15 - Trigonometría - Mario Sánchez

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TRIGONOMETRÍA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual Cesar Vallejo
Docente: 
IDENTIDADES DE 
REDUCCIÓN AL PRIMER 
CUADRANTE 
OBJETIVOS
❑Reconocer las reglas de las identidades 
de reducción al primer cuadrante.
❑Calcular el valor de las razones 
trigonométricas de ángulos de cualquier 
medida como: 120° ; 750°; 1110° ; en 
función de ángulos conocidos. 
Utilizando las formas :
𝟗𝟎° ± 𝜽; 𝟏𝟖𝟎° ± 𝜽; 𝟐𝟕𝟎° ± 𝜽; 𝟑𝟔𝟎° − 𝜽;
𝟑𝟔𝟎°𝒏 + 𝜽
❑Aplicar las identidades reducción al
primer cuadrante a la resolución de
problemas, en particular problemas de
examen de admisión
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
INTRODUCCIÓN
𝐸𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛𝑖𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑣𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒
𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑣𝑖𝑜𝑠, 𝑠𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠
𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑗𝑒 𝑒𝑗𝑒
𝑁𝑂𝑅𝑇𝐸 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
N
S
O E
53°
70°
𝐸𝑠𝑡𝑜𝑠 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑟𝑢𝑚𝑏𝑜
¿Sabias que ?ING. NAVAL
Es una carrera que puedes 
estudiar en la UNI. 
Su formación toma en cuenta 
la complejidad de la tecnología 
naval moderna y la 
singularidad del litoral 
peruano.
Tiene la finalidad de realizar el 
diseño, construcción, 
mantenimiento, operación y 
administración de todo tipo de 
naves así como estructuras 
marítimas y portuarias, sean 
concebidos por ingenieros 
altamente especializados.
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
sen(x±y)=senxcosy±cosxseny
cos(x±y)=cosxcosy±senxseny
tan(x±y)=
o SENO Y COSENO DE LA SUMA O DIFERENCIA
DE DOS ÁNGULOS
La clase anterior 
estudiamos las 
fórmulas 
Aplicación : ¿Cómo podemos calcular el valor de 
cos 240° usando las identidades trigonométricas? 
o cos(270° − 30°) =
0 −1
cos(270°−30°)=−sen30°
cos270°cos 30°+sen270°sen30°
0 −1
cos(270°−θ)=−senθ
cos270°cos θ+sen270°senθo cos(270°−θ) =
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Consideremos: cos 240° = cos 270° − 30°
En general, podemos determinar cos(270° − 𝜃)
tanx ± tany
1 ∓ tanxtany
Observamos que:
cos 240°=
cos 180° + 60°
cos(270° − 30°)
cos(120° + 120°)
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
𝐈𝐃𝐄𝐍𝐓𝐈𝐃𝐀𝐃𝐄𝐒 𝐃𝐄 𝐑𝐄𝐃𝐔𝐂𝐂𝐈Ó𝐍 𝐀𝐋
𝐏𝐑𝐈𝐌𝐄𝐑 𝐂𝐔𝐀𝐃𝐑𝐀𝐍𝐓𝐄
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
o IDENTIDADES PARA ANGULOS MENORES QUE 
UNA VUELTA 
R.T.(180° ± θ) = ± R. T. (θ)I)
II) R.T.(360° − θ) = ± R. T. (θ)
Donde
R. T ∶ Razón trigonometrica .
θ ∶ Se considera ángulo águdo
±: El signo depende del cuadrante al que
pertenece el angulo a reducir
Observación 
Grafiquemos los ángulos 
180° + θ , 180° − θ, 360° − θ
en posición normal.
▪ 180° + θ
(180° + θ)
𝑋
𝑌
∊ IIIC
θ
▪ 180° − θ
(180° − θ)
𝑋
𝑌
∊ IIC
θ
▪ 360° − θ
(360° − θ)
𝑋
𝑌
∊ IVC
θ
IV)
R.T.(90° + θ) = ± coR. T. (θ)
R.T.(270° ± θ) = ± coR. T. (θ)
III)
𝐶𝑜 − 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
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IC
Todas R.T. 
son +
IIC
𝒔𝒆𝒏 ∧ 𝒄𝒔𝒄
+
IIIC
𝒕𝒂𝒏 ∧ 𝒄𝒐𝒕
+
IVC
𝒄𝒐𝒔 ∧ 𝒔𝒆𝒄
+
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
o cos(180° + θ) =
Ejemplos
∊ IIIC
−
senθ
o tan(180° + α) =
∊ IIIC
+ tanα
o sen(180° − θ) =
∊ IIC
o tan(180° + α) =
∊ IIIC
+ tanα
+
cosθ
o cot(360° − α) = − cotα
∊ IVC
• Recordemos el signo de razones 
trigonométricas
Un ángulo en posición normal que no termina en
algún semieje coordenado, es decir el ángulo
pertenece a un cuadrante, tiene un signo que va
estar determinado por las coordenadas del punto en
el lado final.
Así tenemos el siguiente esquema de signo de las
razones trigonométricas.
X
Y
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
▪ 90° + θ
90° + θ
𝑋
𝑌
∊ IIC
θ
▪ 270° + θ
270° + θ
𝑋
∊ IVC
θ
▪ 270° − θ
270° − θ 𝑋∊ IVC
θ
120° = 90° + 30°
∊ IIC
240° = 270° − 30°
∊ IIIC
300° = 270° + 30°
∊ IVC
Entonces 
Ejemplos
o sen(90° + θ) =
∊ IIC
+
cscθ
o tan(90° + α) =
∊ IIC
− cotα
o sec(90° + θ) =
∊ IIC
−
cosθ
𝑌
o cos(90° + θ) =
∊ IIC
− senθ
cosθo sen(270° − θ) =
∊ IIIC
−
o tan(270° + α) =
∊ IVC
− cotα
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Aplicación 1
Halle el valor de sen143°
Resolución
Nos piden sen143°
sen143° =
sen143° =
sen(180° − 37°) = + sen37°
∊ IIC
sen143° =
3
5
sen(90° + 53°) = + cos53°
sen143° =
3
5
Otra forma 
∴
∴
Aplicación 2
Halle el valor de sen300°
Resolución
Nos piden sen300°
sen300° =
sen300° =
sen(360° − 60°) = − sen60°
∊ IVC
sen300° = − 3
2
sen(270° + 30°) = − cos30°
IVC
sen300° = − 3
2
Otra forma 
∴
∴
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
∊ IIC
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Aplicación 3
Halle el valor de sen315°
Resolución
Nos piden sen315°
sen315° =
sen315° =
sen(360° − 45°) = − sen45°
∊ IVC
sen315° = −√2
2
sen(270° + 45°) = − cos45°
∊ IVC
sen315° =−√2
2
Otra forma 
∴
∴
Aplicación 4
Determine el valor de
H =
−1 + (
−1
2 )
−2
Resolución
H =
tan135° + 𝑐𝑜𝑠240°
sec 120°
o tan135°= −tan(180° − 45°)=
∊ IIC
tan45°= −1
o cos240°= −cos(180° + 60°)=
∊ IIIC
cos60°=
−1
2
o sec120°= −sec(180° − 60°)=
∊ IIC
sec60°= −2
Reemplazando
3
4
=∴
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Si el ángulo esta en radianes 
no es necesario escribir la 
unidad, por ejemplo : 
Recuerda que …
πrad =180°
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑 = 90°
3𝜋
2
𝑟𝑎𝑑 = 270°
2πrad = 360°
Aplicación 5
E =
tan π + θ − cot(π − θ)
sec(π − θ)
Reduzca la siguiente expresión
Resolución
E =
tan π + θ − cot(π − θ)
sec(2π − θ)
Nos piden 
∊ IIIC ∊ IIC
∊ IVC
E =
+tanθ − (− cot θ)
+ sec θ
E =
+tanθ + cot θ
+ sec θ
E =
𝑠𝑒𝑐θ𝑐𝑠𝑐θ
+ sec θ
E=𝑐𝑠𝑐θ
Aplicación 6
Halle el valor de tan
4𝜋
3
Resolución
tan
4𝜋
3
= tan(π +
π
3
)
∊ IIIC
tan
4𝜋
3
= +tan
π
3
tan
4𝜋
3
= 3∴
∴
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tan(πrad) = tan (π)
Observación :
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Aplicación 7
A partir del gráfico, halle tanα
X
Y
α
13
Resolución
α12
13
5
𝜃
Luego, se observa 
𝜃 + 𝛼 = 180°
𝛼 = 180° − 𝜃
Se cumple 
𝑡𝑎𝑛𝛼 = tan(180° − 𝜃)
𝑡𝑎𝑛𝛼 =
∊ IIC
= tan 𝜃−
−
12
5
∴
𝑡𝑎𝑛𝛼 = −𝑡𝑎𝑛θ
En la aplicación vemos 
que :
Si 𝜃 + 𝛼 = 180°
Se cumple 
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
PROPIEDAD
𝑆𝑖 α + θ = 180°
Se cumple que :
𝑠𝑒𝑛α = 𝑠𝑒𝑛θ
cosα = −𝑐𝑜𝑠θ
tanα = −𝑡𝑎𝑛θ
Ejemplos
o sen130°=sen50°
o sen120°=sen60°
o cos150°=−cos30°
o tan140°=−tan40°
o tan143°=−tan37°
o cot135°=−cot45°
o cot105°=−cot75°
o sec105°=−sec15°
o csc120°=c𝑠𝑐60°
o csc100°=c𝑠𝑐80°
Aplicación 8
Reduzca La siguiente expresión
S=cos10°+cos20°+cos30°+ cos40° +cos50°……..+cos170°
Resolución
S= cos10°+cos20°+cos30°+cos40°….cos80°+cos90°+ cos100°
…..+cos140°+cos150°+cos160°+cos170 °
−cos20°−cos40°
−cos80°
(0)
S= 0∴
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Nos piden 
−cos30° −cos10°
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
R.T.(360°𝑛 + θ) = R. T. (θ)
R.T.(2π𝑛 + θ) = R. T. (θ)
PARA ÁNGULOS MAYORES A UNA 
VUELTA 
n∊Ζ
Ejemplos
o cos(360° + θ) = cosθ
cos(1080° + 30°) =
= cscθ
tanα
o cot(6π + θ) =
= cosθ
cot ( 2π 3 +θ )
o csc(32π + θ) =
= cotθ
o tan
7𝜋
3
= tan(2𝜋 +
𝜋
3
) = tan
𝜋
3
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Pues la diferencia de ambos 
es un múltiplo de 360°
θ: es un ángulo de cualquier medida
= secθ
o cos1110°=
Si n es un numero entero 
entonces 360°.n representa 
un numero entero de vueltas, 
de forma practica esta se 
puede eliminar 
sec
o tan(360° + α) = tanα
o sec(720° + θ) =
cos(360° 3 + θ )
(360° 2 +θ )
csc ( 2π 16 +θ )
Además los ángulos 
360°𝑛 + θ y θ son ángulos 
coterminales.
(𝑛 ∊ Ζ)
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C U R S O D E T R I G O N O M E T R ÍA
Aplicación 9
Reduzca la expresión
E = sen 20π + x − sen(79π − x)
Resolución
Aplicamos reducción al primer cuadrante para ángulos 
mayores a una vuelta 
▪ sen 20π + x = sen 2π(10) + x = sen x
▪ sen 79π − x = sen 78π + π − x = sen 2π 39 + π − x
= sen π − x = senx
∊ IIC
Reemplazando en E
E = senx − senx
E = 0
Aplicación 10
Calcule el valor de cot1470°+tan780°
Resolución
cot1470° = cot(1440°+30°) =
360°(4)
cot30° = 3
tan780° = =
360°(2)
tan(720°+60°) 3
Reemplazando en lo pedido
3 + 3 = 2 3∴
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PARA ÁNGULOS DE LA FORMA (−𝐗)
sen(−x) = −sen (x)
cos(−x) = cos (x)
tan(−x) = −tan (x)
Se tiene el ángulo x en sentido antihorario,
−x en sentido horario
X
Y
X
-X
(a;b)
(a;−b)
c
c
Por ángulo en posición normal
senx =
b
c
sen(−x)= −b
c
(I)
(II)
Reemplazando (I) en (II)
sen(−x) = −sen (x)∴
▪ Análogamente se cumple 
lo siguiente 
Ejemplos
o sen(−30°) = −sen30°
o cos(−10°) =cos10°
o tan(−10°) =−tan10°
o sen(−120°) =−sen120°
=−sen60°
o sen(θ−90°) =−sen −(90° − θ )
=−cosx
= −cos θ
o cos(x−180°) = cos(−(180°-x) )
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= cos (180°-x) 
= −sen 90° − θ
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Aplicación 11
Simplifique la siguiente expresión
𝐴 =
𝑠𝑒𝑛 −𝑥 + cos(−𝑥)
𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
Resolución
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 − 𝑥
𝐴 =
𝑠𝑒𝑛 −𝑥 + cos(−𝑥)
𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝐴 =
−𝑠𝑒𝑛𝑥 + cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝐴 =
−(𝑠𝑒𝑛𝑥 − cos 𝑥)
𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝐴 = −1∴
Aplicación 12
Si se cumple que
sen x − 180° =
2
3
Halle cos2x
Resolución
Damos forma al dato
sen − 180° − x =
2
3
Por identidades de ángulos
negativos
∊ IIC
−sen 180° − 𝑥 =
−senx =
2
3
senx = −
2
3
Sabemos que 
cos2x = 1 − sen2x
cos2x = 1 − −
2
3
2
cos2x = 1 −
2
9
cos2x =∴
7
92
3
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C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
❑ Lumbreras Editores. (2017). Temas Selectos “Identidades trigonométricas” , Lima , 
Perú
Bibliografía
❑ Lumbreras Editores. (2018). Trigonometría, Una visión analítica de las funciones , Lima , 
Perú
❑ PIXABAY. (2020). pixabay.com, Imágenes libres de derecho de autor , Lima 
, Perú
❑ Juan Carlos Sandoval Peña . (1981). Trigonometría Moderna , 631 pag , Lima , Perú
❑ Sullivan , Editorial PEARSON , Algebra y trigonometría , 7ma edición
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A