Trigonometría - El postulante (1)

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C O LE C C IÓ N EL POSTULANTE
TRIGONOMETRÍA
COLECCIÓN EL POSTULANTE
TRIGONOMETRÍA
E d i t o r ia l
TRIGO NO M ETRÍA - Colección El Postulante 
Salvador Timoteo
© Salvador Timoteo
Diseño de portada: Óscar Farro 
Composición de interiores: Lidia Ramírez 
Responsable de edición: Alex Cubas
© Editorial San Marcos E. I. R. L., editor 
Jr. Dávalos Lissón 135, Lima 
Telefax: 331-1522 
RUO 20260100808
E-ma¡l\ inform es@ editoria lsanm arcos.com
Primera edición: 2007 
Segunda edición 2013 
Tiraje: 1000 ejemplares
Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú 
Registro N.° 2012-12002 
ISBN 978-612-302-916-6
Registro de Proyecto Editorial N.° 31501001200780
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, 
sin previa autorización escrita del autor y del editor.
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ÍNDICE
Sistema de medición angular............................................................................................................................ 9
Razones trigonométricas de un ángulo agudo............................................................................................. 16
Razones trigonométricas de ángulos en posición estándar...................................................................... 27
Circunferencia trigonométrica............................................................................................................................ 31
Identidades trigonométricas para un mismo arco......................................................................................... 38
Arcos compuestos................................................................................................................................................ 42
Reducción al primer cuadrante......................................................................................................................... 46
identidades de arcos m últiples.......................................................................................................................... 51
Transformaciones trigonom étricas.................................................................................................................. 59
Ecuación trigonom étrica..................................................................................................................................... 66
Funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas........................................................... 73
Resolución de triángulos oblicuángulos......................................................................................................... 82
PRESENTACION
Editorial San Marcos presenta al público la Colección El Postulante, elaborada íntegramente pensando 
en las necesidades académicas de los jóvenes que aspiran a alcanzar una vacante en las universidades, 
institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional.
La Colección El Postulante reúne los temas requeridos por los prospectos de admisión, los cuales son 
desarrollados didácticamente, con teoría ejemplificada y ejercicios propuestos y resueltos, de alto grado 
de dificultad, con los cuales se busca dotar a los jóvenes de los conocimientos básicos necesarios para 
enfrentar no solo los diversos exámenes de admisión, sino afianzar los saberes de su formación escolar 
y alcanzar una formación integral que les permita, en el futuro próximo, desarrollar una vida universitaria 
exitosa.
Finalmente, deseamos hacer un reconocimiento al staff de docentes liderados por Salvador Timoteo, Pe­
dro de Castro, Jorge Solari y Nathall Falcón, profesores de amplia trayectoria en las mejores academias 
de nuestro país, quienes han entregado lo mejor de su experiencia y conocimientos en el desarrollo de 
los contenidos.
-E L ED ITO R -
SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR
ANGULO TRIGONOMETRICO
Se genera por la rotación de un rayo (en el mismo 
plano), alrededor de un punto fijo llamado vértice, 
desde una posición inicial hasta una posición final.
Consideramos un ángulo positivo cuando las rota­
ción del rayo sea contraria al movimiento de las 
manecillas de un reloj (antihorario); cuando la rota­
ción sea en el mismo sentido de movimiento (hora­
rio) el ángulo se considera negativo.
Donde:
O: vértice de los ángulos generados 
6: ángulo trigonométrico positivo 
(3: ángulo trigonométrico negativo
Cuando a un ángulo trigonométrico se le in­
vierte su sentido, su valor cambia de signo. 
Para sumar ángulos trigonométricos en un 
gráfico estos deben tener el mismo sentido.
MEDICIÓN DE UN ÁNGULO
Al medir un ángulo, tratamos de asignarle un nú­
mero que indique la magnitud de este. Se debe te­
ner presente para un ángulo positivo, que cuando 
sea mayor la rotación, mayor será el ángulo.
ÁNGULO DE UNA VUELTA
Es aquel que se genera, cuando el lado final e ini­
cial coinciden por primera vez de cierta rotación. 
Podríamos asignarle a este ángulo el número 1 y 
decir que ángulo de una vuelta es: 1 v.
La forma más lógica para medir el ángulo es el 
número de vueltas o llamado también número de 
revoluciones.
0 /4 v 1/2 v
3/4 v
< ? ■ 0
1 v
MEDIDA EN GRADOS SEXAGESIMALES
El sistema más utilizado en aplicaciones de inge­
niería, topografía y navegación es el sistema sexa­
gesimal.
En este sistema definimos el ángulo de una vuelta 
como aquel ángulo cuya medida es 360° (1°: grado 
sexagesimal).
Ejemplo:
240°
Dibujemos un ángulo de 2/3 de una vuelta y calcu­
lemos su medida.
La medida en grados sexagesimales de este ángu­
lo es |(3 6 0 ° ) = 240°
.-. Medida de un ángulo en grados sexagesima­
les = (Número de revoluciones) (360°)
Tenemos también:
1 v = 360° 1° = 6 0 ’ 1' = 60”
* 1 ° = 3600”
Donde: 1’: minuto sexagesimal
1” : segundo sexagesimal
MEDIDA EN GRADOS CENTESIMALES
Debido a que este sistema no es muy utilizado y 
carece de aplicaciones prácticas, solo nos limita­
remos a mencionar algunas equivalencias. En este 
sistema definimos el ángulo de una vuelta como 
aquel cuya medida es 4009 (19: grado centesimal)
También tenemos:
1 v = 4009 1s = 100m 1m = 100
* 1g = 10 000s
Donde: 1m: minuto centesimal
1S: segundo centesimal
MEDIDA EN RADIANES
Consideremos un ángulo 0 y dibujemos una cir­
cunferencia de radio r y el vértice del ángulo en su 
centro O; sea además L la longitud del arco de la 
circunferencia que se genera. Entonces se define:
1 0 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
La medida de un ángulo en radianes (números de 
radianes) viene expresado por:
Ejemplo:
De la definición:
g _ L _ 8_cm _ 4 
r 2 cm
El número 4 no tiene unidades, asi un ángulo de 
4 (radianes) significa un ángulo que subtiende un 
arco cuya longitud es cuatro veces la longitud del 
radio (L = 4r)
Ahora si consideramos L = r, en­
tonces según la definición tene­
mos:
Podemos definir un ángulo de un radián (1 rad) 
como el ángulo central que subtiende un arco cuya 
longitud es igual a la del radio.
cYlata/:— .......... „
; 1 vuelta: 360° = 4009 = 2n rad ¡
— vuelta: 180° = 2009 = n rad
i 2 I
- vuelta: 90° = 100a = - rad
I 4 2 I
| • 1 r a d > 1 ° > 1 8 I
| • 27' = 50m
| . r > 1 m
| • 81" = 250s
| • 1 " > 1 s
I • 27' = 5000s
! . r > 1 s I
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS QUE REPRESEN­
TAN LA MEDIDA DE UN ÁNGULO
Consideremos ahora un ángulo trigonométrico po­
sitivo como se muestra en la figura:
Siendo:
S: número de grados sexagesimales del ángulo ( 
C: número de grados centesimales del ángulo 8. 
R: número de radianes del ángulo 0.
Se cumple: S
180
C
200
o 180R. c 200R. s c
TI 71 ü 10
S = 9k S = 180k
C = 10k C = 200k
R = Tik
LONGITUD DE ARCO DECIRCUNFERENCIA
Si un arco de longitud L en una circunferencia de 
radio r, subtiende un ángulo central (medida en ra­
dianes)
Entonces: L = 0r 0 < 0 < 2ti
L = 0r
Aplicaciones
1. Número de vueltas que da una rueda sin 
resbalar, al desplazarse de una posición a 
otra
En la figura se muestra una rueda de radio r, 
que se desplaza de una posición A a otra B, 
sin resbalar.
T r ig o n o m e t r ía ! H
El número de vueltas que da dicha rueda para 
tal condición se calcula mediante la siguiente
relación:
2nr
2.
Donde:
nv: número de vueltas que da la rueda. 
i¿. longitud descrita por el centro de la rueda, 
r: radio de la rueda.
Poleas y engranajes
Engranajes en contacto y poleas unidas por 
una faja de transmisión
En la figura (I) se tiene dos engranajes y en la 
figura (II) se tiene dos poleas unidas por una 
faja de transmisión. En cada caso, si A g irá un- 
ángulo 0A entonces B girará otro ángulo 0B. 
Además las longitudes descritas por los pun­
tos P, T y F son iguales, es decir:
: ¿t — U 0A rA - 0 B r B - ¿F
¿p: denota la longitud de la trayectoria descri­
ta por el punto P, análogamente para los 
otros puntos mencionados.
Poleas unidas por un eje.
Se tienen dos poleas unidas por un eje, si la 
polea A gira un ángulo eA entonces la polea B, 
girará un ángulo 0B:
AREA DE UN SECTOR CIRCULAR
A la porción sombreada de la figura, se denomina 
sector circular.
Si 9 es el ángulo central expresado en radianes, de 
una circunferencia de radio r, y si S denota el área 
de un sector circular subtendido porG.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar el equivalente en grados, minutos y se- 
gundos sexagesimales de un arco de ^ rad: 
Resolución:
Pasando al sistema sexagesimal:
^ rad (
7 \ re rad
900°
7
900 [_
© 128 128° 
/
x 60
\
240 | 7
© 34 ~ 34'
x 6 0
\
120 |
1
5 ti
17 => 17" 
rad = 128°34'17"
32-
Hallar la conversión de rad en grados 
sexagesimales.
Resolución:
Pasando al sistema sexagesimal:
3 2 x1 8 0 °32E rad( i8 0 1
9 \ n rad
6 4 0 °
1 2 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
3tcSi el complemento del arco x es - — radianes, 
hallar el valor de x en grados centesimales. 
Resolución:
Sabemos que el complemento de un arco x
es: - x
2
i-. _i j. 71 'JJLPor dato: — - x = - —
71
12
71 3ti
2 X _ 14
3ti => x = ^ rad
14 7
= 142, 8571£
Este valor lo pasamos al sistema centesimal:
5n 200a \ _ 1000a
7 i Tirad / 7
Pasando a minutos y segundos se obtiene: 
x = 142a 85m 71s
4. Un tramo de una vía férrea curvilínea está for­
mado por dos arcos sucesivos. El primer arco 
corresponde a un ángulo central de 20° con un 
radio de 2500 pies y el segundo corresponde a 
un ángulo central de 25° con un radio de 3000 
pies. Encontrar la longitud total de la vía.
Resolución
Observar de la figura que la longitud total de la 
vía es igual a la suma de los arcos L-i y L2.
l , - ( f i ¡ r ) < 2500>
2 , ( f f ^ O O O )
6250n 2 5 0 0 \ 2 0 V
Considerando: n = 3,1416 se obtiene 
.-. L, + L2 = 2181,67 pies
5. Se tiene un sector circular de radio r y ángu­
lo central de 36°. ¿Cuánto hay que aumentar 
al ángulo central de dicho sector para que su 
área no varíe, si su radio disminuye en un 
cuarto del anterior?
Resolución:
Sector circular (inicialmente): 
s = l i 2 ...(1)
2 \ 180 I
(S: área del sector circular)
Sector
Observar que el radio (por dato) del nuevo 
sector es igual a 3r/4, pero el área no varía.
s = 5 ' 36 + “ > - ! s r ( 7 ) 2 - <2)
Como el área es la misma, entonces iguala­
mos (1) y (2):
l / 3 6 jL \ r2 = 1(36
2 \ 180 / 2 180 \ 4 I
Simplificando: 36° = (36° +
Operando tenemos: a = 28°
[" e j e r c i c i o s PROPUESTOS T |
90g + — rad + 16°
1. Calcule el valor de: R = 20
4 71 
15
rad - 8°
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Dada la siguiente equivalencia: 11a < > a°b' 
calcule: b - a
a) 45 
d) 48
b) 46 
e) 49
3. Si: (a + 1)a o ( a + 2)0 
calcule (a2 + a)° en radianes.
a )á 
d )f
371
b) 15
c) 47
e) — 
’ 30
4 si — rad < > a°b'c", calcule (a + 2b - c)9 en 
32
el sistema sexagesimal.
a) 72° b) 81° c) 90° d) 99° e) 108°
5. Los ángulos internos de un triángulo miden: 
(3x)°, (10x)g, y rad. Calcule la diferencia
circular (después):
T r ig o n o m e t r í a ¡ 1 3
6 .
9.
10.
1 1 .
de las medidas del mayor y menor ángulo en 
radianes.
a) 5 tt/1 8
d) 4 tc/8
b) n/3 
e) n/2
c) 7 rc/18
120R C
V n 10
siendo S y C las medidas sexagesimal y cen­
tesimal de un ángulo trigonométrico.
Reducir la expresión 
E = c + s
c - s
17
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Determine la medida radial del ángulo que 
cumple: 12S + 5C + 40R/n = 32
a) ni 10 rad b) rt/40 rad c) n/80 rad
d) 71/100 rad e) ti/90 rad
La suma del doble del número de grados 
sexagesimales con el número de grados cen­
tesimales de un ángulo es igual a 140. Deter­
minar la medida circular de dicho ángulo.
a) | rad 
d) | rad
b) — rad 
4
e) í rad 
6
c) -5- rad 
5
El número de segundos sexagesimales de un 
ángulo más el número de minutos centesima­
les del mismo ángulo es 66 800. Calcule la 
medida radial de dicho ángulo.
a) ti/20 
d) 7i/9
b) ti/18 
e) ti/6
c) 7l/10
Calcule la medida del ángulo para el cual se 
cumple que: S + 3C - 10SR = 30 (ti = 22/7)
a) 12° b) 15° c) 18°
d) 21° e) 24°
Si a° y bs son suplementarios que están en la 
relación de 1 a 4, respectivamente, calcule el 
valor de: -Ia + b
a) 11 
d) 14
b) 12 
e) 15
c) 13
12. Calcule: 5 0 o (-— —— - V siendo:
x: número de segundos centesimales de un 
ángulo.
y: número de segundos sexagesimales del 
mismo ángulo, 
z: número de minutos centesimales del mis­
mo ángulo.
13.
14.
16.
17.
a) 169 
d) 172
b) 170 
e) 173
c) 171
Determine la medida radial del ángulo que 
cumpla con la Igualdad:
9
a) ni3 rad 
d) 27t/5 rad
— + 20— = 12(S4 - 
10 n
b) n/2 rad 
e) 3n/5 rad
C4 + R4) 
c) ni5 rad
Determine la medida circular del ángulo que 
cumpla con la igualdad, siendo S, C y R los 
números convencionales para un ángulo.
1 \/A , 1 V, , 1 \ U , 1 \-¿- + 1 = 1 +. 
9R \ SI
a) n/2 rad 
d) ji/8 rad
1 1 + S + 2 /
b) n/4 rad 
e) n/10 rad
'(1 + s + C - 1/ 
c) nJ5 rad
15. SI: x x 
x'
\ ° l i x ’x ” y / X 9 X m
) 1
{ x m ) < > a°b'c"
calcular:
a) 10 
d) 24
a - c - 1
b) 15 
e) 25
c) 20
Siendo S y C los números de grados sexa­
gesimales y centesimales para un mismo án­
gulo el cual cumple: Sz + 81 < 18S 
convertir (4SC)9 a radianes.
a) 9n/5 
d) 3n/5
b) 4n/5 
e) 6nl7
c) 2n/3
Siendo S y C los números que representan la 
medida de un ángulo en grados sexagesima­
les y grados centesimales, respectivamente, 
cumplen la igualdad:
Vs + Vs + V s i ~ = Ve - Je -
Calcular la medida radial de dicho ángulo.
c) 3,9n rada) 1,9ti; rad 
d) 4,9n rad
b) 2,9n rad 
e) 0,9n rad
18. Calcular la medida del mayor ángulo en radia­
nes, si la suma de la cuarta parte del número 
de grados sexagesimales de un ángulo y los 
tres quintos del número de grados centesima-
1 4 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
les de otro ángulo es 70, además se sabe que 
dichos ángulos son suplementarios.
a) n
d) ni2
19.
2 0 .
b) 2ti/3 
e) n/4
c) 2n
Un ángulo a mide a0b° y también acO9. Si 
c > b, ¿cuál es el menor valor que puede to­
mar a en radianes?
12 n
5
b)
14 n
5 
17 n 
10
c)
1 6 t t 
5
Se tienen dos ángulos positivos y se sabe lo 
siguiente: la diferencia del número de minutos 
centesimales de uno de ellos con el número 
de minutos sexagesimales del otro es 400, 
además sus números de grados sexagesi­
males y centesimales del segundo y primero 
suman 10. Calcule la diferencia de estos án­
gulos en radianes.
a) rt/46
d) íi/8
b) ti/ 12 
e) tl/96
c) tt/20
1. d 5. e 9. c 13. e 17. a
2. a 6. d 10. a 14. e 18. b
3. c 7. d 11. d 15. a 19. b
4. b
JDOÓ 12. c 16. a 20. e
D éEJERCICIOS PROPUESTOSu
1. Hallar x.
a) 1
b) 2
c) 1/2
d) 1/3
e) 2/3
De la figura, calcular:
a) 1
b) 3
c) 6
d) 5
e) 4
x + 4
Calcular el área de la región sombreada: 
R = 6 m
a) 12?t m2
b) 14n m2
c) 15n m2
d )1 6 n m2
e) 17t í m2
En un sector circular se cumple que: 
4 L \L 6R + - : S + 380
donde: R: radio;9: número de radianes del 
ángulo central; L: longitud de arco, S: área. 
Hallar S:
a) 14 
d) 18
b) T5 
e) 20
c) 16
5. SI S = 5L2, calcular x (S: área).
a) 2L
b) 3L/2
c) L
d) L/2
e) L/3
6. Calcular: 92 + 0
a) 1
b) 2
c) 3
d) 1/2
e) 1/3
7. Hallar x.
a) 1
b) 1/2
c) 1/3
d) 2
e) 3 x + 2
Calcular el valor de x.
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
e) 11
En un sector circular el radio y el perímetro es­
tán en la relación de 1 a 3. Calcular la medida 
del ángulo central.
a) — rad 
' 2
d) 2 rad
b) 1 rad
e) — rad 
2
c) — rad 
2
T r ig o n o m e t r ía | 1 5
10. Determinar la longitud de la cuerda que cubre 
todo el sistema.
a) R (3 + ti)
b) 2R (3 + ti)
c) 3R (3 + rt)
d) 4R (3 + ti)
e) 5R (3 + ti)
11. Calcular 9, si: S-, = S2
d) ti/5
12. Si A: área,
a) 1
b) 2
c) 4
d) 5
e) 6
13. SI St + S2
a) ti/15
b) ti/12
c) ti/3
d) 7i/10
e) ti/5
14. Calcular el
a) 48
b) 44
c) 40
d) 46
e) 43
15. Calcular: S (área)
2a
c) 2ab
d) ab e ) f
16. Se tiene un sector circular cuyo ángulo central 
mide 409. SI el radio mide 15 m, calcular la 
longitud de arco que subtiende.
a) ti m 
d) 4 ti m
b) 2n m 
e) 5ti m
c) 3 ti m
17. Si L, + L2 : 1 4 tt
3 ’
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
18. Calcular x.
a) 1/3
b) 1
c) 4/3
10
d) 5/3
e) 2
~ 2
3 X
tn
til 1. b 5. a 9. b 13. c 17. d
> 2. c 6. a 10. b 14. a 18. d
«1 3. a 7. a 11. d 15. d
ü 4. e 8. d 12. e 16. c
b) 71/9 c) 71/6
e) ti/4
hallar x.
= 1 5tt m2, calculare.
área S de la región sombreada.
a + p = 120°; hallar R.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
Se llama triángulo rectángulo al que tiene un án­
gulo recto, recuerde que el lado opuesto al ángulo 
recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes 
catetos.
En la figura, llamamos c a la hipotenusa, para In­
dicar que su longitud es de c unidades y, con el 
mismo fin, llamamos a y b a los catetos, ahora su­
pongamos que 0 es el ángulo agudo.
En el triángulo rectángulo mostrado se cumple:
o < e < 90° 
a < c; b < c 
Teorema de Pitágoras:
a2 + b2 = c2
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA (RT)
La razón trigonométrica de un ángulo agudo en 
un triángulo rectángulo se define como el cociente 
que se obtiene al dividir las medidas de las longi­
tudes de dos de los lados del triángulo rectángulo 
con respecto al ángulo agudo.
Si en el triángulo de la figura anterior nos referimos 
a las longitudes de los lados del triángulo con los 
nombres hipotenusa (c), cateto opuesto (b) y cate­
to adyacente (a) al ángulo 0. Podemos definir las 
razones trigonométricas de 0 del modo siguiente:
sen0 =
COS0 =
tan0 =
coto =
sec0 =
cscO =
cateto opuesto al ángulo 0 _ 
hipotenusa 
cateto adyacente al ángulo 0 
hipotenusa 
cateto opuesto al ángulo 0 
cateto adyacente al ángulo 0 
cateto adyacente al ángulo 0 
cateto opuesto al ángulo 0
hipotenusa________
cateto adyacente al ángulo (
hipotenusa _ c
cateto opuesto al ángulo 0 b
a
’ c
. b 
a
a 
 ̂ b
_ c 
” a
Ejemplo:
Calcule los valores de las seis razones trigono­
métricas del m enor ángulo agudo 0 de un trián­
gulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 y 15 uni­
dades.
Resolución:
Teorema de Pitágoras
(8)2 + (15)2 = a2
289 = a2 a = 17
En el 6\:
sen0 =
17
COS0 = | |
17sec0 =
15
tan0 = A CSC0 = H
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS
AGUDOS: 30°, 60°, 45°, 37° Y 53°
Las razones trigonométricas (RT) de estos ángu­
los se obtienen a partir de los siguientes triángulos
rectángulos.
2 k / '6 0 °
k
2
1
/^ 3 0 ° r / W
k-/3 73
5k 3k 3
/< 3 7 ° r X 3 7 ° r
4k 4
^ N ^ n g u lo 
RT \
oOco 37° 45° 53° 60°
1 3 72 4 73
sen 2 5 2 5 2
73 4 72 3 1
eos
2 5 2 5 2
tan 73
3
3
4
1 4
3
73
T r ig o n o m e t r ía | 1 7
^ -^Á n g u lo
R T ^ \
30° 37° 45° 53° 60°
cot /3 4
3
1 3
4
/3
3
sec 2 /3
3
5
4 12
5
3
2
CSC 2 5
3 12
5
4
2 /3
3
cV la ta :- 
1 .
/6 - /2
/6 + / 2
i k /
1
/ V 5 ° n 1 5 w \
(2 -/3 ) (2 + /3Í
2. Los valores de las seis razones trigo­
nométricas dependen únicamente de la 
medida del ángulo y no de las longitudes 
de los lados del triángulo rectángulo. 
Luego:
,tB'
By
ACB tenemos que: sen 0 = BC
AB
B’C’L^AC’B' tenemos que: sen 0 = ——
M AB
, BC B'C'Luego: — = =-^~ 
a AB AB'
Así encontramos el mismo valor para 
sen0 sin Importar cual sea el triángulo 
rectángulo que utilicemos para calcular­
lo, una idea similar podría servir para las 
otras razones trigonométricas.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
Siendo 0 un ángulo agudo, se cumple:
csce = 1
sen0
=> sen0csc0 = 1
sec6 = 1 => cos0sece = 1
COS0
cote = 1
tan9
=> tan9 cote = 1
Ejemplos:
sen9 = j csc0 = ^
tan© =
5
cote = _5_
/5
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS 
COMPLEMENTARIOS
Dos ángulos agudos se lla­
man complementarlos si su 
suma es un ángulo recto.
En la figura que se muestra:
6 y a: son ángulos comple­
mentarios (0 + a = 90°). 
Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b 
como 6 y el ángulo opuesto al cateto a como a, en 
consecuencia:
b 3sen© = — = cosa; eos© = — = sena
c c
tan0 = — = cota; cote = ^ = tana
a b
sec0 = — 
a
; csca; csc0
sena = cos(90° - a) 
tana = cot(90° - a) 
seca = csc(90° - a)
Debido a estas relaciones, las razones 
Seno y coseno 
Tangente y cotangente 
Secante y cosecante
RT(a) = CO-RT(P)
=> a + P = 90°
se llaman co-razones trigonométricas una de la 
otra, respectivamente.
1 8 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
Ejemplos:
sen40° = cos50° sec20° = csc70°
tan80° = cotí 0o cot3° = tan87°
cos62° = sen28° csc24° = sec66°
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Las aplicaciones de la trigonometría en campos 
como topografía y navegación requieren resolver 
triángulos rectángulos. La expresión "resolver un 
triángulo" significa encontrar la longitud de cada 
lado y la medida de cada ángulo del triángulo.
En esta sección veremos que podemos resolver 
cualquier triángulo rectángulo si se nos da:
I. Las longitudes de dos lados.
II. La longitud de un lado y la medida de un án­
gulo agudo.
I. Conociendo las longitudes de dos lados 
Ejemplo:
Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo 
que sus catetos miden 1 y 2, respectivamente.
Resolución:
Para calcular x, aplicamos el teorema de 
Pltágoras:
(1)2 + (2)2 = a2 
=> a2 = 5 
.-. a = ¡5
Para determinar la medida del ángulo 9, 
calculemos una razón trigonométrica con 
los catetos de longitudes 1 y 2.
Es decir: tan9 = — => 9 = 26°30'
2
Como: 9 + p = 90° => p = 63°30’
II. Conociendo un lado y la mediada de un án­
gulo agudo
A. Conociendo la longitud de la hipotenusa y un 
ángulo agudo.
Incógnitas: x, y
y
— = sen 9 = y = asená 
a
En el triángulo rectángulo la medida del 
otro ángulo agudo es: 90° - 9
asen0
acosO
B. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del 
cateto opuesto a dicho ángulo.
Incógnitas: x, y 
Cálculo de x:
— = cot9 => x = acotó
Cálculo de y:
y
a
csc9 => y = acsc9
En el triángulo rectángulo la medida del 
otro ángulo agudo es: 90° - 9
acotB
C. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del 
cateto adyacente a dicho ángulo. 
Análogamente a los triángulos rectángulos 
anteriores tenemos:
atanB
AREA DE LA REGION TRIANGULAR
El área de cualquier reglón triangular esta dado por 
el semlproducto de dos de sus lados multiplicado 
por el seno del ángulo que forman dichos lados. 
Así tenemos:
S = — absenó 
2
TRIGONOMETRÍA ¡ 1 9
ÁNGULOS VERTICALES
Son aquellos ángulos contenidos en un plano verti­
cal formados por la línea de mira (o visual) y la linea 
horizontal, que parten de la vista del observador.
• Línea vertical. Vertical de un lugar es la línea 
que coincide con la dirección que marca la 
plomada.
• Línea horizontal. Se denomina así a toda 
aquella línea perpendicular a la vertical.
• Plano Vertical. Es el que contiene a toda línea 
vertical.
• Línea visual. Llamada también línea de mira, 
es aquella línea recta Imaginarla que une el 
ojo del observador con el objeto a observarse.
Los ángulos verticales pueden ser:
Ángulo de elevación. Es el ángulo formado por la 
línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto 
se encuentra por encima de la línea horizontal.
En la figura se muestra la ubicación de los ángulos 
deelevación y depresión.
• a: es la medida del ángulo de elevación, porque 
se encuentra contenido en un plano vertical.
• 0: es la medida del ángulo de depresión, por­
que está contenido en un plano vertical.
(3: no es un ángulo de elevación porque está 
contenido en un plano inclinado.
Ángulo de depresión. Es aquel ángulo formado por 
la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto 
se encuentra por debajo de la línea horizontal.
Ángulo de observación. Es aquel ángulo for­
mado por dos líneas de mira que parten de un 
mismo punto al observar un objeto de un extremo 
al otro.
0: áng u lo de obse rvac ión
Ejemplo:
El ángulo de elevación de la cúspide de una torre 
es de 60°, a 72 metros de ella, estando el ojo del 
observador a (3 metros sobre el suelo, la altura de 
la torre es aproximadamente:
Resolución:
Observar que:
^P M Q
V3 :
H
EJERCICIOS RESUELTOS
En un triángulo rectángulo un cateto mide 4 m 
y la altura sobre la hipotenusa 2,4 m. ¿Cuál es 
el área del triángulo?
Resolución:
2,4 
4
E\AHB: sena = 0,6
sena = ¿ =» a = 37° 
5
fc^ABC: tana = ~
-'AABC '
(4)(3)
El perímetro de un triángulo rectángulo es 
de 338 m. Si la tangente de uno de los án­
gulos agudos es 2,4; ¿cuánto mide el cateto 
menor?
2 0 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
Resolución:
Dato: tana = 2,4 I !
5
..(1)
De la figura: tana = — ..,(2)
De (1) y (2): | ^
Entonces sea: a = 12x y b = 5x
c = J s f+ h 1' = t/( 12x )2 + (5x)2 
c = 13xc = lÍ6 9 x 2
Dato: a + b + c 
12x + 5x + 13x
30
: 338 
338 30x = 338
Cateto menor: b = 5x = 5 338
30
b = 56,33
3. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles 
ABC de catetos 1 m (ángulo recto en B). Por 
B se traza una perpendicular a AC; por D una 
perpendicular a BC; por E una perpendicular 
a AC: por F una perpendicular a BC y así su­
cesivamente. Calcular el límite de la suma:
BD + DE + EF + FG + ...
Resolución:
A
D
«N. F
A<* r A ar •CB
fcsADB: BD = sena 
^B E D : DE = BDsena = sen2a 
Í^DFE: EF = DEsena = sen3a 
ts,EGF: FG = EFsena = sen4a
S = BD + DE + EF + FG + ....
S = sena + sen2a + sen3a + sen4a + ... 
S = sena [1 + sena + sen2a + sen3a + . 
S = sena(1 + S) => (1 - sena)S = sena
g sena
1 - sena
Por dato el t\A B C es isósceles 
Entonces: a = 45°
_1_
¡2sen45 
1 - sen45 1
1 (2 + 1
¡ 2 - 1 ¡2 + 1
¡2
=» S = ¡2 + 1
Considerando jt = 3,1416; ¿cuál es el valor de 
la secante de un arco de: 1,04720 radianes?
Resolución:
Nos piden calcular: sec(1,04720).
3,1416 ti 
3 “ 3
Como: 1,04720 = 
=> sec(1.04720) ¡ s e c ( ^ ) = 2
5. La cotangente de un ángulo vale 1,5; ¿cuánto 
vale la tangente de su complemento?
Resolución:
Dato: cota = 1,5
Por RT de ángulos complementarios sabemos 
que:
ta n (9 0 °- a) = cota tan(90° - a ) = 1,5
6. Hallar el valor numérico de la siguiente expre­
sión:
¡3 cos230°tan60° - ¡6 sen45°cot30° +
2sec45°cos45° - — 
4
Resolución:
Reemplazando los valores Indicados:
/ 3 ( | ) 2( 7 3 ) - l 6 ( f ) ( / 3 ) + 2 / 2 ( ^ ) - l
^ 9 _ 6 2 _ 1 = 1
4 2 4
7. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 
¡5 y los ángulos agudos B y C cumplen con la 
relación: senB = 2senC. Hallar las longitudes 
de los catetos.
Resolución
Dato: senB = 2senC 
b = 2c 
a a
b2 + c2 = (¡5)2 =* (2c)2 + c2
b = 2c
5c2 = 5 1
1 a b = 2
T r i g o n o m e t r í a ! 21
Hallar el valor de la siguiente expresión:
sen4x + 3tan3x - 2sec2x - 4 
4
para: x = 45°
Resolución:
Sea: E = sen4x +3tan3x - 2sec2x - 4
4
Para x = 45°:
E = sen445° + 3tan345° - 2sec245° - 4
E = + 3(1)3 - 2 ( / 2 ) 2 - l
E = — + 3 
4
- 4 - 1 -1
Hallar el valor de:
A =
sen230 + l c s c 460 + 4 r sec360 
2 36
cot430 + sec245 + 3tan45
Resolución:
Reemplazando los valores conocidos:
A =
A =
i r + —í — y + — (2 f
2 I 2\/3 J 36
( /3 )4 + ( /2 )2 + 3(1)
1 8 2 11'2
4 9 9 j
9 + 2 + 3
49 ]1'2 
36 J 
14
7
_6_ _ J _ 
14 12
10. Hallar los ángulos agudos a y p tales que: 
tan(3a - 35°) = cot(90° - p) A 2p - a = 15°
Resolución:
Como: tan(3a - 35°) = cot(90° - p)
Entonces: 3a - 35° + 90° - p = 90° 
Simplificando: 3a - p = 35° ...(1)
Dato: 2p - a = 15° ...(2 )
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) se ob­
tiene: a = 17° A p = 16°
HEJERCICIOS PROPUESTOS
1. Del gráfico, calcular: senG
a) 0.2
b) 0,5
c) 2/3
d) 2/5
e) 3/4
I I
2. Siendo 0 un ángulo agudo, tal que: tanO = 5/12: 
calcular el valor de: E = cose - sen0
a) 3/19
d) 9/16
b) 4/17 
e) 5/13
c) 7/13
3. Siendo x un ángulo agudo para el cual: 
cscx = 2,5; calcular el valor de:
M = 5cos2x - 3senx
a) 1 
d) 4
b) 2 
e) 5
c) 3
4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), 
senAcscC - 2 tan Asimplificar: E :
a) 1 
d) 4
senAsecC tan A
b) 2 
e) 5
c) 3
5. Dado el triángulo rectángulo ABC (recto en B). 
Calcular cscA, sabiendo que:
secC - senA = 3senC
a) f í o 
d) v5
b) 2 fíO
e) 2 /5
c) 3/10
6. Si el perímetro de un triángulo rectángulo ABC 
(recto en B) es 168 cm, además: cscA = 25/7, 
calcular la diferencia entre ¡as longitudes de 
los dos mayores lados.
a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm
d) 4 cm e) 5 cm
7. Siendo x e y ángulos agudos, calcular x, 
si: cos(2x + y + 15°)sec(3x + y - 12°) = 1
a) 25° 
d) 12°
b) 27° 
e) 15°
c) 29°
8. Calcular el ángulo agudo x que cumple: 
sen(5x + 13°) - cos(4x + 14°) = 0
a) 3° 
d) 9°
b) 5° 
e) 11°
c) 7°
9. Calcular el valor de:
sen20" + cot(25" + 3x) + sec(80" - 5x) 
csc(10" + 5x) + tan(65" - 3x) + cos70"
a) 1 
d) 1/2
b) 0 
e) 1/3
c) 2
2 2 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
10. Siendo a y p ángulos agudos, calcular p, si: 
sen(7a - 15°) = cos(5a + 21°)
tan(2p - a)cot(3a + 2°) = 1
a) 5° b) 10° c) 15°
d) 20° e) 25°
11. Calcular la medida del ángulo agudo x para el 
cual se cumple:
cot(2x - 9°) = tan1°tan2°tan3° ... tan89°
a) 10° 
d) 27°
b) 18° 
e) 30°
c) 20°
12. Siendo x e y ángulos agudos que cumplen: 
sec(5x + 10°) = csc(2y +20°)
tan(20° + y)tan(30° + 3y) = 1 
calcular: M = sen(4y + x) + tan(4x + y)
a) 1/2 b) 1 c) 3/2
d) 2 e) 3
13. Siendo a y p ángulos agudos tales que: 
tana = 17 A cscp = 2 /2
calcular: E = tan'2/ a + p \ / a + p" ' + tan'
a) 1/2 
d) 3/4
3 
b) 1 
e) 4/3
2
c) 3/2
14. Si a, p y 0 son ángulos agudos que cumplen: 
sen(3a + P) = cos(30 + 2p)
eos (a + P + 0)sec(3a + 2p) 
cos(2o. + 2p + 20)csc(P + 30)
c) -12/2
calcular: M
a) 1/2 
d) 13
b) 1
e) 2
15. En un triángulo rectángulo ABC (recto 
en C), se sabe que: tan2B = 2; calcular: 
E = 2tan2A - csc2B
a) - 2 
d) 1
b) -1
e) 2
c) 0
16. Siendo x e y ángulos agudos que cumplen: 
co t(x + 40 )tan(y + 20 )
tan(50° - x) =
calcular: E
a) 1/2 
d) 1212
tan 10 cot80
sen(x + y + 50")cos(20" + y) 
cosíy - x - 10")
b) 1312 c) 3/4
e) 4/5
17. Se tiene un cubo donde se traza una de sus 
diagonales y una de las diagonales de su base, 
de tal manera que tenga un punto en común 
con la diagonal del cubo. Calcular la tangente 
del ángulo que forman dichas diagonales.
a) 12 b) 1212 c) 13/2
d) 1612 e) 1616
18. Del gráfico,
a) 1/2
b) 2/3
c) -1
d) 1
e) 3/5
2 .
1. c 5. d 9. a 13. b
r° o 6. d 10. c 14. a
3. c 7. a 11. d 15. b
4. b 8. c 12. b 16. d
17. b
18. d
rEJERCICIOS PROPUESTOS Y ]
1. Calcular el valor de:
tan 60° + sec245° + 4 eos 60° 
cot45° - sen30°
a) 10 
d) 16
b) 12 
e) 18
c) 14
Si: tan0 - sen45°tan60° = 0; 0: agudo 
calcular E = 1Osen20 + 6csc20
a) 8 
d) 16
b) 10 
e) 20
c) 12
3. Calcular el valor de x (agudo) en: 
4sen(22° + x) cos(68° - x) =
tan(30° + x)tan(60°
a) 2° b) 4° c) 8°
d) 10° e) 12°
4. Calcular sec6 del gráfico:
a) H 3/3
b) 11314
c) 11315
d) V Í3/6
e) 11317
■ x )
calcular: P = tanp + tan0
T r ig o n o m e t r ía | 2 3
5. De la figura, calcular: tan©
a) -Í3 b) /3 /2 c) 1
d) 2 e) 1313
6. De la figura, hallar csc0, si AO = OB.
a) /2 B
b) 2 /2
c) 2 /3
d) -Í2/2
e) V3/3 o
7. De la figura, calcular: tana
a) 1/2
b) 2
c) 1/4
d) 4
e) 1
8. De la figura, calcular: tana
d) 10/3 e) 10
9. De la figura, calcular: tana
a) 1/2
b) 1/3
c) 4/7
d) 3/5
e) 5/7
10. Calcular: A = 10tana + 11 tañe
a) 8 /3
d) 5
11. Hallar x.
a) 3senatan9
b) 2senacot0
c) 3senasen0
d) 3coso.tan0
e) 3cosacotü12. De la figura, calcular: —
b
a) 73/5
b) 2 /3 /5
c) 3 /3 /5
d) 4 /3 /5
e) 5 /3 /5
13. De la figura, calcular x.
a) asen(0 - a)tana
b) asen(0 - a)cota
c) asen(0 - a)seca
d) asen(a - 0)tana
e) asen(a - 0)cota
14. Del gráfico, calcular: x
a) 2(tana + tanp)
b) 2(cota + cotp)
c) 2(cota - tanp)
d) 2(cota - cotp)
e) 2(tana - tanp)
15. De la figura, calcular x.
a) 2R(tan0 + 1)
b) 2R(cot0 + 1)
c) R(cot0 + 1)
d) R(cot0 - 1)
e) R(tan0 + 1)
16. Calcular:
E = (2sen30° + sec60°)tan53° + /3 tan60°
a) 3 b) 5 c) 7
d) 9 e) 11
17. Si: sen0 - tan37° = 0; 
calcular: A = •I-Í7 tañe + 1
2 4 | C o le c c ió n E l P o s t u la n t e
a) 2 b) 3 c) 5
d) 2 /3 e) 3 /2
18. Simplificar:
2tan(35° + x)tan(55° - x) + tan260° 
cosí 8 csc72 - sen30
a) 10 b) 9 c) 8
d) 7 e) 6
19. Del gráfico, calcular: /6 se n 9 + 1
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e )7
20. De la figura, calcular tanO.
a) 1/3
b) 1/4
c) 3/4
d) 2/3
e) 3/2
21. Calcular x del gráfico:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
22. Del gráfico, calcular:
A = 2sen(9 -1 5 °) + sec(9+15°)
a)1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
in i . c 6. a 11. a 16. c 21. d
y 2. d 7. b 12. b 17. a 22. c
>
<í 3. d 8. c 13. e 18. a
j 4. a 9. b 14. c 19. b
ü 5. b 10. b 15. c 20. d
FEJERCICIOS PROPUESTOSJ
1. Del gráfico,
a) 19
b) 18
c) 17
d) 15
e) 12
2. En un triángulo ABC cuya área es 0,5 m2, 
determinar a que es Igual el producto de las 
cosecantes de los ángulos del triángulo.
a) abe 
d) a2b2c
b) a2b2c2 c) ab2c2
3.
e) a2bc2 
Siendo St y S2 áreas, calcular:
a) 1
b) 2 4 a / „ ' 
/ 1c) 3
d) 4 6 a / S2
e) 5
4. Del gráfico, calcular:
b) 2sen8 + cos8 
d) 3cos9 + 4cos9
-a + T
a) 3sen8 + 2cos8 
c) 4cos8 + 3sen9 
e) 3cos9 + 2cos8
5. Del gráfico, calcular:
a) sen28
b) csc29
c) cos29
d) sec28
e) tan29
Desde un punto en el suelo se observa la par­
te más alta de un edificio con una elevación 
angular de 37°, nos acercamos al edificio a 
una distancia de 10 m y el nuevo ángulo de 
elevación para el mismo punto es 45°. Calcu­
lar la altura del edificio.
calcular x.
T r ig o n o m e t r ía | 2 5
a) 14 m b) 15 m c) 28 m
d) 30 m e) 32 m
7. Desde un punto en el suelo, situado entre 2 
muros de 3 m y 4 /3 m se observa sus puntos 
más altos con ángulos de elevación de 30° 
y 60°, respectivamente. Calcular la distancia 
entre dichos puntos.
a) 10 m b) 12 m c) 14 m
d) 16 m e) 18 m
8. Desde la base de un árbol se observa la parte
superior de un edificio con un ángulo de ele­
vación de 45° y desde la parte superior del ár­
bol se observa el mismo punto con un ángulo 
de elevación de 37°. Si la altura del edificio es 
de 120 m. Calcular la altura del árbol.
a) 10 m b) 20 m c) 30m
d) 40 m e) 50 m
9. Una persona colocada a 36 m de una torre ob­
serva su parte más alta con un ángulo de ele­
vación a (tana = 7/12). ¿Qué distancia habría 
que alejarse para que el ángulo de elevación 
sea 6, donde: tan6 = 1/4?
a) 36 m b) 40 m c) 42 m
d )4 6 m e) 48 m
10. Desde la parte superior de un muro de 2 m de 
altura, se observa un árbol con un ángulo de 
depresión de 30° su base y con un ángulo de 
elevación de 60° su parte superior. Hallar la 
altura del árbol.
a) 4 m b) 6 m c) 8 m
d) 10 m e) 12 m
11. Desde un avión, que se encuentra a una al­
tura H, se observa en tierra un objetivo con 
un ángulo de depresión de 60°; luego de un 
minuto y habiendo pasado por encima del ob­
jetivo, se vuelve a observar el mismo con una 
depresión angular de 30°. Si la velocidad del 
avión es de 300 km/h, calcular H, además la 
trayectoria del avión es una linea horizontal.
a) 1350 m b) 2500 m c) 1250 m
d) 3500 m e) 2000 m
12. Un cachimbo de la Universidad Vlllarreal de
1,5 m de altura observa la parte superior de 
un poste, con un ángulo de elevación 4). Si el 
cachimbo se acerca 45 m, hacia el poste y en
línea recta, el nuevo ángulo de elevación sería 
9, halle la altura del poste, sabiendo que: 
co to - cote = 2
15.
16.
a) 16 m
d) 24 m
b) 18 m 
e) 25 m
c) 20 m
13. Desde el último piso de un edificio se ob­
serva un avión con un ángulo de elevación 
de 53°. Si la altura del edificio es de 200 m 
y la altura de vuelo del avión es de 1 km, 
ca lcu lar la distancia del avión al último piso 
del edificio.
a) 1600 m 
d) 800 m
b) 1200 m
e) 1000 m
c) 600 m
14. Desde la base A de un camino inclinado, un 
ángulo a con respecto a la horizontal, se ob­
serva la parte superior S, de un poste de 2 m 
de altura con un ángulo de elevación 2a. Si el 
poste se encuentra en el camino y AS = 7 m, 
calcular tana.
a) 2/9_
d) 6 /2
b) 2/7 
e) 4 /2
c)7/2
Calcular el área de una región triangular don­
de 2 de sus lados miden 12 m y 14 m, además 
la medida del ángulo que forman dichos lados
es 30°.
a) 40 m b) 41 m2 c) 42 m2
d) 43 m2 e) 44 m2
Del gráfico, calcular x.
a) — sene
b
b) — sene ' a
c) — sene
c
d) abcsene
e) — sene 
a2
17. Del gráfico, calcular: A = sene + 2cos0
a) 1
b) 1/2
c) 3/2
d) 3
e) 2
2 6 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
18. Si a + b = ab; calcular x.
a) 73 C
b) 2 /3 /30°\
c) 3 /3
7 x'd) 4 /3
e) 5 /3 ------------
19. Del gráfico, calcular el área de la región som­
breada.
15 5 10
a) 13,5 
d) 16,5
b) 14,5
e) 17,5
c) 15,5
20. A 16 m de la base de un árbol el ángulo de 
elevación para la parte más alta es 37°. Cal­
cular la altura del árbol.
a) 10 m
d) 13 m
b) 11 m 
e) 14 m
c) 12 m
1. e 5. d 9. e 13. e 17. e
2. b 6. d 10. c 14. b 18. a
3. c 7. a 11. c 15. c 19. d
4. c 8. c 12. d 16. c 20. c
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN ESTÁNDAR
ANGULO EN POSICION NORMAL
Un ángulo 0 está en posición normal, posición es­
tándar o canónica si su vértice está en el origen de 
un sistema coordenado rectangular y su lado inicial 
coincide con el eje x positivo.
Cuando un ángulo 0 está en posición normal, el 
lado final puede estar en uno de los cuadrantes en 
cuyo caso se dice que 0 está en tal cuadrante, o 
bien encontrarse sobre el eje x o el eje y, entonces 
se dice que es un ángulo cuadrantal.
Ejemplos:
I. y.
- a g u ­
a y o
y t IV.
<Ü H :
p > o e < o
Entonces a , (|> A p están en posición normal. 
a e MIC, ó e IIC y p es un ángulo cuadrantal.
9 no está en posición normal.
ÁNGULOS COTERMINALES
Son aquellos ángulos que pueden o no estar en 
posición normal y tienen las siguientes caracterís­
ticas:
I. El mismo lado Inicial
II. El mismo vértice
III. El mismo lado final
Sin considerar el sentido de los ángulos, es decir, 
que ambos ángulos pueden tener el mismo sentido 
o sentidos opuestos, se tiene:
V é rtice Lado
En ambas figuras a y 0 son ángulos cotermlnales, 
en el primer gráfico son ángulos trigonométricos y 
en el segundo ambos están en posición normal.
Propiedades de ángulos coterminales
1. La diferencia de dos ángulos coterminales es 
un número que se representa por 360°k (k: 
entero). Es decir, si a y 0 son ángulos cotermi­
nales, se cumple:
a - 0 = 360°k
donde: k .= +1, ±2, ±3, ...
Siendo a y O ángulos coterminales y en posición 
normal como se muestra en la figura se tiene:
cosa = — 
r
sen0
cose
tana =
tan9 = — 
x
sena = sen©
c o s a = COS0
tana = tan0
Análogamente para las demás razones trigo­
nométricas. Luego, podemos concluir:
2 8 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
RT(g) = RT(9)
Donde RT: razón trigonométrica
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN 
POSICIÓN NORMAL
y
sen0 = — = r
ordenada 
radio vector
COS0 = — =
r
abscisa 
radio vector
y
tan0 = - =
X
ordenada
abscisa
cote = - =
y
abscisa
ordenada
sec6 = — =
X
radio vector 
abscisa
CSC0 = — =
y
radio vector
ordenada
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar el valor numérico de la expresión:
E = sen180° + 2cos180° + 3sen270° + 
4cos270° - 5sec180° - 6csc270°
Resolución:
Recordar:
sen eos tan cot sec CSC
180° 0 -1 0 3 -1 3
270° -1 0 3 0 3 -1
Reemplazando en la expresión dada:
E = 0 + 2 (-1 ) + 3 (-1 ) + 4(0) — 5(—1) — 6 (—1) 
E = - 2 - 3 + 5 + 6 = 6
2. Indicar los signos de las siguientes expresio­
nes en el orden F, G, H.
_ (sec285 tan2138 sen210 )3 
(csc3215 cot338 )
(sen3260 co tí 15 cosí 16 )3
( j —-----------------------------------------(csc195 tan336 f
l_l _ sen195 cot340 csc128 
(tan135 sec298 )3
Resolución:
Recordar los signos de las RT en cada cua­
drante.
seno todas son
cosecante positivas
(+) (+)
tangente coseno
cotangente secante
(+) (+)
En las expresiones dadas solo reemplazamos 
los signos.
[(+)(+)(—)]3 (-)
(-)(-) (+)
[R H H P (-)
[(-H+tf (+)
(-)(-)(+) (+)
[H(+)P (-)
[ " e j e r c i c io s p r o p u e s t o s ' " |
1. De la figura siguiente, calcule tan0.
a) -4 /3
b) 4/3
c) -1
d) 3/4
e) -3 /4
2. Del gráfico mostrado; calcule tana.
a) 2/3
b) 1/3
c) 1/2
d) 3/2
e) 1
T r ig o n o m e t r ía | 2 9
3. Del gráfico mostrado, calcule tan0.
a) 1/2 Y A(2; 6)
b) 1/3
c) 1
d) 2 Sj 3 T X
e) 3 7 x
4. Si 9 es un ángulo positivo, en posición normal 
y está comprendido entre la segunda y terce­
ra vuelta; determine su valor si se cumplen: 
tan9 = cot(ji/4) y sen0 < 0.
a) 35ti/4 b) 75n/4 c ) 55j[/4
d) 65ti/4 e) 45ti/4
5. Del gráfico mostrado, calcule tañe.
a) -2 /3 y (4;4)
b) -3 /4
c) -4 /3 m /
d) -5 /4
e) -3 /2 eC V (2; 0) x
-i
6. Del gráfico mostrado; calcule 3tan6 + x cote
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
7. SI 0 es un ángulo en posición normal tal que
tañe = y0 pertenece al segundo cuadran- 
5
te; calcule: 2 + V41(sen9 + cose)
a) - 2 b) -1 c) 0
d) 1 e) 2
8. SI se tiene que 6 es un ángulo en posición nor­
mal del cuarto cuadrante, para el cual se tiene
12que cose = — calcule: 3 + 13(sen6 + cos0)
a) 8 b) 10 c) 11
d) 9 e) 6
9. Determine el cuadrante al cual pertenece 6 si 
se cumple: (sen6 + cos0)sec6 < 1 y además: 
tan0sen0 > 0
a) IC b) IIC c) INC
d) IVC e) F. D.
10. Determine el cuadrante al cual pertenece 9 si 
se tiene que: |sen0| + sene = 0 y además: 
sen6cos0 > 0
a) IC b) IIC c) NIC
d) IVC e) F. D.
11. Si 0 es un ángulo positivo y menor que una 
vuelta y pertenece al tercer cuadrante; deter­
mine el signo de:
I. E = (sen0 + cose )tan0
II. F = |s e n |^ | - cos |^-jjsen0
III. A = (sen20 - cos0)tan(0/2)
a) ( - ) ; ( - ) ; (+) b) ( - ) ; ( + ) ; ( - )
c) (- ) ; (-) ; ( - ) d) (+); (-) ; ( - )
e) (+); (+); ( - )
12. Dadas las relaciones:
1 + |sen0|tan0 < 0 Atan0sen0 > 0 
determ ine el signo de la expresión:
E = (sene - cos0)(tan0 + cote)
a) (+) b) ( - ) c) (+) o (—)
d) 0 e) F.D.
13. Del gráfico mostrado, calcule: 3sen0 + 2cos6
b) 2
c) 3
d) - 2
e) - 3 (-1 2 ; - 5 )
14. De la figura siguiente, calcule: sen6 - 4cos6
a) 5 ( “
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
15. El punto P (-3 ; 5) pertenece al lado final de un 
ángulo 0 en posición normal; calcule:
■/34(sen0 + cose)
a) 1/2 b) 1 c) 2
d) 3 e) 1/3
3 0 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
16. El lado final de un ángulo 9 en posición normal 
pasa por el punto (4; -5 ) ; calcule:
V4Í(sen0 - cos9) 
a )-1 b) - 3 c) - 5
d) - 7 e) - 9
17. Del gráfico mostrado, calcule el valor de m, si 
se tiene que: tanG = 3/2
a) 1
b) - 8
c) 4
d) - 2
e) - 6
18. En la figura mostrada, calcule: tana + tanG
a ) -13 /1 2 (a: a + 5)
b) -4 /7
c) -5 /6 —
d) -35 /12
e) -1 2 /7 (a — 1; a)
19. Del gráfico mostrado, calcule: tanG + tana
a) - 3 yy
b) - 2
c) -1 \
d) - 4 X 3 T ' 1 .e) - 5 a> 7 x
20. Del gráfico mostrado; calcule tanG.
a) - 3
b) - 2
c) -1
d) -1 /2
e) -1 /3
1. e 5. a 9. d 13. e 17. b
2. d 6. d 10. c 14. b 18. c
3. a 7. d 11. c 15. c 19. a
4. b
-Q00 12. a 16. e 20. b
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
En la figura se tiene una circunferencia con centro 
en C(h; k) y radio r. Si P (x; y) es un punto cual­
quiera de la circunferencia, por distancia entre dos
puntos se tiene: r = J(x - h)2 + (y - k)2 , pero esto 
es equivalente a la ecuación:
(x - h)2 + (y - k)2 = r2 ...(I)
A la ecuación (I) se denomina ecuación de la cir­
cunferencia con centro en (h; k) y radio r.
A aquella circunferencia que tenga por ecuación: 
x2 + y2 = 1, se le denomina circunferencia trigo­
nométrica o unitaria. Entonces esta circunferencia 
tendrá centro en el origen y radio igual a una uni­
dad. La gráfica de la circunferencia trigonométrica 
(CT) se observa en la siguiente figura:
ARCO DIRIGIDO
Es la trayectoria recorrida por un punto móvil so­
bre una curva en un sentido determinado. Asi, por 
ejemplo, en la figura el arco AB se forma por la 
trayectoria de un punto sobre la curva G, partiendo 
de A (posición inicial u origen) llegando al punto B 
(posición final o extremo). Análogamente el origen 
del arco CD es C y su extremo es D.
0,
/ B
'D
ARCOS EN POSICIÓN NORMAL
Son arcos dirigidos formados en una circunferen­
cia con centro en el origen del plano cartesiano,
donde la posición inicial de estos arcos es el punto 
Q punto de intersección del lado positivo del eje x 
con la circunferencia) ver figura.
En adelante discutiremos aquellos arcos dirigidos 
en posición normal donde la posición inicial sea un 
punto tal como Q. Aquellos arcos formados en sen­
tido antihorario se consideran positivos, y en senti­
do horario se les consideran negativos.
En la figura, ios puntos S y P son los extremos de 
los arcos v y p, respectivamente.
y: es un arco positivo 
(sentido antihorario)
(3: es un arco negativo 
(sentido horario)
Así tenemos un arco dirigido QP en posición nor­
mal (figura 1). Del sector circular sombreado, se 
tiene que por la longitud del arco es LQP = ar. Para 
una CT (r = 1), se cumplirá: LQP = a (figura 2).
Es importante trabajar los arcos en posición normal 
en la CT teniendo en cuenta el extremo del arco, 
este extremo nos indicará el cuadrante al que per­
tenece dicho arco. Así, por ejemplo, en la figura 
0 e IC y y e MIC.
A ,
x
En la figura (a), se tiene una recta numérica verti­
cal donde el origen de la recta coincide con el punto 
A(1; 0) de la CT. Considerando a la CT como una 
sección de un carrete y la recta numérica como un 
hilo (espesor despreciable) entonces, en la figura
3 2 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
(b), la parte positiva de la recta se envuelve en sen­
tido antihorario y la parte negativa en sentido horario.
Este procedimiento tiene por fin ilustrar al lector 
que a cada punto de la recta numérica le corres­
ponde un único punto de la CT.
Como ya se ha enunciado, es importante ubicar el 
extremo de un arco en la CT, ya sea para la ubica­
ción de su cuadrante o para las definiciones que se 
verán más adelante. Así, por ejemplo el arco 1 en 
la CT se relaciona a un ángulo en posición normal 
1 rad Fig. (a), análogamente el arco n a ti rad Fig. 
(b) y el arco -2 a - 2 rad Fig. (c)
REPRESENTACIONES DE LAS RAZONES TRIGO­
NOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA
En esta parte, al referirnos a un arco, hacemos la 
suposición de que este es un arco dirigido en la CT 
en posición normal, es decir, su punto inicial es el 
origen de arcos A(1; 0). En las representaciones 
siguientes se han utilizado segmentos dirigidos.
Definición I
El seno de un arco es la ordenada de su extremo.
Ejemplos:
y
6
V ,
Z il |7 O t"* 1 X6 \1 sen(—1)1 /
L ) \ Y - 1
ció/ ' — E
Definición II
El coseno de un arco es la abscisa de su extremo.
Teorema 1: V a e IR, se cumple:
-1 < sena <1 A —1 < cosa < 1
En efecto, si a es cualquier número real, entonces 
su extremo en la CT podrá ser cualquier punto de 
la CT. Los intervalos que contienen los valores del 
sena y cosa, se ilustran en la fig. (a) y fig. (b), res­
pectivamente.
Fig. (a)
T r ig o n o m e t r ía | 3 3
Sea la figura siguiente y consideremos que k e Z, 
planteamos el siguiente cuadro a manera de resumen.
CT B< ° j)
7 XA’( - 1 ; 0 Í J A ( 1 ; 0 )
B '(0 ; — 1 )
En el 
pun to
Se ubican los extrem os 
de los arcos de la form a E jem plos
A 2 k n
- 6 tc, —471, —2 ti, 0, 271, 
471, 67c, 8 ti, 1Ü7I
B 2 k n +'IL V ( 4 k + 1)IL 
2 2
ti 5 n 97t 1 3tc 17ti 
2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 
3ti 7n 11 ti 15tx 
2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 " "
A' 2 k n + 7i V (2 k + 1 )ti
71, 371, 571, 771, 971, ... 
—7i, —37:,—571,—7 ti, —9 ti,
B' 2k ji + 3 j ». (4k + 3 ) í 
2 2
371 7k 1 171 1571 1971 
2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 
71 5ti 9ti 1371 
2 ’ 2 ’ 2 ' 2 ’ "
Continuando en la figura, tenemos que si el extre­
mo de un arco se ubicaen el punto:
A o A', el seno tiene un valor de cero. 
Ejemplos:
senO = 0: sen?: = 0: sen2ir = 0 
se n (-5 ii) = 0; sen28n = 0
Se concluye que: | sen(kn) =~0~|; v k e Z
B, el seno tiene un valor Igual a la unidad. 
Ejemplos:
s e n ( ! ) = 1 ; sen
- 3 ;t 
2
= 1: senl
5 ti
2
41 TI 
2
1;
= 1;
s e n ( l f ^ = 1
Se concluye que: sen(2k7t - 1 Vk e Z
B’, el seno tiene un valor igual a -1 
Ejemplos:
13 n \ _
2 I “
s e n ( ^ ) = - 1
s e n / - 4 \ = —1 ■
L) = ~1
Se concluye que: sen(2kji + y ] = -1 v k e Z
B o B \ el coseno tiene un valor de cero 
Ejemplos:
c o s (^ ) = 0 ;
cos(~|~) = 0;
cos |--? l5 -J = 0
Se concluye que:
c o s íZ |2 L )= 0 ;
cos(2k + 1 )4 = o v k e Z
A, el coseno tiene un valor Igual a la unidad. 
Ejemplos:
cosO = 1 ; c o s 2¡t = 1 ; cos4rr = 1
cos(-6 ir) = 1; eos 100n = 1
Se concluye que: cos(2k7t) = 1 ; v k e Z
A', el coseno tiene un valor igual a -1 
Ejemplos:
c o s ti = - 1 ; cos3n = - 1 ; cos9n = - 1 
cos(-15n) = -1 ; c o s 4 5 t i = - 1
Se concluye que: cos(2kn + ti) = —1 1; v k e Z
Definición III
La tangente de un arco es la ordenada del pun­
to de intersección entre la recta tangente que 
pasa por el origen de arcos y la prolongación 
del radio o diámetro que pasa por el extremo 
del arco.
3 4 I C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
Definición IV
La cotangente de un arco es la abscisa del pun­
to de intersección entre la recta tangente que 
pasa por el origen de complementos y la pro­
longación del radio o diámetro que pasa por el 
extremo del arco.
Ejemplos:
y
V cotp B
y
cota V ’ B(0; 1) C O t j l /6
'"S ta /^~ 
/n i 4 \ í . a n . l i / 6
V 0 \ Ja x \ ° Ja x
— n/2
cotí
A la recta o que es la tangente a la CT en B(0; 1) 
se le suele denominar eje de cotangentes.
Teorema 2
tana elR; Va eIR - j(2 n + n e Z
cota eIR: Va g IR - {nii}; n e Z
Definición V
La secante de un arco es la abscisa del pun­
to de intersección entre la recta tangente que 
pasa por el extremo del arco y el eje x.
Ejemplos:
y
R /secp
~ \ . p
a \
y \ s
M 0 seca I x
\ P
qV —^ C J
P y Q: puntos 
de tangencia
y
F J z -
e / 7 3
s e c - i \
> 4 ) \ D
s e c ( | ) l ° 
C T ~ v '—
71 / y
- y S 'G
V " X
F y G: puntos
Definición VI
La cosecante de un arco es la ordenada del 
punto de intersección entre la recta tangente 
que pasa por el extremo del arco y el eje y.
Ejemplos:
y
C
p s/ a
1 C S C a V r
\c s c p
0 / X
CT—^
D
y
CT *-
il/2
/csc(§
V
V 0 JA / X— 17.14/
_ y r
csc( — rt/4)
G
(P y Q: ptos. de tangencia) (B y T: ptos. de tangencia)
Teorema 3
• seca < -1 v seca >1; Va e K —j(2n + 1)-|j; n e Z
• csca < -1 V csca > 1; Va e IR -{nn }; n e Z
SENOVERSO, COSENOVERSO Y EXSECANTE
El senoverso o verso de un arco 0 denotado 
por versO, se define:
/ 0 g 1Everso = 1 - cosO
El cosenoverso o coverso de un arco 0 deno­
tado por covO, se define:
V0 <covO = 1 - sen© : IR
La exsecante o secante externa de un arco 0 
denotado por exsecO, se define:
exsecO secO-1 ; v e e IR - |(2 n + 1)-|j; n e Z
0 < verse < 2 
0 < covO < 2
exsecO < - 2 v exsecO > 0
T r ig o n o m e t r ía ¡ 3 5
Gráficamente el verso de un arco es el seg­
mento dirigido en el eje x que parte del punto 
cuya coordenada es el coseno de dicho arco 
hacia el origen de arcos.
Ejemplos:
De la figura se cumple: 
versO = PA 
Ya que PA = A - P 
=> versO = A - P 
.-. versO = 1 - cosO
Gráficamente el coverso de un arco es el seg­
mento dirigido en el eje y que parte del punto 
cuya coordenada es el seno de dicho arco ha­
cia el origen de complementos.
Ejemplo:
De la figura se cumple:
covO = QB
Ya que QB = B - Q 
=> covO = B - Q 
covO = 1 - seno
Gráficamente la exsecante de un arco es el 
segmento dirigido en el eje x que parte del ori­
gen de arcos hacia el punto cuya coordenada 
es la secante de dicho arco.
Ejemplo:
De la figura, P es punto de tangencia y se 
cumple: 
exsecO = AR 
Ya que: AR = R - A 
=> exsecO = R - A 
exsecO = secO -1
1. Decir si son falsos (F) o verdaderos (V) los si­
guiente enunciados:
I. Las funciones seno y coseno son negati­
vas en el tercer cuadrante y crecientes en 
el cuarto cuadrante.
II. No existe función trigonométrica alguna 
de un ángulo del segundo cuadrante que 
sea positivo y aumenta a medida que el 
ángulo crece.
III. Solo existe una función que puede tomar 
el valor de 3,8 y ser positiva en el tercer 
cuadrante.
Resolución:
Analizamos cada proposición:
I. Está proposición es verdadera. Las fun­
ciones seno y coseno son negativas en el 
INC. En el IVC ambas funciones son cre­
cientes.
II. Esta proposición es falsa. Ya que la fun­
ción secante es positiva y creciente en el 
segundo cuadrante.
III. Esta proposición es falsa. Ya que las fun­
ciones tangentes y cotangentes son positi­
vas en el tercer cuadrante y cualesquiera 
de estas pueden tomar el valor de 3,8.
.-. VFF
2. Cuando el ángulo x aumenta de 90° a 180°, 
¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
a) El seno aumenta
b) El coseno aumenta
c) La cosecante aumenta
d) La secante disminuye
e) La cotangente aumenta
Resolución:
Si x varia de 90° a 180° estamos en el segun­
do cuadrante, entonces:
a) El seno varía de 1 a 0
b) El coseno varía de 0 a -1
c) La cosecante varía de 1 a +oo
d) La secante varia de - o c a -1
e) La cotangente varía de 0 a —00
Rpta:. c
3. En la circunferencia trigonométrica se pide 
indicar el valor de: OC + DB, en función del 
ángulo a. \
Resolución:
Como se trata de la CT, entonces OD = OA = 1 
OC = csccí y DB = cota.
3 6 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
OC + DB = csca + cota
_ 1 , cosa
sena T sena
_ 1 + COS a 
sena
[ jE J E R C IC IO S PROPUESTOS l
1. ¿Cuál de los siguientes valores es el mayor?
a) sen40° b) sen100° c) sen160°
d) sen220° e) sen280°
2. ¿Cuál de los siguientes valores es el menor?
a) cos20° b)cos100° c)cos160°
d)cos260° e) cos320°
3. En la CT hallar el área de la región sombreada:
a) sena
b) cosa
c) 1/2sena
d) 1/2cosa
e) 1
4. En la circunferencia trigonométrica mostrada: 
cose = 2/3 y OM = MB. Calcular el área de la 
región triangular OMP.
a) 1/6
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/2
e) 2/3
5. Si: ji/2 < x < y < n, entonces:
I. senx > seny
II. cosx < cosy
III. senx< cosy
Son verdaderas:
a) Solo I b) Solo II c) Solo III
d) I y II e) I y II
2 k 1
6. Hallar los valores de k, si: cos8 = — - —
a) [-1 ; 2] b) [ -2 : 1] c) [ - 3 ; 2]
d) [-1 ; 3] e) [ -1 ; 1]
2a — 37. Si: senx = — - — : hallar la suma de todos los
5
valores enteros que pueden tomar a. 
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
8. Calcular AB, donde A y B representan los va­
lores mínimo y máximo de la expresión:
P = 5 - 3cosx
a ) -1 5 b) —6 c) 8 d) 15 e) 16
3k 4- ?
9. Si: 9 e INC y cos9 = — y — , hallar el intervalo 
de k.
a) (-5 ; 3) b) (0: 2/3) c) (-3 ; 2/3)
d) (-2 /3 : 0) e) (3: 2/3)
10. SI a y 9 son arcos diferentes, calcular la dife­
rencia entre los valores máximo y mínimo de
la expresión:
Q = 2 s e c (- |j - sen2a + 2cos20
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
11. Indicar si es verdadero (V) o falso (F):
I. sen2 < sen3
II. cos5 > cos6
III. sec4tan6 > 0
a) VVV b) FFV c) FVF
d) VFF e) FFF
12. Del gráfico, calcular el área de la región som­
breada, si: BP = PQ = QB'
a) (1/3)sen0
b) (1/3)cos0
c) (~1/3)sen8
d) (-1/3)cos0
e) (-1/6)sen0
13. De la figura, calcular d. 
a) _ s e n 0 _
1 + COS0 
cos8 
1 + sen9 
sen9—
1 - cose 
cose 
1 + sen8
T r ig o n o m e t r ía ¡ 3 7
14. Calcular el valor de:
r- /senx - 1 + /cosx + 1
para: x = nl2
a) 1/2
d) 1/5
/senx + 8
b) 1/3 
e) 1/6
c) 1/4
15. SI: — < x < — . indicar la variación de:
a) [4; 5]
d )]4 ,5 ]
2senx + 3
b) ]4, 5[ 
e) ] 4, 5]
c) [4, 5[
16. En ia CT hallar el área de la reglón sombreada:
a) sena
b) cosa
c) (1/2)sena
d) (1/2)cosa
e) 1
17. SI: sena = 0,8
a) 3
b) 4
c) 5
d) 0,8
e) 0,6
18. Si: x < 3n
2 4
son verdaderas:
I. senx > cosx
II. sen2x > cos2x
III.senx -c o sx < 0
indicar qué proposiciones
a) Solo I 
d) I y III
b) Solo II
e) I y II
c) Solo I
19. Simplificar la expresión:
/ cosx - 1 + feosx + 3E =
/senx + 1para: x = 0
a) 1 b) (2/2 c) (2
d) 2 e) 1/2
k — 120. Hallar los valores de k, si: sen0 = -------
2
a) [ - 1 ;1 ] b) [ -1 ; 2] c) [-1 :3 ]
d) [ -2 ; 3] e) [ -1 ; 4]
21. Determine el Intervalo de k, si se cumple la 
siguiente Igualdad:
2 cosx - 1 _ k + 2 __ k - 1 
3 2 3
a) [-1 4 : 6] b) [—13; —5] c) [-1 2 ; 4]
d) [4; 12] e) [5: 13]
3a — 122. Si: cosx = ---------- . calcular la suma de todos
2
ios valores enteros de a.
a) - 2 b) -1 c) 0
d) 1 e ) 2
23. Si: 0 £ IVC y sen0 = a ~ ^ , cuántos valores
5
enteros puede tomar a.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
24. SI: 0 £ IIC y cosO = ^ ~ ^ , hallar el intervalo 
de k. 5
a) [-2 : 8] b) [ -2 : 3] c) ( -2 ; - 3 )
d) ( -2 : 8} e) [2; -3 ]
tn 1. b 6. a 11. b 16. b 21. a
u 2. c 7. d 12. d 17. e 22. d
<r 3. a 8. e 13. c 18. e 23. b
j
□
4. a
5. a
9. c 
10. b
14. b
15. d
19. d
20. c
24. b
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN MISMO ARCO
Identidades trigonométricas Identidades trigonométricas
recíprocas por cociente
senxcscx = 1 
cosxsecx = 1 
tanxcotx = 1
Identidades
pitagóricas
• tanx = senx
cosx
• cotx = cosx
senx
Identidades trigonom étricas 
auxiliares
sen2x + cos2x = 1 
1 + tan2x = sec2x 
1 + cot2x = csc2x
cYlata/:--------
Despejando:
• sen4x + cos4x = - 2sen2xcos2x
• sen6x + cos6x = - 3sen2xcos2x
• tanx + cotx = secx esex
• sec x + esc x = sec xese x
• (1 ± senx ± cosx) = 2(1 ±senx)(1 ±cosx)
sen29 + cos20 = 1
sen2© = 1 - cos20 senG) = (1 + cos6)(1 - cos0)
Asimismo:
eos O = 1 - sen 0 =» eos 0 =(1 +sen8)(1 -senG)
identidades auxiliares
- 2sen 0cos 0 
sen60 + eos6© = 1 - 3sen20cos20 
tan0 + cot0 = sec9csc0 
sec20 + csc20 = sec20csc20 
(1 + senG + cosG) = 2(1 + sen0)(1 + cos0)
Demostraciones
sen20 + cos20 = 1 
Ai cuadrado: (sen20 + cos2i
sen 0 + eos 0 = 1
Al cubo: (sen20 + cos20)3 = 13
sen60 + cos60 + 3(sen20cos20)(sen20 + cos20) = 1
1
sen 60 + cos60 + 3sen20cos20 = 1
=» sen20 
tan6 + cote =
cos20 = 1 - 3sen20cos20 
senO , cos0
cose sen0
tan0 + cot0 = 
tanO + cote =
cosGsenG
1
cosGsenG 
tanG + cote = sec0csc0
sec20 + csc20 = — 1—- h------i -
cos 6 sen 0
sec20 + csc20 = .sen20 + cos2e 
i 2e 
1
(1 + senO + cose)2
= 12 + (sen0)2+ (cos0)2+ 2sen0 + 2cos0 + 2sen0cos0 
= 1 + sen20 + cos20 + 2sen9 + 2eos0 + 2sen9cos9 
= 2 + 2sen0 + 2cos0 + 2sen0cos9 
= 2(1 + senG) + 2cos0(1 + senO)
= (1 + sen0)(2 + 2cos0)
= 2(1 + sen0)(1 + eos©)
=» (1 + sen0 + cosG)2 = 2(1 + sen0)(1 + cos9)
PROBLEMAS PARA DEMOSTRAR
Demostrar una identidad consiste en que ambos 
miembros de la igualdad propuesta sean equiva­
lentes, para lograr dicho objetivo se siguen los si­
guientes pasos:
1. Se escoge el miembro más complicado.
2. Se lleva a senos y cosenos (por lo general).
3. Se utilizan las identidades fundamentales y 
las diferentes operaciones algebraicas.
Ejemplos:
1. Demostrar: secx(1 - sen2x) - esex = cotx 
Resolución:
Se escoge al 1.er miembro: 
secx(1 - sen2x)cscx 
Se lleva a senos y cosenos:
1 1-(eos x )-
Se efectúa: cosx- 1
Demostrar: 
[secx + tanx
= cotx = cotx
1][1 + secx - tanx] = 2tanx
T r ig o n o m e t r ía | 3 9
Resolución:
Se escoge el 1 ,er miembro:
[secx + tanx - 1][secx - tanx + 1] =
[secx + (tanx - 1)][secx - (tanx - 1)]
(secx)2 - (tanx - 1)2 =
(1 + tan2x) - (tan2x - 2tanx - 1) =
1 + tan2x - tan2x + 2tanx -1 =
2tanx = 2tanx
PROBLEMAS PARA SIMPLIFICAR Y REDUCIR 
Ejemplos:
1. Reducir: K = sen4x - cos4x + 2cos2x 
Resolución:
Por diferencia de cuadrados:
K = (sen2x + cos2x)(sen2x - cos2x) + 2cos2x 
K = sen2x - cos2x + 2cos2x
K = sen2x + cos2x => K = 1
2. Simplificar: E = 1±_22§2Í------------ —
senx 1 - cosx
Resolución:
1 - cos2x
(1 + cosx)(1 - cosx) - (senx)(senx)
senx(1 - cosx)
¡- sen2x - sen2x 0t = ------------------------- => t = ------------------------
s e n x ( l- c o s x ) s e n x (1 -c o s x i
=> E = 0
PROBLEMAS CONDICIONALES
Dada una o varias condiciones se pide hallar una 
relación en términos de dicha o dichas condiciones.
Ejemplo:
-1
Si: senx + cosx = —; hallar: senxcosx 
2
Resolución:
Del dato al cuadrado: (senx + cosx)2 =
sen2x + cos2x + 2senxcosx = —
4
3 3 2senxcosx = — => senxcosx = ——
4 8
PROBLEMAS PARA ELIMINAR ÁNGULOS
La idea central es eliminar todas las expresiones 
algebraicas y que al final quede relaciones inde­
pendientes de la variable.
E jem plo:
Eliminar x, a partir de: senx = a a cosx = I 
Resolución:
De senx = a => sen2x = a2 
cosx = b => cos2x = b2 
Sumamos: sen2x + cos2x = a2 + b2 
1 = a2 + b2
EJERCICIOS RESUELTOS
Si cosx + senxtanx = 1,2; ¿cuánto vale secx? 
Resolución:
cosx + senxí senx ) = 1,2 
' eos x 1
cosx + = 1,2 =* cos2x + sen2x = i 2
cosx cosx
1 = 1.2 =• secx = 1,2
oua A
¿Qué función trigonométrica deberá es­
cribirse en vez de M para que la ecuación
tana + cota = Mseca se transforme en una
identidad?
Resolución:
tana + cota = Mseca
sena cosa _ M / _ l _ \
cosa sena ~ \cosa I
senacosa ' cosa 
1 M
senucosu cosa
M = csca
Hallar las expresión equivalente de:
secx - cosx 
esex - senx
Resolución:
secx - cosxSea: F ¡
esex - senx 
1 .
- - cosx cosx 
1 - sen2x 
senx
F _ _cos¿<_ _ sen^x ^ F = tan3x
4 0 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
4. Simplificar la expresión:
E =(tanx + tany)(1 - cotxcoty) +
(cotx + coty)(1 - tanxtany)
Resolución:
E = (tanx + tany)(1 - cotxcoty) + (cotx + coty)(1 - tanxtany) 
Á B
Efectuamos la expresión A:
A = tanx + tany - coty - cotx
Efectuamos la expresión B:
B = cotx + coty - tany - tanx 
Como: E = A + B => E = 0
5. Hallar el valor numérico de la siguiente expre­
sión: x 3
tan x + cot x
sec2x + cot2x - 2 
sabiendo que: 4tanx = 3
Resolución:
Dato: tanx = 3/4
Como: sec2x = 1 + tan2x, entonces:
£ _ tan3x + cot3x 
tan2x + cot2x - 1
(tanx + cotx)(tan2x - tanxcotx + cot2x) 
(tan2x + cot2x - 1 )
E = tanx + cotx = f + § = f §
6. Simplificar: cosxcotx - senxtanx
cscx - secx
Resolución
eos x cot x - senx tan xSea: F =
cscx - secx
 cosx i senx\cosxí ) — s e n x ]
senx cosx
senx
cosx - senx 
senxcosx
cosx - senx
F = senxcosx 
cosx - senx
senxcosx
cosx - senx )(cos2x + cosxsenx + sen2x) 
cosx - senx
F = cos2x + senxcosx + sen2x 
F = 1 + senxcosx
[ " e jer c ic io s propuestos” !
1. Simplificar:
A = 16(sen6x + cos6x) - 24(sen4x + cos4x) + 
1 0(sen2x + cos2x)
a) 0 
d) - 2
b) 1
e) 2
c) - 1
Si: tanx + tan2x = 1, calcular: S = cotx - tanx
a) 0 
d) 3
b) 1 
e) 4
c) 2
3. Reducir:
U = (1 + sen2x)2 + 2(1 + sen2x)(1 + cos2x) +
(1 + cos2x)2
a) 0 
d) 9
4. Simplificar: R =
a) 1 
d) 9/2
b) 4 
e) 27
c) 3
sec4a (1 - sen4a) - 2 tan2a
csc4a (1 - cos4a) - 2 cot2a
b) 2 c) 4
e) 5
5. Reducir: Y = cosx + cosx - secx
1 + senx 1 - senx
a) senx b) cosx c) secx
d) cscx e) tanx
6 . Simplificar: 
tan2x + cot2x - 2 tan2x + cot2x + 1J =
a) 1 
d) 4
tanx + cotx - 2
b) 2 
e) 5
tanx + cotx + 1 
c) 3
157. Si: senx - cosx = —
5
calcular: A = 5senxcosx - 1
a) 0 
d) 5
b) 1 
e) 1/5
c) 3
8. Calcular a + b, de: 
1 , 1
1 + sene cscG - 1
= a + btan
a) 1 
d) 4
b) 2 
e) 5
c) 3
T r ig o n o m e t r ía | 4 1
Calcular el valor de:
sen4x - cos4x - 1M =
a) - 2 
d) 1
sen x - eos x + 1 
b) -1
e) 2
c) 0
10. Si: sen x + eos x - 1 _3_
‘ 16
calcular: senxcosx
a) +2 
d) +4
b) ±1/2 
e) ±1/8
c) ±1/4
11. Eliminar x, s¡: senx - sen x = m 
cosx - cos3x = n
a) m2 + n2 = 3/mñ b) m2 - n2 = 3Vmñ
c) m2 + n2 = 3Vmñ2 d) m2
e) m2 - n2 = m2n2
12. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres­
ponda:
I. sen70° > sen170°
II. c o s í00° > cos200°
III. sen60° = cos300°
IV. sen250° > cos250°
a)V V V F 
d)FV V F
b) VFVF 
e) FVFV
c) W F F
13. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres­
ponda:
I. sen1 > cosí
II. co s6 > co s5
III. sen3 > sen2
c) VVF
14. Si: senx = 3m - 1, determine el Intervalo de m.
a) V W 
d) FVF
b) VFV 
e) FFV
a) [ -1 ; 1] b) [-2 /3 ; 2/3] c) [0; 2/3]
d) [-1 :2 /3 ] e) [—1; 0]
15. Determine el intervalo de k, si: 2cosx = 5k + 1
b> [ - H ] ° > [ - H I
d ) | - ° "
1. 11 b ) l 2. 15 ’ 5] 5 ’ 5
3. 1 1 6 ) |ío- ¿ l5 ’ 5j l0 ’ 5]
16. Del gráfico mostrado,calcular el área de la re­
gión sombreada:
a) (1/2)sen9
b) (1/4)sen0
c) (3/2)sen0
d) (3/4)sen0
e) (5/4)sen9
17. Reducir:
J = (1 - cos2x)(1 + cot2x) +
a) 0 
d) 1
18.
19.
Hallar n, en: tan29 - sen20
(1 - sen2x)(1 + tan2x)
b) - 2 c) 2
e) -1
2o
a) 1
d) senO
b) sen20 
e) cos0
: ntan 0
c) COS20
Del gráfico mostrado, calcular el mínimo valor 
deAC.
a) a B
b) 2a
c) 3a
d) 4a
e) 5a
20. Eliminar©, si: sen© ± eos© = n
sen30 + cos39 = m
,3a) 3n = 2m ± n3 
c) m + n = mn 
e) 3mn = n2 + m2
b) 3m = 2n ± m 
d) n3 - 2m = 3mn
1. e 5. c 9. b 13. c 17. c
2. b 6. c 10. b 14. b 18. b
3. d 7. b 11. c 15. d 19. c
4. a 8. c 12. c 16. d 20. a
ARCOS COMPUESTOS
PARA LA SUMA DE DOS ARCOS
sen(a + (3) = senacosp + cosasenp 
cos(a + P) = cosacosp - senasenp 
tana + tanp
tan(a+ p) :
COt(a+ P) =
1 - tanatanp 
cota cotp - 1 
cota + cotp
Ejemplos:
1 . Calcular: sen67° 
sen67° = sen(30° + 37°)
= sen30°cos37° +
“ 2 X 5 ' 2 5
cos30°sen 37°
sen67° 4 + 3 /3 
10
Calcular: cos75°
cos75°
cos75D
cy io ta /:—
= cos(30° + 45°)
=cos30°cos45° - sen30°sen45°
V3 V2
~2~ T 
/6 - ¡2
. 1 , 1 1 
2 " 2
PARA LA DIFERENCIA DE ARCOS
sen(a - p) = senacosp - cosasenp 
cos(a - P) = cosacosp + senasenp 
tana - tanp
tan (a - p) = 
cot(a - P) =
1 + tanatanp 
cota cotp + 1 
cota - tanp
Ejemplos:
1. Calcule: cos7°
cos7° = cos(60° - 53°)
= cos60°cos53° + sen60°sen53°
c o s r = 1 X | + f x | =
2 5 2 5 10
2. Calcular: tan16° 
tan16° = tan(53° - 37°)
tan53 - tan37tan 16°
1 + tan53 tan37 
7
tan16° =
4 _ 3 
3 4
1 + 1 , 3 24
3 4 12
= 1 2 ^ tan16o = X
24
cVloia:-
Z 7 4 2
2 5 X
7
24
IDENTIDADES ADICIONALES
senía + p)sen(a - P) = sen2a -s e n 2p
cos(a + p)cos(a - P) = cos2a - sen2p
sen(a ± 3)
tana ± tanp = -
cosacosp
tana + tanp + tanja+p)tanatanp = tan (a + p)
cYlata
Siendo a y b números reales, x variable real, 
se cumple:
asenx + bcosx = 'la2 + b2 sen(x - 0)
bDonde: senO = 
COS0
la ^Tb2
. a
/a 2 + b2
T r ig o n o m e t r ía | 4 3
Ejemplos:
senx + ¡3 cosx = 2sen(x + 60°) 
* senx - cosx = /2 se n (x - 45°)
Siendo f(x) = asenx + bcosx; x eIR se cumple:
- /a 2 + b2 < f (x ) < -¡a2 + b2
Ejemplos:
- 2 < /3 senx + cosx < 2
- (5 < 2senx - cosx < ¡5
- -ÍY3 < 3senx + 2cosx < /i~3
Si A + B + C = k, se cumple: 
tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC 
cotAcotB + cotAcotC + cotBcotC = 1
SI A + B + C = ji/2, se cumple: 
cotA + cotB + cotC = cotAcotBcotC 
tanAtanB + tanBtanC + tanAtanC = 1
En forma general, si A + B + C = kn (k e Z ) o 
A + B + C = (2k + 1)-| (k e Z ) las relaciones de! 
teorema anterior siguen siendo válidas.
EJERCICIOS RESUELTOS
Si: a - b = ji/3; calcular:
P = (cosa + cosb)2 + (sena + senb)2 
Resolución:
P = (cosa + cosb)2 + (sena - senb)2 
P = cos2a + 2cosacosb - cos2b + sen2a +
2senasenb + sen2b 
P = 2 + 2(cosacosb + senasenb)
P = 2 + 2cos(a - b)
Dato: a - b = n/3
P = 2 + 2cosí/M = 2 + 2
1 3 ' \2
si: a + b + c = ?t/2, hallar el valor de: 
tanatanb + tanatanc + tanbtanc 
Resolución:
Si: a + b + c = n/2
a + b = - | - c ^ tan(a + b) = tan(-^ - c)
tana + tanb , 1 = cote = -------
1 - tanatanb tanc
(tana + tanb)tanc = 1 - tanatanb 
tanatanc + tanbtanc + tanatanb = 1
Simplificar:
E = cos(180° - x) sen(90° + y) +
sen(180°- x) cos(90° + y)
Resolución:
cos(180° - x) = -cosx ; sen(180° - x) = senx 
sen(90° + y) = cosy; cos(90° + y) = -sen y
Reemplazando:
E = -cosxcosy + senx(-seny)
E = -(cosxcoy + senxseny)
E = -co s (x - y)
b = 60°, hallar el valor 
sen2b
Si a - b = 45° y a 
numérico de: sen2a
Resolución:
Dato: a + b = 45° y a - b = 60°
sen2a - sen2b = sen(a + b)sen(a - b)
j2 ñ íb
= sen45°sen60° = — x — = — 
2 2 4
Calcular el valor natural muy aproximado del 
sen23°.
Resolución:
sen23° = sen(60° ■37°)
sen23° = sen60°cos37° - cos60°sen37°
“ n 23- ( f ) ( l ) - ( 5) ( I
sen23° 4 / 3 - 3
10
6. Si: tan(x + y) = 33 A tany = 3 
encontrar el valor de tanx.
Resolución:
tan(x + y) = 33 
tanx + tany
1 - tanxtany 
tanx + 3
33, dato: tany = 3
1 - 3tanx 
tanx + 3 = 33 - 99tanx 
tanx + 99 tanx = 3 3 - 3 
100tanx = 30 =* tanx = 0,3
Si: a + b
R =
225°, calcular el valor de: 
co taco tb 
(1 + cota)(1 + cotb)
4 4 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
Resolución:
cot(a + b) = cot225° cotacotb - 1
cota + cotb 
co ta co tb -1 = cota + cotb ...(1)
R :
= 1
cotacotb
1 + cota + cotb + cotacotb 
cotacotbDe (1): R =
R =
1 + cotacotb - 1 + cotacotb 
cotacotb _ J_
2cotacotb 2
1tan9
Simplificar: P =
cot(4> - 6)
1 - - tan0
cot(<(> - 0)
Resolución:
La expresión P es equivalente a la siguiente: 
tan9 + tan(ij> - 0)
1 - tan0tan((j> - 9)
Esta expresión es el desarrollo de la tangente 
de una suma de dos ángulos, es decir:
P = tan[0 +(<)>- 0)] = tan<j>
[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS□
1. Del gráfico, calcule tanO.
a) 9/19
b) 1/10
c) 21
d ) 1/21
e) 9/10
2. Si: ABDE es un cuadrado, además: BC = 3; 
CD = 2: AF = 1, calcule: tan0
a) -3 /7
b) -7 /3
c) 3/7
d) 7/3
e) -1 /1 0
3. Calcularel valorde: N =sen10°+tan40°cos10°
a)sen20° 
d) tan10°
b)2sen20°
e) 2
o)1
4. Calcular: tanx, si:
sen4xcos5x + cosx = sen5xcos4x
a) -1 
d) 2
b) 1 
e) 3
c) - 2
5. Si se cumple: 2sen(x + y) = 3sen(x - y) 
calcular: tanxcoty
a) 1/5 
d) -1 /5
b) 5 
e) 1
c) - 5
6. Si: ta n (2 a - p ) = 3 A ta n (2 p - a ) = - 2 
calcular: tan(a + P)
8)1
d) -1 /7
b) -1 
e) -7
c) 1/7
7. Calcule:
R = tan36° + tan24° + (3 tan36°tan24°
a) 1
d) ían12°
b) ¡3 
e) 2(3
c) (312
Calcular: S = (1 + tan35°)(1 + tan10°)
a) 1
d) - 2
b) 2 
e) 3
c) — 1
9. Calcule el máximo valor de:
E = 3 + 2senx + (5 cosx
a) 0 b) 3 c) 5
d) 6 e) 12
sen(x + y) + sen(x - y)
10, Reducir: A =
a) tanx 
d) cotx
11. Simplificar: A =
cos(x - y) - cos(x + y)
b) coty 
e) 1
a) senx b) cosx
d) (6se m e) (6 cosx
c) tany
</2sen(45 + x ) - c o s x 
(3 senx + 2 eos (60 + x ) 
c) tanx
12. Reducir: E =
a) 1/2 
d) 2
sen48°cos12° + sen12°cos48° 
sen33° eos 3o - sen3° eos 33°
b) 1 
e) (3
13. Calcular el valor de: S =
a) 0,5 
d) 2
b) 1 
e) 2,5
c) (312
tan32 + tan 13 
1 - tan32 tan 13
c) 1,5
T r ig o n o m e t r ía | 4 5
14. Reducir:
R = cos(21° + x)cos(16° - x) -
sen(21° + x)sen(16° - x)
a) 0 b) 4/5 c) 3/5
d) senx e) sen(37° + x)
sen(a - 6)
15. Reducir: P = ta n a -
cosa cosp
a) tana b) tanp c) sena
d)senp e) senasenp
16. Si cote = 1/4, calcule: tan(45° + 0)
a) -1 b) - 3 c) -5 /3
d) 3 e) -4 /3
17. Del gráfico, calcule: tañe
a) 1
b) 13/15
c) 7/17
d) 17/7
e) -1
18. Reducir: M = -/3cos20° + sen20°
a) sen80° b) cos80° c) 2sen80°
d)2cos80° e) 2sen40°
19. Calcule el menor valor de x (agudo) en:
cos35 eos 15 -s e n 3 5 s e n 1 5
a) 20° b) 30° c) 40°
d) 25° e) 70°
20. Calcular el valor de m, si:
mtan50° = tan70° - tan20°
a) 1/2 b) 1 c) 3/2
d) 2 e) -1
1. a 5. b 9. d 13. b 17. c
2. b 6. c 10. b 14. b 18. c
3. e 7. b 11. c 15. b 19. c
4. b
_Qcó 12. e 16. c 20. d
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
Una función trigonométrica de un número real cual­
quiera puede expresarse como función de un nú­
mero real del primer cuadrante. Esto puede mos­
trarse a partir de ciertas fórmulas de reducción que 
se-deducen a partir de las identidades de arcos 
compuestos dando valores particulares.
Recordemos que:
cos(a + p) = cosacosp - senasenp
Si sustituimos a por nl2 obtenemos:
co s (-| + p) = cos(-|)cosp -s e n ( - |)s e n p
y como: co s (-|) = 0 y se n (-|) = 1
eos + p ) = -senp
Ahora si en dicha relación reemplazamos p por
— - 0, tenemos:
2
cos( — + - 0) = - sen(-£ - 0
' 2 2 / \ 2
cos(7t - 0) = -cosO
REGLAS PRÁCTICAS DE REDUCCIÓN AL PRIMER 
CUADRANTE
Para razones trigonométricas cuyos ángulos sean 
de la forma: 90° ±cc, 270° + a , 180° + a, 360° + a
RT/90 ± a = +CORT(a)
\270 ± a)
RT/180” — a = +RT (o )
'360° ± a l
Para determinar el signo (+) o ( - ) del segundo 
miembro se asume que a sea agudo (así el va­
lor que tenga no lo sea), con el fin de determinar 
el cuadrante del ángulo del primer miembro y así 
establecer el signo que le corresponde a la razón 
trigonométrica de dicho ángulo.y 90°
90° + a 90° - a
180° - a 360° + a
180° 0°,
360°
180° + a 270° + a
270° - a 360° - a 
270°
cVLoia: •------------ --------------------------------
Signos de las razones trigonométricas 
+ 90°
'( + )
180°
tan
cot (+ )
Todas
(+)
■360°
eos
sec
270°
( + )
Ejemplos:
sen(270° - a) = -coso 
e li lC
sec(180° + a ) = -s e c a 
e li lC
cot(270° + a ) = - ta n a 
E lV C
tan240° =
tan(180° + 60°) = +tan60° 
e l IÍC
tan(270° - 30°) = +cot30° 
e l ÍÍC
cos310° =
cos(270° + 40°) = +sen40° 
e lV C
cos(360° - 50°) = +cos50° 
e lV C
Para razones trigonom étricas cuyo ángulo es 
de la forma: 360°n + a ; n e Z
Se tiene: RT(360°n + o) = RT(a); n e Z
Ejemplos:
cosí 172° = cos(360“ x 3 + 92°) = cos92° 
= cos(90° + 2 ) = -sen2°
tan755° = tan(360° y 2 + 35°) = tan35°
csc(-1390°) = csc(-1440° + 50°)
= csc[360 / ( -4 ) + 50o]
= csc50°
sec39 605°= sec(360° x 110 + 5°)
= sec5°
T r ig o n o m e t r ía | 4 7
Para razones trigonométricas de ángulos negativos
Recordemos que:
cos(p - a ) = cos¡3cosa + senpsena 
Si p = 0, tenemos:
c o s (-a ) = cosOcosa + senOsena 
Como cosO = 1 y senO = 0
Entonces:
Asimismo:
c o s (-a ) = cosa
s e n (-a ) = -se n a
Por identidades fundamentales tenemos: 
s e n ( -a ) sena
ta n (-a ) =
c o s ( -a ) cosa
Se concluye: ta n (-a ) = - ta n a
Análogamente se obtienen:
c o t(-a ) = -c o ta 
s e c (-a ) = seca 
c s c (-a ) = -csca
Ejemplos:
se n (-1 3 0 °)= -sen130° = -sen(180° - 50°)
e lIC
= -(+ sen50°) = -sen50°
tan(-762°) = -tan762° = -tan(360° a 2 + 42°) 
= -tan42°
sec(G - 270°) = sec[-(270° - 0)]
= sec(270° - 0] = —cscO
I - 3ji 3ti
= c o s ( i + — ) = - s e n /— ) 
' 2 1 0 ' '1 0 '
Propiedades:
1. SI: a 4 p = 180° 
Se cumple:
sena = senp 
cosa = -cosp 
tana = -tanp
Demostración:
De la condición tenemos: a = 180° - p 
=> cosa = cos(180° - p) = -cosp 
e¡IC
cosa = -cosp 
Análogo para las restantes.
Ejemplos:
se n140°= sen40° 
cosí 70° = -c o s í 0°
• tan135° = -tan45°
’ C0S( f ) = - C° S( t )
 ___ / 4 ji
2. Si: a 4 p = 360° 
Se cumple:
sena = -senp 
cosa = cosp 
tana = -tanp
Ejemplos:
sen320° = -sen40° 
cos345° = cosí 5°
eos i 7 714 / = C0S( f )
tan ( ^ ) = - tan ( f )
cot 5ji = - cot/
csc(x 4 290°) = -csc(70° - x )
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar la expresión: F
se n (-|) 4 tan2x - /2
1 4 cos3x
cuando x = 210° 
Resolución:
Para: x = 210° 
p _ sen 105 4 tan420 - -Í2 
1 4 eos 630
sen 1 05 °= sen75° = ■Í6 + -Í2
tan420° = tan(360° 4 60°) = tan60° = Í3 
cos630° = cos(7 x 90°) = 0
F _ ^6 4 /2 | [ñ - ^ + 4 / 3 - 3 / 2 
4 4
Encontrar el valor de la siguiente expresión: 
sen150°tan225°cos(-210°)
F =
s e n (- 120°)cos(-315°)tan300°
4 8 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
Resolución:
• sen150° = sen30° = 1/2
• tan225° = tan(180° + 45°) = tan45° = 1
• cos(-210°) = cos210° = cos(180° + 30°)= - c o s 3 0 ° = - / j / 2
sen(-120°) = -sen120° = -sen60° = -7 3 /2
cos(-315°) = cos315° = cos(360° - 45°) 
= cos45° = 72/2
• tan300° = tan(360° - 60°) = -tan60° = - 73
Reemplazamos:
3. Calcular el valor de la siguiente expresión:
P _ sen670 xcos310 xsec250 xsen200
sen130 xcos50 x cosí 80
Resolución:
sen670° = sen(720° - 50°) = -sen50° 
cos310° = cos(360° -5 0 °) = cos50° 
sec250° = sec(270° - 20°) = -csc20° 
sen200° = sen(180° + 20°) = -sen20° 
sen130° = sen50° 
cosí 80° = -1 
Reemplazando:
(-s e n 5 0 )(cos50 ) (-c s c 2 0 )(-se n 20 )
(sen50 )(cos50 ) ( - 1)
Simplificando: F = 1
4. Si sen16° = 7/25, calcular: tan2954° 
Resolución:
tan2954° = tan(360° x 8 + 74°) = tan74° = cotí 6° 
=> tan2954° = cotí 6° = 24/7
5. Si: tanx + coty = 2; x + y = n, hallar: cotx 
Resolución:
Como: x + y = ti => y = k - x 
=> coty = -c o tx
Reemplazando:
•i
tanx - cotx = 2 => — — - cotx = 2 
cotx
1 - cot2x = 2cotx =» cot2x + 2cotx - 1 = 0
cotx = ~ 2 ± 2 ^ = cotx = -1 ± 72 
2
[~ E J E R C IC IO S PROPUESTOS "] 
/ 3 71tan ( re + x )cos '
Reducir: A =
cot|-^T - x jsen (360 - x )
a) 1 b) 0 c) -1
d) 1/2 e) -1 /2
2. Calcular: E = 3csc150° + tan225° - sec300°
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e ) 5
3. Simplificar:
A = sen170°csc190° + 6sen150° - 2cos180°
a) 1 b) 2 c) 3
d ) 4 e ) 5
4. Si: x + y = 180°. calcular:
taní-^-)
^ _ 2senx ' 2 '
S6ny c o t í^
a) 2 b) 3 c) -1
d) - 2 e) 0
Calcular: A = ^ !an1485 + 4cos2100
cosí 20
a ) -1 4 b) 14 c) -1 2
d) 12 e) -1 0
6. Reducir la expresión
i o- 3 rn .Q I ^2sen(67i + x) + 3 c o s (4 r - x
E =
sen(47t - x)
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2 e) - 2
Simplificar: A =
cos(f + X) tan(2jl ■
s e n ( -x ) ta n ( - x )
a) 1 b) 2 c) -1
d) - 2 e) 0
cos(207i + x) ta n (4 1 n -x ) 
8. Reducir: A = — -— +
c o s ( -x ) c o t ( ^ - x
T r ig o n o m e t r ía | 4 9
a) -1 
d) 1
b) - 2
e) 2
c) 0
9. Calcular:
A = 4cos(-120°) - 3cot(-315°) + 4sec(-300°)
a) 1
d) - 3
b) 2 
e) - 2
c) 3
10. Dado un triángulo ABC, calcular: 
sen(A + B) 2tan(B + C)
senC tan A
a) 1
d ) - 1
b) 2 
e) - 2
c) 3
11. Si: x + y = 2n, calcular:
A = senx + ta n (- |) ■ seny + t a n ^
a)senx 
d) -2 ta n (
12. Calcular: 
A = 2tan
a) 1
d) 4
b)2senx 
e) 0
c) - ta n (
■^T) + sen(C ^ x jsec(7i - x) + 3sen(-^ )
b) 2 
e) 5
c) 3
13. Simplificar:
2sen(100 + x ) 3tan(240 - x )
sen(80 - x )
a) 1
d) 4
b) 2 
e) 5
tan(120 + x ) 
c) 3
14. Calcular:
A = 2tan43 4 3 ^ ) - 2 c o s 1 4 7 ti + 6sen(61-
a) 1
d) 4 
15. Si a -
b) 2 
e) 5
c) 3
- (3 son suplementarios, reducir:
sen(a + 2p)tan(a + ^
A = :------
i(2 a + p)cot(p + -
a) 1
d) -tanp
b ) - 1 
e) -co sa
c) - ta n a
16. Indicar si es verdadero (V) o falso (F)
I. sec(90° + x) = cscx
II. cot(270° - x) = tanx
III. esc (270° + x) = secx
a) FFF 
d) FVF
b) FFV 
e) FVV
c) VVF
17. Indicar si es verdadero (V) o falso (F):
I. tan(180° + x) = -ta n x
II. cos(360° - x) = -c o sx
III. sen(360° - x ) = -sen x
a) FFF 
d) FVV
18. Simplificar:
b) VFV 
e) VVF
c) FFV
sen(180° + x) tan(90° + x)
co s (2 7 0 °- 
a) 1
d) -1 /2 
19. Simplificar: A =
- x) cot(180° - x)
b) -1 c) 1/2
e) 0
sen(180° - x)sec(90° - x)
cot(270° + x)
a) tanx b) -c o tx c) cotx
d) - ta n x e) -c o t2x
20. Calcular:
A = 2sen330° - 4sec240°
a) 13 
d) 10
b) 12 
e) 9
■ 2tan135° 
c) 11
21 . Dado un triángulo ABC, simplificar: 
2cos(A + B)
E =
a) -1
d) - 2
22. Reducir: 
A = cos(
a) 1
d) -1 /2
23. Reducir:
A = cos1°
a) 1
d) -1 /2
cosC
b) 1 
e) 5
3sec(A + B + C) 
c) 2
111/
8n
-cos(t t ) + cosu i
b) -1 
e) 0
/10n ( 11
c) 1/2
■ cos2° + cos3° + ...
+ cos178° + cos179° + cos180°
b) 2 
e) -1
c) 1/2
5 0 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e
24. Reducir:
(a + 1)cos540 - (a -1 )s e n 6 3 0 
(b -1 )c o s 1 2 6 0 + (b + 1 )se n 4 5 0
a) 1 b ) -1 c) a
d) b e) a/b
m 1. a 6. b 11. e 16. d 21. b
Ui 2. e 7. e 12. d 17. c 22. e
>
<í 3. d 8. c 13. e 18. e 23. e
j 4. b 9. c 14. c 19. b 24. b
ü 5. a 10. c 15. a 20. e __j
IDENTIDADES DE ARCOS MÚLTIPLES
Las identidades de arcos compuestos han sido de­
mostradas para todo número real. A partir de estas 
identidades podemos deducir otras, en especial, 
podemos obtener las identidades que expresan 
sen, cos y tan de 2a, a l2 o 3a en términos de sen, 
cos y tan de a.
Puesto que estas son válidas para todo a y p, ha­
ciendo a = p obtenemos:
IDENTIDADES DEL ARCO DOBLE
• sen2a = 2senacosa
• cos2a = cos2a - sen2a
cos2a = 1 - 2sen2a
cos2a = 2cos2a - 1
• tan2a 2 tan a
1 - tan2a
Identidades auxiliares
2sen2a = 1 - cos2c< 
2cos2a = 1 + cos2a 
2 tanusen2a =
c o s 2 a = 1 + tan2a 1 - tan2a
1 + tan2a 
cota + tana = 2csc2a 
cota - tana = 2cot2a
sen4a +cos4a = — + — cos4a
sen6 + cos6a = — + — cos4a
Ejemplos:
• sen42° = 2sen21°cos21° 
cos48° = cos22 4 ° - sen224°
• tan14° = 2 tan7—
1 - tan27
cos249 - sen240 = cos80
• 2 s e n ( | jc o s | | ' | = sen©
2sen2( f ) 1 - eos/
2 tan 4 
1 + tan24
cosí 2° =
: s e n 8 °
1 + tan26 
cot20° + tan20° = 2csc40°s e n 4 ( ¿ ) + c o s 4 ( f ) = ! + i c o s ( f ) = f
cVLota: -
1 + tan20 / ^
2tan0
/ < 2 0 r
1 - tan20
También podemos