trabajo-final-descriptiva-intersecciones-superficies-y-planos-tangentes - Yessica silva (2)

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INTERSECCIONES, SUPERFICIES Y PLANOS TANGENTES
GRUPO	: 2018- II- “B”
GRUPO DE EXPOSICIÓN 	: N° 4
CURSO	: Geometría descriptiva 
DOCENTE	: 
INTEGRANTES:
DEDICATORIA
A los compañeros con quienes aprendimos
 durante este ciclo académico y ahora son
 como hermanos, ya que nos une el humilde
 sueño de edificar una carrera profesional.
	ÍNDICE	
Índice	1
Introducción	1
Objetivos	1
Fundamento teórico para determinar intersección de poliedros:	1
Depurado de un cilindro:	1
¿Muestre dos ejemplos en los que se observe los tipos de superficies planas que a criterio de grupo son de mayor importancia en la ingeniería civil?	1
¿Para que sirve determinar planos tangentes, muestre un ejemplo teórico y sustento grafico y práctico?	1
Grafique la interseccion de poliedros cualquiera estableciendo la importancia de la interseccion que genera.	1
Conclusiones	1
Bibliografía	1
Linkografía	1
INTRODUCCIÓN
Con respecto a intersecciones, se lo usa para designar a aquel punto común en el cual dos líneas se cortan. También para indicar el encuentro entre dos líneas, dos planos o dos objetos que se cortan mutuamente.
Superficies, configuración geométrica que posee solo dos dimensiones, aquellas importantes en el campo de la ingeniería .
Plano Tangente a una superficie, Para que un plano sea tangente a una superficie curva, es indispensable que todas sus rectas que pasan por él o los puntos de contacto con la superficie, sean tangentes a ésta.
OBJETIVOS
 
OBJETIVOS GENERALES:
· Conocer los diferentes conceptos relacionados con intersecciones, superficies y planos tangentes
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
 
· Determinar el fundamento teórico para determinar intersección de poliedros.
· Realizaremos el depurado de la superficie cilíndrica
· Determinar que superficies son importantes en el campo de la ingeniería civil.
· Determinar para que sirven los planos tangentes.
· Establecer la importancia de intersección de poliedros.
INTERSECCIÓN DE SUPERFICIES
Fundamento teórico: Consiste en cortar las superficies dadas por un plano auxiliar y hallar sus intersecciones respectivas con las dadas.
El problema de la intersección de dos sólidos, es en realidad bastante extenso, ya que como se puede entender, los sólidos existentes son de demasiados tipos. Por esta razón podemos decir que no existen reglas fijas para determinar la intersección de dos sólidos, lo que sí es, que se pueden fijar pautas generales reglas particulares enunciadas están de acuerdo con las posiciones y solidos de mayor uso práctico.
Cuando dos superficies planas se intersectan lo hacen de forma que el resultado de la misma es una línea recta. Sin embargo, si la intersección se produce entre dos superficies curvas se obtendrá como resultado una línea común a ambas que no puede ser una recta, sino una curva bien sea abierta, cerrada, plana o alabeada.
1.1 Mordedura:
 Este tipo de intersección se da cuando uno de los dos sólidos se introduce parcialmente en el otro sin llegar a abarcar toda su sección ni ser abarcado por el otro. Esto hace que la línea intersección sea una línea continúa quebrada o curva y casi siempre alabeada.
1.2 Penetración: 
Este efecto se produce cuando al introducirse un cuerpo dentro de otro lo hace totalmente de forma que toda su sección se encuentra en el interior del otro. Esto dará lugar a dos líneas de intersección que no estarán en contacto entre sí, por lo que serán distintas e independientes. Una de ellas se producirá en la zona de entrada del sólido y la otra en la de salida.
1.3 Penetración tangencial: 
Este se podría entender como un caso particular de la penetración y se produce en aquella situación en que los sólidos presentan una tangencia en una de sus aristas o generatrices, por este motivo las líneas de entrada y salida tendrán un punto en común.
1.4 Penetración máxima (doble Tangencia):
Es otro caso de penetración tangencial, aunque esta vez la tangencia se produce en dos costados del sólido penetrante con dos aristas o generatrices del otro.
METODOS PARA DETERMINAR INTERSECCIONES DE SOLIDOS:
· VISTAS AUXILIARES:
Se emplea en el caso de prismas y cilindros y consiste en tomar una vista auxiliar que muestre a las aristas o generatrices de punta.
· PLANOS CORTANTES:
Consiste en trazar una serie de planos cortantes, los cuales determinar rectas o curvas sobre los sólidos. Intersectando estas líneas tendremos puntos pertenecientes a la curva de intersección de sólidos.
Prismas o Cilindros rectos: 
2.1.1 Caso en que estos tienen sus aristas o generatrices perpendiculares al mismo plano de proyección.
 En este caso las líneas de intersección de los dos sólidos son “rectas paralelas a las generatrices o aristas de los mismos” y el problema se resuelve directamente en proyecciones obteniendo los puntos de contacto entre los contornos de las dos proyecciones de los objetos, proyectados sobre el plano al cual son perpendiculares
2.1.2 Caso en que estos tienen sus aristas o generatrices perpendiculares a distintos planos de proyección 
Uno de ellos se presenta de forma que sus aristas o generatrices sean perpendiculares a uno de los planos de proyección, mientras que el otro presenta sus aristas o generatrices paralelas al otro plano de proyección. Este problema se resuelve también de forma inmediata en una de las proyecciones, igual que en el caso anterior. El fundamento teórico sería contener las aristas o generatrices, de aquel cuerpo que las presenta paralelas a uno de los planos de proyección, con planos paralelos a los de proyección para de esta forma determinar la intersección de las aristas del otro con estos planos. Es de resaltar que en la mayoría de las ocasiones es necesario apoyarse en la tercera proyección.
SUPERFICIE CILINDRICA: 
Una superficie cilíndrica, es aquella generada por el movimiento de una recta llamada generatriz y que se mantiene en constante contacto con una curva cualquiera que se llama Directriz, de tal manera que dos generatrices consecutivas e infinitamente cercas son siempre paralelas.
DEPURADO DE UN CILINDRO:
1. Depurado de un cilindro recto cuyo eje es una recta de punta vertical, planos de bases paralelos al plano de proyección. Es de radio “r”
2. Cilindro oblicuo, cuyas bases son elípticas y que se encuentran en planos de cantos normales,
3. Cilindro recto de revolución, cuyo eje es una recta paralela al eje H-F. Sus bases son planos de perfil, es necesario la existencia de la proyección lateral.
4. Tronco de cilindro recto: su base inferior es paralelo al plano horizontal de proyección y su base superior es una elipse que se encuentra en un plano normal. El eje del cilindro es una recta de punta vertical.
5. Cilindro en una posición general: sus bases se encuentran en planos paralelos entre sí, pero que no tienen posición particular referida a los planos de proyección.
¿MUESTRE DOS EJEMPLOS EN LOS QUE SE OBSERVE LOS TIPOS DE SUPERFICIES PLANAS QUE A CRITERIO DE GRUPO SON DE MAYOR IMPORTANCIA EN LA INGENIERÍA CIVIL?
EL TRIANGULO 
TRIANGULACIÓN DE ESTRUCTURAS.
Existen muchas estructuras que están formadas a base de triángulos unidos entre sí. Este tipo de estructuras, que adquieren una gran rigidez, tienen infinidad de aplicaciones. 
	
El triángulo es el único polígono que no se deforma cuando actúa sobre él una fuerza. Al aplicar una fuerza de compresión sobre uno cualquiera de los vértices de un triángulo formado por tres vigas, automáticamente las dos vigas que parten de dicho vértice quedan sometidas a dicha fuerza de compresión, mientras que la tercera quedará sometida a un esfuerzo de tracción. Cualquier otra forma geométrica que adopten los elementos de una estructura no será rígida o estable hasta que no se triangule.
En este sentido, podemos observar cómo las estanterías metálicas desmontables llevan para su ensamblado unas escuadras o triángulos,que servirán como elemento estabilizador al atornillarse en los vértices correspondientes. Análogamente, en los andamios de la construcción se utilizan tirantes en forma de aspa, que triangulan la estructura global y le confieren rigidez. A continuación, puedes observar cómo se pueden convertir en estructuras rígidas un cuadrado y un pentágono.
A base de triangulación se han conseguido vigas de una gran longitud y resistencia, que se llaman vigas reticuladas o arriostradas y que se emplean profusamente en la construcción de grandes edificaciones que necesitan amplias zonas voladas y sin pilares, así como en la de puentes de una gran luz. Las vigas de este tipo tienen una mayor resistencia que las vigas macizas. En las casetas de feria se pueden observar, durante los procesos de montaje y desmontaje, los triángulos que soportan el peso de la lona que las cubre. Estos triángulos se denominan cerchas. También es comprensible ya porque se utilizan tirantes o travesaños en la diagonal de puertas de jardín o cancelas. Las grúas tan frecuentes en las proximidades de las grandes ciudades son estructuras desmontables reforzadas con multitud de triángulos.
Sin duda la estructura reticulada más famosa del mundo es la torre Eiffel. El ingeniero civil francés Alexandre Gustave Eiffel la proyectó para la Exposición Universal de París de 1889. El edificio, sin su moderna antena de telecomunicaciones, mide unos 300 m de altura. La base consiste en cuatro enormes arcos que descansan sobre cuatro pilares situados en los vértices de un rectángulo. A medida que la torre se eleva, los pilares se giran hacia el interior, hasta unirse en un solo elemento articulado. Cuenta con escaleras y ascensores (elevadores), y en su recorrido se alzan tres plataformas a distintos niveles, cada una con un mirador, y la primera, además, con un restaurante. Para su construcción se emplearon unas 6.300 toneladas de hierro. Cerca del extremo de la torre se sitúan una estación meteorológica, una estación de radio, una antena de transmisión para la televisión y unas habitaciones en las que vivió el propio Eiffel.
En conclusión: el triángulo es una de las figuras geométricas más empleadas en la construcción de edificaciones por tener la propiedad de mantener su forma al aplicarse sobre él una fuerza.
EL RECTÁNGULO
Esta figura es un polígono del tipo paralelogramo, puesto que los lados opuestos de un rectángulo son paralelos y tienen las mismas medidas.
Los ángulos que conforman a los rectángulos tienen una amplitud de 90°, por lo que son ángulos rectos. De allí viene el nombre de rectángulo.
El hecho de que los rectángulos tienen cuatro ángulos de la misma amplitud hace que estas figuras geométricas sean denominadas equiángulos.
Cuando un rectángulo es atravesado por una recta diagonal, se crean dos triángulos. Si se atraviesa un rectángulo con dos rectas diagonales, estas se cruzarán en el centro de la figura.
Muchas construcciones, como los edificios o las casas, apelan a muros para sostener su estructura. 
Como observamos las columnas de confinamiento y los muros tienen forma de rectángulos
Vigas
En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento estructural lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas, la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal.
Uno de los ejemplos seria la clase de viga llamada dinteles que tienen forma del rectángulo.
Dinteles: Son aquellas vigas que se sitúan por encima de las aberturas en una pared de mampostería, y que sostienen el vacío que generan las puertas y las ventanas. Actúan de una manera complementaria, al espacio de pared que se extrae para dar lugar a la abertura, el dintel la contrapone soportando el peso sobre la viga que lo constituye. Con frecuencia están a la vista, sobre todo en aquellas construcciones que simulan remitirse a la época colonial, cuando se utilizaban dinteles de madera.
Las vigas son una parte importante en muchos tipos de proyectos de construcción, ya sean residenciales, comerciales o públicos. Estas proporcionan el soporte para los pisos y los techos y vienen en una amplia variedad de formas.
¿PARA QUE SIRVE DETERMINAR PLANOS TANGENTES, MUESTRE UN EJEMPLO TEÓRICO Y PRÁCTICO?
Un plano tangente a una superficie sirve para determinar la intercepción del plano con la superficie es solo una recta, siendo esta recta de intercepción perteneciente al plano de tangencia y a la superficie, en este caso analizaremos los siguientes casos de tangencia.
1. a. Tangencia por un Punto de la Superficie. 
2. b. Tangencia por un Punto Exterior a la Superficie. 
3. c. Tangencia Paralelo a una Dirección Determinada.
1. a: Plano tangente a una superficie cónica por un punto de su superficie. 
Consideremos la superficie cónica do vértice V, plano de base B y directriz d.
	Análisis del Problema 
Si unimos el Vértice del cono con el punto m de su superficie, se determina la recta generatriz del corto que viene a ser. la recta de tangencia del plano y el cono. Como todas las rectas del plano tangente deben serlo a la superficie cónica, también deberá ser la recta t que se encuentra en el plano de base y es tangente a la directriz d. Por lo tanto, el plano tangente pedido es determinado por la generatriz que pasa por el punto dado en la superficie y por la tangente a la directriz que es trazado. Por el punto de intersección de la generatriz con el plano de base de la superficie cónica. 
 Según esto, el procedimiento seguido seré el siguiente: 
· Se une el punto m con al vértice del cono V 
· Se determina la intersección de la generatriz Vm con la directriz: punto s. 
· Por el punto s trazamos una tangente a la directriz y que se encuentra en el plano de base: recta t 
· El plano tangente buscado queda determinado por las rectas: 
generatriz Vm y tangente t.
2. b: Plano Tangente a una Superficie Cónica por un Punto Exterior: 
Sea la superficie cónica de vértice V, directriz d y plano d base B. además sea el punto exterior m por el cual debe trazarse el plano tangente pedido 
 
 
Análisis del proceso 
· Unimos el vértice V del cono con el punto exterior m 
· La recta Vm determinada, la intersectamos con el plano de base B, lo que nos va a definir el punto i. 
· Evidentemente el plano tangente buscado debe pasar por la recta que el vértice y el punto exterior. 
· Por el punto i en el plano de base, trazamos la tangente a la directriz con punto de contacto w. el punto w y el vértice van a determinar la generatriz de tangencia del plano buscado y el cono. 
· En esta forma el plano tangente pedido queda determinado en primera instancia, por los puntos V, i , t. Uniendo convenientemente estos puntos, se forman las rectas del plano tangente pedido. 
 
Observación: Cono puede deducirse de la figura, es claro ver que desde el punto i pueden trazarse dos rectas tangentes a la directriz; esto va a dar lugar a que el problema tenga 2 soluciones: es decir, que por el punto exterior, se pueden trazar dos planos tangentes a una superficie cónica. 
 También es claro ver, que si el punto de intersección 1 cae en el interior de la directriz, el problema no tiene solución.
3. c: Plano Tangente a una Superficie Cónica y que sea Paralelo a una Dirección Determinada: 
Tenemos la superficie cónica de Vértice V directriz d y plano de base B. Debemos trazar un plano tangente a ella y que sea paralelo a una dirección determinada, tal como la vz. 
 
 
Análisis del Proceso: 
Como el plano pedido debe ser paralelo a la recta de dirección vz, tiene lógicamente que contener a una recta que sea paralela a ella. Por esta razón, por el vértice del cono, se traza una recta paralela a la dirección determinada. 
· La recta paralela trazada por V, se intersecta con el plano de base del cono: punto de intersección i. 
· Por el punto i trazamos las tangentes a la directriz y cuyos puntos de contacto son w y w’ .Estos puntos, unidos con el vértice, formarán las generatrices de contacto del plano tangente y él cono. Como se puedeobservar, este plano tangente al contener a le recta Vi que es paralela a la dirección vz, también lo es a ella. 
Observaciones: 
· En el caso más general, el problema debe tener dos soluciones, ya que siempre es posible trazar las dos tangentes a la directriz. 
Evidentemente, cuando el punto de intersección de la paralela a vz con el plano de base, cae dentro de la directriz significará que el problema con las condiciones dadas, no tiene solución alguna. 
GRAFIQUE LA INTERSECCION DE POLIEDROS CUALQUIERA ESTABLECIENDO LA IMPORTANCIA DE LA INTERSECCION QUE GENERA.
CASOS DE INTRSECCIÒN TÌPICA DE POLIEDROS 
MORDEDURA O ARRANCAMIENTO
 POR PENETRACIÒN
· Grafiquemos la intersección de poliedros cualquiera.
1) Intersección de una recta con un poliedro cualquiera.
Determinar la intersección de una recta MN con la pirámide V-ABC.
1.1 Por la recta MN hemos hecho pasar el plano auxiliar de canto vertical (su proyección horizontal se confunde con la proyección MHNH de la recta).
1.2 Se determina la intersección de la recta MN con el plano auxiliar que es polígono plano 1-2-3-4 y cuya proyección horizontal es determinado sencillamente aplicando procedimientos ya conocidos)
1.3 Encontramos la proyección frontal del polígono de intersección trazando simples referencias (se halla 1F2F3F4F).
1.4 En dicha proyección frontal, se observa que la recta MN corta a los lados 1-2 y 3-4 del polígono auxiliar. En esta posición queda determinado los puntos IF y IF`, que son los puntos de intersección de la recta y el poliedro.
1.5 Habiendo determinado IF e IF`, podemos fácilmente con referencias, encontrar IH E IH`.
1.6 Una vez encontradas las intersecciones buscadas, se determina la visibilidad del conjunto, aplicando las reglas ya conocidas. 
2) Intersección de dos prismas.
Dadas las proyecciones en H y F de dos prismas, hallar la intersección.
-Proyectamos en un plano adyacente una nueva vista de los sólidos dados dónde el otro prisma se proyectará con las aristas como punto.
-Identificando el tipo de intersección, enumeramos y luego procedemos a hallar los puntos de intersección de las aristas que se proyecten como punto con las caras del otro poliedro.
La fig.2, nos muestra las proyecciones de dos prismas, uno de ellos lo disponemos con las arista como punto en el plano 1, donde realizamos un análisis de visibilidad preliminar de los sólidos proyectados.
-Se trata de una intersección por mordedura y la numeramos como a tal para hallar los puntos de intersección.
- Algunos puntos tales como: 1, 2, 5, 7,9 y 11 podemos identificarlos por simple inspección, en el plano adyacente H, a las aristas al cual pertenecen.
-Los otros puntos, observamos su cota y apartamiento de uno respecto al otro; por ejemplo, para el punto 4 y 10, observamos que 4 está a la derecha de 10, lo que ubicamos en el plano anexo de F y corroboramos su posición en el plano M. Así continuamos con los puntos 6, 8,3 y 12 respectivamente.
-Ubicados los puntos de intersección, realizamos el definitivo análisis de visibilidad ayudándonos d que aristas son visibles e invisibles en el poliedro.
3) Intersección entre prismas y pirámides
En la fig. 12.4 se pide hallar la intersección entre una pirámide y un prisma.
Para hallarlo haremos una combinación de intersección de recta con plano y planos cortantes.
· Así, por una arista MN (léase recta MN) para hallar el punto de intersección con la cara VBC (Léase plano VBC), disponemos un plano cortante vertical Z, el que según los puntos A y B en VC y CB respectivamente, nos rinda el punto 2 de intersección. Utilizamos el mismo plano cortante para ubicar el punto 1 en la cara BAV.
· La obtención de los demás puntos y la visibilidad queda indicada.
4) Intersección entre dos pirámides.En el gráfico de la figura 12.5 se debe determinar los puntos de intersección de las pirámides dadas.
-Luego de realizar el análisis preliminar de visibilidad y haber realizado los pasos previos de reconocimiento de tipo de intersección, para hallar los tipos de intersección recurrimos a método combinado de “los planos cortantes e intersección de recta con plano”.
- Logrado los diversos puntos de intersección, unimos dichos puntos, teniendo en cuenta la visibilidad de la traza respecto a las caras visibles o invisibles de los poliedros.
Como la obtención de los puntos de intersección se funda prácticamente en el procedimiento de intersectar aristas con uno de los poliedros con las caras del otro, para realizar un proceso más sincronizado podremos recurrir a formar una tabla de obtención de os puntos de intersección.
Conclusión y configuración de la traza:
El tipo de intersección que s tiene en la figura 12.5 es del tipo penetración que objetivizamos uniendo los puntos 13745 y 286 que configuran la traza de intersección de entrada y salida respectivamente de una de las pirámides en la otra pirámide, y cuya visibilidad sea patentizada recurriendo a la visibilidad.
CONCLUSIONES
· Podemos identificar la intersección de poliedros al trazar un plano auxiliar e intersectarlos con ellos.
· Como observamos hicimos el depurado de la superficie cilíndrica, teniendo en cuenta las posiciones particulares.
· Determinamos que las superficies son muy importantes y que nos ayudan mucho en el campo de la ingeniería civil como para otras ramas. 
· Después de haber estudiado el capítulo de intersección de poliedros cualquiera, llegamos a la concluir que en la intersección de dichos sólidos siempre será otro sólido sin importar el tipo de intersección en la que se esté trabajando.
BIBLIOGRAFÍA
· Chumbiray H. (1990). Geometría descriptiva. Lima- Perú: moshera.
· Izquierdo F. (1978). Geometría descriptiva. Madrid: Paraninfo
· Nakamura J.. (1970). Geometría descriptiva. Lima: weh editores S.A.LTDA.
· Ing. Choza R,Ing. Franco A, Arq. Atuncar G.. (1994). Geometría descriptiva-curso superior moderno-C.L.Deskrep. Lima- Perú.: Universitas.
LINKOGRAFÍA
https://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0053-02/contenido/8_triangulacion.htm
https://www.tutareaescolar.com/caracteristicas-del-rectangulo.html
http://construcarqui.blogspot.com/2015/12/vigas.html
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