5𝜋
2
> 3𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜s 𝑥 ≥ 2𝜋
𝒇(𝒙)
1
✓ 𝑆𝑖: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
⟹ 𝑓 𝑥 = 2𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 3𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝒙)
𝒇 𝒙 = 𝟓𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 ⟹ 0 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜s 𝑥 ≤
𝜋
2
0 ≤ 5𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜s 𝑥 ≤
5𝜋
2
𝒇(𝒙)
2
uniendo 1 𝑐𝑜𝑛 (2): ∴ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 0;
5𝜋
2
CLAVE: D
20
6. PROPIEDAD
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒙 + 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒙 + 𝒚
𝟏 − 𝒙𝒚
+ 𝒌𝝅
El valor de k depende de x e y, así se tiene que:
7. PROPIEDAD
∀𝒙, 𝒚 ∈ ℝ+: 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒙 − 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒙 − 𝒚
𝟏 + 𝒙𝒚
𝒊) 𝑺𝒊 𝒙𝒚 < 𝟏 ⟹ 𝒌 = 𝟎
𝒊𝒊) 𝑺𝒊 𝒙𝒚 > 𝟏 ∧ 𝒙 > 𝟎 ⟹ 𝒌 = 𝟏
𝒊𝒊𝒊) 𝑺𝒊 𝒙𝒚 > 𝟏 ∧ 𝒙 < 𝟎 ⟹ 𝒌 = −𝟏
21
APLICACIÓN 11
RESOLUCIÓN
Calcule: 
𝐴) 𝜋/6
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
1
47
+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
3
2
+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
9
2
𝐵) 𝜋/4 𝐶) 𝜋/3
𝐷) 𝜋/2 𝐸) 3𝜋/4
𝑆𝑒𝑎: 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
1
47
+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
3
2
+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
9
2
𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
1
47
3
2
< 1
𝜃 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(
𝟏
𝟒𝟕
+
𝟑
𝟐
𝟏 −
𝟏
𝟒𝟕 ×
𝟑
𝟐
) + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
9
2
𝜃 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(
𝟏𝟏
𝟕
) + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
9
2
𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
11
7
9
2
> 1
𝜃 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝟏𝟏
𝟕 +
𝟗
𝟐
𝟏 −
𝟏𝟏
𝟕 ×
𝟗
𝟐
+ 𝝅
𝜃 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(−𝟏) + 𝜋
−𝝅/𝟒
∴ 𝜃 =
3𝜋
4
CLAVE: E
22
APLICACIÓN 12
RESOLUCIÓN
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
1
17
+ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(
5
34
)
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
5
3
+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
2
3
)
Calcule:
𝐴) 2/3 𝐵) 3/2 𝐶) 3/4
𝐷) 3/5 𝐸) 3/8
Hacemos los cambios: ∗ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
1
17
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
1
4
) ∗ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
5
34
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
3
5
)
Entonces:
𝐴 =
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝟏
𝟒 + 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(
𝟑
𝟓
)
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
5
3
+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
2
3
)
=
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
1
4
+
3
5
1 −
1
4 ×
3
5
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
5
3
+
2
3
1 −
5
3
×
2
3
+ 𝜋
=
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 1
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 − 3 + 𝜋
𝝅/𝟒
=
𝜋
4
2𝜋
3
∴ 𝐴 =
3
8
−𝝅/𝟑
CLAVE: E
23
APLICACIÓN 13
RESOLUCIÓN
Calcule:
𝐴) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(11/10)
෍
𝑘=3
32
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
1
𝑘2 + 𝑘 + 1
)
𝐶) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(7/10)𝐵) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(9/10)
𝐷) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(3/10) 𝐸) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(1/10)
𝑆 = ෍
𝑘=3
32
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
1
𝑘2 + 𝑘 + 1
)
𝑆 = ෍
𝑘=3
32
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
𝒌 + 𝟏 − 𝒌
𝟏 + 𝒌(𝒌 + 𝟏)
)
Tenemos:
Agrupamos los términos convenientemente:
𝑆 = ෍
𝑘=3
32
(𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒌 + 𝟏 − 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒌 )
Aplicamos la propiedad telescópica: 
𝑆 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝟑𝟐 + 1 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝟑)
𝑆 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎 𝑛
33 − 3
1 + 33 × 3
∴ 𝑆 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎 𝑛
3
10
CLAVE: D
24
APLICACIÓN 14
RESOLUCIÓN
Reduzca
𝐶) 1/(𝑛 + 1)
𝐵) 1/2𝑛𝐴) 𝑛/2
𝐷) 𝑛/(𝑛 + 1)
𝑡𝑎𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
2
𝑛2
+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑛 − 1))
𝑡𝑎𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
4
4𝑛2 − 3
+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(2𝑛 − 2))
𝐸) 1/2
∗ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
2
𝑛2
De los arcos: 
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
𝒏 + 𝟏 − (𝒏 − 𝟏)
𝟏 + (𝒏 + 𝟏)(𝒏 − 𝟏)
)= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑛 + 1 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑛 − 1)
∗ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
4
4𝑛2 − 3
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝟐𝒏 + 𝟐 − 𝟐𝒏 − 𝟐
𝟏 + (𝟐𝒏 + 𝟐)(𝟐𝒏 − 𝟐)
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 2𝑛 + 2 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(2𝑛 − 2)
Al reemplazar en la expresión pedida se 
obtendrá:
𝐴 =
𝑡𝑎𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑛 + 1))
𝑡𝑎𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(2𝑛 + 2))
=
𝑛 + 1
2𝑛 + 2
∴ 𝐴 =
1
2
CLAVE: E
25
8. PROPIEDAD
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒔𝒄 𝒙 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏
𝟏
𝒙
; 𝒔𝒊 𝒙 ∈ ℝ − −𝟏: 𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒄 𝒙 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
𝟏
𝒙
; 𝒔𝒊 𝒙 ∈ ℝ − −𝟏: 𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕 𝒙 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝟏
𝒙
; 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟎
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕 𝒙 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝟏
𝒙
+ 𝝅 ; 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎
DEMOSTRACIÓN
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕 𝒙 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝟏
𝒙
+ 𝝅 ; 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎
𝑆𝑒𝑎: 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡 𝑥 ⟹ 𝑐𝑜𝑡 𝜃 = 𝑥 (𝟏)
𝑆𝑖: 𝑥 < 0 ⟹
𝜋
2
< 𝜃 < 𝜋
𝐷𝑒 1 𝑦 (2): 𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
1
𝑥
= 𝑡𝑎𝑛 𝜃 − 𝜋 𝑦 −
𝜋
2
< 𝜃 − 𝜋 < 0
⟹ 𝜃 − 𝜋 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
1
𝑥
) ∴ 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝟏
𝒙
+ 𝝅
(𝟐)
LQQD
26
APLICACIÓN 15
RESOLUCIÓN
Dada la función f definida por: 
𝐴)
𝜋
2
; 𝜋 𝐶) 0; π𝐵) 𝜋;
3𝜋
2
𝐷) 0;
3𝜋
2
𝐸) 0;
𝜋
2
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡 sec 𝑥 + arctan cos 𝑥 , 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ϵ
𝜋
2
; 𝜋
Determine su rango.
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡
1
cos 𝑥
+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑆𝑖 𝑥 ϵ
𝜋
2
; 𝜋 → −1 < cos 𝑥 < 0
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 cos 𝑥 + π + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑓 𝑥 = 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 cos 𝑥 + π
−1 < cos 𝑥 < 0
arctan −1 < 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(cos 𝑥 ) < arctan 0
−
π
4
< 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(cos 𝑥 ) < 0
π
2
< 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(cos 𝑥 ) + π < π
π
2
< 𝑓 𝑥 < π → Ran 𝑓 =
π
2
; π
CLAVE: A
27
PROBLEMAS RESUELTOS
28
PROBLEMA 01:
RESOLUCIÓN
De la condición:
arctan
1 − 𝑥
1 + 𝑥
=
𝜋
18
Elevamos al cuadrado:
1 − 𝑥
1 + 𝑥
= 𝑡𝑎𝑛2(
𝜋
18
)
𝑥 =
1 − 𝑡𝑎𝑛2
𝜋
18
1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝜋
18
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠
𝜋
9
= cos(20°)
Se pide: E= 8𝑥3 − 6𝑥
Reemplazamos en E
E= 8 𝑐𝑜𝑠3 20° − 6𝑐𝑜𝑠(20°)
E= 2(4 𝑐𝑜𝑠3 20° − 3𝑐𝑜𝑠(20°))
𝒄𝒐𝒔(𝟔𝟎°)
∴ 𝐸 = 1
⟹
1 − 𝑥
1 + 𝑥
= 𝑡𝑎𝑛(
𝜋
18
)
arctan
1 − 𝑥
1 + 𝑥
=
𝜋
18
Siendo:
, calcule 8𝑥3 − 6𝑥
𝐴) 1 𝐵) 3/2
𝐶) 2/2
𝐷) 1/2 𝐸) 1/4
CLAVE: A
29
PROBLEMA 02:
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑡
60𝜋
11
+ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑠
60𝜋
11
Calcule: 𝐴) 𝜋
𝐸) 0𝐷) 𝜋/11
𝐵) 6𝜋/11
𝐶) 5𝜋/11
RESOLUCIÓN
Reducimos al arco dado: 
2 vueltas
𝜃 =
𝜋
2
− 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡 𝑐𝑜𝑡
16𝜋
11
+
𝜋
2
− 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠
16𝜋
11
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑡
𝟏𝟔𝝅
𝟏𝟏
+ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑠
𝟏𝟔𝝅
𝟏𝟏
𝜃 = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡 𝑐𝑜𝑡
𝟏𝟔𝝅
𝟏𝟏
− 𝝅 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝟐𝝅 −
𝟏𝟔𝝅
𝟏𝟏
∴ 𝜃 = 0𝜃 = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡 𝑐𝑜𝑡
𝟓𝝅
𝟏𝟏
− 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠
𝟔𝝅
𝟏𝟏
𝟓𝝅/𝟏𝟏 𝟔𝝅/𝟏𝟏
CLAVE: E
30
PROBLEMA 03:
Para 0 < 𝑥 < 1 la función f definida por: 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑡(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥)
Se puede representar como:
𝐴)
𝑥
1 + 𝑥2 𝐵)
1 − 𝑥2
𝑥
𝐶)
1
𝑥(1 − 𝑥2)
𝐷)
1
𝑥 1 − 𝑥2
𝐸)
𝑥
1 − 𝑥2
RESOLUCIÓN
Por condición: 0 < 𝑥 < 1 ⟹ 0 < 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 <
𝜋
2
Se tiene en f: 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑡(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝒔𝒆𝒄 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒄𝒔𝒄(𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(𝒙))
𝑓 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥))
𝒙
𝟏 − 𝒙𝟐
∴ 𝑓 𝑥 =
1
𝑥 1 − 𝑥2
CLAVE: D
31
PROBLEMA 04:
𝐴) 𝜋/4 𝐵) 𝜋/3
𝐶) 𝜋/2
𝐷) 2𝜋/3 𝐸) 𝜋
Si:
Calcule el valor de 
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
1
9
+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
1
11
+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
39
59
) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
1 + 𝑥
1 − 𝑦
)
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑦)
RESOLUCIÓN
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
1
9
+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
1
11
+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
39
59
) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
1 + 𝑥
1 − 𝑦
)
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
1
9
+
1
11
1 −
1
9
×
1
11
)
1 =
1 + 𝑥
1 − 𝑦
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
10
49
+
39
59
1 −
10
49
×
39
59
) ⟹ 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟏 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
1 + 𝑥
1 − 𝑦
)
⟹ 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝟏𝟎
𝟒𝟗
+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
39
59
) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
1 + 𝑥
𝑦 − 1
)
𝑥 = −𝑦
Reemplazamos:
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑦)
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 −𝒚 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑦)𝝅 − 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(𝒚)
∴ 𝜃 = 𝜋
CLAVE: E
32
PROBLEMA 05:
𝐴𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝐴)3𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡(
𝑥
2
)
4𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜 𝑡
1
csc(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑥
2
)−𝑡𝑎𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡
𝑥
2
)
, x  0
𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:
𝐵)3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
𝑥
2
)
𝐶) 2𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡(
𝑥
2
)
𝐷)2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
𝑥
2
) 𝐸)4𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(
𝑥
2
)
RESOLUCIÓN
𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 4𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜 𝑡
1
csc(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑥
2
) − 𝑡𝑎𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡
𝑥
2
)
Siendo: 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒙
𝟐
+ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕
𝒙
𝟐
=
𝝅
𝟐
⟹ 𝑡𝑎𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡
𝑥
2
= 𝑐𝑜𝑡(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
𝑥
2
))
𝑘 = 4𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡
1
csc(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑥
2
) − 𝒄𝒐𝒕(𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒙
𝟐
)
Reemplazamos:
𝒕𝒂𝒏(
𝟏
𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(
𝒙
𝟐
)) ∴ 𝑘 = 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
𝑥
2
)
= 4𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡(𝒄𝒐𝒕(
𝟏
𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(
𝒙
𝟐
)))
CLAVE: D
33
PROBLEMA 06:
𝑓 𝑥 =
4𝜋
6 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡(𝑥) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)
, 𝑥 < 0Dada la función f definida 
por:
cuyo rango es de 𝑚;𝑛 , entonces el valor de (2𝑚−1 − 𝑛−1) es:
𝐴) 6 𝐵) 5
𝐶) 4
𝐷) 3 𝐸) 2
RESOLUCIÓN
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝜖 −
𝜋
2
; 0
∀ 𝑥 𝜖 ℝ: 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝜖 0; 𝜋Conocemos que:
Por condición 𝑥 < 0:
En f ,se tendrá: 𝑓 𝑥 =
4𝜋
6𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕 𝒙 + 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒙)
𝑓 𝑥 =
4𝜋
6 (
𝝅
𝟐
− 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒙 ) + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)
𝑓 𝑥 =
4𝜋
3𝜋 − 5𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)
Siendo: −
𝜋
2
< 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 < 0
5𝜋
2
> −5𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 > 0
11𝜋
2
> 3𝜋 − 5𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 > 3𝜋
11
8
>
3𝜋 − 5𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)
4𝜋
>
3
4
8
11
<
𝟒𝝅
𝟑𝝅 − 𝟓𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒙)
<
4
3
∴ 2𝑚−1 − 𝑛−1 = 2
𝒎 = = 𝒏
CLAVE: E
34
PROBLEMA 07:
𝐴) 6 𝐵) 5
𝐶)2
𝐷) 3 𝐸) 2
Si:
Calcule el valor de 
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
1 − 𝑥2
1 + 𝑥2
+ 3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 =
𝜋
4
, 𝑐𝑜𝑛 𝑥 𝜖 0; 1
1 − 𝑥 2
2𝑥
RESOLUCIÓN
Por condición: 0 < 𝑥 < 1
Hacemos un cambio de variable: 𝑥 = tan(𝛼)
Así: 
1 − 𝑥2
1 + 𝑥2
=
1 − 𝑡𝑎𝑛2(𝛼)
1 + 𝑡𝑎𝑛2(𝛼)
= cos(2𝛼)
Reemplazamos
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝜶) + 3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝒕𝒂𝒏(𝜶) =
𝜋
4
Siendo: 0 < 𝑡𝑎𝑛(𝛼) < 1⟹ 0 < 𝛼 <
𝜋
4
Simplificamos: 2𝛼 + 3𝛼 =
𝜋
4
⟹ 𝛼 = 𝜋/20
Obtenemos que: 𝒙 = 𝒕𝒂𝒏(𝟗°)
Se pide: 𝑘 =
1 − 𝑥 2
2𝑥
= 𝒄𝒔𝒄(𝟏𝟖°) − 𝟏
𝑐𝑠𝑐 18° = 5 + 1
=
1 + 𝑥2
2𝑥
− 1
∴ 𝑘 = 5
𝑘 =
1 + 𝑡𝑎𝑛2(9°)
2𝑡𝑎𝑛(9°)
− 1
CLAVE: B
35
PROBLEMA 08:
RESOLUCIÓN
Sea: 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 2𝑥−2 ⟹ 𝒄𝒐𝒔(𝜽) =
𝟐
𝒙𝟐
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 2,5𝑥−2⟹ 𝒄𝒐𝒔(𝜶) =
𝟓
𝟐𝒙𝟐
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝜃 + 𝛼 =
𝜋
3
𝒄𝒐𝒔 𝜽
𝐜𝐨𝐬(𝜶)
=
𝟒
𝟓
⟹ 𝟓𝒄𝒐𝒔(𝜽) = 𝟒𝒄𝒐𝒔(𝜶)
5𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 4𝑐𝑜𝑠(
𝝅
𝟑
− 𝜽)
5𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 4𝑐𝑜𝑠
𝜋
3
cos 𝜃 + 4𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
𝑠𝑒𝑛(𝜃)
5𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 2 cos 𝜃 + 2 3𝑠𝑒𝑛(𝜃)
3𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 2 3𝑠𝑒𝑛(𝜃)
Dividimo
s
𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
3
2
En: cos(𝜃) =
2
𝑥2
2
7
=
2
𝑥2
∴ 𝑥 =
4
7
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 2𝑥−2 + 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 2,5𝑥−2 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛( 3)
Resolver:
𝐴)
4
7 𝐸) 2
4
3𝐶)
4
5𝐵)
4
6 𝐷) 2
4
4
CLAVE: A
36
PROBLEMA 09:
RESOLUCIÓN
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⟹ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑥
𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑦 ⟹ 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑦
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑧 ⟹ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑧
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝛼 + 𝛽 + 𝜃 =
𝜋
2
La expresión pedida es:
𝑘 =
𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛2(𝜃) − 1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛(𝛽)𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑆𝑒𝑎
𝑘 =
𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐(𝜶 + 𝜷) − 1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛(𝛽)𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑘 =
𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 − 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝜶 + 𝜷)
𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛(𝛽)𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝒔𝒆𝒏 𝜶 + 𝟐𝜷 𝒔𝒆𝒏(−𝜶)
Simplificamos 𝑠𝑒𝑛(𝛼): 𝑘 =
𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 2𝛽)
𝑠𝑒𝑛(𝛽)𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑘 =
2𝑠𝑒𝑛 −𝛽 cos(𝛼 + 𝛽)
𝑠𝑒𝑛(𝛽)𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝒔𝒆𝒏(𝜽)
∴ 𝑘 = −2
Calcule:
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑧 =
𝜋
2
Siendo
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 1
𝑥𝑦𝑧
𝐴) − 2 𝐵) − 1
𝐶) 0
𝐷) 1 𝐸) 2
CLAVE: E
37
GRÁFICA DE LAS FUNCIONES 
TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
GENERALIZADAS
38
GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 
INVERSAS COMPUESTAS
1. Al multiplicar la función y al argumento por una constante.
𝒚 = 𝑨. 𝒂𝒓𝒄𝑭𝑻 𝑩𝒙 , 𝐴 > 0, 𝐵 > 0
✓ El valor de A modifica el rango.
✓ El valor de B expande o contrae el dominio de las funciones trigonométricas 
inversas básicas: arco seno, arco coseno, arco secante y arco cosecante.
Observación
Para obtener la gráfica de una función trigonométrica inversa de la forma: 
𝒚 = 𝑨. 𝒂𝒓𝒄𝑭𝑻 𝑩𝒙 ,𝑨 > 𝟎,𝑩 > 𝟎
Determinaremos previamente su dominio y rango.
39
Ejemplo 1
Dominio Rango
𝐲 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧(𝐱)
𝐲 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧(𝟐𝐱)
𝐲 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧(
𝐱
𝟐
)
−1; 1
−
1
2
;
1
2
−2; 2
−
𝜋
2
;
𝜋
2
−
𝜋
2
;
𝜋
2
−
𝜋
2
;
𝜋
2
𝟏
𝟐
𝟒
Grafiquemos:
40
Ejemplo 2
Dominio Rango
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒚 = 𝟐𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒚 =
𝟏
𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(𝒙)
−1; 1 0; 𝜋
−1; 1
−1; 1
0; 2𝜋
0;
𝜋
2
𝟏
𝟐
𝝅
𝝅
𝟐𝝅
Grafiquemos:
41
Observación
En general para las funciones trigonométricas arco seno y arco coseno cuya
regla de correspondencia es de la forma :
𝝅𝑨
𝟐/𝑩
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = −
1
𝐵
;
1
𝐵
𝑦 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = −
𝜋𝐴
2
;
𝜋𝐴
2
𝐷𝑜𝑚 𝑔 = −
1
𝐵
;
1
𝐵
𝑦 𝑅𝑎𝑛 𝑔 = 0;𝜋𝐴
𝟐/𝑩
𝝅𝑨
𝒇 𝒙 = 𝑨. 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝑩𝒙 ; 𝒈 𝒙 = 𝑨. 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝑩𝒙 , 𝐴 > 0 , 𝐵 > 0
se tendrá que:
42
Dominio Rango Dominio Rango
Ejemplo 3
Grafiquemos:
𝒚 = 𝟔𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(
𝒙
𝟒
) −4; 4 −3𝜋; 3𝜋 𝒚 = 𝟒𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) −
1
3
;
1
3
0; 4𝜋
𝟔𝝅
𝟖
𝟒𝝅
𝟐/𝟑
43
Ejemplo 4
𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎: 𝒚 = 𝟐𝝅
𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎: 𝒚 = −𝟐𝝅
Dominio
Rango
𝑥
3
𝜖ℝ ⟹ 𝑥𝜖ℝ
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = ℝ
∀𝑥𝜖ℝ: 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑥
3
𝜖 −
𝜋
2
;
𝜋
2
4𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑥
3
𝜖 −2𝜋; 2𝜋
𝑹𝒂𝒏 𝒇 = −𝟐𝝅; 𝟐𝝅
Grafiquemos: 𝑓 𝑥 = 4𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
𝑥
3
)
𝟒𝝅
44
Dominio Rango
Ejemplo 5 Grafiquemos: 𝒇 𝒙 = 𝟔𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒄
𝒙
𝟒
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = ℝ− −𝟒;𝟒
𝑹𝒂𝒏 𝒇 = 𝟎:𝟔𝝅 − 𝟑𝝅
∀𝑥𝜖ℝ − −4; 4 : 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐
𝑥
4
𝜖 0: 𝜋 −
𝜋
2
𝑥
4
≤ −1 ∨
𝑥
4
≥ 1 ⟹ 𝑥 ≤ −4 ∨ 𝑥 ≥ 4
6𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐
𝑥
4
𝜖 0: 6𝜋 − 3𝜋
𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎: 𝒚 = 𝟑𝝅
𝑓 𝑥 = 6𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(
𝑥
4
)
𝑔 𝑥 = 6𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(
𝑥
4
)
𝟔𝝅
45
2. Al sumar una constante a la función y al argumento
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝑭𝑻 𝒙 + 𝑪 +𝑫, 𝐶 ≠ 0,𝐷 ≠ 0
✓ Cuando se suma una constante C, varia el dominio de las funciones: arco seno, 
arco coseno, arco secante y arco cosecante.
𝑫: Representa el desplazamiento vertical.
✓ Cuando se suma una constante D a una función varia el rango de las 
funciones trigonométricas inversas.
−𝑪: Representa el desplazamiento horizontal.
46
Ejemplo 6
Dominio Rango
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝝅
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝒙 −
𝝅
𝟐
−1; 1 𝜋; 2𝜋
−1; 1 −
𝜋
2
;
𝜋
2
Grafiquemos:
47
Ejemplo 7
Dominio Rango
𝐲 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝐱 − 𝟐
𝐲 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝐱 + 𝟑
1; 3 −
𝜋
2
;
𝜋
2
−4;−2 −
𝜋
2
;
𝜋
2
Grafiquemos:
+𝟐
−𝟑
48
Dominio
Rango
Ejemplo 8 Grafiquemos: 𝒈(𝒙) = 𝟑𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏
𝒙 − 𝟒
𝟓
+ 𝝅
−1 ≤
𝑥 − 4
5
≤ 1
−5 ≤ 𝑥 − 4 ≤ 5 ⟹ −1 ≤ 𝑥 ≤ 9
𝑫𝒐𝒎 𝒈 = [−𝟏; 𝟗]
Restringimos:
−1 ≤
𝑥 − 4
5
≤ 1
−
𝜋
2
≤ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(
𝑥 − 4
5
) ≤
𝜋
2
−
𝜋
2
≤ 𝟑𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏
𝒙 − 𝟒
𝟓
+ 𝝅 ≤
5𝜋
2
𝑹𝒂𝒏 𝒈 = [−
𝝅
𝟐
;
𝟓𝝅
𝟐
]
Dado que:
𝝅
𝟒
𝟑𝝅
𝟏𝟎
49
Dominio Rango
𝑫𝒐𝒎 𝒉 = ℝ
Ejemplo 9 Grafiquemos: 𝒉 𝒙 = 𝟒𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕 𝟑𝒙 − 𝟔 − 𝝅
3𝑥 − 6 𝜖ℝ⟹ 𝑥 𝜖 ℝ
3𝑥 − 6 𝜖ℝ: 0 < 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡 3𝑥 − 6 < 𝜋 𝐷𝑒: 3𝑥 − 6 = 0
𝑹𝒂𝒏 𝒉 = −𝝅; 𝟑𝝅
−𝜋 < 𝟒𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕 𝟑𝒙 − 𝟔 − 𝝅 < 3𝜋
Desplazamiento horizontal: 𝟐
𝝅
𝟐
Desplazamiento vertical: −𝝅
𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎: 𝒚 = 𝟑𝝅
𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎: 𝒚 = −𝝅
𝟒𝝅
50
PROBLEMAS RESUELTOS
51
PROBLEMA 01: RESOLUCIÓN
A partir de:
𝒉
𝑳
𝐟 𝐱 = 𝟑𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬(
𝐱
𝟒
−
𝟏
𝟐
)
𝐿 =
2
1
4
⟹ 𝐿 = 8
ℎ = 3𝜋
𝐴) 6𝜋 𝐵) 8𝜋 𝐶) 9𝜋
𝐷) 12𝜋 𝐸) 15𝜋
Observamos que el área de la región sombreada (𝑆),
representa la mitad del área de la región rectangular
Determinamos ℎ 𝑦 𝐿
Entonces:
𝑆 =
1
2
𝐿ℎ =
1
2
(24𝜋)
∴ 𝑆 = 12𝜋𝑢2
La gráfica mostrada corresponde
a la función f definida por:
𝐟 𝐱 = 𝟑𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬(
𝐱 − 𝟐
𝟒
)
calcule el área de la región
sombreada 𝑒𝑛 𝑢2 .
52
PROBLEMA 02:
La regla de correspondencia de la
gráfica mostrada es:
𝑓 𝑥 = 𝐴. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 𝐷
𝐴) 5 𝐶) 3𝐵) 4
𝐷) 2 𝐸) 1
calcule 𝑓 1 .
RESOLUCIÓN
𝑨𝝅𝑫
𝜋𝐴 = 8 ⟹ 𝐴 = 8/𝜋
Del gráfico 
identificamos:
𝐷 = 2
⟹ 𝑓 𝑥 =
8
𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 2
𝑓 1 =
8
𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡 1 + 2 =
8
𝜋
𝜋
4
+ 2
Evaluamos
∴ 𝑓 1 = 4
53
PROBLEMA 03: RESOLUCIÓN
Sobre la gráfica identificamos las constantes A,B y CLa regla de correspondencia de 
la gráfica mostrada es:
𝐟 𝐱 = 𝐀𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬(𝐁𝐱 + 𝐂)
𝐴) 11𝜋/6 𝐶) 3𝜋/2𝐵) 5𝜋/3
𝐷) 4𝜋/3 𝐸)7𝜋/6
calcule 𝑓(5).
𝑨𝝅
𝟐/𝑩
−𝑪/𝑩
Tenemos
: 𝜋𝐴 = 4𝜋 ⟹ 𝐴 = 4
2
𝐵
= 12 ⟹ 𝐵 =
1
6
Desplazamiento 
horizontal
−
𝐶
𝐵
=
8 + (−4)
2
𝐶 = −2𝐵 ⟹ 𝐶 = −
1
3
Entonces:
𝒇 𝒙 = 𝟒𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(
𝒙
𝟔
−
𝟏
𝟑
)
∴ 𝑓 5 = 4𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
1
2
=
4𝜋
3
54
PROBLEMA 04:
En la figura se muestran las
gráficas de las funciones f y g,
definidas por:
𝑓 𝑥 = 𝑛. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑝𝑥)
𝐸) 5𝜋/6
𝐵) 3𝜋/4 𝐶) 4𝜋/5
𝐷) 11𝜋/12
𝐴) 2𝜋/3
𝑔 𝑥 = 𝑚. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑝𝑥)
calcule la ordenada del punto P. 
RESOLUCIÓN
Sobre la gráfica identificamos los valores de las
constantes m, n y p.
𝒎𝝅
𝒏𝝅
𝟐/𝒑
2
𝑝
= 12 ⟹ 𝒑 =
𝟏
𝟔
𝑚𝜋 = 2𝜋 𝑦 𝑛𝜋 = 4𝜋
𝒎 = 𝟐 𝑦 𝒏 = 𝟒
Entonces: 
𝒇 𝒙 = 𝟒𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(
𝒙
𝟔
)
𝒈 𝒙 = 𝟐𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(
𝒙
𝟔
)
Sea 𝑦𝑜 la ordenada de P, entonces 𝑦𝑜 = 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥
arcsen
x
6
+ arccos
x
6
=
π
2
Reemplazamos en:
𝒚𝒐/𝟒 𝒚𝒐/𝟐
∴ 𝒚𝒐=
𝟐𝝅
𝟑
55
PROBLEMA 05:
En la figura se muestra el
gráfico de la función g,
definida por:
𝑔 𝑥 = 4𝑠𝑒𝑛(
𝜋𝑥
6
)
si la regla de correspondencia
de la función f es:
𝑓 𝑥 = 𝐴. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥 + 𝐶).
Calcule 𝑓(9)
𝐴) 2/3
𝐵) 1
𝐶) 4/3
𝐷) 5/3
𝐸) 2
RESOLUCIÓN
A partir de la regla de correspondencia de g, obtenemos:
𝒈 𝒙 = 𝟒𝒔𝒆𝒏(
𝝅𝒙
𝟔
)
𝑅𝑎𝑛 𝑔 = −4; 4
𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜: 𝑇 =
2𝜋
𝜋/6
= 12
𝟒
−𝟒
𝟏𝟐 𝑨𝝅
𝟐/𝑩
−𝑪/𝑩
Del gráfico identificamos:
𝐴𝜋 = 8 ⟹ 𝐴 = 8/𝜋
2/𝐵 = 12 ⟹ 𝐵 = 1/6
−𝐶/𝐵 = 6 ⟹ 𝐶 = −1
Así, la regla de correspondencia
de f es:
𝒇 𝒙 =
𝟖
𝝅
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(
𝒙
𝟔
− 𝟏)
∴ 𝑓 9 =
8
𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
1
2
=
4
3
56
PROBLEMA 06:
La regla de correspondencia de la gráfica mostrada
es:
𝑓 𝑥 = 𝐴. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝐵𝑥 + 𝐶 + 𝐷
𝐴) − 𝜋/2
𝐶) − 𝜋/4
𝐵) − 𝜋/3
𝐷) − 𝜋/8
𝐸) − 𝜋/9
los puntos de intersección de la gráfica de f con los ejes coordenados son: 
𝑄(−
2
3
; 0) 𝑦 𝑃(0;
3𝜋
4
). Calcule: 𝑓(−2/3)
57
𝜋𝐴 = 2𝜋 ⟹ 𝑨 = 𝟐
RESOLUCIÓN
Sobre la gráfica identificamos las constantes A, y D
𝑨𝝅
𝑦 = 𝐷Desplazamiento vertical:
𝐷 =
5𝜋/4 + (−3𝜋/4)
2
⟹ 𝑫 =
𝝅
𝟒
Tenemos
:
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝑩𝒙 + 𝑪 +
𝝅
𝟒
𝑃 0; 3𝜋/4 𝜖𝑓:
3𝜋
4
= 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝐶 +
𝜋
4
⟹ 𝑪 = 𝟏
𝑄 − 2/3; 0 𝜖𝑓: 0 = 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝐵(−
𝟐
𝟑
) + 1 +
𝜋
4
⟹ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 −
2𝐵
3
+ 1 = −
𝜋
8
: 𝐵 = 3
Así la regla de correspondencia de f es: 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙 + 𝟏 +
𝝅
𝟒
∴ 𝑓 −
2
3
= 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 −1 +
𝜋
4
= −
𝜋
4
58
PROBLEMA 07:
La regla de correspondencia de la gráfica mostrada
es:
𝑓 𝑥 = 𝐴. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐 𝐵𝑥 + 𝐶 + 𝐷
𝐴) − 13𝜋/12
𝐶) − 7𝜋/12
𝐵) − 11𝜋/12
𝐷) − 8𝜋/7
𝐸) − 7𝜋/6
las coordenadas de los puntos P y Q son (−4;
𝜋
4
) 𝑦 (
16
3
; −
7𝜋
4
). Calcule: 𝑓(10)
59
𝜋𝐴 =
𝜋
4
− (−
7𝜋
4
) ⟹ 𝐴 = 2
RESOLUCIÓN
Analizaremos la función g, con regla de correspondencia: 
Desplazamiento vertical: 𝐷 = −
7𝜋
4
𝒈 𝒙 = 𝑨. 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝑩𝒙 + 𝑪 + 𝑫
𝑨𝝅
𝟐/𝑩
Desplazamiento horizontal:
−
𝐶
𝐵
=
16
3 + −4
2
=
2
3
−𝑪/𝑩
2
𝐵
=
16
3
− −4 ⟹ 𝐵 =
3
14
⟹ 𝐶 = −
1
7
Así la regla de correspondencia de f es: 𝑓 𝑥 = 2. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐
3𝑥
14
−
1
7
−
7𝜋
4
∴ 𝑓 10 = 2. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐
30
14
−
1
7
−
7𝜋
4
= −
13𝜋
12
𝑫
𝝅/𝟒
−𝟕𝝅/𝟒
−𝟒 𝟏𝟔/𝟑
60
PROBLEMA 08:
Analizamos por tramos
RESOLUCIÓN
En la figura se muestra el
gráfico de la función f definida
por:
𝑓 𝑥 =
6
𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛( 𝑥 −
1
2
−
1
2
)
𝐴) 3/5 𝐵) 5/7 𝐶) 7/9
𝐷) 9/11 𝐸) 11/13
calcule 𝑡𝑎𝑛 𝜃 .
⟹ 𝑦 =
6
𝜋
|𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 −(𝑥 −
1
2
) −
1
2
|𝑖) 𝑆𝑖: 𝑥 <
1
2 =
6
𝜋
|𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)|
𝑖𝑖) 𝑆𝑖: 𝑥 ≥
1
2
⟹ 𝑦 =
6
𝜋
|𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1 |
Graficamos:
𝑦 =
6
𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑦 =
6
𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 1)
1
0,5−1
3
𝛽
𝜔
Del gráfico:
tan 𝜃 = cot(𝜔 + 𝛽)=
1 −
2
3 ×
1
3
2
3
+
1
3
∴ tan 𝜃 =
7
9
61
PROBLEMA 09: RESOLUCIÓN
En la figura se muestran los gráficos de
las funciones f y g definidas por:
𝑓 𝑥 = 𝐴. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)
𝑔 𝑥 = 𝐵. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝐶
Si las abscisas de los puntos M, P y N
son 5, 7 y 8 respectivamente.
Determine la ordenada de baricentro del
triángulo MNP.
𝐴) 3 𝐸) 5𝐶) 4𝐵)3,5 𝐷)4,5
A partir de la gráfica de ambas funciones,
determinamos que:
𝑓 𝑥 = 𝐴. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)
𝑦𝑀 =
12
𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 5
∗ 𝜋𝐴 = 12 ⟹ 𝐴 =
12
𝜋
𝑔 𝑥 = 𝐵. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝐶
∗ 𝜋𝐵 = 6 ⟹ 𝐵 =
6
𝜋
∗ 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑉: 𝐶 = −3
Entonces las reglas de correspondencia de f y g
son:
𝑓 𝑥 =
12
𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) 𝑦 𝑔 𝑥 =
6
𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 − 3
Evaluamos:
𝑦𝑁 =
12
𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 8
𝑦𝑃 =
6
𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 7 − 3
62
Dado que G es el baricentro del triángulo MNP:
𝑦𝐺 =
1
3
(𝑦𝑀 + 𝑦𝑁 + 𝑦𝑃)
𝑦𝐺 =
1
3
(
12
𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 5 +
12
𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 8 +
6
𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 7 − 3)
𝑦𝐺 =
2
𝜋
2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 5 + 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 8 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 7 − 1
2(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
5 + 8
1 − 5 × 8
+ 𝜋)
𝑦𝐺 =
2
𝜋
−2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
1
3
)+𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 7 + 2𝜋 − 1
−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
3
4
)
=
2
𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 7 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
3
4
) + 2𝜋 − 1
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
7 −
3
4
1 + 7 ×
3
4
𝝅/𝟒
𝑦𝐺 =
2
𝜋
9𝜋
4
− 1 ∴ 𝑦𝐺= 3,5