Trigonometría 4

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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) 
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta 
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión 
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, 
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna 
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de 
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su 
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de 
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o 
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su 
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección 
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación 
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales 
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos 
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída 
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la 
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier 
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia 
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de 
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. 
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de 
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su 
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda 
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia 
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y 
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a 
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente 
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y 
principios de las Naciones Unidas. 
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a 
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin 
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y 
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá 
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho 
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de 
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1.	 Toda	persona	tiene	derecho	a	la	libertad	de	reunión	y	de	asociación	pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, 
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las 
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta 
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de 
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto 
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida 
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los 
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al 
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a 
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el 
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por 
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y 
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme 
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por 
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa 
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una 
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas 
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así 
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el 
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; 
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, 
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de 
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. 
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho 
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, 
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La 
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional 
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual 
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana 
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades 
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre 
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el 
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento 
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que 
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de 
la	comunidad,	a	gozar	de	las	artes	y	a	participar	en	el	progreso	científico	y	
en	los	beneficios	que	de	él	resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y 
materiales	que	le	correspondan	por	razón	de	las	producciones	científicas,	
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional 
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan 
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona 
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único 
fin	de	asegurar	el	reconocimiento	y	el	respeto	de	los	derechos	y	libertades	
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden 
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en 
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada	en	esta	Declaración	podrá	 interpretarse	en	el	sentido	de	que	confiere	
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y 
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los 
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
4
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TrigonomeTría
Matemática
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® matemátIca delta 4, secundaria
 trigonometría
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 mauro enrIque matto muzante
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Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la 
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artículo 217.o.- será reprimido con pena privativa de libertad no 
menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa, 
el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, 
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una 
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier 
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y 
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios 
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el 
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con 
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total 
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución 
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma 
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o 
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, 
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior 
importe cada uno.
Apertura
En esta sección 
encontrarás 
temas 
novedosos 
que propician 
sostener 
una relación 
cercana con la 
Matemática.
El desarrollo del 
tema se da en 
esta sección, 
donde 
encontrarás las 
definiciones 
organizadas 
siguiendo una 
secuencia 
didáctica.
Marco 
teórico
Conoce tu libro
154
Tema 15
Funciones trigonométricas
Una función trigonométrica es aquella función cuya regla de correspondencia es una razón 
trigonométrica de un ángulo x expresado en radianes.
f(x) = R.T.(x); ∀ x ∈ , x en radianes
Periodo: T = 2π
Dom f = 
Ran f = [−1 ; 1]
y
1
−1
x
π 2π
Función seno
f(x) = sen x; x ∈ 
π
2
3π
2
5π
2
Periodo: T = 2π
Dom f = 
Ran f = [−1 ; 1]
y
x
π 2π
Función coseno
f(x) = cos x; ∀ x ∈ 
π
2
3π
2
Periodo = π
Dom f = − {(2n + 1) π
2
}
Ran f = 
y
x
π 2π
Función tangente
f(x) = tg x; ∀ x ∈ − {(2n + 1) π
2
; n ∈ }
π
2
3π
2
Recu e rda
Not a
−1 ≤ sen x ≤ 1
−1 ≤ cos x ≤ 1
La función tangente 
es creciente en todo 
su dominio.
90°
90°
0°
0°
1
1
−1
−1
270°
270°
C.T.
C.T.
180°
180°
360°
360°
1
−1
T = 2π 
T = 2π 
T = π 
Import a nt e
Son utilizadas 
frecuentemente en 
cálculos técnicos 
como en la 
topografía, así como 
en las máquinas que 
manejan el ritmo 
cardiaco.
Título del temaPara una mejor 
organización, los temas 
están numerados.
Comentarios y/o 
lecturas que refuerzan 
el desarrollo del tema
20
1
3
Ejercicios resueltos
Calcula el perímetro del sector AOB.
2 Halla el valor de x.
Rpta. 21 u 
El perímetro de un sector circular es el quíntuple 
del radio. Determina la medida del ángulo central 
en radianes.
Rpta. 3
Rpta. 3 rad
Resolución:
Resolución:
L = θ ⋅ r 7 = (x – 3)(x + 3)
7 = x2 – 9
x = 4
∴ 2p = 2r + L = 2(7) + 7 = 21 u
 
=
L1
r1
 
4
3 = 
8
3 + x
4(3 + x) = 3(8)
 12 + 4x = 24
 4x = 12
 x = 3
2p = 2r + L
5r = 2r + L
3r = L
3r = θ ⋅ r 
 3 = θ
∴ L = θ ⋅ r
L2
r2
Resolución:
7 u(x – 3) rad
(x + 3) u
A
B
O
8 u4 u
x
3
A
B
O
4 Encuentra el área de la región sombreada.
Resolución:
Rpta. 8 u2
11 u
4
x
4
7
A
B
O
L1
r1
 = 
L2
r2
 
x
4
 = 
11
4 + 7
 x = 4
	 		∴ A = 
L ⋅ r
2
 = 4 ⋅ 4
2
 = 8 
5 El área de un sector circular es 15 m2. Si duplicamos 
el ángulo central y triplicamos su radio, ¿cuál será 
el valor del área del nuevo sector circular?
Rpta. 270 m2
Resolución:
Inicial
 A = 
θ ⋅ r2
2
15 m2 = 
θ ⋅ r2
2
Final
A = 
(2θ) ⋅ (3r)
2
A = 
2θ ⋅ 9r2
2
 = 
18 θr2
2
A = 18 ×	15 m2 = 270 m2
6 Descubre el área de la región sombreada.
Rpta. 12 u2
Resolución:
Por diferencia de áreas.
7 u1 rad 5 u
A
B
O
A = 
L2
2θ
As = 
72
2(1) – 
52
2(1) = 
49 – 25
2
 = 
24
2
As = 
24
2
nombre de la 
sección
algoritmo de 
resolución 
del problema 
planteado.
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas 
reales o simuladas, 
planteadas de 
acuerdo al tema.
Ejercicios 
resueltos
se muestran 
ejercicios que 
están resueltos 
didácticamente, 
los mismos que 
servirán para 
el análisis del 
estudiante.
3MateMática Delta 4 - trigonoMetría
Síntesis
Contenido del tema, 
que incluye teoremas, 
postulados, fórmulas, 
propiedades, leyes, etc., 
resumido en organizadores 
gráficos para tener un 
panorama general del 
contenido.
Modela y resuelve
Los problemas con 
numeración impar serán 
resueltos por el docente, 
mientras que los pares serán 
resueltos por el estudiante 
siguiendo la secuencia 
realizada por el educador.
64
Síntesis
Modela y resuelve 
4
Razones trigonométricas de ángulos en posiciónnormal
signos
ángulos coterminales
ángulos cuadrantales
r = x2 + y2 es un punto del lado terminal
β – α = n ⋅ 360º R.T. (α)= R.T. (β)
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
2 Si B(–2 ; 3) es un punto del lado final de un 
ángulo en posición normal β, calcula el valor de 
13cos β – 2tg β.
Si cos α = – 1
2
 ∧ α ∈ III C, halla el valor de P.
P = 3tg2 (α) – 1
3 Si tg α = –1 ∧ α ∈ IV C, halla el valor de Q.
Q = sen2 α + 3
Resolución:
Resolución:
• sen α = y 
r 
 • csc α = r 
y 
 
• cos α = x 
r 
 • sec α = r 
x 
 
• tg α = y 
x 
 • ctg α = x 
y 
 
 
 
 
 
 
1 Si A(1 ; –1) es un punto del lado final de un 
ángulo en posición normal α, calcula el valor de 
2sen α + cos2 α.
Resolución:
 
Rpta.
cos
sec (+)
Todas
(+)
(+)tgctg
(+)sencsc
y
x
(–1 ; 0)
(1 ; 0)180° 0°
90°
270°
360°
(0 ; –1)
(0 ; 1)
r = 1
r = 1
r = 1
r = 1
y
(a ; b)
β
α
x
Resolución:
 
 
α
r
y
x
0°180°
90°
270°
360°
III C IV C
II C I C
nombre de la 
sección
nombre de la 
sección
Espacio para 
resolver el 
problema.
Organizador 
visual
Enunciado del problema 
o de la situación 
planteada.
87MateMática DELTA 4 - trigonoMetría
Practica y demuestra
Nivel I
 A VVV B VVF C FVV
 D FFF E FVF
2 Determina el valor de verdad de las siguientes 
relaciones de orden:
sen 95º > sen 175º ( )
cos 20º > cos 50º ( )
tg 30º < tg 330º ( )
1
5 Si α y β ∈ R, encuentra el máximo valor de P.
P = –3sen α + 5cos β
 A 4 B 3 C –2
 D 8 E –8
 
4 Si 90º < α < β < 180º, entonces se cumple que:
I. sen α > sen β
II. sen2 α + cos2 β = 1
III. cos α > cos β
 A Solo I B Solo II C Solo III
 D I y II E I y III
3
 A B C –
 D – E 1
Halla el valor de x.
y
xr = 1
x ; – 5
3
→ C.T.
2
 A [–5 ; 1] B [2 ; 3] C [–2 ; 3]
 D [–1 ; 5] E [1 ; 3]
4 Calcula la extensión de m, si m + 2
3
 = cos q (q ∈ R).3
 A sen q ⋅ cos q B sen2 q
 C 1 D –2sen q cos q
 E cos2 q
Descubre el área de la región sombreada.6
q
x
y
2
3
2
3
 5
4
 5
4
Preguntas planteadas, 
estas pueden ser 
situaciones reales o 
simuladas.
Espacio 
para realizar 
anotaciones de 
resolución.
alternativas
nombre de la 
sección
Test
Esta evaluación incluye 
preguntas del contenido de 
los temas desarrollados en 
la unidad y son de elección 
múltiple.
Practica y 
demuestra
En esta sección se 
plantean preguntas que 
han sido organizadas por 
niveles de complejidad 
y de elección múltiple 
en la que el estudiante 
demostrará lo aprendido 
durante la sesión.
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas reales o 
simuladas, planteadas de 
acuerdo a la unidad.
número de test
alternativas
Nombre: n.° de orden: Sección:
49MateMática DELTA 4 - trigonoMetría
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
(20 – x)°
 A 60° B 40° 
 C 50° D 30°
 7π
9
 rad
Calcula el valor de x.1
 A VVV B VVF 
 C FFF D FFV
 
Si 3723'' = a°b'c''. Encuentra el valor de verdad 
de las siguientes proposiciones:
I. ab + ba = 3
II. ca = 3
III. a > b> c
4
x
α
β
 A 90° – β + α B 90° + β – α
 C 90° + β + α D β – α
Halla el valor de x.2
80g x
15 cm
 A 2π cm B 1π cm
 C 7π cm D 6π cm
Descubre el valor de x.5
 A 1 2 B 
3 
2
 C 1 3 D 
2 
3
A
B
O 60º
 
 
Determina la relación entre el área de la región 
sombreada y no sombreada.
3
4a 12b
3b
6a
θ
3
 A 22 B 33
 C 44 D 42
Calcula el valor de P = 2θ2 + 3θ.6
Test n.° 1
4
5MateMática Delta 4 - trigonoMetría
1
3
2
4
R
es
ue
lv
e 
pr
ob
le
m
as
 d
e 
fo
rm
a,
 m
ov
im
ie
nt
o 
y 
lo
ca
liz
ac
ió
n
Modela objetos 
con formas 
geométricas y sus 
transformaciones.
sistemas de medidas angulares 8
Ángulo trigonométrico y sistemas de medidas angulares
Conversión entre sistemas de medida angular
sector circular 18
Área de un sector circular
Propiedades relativas a la longitud de arco
razones trigonométricas de un ángulo 28
Razones trigonométricas recíprocas y complementarias
Triángulos notables y aproximados
resolución de triángulos rectángulos 38
aplicaciones de resolución de triángulos rectángulos
sistemas de coordenadas rectangulares 50
Propiedades
La recta
razones trigonométricas de un ángulo en posición normal 60
Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales
Ángulos coterminales y sus razones trigonométricas
reducción al primer cuadrante 70
Propiedades
circunferencia trigonométrica I 80
arco en posición normal
Razones trigonométricas de un arco en posición normal
circunferencia trigonométrica II 93
seno verso y coseno verso
Exsecante y excosecante
Identidades trigonométricas 102
Identidades recíprocas e identidades por cociente
Identidades pitagóricas e identidades auxiliares
Identidades trigonométricas de ángulos compuestos 112
seno y coseno de la suma y diferencia de dos ángulos
Tangente y cotangente de la suma y diferencia de dos ángulos
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples 122
Ángulo doble
Ángulo mitad
Ángulo triple
transformaciones trigonométricas 101
Transformando de producto a suma o diferencia
Transformando de suma o diferencia a producto
resolución de triángulos oblicuángulos 144
Ley de senos y ley de cosenos
Ley de las proyecciones y ley de tangentes
Funciones trigonométricas 154
Funciones de las razones trigonométricas
ecuaciones trigonométricas 165
Ecuación trigonométrica elemental
solución de una ecuación trigonométrica
unidad competencia y capacidades contenidos pedagógicos páginas
Comunica su 
comprensión 
sobre las formas 
y relaciones 
geométricas.
Usa estrategias 
y procedimientos 
para orientarse 
en el espacio.
argumenta 
afirmaciones 
sobre relaciones 
geométricas.
Índice
Abú al-Wafá Buzjani fue un astrónomo y 
matemático persa nacido el 10 de junio 
del año 940 d. C. en la ciudad de Buzghan.
Wafá fue criado durante el período en 
que se estableció la dinastía Búyida que 
gobernaría sobre Irán. Al parecer, fue 
durante el reinado de Adud ad-Dawlah, 
quien gobernó desde Bagdad (sobre todo 
el sur de Irán) y la mayor parte de lo que 
actualmente es Irak. 
Abú al-Wafá,
uno de los 
padres de la 
Trigonometría
Adud ad-Dawlah apoyó una serie de matemáticos; Abú se trasladó a la corte de 
Adud ad-Dawlah en Bagdad en 959 y no fue el único científico distinguido de 
la corte del califa en Bagdad. El hijo de Adud, Sharaf ad-Dawlah, también 
continuó con el apoyo a los matemáticos y astrónomos cuando se convirtió 
en califa tras la muerte de su padre. 
Abú permaneció en la corte de Bagdad que trabajó para el nuevo califa. 
Sharaf requirió la instalación de un observatorio, y fue construido en el jardín del 
palacio en Bagdad. Se dice que Abú fue el primero en construir un cuadrante 
de pared para observar las estrellas.
Como muchos matemáticos de esa época, Abú al-Wafá tradujo y escribió 
comentarios sobre los trabajos de Euclides, Diofanto y Al-Juarismi.
Algunas de sus obras son Libro sobre lo que se necesita de las construcciones 
geométricas para el artesano y Kitab al-Majisti. Estableció varias identidades 
trigonométricas, tales como sen (a ± b) en su forma moderna, también 
descubrió la ley de senos para triángulos esféricos, etc. Algunas personas 
creen que introdujo la función tangente. 
6
Su obra
Entre 961 y 976 escribió Diez libros del corazón contra el 
corazón, libro necesario para la ciencia de la aritmética 
para los escribanos y los hombres de negocios. Este trabajo 
trata sobre aritmética de conteo con los dedos, un sistema 
de numeración usado en el imperio islámico en paralelo por 
mucho tiempo con el sistema de numeración hindú, y en 
donde los números se escriben con palabras y los cálculos se 
hacen mentalmente. Aunque Abú al-Wafá era un experto en 
el uso de números hindúes. Esta obra consta de 7 partes y cada 
una contiene siete capítulos.
Desempeños
• Establece relaciones entre los sistemas de medidas angulares. Asocia los lados y ángulos de triángulos 
rectángulos y los representa como razones trigonométricas. Representasistemas de coordenadas 
angulares y circunferencia trigonométrica considerando sus características y propiedades.
• Expresa con lenguaje trigonométrico su comprensión sobre las propiedades de la circunferencia 
trigonométrica, identidades y transformaciones trigonométricas para interpretar un problema según su 
contexto.
• Lee textos o gráficos que describen las propiedades de las transformaciones y funciones trigonométricas, 
así como de las ecuaciones trigonométricas.
• Combina y adapta estrategias y procedimientos para determinar la longitud de arco y de la 
circunferencia, y el área de un sector circular, así como para determinar identidades y funciones 
trigonométricas.
• Plantea afirmaciones sobre las relaciones y propiedades que descubre en las identidades trigonométricas 
así como la resolución de triángulos oblicuángulos. Comprueba o descarta la validez de una afirmación 
mediante un contraejemplo, propiedades trigonométricas, y razonamiento inductivo o deductivo.
Fuentes:
britannica.com, www-history.mcs.st-andrews.ac.uk, enacademic.com
Parte I: En cociente (las fracciones se representan según las
fracciones «capitales» de 1/2, de 1/3, de 1/4,…, 1/10).
Parte II: En la multiplicación y la división (operaciones aritméticas con
números enteros y fracciones).
Parte III: Mensuración (área de figuras, del volumen de sólidos y de distancias a encontrar).
Parte IV: En los impuestos (diversas clases de impuestos y problemas de los cálculos del impuesto).
Parte V: En intercambio y partes (tipos de cosechas, y problemas referentes a su valor e 
intercambio).
Parte VI: Asuntos misceláneos (unidades monetarias, pago de soldados, el conceder y retención 
de los permisos para las naves en el río, comerciantes en los caminos, etc.).
Parte VII: Otros asuntos del negocio.
Abú al-Wafá falleció el 1 de julio de 998 en Bagdad.
7MateMática DEltA 4 - trigonoMetría
8
Tema
Sistemas de medidas angulares
1
Los sistemas de medidas angulares son: 
•	 el sistema sexagesimal.
•	 el sistema centesimal.
•	 el sistema radial.
Sistemas de medidas angulares
Se genera por giro de un rayo alrededor de su origen (O), desde una posición inicial 
hasta	una	posición	final.
Los giros son: sentido antihorario (ángulos positivos) y sentido horario (ángulos 
negativos).
Ángulo trigonométrico
Sentido antihorario
Posición inicial
Posición	final
(+)
Sentido horario
Posición inicial
Po
sic
ión
	fin
al
(–)
Divide al ángulo de una vuelta 
en 360 partes iguales.
1 vuelta = 360º
Subdivisiones
1º = 60' 
1' = 60''
Unidades
(º): grados
('): minutos
(''): segundos
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
Divide al ángulo de una vuelta 
en 400 partes iguales.
1 vuelta = 400g
Subdivisiones
1g = 100m
1m = 100s
Unidades
(g): grados
(m): minutos
(s): segundos
Radián: 
Medida del ángulo central de 
una circunferencia, que está 
determinado por dos radios y 
un arco de igual longitud.
1 vuelta = 2π rad
Sistema radial
1 rad
Si cambiamos el 
sentido de giro, 
cambiamos el signo.
Import a nt e
–α
α
Obse rva
•	 Ángulo	recto
•	 Ángulo	llano
•	 Ángulo	 de	 una	
vuelta
La posición inicial 
y	final	coinciden	
después del giro. 
O
O
O
O
No existe giro
•	 Ángulo	nulo
9MateMática Delta 4 - trigonoMetría
Recu e rda
Obs e rva
Ángulo	llano
180º = 200g = π rad
Propiedad
Sean α y β ángulos representados en los sistemas sexagesimal y centesimal, 
respectivamente.
α = aºb'c'' = aº + b' + c''; donde b ∧ c no pueden ser mayores a 60.
β = xgymzs = xg + ym + zs; donde y ∧ z no pueden ser mayores a 100.
O
 α + β = 90º
C(α) = 90º – α = β
Ángulo	recto
90º = 100g = radπ 
2 
O
•	 Ángulos	 
suplementarios
 θ + φ = 180º
S(θ) = 180º – θ = φ
Se puede obtener:
S
360 = 
C
400 = 
R
2π
Conversión entre sistemas de medida angular
Sistema 
sexagesimal
(S)
360º< > < > < >400g
Sistema 
centesimal
(C)
2π rad
Sistema 
radial
(R)
Ángulo	de	 
una vuelta
Factores de conversión
entre C y R
200g = π rad
entre S y R
180º = π rad
entre S y C
27' = 50m9º = 10g 81'' = 250s
•	 Ángulos	 
complementarios
De la expresión anterior:
πk
20
R =
C = 10k
S = 9k
40 ⋅ S
360
 = 40 ⋅ C
400
 = 40 ⋅ R
2π
 S
9
 = C
10
 = 20R
π
 = k
Ángulos coterminales
α
β
Comparten	la	posición	inicial	y	final.
α – β = n(360º); n ∈ 
10
Ejercicios resueltos
2 Halla el valor de (b + c – a), si:
19º35'40" + 10º46'36" = aºb'c".
Rpta. 8
Resolución:
b + c – a = 22 + 16 – 30 = 8
aºb'c" =29º81'76'' 
 =29º82'16'' 
aºb'c" = 30º22'16"
60'' = 1'
60' = 1º
19º35'40" + 
10º46'36" 
29º81'76"
Rpta. 8
Resolución:
+ 3M =
x (60') + x'
x'
+ 3M =
61 x'
x'
M = 61 + 3 = 64 = 8
3 Reduce.
M = + 3xº + x'x'
Rpta. 10º
Resolución:
 π 
3 
 rad + 15x – 30º = 180º
π 
3 
 rad × 180º 
π rad 
 + 15x = 210º
 60º + 15x = 210º
 x = 10º
15x – 30º π
3
 rad
4 Determina el valor x.
30º – 15x π
3
 rad
1 Calcula el valor de x.
x + 40º + xº – 20º = 90º
 2x + 20º = 90º
 2x = 70º
 x = 35º
Rpta. 35º
Resolución:
20º – x 
 x + 40º
x – 20º 
x + 40º
5 Siendo S el número de grados sexagesimales y 
R el número de radianes de un mismo ángulo, 
encuentra el número de radianes si:
Resolución:
Rpta. π8 rad
Recuerda: S = 9k; C = 10k y R = πk20
S
36 + 
3R
π
 = 1
∴ 9k
36
 + 
3 ∙ πk20
π = 1
 k4 + 
3k
20 = 1
 k = 52
finalmente
R = 
π ∙ 52
20
R = π8 rad
Rpta. 15
6 Siendo S, C y R las medidas de un ángulo en los 
sistemas de medida angular, simplifica.
Resolución:
Q = 
π C + 2π S + 40 R 
π C – π S + 20 R 
Q = 
π(10k) + 2π(9k) + 40 πk 20 
πk 
20 π(10k) – π(9k) + 20
Q = 
10πk + 18πk + 2πk
10πk – 9πk + πk 
Q = 
30πk
2πk = 15
11MateMática Delta 4 - trigonoMetría
9 Calcula la medida del mayor de dos ángulos 
complementarios en radianes sabiendo que sus 
medidas	difieren	en	60g.
Resolución:
Rpta. 2π5 rad
 α + β = 90º
 α – β = 60g × 180º200g = 54º
 2α = 90º + 54º
 α = 72º 
 ∴ 72º × π180º rad = 
2π 
5 rad
Rpta. π3 rad
11 Determina el ángulo central de un hexágono 
regular en el sistema radial.
Resolución:
el ángulo central de un polígono regular se calcula 
mediante:
ángulo central = C = 360º 
n 
 
donde n es el número de lados del polígono.
∴ C = 360º 
6 
 = 60º
60º × π 
180º 
 = π 
3 
 rad
8 Del gráfico mostrado, descubre el valor de α + β.
Rpta. 270º
Resolución:
∴ α + β – 90º = 180º
 α + β = 180º + 90º
 α + β = 270º
α
–β
β
β – 90º
α
Rpta. π30 rad
12 Las medidas de los ángulos de un triángulo están 
en progresión aritmética. Si el menor ángulo mide 
36º, encuentra el complemento de la medida del 
mayor ángulo y exprésalo en radianes.
 ∴ C(84º) = 6º ⇒ 6º × π180º = 
π
30
36° + 36° + x + 36° + 2x = 180°
 108° + 3x = 180° 
 x = 24°
36º + x
36º 36 + 2x
Resolución:
⇒ Mayor = 36º + 2(24º) = 84º 
Rpta. 63º
10 Dos ángulos adyacentes miden 60g y 2π 
5
 rad.
Halla el ángulo formado por sus bisectrices en el 
sistema sexagesimal.
60g	→	60g × 9º 
10g 
 = 54º
2π 
5 
	rad	→	 2π 
5 
 rad × 180º 
π rad 
 = 72º
Resolución:
x = 27º + 36º = 63º
36º
36º
27º27º
x
Rpta. π 32 rad
7 Convierte 6g25m a radianes.
Resolución:
6g25m = 6g + 25m = 6g + 25m × 1
g 
100m 
6g25m = 6g + 1
g
4
6g25m = 25
g
4
a radianes:
25g
4
 × π rad200g = 
π
32 rad
12
Síntesis
1
Modela y resuelve 
2
Rpta. Rpta. 
Calcula el valor de x.Calcula el valor de x.
Resolución: Resolución:
Sentido 
antihorario
(+)
Sentido 
horario
(–)
Ángulo 
trigonométrico
Conversión 
entre sistemas 
de medidas 
angulares
1 vuelta = 360° 1° = 60' 1' = 60'' aºb'c'' = a° + b' + c''; b ∧ c < 60
1g = 100m 1m = 100s xg ym zm = xg + ym + zm; y ∧ z < 100
1 vuelta = 2π rad
Sistemas 
de medidas 
angulares
Sistema sexagesimal
Sistema radial
SIstema centesimal
S 
180°
 = C 
200g
 = R 
π rad
S = 9 k
C = 10 k
R = πk 20
S y R
C y R
180° = π rad
200g = π rad
9° =10g 27' = 50mS y C
factores de conversión
(+) (–)
Propiedad
Si cambiamos el sentido de giro 
cambiaremos el signo
–x +x
x + 20°
10° – x
10° – 4x
x
81'' = 250s
1 vuelta = 400g
Sistemas de medidas angulares
13MateMática Delta 4 - trigonoMetría
3
5
7
9
4
6
8
Halla el valor de x. Halla el valor de x.
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
Determina el valor de x.
Si 5°38'39'' + 2°27'32'' = a°b'c", encuentra el valor de 
a + b – c.
Determina el valor de x.
Si 3°41'54'' + 4º47'37'' = a°b'c", encuentra el valor 
de a + b + c.
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
x + 20g
20g – 3x
3x – 10g2x + 40g
3x + 20g
x – 60g
(10 – 4x)g (x + 30)º
(2x – 12)º
(60 – 3x)g
Descubre el valor de x. 10 Descubre el valor de x.
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
(25 – 8x)° 
 
π
4
 rad
(46 – 19x)°
 
π
5
 rad
14
11
13
15
17
12
18
Simplifica.
Resolución: Resolución:
Resolución:
Simplifica.
14 Calcula el valor de b – a, si π
25
 rad = a°b'.Calcula el valor de a + b, si π 
75 
 rad = a°b'.
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Siendo S y R los números de grados sexagesimales 
y radianes de un mismo ángulo que cumplen con 
S 
6 
 = 10R 
π 
 + 8, halla la medida del ángulo en 
centesimales.
Resolución:
Determina el valor de c
b
 + a, si 2,31° = a°b'c''.Determina el valor de x + y + z, si 1,51° = x°y'z''.
Resolución:Resolución:
Rpta. 
Rpta.
Rpta.
Rpta.
16 Siendo S el número de grados sexagesimales y R 
el número de radianes, halla la medida del ángulo 
en sexagesimales, si: 
S 
6 
 + 2R 
π 
 = 16
Resolución:
M = xº (21x)'x'
4
N = (17x)° (4x)'x'
5
15MateMática Delta 4 - trigonoMetría
Practica y demuestra
Nivel I
1 Calcula el valor de x.
 A 10 B 20 C 25
 D 15 E 30
(x + 70)°
(20 – x)°
5 encuentra el valor de x.
 A 1 B 2 C 3
 D 4 E 5
(x + 5)°
π
18
 rad
3 Simplifica B.
B = +x°(3x)'(9x)'
y°(4y)'
(32y)'
 A 1 B 2 C 3
 D 4 E 5
2 encuentra el valor de bc + a, si 1,61° = a°b'c''.
 A 1 B 2 C 3
 D 4 E 5
4 Calcula el valor de k.
k = 
40g + π 
10 
 rad
π 
5 
 rad – 30º 
 A 8 B 9 C 5
 D 7 E 6
6 Siendo S, C y R el número de grados sexagesimales, 
centesimales y radiales de un mismo ángulo que 
cumple con:
3S + 2C = 141
Halla la medida del ángulo en radianes.
 A 3π 5 rad B 
3π 
7 rad
 C 3π 11 rad D 
3π 
20 rad
 E 3π 17 rad
16
Nivel II
7 Si α = π9 rad + 30
g, se cumple que:
I. el complemento de α es 43°
II. α > 48°
III. S(α) = 133°
 A II y III B I C I y III
 D todos E II
8 De las siguientes proposiciones, indica verdadero 
(V) o falso (f).
I. 57º y 417º son coterminales ( )
II. el complemento de 42° es 50g ( )
III. el suplemento de 50° es 13π
18
 rad ( )
 A VfV B fff C Vff
 D VVV E ffV
11 encuentra la suma de los dos menores ángulos 
positivos que son coterminales con 1100°.
 A 20° B 380° C 400°
 D 420° E 360°
 A β > α > θ B α = β = θ
 C α > β > θ D θ > α > β
 E θ > β > α
9 Indica la relación correcta de los ángulos 
mostrados.
α
θ
β
10 Descubre la medida del ángulo α, en sexagesimales.
 A 30° B 31° C 32°
 D 33° E 34°
α
100g
110g
7π
9
rad
12 Los ángulos iguales de un triángulo isósceles 
miden (x – 1)º y (x + 1)g. Halla el suplemento del 
tercer ángulo.
 A 144° B 124° C 56°
 D 36° E 46°
17MateMática Delta 4 - trigonoMetría
13 Si dos ángulos complementarios se diferencian 
en π
15
 rad, ¿cuál es la medida del mayor?
 A 50° B 51° C 46°
 D 48° E 47°
14 Según el gráfico, indica la relación correcta entre 
α y β.
 A α + β = 90° B α – β = 90°
 C α = 90° + β D α – β = 180°
 E α + β = – 90°
α
β
15 Si 47
36
 π rad = (a + 1)(b – 1)(c + 2)º.
Indica verdadero (V) o falso (f) en las siguientes 
proposiciones:
b = 4 ( )
c = 3 ( )
a = 1 ( )
 A fff B ffV C VVV
 D fVV E fVf
16 Se tiene un sistema de medida angular 
denominado x en el cual 5 grados x equivalen 
a 9º. encuentra a cuántos radianes equivalen 
35 grados x.
 A 7π20 rad B 
π
20 rad
 C π7 rad D 
π
15 rad
 E 3π20 rad
17 Descubre el valor de α en radianes.
 A π2 rad B 
π
3 rad C 
π
4 rad
 D π5 rad E 
π
7 rad
α
6,745°
53°15'18''
18 Halla el valor de x.
 A 360° – θ + α B 360° – α + θ
 C 360° – θ – α D 360° + α + θ
 E 360° – 2α – 2θ
θ
α
x
Nivel III
18
Tema
Sector circular
 
 
L ⋅ r
2
 
L2
2θ
Un sector circular es una porción de un círculo 
limitado por dos radios (r) y un arco de circunferencia, 
que tiene una longitud (L).
L = θ ⋅ r
Propiedad
Área de un trapecio circular
Área de un sector circular
 
 
L ⋅ r
2
 
L2
2θ
Área	sombreada	=
Del	gráfico:
L1 = θ ⋅ r1
L2 = θ ⋅ r2 θ = 
L2
r2
caso 1
caso 2
caso 3
A
D
C
O
B
A
O– A
usando (caso 3)
As = 
L22
2θ – 
L12
2θ = 
1
2θ ( L2
2 – L12)
θ = 
L1
r1
∴ 
L1
r1
 = 
L2
r2
A = 
θ ⋅ r2 
2
A =
A =
( L2 + L1 ) 
L1
θ
L2
θ
As = 
1
2
–
L2θ
r2
r1
L1
θ
r
L
O
h
r2
L2L1θ
r1
A
DB
C
As = 
( L2 + L1 ) . h
2
r
r
θ L
2
el ángulo central de 
un sector circular θ 
siempre debe estar 
expresado en radianes.
Not a
Import a nt e 
Re cu e rda
equivalencias entre 
medidas angulares.
el área de un trapecio.
A = 
( b + B ) ⋅ h
2
180º < > 200g < > π rad
h
b
B
19MateMática Delta 4 - trigonoMetría
Propiedades relativas a la longitud de arco
Poleas y engranajes
Número de vueltas que da una rueda
I.
II.
el número de vueltas que da un disco que rueda está en función de la distancia 
recorrida por su centro (o) y de su perímetro.
d: distancia recorrida por el centro del disco.
 θ1 ⋅ r1 = θ2 ⋅ r2
 
θ1
θ2
 = 
r2
r1
 θ1 ⋅ r1 = θ2 ⋅ r2
 
θ1
θ2
 = 
r2
r1
 Nv =
d
2π r
r
O
r
O
r
O
r
O
L1 = L2
L1 = L2
r1
L1
L2
r2
θ1
θ2
r1 r2
L2
L1
θ1
θ2
Recu e rda
Área	del	círculo
Import a nt e
Perímetro de una 
circunferencia
L = r ⋅ (2π)
L = 2π r
A = πr2
r
r
20
1
3
Ejercicios resueltos
Calcula el perímetro del sector AOB.
2 Halla el valor de x.
Rpta. 21 u 
el perímetro de un sector circular es el quíntuple 
del radio. Determina la medida del ángulo central 
en radianes.
Rpta. 3
Rpta. 3 rad
Resolución:
Resolución:
L = θ ⋅ r 7 = (x – 3)(x + 3)
7 = x2 – 9
x = 4
∴ 2p = 2r + L = 2(7) + 7 = 21 u
 
=
L1
r1
 
4
3 = 
8
3 + x
4(3 + x) = 3(8)
 12 + 4x = 24
 4x = 12
 x = 3
2p = 2r + L
5r = 2r + L
3r = L
3r = θ ⋅ r 
 3 = θ
∴ L = θ ⋅ r
L2
r2
Resolución:
7 u(x – 3) rad
(x + 3) u
A
B
O
8 u4 u
x
3
A
B
O
4 encuentra el área de la región sombreada.
Resolución:
Rpta. 8 u2
11 u
4
x
4
7
A
B
O
L1
r1
 = 
L2
r2
 
x
4
 = 
11
4 + 7
 x = 4
 ∴ A = 
L ⋅ r
2
 = 4 ⋅ 4
2
 = 8 
5 el área de un sector circular es 15 m2. Si duplicamos 
el ángulo central y triplicamos su radio, ¿cuál será 
el valor del área del nuevo sector circular?
Rpta. 270 m2
Resolución:
Inicial
 A = 
θ ⋅ r2
2
15 m2 = 
θ ⋅ r2
2
final
A = 
A = 
2θ ⋅ 9r2
2
 = 
18 θr2
2
A = 18 × 15 m2 = 270 m2
6 Descubre el área de la región sombreada.
Rpta. 12 u2
Resolución:
Por diferencia de áreas.
7 u1 rad 5 u
A
B
O
A = 
L2
2θ
As = 
72
2(1) – 
52
2(1) = 
49 – 25
2
 = 
24
2
As = 
24
2
(2θ) ⋅ (3r)2
2
21MateMática Delta 4 - trigonoMetría
9 Sea θ radianes el ángulo central de un sector 
circular cuya longitud de arco es 3π metros. 
Determina el radio, si: 
Rpta. 3 m
Resolución:
θ
π + 
π
θ = 2
θ
π + 
π
θ
2 
 = (2)2
θ
π + 2
θ
π ⋅ 
π
θ + 
π
θ = 4
θ
π + 
π
θ = 2
θ2 + π2
θ ⋅ π
 = 2
θ2 – 2πθ + π2 = 0
(θ – π)2	=	0		→		θ = π
 ∴ L = θ ⋅ r
 3π = π ⋅ r
 3 = r
7 La rueda de la figura da 9
π r vueltas.
Rpta.18 u
Resolución:
Calcula la longitud recorrida por dicha rueda.
Se sabe que nv = 
d
2πr
 d = 2π r ⋅ nv
 d = 2π r ⋅ 9π r
 d = 18
r r r
r
11 Dos engranajes de 20 y 30 cm están en contacto 
en un punto. Si el menor gira un ángulo de 36°, 
¿qué ángulo girará elmayor?
Rpta. 24º
Resolución:
Se sabe que θ1 ⋅ r1 = θ2 ⋅ r2
 36º ⋅ 20 cm = θ2 ⋅ 30 cm
 24º = θ2
30 cm
20 c
m
10 encuentra el área de la región sombreada.
Rpta. 4,8 u2
Resolución:
A
D
e
C
B
O
1 u
2 u
2 u
4 u
L = θ ⋅ r
4 = θ ⋅ 5
4
5 = θ
⇒ A = 
(L1 + L2) ⋅ 2
2
A = 
24
5 = 4,8 u
2
L1 = 2θ = 2 
4 
5 = 
8
5
L2 = 4θ = 4 
4 
5 = 
16
5
2
4
2
1
θ L2L1
12 Descubre el radio del sector circular.
Rpta. 12 u
Resolución:
además: 3θ = L
16 – r
.
Lθ
r
OSi:
De la condición: 3θ (16 – r) = L
pero L = θr
 ∴ 3θ (16 – r) = θ r
 3(16) – 3r = r
 48 = 4r
 12 = r
Rpta. π 
8 Halla el valor de L2 – L1.
Resolución:
7θ
L2
26
6θ
L1
Se sabe que L = θr
 L2 = 26(7θ) y L1 = 26(6θ)
∴ L2 – L1 = 26(7θ) – 26(6θ)
 L2 – L1 = 26θ
 pero 7θ + 6θ = π
2
 13θ = π
2
 → θ = π
26
 ⇒ L2 – L1 = 26 ⋅ 
π
26
 = π
22
Síntesis
Sector circular
Área 
de un sector 
circular
Poleas y 
engranajes
Número de vueltas 
de una rueda
A = θr
2 
2
θ1 ⋅ r1 = θ2 ⋅ r2 θ1 ⋅ r1 = θ2 ⋅ r2 
A = L
2 
2θ A = 
L ⋅ r 
2 A = 
(L1 + L2) r 
2
L1 
r1
 = 
L2 
r2
Área de un 
trapecio circular
L = θ . r 
L1
r1
L2
r2
r 
r 
θ A L
r 
Lθ
r
AL1 L2
r
O O
d
r
r1 r2
L1
L2
θ2θ1
nv = 
d 
2π r
r1
r2
L1
L2
θ2
θ1
1
Modela y resuelve 
Resolución: Resolución:
Si la longitud de arco de un sector circular mide 2π cm 
y subtiende un ángulo central de 45º, determina el 
radio del sector circular.
2 Si el radio de un sector circular mide 5 
π 
 cm y su 
ángulo central mide 80g, determina la longitud de 
arco del sector.
Rpta. Rpta.
23MateMática Delta 4 - trigonoMetría
5
3
Resolución:
Resolución:
Halla el valor de x. 4 Halla el valor de x.
Resolución:
Calcula el área del trapecio circular sombreado.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
x + 4x
3
6
2x + 5x + 1
2
4
11 cm
3 cm
2 cm
Resolución:
6 Calcula el área de la región sombreada.
14 cm
5 cm
4 cm
Rpta.
Resolución:
11
B
A
14
 π
3
 rad
α
encuentra el número de vueltas que da la rueda, 
cuando se desplaza de A hacia B.
7
Resolución:
Rpta.
11
BA
19
π
6
 rad
α
encuentra la cantidad de vueltas que gira la 
rueda cuando se desplaza de A hacia B.
8
24
9 10
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
De la figura mostrada, descubre la longitud de la 
circunferencia.
en la figura mostrada, descubre el diámetro de la 
circunferencia.
6 cm
3
10
 rad
12 el ángulo central de un sector circular aumenta 
en 15 %. Si su radio disminuye en 10 %, ¿en qué 
porcentaje varía el área del sector?
14 Determina el valor de 
L3 + L1
L2 + L4
.
Resolución:
Resolución:
Rpta.
11 el arco de un sector circular aumenta en un 10 % y su 
radio disminuye en un 20 %. ¿en qué porcentaje 
varía el área del sector?
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
13 Determina el valor de 
L3
L1 + L2
.
Resolución:
L1 L2 L3 θ
L1
L3 L4
2θ
L2
4 cm
 
 rad
1
14
25MateMática Delta 4 - trigonoMetría
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
 A VVV B Vff C fff
 D fVV E VfV
51 rad 3 A
y
x
Calcula el perímetro del sector mostrado.
 A 10 u B 12 u C 14 u 
 D 16 u E 15 u
x + 2
x rad
3x + 2
I. x = 3 u
II. y = 5 u
III. A = 8 u2 
Halla el número de vueltas que da la rueda cuando 
se desplaza de A hacia B.
 A 1 B 2 C 3
 D 4 E 1,5
22
BA
30 
π
4 
 rad
d
 A 108º B 92º C 72º
 D 36º E 112º
4 Determina el suplemento de un ángulo central que 
subtiende un arco de 3π m en una circunferencia 
de 5 metros de radio.
 A 1 u B 2 u C 4 u
 D 1,5 u E 3 u
5 Si el radio de la semicircunferencia es 9
π
, encuentra 
el valor de P.
P = L2 – L1 + L3
3θ 2θ
4θ L3L1
L2
 A 80 u2 B 64 u2 C 76 u2
 D 84 u2 E 90 u2
6 Descubre el área sombreada.
O
A 12
12B
C
D
e
f
122 2a
a
Según el gráfico, indica verdadero (V) o falso (f).1
26
Nivel II
10 De la figura mostrada, al hacer girar el sistema 
las ruedas B y C giran longitudes que suman 64π. 
Determina cuántas vueltas dará la rueda mayor.
 A 1 B 3 C 5
 D 4 E 2
A
B C
4
5
3
 A 1a B 2a C 3a
 D 4a E 5a
12 Descubre el valor de e.
e = 4y – x
a
ax
3a y
4a
4a
8 De la figura mostrada:
Se puede afirmar que:
I. AB = π cm
II.	 Área	sombreada = 6π cm2
III. CD = π 2 cm
 A Solo I B Solo II C I y II
 D I y III E Solo III
A
B
O
D
C
 π
4
 rad 4 cm 
11 Si la longitud de la circunferencia es 36π, encuentra 
la longitud del arco AB.
 A 12π B 18π C 16π
 D 14π E 20π
A
B
O 60º 
9 Del gráfico mostrado, halla el área sombreada.
 A 2 m2 B 3 m2 C 4 m2
 D 5 m2 E 10 m2
D
2 m
3 m
5 m
C
O
A
B
 A (4 – π) u2 B (π – 4) u2
 C (3 – π) u2 D (2 – π) u2
 E (π – 3) u2
7 Calcula el área sombreada.
CDA
B
 π
4
 rad
8
27MateMática Delta 4 - trigonoMetría
14 Si un sector circular y un cuadrado tienen igual 
área e igual perímetro, halla el ángulo del sector 
circular.
 A 2 rad B 2 rad
 C 2 2 rad D 2 2 – 2 rad
 E 1 rad
Nivel III
 A 3 u B 9 u C 12 u
 D 6 u E 11 u
15 Determina el valor del radio r.
2
3
rad
12
r
 A 1,2 B 1,5 C 1,6
 D 1,3 E 1,4
18 en el sector circular, descubre el valor de x.
x
2x
12
4x2 – 1
O
A
B
C
D
13 Si en una circunferencia de radio (3x + 7) m, 
para un ángulo central de 80g le corresponde un 
arco de longitud (x + 3)π m, calcula el radio de la 
circunferencia. 
 A 4 m B 12 m C 10 m
 D 21 m E 22 m
 A 13 B 
3
2 C 
4
3
 D E 
encuentra la relación entre el área sombreada y 
no sombreada.
16
 A VVf B ffV C VfV
 D VVV E fff
17 Del gráfico mostrado, indica verdadero (V) o falso 
(f) según corresponda.
I. el perímetro del sector circular Oef es 28 u.
II. el área del tronco del sector circular ADCB es 
21 u2.
III. el área del sector AOB es 4 u2.
3
2
10
4
O
A
B C
D
e 
f
2
1
1
2
28
Tema
Razones trigonométricas de un 
ángulo agudo
3
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo se calculan mediante el cociente 
de dos lados del triángulo y son seis.
Dos razones trigonométricas son recíprocas si el producto de ellas es igual a 1.
Si α es agudo, entonces:
Razones trigonométricas recíprocas
α
Hipotenusa
(H)
A
C
B
Cateto
opuesto
(C.O.)
Cateto
adyacente
(C.A.)
α
b
A
C
B
a
c
sen α ⋅ csc α = ab × 
b
a = 1
cos α ⋅ sec α = cb × 
b
c = 1
tg α ⋅ ctg α = ac × 
c
a = 1
sen α ⋅ csc α = 1
cos α ⋅ sec α = 1
tg α ⋅ ctg α = 1
Import a nt e
sen x ⋅ csc y = 1
cos x ⋅ sec y = 1
tg x ⋅ ctg y = 1
Recu e rda
H2 = C.A.2 + C.O.2
En todo triángulo 
rectángulo se cumple:
(H)
α
(C.A.)
(C.O.)
 sen α = C.O.H
 cos α = C.A.H
 tg α = C.O.C.A.
 sen α = ab
 cos α = cb
 tg α = ac
 csc α = HC.O.
 sec α = HC.A.
 ctg α = C.A.C.O.
 csc α = ba
 sec α = bc
 ctg α = ca
sen α ⋅ csc α = 1 csc α = 
1
sen α
cos α ⋅ sec α = 1
tg α ⋅ ctg α = 1
sec α = 1cos α
ctg α = 1tg α
x = y
29MateMática Delta 4 - trigonoMetría
Estas expresiones se pueden expresar mediante:
Donde: R.T. son las razones trigonométricas del ángulo α y Co–R.T. son las co–
razones trigonométricas del ángulo complementario a α.
Triángulos notables exactos y aproximados
Tabla de razones trigonométricas
Del triángulo:
 sen α = ab = cos (90° – α)
 tg α = ac = ctg (90° – α)
 sec α = bc = csc (90° – α)
Razones trigonométricas complementarias
R.T. (α) = Co–R.T. (90º – α)
45º
45º
1k
1k2k
90º – α
α
c
a
A B
C
b
60º
30º
3k
1k2k
53º
37º
4k
3k5k
74º
16º
24k
7k25 k
R.T. Co–R.T.
sen cos 
tg ctg
sec csc
α y β son 
complementarios. 
α + β = 90º
Import a nt e 
Re cu e rda
A
C
B
β
α
β = 90º – α
sen cos tg ctg sec csc
16° 7
25
24
25
7
24
24
7
25
24
25
7
30° 1
2
 3
2
 3
3
3 2 3
3
2
37° 3
5
4
5
3
4
4
3
5
4
5
3
45° 2
2
 2
2
1 1 2 2
53° 4
5
3
5
4
3
3
4
5
3
5
4
60° 3
2
1
2
 3 3
3
 2 2 3
3
74° 24
25
7
25
24
7
7
24
25
7
25
24
Exactos Aproximados
30
Ejercicios resueltos
Rpta. 1 
5 Encuentra el valor de N.
N = tg
3 45º + 6sec2 60º
24csc 74º
N = 1
3 + 6(2)2
24csc 74º
 = 
(1)3 + 6(2)2
24 ⋅ 25 24 
 =1 + 24
25
 = 1
Resolución:
H
C.A. = 5k
tg α = 2,4 = 12k5k
Por Pitágoras:
H2 = (12k)2 + (5k)2
H2 = 144k2 + 25k2 = 169k2
H = 13k
∴ 5k + 12k + 13k = 150
 30k = 150 ⇒ k = 5 
 H = 13k = 65
2 El perímetro de un triángulo es 150 cm. Si la 
tangente de uno de los ángulos es 2,4; ¿cuánto 
mide la hipotenusa?
Rpta. 65 cm
Resolución:
Rpta. 5
6 Si sen (3α + 10º) ⋅ csc 70º = 1, descubre el valor 
de M.
M = 5ctg (2α + 5º)
Resolución:
sen (3α + 10º) ⋅ csc 70º = 1
3α + 10º = 70º → α = 20º
∴ M = 5ctg (2(20º) + 5º)
 = 5ctg 45º = 5(1) = 5
(=)
Rpta. 2
4 Si sen (5α – 10º) = cos 50º. Determina el valor de 
N = csc (4α – 10º).
Resolución:
sen (5α – 10º) = cos 50º
5α – 10º + 50º = 90º
5α = 50º
 α = 10º
∴ N = csc (4(10º) – 10º)
 = csc 30º
 = 2
complementarios
3 Halla el valor de M.
M = (3sen 40° + 4cos 50°)(2csc 40°)
Rpta. 14
Resolución:
Aplicando razones trigonométricas 
complementarias:
sen 40º = cos (90° – 40°)
sen 40º = cos 50°
∴ M = (3sen 40° + 4cos 50°) ⋅ (2csc 40°)
 = (3sen 40° + 4sen 40°) ⋅ (2csc 40°)
 = (7sen 40°)(2csc 40°)
 = 14sen 40° ⋅ csc 40°
 = 14 . 1 = 14
1 Calcula 5cos α + 3tg α, si sen α = 0,8.
sen α = 0,8 = 8
10
 = 4
5
 = C.O.
H
Rpta. 7
Resolución:
Por Pitágoras
 52 = 42 + C.A.2
25 – 16 = C.A.2
 9 = C.A.2
 3 = C.A.C.A.
C.O. = 4
H = 5
α
∴ 5cos α + 3tg α
 5 3 5 + 3
4 
3 = 3 + 4 = 7
C.O. = 12k
C.O.
31MateMática Delta 4 - trigonoMetría
A B
C
(3x + 1) cm
(3x) cm
(x + 1) cm
7 Calcula el perímetro del triángulo ABC.
(3x + 1)2 = (x + 1)2 + (3x)2 → Pitágoras
9x2 + 6x + 1 = x2 + 2x + 1 + 9x2
0 = x2 – 4x = x(x – 4) ⇒ x = 4
∴ 2p = 7x + 2 = 7(4) + 2 = 30 cm
Rpta. 30 cm 
Resolución:
A B
C
b
c
a
Por Pitágoras:
 b2 = a2 + c2
M = sen2 A + sen2 C = a b 
2
 + c b 
2
M = a
2
b2
 + c
2
b2
 = a
2 + c2
b2
 = b
2
b2
 = 1
8 En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), 
halla el valor de M.
M = sen2 A + sen2 C
Rpta. 1 
Resolución:
10 Simplifica P.
P = 3tg 20°ctg 70° + 
5sen 40°
cos 50° – 
2sec 10°
csc 80°
Aplicando razones trigonométricas complementarias, 
tenemos:
tg 20° = ctg (90° – 20°) = ctg 70°
sen 40° = cos (90° – 40°) = cos 50°
sec 10° = csc (90° – 10°) = csc 80°
∴ P = 3tg 20°tg 20° + 
5sen 40°
sen 40° – 
2sec 10°
sec 10º
 P = 3 + 5 – 2 = 6
Rpta. 6
Resolución:
∴ tg θ = 45
11 Encuentra el valor N = tg θ.
Rpta. 4
5
Resolución:
4 2
45º θ
9
4 2
45º
4
4 5 θ
9
Rpta. 4
5
∴ sen θ = n + 1n + 2 = 
4
5 
12 Descubre el seno del mayor ángulo agudo de un 
triángulo rectángulo si sus lados miden n, n + 1 y 
n + 2.
 (n + 2)2 = (n + 1)2 + (n)2
n2 + 4n + 4 = n2 + 2n + 1 + n2
 0 = n2 – 2n – 3
 n –3
 n +1
 0 = (n – 3)(n + 1)
 n = 3
 n = –1
Resolución:
n + 2
n
n + 1
θ
9 De la figura, determina el valor de tg θ.
tg θ = 1x = 
x
4
 4 = x2
 2 = x
∴ tg θ = 12
Rpta. 12
Resolución:
13
θ
θ
13
θ
θ
x
32
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Síntesis
Modela y resuelve 
R.T. (α) = Co–R.T. (90° – α)
sen α = cos (90° – α)
tg α = ctg (90° – α)
sec α = csc (90° – α)
R.T. complementarias
sen α ⋅ csc α = 1
cos α ⋅ sec α = 1
tg α ⋅ ctg α = 1
R.T. recíprocas
b2 = a2 + c2
T. de pitágoras
sen α = ab csc α = 
b
a
cos α = cb sec α = 
b
c
tg α = ac ctg α = 
c
a
Razones 
trigonométricas
Triángulos notables y aproximados
Donde:
a: Cateto opuesto a α
c: Cateto adyacente a α
b: Hipotenusa
α sen α cos α tg α ctg α sec α csc α
16° 7/25 24/25 7/24 24/7 25/24 25/7
30° 1/2 3/2 3/3 3 2 3/3 2
37° 3/5 4/5 3/4 4/3 5/4 5/3
45° 2/2 2/2 1 1 2 2
53° 4/5 3/5 4/3 3/4 5/3 5/4
60° 3/2 1/2 3 3/3 2 2 3/3
74° 24/25 7/25 24/7 7/24 25/7 25/24
74°
16°
25K
24k
7k
45°
45°
1k
1k2 k
53°
37°
5k
4k
3k
 
60°
30°
2k
3k
1k
A
C
B
b
α
a
c
90° – α
Rpta. Rpta. 
2 Si sen α = 60
61
, calcula el valor de N.
N = 11 ∙ tg α – 61 ∙ cos α
1 Si sec α = 13
12
, calcula el valor de M.
M = 13 sen α + 5ctg α
Resolución: Resolución:
H2 = C.O.2 + C.A.2
33MateMática Delta 4 - trigonoMetría
3
7
4
6
8
En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), 
halla el valor de M.
M = csc2 C – tg2 A
En un triángulo rectángulo BCA (recto en C), halla 
el valor de N.
N = cos2 A + cos2 B
5 Si sen (α – 30°) = cos (θ – 40°), donde α y θ son 
ángulos agudos, determina el valor de 7ctg α + θ 10 
3
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
Si tg (α – 4°) = ctg (θ + 20°), donde α y θ son ángulos 
agudos, determina el valor de 5cos α + θ 
2 
.
Si cos (40° – x) ⋅ sec (2x – 5°) = 1. Encuentra el 
valor de N.
N = 5ctg (3x) – 3tg2 (2x)
Si sen (2x + 5°) ⋅ csc (x + 55°) = 1. Encuentra el 
valor de E.
E = 4tg (x – 5°) – sec (x + 10°)
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
34
10
12
 
Resolución: Resolución:
Resolución:
Descubre el valor de B.
B = 5tg 25° ⋅ tg 65º + sec 19° ⋅ sen 71°
Calcula el valor de G.
G = 
ctg2 30º ⋅ sec 60º ⋅ ctg 45º
csc2 45º – tg5 45º
9 Descubre el valor de A.
A = 4cos 35° . csc 55° – 3 ⋅ tg 15°
ctg 75°
Rpta.
Rpta.
11 Calcula el valor de E.
E = 
6 ⋅ sen 45º ⋅ tg 30º + (sec 45º)csc 30º
4 – tg 45º
Resolución:
Rpta. Rpta.
13 Halla el valor de tg α, si CF = 5 ⋅ BF.
 
Resolución: Resolución:
14 Halla el valor de ctg β, si AD = 7 ⋅ DC.
Rpta. Rpta.
A BE
α
F
C
45º
45º
A BE
β
D
C
45º
35MateMática Delta 4 - trigonoMetría
Practica y demuestra
Nivel I
 A 1 B 3 C 2
 D –1 E 4
1 Si csc θ = 5, determina el valor de P.
P = 2ctg2 θ – 4 ⋅ sec2 θ
 A B C 
 D E 
2 De la figura:
Halla el valor de sen θ.
6
x – 1
x + 1
θ
 A 1 B –1 C 0
 D 2 E –2
3 Simplifica A.
A = 3csc2 45° + 2sen 30° – 24tg 16°
 A 13 B 
4
5 C 
4
7
 D 23 E 
2
5
4 Calcula el valor de N.
N = tg α ⋅ tg θ
 A FVF B VFF C VVV
 D VVF E FVV
5 Si sen α = cos θ, indica verdadero (V) o falso (F) 
según corresponda.
I tg α + θ 2 = 1 ( )
II tg α = ctg θ ( )
III sen α + θ 3 = 
1
2
 ( )
6 Encuentra el valor de x + y, si
sen (50º – x) = cos (3x + 10º)
cos (5y) ⋅ sec (90º – y) = 1.
 A 15º B 20º C 25º
 D 30º E 35º
B
C
θ
2
α
A 4
1
3
2
7
3
5
1
7
4
5
36
Nivel II
8 Determina el valor de tg θ, si la figura ABCD es un 
cuadrado. Siendo AP = PQ = QB2 . 
 A 12 B 
1
4 C 
1
3
 D 4 E 3
A
D
θ
C
Q BP
 
 
11 En un triángulo rectángulo BCA (recto en C), 
simplifica E.
E = b ∙ ctg B + c ⋅ cos A
 A a B 2a C a + b
 D b + c E a + c
12 Si cos (x – 20º) = sen 50º. Indica verdadero (V) o 
falso (F) según corresponda.
I. 2 sen (x – 15º) = 1 ( )
II. tg2 x = 1/3 ( )
III. cos (x + 15º) ⋅ sec 75º = 1 ( )
 A VFV B FFF C VVF
 D VFF E VVV
 
7 Según la figura, descubre el valor de tg α.
 A 5 3 B 
1 
3 C 
3 
5
 D 3 E 2 5
 
45º
3a
α
2a
9 Halla el valor de M = 20 ∙ sen2 θ – 4ctg θ, si θ es 
un ángulo agudo y se cumple que csc θcsc 30° = 5.
 A 4 B 2 C 0
 D –4 E –2
10 Calcula el valor de M.
M = sen 20° ⋅ cos 30° ⋅ tg 45° ⋅ sec 60° ⋅ sec 70°
 A 1 B 3 C 
 D 2 E 
1
2
 3
2
37MateMática Delta 4 - trigonoMetría
Nivel III
13 Encuentra el valor de .
sen (x – 18°) ⋅ csc (20° – y) = 1
tg (2x – 10°) ⋅ ctg (y – 6°) = 1
 A 712 B 
5
12 C 
12
7
 D 125 E 
1
3
14 Si sen α = cos2 45°, descubre el valor de 
ctg2 α + csc α.
 A 1 B 2 C 3
 D 4 E 5
 A 4 B 5 C 1
 D 6 E 3
15 Si F(x) = csc 2x + tg2 4x + 3tg 2x, determina el 
valor de F(15°). 
18 Si se sabe que 8cos x = ( )–2, descubre el valor 
de E.
E = 3 ⋅ tg x – 5csc x
 A –7 B +7 C + 12
 D – 13 E + 
1
3
16 Halla el valor de tg θ.
 A 37 B 
4
7 C 
2
7
 D 17 E 
5
7
37°
45°θ
17 Encuentra el valor de x.
 A 10 B 15 C 14
 D 24 E 25
37º
23º
20x
y
x
1
2
38
Tema
Resolución de triángulos
rectángulos
4
Obse rva
Ampliando el teorema 
de Pitágoras.
a2 = (a sen θ)2 + (a cos θ)2
a2 = a2 ⋅ sen2 θ + a2 cos2 θ
a2 = a2 (sen2 θ + cos2 θ)
a2
a2
 = sen2 θ + cos2 θ
1 = sen2 θ + cos2 θ
a
θ
a . cos θ
a ⋅ sen θ
h2 = C.A.2 + C.O.2
El teorema de 
Pitágoras
h
α
C.A.A B
C
C.O.
Recu e rda
La resolución de un triángulo rectánguloimplica calcular las 
medidas de los tres ángulos y las longitudes de sus tres lados.
Esta resolución es posible si se conocen dos lados o un lado 
y un ángulo.
El lado desconocido se 
calculará mediante el 
teorema de Pitágoras.
Si se conocen dos lados
Si se conocen un ángulo y un lado
x
a = sen θ
x = a ⋅ sen θ
y
a = cos θ
y = a ⋅ cos θ
x
a = csc θ
x = a ⋅ csc θ
y
a = ctg θ
y = a ⋅ ctg θ
x
a = sec θ
x = a ⋅ sec θ
y
a = tg θ
y = a ⋅ tg θ
A
C
B
a
y
x
θ
90
º –
 θ
A
C
B
x
y
a
θ
90
º –
 θ
A
C
B
x
a
y
θ
90
º –
 θ
A
C
B
b
c
a
α
β
a
x
b
a2 = b2 + x2
a
c
x
a2 = x2 + c2
x
c
b
x2 = b2 + c2
Caso i
Caso ii
Caso iii
39MateMática Delta 4 - trigonoMetría
Si en un triángulo se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Los ángulos verticales están comprendidos en un plano vertical y se clasifican en 
ángulo de elevación, ángulo de depresión y ángulo de observación.
Los ángulos horizontales se encuentran contenidos en un plano horizontal, usados 
para definir las direcciones en la navegación; dichas direcciones son los rumbos 
de compás.
Área de una región triangular
Ángulos verticales
Ángulos horizontales
Aplicaciones de resolución de triángulos rectángulos
N 45º O
S 50º E
 El rumbo de A hacia B es de 
45º al Oeste del Norte.
 El rumbo de A hacia C es de 
50º al Este del Sur.
 A = 
ab ⋅ sen θ
2
A = 
b ⋅ asen θ
2
N
S
E
A
O
B
C
45º
50º
a
b
θ
a
b
θ
a sen θ
Rumbo: una de las 
direcciones de la 
Rosa Náutica
Obse rva
Re cu e rda
A = 
b ⋅ h
2
b
h
α: ángulo de elevación
Lín
ea 
vis
ual
Línea horizontal
α
Línea visual
Línea horizontal
β
β: ángulo de depresiónθ: ángulo de observación
Líne
a vis
ual
θ
Línea visual
40
Ejercicios resueltos
Rpta. 
10
11
1 ⋅ x ⋅ sen 37º
2 + 
x ⋅ 2 ⋅ sen 53º
2 = 
1 ⋅ 2
2
x
2 
3
5 + 2 ⋅ 
4
5 = 1 
x
2 
11
5 = 1
x = 
10
11 
5 Encuentra el valor de x.
Resolución:
x
1 2
37º
3 Un móvil recorre 20 m en la dirección N 53º O, luego 
recorre 12 2 m en la dirección SO, finalmente 
recorre 30 m hacia el Este. ¿A qué distancia se 
encuentra el móvil de su posición inicial?
Rpta. 2 m 
Resolución:
2 Si la diagonal de un rectángulo es igual a R y forma 
un ángulo α con el lado mayor, halla el perímetro 
de dicho rectángulo.
Rpta. 2R(sen α + cos α)
Resolución:
∴ Perímetro = 2a + 2b
 = 2(R cos α) + 2(R sen α)
 = 2R(sen α + cos α)
Del gráfico:
 
b
R = sen α
 b = R ⋅ sen α
 
a
R = cos α
 a = R ⋅ cos α
b
a
R
α
1 Del gráfico adjunto, calcula el valor de H.
H = 1,7 + 6,4tg 37º = 1,7 + 6,4 
3
4
H = 1,7 + 4,8 = 6,5
Rpta. 6,5 m 
Resolución:
37º
Línea horizontalh = 1,70 m
Línea
 visua
l
H
6,4 m
37º
6,4 m1,7 m
H
6,4 m
1,7 m
6,4 × tg 37º
S S
20
30
2 m
53º
FinalInicial
12 2
N
N
N
O
O
12
12
16
E
E
45°
4 Un móvil se desplaza 50 km según el rumbo 
S 60º O con respecto de un punto A y luego 
se desplaza 30 km según el rumbo N 60º O. 
Determina el desplazamiento total respecto a su 
nueva ubicación.
d2 = 102 + (40 3)2
d2 = 100 + 1600 × 3
d2 = 4900
d = 70 km
Rpta. 70 km
Resolución:
A
B
EO
O
C
15 3
50 km
30 km
E
S
S
60º
10 60º
60º
30º
15
25
25 3
30º
N
d
41MateMática Delta 4 - trigonoMetría
9 Determina el valor de 
tg θ
tg α
.
Rpta. 
7
3
Resolución:
4 3
α θ
a = 3tg θ = 7tg α
tg θ
tg α = 
7
3
4
a
3
α θ
10 Encuentra el valor de x, en función de a, α y θ.
Rpta. a . csc α ⋅ ctg θ
Resolución:
θ
α
ax
θ
α
ax a . csc α
7 Calcula el área del triángulo ABC.
Rpta. 12 u2
Resolución:
x2 = 72 + 52 
x2 = 7 + 5
x = 2 3 
∴ A = 8 ⋅ 2 3 ⋅ sen 60°2 ⇒ A = 12 u
2
x8
60º
5
7
8
CD
A B
E
60º
5
7
∴ 
x
15 = 
C.O.
C.A. = tg 35º
 x = 15tg 35º
8 En un triángulo rectángulo un cateto mide 15 y 
su ángulo adyacente mide 35º. Halla el valor del 
otro cateto.
Rpta. 15tg 35º 
Resolución:
x (C.O.)
35º
15 (C.A.)
6 Descubre el área sombreada.
Rpta. 9 u2
Resolución:
As = 
6 . 8 ⋅ sen 30º
2 – 
4 . 3 ⋅ sen 30º
2
As = 24sen 30º – 6sen 30º
As = 18sen 30º 
As = 18 ∙ 
1
2 
As = 9
As = 30º6 8 30º4 3–
30º4
3
52
11 Un turista observa la parte más alta de la catedral 
de Cusco con un ángulo de elevación de α. Si la 
distancia entre el turista y la base de la catedral 
es de a metros, descubre la altura de esta, si el 
turista mide b metros.
Rpta. a . tg α + b
Resolución:
α H
a
bb
h
h + b = H
∴ H = h + b 
h
a = tg α
 h = a ∙ tg α 
 h + b = a ∙ tg α + b
∴ = a ∙ tg α + b
∴ 
x
a . csc α = tg θ
 x = a . csc α ⋅ tg θ
42
Síntesis
Modela y resuelve 
Rpta. Rpta. 
2 Calcula el área sombreada.1 Calcula el área sombreada.
Resolución: Resolución:
Aplicaciones de resolución de triángulos rectángulos
α: ángulo de elevación β: ángulo de depresión θ: ángulo de observación
A = a ⋅ b . sen θ 2
Rumbo: A → B
S α E
Rumbo: A → C
N β O
Área de un triángulo
Ángulos horizontales
Ángulos verticales
 x = c ⋅ sec θ
y = c ⋅ tg θ
x = a . sen θ
y = a . cos θθ
a
y
x
x = b ⋅ csc θ
y = b ⋅ ctg θθ
x
y
b
θ
x
y
c
b
a
θ
Lín
ea 
vis
ual
Línea horizontal
Línea visual
Líne
a ho
rizon
tal
Línea visual
Línea horizontal
β
C
A
S
EO
N
α
B
A
S
EO
N
810
37°
4
45°5 2
Resolución de triángulos rectángulos
 
43MateMática Delta 4 - trigonoMetría
5
4
6
3 Halla el valor de x, en función de α y n. Halla el valor de x, en función de θ y b.
Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta.
A
D
B
C
α
n
x
A M B
C
θ x
b
Si un poste telefónico proyecta una sombra de 
«a» metros cuando la elevación del sol es un 
ángulo de valor «α», determina la altura del poste, 
en metros.
Cuando la elevación del sol tiene un ángulo de 
valor «θ» un edificio de «b» metros, determina la 
sombra proyectada, en metros.
Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta.
7 8
Resolución: Resolución:
Desde lo alto de un edificio se observa a dos 
personas a 10 m de distancia, una de la otra, con 
ángulos de depresión de 53° y 45°. Encuentra la 
altura del edificio.
Desde la parte superior de un faro se observa dos 
embarcaciones con ángulos de depresión de 30° 
y 45°. Si la altura del faro es de 120 m, encuentra 
la distancia entre las embarcaciones.
Rpta. Rpta.
44
109 Descubre el mayor ángulo formado por las 
direcciones SSO y N 1
4
 NE.
Descubre el menor ángulo formado por S 1
4
 SO 
y ENE.
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
1211 Si un móvil se desplaza 160 m al norte y luego 
120 m al oeste, ¿a qué distancia de su punto de 
partida se encuentra?
Resolución: Resolución:
Resolución:
Si una persona camina 50 m con rumbo NE y 
luego camina 50 m con rumbo SE, ¿a qué 
distancia de su punto de partida se encuentra?
14 Si un móvil se desplaza 75 m según el rumbo 
S74°O, luego se desplaza 40 2 m según el 
rumbo N45°O, calcula el desplazamiento total 
con respecto a su nueva ubicación.
13 Si un móvil se desplaza 50 m siguiendo el rumbo 
S53°E, luego se desplaza 20 m según el rumbo 
N37°E, calcula el desplazamiento total con 
respecto a su nueva ubicación.
Resolución:
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
45MateMática Delta 4 - trigonoMetría
Practica y demuestra
Nivel I
2
 A 12 B 
2
5 C 
2
3
 D 13 E 
1
4
Calcula sen α, si OA = 2 y OE = .3281
D
C
BA
EO
α
α
α
αα
1 ¿Cuál es la dirección opuesta a S25ºE?
 A N65°O B N25°O C E65°S
 D N45°O E N35°O
3 Relaciona los rumbos con sus respectivos 
gráficos.
II. b. N60°O
N
S
EO
45°
I. a. S75°ON
S
EO
30°
III. c. NE
N
S
EO 15°
 A Ia; IIc; IIIb B Ib; IIc; IIIa
 C Ia; IIb; IIIc D Ic; IIb; IIIa
 E Ib; IIa; IIIc
4 Según el gráfico, halla la altura del árbol.
 A 4 m B 4,1 m
 C 4,05 m D 4,12 m
 E 4,06 m
1,74 m
h
45º
53º
5 Si en un rectángulo se conoce el ángulo α que 
forma la diagonal con el lado mayor y el perímetro 
del rectángulo es 2p, determina el valor de la 
diagonal.
 A p
sen α + cos α 
 B 2p
sen α + cos α 
 C 2p
tg α + ctg α
 D 2p
cos α + sec α
 E 2p
sen α + csc α
46
6 Encuentra el área del triángulo ABC, si el rumbo 
AB es N20°E y el rumbo BC es deS10°E.
 A 200 km2 B 100 km2
 C 150 km2 D 300 km2
 E 250 km2
20
 km
40 km
B
S
EO
N
A
S
EO
N
C
S
EO
N
Nivel II
9 Los rumbos ENE y OSO:
 A Forman un ángulo recto
 B Se superponen
 C Son opuestos
 D Forman un ángulo de 45°
 E Forman un ángulo de 22°30'
S
E22,5°22,5°
ENE
OSO
O
N
son opuestos
11 Desde un avión se observa en tierra un punto, 
como se muestra.
Si avanza horizontalmente una distancia igual 
al doble de la altura a la que se encuentra, el 
ángulo de depresión para el mismo punto es el 
complemento de α. Determina el valor de M.
M = ctg α – tg α
 A B 2 C 
 D E 3
α
h
8 Desde la parte más alta de un edificio se observa 
la parte más alta de otro con ángulo de elevación 
de 37°. Si los edificios miden 50 m y 110 m, calcula 
la distancia entre ellos.
 A 40 m B 50 m C 45 m
 D 80 m E 10 m
10 Halla el valor de x, en términos de α y r.
 A r ⋅ csc α B r ⋅ sec α
 C r ⋅ tg α D r + r sec α
 E r + r csc α
A
B C
α
x r
7 Descubre el valor de P.
P = 
tg θ + tg β
tg α
 A B C 
 D E 
α θ
4 43
β
120
17
121
28
121
17
117
28
120
29
1
2
2
3
1
3
47MateMática Delta 4 - trigonoMetría
12 Dadas las siguientes proposiciones indica 
verdadero (V) o falso (F), según corresponda.
 A VVF B VVV C FVF
 D FFF E FVV
( )
( )
( )
I. El rumbo norte cuarta al noreste 
(N1/4NE) es igual a N11º15'E.
II. Si el rumbo de A hacia B es S47ºE, 
entonces el rumbo de B respecto de 
A es N47°O.
III. La dirección sursuroeste es opuesta 
a la dirección este nornoreste.
13 Encuentra el valor de AB.
 A a(sen θ + cos θ) B a(cos θ + csc θ)
 C a(sen θ + sec θ) D a(sec θ + ctg θ)
 E a(tg θ + ctg θ)
A
θ
C
B
a
14 En el siguiente gráfico, descubre el valor de x.
 A asen θ + bcos θ B a(sen θ + csc θ)
 C a(sen θ + cos θ) D acos θ + bsen θ
 E (a + b) sen θ
θ
b
x
a
15 Dos personas se encuentran observando un 
monumento, como muestra la figura.
Calcula la altura del monumento.
 A 10 m B 10,1 m C 10,2 m
 D 10,3 m E 10,4 m
45º
37º
h
20 m
 1,9 m 1,5 m
 A VFV B FVF C FFV
 D VVV E FFF
16 Según el gráfico, indica si las proposiciones son 
verdaderas (V) o falsas (F).
B
S
EO
N
A
S
EO
N
C
S
EO
N
Rumbo AB: S82°E
Rumbo CB: N53°E
AC = BC
El rumbo AC es S37°E ( )
Si AC = 4 km, entonces BA es 4 2 km ( )
El ángulo ACB es de 100g ( )
17 Del gráfico:
Halla el valor de M.
M = (tg α + 1)(tg α – 1).
 A 2 B 1 C 5
 D 3 E 8
82
α
48
Nivel III
18 Determina el valor de AB.
 A a . ctg α – a B 2a . sen α
 C a . cos α – a D a . tg + a
 E a . sen α – a
A CB
a DA
F
α
19 Indica verdadero (V) o falso (F) en las siguientes 
expresiones.
 A VVV B VFV C FVV
 D FFF E FFV
La rosa náutica tiene 32 direcciones.
El rumbo nordeste cuarta al este tiene un 
ángulo de 56,25°.
El ángulo de elevación se mide entre la 
visual y la línea horizontal.
( )
( )
( )
20 De la figura adjunta podemos afirmar:
 A VFF B VVV C VFF
 D VFV E FFF
La altura del muro es de 9,75 m.
La persona observa la parte más alta del 
muro con un ángulo de elevación de 37°.
El ángulo de observación es 69°.
( )
( )
( )
 
37º
16º
1,75 m
21 Encuentra el valor de x en función de θ y b.
B
 A b2 sen θ + 1 B b . ctg θ + 
 C b2 (sen θ + cos θ) D b . tg θ – 
 E b (sen θ + cos θ)
AO
θ
b
x O
22 Desde un helicóptero que se encuentra a 
una altura de 21 m se observa dos puntos en 
tierra con ángulos de depresión de 45° y 37°, 
respectivamente. Descubre la distancia entre 
A y B si se sabe que están a distintos lados del 
helicóptero.
 A 47 m B 49 m C 42 m
 D 45 m E 43 m
 A 128 m B 64 m C 24 m
 D 12 m E 8 m
23 Desde lo alto de un edificio de 24 m de altura 
se observa dos autos en una misma dirección 
con ángulos de depresión de 45° y θ. Calcula la 
distancia entre los autos, si tg θ = 0,75.
Nombre: n.° de orden: Sección:
49MateMática Delta 4 - trigonoMetría
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
(20 – x)°
 A 60° B 40° 
 C 50° D 30°
 7π
9
 rad
Calcula el valor de x.1
 A VVV B VVF 
 C FFF D FFV
 
Si 3723'' = a°b'c''. Encuentra el valor de verdad 
de las siguientes proposiciones:
I. ab + ba = 3
II. ca = 3
III. a > b> c
4
x
α
β
 A 90° – β + α B 90° + β – α
 C 90° + β + α D β – α
Halla el valor de x.2
80g x
15 cm
 A 2π cm B 1π cm
 C 7π cm D 6π cm
Descubre el valor de x.5
 A 1 2 B 
3 
2
 C 1 3 D 
2 
3
A
B
O 60º
 
 
Determina la relación entre el área de la región 
sombreada y no sombreada.
3
4a 12b
3b
6a
θ
3
 A 22 B 33
 C 44 D 42
Calcula el valor de P = 2θ2 + 3θ.6
Test n.° 1
50
a. 9 u2
b. 30 u2
c. 7 u2
 A B 
 C D 
Halla el valor de M.
M = sen 20° + tg 45° – cos 70°tg 37º
7
 A VVF B VVV 
 C VFV D FFV
A B
C
c
a
b
Indica verdadero o falso según corresponda.
I. sen A ⋅ sec C = 1 ( )
II. b2 + a2 = c2 ( )
III. tg C ⋅ sen A = sen C ( )
 
Observa el gráfico.8
 A Ia; IIb; IIIc B Ic; IIb; IIa
 C Ib; IIa; IIIc D Ib; IIc; IIIa
I.
II.
III.
8 u 60º 5 3 u
6 u
45º
3 2 u
4 u
30º 7 u
Relaciona las columnas según corresponda.9
 A 115° B 155°
 C 135° D 145°
Encuentra el menor ángulo formado positivo por 
las direcciones S20ºE y NO.
11
Se puede afirmar que se cumple:
I. DC = a . sen α 
II. BC = a . sen2 α 
III. AB = a . sen2 α ⋅ tg α 
A
B
C
D
a
E
α
Observa el gráfico.12
 A 112 cm B 110 cm
 C 120 cm D 56 cm
La longitud de la hipotenusa es a la longitud 
de uno de los catetos como 25 a 24. Si el otro 
cateto mide 14 cm, determina el perímetro del 
triángulo rectángulo.
10
 
1
3
3
4
4
3
2
3
 A I y II B Todos
 C Solo I D Solo II
Tema
51MateMática Delta 4 - trigonoMetría
Sistema de coordenadas
rectangulares
5
Para determinar la posición de un punto en el 
plano, se usa un sistema de ejes perpendiculares 
creado por Descartes.
Un punto está identificado por un par ordenado 
P (x ; y), donde la primera componente pertenece 
al eje de las abscisas y la segunda componente 
pertenece al eje de las ordenadas.
y
P1(1 ; 3)
P(x ; y)
x1
3
x
y
La recta
Es un conjunto de puntos, tales que tomados de dos en dos se obtiene la misma 
pendiente.
mAB = mBC = mAC = tg α
y
x
L
α
B
A
C
La pendiente también 
se puede escribir 
como:
Not a
m = 
y1 – y2
x1 – x2
 
Recu e rda
y
x
II C
• (– ; +)
• (– ; –)
• (+ ; +)
• (+ ; –)
III C
I C
IVC
Obse rva
m1 ⋅ m2 = –1
m1 = m2
• Rectas paralelas
• Rectas 
perpendiculares
L1
L2
x
y
y L1
x
L2
Ecuación de la recta
y – y1 = m(x – x1)
 Ecuación de la recta cuya pendiente 
es m y el punto de paso es 
P1(x1 ; y1):
y = mx + b Ecuación de la recta cuya pendiente 
es m y su punto de paso (0 ; b):
Ax + By + c = 0 Ecuación general de la recta: ; m = – A
B
Dados dos puntos A y B ∈ R2, se define:
 Pendiente: m = 
y2 – y1
x2 – x1
 Distancia entre dos puntos: d
d = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2
 Punto medio: M
M = 
x1 + x2
2 ; 
y1 + y2
2
y
A (x2 ; y2)
(x1 ; y1)
x
y2
B
x1
x2
y1
Propiedades
52
Ejercicios resueltos
Rpta. 2 10 
5 Si la pendiente de la recta L es 3, descubre el 
valor de m.
L: (2m + 3)x – 5y + 3 = 0 
Si Ax + By + C = 0 ⇒ m = – A
B
Entonces: –(2m + 3)–5 = 3
 2m + 3 = 15
 2m = 12
 m = 6
Rpta. 6 
Resolución:
3 Determina la ecuación general de la recta L que 
pasa por los puntos A(5 ; 9) y B(–3 ; 5).
Primero encontramos mAB.
mAB = 
yA – yB
xA – xB
= 9 – 5
5 – (–3)
 = 4
8
mAB = 
1
2
∴ Aplicamos la ecuación:
 y – y1 = m (x – x1); donde (x1 ; y1) puede ser A o B.
 y – 9 = 1
2
 (x – 5)
2y – 18 = x – 5
 0 = x – 2y + 13
Rpta. x – 2y + 13 = 0
Resolución:
La pendiente de la recta L1: Ax + By + C = 0 es 
m = –A
B
 = –1
2
También, si las rectas son paralelas tienen la 
misma pendiente.
La recta y – y1 = m(x – x1)
 y – 3 = –1
2
 (x – 2)
 2y – 6 = –x + 2
 x + 2y – 8 = 0
6 Calcula la ecuacióngeneral de la recta L que 
pasa por el punto A(2 ; 3) y es paralela a la recta 
L1: x + 2y + 5 = 0.
Rpta. x + 2y – 8 = 0
Resolución:
2 Halla la pendiente entre los puntos A(2 ; 3) y 
B(–2 ; 4).
mAB = 
yB – yA
xB – xA
mAB = 
4 – 3
–2 – 2 = 
1
–4
mAB = – 
1
4
Resolución:
Rpta. – 1
4
–2 2 x
y
4B
A3
4 Encuentra la distancia entre A y B.
Encontrando las coordenadas de A y B.
A: x = 0
 0
–6
 + y
2
 = 1 → y
2
 = 1 → y = 2
B: y = 0
 x
–6
 + 0
2
 = 1 → x
–6
 = 1 → x = –6
∴ A(0 ; 2) y B(–6 ; 0)
 d(AB) = (0 + 6)2 + (2 – 0)2
 d(AB) = 40 = 2 10
Resolución:
A
B
x
y
L: x–6 + 
y
2 = 1
1 Calcula el valor de a + b.
Punto medio
–3 + a
2 = 2 
2 + b
2 = –1
–3 + a = 4 2 + b = –2
 a = 7 b = –4
∴ a + b = 7 + (–4) = 3
Rpta. 3 
Resolución:
y
x
(2 ; –1)
P(a ; b)
(–3 ; 2)
53MateMática Delta 4 - trigonoMetría
Rpta. 2x – 3y = 0
9 Encuentra la ecuación general de la recta que 
pasa por P(1 ; 2) sabiendo que la perpendicular a 
la recta es L: 7x – 2y + 4 = 0.
La pendiente de la recta L es: m = –7
–2
 = 7
2
Para encontrar la pendiente de la recta 
perpendicular.
m ∙ m1 = –1 ⇒ 
7
2
 ⋅ m1 = –1 ⇒ m1 = 
–2
7
La recta:
 y – 2 = –2
7
 (x – 1)
2x + 7y – 16 = 0
Rpta. 2x + 7y – 16 = 0
Resolución:
Recuerda Ax1 + By + C = 0 ⇒ m = – 
A
B
–3
–(1 + 4m) = 
–8
–(5m + 4)
 3(5m + 4) = 8(1 + 4m)
 15m + 12 = 8 + 32m
 4
17
 = m
10 Si las rectas L1: 8x – (5m + 4) y – 20 = 0 y 
L2: 3x – (1 + 4m) y + 10 = 0 son paralelas; descubre 
el valor de m.
Rpta. 
Resolución:
4
17
7 Halla el área de la región triangular determinada 
por la recta L1: 
x
4
 + y
5
 = 1 y los ejes de coordenadas.
Rpta. 10 u2
Resolución:
Si x
a
 + y
b
 = 1
entonces:
a
b
y
x
El área será: 
A = 4 ⋅ 52
A = 10 u2
5
4
11 Calcula la medida de la mediana relativa al lado 
AB, según la figura.
Rpta. 65 
Resolución:
El punto medio de AB 
M = –7 + 3 
2
 ; –1 + 3
2
 = (–2 ; 1)
∴ La distancia de CM = (5 – (–2))2 + (–3 – 1)2
 CM = 49 + 16 
 CM = 65
y
x
B
C
A
(3 ; 3)
(–7 ; –1) (5 ; –3)
El punto M = 
6 + 0
2 ; 
0 + 4
2 = (3 ; 2)
Hallando L1:
m = 2 – 0
3 – 0
 = 2
3
 y – 0 = 2
3
 (x – 0) ⇒ 3y = 2x
 2x – 3y = 0
12 Halla la ecuación de la recta L1.
Resolución:
y
x
M(0 ; 4)
(6 ; 0)0
L1
Rpta. (2 ; 4)
8 Determina el punto de intersección de las rectas 
L1: 2x + 3y = 16 y L2: 5x – 8y = –22.
Para determinar el punto de intersección, se 
resuelve el sistema de ecuaciones lineales.
Resolución:
Sistema
de ecuaciones
 2x + 3y = 16
 5x – 8y = –22
 10x + 15y = 80
 –10x + 16y = 44
 31y = 124
 y = 4
 ∴ 2x + 3(4) = 16
 2x = 16 – 12
 x = 2
+
54
Síntesis
1
3
Modela y resuelve 
Sistema de coordenadas rectangulares
Rpta. Rpta. 
2 Calcula el valor de x, si la pendiente entre A(x ; 4) 
y B(6 ; 8) es 2.
4 Halla el valor de b, si el punto (1 ; –2) pertenece 
a la recta L: x – (b + 1)y + 3 = 0.
Calcula la pendiente entre A(2 ; 3) y B(5 ; 6).
Halla el valor de m, si el punto (2 ; 3) pertenece a 
la recta L: mx – y – 1 = 0.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Plano cartesiano
La recta
Rectas paralelas Rectas perpendiculares
• Pendiente (m)
 m = 
yB – yA 
xB – xA = 
yA – yB 
xA – xB
• Punto medio (M)
 M = 
xA + xB 
2
yA + yB 
2;
• Distancia entre A y B: d(AB)
 d(A ; B) = (xA – xB)2 + (yA – yB)2
• mAB = mBC = mCD
• Pendiente m y punto de paso (x1 ; y1)
y – y1 = m(x – x1)
• Pendiente m y punto de paso (0 ; b)
y = mx + b
• Ecuación general: Ax + By + C = 0
m1 = m2 m1 ⋅ m2 = –1
y
A
(xA ; yA)
M
x
B
(xB ; yB)
y
A
xB
C D
Rpta. Rpta. 
55MateMática Delta 4 - trigonoMetría
7
9
5 Determina el punto medio entre A(2 ; 3) y B(–4 ; –5). 6 Determina el punto medio entre A(–2 ; 4) y B(8 ; –3).
 
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Descubre la ecuación general de la recta que pasa 
por (1 ; 2) y tienen pendiente igual a –1.
10 Descubre la ecuación general de la recta que pasa 
por (–1 ; 1) y tiene pendiente igual a 2
3
.
11 Si la ecuación de la recta L: x + 2y – 3 = 0 se 
puede escribir de la forma y = mx + b, calcula el 
valor de m – b.
12 Si la ecuación de la recta L: x – 3y + 5 = 0 se 
puede escribir de la forma y = mx + b, calcula el 
valor de 6m – 3b.
Encuentra el valor de x + y. 8 Encuentra el valor de x – y.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
y
–4 x
5
M(x ; y)
y
– 9
x7
M(x ; y)
56
19
16
13 Si L: x + (k – 2)y + 3 = 0 tiene pendiente igual a 3, 
halla el valor de k.
14 Si L: (k – 3)x + (k – 1)y + 5 = 0 tiene pendiente 
igual a – 1
2
, halla el valor de k.
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
17 Si L1: 2x + ay + 5 = 0 y L2: bx – 3y + 7 = 0 se 
intersectan en el punto P(2 ; 1); encuentra el valor 
de a + b.
18 Si L1: 3x – by + 6 = 0 y L2: (a + 1)x – 2y + 4 = 0 
se intersectan en el punto P(–1 ; 3); encuentra el 
valor de a + b.
Descubre el área de la región triangular formada 
por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación 
es 4x + 7y – 28 = 0.
20 Descubre el área de la región triangular formada 
por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación 
es 3x – 8y = 24.
15 Determina el punto de intersección de las rectas.
 L1: 2x + 3y – 15 = 0
 L2: 5x – 2y – 28 = 0
Determina el punto de intersección de las rectas.
 L1: 5x + 3y – 7 = 0
 L2: 4x – 7y – 15 = 0
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
57MateMática Delta 4 - trigonoMetría
Practica y demuestra
Nivel I
 A 12 B 13 C 17
 D 16 E 15
2 Halla la distancia entre A(4 ; 20) y B(–4 ; 5).
4 Encuentra el valor de k, si el punto P(3 ; 4) 
pertenece a la recta L: (k – 2)x + 3y – 5 = 0.
5 Si se sabe que las rectas L1: (m + 2)x + 2y + 7 = 0 y 
L2: (1 – m)x + 3y + 15 = 0 son paralelas, descubre 
el valor de m.
 A 1 B 2 C 3
 D 4 E 5
3 Observa el gráfico.
Determina el valor de a, si a > 0.
y L
x
A
B
C
(–7 ; –1)
(a – 5 ; 1)
(2 ; a + 4)
6 Calcula el área de la región triangular determinada 
por la recta L1: 
x 
12 
 – y 
7 
 = 1 y los ejes de 
coordenadas.
 A 40 u2 B 43 u2 C 46 u2
 D 42 u2 E 44 u2
A – 1 
2 
 B –2 C –3
 D – 1 
3 
 E 12 
3 
A – 1 
2 
 B – 1 
4 
 C – 1 
3 
 D – 1 
7 
 E – 1 
5 
A – 2 B 4 C 5 
3 
 D 1 
4 
 E – 4 
5 
1 Calcula el valor de la pendiente entre A(–3 ; 7) y 
B(3 ; –5).
58
Nivel II
 A x – y + 3 = 0 B –x + y – 8 = 0
 C x – y + 7 = 0 D – x + y – 9 = 0
 E x – y + 5 = 0
7 Halla la ecuación de la recta, que pasa por 
(–1 ; 2) y es perpendicular a la recta L: x + y – 17 = 0.
 A Rectángulo B Equilátero
 C Escaleno D Isósceles
 E Rec. isósceles
8 El triángulo ABC es:
y
x
A
B
C(2 ; –4)
(–4 ; 1)
(5 ; 3)
 A x + y + 1 = 0 B 2x – y + 1 = 0
 C x + 2y + 1 = 0 D x + y – 1 = 0
 E x – 2y – 1 = 0
12 Calcula la ecuación de la recta L.
y
x– 6
4L
(1 ; –2)
 
10 Encuentra el valor de n, si las rectas L1 y L2 son 
paralelas.
L1: (2n – 5)x + (n + 3)y – 23 = 0
L2: x – 3y + 10 = 0
11 Descubre la ecuación general de la recta si el 
área sombreada es 16 u2.
 A x – 2y + 8 = 0 B x – 2y + 4 = 0
 C 2x – y + 8 = 0 D x + 2y + 8 = 0
 E x + 2y + 4 = 0
y
–2a x
a
L
 
 
9 Determina el valor de m, si las rectas:
L1: (2m + 3)x – 4y + 30 = 0 y 
L2: 7x – (m + 8)y – 34 = 0 son perpendiculares.
A – 5 
17 
 B – 53 
18 
 C – 51 
18 
 D – 52 
13 
 E – 53 
20 
A 15 
4 
 B 18 
5 
 C 3 
5 
 D 13 
5 
 E 12 
7 
59MateMática Delta 4 - trigonoMetría
13
 A 50 B 52 C 54
 D 55 E 58
Si las rectas L1: 2x – ay + 16 = 0 y L2: bx + 4y – 14 = 0, 
pasan por P(1 ; 2), halla el valor de a ⋅ b.
 A 11 B 1 C –1
 D –30 E 30
14 Si la recta L tiene por ecuación x
a
 + y 
b 
 = 1, 
determina el valor de M = a ⋅ b.
y
– 6
x
5 L
Nivel III
 A y = –x – 2 B y = –x + 3
 C y = –x + 5 D y = –x + 2
 E y = –x