Copia de Semana 17b Tronco de Cilíndro Teoría 2021 - Jared Sánchez

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PRE
UNIVERSITARIO
17b
TEORÍA
TRONCO DE CILINDRO
TRONCO DE CILINDRO
Es la unión de una parte de un
cilindro comprendida entre una
base y un plano no paralelo a dicha
base, secante a todas las
generatrices del cilindro y la
sección determinada en el cilindro.
 
A B 
A 
B 
P 
Q 
DEFINICIÓN TRONCO DE CILINDRO CIRCULAR 
RECTO 
Es el tronco de un cilindro circular
recto.
 
O 
A 
B 
A B 
r 
O 
M
g
m
g 
 M m
g + g
OO =
2
OO′ es el eje del tronco
El área de la superficie lateral de
un tronco de cilindro circular
recto, es igual al producto de las
longitudes de la circunferencia
de la base y el eje del tronco.
 
O 
A 
B 
A B 
r 
O 
 
( )( )LS = 2 r OO
TEOREMA
El área de la superficie lateral de un
tronco de cilindro oblicuo de sección
recta circular, es igual al producto de
las longitudes de la circunferencia de
la sección recta y el eje.
 
( )( )LS = 2 r OO
 A 
B 
A B 
r 
O 
O 
TEOREMA
EJERCICIO 01
Un octaedro regular está inscrito en un cilindro circular recto. Si la
longitud de la arista del octaedro es 2 u, entonces el área total (en u2) del
cilindro es
A) 8𝜋 B) 10𝜋 C) 12𝜋
D) 14𝜋 E) 16𝜋
RESOLUCIÓN 01
Un octaedro regular está inscrito en un cilindro circular recto. Si la 
longitud de la arista del octaedro es 2 u, entonces el área total (en 
u2) del cilindro es
Clave: C 
R
2
2
2
H = 2 2
2
2
2 S = 2𝜋R(R + H)
S = 2𝜋( 2)( 2 +2 2)
S = 12𝜋2
Calcule S = 2𝜋R(R+H)
2R = 2 2
H
El área de la superficie total de
un tronco de cilindro circular
recto, es igual a la suma del
área lateral y las áreas de las
bases.
 
O 
A 
B 
A B 
r 
O 
S 
L
S
 2
T L
S = S + S + r
TEOREMA
El área de la superficie total de un
tronco de cilindro oblicuo de sección
recta circular, es igual a la suma del
área lateral y las áreas de las bases.
 A 
B 
A B 
r 
S
S 
O 
O 
L
S
 

T L
S = S + S + S
TEOREMA
El volumen del sólido
determinado por un tronco de
cilindro circular recto, es igual al
producto del área de la base y la
longitud del eje.
 
O 
A 
B 
A B 
r 
O 
El volumen del sólido determinado
por un tronco de cilindro oblicuo, es
igual al producto del área de la
sección recta y la longitud del eje.
 A 
B 
A B 
r 
O 
O 
 
( ) ( )2V = r OO
TEOREMA TEOREMA
 
( ) ( )2V = r OO
EJERCICIO 02
En un tronco de cilindro circular recto, los planos que contienen a las
bases determinan un diedro que mide 30. Si las longitudes del radio de la
base es 3 u y de la generatriz menor es 4 3 u, entonces el volumen (en u3)
del sólido limitado por el tronco es
A) 32 3𝜋 B) 36 3𝜋 C) 40 3𝜋
D) 42 3𝜋 E) 45 3𝜋
RESOLUCIÓN 02
En un tronco de cilindro circular recto, los planos que contienen a
las bases determinan un diedro que mide 30. Si las longitudes del
radio de la base es 3 u y de la generatriz menor es 4 3 u,
entonces el volumen (en u3) del sólido limitado por el tronco es
Clave: E 
30
4 3
5 3
6 3
r = 3 r = 3
12
Teorema: V = 𝜋r2(EF)
V = 𝜋 3 2(5 3)
V = 45 3 𝜋
Calcule V = 𝜋r2(h)
A BF
D
E
C
G
⊿GAD (Notable 30, 60) ⟶ AG = 12
⊿GFE (Notable 30, 60) ⟶ EF = 5 3
EJERCICIO 03
En un tronco de cilindro circular recto, AB y CD son generatrices
diametralmente opuestas, tal que AC es diámetro de la base circular. Si
BD = CD = 5 cm y la medida del ángulo ABD es 53, entonces el volumen
aproximado (en cm3) del sólido limitado por el tronco de cilindro es
A) 20π B) 22π C) 24π
D) 26 π E) 28π
RESOLUCIÓN 03
En un tronco de cilindro circular recto, AB y CD son generatrices
diametralmente opuestas, tal que AC es diámetro de la base
circular. Si BD = CD = 5 cm y la medida del ángulo ABD es 53,
entonces el volumen aproximado (en cm3) del sólido limitado por
el tronco de cilindro es
Clave: D 
5
A
B
C
D
En la sección longitudinal, se observa:
4
E
53°
3
5
5
D
CA
B
5
e
e = 
8 + 5
2
=
13
2
r = 2
V = πr2 e
Teorema:
V = π 2 2 (
13
2
)
V = 26π
EJERCICIO 04
Un cilindro de revolución está inscrito en un hexaedro regular ABCD-EFGH,
M y N son los puntos medios de HD y CG respectivamente. Si AB = 4 u,
entonces el volumen (en u3) del tronco de cilindro comprendido entre las
regiones ABNM y EFGH es
A) 4𝜋 B) 6𝜋 C) 8𝜋
D) 12𝜋 E) 16𝜋
RESOLUCIÓN 04 Un cilindro de revolución está inscrito en un hexaedro regular
ABCD-EFGH, M y N son los puntos medios de HD y CG
respectivamente. Si AB = 4 u, entonces el volumen (en u3) del
tronco de cilindro comprendido entre las regiones ABNM y EFGH es
Clave: D 
V = 12π
En la sección longitudinal
V = πr2e
Teorema:
A
B
D
C
E
F
H
G
N
M
4
r = 2
2
r = 2
e = 3
V = π 2 2 (3)
EJERCICIO 05
En un tronco de cilindro oblicuo, los ejes de las elipses son
perpendiculares, las longitudes de las generatrices son a y b (a < b) y el
ángulo que determinan el eje del tronco con el eje de la elipse mide 75.
Calcule el volumen del sólido limitado por el tronco de cilindro
A)
𝜋
64
b − a 2(a− b) B)
𝜋
128
b − a 2(a+ b) C)
𝜋
8
b − a 2(a+ b)
D)
𝜋
16
b − a 2(a+ b) E)
𝜋
4
b − a 2(a+ b)
RESOLUCIÓN 05
Clave: B 
En los triángulos rectángulos AOB y COD:
OH =
a
4
𝑦 OM =
b
4
2r =
a
4
−
b
4
→ r =
a − b
8
Teorema: V = 𝜋r2. EJE =
𝜋
64
b − a 2
a+b
2
O
B
D
C
A
ar
r
H
15
75
b
M
V =
𝜋
128
b − a 2(a+ b)
En un tronco de cilindro oblicuo, los ejes de las elipses son
perpendiculares, las longitudes de las generatrices son a y b (a < b) y
el ángulo que determinan el eje del tronco con el eje de la elipse mide
75. Calcule el volumen del sólido limitado por el tronco de cilindro
EJERCICIO 06
En un cilindro circular recto, se trazan dos planos secantes que
contienen a los extremos de una generatriz y la intersección de dichos
planos con la generatriz diametralmente opuesta es un único punto. Si
el área lateral del cilindro es S, entonces el área de la superficie
comprendida entre los planos es
A)
S
4
B)
S
3
C)
S
2
D)
3S
4
E)
2S
3
RESOLUCIÓN 06
En un cilindro circular recto, se trazan dos planos secantes que
contienen a los extremos de una generatriz y la intersección de
dichos planos con la generatriz diametralmente opuesta es un único
punto. Si el área lateral del cilindro es S, entonces el área de la
superficie comprendida entre los planos es
Clave: C 
.
.
R
R
g
.R
• Dato:ASL= S = 2πRg
• Calcule: ASL del tronco de cilindro de sección 
recta circular . 
• ASL de T.C. = (2pS.R)(
G + g
2
)
ASL de T.C. = (2πR)(
0 +g
2
)
ASL de T.C. = (πR)g
ASL de T.C.= 
S
2
EJERCICIO 07
En un tronco de cilindro circular recto, se trazan dos planos secantes
que solo contienen a los extremos de las generatrices mayor y menor
determinándose dos troncos de cilindros circular recto. Si los
volúmenes de los sólidos determinados por estos dos troncos de
cilindro son V1 y V2, respectivamente, entonces el volumen del sólido
determinado por el tronco de cilindro dado es
A)
V1 + V2
2
B) V1 + V2 C) (V1)(V2)
D) (V1)
2 + (V2)
2 E)
(V1)(V2)
V1 + V2
RESOLUCIÓN 07
En un tronco de cilindro circular recto, se trazan dos planos secantes que
solo contienen a los extremos de las generatrices mayor y menor
determinándose dos troncos de cilindros circular recto. Si los volúmenes
de los sólidos determinados por estos dos troncos de cilindro son V1 y V2,
respectivamente, entonces el volumen del sólido determinado por el
tronco de cilindro dado es
Clave: B 
a
b
B
Teorema: Vx = B(
a + b
2
)
V1
V2
• Datos: V1 = B(
a
2
) . . . (1)
V2 = B(
b
2
) . . . (2)
Vx
• (1) + (2):
V1+ V2 = B(
a
2
) + B(
b
2
) = B(
a + b
2
)
Vx = V1+ V2
EJERCICIO 08
Tres troncos de cilindro oblicuo tienen por secciones rectas a círculos
congruentes y comparten una misma base, dos a dos, tal que los
centros de dichas bases son los vértices de un triángulo rectángulo. Si
los volúmenes de los sólidos determinados por los dos menores
troncos son V1 y V2, respectivamente, entonces el volumen del sólido
determinado por el tercer tronco de cilindro, es
A)
V1 + V2
4
B) V1 + V2 C) 2 (V1)(V2)
D)(V1)
2 + (V2)
2 E)
2(V1)(V2)
V1 + V2
RESOLUCIÓN 08
Tres troncos de cilindro oblicuo tienen por secciones rectas a
círculos congruentes y comparten una misma base, dos a dos, tal
que los centros de dichas bases son los vértices de un triángulo
rectángulo. Si los volúmenes de los sólidos determinados por los dos
menores troncos son V1 y V2, respectivamente, entonces el volumen
del sólido determinado por el tercer tronco de cilindro, es
Clave: D 
S
S
S
C
B
A b
a
c
V1
V2
Vx
Teorema: Volumen del tronco de cilindro oblicuo
S =
V1
c
=
V2
a
=
Vx
b
V1
2
c 2
=
V22
a2
=
V2x
b2
V1
2+V22
c 2 + a2
=
V2x
b2
Vx = (V1)
2 + (V2)
2
Teorema de Pitágoras
POSTULADO DE CAVALIERI
Si dos sólidos tienen sus bases comprendidas entre dos planos paralelos y
las secciones determinadas en los sólidos, por cualquier plano paralelo a
los planos de las bases, tienen áreas iguales, entonces los dos sólidos
tienen el mismo volumen.
Si, para todo plano
paralelo a los planos
de las bases S1 = S2,
entonces
 A C 
A C 
2
S
B 
B 
1
S
D E 
D E 
P 
1V 2V
1
h
2
h
V
1
V
2
V1 = V2
En la figura se muestra un servilletero que resulta de perforar un agujero
cilíndrico a través del centro de una esfera. Utilice el Postulado de
Cavalieri para demostrar que el volumen del sólido es igual a
πh3
6
. ¿Qué
sucede si comparamos este servilletero con otro similar, de altura
congruente y diámetro diferente? ¿Son equivalentes?
EJERCICIO 09
h
DEMOSTRACIÓN 09
En la figura se muestra un servilletero que resulta de perforar un
agujero cilíndrico a través del centro de una esfera. Utilice el Postulado
de Cavalieri para demostrar que el volumen del sólido es igual a
πh3
6
.
¿Qué sucede si comparamos este servilletero con otro similar, de
altura congruente y diámetro diferente? ¿Son equivalentes?
y
h
2
h
2
yR
R
h
2
h
2 y
Trabajaremos con la mitad del servilletero.
Las bases de los solidos tienen la misma área el cual es 
h2
4
y la misma altura la cual es 
h
2
. 
Las secciones paralelas a las bases determinadas en ambos solidos son equivalentes a π(
h2
4
-y2) 
Postulado de Cavalieri (V𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑙𝑙𝑒𝑡𝑒𝑟𝑜)/2= V𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 V𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑙𝑙𝑒𝑡𝑒𝑟𝑜 = 2(
2π
3
(
h
2
)3) = 
πh3
6