Sapiens-Trigonometría-Rubén-Alva-Cabrera-

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TRIGOnOÍDETRÍR
Teoría y práctica
Rubén Alvo Cabrera
TRIGOnOfllETRIH
Teoría y práctica
T rigonometría : T eoría y práctica 
C olección U niciencia S apiens 
R ubén A lva C abrera
© Rubén Alva Cabrera, 2007
Asesoría académica: Salvador Timoteo V.
© Editorial San Marcos E. I. R. L., editor 
Jr. Dávalos Lissón 135, Lima, Lima, Lima 
Teléfono: 331-1522 
RUC: 20260100808
E-mail: informes@editorialsanmarcos.com
Diseño de portada: Gustavo Tuppia 
Composición de interiores: Blanca Llanos 
Responsable de edición: Alex Cubas
Primera edición: 2007 
Segunda edición: 2014 
Tercera edición: diciembre 2015 
Tiraje: 2000 ejemplares
Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú
N.° 2015-17918
ISBN: 978-612-315-278-9
Registro de proyecto editorial N.° 31501001501403
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, 
sin previa autorización escrita del autor y del editor.
Impreso en el Perú / Printed in Perú
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Editorial San Marcos de Aníbal Jesús Paredes Galván
Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, San Juan de Lurigancho, Lima, Lima
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Marzo 2016
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Presentación,
ÍNDICE
11
CAPÍTULO 01: SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR - SECTOR CIRCULAR
Biografía: Hiparco de N lce a ................................................................................................................................................... 13
Ángulo trigonométrico............................................................................................................................................................... 14
Sistema de medición a n g u la r ............................................................................................................................................... 14
Relación de conversión de los tres s is tem as..................................................................................................................... 14
Factor de conversión................................................................................................................................................................ 14
Regla de convers ión ................................................................................................................................................................ 14
Relación entre los sistemas sexagesimal y centesimal.................................................................................................. 16
Ángulos coterm inales............................................................................................................................................................... 17
Sector circular............................................................................................................................................................................ 17
Trapecio c ircu lar........................................................................................................................................................................ 18
Problemas resueltos................................................................................................................................................................. 21
Problemas de examen de admisión U N I............................................................................................................................. 32
Problemas propuestos............................................................................................................................................................. 34
CAPÍTULO 02: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
Biografía: A l-Battani.................................................................................................................................................................. 39
Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo ....................................................................................................... 40
Teorema del com plem ento........................................................................... 40
Triángulos p itagóricos............................................................................................................................................................. 41
Triángulos rectángulos no tab les ........................................................................................................................................... 43
Resoluciones de triángulos rectángu los.............................................................................. -............................................. 44
Cálculo de razones trigonométricas de la mitad de un ángulo........................................................................................ 45
Área de triángu lo ....................................................................................................................................................................... 46
Ángulos verticales y horizontales (ángulos de elevación y depresión)........................................................................ 47
Rosa náutica............................................................................................................................................................................... 47
Problemas resue ltos ................................................................................................................................................................ 49
Problemas de examen de admisión U N I............................................................................................................................. 65
Problemas propuestos............................................................................................................................................................. 67
CAPÍTULO 03: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Biografía: Abu'l W afa................................................................................................................................................................ 75
Rectas dirig idas......................................................................................................................................................................... 76
Sistema coordenado sobre una recta.................................................................................................................................. 76
Sistema coordenado sobre un plano.................................................................................................................................... 76
Ángulos en posición norm al................................................................................................................................................... 77
Ángulos cuadrantales............................................................................................................................................................... 77
Representación particular de los ángulos cuadrantales................................................................................................... 78
RT de ángulos en posición norm al....................................................................................................................................... 79
Signos de las razones trigonométricas................................................................................................................................ 80
RT ángulos coterm inales......................................................................................................................................................... 81
RT de ángulos negativos......................................................................................................................................................... 81
Circunferenciatrigonométrica................................................................................................................................................. 81
Líneas trigonom étricas............................................................................................................................................................ 82
Líneas auxiliares........................................................................................................................................................................ 82
RT de los principales ángulos cuadrantales....................................................................................................................... 83
6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Cuadro de variación de las razones trigonom étricas......................................................................................................... 83
Extensión de las razones trigonométricas............................................................................................................................. 83
Razones trigonométricas de ángulos de la forma (nrt ± a ) v [n(180°) ± a], n e TL...................................................... 85
Razones trigonométricas de ángulos de la forma: J(2n + 1 ) - |± a jv [(2 n + 1 )(90°)±a ];n e TL................................ 86
Reducción al primer cuadrante................................................................................................................................................ 87
RT de ángulos notables............................................................................................................................................................. 89
Problemas resueltos................................................................................................................................................................... 93
Problemas de examen de admisión U N I.............................................................................................................................. 109
Problemas propuestos.............................................................................................................................................................. 111
CAPÍTULO 04: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Biografía: Johann Müller........................................................................................................................................................... 121
Definición...................................................................................................................................................................................... 122
Identidades principales............................................................................................................................................................. 122
Identidades auxiliares................................................................................................................................................................ 123
Tipos de problem as................................................................................................................................................................... 123
Problemas resueltos.................................................................................................................................................................. 127
Problemas de examen de admisión U N I............................................................................................................................. 139
Problemas propuestos............................................................................................................................................................... 141
CAPÍTULO 05: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS
Biografía: Edmund Gunter........................................................................................................................................................ 147
Seno de la suma y diferencia de dos ángulos.............................................................................. 148
Coseno de la suma y diferencia de dos ángulos ................................................................................................... 148
Tangente de la suma y diferencia de dos ángu los............................................................................................................. 148
Cotangente de la suma y diferencia de dos ángu los ........................................................................................................ 148
Identidades auxiliares................................................................................................................................................................ 150
Identidades trigonométricas de la suma de tres ángulos................................................................................................. 152
Problemas resueltos.................................................................................................................................................................. 153
Problemas de examen de admisión U N I.............................................................................................................................. 165
Problemas propuestos............................................................................................................................................................... 167
CAPÍTULO 06: ÁNGULOS MÚLTIPLES
Biografía: Aryabhata .................................................................................................................................................................. 173
Identidades trigonométricas del ángulo dob le ................................................................................................................... 174
Identidades auxiliares del ángulo doble ............................................................................................................................. 178
Identidades trigonométricas del ángulo m itad................................................................................................................... 178
Identidades trigonométricas del ángulo trip le ..................................................................................................................... 182
Identidades auxiliares del ángulo tr ip le ............................................................................................................................... 183
Problemas resueltos.................................................................................................................................................................. 186
Problemas de examen de admisión U N I............................................................................................................................. 198
Problemas propuestos...................................................................................................... 199
CAPÍTULO 07: IDENTIDADES DEL PRODUCTO, SUMA Y DIFERENCIA DE SENO Y COSENO
Biografía: William Oughtred..................................................................................................................................................... 205
Identidades de transformación de suma o diferencia de senos a producto............................................................... 206
Identidades de transformación de suma o diferencia de cosenos a producto.......................................................... 206
Identidades de transformación de producto de seno y coseno a suma (o diferencia) de se n o s ........................... 209
Identidad de transformación de producto de cosenos a suma de cosenos............................................................... 209
Identidad de transformación de producto de senos a diferencia de cosenos........................................................... 209
Series trigonométricas................................................................................................................211
Productos trigonométricas........................................................................................................................................................ 214
T R IG O N O M E T R ÍA ■ 7
Problemas resueltos................................................................................................................................................................. 215
Problemas de examen de admisión U N I............................................................................................................................. 227
Problemas propuestos.............................................................................................................................................................. 229
CAPÍTULO 08: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Biografía: Georg R heticus....................................................................................................................................................... 235
Conceptos prelim inares........................................................................................................................................................... 236
Funciones............................................... 237
Gráfica de una fu n c ió n ............................................................................................................................................................ 238
Clasificación de las funciones................................................................................................................................................ 239
Funciones especiales............................................................................................................................................................... 240
Análisis de las funciones trigonométricas básicas .......................................................................................................... 241
Funciones trigonométricas compuestas.............................................................................................................................. 242
Multiplicación de la función por una constante.................................................................................................................. 242
Multiplicación del argumento por una constante ............................................................................................................... 243
Suma de una constante al valor de la función.................................................................................................................... 244
Suma de una constante al argumento.................................................................................................................................. 244
Funciones auxiliares................................................................................................................................................................. 247
Problemas resueltos................................................................................................................................................................. 252
Problemas de examen de admisión UN I............................................................................................................................. 267
Problemas propuestos.............................................................................................................................................................. 269
CAPÍTULO 09: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Biografía: N ie lsA be l................................................................................................................................................................. 277
Conceptos pre lim inares.......................................................................................................................................................... 278
Funciones inve rsas .................................................................................................................................................................. 278
Función suryectiva o sobreyectiva ............ 278
Función inyectlva o univalente ................... 279
Función inversa ........................................................................................................................................................................ 280
Gráfica de una función in ve rsa ............................................................................................... 281
Funciones trigonométricas in ve rsa s .................................................................................................................................... 281
Gráfica, dominio y rango de las funciones trigonométricas Inversas .......................................................................... 281
Propiedades de las funciones trigonométricas inversas ................................................................................................ 285
Funciones trigonométricas Inversas com puestas............................................................................................................. 287
Método práctico para hallar la ecuación de una c u rv a ................................................................................................... 290
Problemas resue ltos ................................................................................................................................................................ 293
Problemas de examen de admisión U N I............................................................................................................................. 306
Problemas propuestos............................................................................................................................................................ 308
CAPÍTULO 10: ECUACIONES E INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Biografía: Frangols V lé te ......................................................................................................................................................... 315
Ecuaciones trigonom étricas................................................................................................................................................... 316
Ecuaciones trigonométricas elementales............................................................................................................................ 316
Ecuaciones trigonométricas no elementales...................................................................................................................... 320
Sistema de ecuaciones trigonométricas.............................................................................................................................. 322
Inecuaciones trigonométricas .............................................................................................................................................. 324
Problemas resueltos................................................................................................................................................................. 332
Problemas de examen de admisión U N I............................................................................................................................. 346
Problemas propuestos.............................................................................................................................................................. 347
CAPÍTULO 11: RESOLUCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS
Biografía: Edward Kasner........................................................................................................................................................ 355
Introducción ............................................................................................................................................................................... 356
8 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Resolución de triángulos rectángulos...................................................................................................................................356
Polígonos regulares.................................................................................................................................................................. 357
Resolución de triángulos oblicuángulos.............................................................................................................................. 359
Casos que se presentan en la resolución de triángulos oblicuángulos....................................................................... 360
Funciones trigonométricas de la mitad de un ángulo de un triángulo en términos de los lados........................... 363
Elementos auxiliares de un triángulo.................................................................................................................................... 364
Área del triángu lo ...................................................................................................................................................................... 365
Otras relaciones entre los elementos de un triángu lo ..................................................................................................... 365
Cuadriláteros.............................................................................................................................................................................. 368
Problemas resueltos................................................................................................................................................................. 371
Problemas de examen de admisión U N I............................................................................................................................. 384
Problemas propuestos.............................................................................................................................................................. 386
CAPÍTULO 12: GEOMETRÍA ANALÍTICA - COORDENADAS POLARES
Biografía: Joseph Gergonne................................................................................................................................................... 393
Sistema de coordenadas rectangulares.............................................................................................................................. 394
Distancia entre dos puntos..................................................................................................................................................... 394
División de un segmento en una razón d ada ..................................................................................................................... 395
Ángulo de inclinación, pendiente de una recta y ángulo entre dos rec tas................................................................. 397
La recta........................................................................................................................................................................................ 399
Distancia de un punto a una recta......................................................................................................................................... 402
Área de una región triangular ............................................................................................................................................. 402
Área de una región po ligona l.................................................... :........................................................................................... 402
La circunferencia....................................................................................................................................................................... 405
La parábola................................................................................................................................................................................. 409
La elipse ..................................................................................................................................................................................... 416
La hipérbola................................................................................................................................................................................ 423
Transformación de coordenadas........................................................................................................................................... 429
Coordenadas polares .............................................................................................................................................................. 434
Problemas resueltos......................................................... 442
Problemas de examen de admisión U N I............................................................................................................................. 451
Problemas propuestos.............................................................................................................................................................. 453
CAPÍTULO 13: LÍMITES Y DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Biografía: John W allis............................................................................................................................................................... 459
Nociones p re lim ina res............................................................................................................................................................ 460
Idea de lím ite.............................................................................................................................................................................. 460
Límites trigonométricos .......................................................................................................................................................... 461
La sinusoide .............................................................................................................................................................................. 465
La c ic lo ide ................................................................................................................................................................................... 466
Derivada de func io ne s ............................................................................................................................................................ 470
Derivada de funciones trigonométricas .............................................................................................................................. 470
Cálculo de lím ites...................................................................................................................................................................... 470
Problemas resue ltos ................................................................................................................................................................ 472
Problemas propuestos............................................................................................................................................................ 485
CAPÍTULO 14: NÚMEROS COMPLEJOS APLICADOS A LA TRIGONOMETRÍA
Biografía: Cari G auss............................................................................................................................................................... 489
Número complejo ..................................................................................................................................................................... 490
Igualdad de números com ple jos........................................................................................................................................... 490
Conjugado de un número com p le jo ..................................................................................................................................... 490
Operaciones con números complejos ................................................................................................................................490 .
Potencias de i : ............................................................................................................................................................................ 491
T r i g o n o m e t r í a ■ 9
Representación gráfica de los números com p le jos ......................................................................................................... 491
Módulo o valor absoluto de un número com p le jo ............................................................................................................. 491
Representación gráfica o geométrica de conjuntos especiales ................................................................................... 492
Forma polar o trigonométrica de un número com p le jo ................................................................................................... 493
Operaciones con números complejos en forma p o la r .................................................................................................... 494
Forma exponencial de un número complejo ..................................................................................................................... 495
Operaciones con números complejos en forma exponencial......................................................................................... 495
Teorema de Abraham de Moivre .......................................................................................................................................... 495
Raíces de números complejos ............................................................................................................................................. 496
Raíces enésimas de la unidad ............................................................................................................................................. 497
Problemas resue ltos ................................................................................................................................................................ 498
Problemas de examen de admisión U N I............................................................................................................................. 505
Problemas propuestos............................................................................................................................................................. 507
PRESENTACIÓN
El presente libro tiene com o ob je tivo brindar al estud ian te de la m anera más d idáctica 
posib le una com ple ta in form ación acerca de la T rigonom etría para su aprendiza je . Este 
texto propone el desarro llo de los conceptos m ás e lem enta les del curso, para llegar a 
tem as recientem ente incorporados en los exám enes de adm isión, según el prospecto de 
la UNI.
En cada capítu lo se desarro llan los aspectos teóricos con m ucha s im plic idad, sa­
crificando en a lgunos casos el rigor m atem ático, con el propósito de que los conceptos 
y de fin ic iones sean ráp idam ente asim ilados. Adem ás se incluye una gran variedad de 
problem as resueltos y propuestos de tal m anera que el estud iante pueda afianzar sus 
conocim ien tos en la m ateria.
El presente libro de Trigonom etría de la Co lección Uniciencia Sapiens, tiene la parti­
cularidad de m ostrar con sencillez la rigurosidad del curso, m ediante cuantiosos ejem plos 
y problem as resueltos y propuestos por capítu lo, que sirven a su vez de m odelos para 
en fren ta r con éxito otros tipos de problem as. Los proced im ientos ap licados se com unican 
sigu iendo la secuencia lógica com ún en cua lqu ie r ram a de la m atem ática, dem ostrándose 
gran cantidad de teorem as y propiedades. Adem ás cuenta con problem as de exam en de 
adm isión a la UNI con respuestas y claves.
E speram os que esta pub licación logre conve rtirse en un im portan te au x ilia r peda­
góg ico para todos los es tud ian tes de educac ión secundaria , p reun ive rs ita ria y superior, 
adem ás que logre aporta r en su p reparación para a fron ta r con éxito el exam en de ad ­
m is ión y en su pos te rio r desarro llo p ro fes iona l. Si este tex to logra ser parte fundam enta l 
en la construcc ión de un fu tu ro p ro fes iona l peruano, en tonces nos darem os por sa tis ­
fechos.
El Editor
Sistema de 
medición 
angular 
Sector circular
Hiparco de Nicea (Nicea, 190 
a. C.-120 a. C.) fue un astrónomo, 
geógrafo y m atem ático griego.
Entre sus aportaciones cabe des­
tacar: el primer catálogo de es­
trellas; la división del día en 24 
horas de igual duración (hasta la 
invención del reloj m ecánico en 
el siglo XIV las divisiones del día 
variaban con las estaciones); el 
descubrimiento de la precesión 
de los equinoccios; la distinción 
entre año sidéreo y año trópico, 
m ayor precisión en la m edida de 
la distancia Tierra-Luna y de la 
oblicuidad de la eclíptica y de los 
conceptos de longitud y latitud 
geográficas.
Por otra parte, Hiparco es el in­
ventor de la trigonometría, cuyo 
objeto consiste en relacionar las 
medidas angulares con las linea­
les. Las necesidades de ese tipo de cálculos son muy frecuentes en Astronomía. Hiparco cons­
truyó una tabla de cuerdas que equivalía a una moderna tabla de senos. Con la ayuda de dicha 
tabla, pudo fácilmente relacionar los lados y los ángulos de todo triángulo plano. Ahora bien, los 
triángulos dibujados sobre la superficie de la esfera celeste no son planos, sino esféricos constitu­
yendo la trigonometría esférica. Además, elaboró el prim er catálogo de estrellas que contenía la 
posición en coordenadas eclípticas de 850 estrellas.
Fuente: W ikipedia
1 4 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
<4 ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
En geometría plana un ángulo se define como la figura 
formada por dos rayos que parten de un mismo punto. 
En Trigonometría generalmente se considera que un 
ángulo se genera por la rotación de un rayo alrededor 
de su origen (llamado: vértice) desde una posición Ini­
cial (llamado: lado inicial) hasta una posición terminal 
(llamado: lado final).
La medida de un ángulo es, si me permiten la expre­
sión, la cantidad de rotación (o amplitud de. rotación) 
que efectúa el rayo al girar en torno a su origen desde 
su posición inicial hasta su posición final. Esta medi­
da será un número positivo si la rotación se efectúa en 
sentido antíhorarío y negativo en caso contrario.
OÁ: lado inicial 
OB: lado final 
O: vértice
6 : número que indica la me­
dida del ángulo AOB. 
Comúnmente se suele lla­
mar a un ángulo cuya medi­
da es 0 como: el ángulo 0 . 
La flecha curva indica en 
qué sentido es la rotación. 
En las figuras adjuntas.
0 es positivo, a es negativo, 
<|> es negativo.
Debemos tener presente que 
la medida de un ángulo trigo­
nométrico no tiene límite.
Ai ángulo generado al rotar un rayo en sentido anti­
horario hasta que coincida por primera vez con su po­
sición inicial lo denominamos ángulo de una vuelta o 
ángulo de una revolución.
&
<4 SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
Sistema sexagesimal (sistema inglés)
En este sistema consideramos al ángulo de una vuelta 
dividido en 360 partes ¡guales y a cada parte se le 
denomina un “grado sexagesimal” , a cada grado se 
le divide en 60 partes iguales y a cada parte de le de­
nomina “m inuto sexagesimal” , a su vez a cada minuto 
se le divide en 60 partes iguales y a cada parte se le 
denomina “segundo sexagesimal” .
NOTACIÓN EQUIVALENCIAS
* 1 grado sexagesimal: 1° * 1° = 60’ = 3600”
* 1 minuto sexagesimal: 1’ * 1 ’ = 60”
* 1 segundo sexagesimal: 1”
m Z 1 vuelta 
360
=» mZ1 vuelta = 360°
Sistema centesimal (sistema francés)
En este sistema consideramos al ángulo de una vuelta 
dividido en 400 partes iguales y a cada parte se le 
denomina un “grado centesimal", a cada grado se le 
divide en 100 partes ¡guales y a cada parte se le de­
nomina “minuto centesimal” , a su vez a cada minuto 
se le divide en 100 partes iguales y a cada parte se le 
denomina “segundo centesimal” .
NOTACIÓN EQUIVALENCIAS
* 1 grado centesimal:19 * 1= = 100m = 10 0005
* 1 minuto centesimal: 1m * r = io o s
* 1 segundo centesimal: 1s
mZ1 vuelta 
400
=> mZ1 vuelta = 4009
Sistema radial (sistema circular)
En este sistema la unidad angular es el radián. Un ra­
dián se define como la medida del ángulo central que 
subtiende en cualquier circunferencia un arco de longi­
tud igual al radio.
(En la figura adjunta el ángulo 0 mide un radián).
En este sistema el ángulo de una vuelta mide 2n ra­
dianes.
mZ1 vuelta = 2n rad
= 1 rad
<4 RELACIÓN DE CONVERSIÓN DE LOS TRES 
SISTEMAS
Sean S, C y R los números que representan la medida 
de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal 
y radial respectivamente.
Sabemos que: 360° = 4009 = 2n rad
S C R
360 400 2n
Entonces se cumple:
Simplificando: S
180
C
200
Fórmula o relación 
de conversión.
T r i g o n o m e t r í a ■ 1 5
Aplicaciones:
1. Convertir T rad a grados sexagesimales. 
Resolución:
S
180
R
7t
s
180
S = 36
2. Convertir 60° a radianes.
Resolución:
_C_ R _60_
200 n 200
p _ 371 
10
£ rad = 36°O
60g = rad
S, C y R son los números que indican la medida 
de un ángulo en los sistemas sexagesimal, cen­
tesimal y radial, respectivamente, y se cumple que:
S + C = 12B.+ 37. Hallar la medida de dicho án-
71
guio en radianes.
Resolución:
Sabemos que:
_S^ R o 180 R _C_
180 ti ti 200
Entonces:
R C = 200 R
S + C = + 37
71
^ 380R 10R
71 71
3771 71
180R , 20 0 R _ 10R
37
71 71
370 R
+ 37
= 37
R =
370 10 R = TÉ) rad
4. R, C y S son los números que indican la medida de 
un ángulo en los sistemas conocidos, y se verifica
que: ■IC + S + -IC - S = + 1). Hallar la me-
Vn
dida de dicho ángulo en radianes. (R ¿ 0). 
Resolución:
V c T S + = -pr(/T9 + 1)
Vtc
> /200 R | 180 R ] Í20ÓF
y n 71 y tl
- M S + i m r ( m + d
y 71 y t i v 71
J 8 0 R = R (/ Í9 + 1)
7t V 71
20 R (VT9 + 1) = -t=(V19 + 1)
T V 71• i
IOOR R
Simplificando: = -£+, elevando al cuadrado
I 71 V 71
se obtiene: = B ! ^ r = 20
7t 71
Por lo tanto, el ángulo mide 20 radianes.
S, C y R son los números que indican la medida de 
un ángulo en los sistemas conocidos. Si se cum­
ple: S° = Rs, calcular 9VS .
Resolución:
Dato: Sc = Rs 
SSabemos:
180
C
200
r - 200 c
° “ T80b C = f s
Entonces: (S ) 9 =
Pero: R
180 71
10 ,
S 9 7t => s 9
S 180
10
_ ps, simplificando: 5 T = R
10 _
R = f ¿ ; entonces: s 9 =
180 " VS ' 180
rad
< i FACTOR DE CONVERSIÓN
Una forma práctica para pasar de un sistema a otro es 
multiplicar a la medida dada por un “factor de conver­
sión” . Dicho factor consiste en una fracción equivalente 
a la unidad tal que en el numerador colocamos la uni­
dad deseada y en el denominador la unidad a eliminar 
y los números que acompañan a estas unidades deben 
ser equivalentes.
Para utilizar este método debe recordar que:
180° = 200a = n rad
Aplicaciones:
1. Convertir £ rad a grados sexagesimales.
O
Resolución:
Unidad deseada: grados sexagesimales 
Unidad a eliminar: radianes 
Sabemos que: 180° = n rad 
7t /180° \
6 rad(í?ad I ' 30°
2. Convertir 25a a grados sexagesimales. 
Resolución:
25g/!8 0 _ \ = 22 y 
V 2009 7
3. Convertir 80a a radianes.
Resolución:
80a( T ia d \ = 27Lrad 
l 2009 / 5
<4 REGLA DE CONVERSIÓN
En un sistema de medición dado, para pasar de una 
unidad superior a una inferior se multiplica por la equi­
valencia respectiva. Para pasar de una unidad inferior 
a una unidad superior se divide entre la equivalencia 
respectiva.
Por ejemplo, para el sistema sexagesimal hacemos el 
cuadro siguiente:
1 6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Aplicaciones:
1. Un ángulo mide 5°36’45” convertir a segundos 
sexagesimales.
Resolución:
5o = 5(3600)” = 18 000”
36' = 36’(60)° = 2160”
5°36’45" = 18 000” + 2160” + 45”
5°36’45” = 20 205”
2. Si un ángulo mide 17,3075° expresar dicha medida 
en grados, minutos y segundos sexagesimales.
Resolución:
17,3075° (nos quedamos con la parte entera): 17° 
0,3075° = 0,3075(60)’ = 18,45’ (parte entera): 18’ 
0,45’ = 0,45(60)” = 27”
Luego: 17,3075° = 17°18’27”
3. Si un ángulo mide 29 268” expresar dicha medida 
en grados, minutos y segundos sexagesimales.
Resolución:
29 2 6 8 [60
526 487 I 60 .-. 29 268” = 8°7’48”
468 © ©
©
4. La medida de un ángulo a es 40°37’52” y de 0 es 
20°30’28”. Calcular a + 0 y a - 0
Resolución:
a + 0 :
40°37’52” +
20°30’28”
60°67’80”
=>a + 0 = 60°67’80” = 61°08’20"
a - 0 :
40°37’52” - 
20°30'28”
20°07'24”
= » a -0 = 20°07’24”
Equivalencias usuales
15°= ± rad 45“ = £ rad 4 75“ = | | rad 180° = n rad
13° = JL rad
54" = i rad
90" = rad 225“= % rad 
4
22°30’ = i radO 60“ = rad 120"= -y- rad 270"=-y- rad
30“ = § rad 6 67“30’= - ^ radO
135"=% rad 
4
300°= ̂ 2- rad
36“ = f radO 72" = ~ rad O
150"= % rad 
6
360° = 2n rad
«RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS SEXA­
GESIMAL Y CENTESIMAL
s cSabemos que: -rfrr = y ^ - ; simplificando se obtiene: 
ToU 2UU
s = _c
9 10
m _ n 
27 " 50
P _ q 
81 250
S: número de grados sexagesimales 
C: número de grados centesimales
m: número de minutos sexagesimales 
n: número de minutos centesimales
p: número de segundos sexagesimales 
q: número de segundos centesimales
Aplicaciones
1. Sabiendo que a y 0 son ángulos complementarios, 
que a mide (8x )9 y 8 mide (2x - 2)°. Hallar cuánto 
mide cada ángulo en el sistema radial.
Resolución:
En el sistema sexagesimal: 
a + 0 = 90°; a = (8x )9 y 0 = (2x - 2)°
Entonces pasamos a al sistema sexagesimal:
Luego: % x + 2x - 2 = 90 => x = 10 
5
Entonces: a = 72° y 0 = 18°, en radianes: 
a = ^ rad y 9 = ^ rad
2. La medida de un ángulo en el sistema sexagesimal 
es (20 + x)° y en el sistema centesimal (20 - x)9. 
Calcular la medida de dicho ángulo en radianes.
Resolución:
S CSabemos: ^ = t k entonces:
9 10
= 20|~ x =» 200 + 10x = 180 - 9x 
20
Luego: x = - ^ g
Entonces el ángulo mide: | 2 0 - - | ^ j = ( t é t )
En radianes: rad
3. Convertir 2754 segundos sexagesimales a minutos 
centesimales.
Resolución:
Primero pasamos 2754" a segundos centesimales: 
= 250 ^ 2754” = 850GS
Pasamos ahora a minutos centesimales: 
8500 oc
w = 85
.-. 2754” = 85m
4. La medida de un ángulo en el sistema sexagesimal 
es a°a’ y la medida de otro ángulo en el sistema 
centesimal es a9am. Si la suma de las medidas de 
dichos ángulos en el sistema sexagesimal es igual a
T r i g o n o m e t r í a ■ 17
57°46'12” , calcular su diferencia en el sistema inglés. 
Resolución:
a \° / 61 a \• a = a a ^ a = ( a , 6o ; - l6 0
• 9 = a9am- e = (a + i i o M w ) 9
• 57°46'12” = 57,77°
9 /1013 \ °En el sistema sexagesimal: 0 = J q ( ^q'q ' )
Dato: « + 0 = 57,77° + 57,77
=> a — 30
De donde:
a = 30°30’ A 0 = 27,27° = 27° 16’ 12”
a - 0 = 30° 29' 60” - 27° 16’ 12” = 3° 13’ 48”
1 radián = 57°17’44,81” = 63966m19.77!
1 radián > 1° > T; 1’ > 1m; 1” > T 
Para todo ángulo positivo: C > S > R
< i ÁNGULOS COTER MI NALES
Se denomina de esta manera a todos aquellos ángulos 
que tienen los mismos elementos (vértice, lado Inicial 
y lado final). En las figuras adjuntas a y <j> son ángulos 
coterminales, lo mismo que a y t
Una característica fundamental de los ángulos coter- 
mlnales es que se diferencian en un número entero de 
vueltas.
Si a y 0 son dos ángulos coterminales, se cumple:
Si a y 9 están en grados sexagesi­
males, ( k e Z )
a - 0 = k(360°)
a - 0 = k(2n rad) Si a y 0 están en radianes, (k e TL)
En forma práctica para determinar si dos ángulos son 
coterminales:
Restamos dichos ángulos.
Dividimos la diferencia entre 360° o (2n rad)
Si el resultado es un número entero entonces los 
ángulos son coterminales.
Ejemplo:
En cada uno de los casos siguientes determ inar si los 
ángulos son coterminales (AC)
1. 80° y 440° => 80° - 440°= -36 0 ° => = -1
obO
Si son AC.
2. -150°y 570° =» -150° - 570° = -720° => - 7— = - 2
obO
Si son AC.
3. -750° y - 510° -750° - (-510°) = 1260° =* = 3,5
360
No son AC.
4. ^ rad y % rad => ^ ^ rad
6 6 6 6 6 3
n
=» = j No son AC.2n 6
5. ^ rad y rad
=> = 3 Si sonAC
2 it
6 . Dos ángulos a y 0 son coterminales y además 
complementarios. Hallar la medida del ángulo a si
200° < a < 300°.
Resolución:
Como a y 0 son coterminales: 
a - 0 = k(360°) ...(1)
Como a y 0 son complementarios: 
a + 0 = 90° ...(2)
Sumando (1) + (2):
2a = k(360°) + 90° => a = k(180°) + 45°
Para:k = 0 => a = 45°
k = 1 - a = 225°
k = 2 =» a = 405°
Por dato: 200° < a < 300°
Entonces de los valores obtenidos el único que sa­
tisface la desigualdad es: a = 225°
<♦ SECTOR CIRCULAR 
Nociones preliminares
Circunferencia Círculo Corona circularO O (C|
Longitud = 2rtR Área = nR2 Área = n(R2 - r2)
Sector circular
Es una porción de círculo limitado por dos radios, y el 
arco de circunferencia. En la figura adjunta AOB es un 
sector circular cuyos elementos son:
El arco AB, cuya longitud es L.
Los radios OA y OB, cuya longitud es r.
El ángulos central AOB, cuya medida es 0 rad.
1 8 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Longitud de arco: | L = Or (0 < 8 < 27t)
• 9 debe estar en radianes, sino se tiene que hacer ia 
i conversión,,.
Área dei sector circular (Asc):
A _ RL
Msc — 2 A - 2 B ÍMsc — 2 A - Üsc 20
<♦ TRAPECIO CIRCULAR
Es una porción de corona circular limitada por dos ra­
dios. En la figura adjunta la región sombreada es un 
trapecio circular. Elementos:
A
Los arcos AB y CD cuyas longitudes son L, y L2; res­
pectivamente.
Los radios mayor (R) y menor (r).
Los segmentos AD y BC; cuyas longitudes son: R - r = h
Área del trapecio circular (ATC)
6 (R2 “ r 
2
2) a (Li + L2)h 
rVc 2
I 2 - I 2A _ L 1 2 
^ 20
i ...... ...................................... ~ N
En la figura adjunta L, y L2 son los arcos del trapecio 
circular ABCD, h es la diferencia de sus radios, 0 rad es 
la medida del ángulo central. Se cumple:
A
_ 1-1 1-2
Casos prácticos
Cuando una rueda (aro, disco, ...) gira o va rodan­
do sobre una superficie plana desde una posición. 
Entonces podemos afirmar lo siguiente:
v /
09n - — 0 — n = 7 ^ -2 71 9 r 2 tc r
n: número de vueltas que da la rueda al ir de A 
hasta B.
0 : número de radianes del ái ,gulo que gira la rueda.
L: longitud que recorre la rueda (o que se despla­
za el centro de la rueda.
Cuando la rueda (aro, disco, ...) gira o va rodando 
sobre una superficie curva, se presentan dos casos:
Caso I:
0(R + r) 
2k r
9 ( R - r ) 
27t r
n : número de vueltas que da la rueda al ir de A 
hasta B.
0 : número de radianes del ángulo que describe el 
“centro” de la rueda con respecto al centro de la 
superficie al ir de A hasta B.
R : radio de la superficie curva, 
r : radio de la rueda (aro, disco, ...).
Cuando se tienen ruedas (discos, engranajes, ...) 
unidos mediante una faja tangencial (como en las 
figuras 1 y 2) o están en contactos (figura 3).
Figura (3) 
Entonces se cumple que:
‘-'1*1 — u2l2 *111 1 '2' 2
0 , y n,: número de radianes del ángulo de giro y 
número de vueltas de la rueda de radio r,. 
02 y n2: número de radianes del ángulo de giro y 
número de vueltas de la rueda de radio r2.
Cuando se tienen ruedas (discos, engranajes, ...) 
unidos por sus centros (como en las figuras 4 y 5).
T r i g o n o m e t r í a ■ 1 9
Resolución:
Observamos que cuando la esfera A baja una lon­
gitud x la esfera B sube una longitud y.
En este caso se verifica que:
Figura (4) Figura (5)
n, — n?
Aplicaciones:
1. En la figura adjunta calcular el número de vueltas 
que da la rueda al ir desde P hasta Q, sabiendo 
que su radio es un tercio del radio de la superficie 
sobre la cual se desplaza. (El ángulo 0 mide 90°).
Resolución:
Dato: r = |R ;
Entonces: n =
: 90° = |
!(R + 3f
2n
n = 1
Determinar cuánto mide el radio del engranaje A 
si cuando este gira 120° entonces B gira 2rt rad 
(0 ,0 2 = 80 cm)
Resolución:
Como los engranajes están en contacto: 0 
Datos: 0, = 120° = -y- rad; 02 = 2k rad
r, + r2 = 80 
2n ,
3
Entonces: -^r-r, = (2n)r2 => = r2
(1)
£,
3
Reemplazando en (1): r, + -A = 80 : 60 cm
En el sistema adjunto, cuánto medirá el ángulo (en 
radianes) que debemos girar para que los centros 
de las esferas A y B se encuentren a la misma altu­
ra si inicialmente dicha diferencia es de 14.
Entonces:
x + y = 14 ...(1)
Los engranajes son concéntricos, entonces giran 
el mismo ángulo (0 ).
Entonces: x = 50 e y = 20 
Reemplazando en (1): 50 + 20 = 14 => 0 = 2 
Por lo tanto, debemos girar 2 radianes.
En el sistema de engranajes adjunto, el mayor gira 
a 600 r.p.m. ¿Cuántas vueltas da el engranaje me­
nor en una hora?
Resolución:
Los engranajes A y B están en contacto: 
n a Ta
nArA = iW b => nB = -A-A
B
Los engranajes B y C están unidos por un eje: 
n a f*Anc = nB => nc =
Los engranajes C y D están en contacto:
nr rc 'a 'a \ _ 'A'C
- r r nA - ( 1 )
En 1 hora: nA = 600(60) = 36 000 vueltas. 
(3 R)(2 R ) .
En (1): nD =
(R)(f)
-(36 000) = 432 000 vueltas
En un cierto ángulo se cumple que el número de 
segundos sexagesimales menos 3 veces el núme­
ro de minutos centesimales es igual a 29 400. Ha­
llar su número en radianes.
Resolución:
Transcribiendo el dato:
3600S - 3(100C) = 29 400 
36S - 3C = 294 => 12S - C = 98
2 0 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
12(180R) 200 R
71
20R
= 98
(12(9) - 10) = 98 R= 20 rad
6 . Los ángulos ¡guales de un triángulo isósceles mi­
den: 5x9 y (4x + 5 )°. Hallar la medida del tercer 
ángulo en el sistema internacional.
Resolución:
Del dato: 5xg ■ (4x + 5 ) ° ( ^ )
=> 45x = 40x + 50 => x= 10 
Por lo tanto, ¡os ángulos iguales miden 45°; el ter­
cer ángulo medirá: 90° = i rad
1400
Reducir la siguiente expresión:
119 + 22a + 33a + ... + 7709 
2 rad + 4 rad + 6 rad + ... + 140 radj n
Resolución:
Factorizando:
T _ 119( 1 + 2 + 3 + .. .+ 70) -|-]9
~ 2 rad (1 + 2 + 3 + ....+70) " 2 rad
 ̂^g/7i rad,
2009 117t T_ [ 117i 1400
2 rad 400 ” [ 400 J n
Si se cumple que: 50°40'30" O a69 b0m c5s 
Hallar: a + b + c
T= 11
Resolución:
50°40'30" = 50° 40°
60
30°
3600
1° _ 6000° + 8 0 °+ 1°- 50 + y + 12Q 12q
= 56.30555...9
= 56930m55s < > a69 b0m c5s 
=> a = 5 ;b = 3 ;c = 5 
.-. a + b + c = 13
9. Siendo S, C y R la medida de un ángulo convertido y 
además se cumple: S = 3x + 6 ; C = 7x - 8 . Hallar 
el número de radianes.
Resolución:
Recordando: ^ ^ 3x + 6
7x - 8
=> 63x - 72= 30x + 60 => 33x = 132 - 
De donde:
S = 1 8 - R = W = T ^ rad
10. Calcular a + b, sabiendo que:
/a 9am\9/'b9b " 'r a9hm. ci. 0 . h
( - = a b , si. a > b
Resolución:
Todo a minutos: : a9bm
11 .
=> 1019101m = a9bm = 10291m 
^ a = 102 a b = 1 
Piden: a + b = 103
Sabiendo que la diferencia entre el número de gra­
dos sexagesimales de un ángulo; menos el núme­
ro de grados centesimales de otro es igual a 104. 
Determinar el menor ángulo en radianes si ellos 
son suplementarios.
Resolución:
De los datos:
C2 = 104 (1)
...(2 )
19S, = 2736
S,
Ci + C2 = 200 
(1) + (2): S1 + C, = 304
S, + ^ = 304
S, = 144 =5 S2 = 36 
S2 radianes: R2= § rad
O
12. Se idean 2 nuevos sistemas de medidas angulares 
C; V. Sabiendo que la unidad de medida de C es la 
quinta parte de la unidad de medida en el sistema 
sexagesimal; y que 20 grados V es 10a.
Hallar la relación entre C y V.
Resolución:
Dato:
lC = T = fSf- 109 = 450 
20v = 109
(1) = (2): 45c = 20'
(1)
(2)
C_
45
_V
20
§ = V v c _ 2 25V 
9 4
13. Calcular:
S =
3x20x° + | ^ 7rrad + 80x9
^ r a d + (509)x + 15x° y
Resolución:
Pasando a grados sexagesimales: 
20x° + 108x° + 72x° 200x°S =
40x° + 45x° + 15x° 100x°
T r i g o n o m e t r í a ■ 21
■ ■ ■ni P R O B LE M A S RESUELTOS
■ ■
Q '
1. Si x es la 30.a parte de 4° e y es la 36.a parte de 29. 
3x + 4y
Calcular: T =
5x - 4y
Resolución:
De los datos: x ■ i l
30
4» pg
■ _ 10 9
y
2a1 9'
i l
36
6
r
T =
141
30
10 9 V1CT 
6 9 109
3(6)
14
2. Hallar el error en radianes si se escribe 36a en lugar 
de escribir 36°.
Resolución:
El error será:
36° - 36a = 36°(-^pr ) - 36a = 40a 36a
: 4a ; 4g(7Lrad) = -T-rad
200a 50
3. Reducir: P = nC +J1 „ + 2 0 R ; siendo S, C y R lozUUR
convenido.
Resolución:
Sabemos: C = 200K; S = 180K; R = itK 
D _ 200n K + 180n K + 20n K
400nK
200ti K 
P = 2200nK
4. Si: 40° = aa9 aam a is; determinar: a 
Resolución:
Convirtiendo: 40° = 4 0 (^ - ) = ( - r p 
40° = (44,4444)9 = 44a44m44s
5. Hallar x del gráfico mostrado:
(20 + x)>
a = 4
Resolución:
Del gráfico: (20 + x)a - 18x° = 400a 
(20 + x)a - 20xa = 400a => 19x = - 380 
.-. x= - 2 0
6. Se tienen 3 ángulos tal que la suma del primero 
con el segundo es 20°; del segundo con el tercero 
es 40a y del primero con el tercero es 5e/9 rad. Ha­
llar el mayor de dichos ángulos.
Resolución:
Datos: sea a, p y 0 los ángulos 
a + p = 20° ...(1)
P + 0 = 409 = 36° ...(2)
5n rad = 100° ...(3)
(1) + (2) + (3): 2(a + p + 9) = 156°
a + p + 0 = = 78“
6 = 78° - 20° = 58° 
p = 36° - 58° = -2 2 ° 
a = 1 0 0 ° - 58° = 42°
580Por lo tanto el mayor será: 58° = ( r ad
7. Sabiendo que S, C y R son el número de grados 
sexagesimales, centesimales y radianes de un án­
gulo. Hallar: T = 3̂ 6(</3 - Í2 )SCR
3 ^ = 3 (n = -Í3 + ■Í2)[180 J200 I s V c
Resolución:
En la condición:
3 . P - - U 200180k r 200k 
= 3 ^ k = 1
I Tik
3hU>
8 . SI
=> T = 3^6((3 - V 2 ) 180(200)71 
.-. T = 3^63(10)3(/3 - i2)(V3 + i2 ) 
R + 7t _ C + S .
60
R — 7i C - S '
Hallar el ángulo en radianes.
Resolución:
Sabiendo que: R = 7ik; S = 180k; C = 200k 
k + 1En la condición: , , = 19
k - 1
k + 1 = 19k - 19
Siendo S, C y R lo convenido, determinar R; ade­
más: SCR = -r^r 
i bz
Resolución:
Del dato: 
R
. 180R(200R)R
27(6)
9 (2) (10) (2) (10) (10) (27) (6)
R3
36 x 10 (3) (6) W rad
10. En el gráfico mostrado, calcular el número total de 
vueltas que da la rueda cuando el bloque se baja 
completamente por enésima vez desde la posición P:
2 2 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Resolución:
Notamos que si el bloque baja 40n la rueda recorre 
también 40n como la cuerda es rígida entonces, 
cuando el bloque sube 40n la rueda también reco­
rre 40n (retrocede),
40n 10
2jt(2n) Jt 
40n _ 10 
2n(2n) Jt
1 vez baja: N
sube: N =
20Total de vueltas: —
2 .a vez baja: 
sube:
N = 
N =
40n . 
4itn 
40n 
4nn
10
jt
10
rt
20Total de vueltas: —
40n 
4jtn
Total de vueltas: —
j t
El n.° de vueltas totales es:
Enésima vez baja: N = 
10
10
j t
Nt = 20 + 2 0 .
71 71 71 71
<n — 1) veces
Nt = (n - 1 ) ^ + 1 ^ NT = (2n - 1 ) ^
Jt TI 7t
11. Calcular el área de un sector circular cuyo arco es 
2 it m y de cuyos extremos se subtiende una cuerda 
de 6 m.
Resolución:
...(1 )
Como: 2it = (2a)R ^ jt = a R = » i = R ...(2)
Del A rOAB: sena = -^ => R =
R sena
(2) = (3) =>— = 3 => sena = —
(3)
a sena
2
=> a = i
j t 6
En ( 1 ) S = — = 6 ji m 2
_jt
6
12. SI el perímetro del trapecio circular es 2p. Hallar su 
área cuando sea máxima.
.A
Resolución:
Dato: 2p = a + b + 2x 
=> (a + b)= 2p - 2x ...(1 )
Cálculo del área:
V = S = ( ^ ) x .,,(2)
(1) en (2): S = ( ^ y ^ ) x
Luego: S = ^ - - ( x - | j 
Para que el área sea máxima: ( x
■ S = ¿• • °m á x ^
= o
13. Dos ruedas de radios r y R (r < R) recorren espa­
cios, la primera el doble de la segunda. Hallar el 
radio de una tercera rueda, para que al recorrer 
un espacio Igual a la suma de las dos anteriores, 
dé un número de vueltas igual a la diferencia del 
número de vueltas que existe entre la primera y la 
segunda rueda.
Resolución:
0 R / ' '
Nr =
2 L -
2L 
2n r
NR =
2nR
3L-
Nx = 3L
2 jix
Dato: Nx = Nr - NR
■ 3Rr
2itr 2ttR 35 " 2R - t2 jix
14. El cateto de un triángulo rectángulo es el radio de 
un círculo. Si ambas figuras tienen la misma área, 
calcular la tangente de la octava parte de la tan­
gente de uno de los ángulos agudos del triángulo.
Resolución:
I
Rtan0
1
T r ig o n o m e t r ía ■ 2 3
R
S, = S2=» 71R = íT-tanO =» tan0 = 2ti
/ ta n 0 \ = ta n (% )
l 8 1 \ 8 1
15. Si la diferencia de segundos centesimales y segun­
dos sexagesimales que mide un ángulo es 27 040, 
calcular la medida (en rad) de dicho ángulo.
Resolución:
Dato:[n.° seg . cent] - [n.° seg , sex.] = 27 040 
10 000C - 3600S = 27 040 
Sea el ángulo pedido: 0, donde:
S = 9k; C = 10k; R= nk/20 
Reemplazamos:
1000(1 Ok) - 360(9k)= 2704
10k(1000 - 324) = 2704
10k(676) = 2704 => k = 2/5
Por lo tanto, el ángulo será: 0 = ^ ( ^ ) = racl
16. Si S, C y R son la medida de un mismo ángulo en 
los sistemas sexagesimal, centesimal y radial, res­
pectivamente; hallar el valor de: 6A + B;
si A = I3S + 5C l 23
i 4S 36
3840R 
ti(2S + 3C)
Resolución:
a Í3S + 5C , 23
A “ V 4S + 36
Sea: S = 9k; C = 10k
A = / 27k + 50k , 23 
J 36k 36
B
A
/ 77k 23
V 36k 36
u
A - 
A “ 6
3840R
(2S + 3C)
Sea: S = 180k; C = 200k; R = nk
g _ i 38407ik _ Í3840k _ ^
r(360k + 600k) K 960k 
6A + B = 12
17. ¿Cuántos grados sexagesimales mide un ángulo 
no nulo si los números que expresan su medida 
en grados sexagesimales (S) y centesimales (C) 
están definidos por:
S = (2n2 + 3n + 1) y C = (3n2 + n - 2)
Resolución:
Conocemos que:
S =
9 10
2n2 + 3n + 1 _ 3n2 + n - 2 
^ 9 10
20n2 + 30n + 10 = 27n2 + 9n - 18
n2 ~ 3n - 4 = 0 => (n - 4)(n + 1) = 0
Si: n = 4 => s = 45 (V )
Si: n = - 1 => s = 0 (x)
Por lo tanto, la medida del ángulo es: 45°
18. Un ángulo trigonométrico 0 se puede representar 
como 9 = x9 = y°z', donde x, y, z pertenecen a TL* 
(y > z). Si los dos últimos números se diferencian 
en 3 y los números de grados centesimales y sexa­
gesimales se diferencian en 5. Determinar el ángu­
lo en radianes.
R eso lución:
0 = xg = y°z'; x, y, z £ Z +; (y > z)
Por condición: y - z = 3 a x - y = 5
- 0 = (y + 5)9 = y° + (y - 3)
(y + 5)9< W ) = y0 + ( y _ 3 ) ’( ¿ )
> + 5)»= y» + ¿ ( y - S J -
Despejando: y = 399 A x = 449 
La medida del ángulo será:
0 = 44g( Jtrad) . e = J l £ rad
2009 50
19. El número de grados sexagesimales que tiene un 
ángulo es mñ y su número de grados centesimales 
es riO. Determinar la medida radial del ángulo.
R eso luc ión :
Sea el ángulo 0 
Donde:
0 = mñ° = rñO9 =» m ñ ° ( ^ ^ ) = ñü9 y
mñ 9 18 45
R0 10 20 50
Así: m = 4 a n= 5
.-. 0 = 45° O 7 rad 
4
20. Si los números S, C y R representan la medida de un 
ángulo en los sistemas ya conocidos y que cumplen:
xS = yC = zR = ji ...(1)
_Lif 180x + ti \/ 200y + ti ) II
°°
|t
j
xyz l 200 A 180 ) V Z -t- 1 /
Determinar la medida de dicho ángulo.
Resolución:
De: xS = yC = zR
x = 7t/S; y = ji/C; z = tt/R
Reemplazamos:
1 (180f + M(200Ü + 71) 2 7 1 1 ,
n3 \ 200 l\ 180 / 8 U J
SCR ' R '
2 4 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
/180 , A 1200 , ,
s c r * h r + 1M “ c r + 1
200 180
= R = kConocemos que: - _Q_
Reemplazamos:
« M H I iM I íM - ?
Luego la medida del ángulo será: 
100C _ 1 n 
200 2
Por lo tanto, la medida del ángulo es: 1009
21. La semicircunferencia ANB tiene como radio 
OA = 5, con centro en B se traza el sector circular 
MBN con radio BM = 6 . Calcular el área de la región 
comprendida por el segmento circular sombreado.
N
Del gráfico: V '
* S-OOEF — Sooqq — 14
I |
0 (4a )2 0 (3a )2 
2 2
o<e>
2 a \ /
14 s i
A M o B -t_2
/a}C
R' / £
Resolución:
Del gráfico: s, = s<
O . 74 (5 )2/ K > 6 (4) . 0 _ 18571
2 v 180 / 2 x 36
12
22. Un sector circular de ángulo central 6 tiene un área 
igual a la de un triángulo rectángulo isósceles. 
SI sus perímetros son también ¡guales, calcular
p = 0 + í
Resolución:
Datos:
^P seclo rQ P&sisósoeles
2R + 0R = 2a + a /2 
R(2 + 0) = a(V2 + 2)
...(2)
®sectoro %.¡sósceles
^ ^ => 0R2 = a 2
De (1): R2 = 3 + f
(2 + 0)
Reemplazamos en (2):
a JJ¿ + 2)_ = a2 ^ ( /2 + 2)20 = (2 + 0)2 
(2 + 0) ' v '
=> (2 + 4 /2 )6 = 02 + 4 .-. 0 + 1 = 4V2 + 2
0
23. Si AOB, COD, EOF y GOH son sectores circulares 
y OA = EG = 2AC = 2CE y además se sabe que el 
área de la reglón CEFD es 14. Determinar el área 
de la región EGFIF.
Resolución:
0(4 |_ ) = 14 0a2 D F' 2a^H
S<3ogh S<30F[ — S7
0(6 a )2 9 (4 a )2
100a2 = S„ Sx = 40
24. Dos ángulos centrales de una circunferencia cumplen:I. Son suplementarias.
II. La diferencia de la longitud de los arcos que 
subtienden es 2 cm.
III. La razón entre la medida de los ángulos es 4/n 
Hallar (en cm) la longitud del radio de la circunfe­
rencia.
Resolución:
Datos:
• 40R - ti0R = 2
2R =
0 (4 - j t ) 
Pero: (40 + it0) = n
(4 + n)
Luego, reemplazamos 0 en R:
2 _ 2(4 + n)
R =
25. De la figura: AOB, COD y EOF son sectores circu­
lares. Si el área de dichas regiones es 6A, 3A y A, 
respectivamente, hallar Si LAC = 2
T r i g o n o m e t r í a ■ 2 5
Resolución:
Del gráfico: S =
20
También: 3S = s = —
30
Tenemos: 6S 
2(2) en (1):
30
n
20
mi
20
...(2 )
...(3)
2_
(3
( 2 ) e n , 3 | : 6 ( | ) . 9 5 : 2 (2
m
n
2_
(3
2(2
m
n 6
26. Si R, L, S son el radio, la longitud de arco y el área 
de un sector circular cuyo ángulo central mide
xS 
0L
Resolución:
LR
R R Lrad. Hallar el valor de x en: ■+• + ■+- + -T
9 L 02
Como: L = 0R A S = •
Reemplazamos:
R R2
0 0R '
LR', 
0R _ x l 2
e2 0 \ 0R l
R R R xR
0 0 0 20
3R
.-. x = 6
27. Hallar el área de la región sombreada
Resolución:
Notamos que:
ni R̂ 
2 \ 2
R /R
2 \ 2
c 7iR2 R2 R 2,
S« = l ^ - T = Í 6 (7t- 2)
.-. 2SX = B Í ( n - 2)
28. El siguiente gráfico muestra el sector circular AOB.
3
Calcular E = ^ s i T es punto de tangencia.
3 ? + So
O
Resolución
S3 — S<)AoB
S3 = f ( 3 r )2g ) = f ^ 2
• S, = Sd=> S, =
Sustituimos (2) en (1): 
■5^+ S, + S, = ^ r 2 =»
...(2 )
E = — ^ —
S ? + So
4
nr2
2
nr2
4
S2 + S3 = - | r 2
. E = 2
29. Si:
1 C - - 1
90 s 35
C C
Siendo S y C lo convencional para un mismo ángu­
lo, hallar la medida de éste ángulo en radianes.
Resolución:
1 1
T1
90
CJ
1
C - -
s - 35
C .
S - 90
= C
S - 35
S - 90 35 c 90 35 c
C " “ b
c 90 _ 35 o 
s _C “ C‘ “ S 
2SC = 1 2 5
2S = 125
■(1)
2 6 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Recordamos que para un mismo ángulo S, C y R 
se relacionan del siguiente modo:
S = 9k, C = 10k, R =
Reemplazando en (1):
=> 2(9k)(10k) = 125
36k2 = 25 => K = f
Luego se pide: R = kn
20
5 \ 7i _ _n_ 
6 /2 0 “ 24
Por lo tanto, la medida será: 2 2 rad
30. Se inventan tres nuevos sistemas de medición an­
gular O, M, I en el cual 27 grados O equivalen a 
un ángulo recto, 36 grados M equivalen a 60° y 
63° grados I equivalen a ^ rad. Hallar una relación 
entre los nuevos sistemas.
Resolución:
Según el enunciado:
27 grados O = 2 rad (medida de un ángulo recto en Rad)
36 grados M = 60°= 2, rad
63 grados I = i rad
54 grados O = n Rad 
108 grados M = n Rad 
252 grados I = n Rad
=> 54 grados O = 108 grados M = 252 grados I 
54 grados O 108 grados M 252 grados I 
~ 9 - 9 " 9
6 grados O 12 grados M 28 grados I 
12 12 " 12 
1 grados O 1 grados M 7 grados I 
2(7) - 1(7) “ 3(7)
1 grados O 1 grados M 1 grados I 
14 “ 7 " 3
■ 0 . - M - Í
" 1 4 7 3
31 . En un triángulo ABC; se cumple: A + B = rad;
O
B + C = 80g, calcular: M 3B + 2A
A - 2 C 
Resolución:
Expresaremos los datos en un mismo sistema de 
medida:
B + C4n 180 ). D J r* — oq9/_9 \A + B = :2 ira d , — . .
5 \ n rad / \ 109 /
A + B + C = 180° (suma de ángulos internos del AABC)
A + B = 144° ...(1)
B + C = 72° ...(2)
A + B + £ = 180° ...(3)
144° 36°
=> C = 36°
Pero de (2): = 72° => B = 36°
36° 36°
Pero de (1): jA^ + J¡_ = 144° =» A = 108‘ 
108° 36°
Luego reemplazando en lo pedido:
3 (36°)+ 2(108°) 32 4°
(1 0 8 °)-2 (3 6 °) 36°
.-. M = 9
32. Si 9a° + 10a9 = nb rad, calcular:
M = (a + b)2(a -1 0 b )1'2
Resolución:
=> 9a° + 10a9 = itb rad
Transformando en una misma medida (rad).
9a
’ (■w ) +10 ‘ 1
rad + | ^ rad = nb rad 
= nb
^ ra d \ 
2009 / 
an 
20 
2an 
20
= rtb rad
a = 10b ...(1)
Se pide: M = (a + b)2 (a - 10b)1'2, pero a =
t— 10b
M = (a + b)2 (10b — 10b)1/2 
0
* M = (a + b)2(0) M = 0 
33. Simplificar:
Resolución:
Recordamos: 1
Luego:
"n"terminos 
a + 3a + 5a + ... + rra0 + n2a° 
a9 + 3a9 + 5a9 + ... + na9 + n2a9 
"n” terminos
-3 + 5 + 7 + ... = n2 
"n" términos
"n"terminos
k =
k =
a (1 + 3 + 5 + 7 + ...) + na + n a 
a9(1 + 3 + 5 + 7 + ...) + na9 + n2a9 
"n" términos 
a°n2 + na° + n2a° _ a°(n2 + n + n2
a°n2 + na9 + n2ag ag(n2 + n + n2)
pero si cambiamos de unidades a a°
10a9
k = 10
9
10
34. Hallar el área de la región sombreada.
10b
T r i g o n o m e t r í a ■ 2 7
1m d
Resolución:
ParaCD: 4 = 0(4)
=> 0 = 1 rad 
Calculando L, y L2:
L, = £ (1 )= 1 
1 rad 
L2 = 9, (3) = 3 
1 rad
Luego el área del trapecio circular ABFE: 
S = ü í - ^ 2 = 4 m2 
S = 4 m2
35. Calcule la medida del ángulo expresado en ra­
dianes, sabiendo que S, C y R representan la 
medida de un ángulo en los sistemas sexa­
gesimal, centesimal y radial, respectivamente; 
además: V10CS + füR = 603,1416.
Resolución:
c
Sabemos que: ~ z r ■■ 
180
C
200 R = k2
S = 180k2 ...(1)
C = 200k2 ,..(2) J- ...(a )
R = itk2 ...(3)
De la condición: V10CS + VrtR = 603,1416 ...(0) 
Reemplazando la expresión (a) en (0): 
J l0 (20 0 )k2(180)k2 + J(n)nk2 = 603,1416 
^360 000(k2)2 + J(nkf = 603,1416 
J (6 f(1 0 0 f(k 2f + J (nkf = 603,1416 
600k2 + rtk = (600 + 3,1416)
k(600k + n) = 1(600 + 7i)
T r ........1- T
Por comparación: k = 1 
Pero: R = nk2 =» R = n(1)2 R = ti rad
36. El número de vueltas que da una rueda de radio 
( 2 , respecto de su centro, es: 8 (-/6 - 2)
Hallar la longitud de la trayectoria que genera su 
centro.
; 27inr
Resolución:
Lc .
" = 2 ^ 1 
Lc = 2 n (8 ) (V 6 -2 ) /2 
Lc = ^ 6 n (I^ 2 -2 J 2 )
Lc = 167t(2^3 - 2f2)\ t i = / 3 - 
Lc = 32(-/3 + V2)(V3 - -Í2)
1
L. = 32
37. Al simplificar: E = + 22—
9 50m
Se obtiene:
¡2
250s
81"
Resolución:
Sabemos que: 
S CS: n 
C: (a) 
x: (') 
y: f ) 
m: (” )
n: O
10
9° = 10a
x
27
_y
50
=> 27’ = 50m ..(1)
m
81
n
250
81” = 250s
Debemos simplificar: E ; 109 , 27'+ - 250s
9° ' 50m ' 81° 
Reemplazando los valores de (1) en (2) tenemos: 
81"9° 50"
9° 50"
E =
E = 1 + 1 + 1
81"
E = 3
38. Dos ruedas con centros fijos, se encuentran en 
contacto. Si la primera gira S rad teniendo radio 25. 
Hallar el diámetro de la segunda, si esta gira C rad. 
(S y C son los números de grados sexagesimales y 
centesimales de un ángulo).
Resolución:
Por propiedad: L, = L2
39. En un triángulo ABC se cumple que:
A + B = 3 ^ rad; B + C = 135°. Dicho triángulo es:
Resolución:
Dato: A + B + C = 180° ...(I)
A + B = ^ r a d ( - ^ l ) = 135°
4 \ 7t rad /
Reemplazando en (I)
135° + C = 180° => C = 4 5 °
B + C = 135°
Reemplazando en (I)
135° + A = 180° => A = 45°; B = 90°
Por lo tanto, es un triángulo Isósceles rectángulo.
40. SI a, b, c y d son los valores de la medida de un 
mismo ángulo, expresados en minutos sexagesi­
males, minutos centesimales, segundos sexagesi­
males y segundos centesimales, respectivamente,
3 c "142entonces, al calcular T = se obtiene
5b d 250
Resolución:
Luego: Diámetro de (L2) : 2r2 .-. 2r2 = 45
Por propiedad: L, 
0,ri = 02r2 
25S = Cr2 
9n(25) = 10nr2
2 8 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Sabemos que: ^ ...(2)
Reemplazamos la expresión (1) en (2):
a b a 27 /«i
27 ~ 50 b _ 50 '
Sabemos que: ¿ ^ ..(4)
Reemplazando la expresión (1) en (4) tenemos: 
_c_ _ d c _ 81 
81 250 ^ d - 250 ■(5)
P id e n :T = l ( f )
+ c + 142 
d 250
..(6)
Reemplazando las expresiones (3) y (5) en (6): 
81 142
250 250
T = 1
T = 1 (2 7 ) . 
5 50
41. El ángulo central que subtiende un arco de radio 
18, mide C rad si se disminuye dicho ángulo hasta 
que mide S rad ¿Cuánto se debe aumentar el radio 
para que la longitud de dicho arco no varíe?
(C: cent., S: sexag.)
Resolución:
Inicialmente:
L = 18C 
Luego:
18+x
L = S(18 + x) ...(2) 
lgualando:S(18 + x) = 18C 
a (9n)(18 + x) = 18(1 On)
« 18 + x = 20 
x = 2
42. Si: /5S + V5C = 40
Calcular: T = ( / 5 S - /3 C ) R
Resolución:
Reemplazando S = 180k y C = 200k 
en el dato: /900k + VTOOOk = 40 
3 0 /k + 103/k = 40 cumple para : k = 1 
Luego: S = 180, C = 200 y R = n 
Reemplazando en T 
T = (/900 - 7600 );t = (30 - 10 /6 )n 
T = 1 0 /3 ( /3- ■I2)k 
pero: n x (3 + (2 
T = 1 0 /3 ( / 3 - / 2 ) ( / 3 + /2 )
' (</32—722)
Finalmente: T = 1 0 /3 (1 )
T = 10 /3
43. Calcular la medida de un ángulo en grados sexa­
gesimales, si la diferencia del número de segundos 
centesimales y 100 veces el número de minutos 
sexagesimales, es igual a 138 000.
Resolución:
Se desea hallar S°
Sea: m: n.° de segundos centesimales 
n: n.° de minutos sexagesimales 
Dato: m -1 0 0 n = 138 000 ...(1)
pero sabemos que: m = 10 000C y n = 60S 
En (1): 10 000 C - 100(60S) = 138 000
Simplificando: 10C - 6S = 138 
Pero: S = 9n, C = 10n 
En (2): 10(10n) - 6(9n) = 138 
Operando: n = 3 y como: S = 9n 
.-. S° = 27°
(2)
44. En la figura mostrada, el triángulo equilátero ABC 
de lado igual a 3 cm, rueda sin resbalar hasta que 
el punto A vuelva a tocar el piso. Calcule, la longi­
tud recorrida por el punto A.
B'
A C B' A"
La longitud recorrida por el punto A será:
L = L ^ . + L^a>. ...(1)
En el sector circular ACA’
...(2)Lás = - y (3) = 2*
En el sector circular A’B’A”
2 71
L*s> = 4?<3) = 2n ...(3)
Reemplazando los resultados de (2) y (3) en (1) 
tenemos:
L = 2n cm + 2ji cm 
L = 4n cm
45. Calcular la medida en grados centesimales de un 
ángulo que cumple lo siguiente:
R2 = S(n - 200) + C(180 - n) + R(20 + n)
Siendo S, C y R lo convencional
Resolución:
S _ CDe la relación:
180 200
T r ig o n o m e t r í a ■ 2 9
Se tiene: S = 180k,C = 200k,R = nk 
En la condición
R2 = S(n - 200) + C(180 - n) + R(20 + ti)
(itk)2 = 180k(jt - 200) + 200k(180 - ti) + iik (20 + ti) 
rc2k = I 8O71- 200(180) + 200(180) -200 ti + 20ti + ti2 
it2k = 712 => k = 1
Por lo tanto, la medida del ángulo en centesimales 
es 2009.
46. Si: CR = 20 + SR 
Donde:
S: es el número de grados sexagesimales.
C: es el número de grados centesimales.
R: es el número de radianes.
Hallar la medida del ángulo.
Resolución:
De la condición:
Recordando: S :
CR - SR = 20 
R(C - S) = 20 ...(1)
180R C = 
20R
200R
: 20Sustituyendo en (1): R 
=• R = ± fñ 
Por lo tanto, edida del ángulo es: -íñ rad
47. Un terreno tiene la forma de un sector circular cuyo 
perímetro mide 1000 m ¿Cuál debe ser la medida 
del radio para que el área del sector circular sea 
máxima?
Resolución:
Sea: mZAOB = 9 
=> L(Á B) = 0R 
A: Área del terreno 
Dato: Perímetro 
1000 = R + R + 0R 
1000 = R(2 + 6)
n _ 1000
R
- 2 ...(1)
...(2 )RSabemos que: A =
Reemplazando la expresión de (1) en (2) tenemos:
A = /1000 T í
A = l f ! ( S ) - 2 ( f )
A = 500 R - R2
A = - (R2 - 500R), ahora completando cuadrados
A = - ((R - 250)2 - (250)2)
= (250)2 - (R - 250 )2
max o------Dato u
R - 250 = 0 R = 250 m
48. Una malla de longitud L se utiliza para cercar un 
terreno que tiene la forma de un trapecio circular. 
Calcule el área máxima del terreno que se puede 
cercar con dicha malla.
Resolución:
A: Área del terreno a cercar 
Dato:
L = a + b+ +2c
=> (a + b) = L - 2c ...(1)
Sabemos que:
A = ^ c
A = ^ c
(2)
2A = Le - 2c2 
^ 2c2 - Le + 2A = 0
- ( - L )± V(— L)2 - 4(2)(2A) 
2 (2 )Cl,2 —
C12 L ± VL2 — 16A
L2 - 16A > 0 para que C, y C2 e IR
L2> 16A 
L2A <
16
16A < L
■ A = —• • ^ m á x -| g
49. En el gráfico se tienen 2 poleas de radios 9 y 5. 
Calcular la medida del ángulo que debe girar la po­
lea menor, para que las bolitas A y B se encuentren 
a igual altura.
Resolución:
Sea 0 el ángulo que gira las poleas A y B. (deben 
girar igual ángulo).
Para estar a igual altura, A debe descender y B 
debe subir.
Luego: hA + hB = 44 ...(1)
pero: hA = PP’ = 90 
hB = QQ’ = 50
en(1): 90 + 50 = 44 =
=> aproximadamente: 
.-. 0 = ti rad
» = ¥ 
= Tirad
rad
50. Expresar en grados centesimales 
x = 2 (a - b + c)
3 0 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
Si: a = 21 °27’14”
b = 11°42'37”
c = 23"
Resolución:
a = 21° + 27’ + 14", b = 11° + 42 ’ + 37”
=> a - b = 10° - 15’ - 23” 
y como c = 23”
x = 2 ( a - b + c) = 2 (10° - 15’) 
x = 20° - 30’ = 20° - 0,5° = 19,5“ 
a grados centesimales:
x = 1 9 , 5 ° ^ j = = 21 ,69
51. Siendo “S” y “C” los números de grados sexagesi­
males y centesimales de un mismo ángulo que 
cumple: S~1 = CT1 + C~2 + CT3 + ...
Calcular la medida de dicho ángulo en radianes.
Resolución:
± = 1 + ^ - 4 S C e 2
1
Factorizando en el segundo miembro 
u
l = l u + l +± +
S C\ C c 2
S = (1 + é-
c
s
S + 1
s
= 9
1
s
10
9
S + 1
Por lo tanto, el ángulo es: rad
52. En el gráfico, el arco menor AB, es de igual longi­
tud que el arco mayor CD. Si el punto A pasa a la 
posición del punto B, ¿Cuántas vueltas da la otra 
rueda?
C
• A
Por dato:
arco mayor AB = arco menor CD 
=» 4a = 2(2it - a)
2a = 2 7 i - a => a = 2-^- rad
Finalmente, el punto A debe llegar hasta B, 
arco mayor AB = un arco L en la rueda menor
40. = 20
2 ( 2 * - 2 § (siendo 0, el número de radianes 
del ángulo que gira la rueda menor)
Luego: 9 = 8^-
2n
53. Se ha creado un nuevo sistema de medida angular 
UNI (U) en donde un grado U equivale a la 1000 
ava parte del ángulo de una vuelta.¿A cuántos gra­
dos U equivale 0,00314 rad. (ti = 3,14)?
Resolución:
Nuevo Sistema UNI (U)
Dato: un grado UNI = 1u.
r = "T ü lr (1 vuelta = 2n rad)
27trad ti .
1 = 1 0 M = 50 0 md 
Transformando 0,00314 rad:
Por factor de conversión 
1U0,00314 rad
-rad
: 500
0,00314 rad = 0,5U
0,5°
54. Si m representa al número de minutos sexagesi­
males y n al número de segundos centesimales de 
un mismo ángulo calcular: E = 103̂ 4 0 ^ 
Resolución:
m: n.° de minutos sexagesimales 
n: n.° de segundos centesimales 
Sabemos: m = 60S; n = 10 000C 
Reemplazando en: E = 103̂ 40™
(60S)
E = 103J40
10000C 
Simplificando: E = 103
pero: S = 9k; c = ■
E = 103^¡ 2 ± ( 9k \
1100 \ 10k /
24(S)
100(C)
.-. E = 6
55. En un trapecio circular, sus arcos miden (2 a y /2 y, 
(a > y).
2 2 a — y
Si su área es — calcular la medida del ángu­
lo central del sector circular al cual pertenece. 
Resolución:
Área del trapecio:
-V - ( f í ^ ) d
2 Ó ¿ . f ( » + y|d
(a + y)(a - y) = (2 (a + y)d
Resolución:
T r i g o n o m e t r í a ■ 31
=> a - y = 72 d 
Ángulo central 
_ /2 a - /2 y _ /2
(a - y)
0 = ^ (V 2 d )
d
a = 2°
56. Calcular: T = c + s + • 2s 6s
s
Resolución:
Como: S = 9n y c = 10n
1 t I l9 n " Í28n , l64nF 
Luego. T = V p¡ V p¡ V p¡
T = V i9 + /28 + 8 = / Í 9 T 6 .-. T = 5
57. Obtener el valor de x del ángulo trigonométrico 
mostrado.
Resolución:
Del gráfico, igualando la medida del ángulo y multi­
plicando por ( i p r j
=» (9x+ 10)9 = (10x 
81 x + 90 = 100x - 
180 = 19x x =
90
180
19
58. Siendo ( x - rad, la medida de un ángulo cen­
tral en un sector circular de radio 4 m, cuya longitud 
del arco subtendido es x m, hallar la medida del 
ángulo central.
Resolución:
Recordando la relación para un sector circular.
L = a r
sustituyendo datos: 
x = =» x
1 0 /
: 4x —
X 5
3x = 2n => x =
2 71
2 TI
15
Luego: <x= ^ - t r =n10
n
30
59. Calcular el radio del cuadrante ACD, sabiendo que 
la esferita al soltarse del punto B, llega al punto C; 
además: AB = (n + 2) cm.
Resolución:
Del gráfico:
AE = AB
^ r + r = ti + 2
r(rc + 2)
= 71 + 2
2
.-. r = 2
60. ¿Para cuál valor del radio, se hace máximo el área 
de un sector circular de perímetro 2p?
Resolución:
Graficando el sector circular 
Se sabe que:
s = ^ (I) u \ S
Por condición
2p = 2r + L => L = 2 p - 2 r (II)
Reemplazando (II) en (I): S = r(p - r)
Para maximizar S, completamos cuadrados
S = í - H '
SI S es máximo
, . r - |
61. Del gráfico ABCD es un cuadrado; sea S el núme­
ro que representa el área de la reglón sombreada. 
Calcular: S + 42, siendo FE un arco con centro en D. 
Dato: EC = 3BE = 12
Dato: EC = 3BE = 12
B T 
4
E
12
En É\DCE: DE = 20 
Relacionando áreas:
0 _ 47 t(2 0 f , 16(2) 12(9)
4 5 - 2 ~ + ~ 2
S + 42 =
62. SI los ángulos de un triángulo se encuentran en 
progresión geométrica de razón 2; calcular la me­
3 2 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c ia S a p ie n s
dida del menor ángulo en un sistema