Copia de 13,1 Semana VF Ec Trigonometricas L14junio 2021 - - Jared Sánchez

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1
TR
IG
O
N
O
M
ET
R
ÍA
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES
2021-2
PREUNIVERSITARIO
13,1
2
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Definición
Una ecuación trigonométrica es una igualdad donde la incógnita está
afectada de una expresión trigonométrica y se verifica para un
conjunto determinado de valores que pueda tomar dicha incógnita.
• sen x =
2
2
• tan 2𝑥 +
𝜋
6
+ cov(2x) = 3
• sen 5x + sen 3x + sen x = 0
Ejemplos:
3
Solución de una ecuación 
La solución de una ecuación trigonométrica es un valor numérico a ∈ ℝ
que satisface dicha ecuación.
Ejemplo:
La ecuación 2sen x + cos 3x = 1 , tiene como solución a x =
π
6
, pues al
reemplazar el valor de x en la ecuación 2sen
π
6
+ cos
π
2
= 1, esta se verifica.
Conjunto Solución 
Es aquel conjunto que reúne a todas las soluciones de una ecuación.
Ejemplo:
La ecuación 3sen x + cos x = 1 tiene por conjunto de 
solución a: C. S. = Τx ∈ ℝ x = 2kπ ∨ x = 2kπ +
2π
3
; k ∈ ℤ
4
Ecuación trigonométrica elemental
Es una ecuación trigonométrica donde solo se tiene una única expresión
trigonométrica y la otra expresión es una constante real. Es de la forma:
F. T. ax + b = N
Donde a y b son constantes (𝑎 ≠ 0), x es la incógnita y N es un número
real que pertenece al rango de la función trigonométrica.
Ejemplos:
• sen x =
3
2
• tan 2x = 3
• cos 3x −
π
4
= 0
• cot
x
2
−
π
3
= −1
5
Valor principal
El valor principal VP en una ecuación elemental se define como aquel valor
que se despeja desde el dominio de la función trigonométrica inversa, de la
función trigonométrica involucrada.
• sen x =
3
2
• tan 2x = 3
• cos 3x −
π
4
= 0
• cot
x
2
−
π
3
= −1
Ejemplos:
⇒ VP = arcsen
3
2
=
π
3
⇒ 2𝑥 = arctan 3 ⇒ VP =
π
3
⇒ 3𝑥 −
𝜋
4
= arccos 0 ⇒ VP =
𝜋
2
⇒
x
2
−
π
3
= arccot −1 ⇒ VP =
3𝜋
4
6
En general
Ecuación Conjunto solución
sen Bx + C = a ;−1 ≤ a ≤ 1 Τx ∈ ℝ x =
kπ
𝐵
+
−1 k
𝐵
arcsen a −
C
B
cos Bx + C = b ;−1 ≤ b ≤ 1 Τx ∈ ℝ x =
2kπ
𝐵
±
arccos b
𝐵
−
C
B
tan Bx + C = c ; c ∈ R Τx ∈ ℝ x =
kπ
𝐵
+
arctan c
B
−
C
B
para kϵℤ
De presentarse el caso de alguna ecuación trigonométrica
elemental con la cotangente, secante o cosecante, se adaptará a
una de las tres formas presentadas
Observación:
7
Cálculo del conjunto solución:
Para la forma: sen x = a; −1 ≤ a ≤ 1
Si sen θ = a ∧ −
π
2
≤ θ ≤
π
2
Representamos en la C.T. los arcos cuyo seno es igual a “a”
X
Y
aa
θ, 2π + θ, 4π + θ,……… .π − θ, 3π − θ, 5π − θ, ……… .
x = 2kπ + θx = 2k + 1 π − θ
C. S. = x ∕ x = kπ + −1 k. arcsen a , kϵℤ
𝛉
→ θ = arcsen a
8
Cálculo del conjunto solución:
Para la forma: cos x = b;−1 ≤ b ≤ 1
Tenemos que : cos x = cos θ → cos θ − cos x = 0
→ sen
θ − x
2
= 0 →
x − θ
2
= kπ → x = 2kπ + θ
C. S.= { Τx x = 2kπ ± arccos b , kϵℤ},
Si cos θ = b ∧ 0 ≤ θ ≤ π → θ = arccos a
De las expresiones anteriores se tiene que:
Transformando a producto:
−2sen
θ+x
2
sen
θ−x
2
= 0 → sen
θ+x
2
= 0 ∨ sen
θ−x
2
= 0
→ sen
θ + x
2
= 0 →
θ + x
2
= kπ → x = 2kπ − θ
9
Cálculo del conjunto solución:
Para la forma: tan 𝑥 = 𝑐; 𝑐 ∈ ℝ
𝑦 = 𝑐
𝐕𝐏 − 𝟐𝛑 𝐕𝐏 − 𝝅 𝐕𝐏 𝝅 + 𝐕𝐏 𝟐𝝅 + 𝐕𝐏
Donde Vp es un ángulo denominado el valor principal, que pertenece al
rango de la función trigonométrica inversa. (Vp = arctan(c)).
C. S. = Τx ∈ ℝ x = kπ + arctan c , kϵℤ
10
Ecuaciones trigonométricas elementales cuya solución es un arco cuadrantal
Si sen x = −1 → x = 4k − 1
π
2
Si sen x = 0 → x = kπ
Si sen x = 1 → x = 4k + 1
π
2
Si cos x = −1 → x = 2k + 1 π
Si cos x = 0 → x = 2k + 1
π
2
Si cos x = 1 → x = 2kπ
∀𝑘 ∈ ℤ:
11
APLICACIÓN 01 RESOLUCIÓN:
Determine el conjunto solución de 
la siguiente ecuación: 
(∀ k ∈ ℤ)
sen 5x −
π
3
= −
3
2
A) 
𝑘𝜋
5
+ −1 𝑘 −
𝜋
15
−
𝜋
15
B) 
𝑘𝜋
5
+ −1 𝑘
𝜋
15
−
𝜋
15
C) 
𝑘𝜋
5
+ −1 𝑘 −
𝜋
15
+
𝜋
15
D) 
𝑘𝜋
5
+ −1 𝑘
𝜋
15
+
𝜋
15
E) 
𝑘𝜋
5
+ −1 𝑘 −
𝜋
15
−
𝜋
5
Por la función arcsen(x) tenemos que:
Si sen θ = −
3
2
con −
π
2
≤ θ ≤
π
2
Tenemos que θ = arcsen −
3
2 ⇒ 𝜃 = −
𝜋
3
Luego la solución general la hallamos de, 
5x −
π
3
= kπ + −1 k −
π
3
Entonces el conjunto solución es: 
C. S.=
kπ
5
+ −1 k −
π
15
+
π
15
CLAVE: C
12
Ecuación trigonométrica no elemental
Son aquellas ecuaciones cuya resolución requiere de la aplicación de
ciertos conceptos algebraicos y/o trigonométricos tales como
factorización, diferencia de cuadrados, resolución de una ecuación de
segundo grado, identidades trigonométricas e identidades auxiliares,
análisis de las funciones trigonométricas involucradas y sus respectivas
funciones inversas, entre otros.
• 4sen4
𝜋−𝑥
4
= 1 +
1
2
cos 𝑥
Ejemplos:
• sen 𝑥 cos 𝑥 + sen
𝜋
3
sen2 𝑥 = cos
𝜋
6
cos2 𝑥
• cos
𝜋
2
𝑥 + sen 𝜋𝑥 = cos 𝜋𝑥
13
Observación:
En la práctica, encontramos problemas de ecuaciones trigonométricas
donde nos preguntan, ¿Cuántas soluciones existen, en cierto intervalo?.
Este tipo de problemas se puede resolver mediante los argumentos vistos
anteriormente.
Pero también los resolverlos gráficamente, que, dependiendo del
planteamiento, podemos verlo como la intersección entre las gráficas de
dos funciones, la intersección de la función en el eje X o la intersección
con una recta del tipo y = a, a ∈ ℝ.
14
0 2π−1/3
1/5
APLICACIÓN 02 RESOLUCIÓN:
Calcule el número de soluciones 
de la ecuación:
15sen2 x + 2sen 𝑥 − 1 = 0
para x ∈ 0; 2π .
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Factorizando en la ecuación, 
15sen2 x + 2sen 𝑥 − 1 = 5sen x − 1 3sen 𝑥 + 1
⇒ 5sen x − 1 3sen 𝑥 + 1 = 0
Entonces, tenemos que
⇒ sen x =
1
5
∧ sen x = −
1
3
Graficando en la función seno entre 0; 2π ,
x1 x2
x3 x4
Vemos que entre 0; 2π existen 4 soluciones
CLAVE: DCLAVE: D
15
APLICACIÓN 03 RESOLUCIÓN:
Determine el conjunto 
solución de la siguiente 
ecuación: 
(∀ k ∈ ℤ)
csc2
2x
3
= −2cot
2x
3
A) 4𝑘 + 3
3𝜋
8
B) 4𝑘 − 3
3𝜋
8
C) 4𝑘 + 3
3𝜋
4
D) 4𝑘 − 3
3𝜋
4
E) 2𝑘 + 3
3𝜋
8
Primero veamos el conjunto de valores 
admisibles que tiene la ecuación:
Por csc ⋅ y cot ⋅ tenemos que:
2x
3
≠ kπ, k ∈ ℤ
⇒ 𝑥 ∈ ℝ \ {
3π
2
k} , k ∈ ℤ
Con esto, podemos resolver la ecuación:
cot2
2x
3
+ 1 = −2 cot
2x
3
⇒ cot
2x
3
+ 1
2
= 0
Entonces, cot
2𝑥
3
= −1.
Recuerde que arccot −1 =
3π
4
, así tenemos que:
2x
3
= kπ +
3π
4
⇒
2x
3
= 4k + 3
π
4
⇒ x = 4k + 3
3π
8
C.S.= 4k + 3
3π
8
; k ∈ ℤ
CLAVE: A
16
APLICACIÓN 04 
RESOLUCIÓN:
Determine el conjunto solución de la siguiente ecuación: (∀ n ∈ ℤ) 
tan2 x + cot2 x − 10 csc 2x + 6 = 0
A) nπ + −1 n
π
6
B) n
π
2
+ −1 n
π
12
C) nπ ±
π
6
D) nπ ±
π
12
E) nπ ±
π
3
Por tan ⋅ y cot ⋅ , x ∈ ℝ \
kπ
2
, k ∈ ℤ. 
Reescribiendo la ecuación:
tan2 x + cot2 x + 2 − 5 2 csc 2x + 4 = tan x + cot x 2 − 5 tan x + cot x + 4
tan x + cot x − 4 tan x + cot x − 1 = 0
( ≤ −2 ∨ 2 ≤ )
tan x + cot x − 1 = 0
tan x + cot x − 4 = 0
Factorizando:
Entonces solamente consideramos que tan x + cot x − 4 = 0
Resolviendo,
x = n
π
2
+ −1 n
π
12 CLAVE: B
⇒ 2csc 2x − 4 = 0
csc 2x = 2
2𝑥 = 𝑘𝜋 + −1 𝑘 arccsc 2
17
Algunas ecuaciones especiales, se resuelven como:
Si sen 𝑥 = sen y
Si cos x = cos y
Si tan x = tan y
Si sen x = cos y
∀k ∈ ℤ
→ x + y = 2k + 1 π ∨ x − y = 2kπ
→ x ± y = 2kπ
→ x − y = kπ
→ x ± y = 4k + 1
π
2
18
APLICACIÓN 05 
Halle la cantidad de soluciones
de la siguiente ecuación:
2 tan 𝑥 + cot 𝑥 = 2 sec 𝑥
Para 𝑥 ∈ 0; π
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
RESOLUCIÓN:
Observe que por tan ⋅ y cot ⋅ , x ≠ k
π
2
, k ∈ ℤ
Simplificando la expresión de la ecuación:
2 tan x + cot x = 2 sec x × sen(x)cos x
2sen2 x + cos2 x = 2sen x
sen2 x − 2sen x + 1 = 0 ⇒ sen 𝑥 − 1 2 = 0
⇒ sen x − 1 2 = 0 ⇒ sen x = 1
⇒ x = 4k + 1
π
2
Pero como x ≠ k
π
2
, en realidad la ecuación
no tiene solución.
CLAVE: A
19
PROBLEMAS RESUELTOS
20
PROBLEMA 01
RESOLUCIÓN:
Calcule la mayor solución
negativa que cumple en la
ecuación:
8 cos2 x + 2 sen x − 5 = 0
A) −
𝜋
4
B) −
𝜋
3
C) −
𝜋
6
D) −
𝜋
8
E) −
𝜋
12
Factorizamos la expresión en la ecuación:
8 1 − sen2 𝑥 + 2sen𝑥 − 5 = 0
8sen2 x − 2sen x − 3 = 0
⇒ 4sen 𝑥 − 3 2sen 𝑥 + 1 = 0
Entonces tenemos:
sen x =
3
4
∧ sen x = −
1
2
Graficando la función seno:
Mayor solución negativa
Entonces, 
𝑥 = −
𝜋
6
y = −1/2
y = 3/4
CLAVE: C
21
PROBLEMA 02 
RESOLUCIÓN:
Determine el conjunto solución de la siguiente ecuación: (∀ 𝑘 ∈ ℤ ) 
sen2 𝑥 +
5𝜋
6
+ sen2 𝑥 −
5𝜋
6
= cos2 𝑥
A) 2kπ ± π/3 B) 2kπ ± π/6 C) kπ ± π/3
D) kπ ± π/6 E) kπ ± π/4
2sen2 𝑥 +
5𝜋
6
+ 2sen2 𝑥 −
5𝜋
6
= 2 cos2 𝑥
1 − cos 2𝑥 +
5𝜋
3
+ 1 − cos 2𝑥 −
5𝜋
3
= cos 2𝑥 + 1
⇒ 1 = 2 cos 2𝑥
Simplificamos la expresión de la
ecuación:
Resolviendo, con la C.T.:
⇒ cos 2x =
1
2
π/3
−π/3
Entonces el conjunto solución es:
C. S.= kπ ± π/6 CLAVE: D
⇒ 2x = 2kπ ±
π
3
Se observa que:
⇒ 1 − 2 cos 2x cos
5π
3
= cos 2x
22
PROBLEMA 03 RESOLUCIÓN:
Determine el conjunto 
solución de la siguiente 
ecuación: 
(∀ 𝑘 ∈ ℤ)
4sen4
𝜋 − 𝑥
4
= 1 +
1
2
cos 𝑥
A) 2𝑘𝜋 + −1 𝑘arcsen
2−1
2
B) 𝑘𝜋 + −1 𝑘arcsen
2−1
2
C) 2𝑘𝜋 − −1 𝑘arcsen
2−1
2
D) 2𝑘𝜋 + 2 −1 𝑘arcsen
2−1
2
E) 2𝑘𝜋 − 2 −1 𝑘arcsen
2−1
2
Reduciendo la expresión en la ecuación:
3
2
− 2cos 2
π−x
4
+
1
2
cos 4
π−x
4
= 1 +
1
2
cos x
3
2
− 2sen
x
2
−
1
2
cos x = 1 +
1
2
cos x
4sen2
x
2
− 4sen
x
2
− 1 = 0 ⇒ sen
x
2
=
1± 2
2
⇒ sen
x
2
=
1− 2
2
Solo es posible un valor:
⇒
𝑥
2
= k𝜋 + −1 𝑘arcsen
1 − 2
2
Finalmente,
⇒ C. S. = 2kπ − 2 −1 karcsen
2 − 1
2
CLAVE: E
23
PROBLEMA 04 RESOLUCIÓN:
De la ecuación:
sen x cos x 1 − 4sen2 x ൫
൯
1
− 4cos2 x = 0
Se puede afirmar:
I. x = k
π
2
, k ∈ ℤ es una solución 
particular.
II. x = k
π
3
, k ∈ ℤ es una solución 
particular.
III. x = k
π
6
, k ∈ ℤ es una solución 
general. 
A) Solo I B) Solo III C) Solo I y III
D) Solo I y III E) Todas
De la ecuación tenemos que:
sen 2x = 0
sen x = ±
1
2
cos x = ±
1
2
⇒ x = k
𝜋
2
⇒ x = k𝜋 + −1 𝑘
𝜋
6
∨ x = k𝜋 − −1 𝑘
𝜋
6
⇒ x = 2k𝜋 ±
𝜋
3
∨ x = 2k𝜋 ±
2𝜋
3
𝜋/65𝜋/6
2𝜋/3
4𝜋/3
𝜋/2
𝜋
3𝜋/2
0
7𝜋/6 11𝜋/6
𝜋/3
5𝜋/3
Se observa que la
solución general es:
𝑥 = 𝑘
𝜋
6
Soluciones
particulares:
𝑥 = 𝑘
𝜋
2
𝑥 = 𝑘
𝜋
3
Se concluye que todas las proposiciones
son verdaderas.
CLAVE: E
24
PROBLEMA 05 RESOLUCIÓN:
Con respecto a la solución general
de una ecuación trigonométrica,
indicar verdadero (V) o falso (F) en
cada proposición: (∀ 𝑘 ∈ ℤ)
I. Si sen 𝑥 = 1 entonces 𝑥 = 𝑘𝜋 +
𝜋
2
II. Si tan 𝑥 = tan 2 , entonces
𝑥 = 𝑘𝜋 + 2
III. Si sen 𝑥 + cos 𝑥 = 2, entonces
𝑥 = 2𝜋𝑘 +
𝜋
4
A) VVV B) VVF C) VFV
D) FVV E) VFF
I. Si sen x = 1 ⇒ sen x = ±1
x = 2k + 1
π
2
⇒ C. S. = kπ +
π
2
II. Si tan x = tan 2
V
⇒ tan 2 = tan 2 − 𝜋
x = kπ + arctan tan 2 = kπ + 2 − π
x = k − 1 π + 2 ⇒ C. S.= kπ + 2 V
III. Si sen x + cos x = 2 ⇒ sen 𝑥 +
𝜋
4
= 1
⇒ x +
π
4
= 4k + 1
π
2
⇒ C. S.= 2kπ +
π
4
V
CLAVE: A
25
PROBLEMA 06 RESOLUCIÓN:
Indique el número de
soluciones que existen al
resolver la siguiente ecuación:
cos
𝜋
2
𝑥 + sen 𝜋𝑥 = cos 𝜋𝑥
para 𝑥 ∈ −1; 1 .
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Reduciendo la expresión de la ecuación:
cos πx − sen πx = cos
π
2
x
2 cos πx +
π
4
= cos
π
2
x
Por la función máximo entero ⋅ , analizamos por casos
y resolvemos:
• Para x ∈ [−1; ۧ0 : 𝑥 = −1 ⇒ 2 cos πx +
π
4
= 0
Entonces, πx +
π
4
= 2n + 1
π
2
⇒ x = n +
1
4
O sea, −1 ≤ n +
1
4
< 0 ⇒ n = −1
• Para x ∈ [0; ۧ1 : 𝑥 = 0 ⇒ 2 cos πx +
π
4
= 1
Entonces, πx +
π
4
= 2nπ ±
π
4
⇒ x = 2n ∨ x = 2n −
1
2
O sea, x = 0
• Para x = 1 ⇒ 2 cos π +
π
4
= 0
𝑥 = −
3
4
La igualdad anterior es claramente absurda 𝑥 ≠ 1
Por lo tanto, solo hay dos soluciones. CLAVE: B
26
PROBLEMA 07 
Determine el conjunto solución de la siguiente ecuación:
3sen 5x − 3 − cos2 𝑥 = 1 − sen 𝑥
para 𝑥 ∈ 0; 3π .
RESOLUCIÓN:
A) 
π
4
;
π
2
;
5π
2
;
5π
4
B)
π
4
;
3π
4
C)
π
4
;
5π
4
D)
π
2
;
3π
2
E)
π
2
;
5π
2
Por ⋅ tenemos que: 3sen 5x − 3 − cos2 𝑥 ≥ 0 → 3sen 5x − 3 ≥ cos2 𝑥 ≥ 0
→ 3sen 5x − 3 ≥ 0 → sen 5x ≥ 1
Entonces: sen 5x = 1 → x = 4k + 1
π
10
k ∈ ℤ
Observe que esto aún no resuelve
la ecuación, pues posiblemente,
el conjunto solución esté
contenido o sea el conjunto que
acabamos de encontrar.Con esto, en la ecuación tenemos:
−cos2 x = 1 − sen x
Entonces, cos2 𝑥 = 0 ∧ sen 𝑥 = 1 → x = 4k + 1
π
2
⋯ 1
⋯ 2
Por 1 y 2 :
x =
𝜋
10
;
𝜋
2
;
9𝜋
10
;
13𝜋
10
;
17𝜋
10
;
21𝜋
10
;
5𝜋
2
;
29𝜋
10
⇒ C. S.=
π
2
;
5π
2 CLAVE: E
27
PROBLEMA 08 
Si 𝑥 ∈
𝜋
2
; 3𝜋 , en cuantos
puntos la gráfica de la función:
𝑓 𝑥 = 1 + sen 𝑥 − cot 𝑥 se
interseca con el eje 𝑋.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
RESOLUCIÓN:
Para este problema, solo tenemos que resolver la 
siguiente ecuación:
1 + sen 𝑥 − cot 𝑥 = 0 ⇒ 1+ sen 𝑥 = cot 𝑥
𝛽
Graficando las func. trigonométricas involucradas y 
buscamos los puntos de intersección:
0 π/2 3π
Existen 5 puntos de intersección, entre las gráficas de 
las funciones.. 
Por ende tenemos 5 solución en la ecuación 𝛽 . 
Finalmente, hay 5 puntos de intersección con el eje X.
CLAVE: C
28
PROBLEMA 09 
Halle todos los valores de K
para que la ecuación
sen x sen x + cos x − K = 0
tenga solución.
RESOLUCIÓN:
A) 
2−1
2
;
2+1
2
B) 
2−1
4
;
2+1
4
C) 2 − 1; 2 + 1
D) 
1− 2
2
;
1+ 2
2
E) 1 − 2; 1 + 2
Despejando,
sen2 x + sen x cos x = K
1 − cos 2x + sen 2x = 2K
sen 2x − cos 2x = 2K − 1
− 2 ≤ ≤ 2
Entonces,
− 2 ≤ 2K − 1 ≤ 2
1 − 2
2
≤ K ≤
1 + 2
2
CLAVE: D
29
PROBLEMA 10 
RESOLUCIÓN:
Si 𝑥 ∈ 0; 2𝜋 calcule la suma de la menor y mayor solución al resolver:
sen 𝑥 cos 𝑥 + sen
𝜋
3
sen2 𝑥 = cos
𝜋
6
cos2 𝑥
A) 
5𝜋
6
B) 
7𝜋
6
C) 
11𝜋
6
D) 
13𝜋
6
E) 2𝜋
Simplificando la expresión de la ecuación:
sen 𝑥 cos 𝑥 +
3
2
sen2 𝑥 =
3
2
cos2 𝑥 ⇒ sen 2𝑥 = 3 cos 2x
⇒ cos 2x +
π
6
= 0
De esto, la ecuación se simplifica a la siguiente expresión:
Resolviendo,
2x +
π
6
= 2k + 1
π
2
k ∈ ℤ
𝑥 = k
π
2
+
π
6
k ∈ ℤ
𝑥menor =
π
6
𝑥mayor = 3
π
2
+
π
6
𝑥menor + 𝑥mayor = 11
𝜋
6
CLAVE: C
30
PROBLEMA 11 
Calcule la suma de soluciones de la ecuación:
sec2
x
2
+ csc2
x
2
= 16cot x
para x ∈ 0; π .
RESOLUCIÓN:
A) 
π
6
B) 
π
4
C) 
π
2
D) 
2π
3
E) 2π
Por la expresión de la
ecuación:
𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Simplificando, 𝐬𝐞𝐜𝟐
𝐱
𝟐
𝐜𝐬𝐜𝟐
𝐱
𝟐
= 16 cot x ⇒ 𝟒𝐜𝐬𝐜𝟐 𝒙 = 16 cot x
csc2 𝑥 = 4 cot x
El problema se reduce a resolver:
1 = 4 cot x sen2 x
sen 2x =
1
2
Resolviendo,
2x = kπ + −1 karcsen
1
2
⇒ x = k
π
2
+ −1 k
π
12
Soluciones en 0; 𝜋 :
π
12
,
5π
12
La suma pedida es
π
2
CLAVE: C
31
PROBLEMA 12 
RESOLUCIÓN:
Resuelva la ecuación:
sen 5x cos 3x
= sen 6x cos 2x +
1
2
sen 4x
Indique un conjunto solución. 
A ) 𝑘𝜋 ±
𝜋
3
/𝑘 ∈ ℤ
B ) 𝑘𝜋 ±
𝜋
6
/𝑘 ∈ ℤ
C ) 𝑘𝜋 ±
𝜋
4
/𝑘 ∈ ℤ
D ) 𝑘𝜋 ±
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
1
3
/𝑘 ∈ ℤ
E ) 𝑘𝜋 ±
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
1
4
/𝑘 ∈ ℤ
2x = kπ ∨ 2x = 2kπ ± arccos
1
4
C. S.1= kπ ±
1
2
arccos
1
4
/k ∈ ℤ
Un conjunto solución es
( k ∈ ℤ )
2sen 5x cos 3x = 2sen 6x cos 2x + sen(4x)
sen 8x + sen 2x = sen 8x + sen 4x + sen(4x)
sen 2x = 2sen(4x)
sen 2x − 4sen 2x cos 2x = 0
sen 2x 1 − 4cos(2x) = 0
sen 2x = 0 ∨ cos(2x) =
1
4
x =
kπ
2
∨ x = kπ ±
1
2
arccos
1
4
Simplificando la expresión de la ecuación:
Se tiene:
Resolviendo:
CLAVE: E
32
PROBLEMA 13 
RESOLUCIÓN:
De la ecuación: sec 3x + sec x = −2 → x ≠
2k+1 π
2
, k ∈ ℤ ⇒ x ≠
2k+1 π
6
, k ∈ ℤ
1
cos(3x)
+
1
cos(x)
= −2 →
cos 3x + cos(x)
cos 3x cos(x)
= −2 ⇒
2cos 2x cos(x)
cos 3x cos(x)
= −2
Despejando, cos 2x = −cos(3x) → cos 2x + cos 3x = 0 → 2cos
5x
2
cos
x
2
= 0
* cos
5x
2
= 0 →
5x
2
= 2k + 1
π
2
, k ∈ ℤ → x = 2k + 1
π
5
* cos
x
2
= 0 →
x
2
= 2k + 1
π
2
, k ∈ ℤ → x = 2k + 1 π
x = 2k + 1
π
5
; k ∈ ℤ
Como x ∈ 0; 2π :
Las soluciones son:
π
5
;
3π
5
; π;
7π
5
;
9𝜋
5
→ Hay 5 soluciones
Resolver: sec 3x + sec x = −2; e indique el número de soluciones en 0; 2π . 
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Resolviendo,
CLAVE: C
33
PROBLEMA 14 
RESOLUCIÓN:
De la ecuación: 16sen5 x + 4 sen 5x = 0
𝟏𝟔𝐬𝐞𝐧𝟓𝐱 = 𝟏𝟎 𝐬𝐞𝐧 𝐱 − 𝟓 𝐬𝐞𝐧 𝟑𝐱 + 𝐬𝐞𝐧(𝟓𝐱)
10 sen x − 5 sen 3x + sen 5x + 4 sen 5x = 0
2 sen x 1 + cos 4x = 0
→ 2 sen x − sen 3x + sen 5x = 0
2sen x cos(4x)
Factorizando: 
* sen x = 0 → x = kπ; k ∈ ℤ
* cos 4x = −1 → 4x = 2k + 1 π; k ∈ ℤ
→ x = 2k + 1
π
4
; k ∈ ℤ
Como x ∈ 0; 2π :
Las soluciones son: 
π
4
;
3π
4
; π ;
5π
2
;
7π
2
→ Hay 5 soluciones
Resolver: 4sen5 x + sen 5x = 0; indicando el número de soluciones en 0; 2π . 
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
CLAVE: D
34
PROBLEMA 15 
Determine un conjunto solución
de la siguiente ecuación: (𝑘 ∈ ℤ)
4 cos 𝑥 − 3 sec 𝑥 = 2 tan 𝑥
A) kπ + −1 k
π
10
B) kπ + −1 k
3π
10
C) 2kπ + −1 k
3π
10
D) kπ − −1 k
π
10
E) kπ − −1 k
π
5
RESOLUCIÓN:
Notemos que por sec ⋅ y tan ⋅ , x ≠ 2k + 1
π
2
Multiplicamos por cos 𝑥 :
4 cos2 x − 3 = 2 sen x
⇒ 4 sen2 x + 2 sen x − 1 = 0
Resolviendo la ec. cuadrática:
sen 𝑥 =
−1 ± 5
4
arcsen
5−1
4
=
𝜋
10
⇒ x = kπ + −1 k
π
10
1 sen 𝑥 =
5−1
4
2 sen 𝑥 =
−1− 5
4
arcsen
−1− 5
4
= −
3𝜋
10
⇒ x = kπ − −1 k
3π
10
Soluciones:
⇓ ⇓
⇓ ⇓
C. S. = 𝐤𝛑 + −𝟏 𝐤
𝛑
𝟏𝟎
∪ kπ − −1 k
3π
10 CLAVE: C