Copia de Pre 216-230 Tronco de Cilindro Semana 17b Resoluciòn - BYRON DAVID CEVALLOS TRUJILLO

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PRE
UNIVERSITARIO
17b
TRONCO DE CILINDRO
Problemas del 216 al 225
MATERIAL DE 
ESTUDIO
2
PREGUNTA 216
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Las bases de un tronco de cilindro no son congruentes.
II. El segmento que une los centros de las bases de un tronco de
cilindro, es altura del tronco.
III.Cualquier plano secante a un cilindro, determina tronco de
cilindro.
A) VVV B) VFF C) VFV
D) FFF E) FVV
3
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Las bases de un tronco de cilindro no son congruentes.
II. El segmento que une los centros de las bases de un tronco de
cilindro, es altura del tronco.
III. Cualquier plano secante a un cilindro, determina tronco de
cilindro.
Clave: D
RESOLUCIÓN 216
I. FALSO :
II. FALSO :
III. FALSO :
Las bases pueden ser congruentes.
El tronco de cilindro no tiene altura.
Un plano secante que interseca a una o ambas bases,
no determina tronco de cilindro.
4
PREGUNTA 217
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. En un tronco de cilindro circular, dos generatrices opuestas son
diferentes.
II. En un tronco de cilindro circular recto algún plano axial
determina un rectángulo.
III.Ninguna de las bases de un tronco de cilindro oblicuo, es un
círculo.
A) FVF B) VFF C) VFV
D) VVF E) FFF
5
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. En un tronco de cilindro circular, dos generatrices opuestas son
diferentes.
II. En un tronco de cilindro circular recto algún plano axial determina un
rectángulo.
III. Ninguna de las bases de un tronco de cilindro oblicuo, es un círculo.
Clave: A
RESOLUCIÓN 217
I. FALSO :
II. VERDADERO
III. FALSO
Existe una sección axial que determina dos
generatrices opuestas congruentes.
6
PREGUNTA 218
Una esfera inscrita en un tronco de cilindro circular recto
determina un punto de tangencia en el eje mayor de la elipse de
una base y divide al eje mayor en dos segmentos de longitudes
a y b. Calcule la longitud del eje del tronco.
A) a2 + b2 B) a + b C) 2 ab
D) 
a +b
2
+ ab E) 
a+b ab
2
7
Una esfera inscrita en un tronco de cilindro circular recto
determina un punto de tangencia en el eje mayor de la elipse de
una base y divide al eje mayor en dos segmentos de longitudes a
y b. Calcule la longitud del eje del tronco.
Clave: D
RESOLUCIÓN 218
BM = BJ = a, CM = CF = b
 BOC: R2 = ab
Eje del tronco:
R = ab
=
a +b
2
+ ab
a+ R + b + R
2
=
a+ b + 2 ab
2
a
M
b
C
b
F
R
D
ROR
A
J
a
B
R
O
R
AB + CD
2
8
PREGUNTA 219
En un tronco de cilindro, las generatrices mayor y menor son AB
y CD. La sección recta es una región circular. AB forma ángulos
de 75 y 15 con las bases. Si (AB)2 – (CD)2 = 16 u2, calcule el
área lateral (en u2) del tronco.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 2 E) 4
9
En un tronco de cilindro, las generatrices mayor y menor son AB y
CD. La sección recta es una región circular. AB forma ángulos de
75 y 15 con las bases. Si (AB)2 – (CD)2 = 16 u2, calcule el área
lateral (en u2) del tronco.
Clave: D
RESOLUCIÓN 219
∆AEB: notable de 15 y 75
r
A
eje:
SL = 2
AB − CD
8
AB + CD
2
D
C
B
r
15
75
AB + CD
2
SL =
(AB2 − CD2)
8
SL = 2 u
2
2r = EM − EN =
AB
4
−
CD
4
E
M
N
EM =
AB
4
∆DEC: notable de 15 y 75 EN =
CD
4
10
PREGUNTA 220
En un tronco de cilindro oblicuo, los ejes mayores de las regiones
elípticas miden 13 y 15 cm respectivamente, si las generatrices
mayor y menor del tronco miden 18 cm y 4 cm; la sección recta
es circular, calcule el volumen del tronco de cilindro (en cm3).
A) 144  B) 196  C) 240 
D) 396  E) 450 
11
Trazar: FC // AD
En un tronco de cilindro oblicuo, los ejes mayores de las regiones
elípticas miden 13 y 15 cm respectivamente, si las generatrices mayor
y menor del tronco miden 18 cm y 4 cm; la sección recta es circular,
calcule el volumen del tronco de cilindro (en cm3).
Clave: D
RESOLUCIÓN 220
En BCF, por Herón:H C
AF = 4, BF = 14, CF = 15
CH = 12 = 2r r = 6
V = 62
18 + 4
2
V = 396
F
B
A
4
D
15
13
18 15
14
4
r r
A) 15 B) 16 C) 18
D) 20 E) 22
PROBLEMA 221
En un tronco de cilindro recto de base circular y diámetro AB , las
generatrices máxima y mínima son BC y AD siendo BC = 5m, AD = 3m y P
es un punto de la superficie lateral tal que PC2 + PB2 + PA2 + PD2 = 50 m2.
Calcule el volumen (en m3) del sólido que determina el tronco.
En un tronco de cilindro recto de base circular y diámetro AB,
las generatrices máxima y mínima son BC y AD siendo BC = 5m,
AD = 3m y P es un punto de la superficie lateral tal que PC2 +
PB2 + PA2 + PD2 = 50 m2. Calcule el volumen (en m3) del sólido
que determina el tronco.
RESOLUCIÓN 221
A B 
C 
D 
5 
3 
P 
•
2 2 
3 
1 
2r 
2r 
a b 
M N
c 
d 
y z 
Del dato: (c)2 + (b)2+ (a)2 + (d)2 = 50
Además en el MPN: y2 + z2 = (2r)2
(3)2 + (y)2+ (2)2 + (y)2 = (c)2 + (b)2
(2)2 + (z)2+ (1)2 + (z)2 = (a)2 + (d)2
Sumando: 18 + 2(y2 + z2) = 50 
18 + 2(4r2) = 50  r = 2
VT.CILINDRO = (2)
2(
5+3
2
) 
VT.CILINDRO = 16 Clave: B 
A) 12 3 B) 14 3 C) 16 3
D) 18 3 E) 20 3
PROBLEMA 222
En un tronco de cilindro oblicuo de sección recta circular y bases
congruentes, las generatrices mínima y máxima miden 6 m y 10 m
respectivamente, formando con la base un ángulo que mide 60.
Calcule el área lateral (en m2) del tronco.
En un tronco de cilindro oblicuo de sección recta circular y bases
congruentes, las generatrices mínima y máxima miden 6 m y 10 m
respectivamente, formando con la base un ángulo que mide 60. Calcule
el área lateral (en m2) del tronco.
RESOLUCIÓN 222
A B 
C 
D 
10 
6 
2r 
N 
60 60 
3 
3 3
5 2 3
P 
Q 
Por ángulo de 60: 
DQN: DQ = 3 y QN = 3 3
BPN: BP = 5 y PN = 5 3
SLAT T.CIL. = 2( 3)(
10+6
2
) 
SLAT T.CIL. = 16( 3) 
Se prolongan: CD y BA hasta N SLAT T.CIL. = x 
Clave: C 
A) 2 2 - 1,8 B) 2 2 - 1,6 C) 2 2 - 1,5
D) 2 2 - 1,4 E) 2 2 - 1,2
PROBLEMA 223
En un tronco de cilindro recto de base circular y de área lateral 8 2
m2, se inscribe un tetraedro regular tal que las bases del tronco forman
un ángulo de 37. Calcule (en m) la medida de la generatriz mínima.
En un tronco de cilindro recto de base circular y de área lateral 8 2 m2,
se inscribe un tetraedro regular tal que las bases del tronco forman un
ángulo de 37, entonces (en m) la medida de la generatriz mínima es
RESOLUCIÓN 223
A 
B 
C 
D 
x 
O 
•
Por eje del tronco: r 2 = 
x +3r
2
+x
2
r 2
F 
AB = L3 = r 3, VO = r 3
6
3
= r 2
E 
r 
M 
V 
37 
SLAT T.CIL. = 8 2
SLAT = 8 2 = 2r(r 2)  2 = r
FME(∠37): EM = 2r, FM =
(3)2r
4
=
3r
2
2 2 - 1,5 = x 
Clave: C 
x
3r
2
2r 
r 3
A) 72,75 B) 74,45 C) 76,25
D) 78,75 E) 80,45
PROBLEMA 224
Un tronco de cilindro oblicuo de sección recta circular está circunscrito
a una esfera , la generatriz máxima mide 15 m determinando con la base
un ángulo que mide 53 y las bases forman un ángulo recto. El volumen
(en m3) del tronco es
Un tronco de cilindro oblicuo de sección recta circular está circunscrito
a una esfera , la generatriz máxima mide 15 m determinando con la
base un ángulo que mide 53 y las bases forman un ángulo recto. El
volumen (en m3) del tronco es
RESOLUCIÓN 224
A B 
C 
D 
15 
= 6 2r 
N 
53 
9 
37 
12 
r = 3
BNC(∠37): BN = 9, CN = 12VT.CILINDRO = x
APB(∠37): AP = 6, BP =
6(3)
4
= 4,5
T. Poncelet: 9 + 12 = 15 + 2r
P 
Q 
CQD(∠37): QD = 6, QC =
6(4)
3
= 8
4,5 
8 
2,5 
2,5 
Luego: PQ = 2,5 = AD
VT.CILINDRO =  (3
2)(
15+2,5
2
)
VT.CILINDRO = 78,75
Clave: D 
A) 22( 1 + 92) B) 22( 2 + 92) C) 23( 1 + 92)
D) 23( 2 + 92) E) 23( 2 + 72)
Problema 225
En un tronco de cilindro recto de base circular y de área lateral 300 m2,
las generatrices máxima y mínima miden BC = 16 m y AD = 9 m. La
base tiene por diámetro BA de centro O tal que m∠COD = 90. La
longitud (en m) del menor camino para trasladarse por la superficielateral desde el punto medio de BC hasta B es
En un tronco de cilindro recto de base circular y de área lateral 300 m2, las
generatrices máxima y mínima miden BC = 16 m y AD = 9 m. La base tiene
diámetro BA de centro O, tal que m∠COD = 90. La longitud (en m) del
menor camino para trasladarse por la superficie lateral, desde el punto
medio de BC hasta B es
Resolución 225
A B 
C 
D 16 
9 
o 
•
8 
8 
r 
 r = 12 

M 
N 
•
•
r 



CBO ~ OAD : 16
r = 
r
9
8 
8 
12 12
4 
x 
B B 
M 
A 
N 
En el desarrollo de la superficie lateral del tronco: 
2pbase = 2(12) = 24
x2 = 82 + (24)2
x = 23( 1 + 92)
Clave: C 
C 
D 
C 
PRE
UNIVERSITARIO
17b
POSTULADO DE 
CAVALIERI
Problemas del 226 al 230
MATERIAL DE 
ESTUDIO
PROBLEMA 226
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones
I. Si dos sólidos tienen sus bases contenidas en dos planos paralelos y las
secciones determinadas en los sólidos, por cualquier plano paralelo a
los planos de las bases, tienen áreas iguales, entonces los dos sólidos
tienen el mismo volumen.
II. En un plano están contenidas las bases de dos sólidos y ambos en un
mismo semiespacio. Si sus respectivas secciones transversales
equidistan del plano, entonces los sólidos son equivalentes.
III. Si dos sólidos están comprendidos entre dos planos paralelos y las
secciones determinadas en los sólidos por cualquier plano paralelo a los
planos, tienen áreas iguales, entonces los dos sólidos tienen igual
volumen.
A) VVF B) VFV C) FFF
D) FFV E) VVV
RESOLUCIÓN 226
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones
I. Si dos sólidos tienen sus bases contenidas en dos planos
paralelos y las secciones determinadas en los sólidos, por
cualquier plano paralelo a los planos de las bases, tienen áreas
iguales, entonces los dos sólidos tienen el mismo volumen.
II. En un plano están contenidas las bases de dos sólidos y ambos
en un mismo semiespacio. Si sus respectivas secciones
transversales equidistan del plano, entonces los sólidos son
equivalentes.
III. Si dos sólidos están comprendidos entre dos planos paralelos y
las secciones determinadas en los sólidos por cualquier plano
paralelo a los planos, tienen áreas iguales, entonces los dos
sólidos tienen igual volumen.
Es el postulado
de Cavalieri
I. VERDADERO
II
. Los sólidos no tienen la
misma altura y las
secciones transversales
no tienen igual área
FALSO III.
Por el postulado
VERDADERO
Clave: B
PROBLEMA 227
La figura muestra dos cilindros de longitud de radio R y de ejes secantes y
perpendiculares. Calcule el volumen del sólido determinado por la
intersección de los dos cilindros.
A)
3R3
4
B)
3R3
8
C)
4R3
3
D)
8R3
3
E)
16R3
3
RESOLUCIÓN 227
La figura muestra dos cilindros de longitud de radio R y de ejes
secantes y perpendiculares. Calcule el volumen del sólido
determinado por la intersección de los dos cilindros.
Clave: E
Por teorema de Pitágoras:
Luego, 
Por postulado de Cavalieri:
Piden: 
R
R
h
R
h
a
a
R
h
h
R
R𝑺𝟏 𝑺𝟐
1V 2V
2 2 2a h R+ =
2 2 2a R h = −
2
1S a=
2 2
2y S R h= −
1 2S S=
1 2V V=
( )3 21
1
V R R R
3
= −
3
1
2
V R
3
=
3
1
16
8V R
3
=
PROBLEMA 228
En la figura se muestra un servilletero que resulta de perforar un agujero
cilíndrico a través del centro de una esfera. Utilice el Postulado de
Cavalieri para demostrar que el volumen del sólido es igual a
πh3
6
. ¿Qué
sucede si comparamos este servilletero con otro similar, de altura
congruente y diámetro diferente? ¿Son equivalentes?
h
RESOLUCIÓN 228
En la figura se muestra un servilletero que resulta de perforar un agujero
cilíndrico a través del centro de una esfera. Utilice el Postulado de Cavalieri
para demostrar que el volumen del sólido es igual a
πh3
6
. ¿Qué sucede si
comparamos con otro servilletero de altura congruente y diferente
diámetro? ¿Son equivalentes?
y
h
2
h
2
yR
R h
2
h
2
y
• Se hace el análisis con la mitad del servilletero.
• En los sólidos mostrados, sus bases tienen igual área la cual es 
h2
4
y alturas de longitudes 
h
2
. 
• Las secciones paralelas a las bases en ambos sólidos son equivalentes, de área π(
h2
4
- y2) 
Se aplica el postulado de Cavalieri: (V𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑙𝑙𝑒𝑡𝑒𝑟𝑜)/2 = V𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
V𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑙𝑙𝑒𝑡𝑒𝑟𝑜 = 2(
2π
3
(
h
2
)3) = 
πh3
6
PROBLEMA 229
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciónes:
I. Si dos sólidos tienen alturas congruentes y las secciones planas
determinadas en cada sólido por un plano paralelalo a las bases son
equivalentes, entonces los sólidos tienen igual volumen.
II. El volumen del sólido determinado por un cilindro circular recto se
demuestra aplicando el postulado de Cavalieri.
III. El volumen de la esfera se demuestra aplicando el postulado de
Cavalieri.
A) VVF B) VFV C) FFF
B) D) FFV E) VVV
RESOLUCIÓN 229
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciónes:
I. Si dos sólidos tienen alturas congruentes y las secciones planas
determinadas en cada sólido por un plano paralelalo a las bases
son equivalentes, entonces los sólidos tienen igual volumen.
II. El volumen del sólido determinado por un cilindro circular recto se
demuestra aplicando el postulado de Cavalieri.
III. El volumen de la esfera se demuestra aplicando el postulado de
Cavalieri.
Postulado de Cavalieri.
I. VERDADERO
II.
Se aplica el postulado de Cavalieri
VERDADERO
III.
Por el postulado de Cavalieri 
VERDADERO
Clave: E
PROBLEMA 230
Aplicando el postulado de Cavalieri, demostrar que el volumen
del sólido determinado por el cilindro circular recto cuya altura y
radio de la base tienen longitudes H y r respectivamente, es
𝜋r2H
RESOLUCIÓN 230
Aplicando el postulado de Cavalieri, demostrar que el
volumen del sólido determinado por el cilindro circular recto
cuya altura y radio de la base tienen longitudes H y r
respectivamente, es 𝜋r2H
Demostrado
O
h
r
Demostrar: Vcilindro = 𝜋r
2H
H
S1 S2
B1
B2
El prisma rectangular recto y el cilindro 
circular recto tienen alturas de longitud H 
B1 = B2. Sean las secciones planas de áreas 
S1 y S2 trazadas a una altura de longitud h 
de las bases, entonces S1 = S2
Postulado de Cavalieri: Vcilindro = Vprisma = B2H 
B1 = 𝜋r
2 ⇒ Vcilindro = 𝜋r
2H