INTERSECCIONES Y DESARROLLOS DE CUERPOS SÓLIDOS

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
U.N.E “SIMÓN RODRÍGUEZ”
NÚCLEO CANOABO
INTERSECCIONES Y DESARROLLOS DE CUERPOS SÓLIDOS
NOVIEMBRE, 2022
	
INTRODUCCIÓN
En ingeniería, el proceso de intersección y desarrollo de cuerpos sólidos permite conocer las verdaderas magnitudes tanto de las líneas como de los ángulos que forman a un cuerpo sólido y es con base a esto que debe estar construido un desarrollo de dichos cuerpos, siendo el desdoblamiento que se le da a un cuerpo geométrico en una superficie plana con el fin de construir nuevamente el cuerpo geométrico a partir de esa superficie. Este proceso, en conjunto con la intersección que representa una sección plana cortante común en dos elementos conectados entre sí, facilita lograr la representación exacta de los cuerpos por más complicados que sean. 
Las soluciones gráficas de los cuerpos sólidos en este procedimiento no solo ofrecen una representación apropiada tanto de ellos en forma simple, como de combinaciones de los mismos, sino que también proporcionan métodos que permiten determinar intersecciones o cualquier otra relación de tipo geométrico que se desea conocer entre ellas. Por tanto, en el presente trabajo se estudian los procesos que se llevan a cabo para el desarrollo y la intersección de cuerpos sólidos con énfasis en cuerpos geométricos como los poliedros, prismas, conos y cilindros. Para esto se realizó una investigación profunda de autores variados con el fin de plasmar aspectos del tema en cuestión y lograr una mayor comprensión del mismo. 
Dada la importancia de la solución gráfica en un plano para estos cuerpos, el trabajo hace un recorrido que inicia en la conceptualización del desarrollo y la intersección según autores, como una introducción al tema. Seguidamente, se menciona y explica el desarrollo de poliedros radiales dentro de los que están las pirámides rectas, truncadas, oblicuas y oblicuas truncadas; y los prismas rectos y oblicuos; además del desarrollo de superficie de simple curvatura donde se describen los pasos para cuerpos sólidos como el cono de revolución recto, el cono oblicuo, el cilindro de revolución recto y el cilindro oblicuo.
Luego, se mencionan y explican los métodos usados para obtener la intersección de cuerpos sólidos, que inicia explicando el problema que existe en la intersección de dos sólidos como una adecuada repetición del problema de intersección entre una línea y un sólido, y para el cual se explican los métodos de solución usados según el tipo de sólido. En el mismo orden de ideas, el presente trabajo hace énfasis en los tipos de intersección de sólidos y los métodos para lograrlo, desarrollando ampliamente la intersección de sólidos mediante el método de planos proyectantes y el método de planos de sección sencilla.
INTERSECCIONES Y DESARROLLOS DE CUERPOS SÓLIDOS
1. ¿Qué es el desarrollo de sólidos?
El desarrollo de un sólido se refiere a la operación en la cual se despliega su superficie sobre un plano, permitiendo su construcción física. “Una superficie de desarrollo muestra todas las longitudes y todos los ángulos en su verdadera magnitud” (Navarro, 2005, p.2).
Es el desdoblamiento de una superficie sobre un plano. Muchos diseños de objetos industriales, arquitectónicos o de ingeniería, están constituidos por superficies desarrollables como los conos, prismas cilindros y otras superficies de simple curvatura que pueden desarrollarse con exactitud
· Los prismas son desarrollables porque están limitados enteramente por superficie planas
· Las superficies de simple curvatura (cono, cilindro y convoluta) son desarrollables, porque cada par de elementos rectilíneos consecutivos están colocados en un mismo plano
· Las superficies alabeadas no pueden ser desarrolladas porque no tienen dos elementos consecutivos que puedan formar un plano.
· Las superficies de doble curvatura tampoco pueden ser desarrolladas por no tener superficies ni líneas rectas o planas
· Las superficies alabeadas y las de doble curvatura pueden, sin embargo, ser aproximadamente desarrolladas, con una exactitud aceptable.
Todos los poliedros tienen desarrollo, para esto, según Calderón (2016):
“bastará con determinar el verdadero tamaño de cada una de sus caras y dibujándolas sobre un plano, de tal manera que sean adyacentes unas a otras por un lado común y en el mismo orden según el cual están dispuestas en el sólido. Si el dibujo se realiza sobre un cartón u otro tipo de material, se obtiene fácilmente el relieve del sólido, que no es sino un modelo tridimensional, practicando en cada lado común a dos caras una ligera incisión por la parte que será externa, y doblando todas las caras, de modo que tomen la misma posición relativa que tienen en la representación diédrica. Los cuerpos redondos desarrollables son aquellos de simple curvatura (generados por una generatriz recta) en los que dos generatrices adyacentes son coplanarias, tal es el caso de los conos y cilindros” (p.5).
Es decir, que solo los poliedros y las superficies de curvatura pueden ser desarrollados. El desarrollo de poliedros se debe a que están limitados por superficies planas que pueden ser colocadas en un desarrollo de verdadero tamaño y serle relacionada. En el caso de las superficies de simple curvatura como el cono, cilindro y con voluta, son desarrollables puesto que cada par de elementos rectilíneos consecutivos están en el mismo plano. Superficies como las alabeadas y las de doble curvatura no pueden desarrollarse, la primera debido a que no tienen dos elementos consecutivos que puedan formar un plano; y la segunda debido a que no poseen superficies ni líneas recta o planas. Sin embargo, pueden tener un desarrollo aproximado, con una exactitud que resulta suficiente para muchos propósitos prácticos.
Navarro (2005) menciona que el desarrollo de cuerpos sólidos resulta de gran importancia al momento de cortar correctamente las planchas en calderería, en instalaciones de tuberías, en recipientes de chapas y de cartón, en fontanería y piezas industriales, entre otros; ya que permite la representación de la superficie exterior de un cuerpo sólido, extendida en un plano.
Para la construcción de todos los desarrollos se debe tener en cuenta que cada línea de un desarrollo muestra la longitud real de la línea que corresponde en la superficie del cuerpo. Los cuerpos geométricos pueden ser de dos clases: o formados por caras planas (poliedros) o teniendo alguna de sus dos caras curvas (cuerpos redondos).
1.1 Desarrollo de poliedros radiales
1.1.1 Desarrollo de pirámides
Se debe determinar las longitudes de las tres aristas que la componen para obtener el tamaño verdadero de una de las caras laterales de una pirámide. Para simplificar el procedimiento, se apoya la base del poliedro sobre uno de los planos de proyección; en caso de encontrarse en un plano no notable, se realiza una proyección nueva del sólido para obtener el tamaño real del polígono de base.
Es recomendable obtener el verdadero tamaño de las aristas laterales de la pirámide mediante el uso del Giro aplicado a rectas, puesto que todas esas aristas convergen en un punto (vértice del sólido).
Ejemplo:
1. Se ha tomado un eje de giro de pié que pasa por V, convirtiendo cada una de las aristas laterales de la pirámide en segmentos frontales, cuyas proyecciones verticales se encuentran en verdadero tamaño.
2. Se dibuja una de las caras, la ABV en la figura, tomando un punto V arbitrariamente y consignando las longitudes VA, VB y AB.
3. Se procede de igual forma con la siguiente cara (BCV) y con las demás obteniéndose así el desarrollo de las caras laterales.
4. Se copia la base del sólido, que se encuentra en verdadero tamaño pues descansa sobre PH, haciendo coincidir uno de sus lados con la correspondiente arista del desarrollo de las caras laterales.
Figura 1. Desarrollo de pirámide.
1.1.2 Desarrollo de pirámides truncadas
La pirámide truncada es una porción de una pirámide recta; su desarrollo inicia como si fueseuna pirámide completa y determinando la verdadera longitud que corresponde a la porción de cada una de las aristas que luego se toman en el desarrollo completo en su lugar correspondiente. Para el total desarrollo de una pirámide truncada, es necesario agregar la base de la misma y determinar el tamaño real de la cara superior de la pirámide y agregarla al desarrollo sobre una línea común.
Ejemplo: Para una pirámide truncada por un plano β, se determina el vértice (punto virtual) del sólido y se desarrolla como si no fuera truncado. El tamaño real de la parte virtual de cada arista lateral se mide en el desarrollo a partir del punto V, obteniéndose la poligonal A1B1C1D1E1A1, transformada de la sección generada por el plano β en la pirámide. El tamaño real del polígono se obtiene aplicando cualquiera de los métodos de cambio de plano de proyección en la figura, luego se copia, logrando que coincida uno de sus lados con el segmento correspondiente de la transformada de la sección. Figura 2. Desarrollo de pirámide truncada.
	
1.1.3 Desarrollo de una pirámide oblicua
Al ser una pirámide oblicua aquella que tiene las aristas laterales de longitudes desiguales, se debe hallar de forma separada la verdadera longitud de cada una, haciéndola girar hasta que quede paralela al plano frontal. 
Figura 3. Desarrollo de pirámide oblicua.
1.1.4 Desarrollo de una pirámide oblicua truncada
Se debe determinar las longitudes reales de las aristas de la pirámide completa y las longitudes reales de las aristas de la parte truncada. Para el desarrollo, se construye primero el desarrollo de la pirámide completa y trazando luego, las longitudes reales de las aristas del cuerpo truncado sobre las líneas correspondientes del desarrollo. 
Figura 4. Desarrollo de pirámide oblicua truncada.
1.1.5 Desarrollo de prismas rectos
El desarrollo de la superficie lateral de un prisma recto es un rectángulo, su altura es igual a la altura del poliedro y de base igual al perímetro del polígono base.
Ejemplo: Desarrollo de un prisma recto de base apoyado en un plano proyectante horizontal
Las aristas laterales del sólido son horizontales, por lo que se encuentran en tamaño real en la proyección horizontal. Todas esas aristas laterales tienen longitudes iguales.
1. Sobre una línea arbitraria se miden a partir de un punto A los verdaderos tamaños AB, BC, CD y DA en forma sucesiva y en el mismo orden con que aparecen en la representación diédrica.
2. Se trazan perpendiculares a la mencionada línea por los puntos A, B, C y D, sobre las que se mide la altura del prisma.
3. Se copian las bases superior e inferior (en verdadero tamaño) haciendo coincidir uno de los lados con la arista correspondiente en el desarrollo de la superficie poliédrica lateral. 
Figura 5. Desarrollo de prisma recto.
1.1.6 Desarrollo de prismas oblicuos
El procedimiento consiste en desarrollar dos prismas rectos, surgidos al cortar el prisma oblicuo mediante un plano π perpendicular a sus aristas laterales. Si dichas aristas se encuentran en una posición oblicua, es necesario una nueva proyección en la que aparezcan en su verdadero tamaño.
Ejemplo: Desarrollo de un prisma oblicuo cuya base ABC está contenida en un plano δ
1. Se ha realizado una nueva proyección en la que cada una de las aristas laterales del poliedro aparece en verdadero tamaño, ya que en el sistema LT2 se encuentran en posición frontal. 
2. Si se construye un plano p perpendicular a las aristas laterales resulta ser proyectante vertical en el sistema LT2; los puntos de intersección entre dichas aristas y el plano p son los vértices de un polígono PQR (sección plana base de dos prismas rectos) cuyo verdadero tamaño se ha de determinar, para lo cual se genera un nuevo sistema LT3.
3. Para desarrollar la superficie lateral del prisma se dibuja una Línea de Desarrollo, correspondiente al perímetro de la sección plana PQR.
4. Se trazan perpendiculares a dicha línea de desarrollo por los puntos P, Q y R y sobre ellas se consignan las longitudes PA, QB y RC de un lado y las longitudes PA1, QB1 y RC1 del otro lado de la línea de desarrollo. 
5. Se copia la polígona base ABC, cuyo verdadero tamaño se ha determinado con antelación generando un nuevo sistema LT4, de forma lógica y ordenada.
6. Se debe copiar el polígono de base superior A1B1C1, el cual es idéntico al polígono ABC.
Para el prisma truncado, los polígonos de base inferior y de base superior son distintos, por tanto, las aristas laterales son de distinta longitud y se hace necesaria la determinación, por separado, del verdadero tamaño de dichos polígonos.
Figura 6. Desarrollo de prisma oblicuo.
1.2 Desarrollo de superficies de simple curvatura
1.2.1 Desarrollo del cono de revolución recto
El desarrollo de la superficie de un cono de revolución recto es un sector circular de radio igual a la longitud l de las generatrices y de amplitud a dada a través de la expresión:
	
Donde r es el radio de la directriz del cono.
Si se trata de un cono truncado es necesario determinar la transformada de la sección plana, generalmente elíptica, en el desarrollo. Debido a la complejidad de la curva, se debe aplicar un procedimiento que consiste en inscribir en el cono una pirámide de n caras laterales iguales y desarrollarla. El resultado que se obtiene es una solución que nunca es exacta, sino que tienen un error por defecto en relación con el cono real.
Ejemplo: Desarrollo de un cono recto apoyado en el plano horizontal y truncado por un plano ß.
1. Dividir la base del cono en un número conveniente de partes (ocho en la figura), lo que resulta en los puntos 1,2,..,,8.
2. Se determina el vértice del cono y se halla el verdadero tamaño de las partes virtuales de cada una de las generatrices V1, V2,...., V8, que vienen a ser aristas laterales de una pirámide.
3. Las generatrices V1 y V5 son frontales, por lo que sus partes virtuales V1’ y V2’ se encuentran en verdadero tamaño en la proyección vertical
4. Por simetría, las partes virtuales de las generatrices V2 y V8 son de igual tamaño; lo mismo ocurre con las generatrices V3 y V7 y con las generatrices V4 y V6.
5. Se realiza el desarrollo de la pirámide de base 12345678 y vértice V, trazando un arco de centro en V y radio igual al tamaño de una de las generatrices del cono no truncado.
6. Se consigna sobre dicho arco y a partir de uno cualquiera de sus puntos, la distancia que corresponde a una de las aristas de base de la pirámide, haciéndolo de modo sucesivo hasta lograr el perímetro de dicha base.
7. Restar de cada una de las aristas de la pirámide su correspondiente segmento virtual, lo que da como resultado los puntos 1’, 2’,..., 8’ en el desarrollo; estos puntos se deben unir usando una plantilla de curvas para dar lugar a la transformada de la sección elíptica.
8. Se copian los verdaderos tamaños de la directriz del cono (circunferencia) y de la sección producida por el plano ß (elipse).
Figura 8. Desarrollo de cono de revolución recto truncado.
Figura 7. Desarrollo de cono de revolución recto.
	
1.2.2 Desarrollo del cono oblicuo
En este caso, se realiza un desarrollo aproximado de la superficie del sólido, inscribiendo en él una pirámide y un número determinado de caras laterales y desarrollando ésta última. Mientras mayor sea la cantidad de caras laterales en la pirámide mejor será la precisión del método.
Ejemplo: Desarrollo de un cono oblicuo de base circular apoyada en PH y seccionado por un plano β
1. Se divide la base del cono en ocho partes, comenzando por una de las generatrices contenidas en el plano perpendicular a la base que pasa por el eje (proyectante horizontal).
2. La determinación de los verdaderos tamaños de cada una de las generatrices V1, V2,...., V8 y de sus partes virtuales, se ha determinado aplicando un giro en torno a un eje de pié que pasa por el vértice V. Gracias a la simetría se ha obtenido que V2=V8, V3=V7 y V4=V6.
3. Con el método utilizado en el caso de pirámide oblicua, se construyen las caras laterales a partir deltamaño de cada uno de sus lados y comenzando por 1V2.
4. Se resta a cada generatriz su parte virtual, lo que da como resultado los puntos 1’, 2’,…., 8’, los cuales deben ser unidos usando una plantilla de curvas
5. Se traza la curva correspondiente a la base del cono, definida por los puntos 1, 2,...., 8 en el desarrollo.
6. Es necesario hallar el verdadero tamaño de la sección (elíptica) producida por ß para copiarla en forma lógica y coherente en el desarrollo.
Figura 9. Desarrollo de cono oblicuo truncado.
1.2.3 Desarrollo del cilindro de revolución recto
Este desarrollo es un rectángulo con altura igual a la longitud de las generatrices (altura del cilindro) y con una base igual al perímetro de la directriz ((2πr). Para un cilindro truncado, se determina la transformada de la curva de sección (elipse) mediante el método aproximado, es decir, el desarrollo de un prisma inscrito en el cilindro.
Ejemplo: Desarrollo de un cilindro de revolución recto apoyado en el plano horizontal y seccionado por un plano β
La base del sólido y sus generatrices se encuentran en verdadero tamaño, por situarse la primera sobre PH y ser de pié las segundas, sólo resta aplicar algún método de los ya conocidos para determinar la verdadera forma y tamaño de la sección elíptica.
Figura 10. Desarrollo de cilindro recto de revolución truncado.
	
1.2.4 Desarrollo del cilindro oblicuo
Para realizar el desarrollo de un cilindro oblicuo se inscribe en él un prisma. La exactitud de este método aproximado depende del número de caras laterales que tenga el prisma. 
Ejemplo: Desarrollo de un cilindro oblicuo de base circular apoyada en el plano horizontal y de generatrices oblicuas, truncado por un plano β
1. Se ha dividido la base en ocho partes iguales, comenzando por una de las generatrices (V1) ubicadas en un plano perpendicular a la base que pasa por el eje del sólido.
2. Se trazan las generatrices correspondientes que serán las aristas del prisma inscrito en el cilindro (superficie a desarrollar).
3. La sección ABCDEFGH producida por el plano p divide al cilindro en dos sólidos rectos; es necesario determinar el verdadero tamaño de dicha sección (sistema LT3 en la figura) y copiar su perímetro a lo largo de la línea de desarrollo, lo que genera los puntos A, B,..., H por los cuales se trazan perpendiculares a aquella.
4. Se consignan las distancias A1, B2,..., H8 sobre tales perpendiculares de un lado de la línea de desarrollo y las distancias A1’, B2’,..., H8’ del otro.
5. En vista de que la sección producida por ß en el cilindro no se encuentra en verdadero tamaño en el sistema Diédrico, se ha generado un cuarto sistema de proyección LT4 en el cual el plano ß es horizontal.
Cabe destacar, que al momento de diseñar objetos útiles como envases o piezas mecánicas, es conveniente situar al objeto con la base apoyada en el plano horizontal y con el eje paralelo al plano vertical. Esto ayuda a simplificar los procedimientos antes mencionados disminuyendo el tiempo invertido en el desarrollo.
Figura 11. Desarrollo de cilindro oblicuo truncado.
2. ¿Qué es la intersección de cuerpos sólidos?
La intersección de sólidos es un modo rápido de crear piezas complejas con muy pocas operaciones, lo cual puede tener como resultado un rendimiento más rápido. Calderón (2016) menciona que:
“La línea generada por la intersección entre las superficies de dos sólidos, viene dada – en el caso de dos poliedros - por la unión de los puntos de penetración de todas las aristas de uno en el otro y viceversa. En el caso de sólidos con superficies curvas se determina la penetración de generatrices (conos, cilindros) o de paralelos (esferas, elipsoides) con la superficie opuesta”. (p.16)
La operación implica múltiples sólidos que se superponen unos con otros y deja sólo los volúmenes de los sólidos que se entrecruzan.
2.1 Intersección entre una recta y un sólido
Existe un problema en la intersección de dos sólidos que corresponde a una adecuada repetición del problema de intersección entre una línea y un sólido. Este problema se resuelve aplicando los siguientes métodos según el tipo de sólido que sea; es preciso crear un plano que contenga a la recta y que produzca una sección en el sólido.
Si es una pirámide, el plano  genera una sección sencilla en el poliedro y queda determinado por la recta “m” y el vértice V de la pirámide. Para determinar los puntos A y B (entrada y salida de la recta “m” en el sólido) se debe:
1. Construir por un punto K, perteneciente a la recta “m”, una recta “r” que pase por el vértice V de la pirámide. Ambas rectas definen el plano .
2. Determinar los puntos de intersección (1 y 2) entre las rectas “m” y “r” y el plano , base del sólido. La recta definida por estos puntos es la recta de intersección “i” entre los planos y .
3. Hallar los puntos de corte 3 y 4 entre la recta “i” y la base de la pirámide.
4. Unir los puntos 3 y 4 con el vértice de la pirámide.
5. Determinar el punto de corte A entre V3 y la recta “m” (punto de entrada de “m” en la pirámide).
6. Determinar el punto de corte B entre V4 y la recta “m” (punto de salida de “m” en la pirámide).
7. Estudiar la visibilidad del conjunto (un punto de entrada o salida será visible sólo si la cara en la que entra o sale es visible).
Si es un prisma, el plano genera una sección sencilla en el poliedro; quedando determinado por la recta “m” y una recta “e”, que es paralela al eje del prisma. Ambas rectas deben ser secantes en un punto K. Para esto se debe: 
1. Construir por un punto K, perteneciente a la recta “m”, una recta “r” que sea paralela al eje del prisma. Ambas rectas definen el plano .
2. Determinar los puntos de intersección (1 y 2) entre las rectas “m” y “r” y el plano , base del sólido. La recta definida por estos puntos es la recta de intersección “i” entre los planos  y .
3. Hallar los puntos de corte 3 y 4 entre la recta “i” y la base de la pirámide.
4. Trazar rectas paralelas al eje del prisma por los puntos 3 y 4.
5. Determinar el punto de corte A entre la recta paralela al eje del sólido construida por 3 y la recta “m” (punto de entrada de “m” en el prisma).
6. Determinar el punto de corte B entre la recta paralela al eje del sólido construida por 4 y la recta “m” (punto de salida de “m” en el prisma).
7. Estudiar la visibilidad del conjunto.
Si es un cono, el plano debe generar una sección sencilla en el sólido, a fin de evitar ; dicho plano quedará determinado por la recta “m” y el vértice V del cono. El procedimiento es similar al caso de pirámides. Si es un cilindro, el plano debe generar, una sección sencilla en el sólido. El procedimiento es similar al de la intersección entre recta y prisma.
Si es una esfera, se crea un plano proyectante  que contenga a la recta “m”, puesto que la sección plana de una esfera siempre será una circunferencia. Para esto se debe:
1. Construir un plano  que contenga a la recta “m” y sea perpendicular a uno de los planos de proyección.
2. Determinar las proyecciones de la sección producida por en la esfera dada. Esta sección se proyecta sobre uno de los planos de proyección como un segmento de recta, mientras que sobre el otro plano de proyección, aparece bien como una elipse (si es proyectante vertical o proyectante horizontal) o bien como una circunferencia (si  es frontal u horizontal).
3. Establecer la visibilidad de la sección.
4. Determinar el punto de corte A entre la sección y la recta “m” (punto de entrada de “m” en la esfera).
5. Determinar el punto de corte B entre la sección y la recta “m” (punto de salida de “m” en la esfera).
6. Estudiar la visibilidad del conjunto.
2.2. Tipos de intersecciones de sólidos
Según el número de polígonos y el posicionamiento de los mismos, las intersecciones de sólidos se clasifican en:
· Penetración o intersección completa: Introducción de un cuerpo dentro de otro, quedando toda su sección en el interior de éste. Está formada por dos poligonales cerradas sin tener puntos comunes entre sí (una de entrada y una de salida).
·Mordedura e intersección incompleta: Introducción parcial de un sólido en el otro. En este caso, el sólido no abarca toda su extensión ni es abarcado por el otro sólido. Se obtiene como resultado, una línea poligonal continua y cerrada.
· Tangencia simple: Es un caso particular de penetración en el cual, los sólidos presentan una tangencia en una de sus aristas. Está intersección está formada por dos líneas poligonales cerradas que tienen un punto en común, llamado punto de tangencia. 
· Tangencia doble o intersección máxima: Se da una penetración tangencial en el cual la tangencia se da en dos costados del sólido penetrante con dos aristas del otro cuerpo. Se obtiene como resultado, dos poligonales cerradas con dos puntos en común.
2.3 Métodos para determinar intersecciones de sólidos
Entre los principales métodos están:
· Vistas auxiliares: Se emplean en el caso de prismas y cilindros. Consiste en tomar una vista auxiliar que muestre a las aristas o generatrices de punta.
· Intersecciones de rectas y planos: Consiste en intersectar las aristas o generatrices de uno de los sólidos con las caras o superficies del otro.
· Planos cortantes: Consiste en trazar una serie de planos cortantes, los cuales determinan rectas o curvas sobre los sólidos. Intersectando estas líneas se tienen puntos pertenecientes a la curva de intersección de los sólidos.
· Esferas cortantes: Son usados en lugar de los planos cortantes, en el caso de tenerse superficies de revolución cuyos ejes se intersectan. El centro de las esferas estará en el punto de intersección y cortará a los sólidos determinando circunferencias.
· Cilindros cortantes: Se aplica para intersectar cilindros o prismas con sólidos de revolución. Los cilindros tomados tendrán sus bases en una circunferencia directriz de la superficie de revolución y su eje será paralelo al eje del cilindro o prisma dado. Así cortará al sólido de revolución en circunferencias y al cilindro o prisma en líneas rectas.
2.4 Intersección de sólidos mediante el método de planos proyectantes
Este procedimiento se aplica a sólidos como los poliedros y los sólidos curvos simplemente reglados. Para este caso, se repite el procedimiento de intersección de recta-sólido haciendo que todos los planos secantes sean perpendiculares a uno de los planos de proyección, simplificando el trazado.
Los planos proyectantes, por lo característico de sus posiciones, facilitan la obtención de los puntos que conforman las secciones planas correspondientes. La intersección de ambos cuerpos se determina por todos los puntos de intersección hallados y unidos.
El método de planos proyectantes involucra los siguientes pasos:
1. Se realiza el análisis espacial del conjunto, determinando de forma aproximada el tipo de intersección (penetración, mordedura, tangencia simple o tangencia doble) y los planos proyectantes posibles a ser construidos.
2. Si existen aristas o generatrices de un sólido que no penetran al otro y viceversa, se deben descartar; siempre que permita hacerlo de manera directa, la posición de los cuerpos (por inspección).
3. Se construyen planos proyectantes que tengan una arista o generatriz de uno de los sólidos y se determina la sección que produce dicho plano en el otro.
4. Se hallan los puntos de corte entre las aristas o generatriz seleccionada y la sección producida (punto de entrada y salida). En caso de tangencia simple y tangencia doble, se pueden reducir ambos puntos a uno.
5. Se repiten los pasos 3 y 4 las veces que sea necesario.
6. Se unen los puntos de entrada entre sí. Esto da como resultado, la poligonal de entrada. En el caso de mordedura, solo existe una poligonal.
7. Se unen los puntos de salida entre sí, obteniendo la poligonal de salida. Para el caso de mordedura, ambas poligonales resultan ser una sola. Se pueden unir un par de puntos de la poligonal solo si pertenecen a una misma cara de uno de los sólidos involucrados. 
8. Se establece la visibilidad de ambas poligonales.
Este método del plano proyectante resulta útil al determinar intersecciones de sólidos que involucran cuerpos de revolución de doble curvatura como la esfera, sobre todo si los planos secantes producen paralelos y/o meridianos en estos cuerpos, puesto que el trazado de estas líneas no presenta mayor dificultad.
2.4 Intersección de sólidos mediante el método de planos de sección sencilla
Este método de intersección se puede aplicar a sólidos como los prismas, pirámides, cilindros y conos, ya que por sus características formales permiten determinar secciones sencillas en ellos. Para esto, se trazan planos secantes que producen de forma simultánea secciones sencillas en ambos cuerpos. De esta manera, cada uno de los planos secantes origina un par de secciones sencillas coplanarias. La línea de intersección es definida por la unión de los puntos de corte entre las generatrices o aristas que conforman las secciones.
Existes tres factores fundamentales para determinar la(s) poligonal(es) de intersección entre dos sólidos con este método:
1. Ubicación del vértice principal de cada sólido: Para pirámides y conos, el vértice puede ubicarse en un lugar finito del espacio. Para prismas y cilindros, el vértice puede ubicarse en el infinito. Como los planos deben producir secciones sencillas de manera simultánea en ambos sólidos, es fundamental la construcción de un elemento geométrico para la definición de cada uno de los planos:
· Dos sólidos con vértice principal en un lugar finito del espacio (pirámide-pirámide, cono-cono, o cono-pirámide): Este elemento es la recta que pasa por ambos vértices principales, llamada “recta sencilla”, por la que pasan todos los planos que producen secciones sencillas en ambos sólidos.
· Un sólido con vértice principal en un lugar finito y otro con vértice principal en el infinito (pirámide-prisma, cono-cilindro, pirámide-cilindro o cono-prisma): La recta que pasa por el vértice de la pirámide o cono y es paralela al eje del prisma o cilindro, es la llamada “recta sencilla”.
· Dos sólidos con vértice principal en el infinito (prisma-prisma, cilindro-cilindro, o prisma-cilindro): Se construye un plano sencillo “paralelo al cual resultan todos los planos que producen secciones sencillas simultáneamente en ambos sólidos. Este plano se define construyendo dos rectas paralelas a los ejes de ambos sólidos, que pasen por un punto cualquiera del espacio” (Calderón, 2016, p.41).
2. Ubicación de las bases de los sólidos: Para este caso, Calderón (2016) menciona que:
“Dado que los sólidos involucrados son del tipo radial (una superficie lateral y una base), es posible que sus bases se encuentren sobre un mismo plano (coplanarias) o sobre planos distintos (no coplanarias). Esta variable, aunada a la siguiente, es determinante en los pasos iniciales del procedimiento”. (pp. 41-42)
3. Tipo de intersección: Entre dos sólidos el tipo de intersección puede ser completa, mordedura, tangencial simple y tangencial doble.
CONCLUSIÓN
En virtud de lo estudiado se concluye que, para lograr el desarrollo de un cuerpo sólido se despliega la superficie de un cuerpo sólido sobre un plano para mostrar todas las longitudes y ángulos en su verdadera magnitud. Sin embargo, no todos los cuerpos sólidos son desarrollables, puesto que algunos no tienen dos elementos consecutivos que puedan formar un plano o no tienen superficies ni líneas rectas o planas, como las superficies alabeadas o las superficies de doble curvatura. Los que sí pueden desarrollarse son los prismas y las superficies de simple curvatura como el cono y el cilindro; el primero porque están limitados enteramente por superficies planas y el segundo porque cada par de elementos rectilíneos consecutivos están colocados en un mismo plano.
Cada línea de un desarrollo muestra la longitud real de la línea que corresponde en la superficie del cuerpo:
· Para el desarrollo de pirámides, se deben determinar las longitudes de las tres aristas que la componen para obtener el tamaño verdadero de una de las caras laterales de una pirámide, para lo cuales recomendable implementar el uso del giro aplicado a rectas.
· Para las pirámides truncadas, se inicia como si fuese una pirámide completa y se determina la verdadera longitud que corresponde a la porción de cada una de las aristas que luego se toman en el desarrollo completo en su lugar correspondiente.
· Para las pirámides oblicuas, se debe hallar de forma separada la verdadera longitud de cada una, haciéndola girar hasta que quede paralela al plano frontal.
· Para una pirámide oblicua truncada, se debe determinar las longitudes reales de las aristas de la pirámide completa y las longitudes reales de las aristas de la parte truncada.
· Para el desarrollo de prismas rectos, cuya superficie lateral es un rectángulo, se siguen los pasos mencionados anteriormente para el caso de un prisma recto de base apoyado en un plano proyectante horizontal.
· Para el desarrollo de un prisma oblicuo, se desarrollan dos prismas rectos surgidos al cortar el prisma oblicuo mediante un plano π perpendicular a sus aristas laterales.
En el caso del desarrollo de superficies de simple curvatura:
· Para el desarrollo del cono de revolución recto, si se trata de un cono truncado es necesario determinar la transformada de la sección plana, generalmente elíptica, en el desarrollo. Debido a la complejidad de la curva, se debe aplicar un procedimiento que consiste en inscribir en el cono una pirámide de n caras laterales iguales y desarrollarla. 
· Para el desarrollo del cono oblicuo, se realiza un desarrollo aproximado de la superficie del sólido, inscribiendo en él una pirámide y un número determinado de caras laterales y desarrollando ésta última.
· Para el desarrollo del cilindro de revolución recto, en el caso de un cilindro truncado, se determina la transformada de la curva de sección (elipse) mediante el método aproximado, es decir, el desarrollo de un prisma inscrito en el cilindro.
· Para el desarrollo del cilindro oblicuo, se inscribe en él un prisma. La exactitud de este método aproximado depende del número de caras laterales que tenga el prisma.
En cuanto a la intersección de cuerpos sólidos, se pudo comprender que es un modo rápido de crear piezas complejas con muy pocas operaciones. Y según el número de polígonos y el posicionamiento de los mismos, la intersección de sólidos se clasifica en:
· Completa: Dos polígonos
· Mordedura: Un polígono.
· Tangencia simple: Dos polígonos con un punto de tangencia.
· Tangencia doble: Dos polígonos con dos puntos de tangencia.
Para el problema que ocurre en la intersección de dos sólidos como una repetición del problema de intersección entre una línea y un sólido, la solución está dada en la aplicación de varios métodos según el tipo de sólido que sea. Estos procesos de intersección, se logran a partir de la implementación de varios métodos, dentro de los cuales se encuentran la intersección de sólidos mediante el método de planos proyectantes y la intersección de sólidos mediante el método de planos de sección sencilla.
El método de planos proyectantes se aplica a sólidos como los poliedros y los sólidos curvos simplemente reglados. Para este caso, se repite el procedimiento de intersección de recta-sólido haciendo que todos los planos secantes sean perpendiculares a uno de los planos de proyección, simplificando el trazado.
El método de planos de sección sencillo se puede aplicar a sólidos como los prismas, pirámides, cilindros y conos, ya que por sus características formales permiten determinar secciones sencillas en ellos. Para esto, se trazan planos secantes que producen de forma simultánea secciones sencillas en ambos cuerpos. De esta manera, cada uno de los planos secantes origina un par de secciones sencillas coplanarias. La línea de intersección es definida por la unión de los puntos de corte entre las generatrices o aristas que conforman las secciones.
El desarrollo de cuerpos sólidos resulta de gran importancia ya que permite la representación de la superficie exterior de un cuerpo sólido, extendida en un plano; y la intersección de cuerpos sólidos permite tener como resultado un rendimiento más rápido al implicar múltiples sólidos que se superponen unos con otros y dejar sólo los volúmenes de los sólidos que se entrecruzan.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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