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Trigonometr¡a - Fundamentos y Aplicaciones (2)
Natasha Briggs
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i
Printed in Perú - Impreso en Perú.
Impreso en los talleres gráficos de Racso Editores en Mz J, lote 42, Urb. La Floresta de
Naranjal I, SMP.
Primera Edición en Español
Copyright © 2018 por Félix Aucallanchi Velásquez.
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier método de publicación
y/o almacenamiento de información, tanto del texto como de logotipos y/o ilustraciones
sin autorización escrita de los autores y el editor. Caso omiso se procederá a denunciar al
infractor a INDECOPI de acuerdo a la Ley N° 26905, su modificatoria Ley N° 30447 y del
Código Penal vigente.
TRIGONOMETRÍA
Fundamentos y Aplicaciones
Primera Edición
SERIE DE LIBROS Y
COMPENDIOS
CIENTÍFICOS
COLECCIÓN
RACSO
La realización contó con la colaboración de los siguientes especialistas:
Sandra García Fernández
Diseño de Carátula
Supervisión General
Dr. Juan Carlos Sandoval Peña
Supervisión de la Edición
Adolfo Chahuayo Tito
Primera Edición en Español.
Copyright © 2018 por Félix Aucallanchi Velásquez.
Juan Carlos Sandoval Peña
Uriel Aspilcueta Pérez
Marcelina Reyes Antonio
Sandrita Harline Tarrillo Dávila
Maribel Alpiste Pacheco
Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú, amparado en la Ley N° 26905, y su
modificatoria Ley N° 30447. Elaborado por Racso Editores EIRL, Calle Pira 650, Urb. El Parque
Naranjal, Los Olivos, Lima, Perú.
El libro Trigonometría Fundamentos y Aplicaciones, para estudiantes de nivel básico y superior,
es una obra colectiva que ha sido concebida, formulada y diseñada por el departamento de
Ediciones de RACSO EDITORES, bajo la dirección de Félix Aucallanchi V.
La realización gráfica del libro Trigonometría Fundamentos y Aplicaciones ha sido efectuada por
las siguientes diagramadoras:
PRESENTACIÓN
En esta edición los cambios se pueden visualizar en las aplicaciones de los temas a desarrollar
y que presentamos al inicio de cada capítulo. Esta forma de iniciar los contenidos guardan una
correlación entre el tema y su utilidad en ios diferentes campos de la Ciencia, Tecnología y
Sociedad.
Siguiendo nuestro sentido de mejorar la calidad de nuestros textos hemos elaborado el
presente libro titulado Trigonometría Fundamentos y Aplicaciones para formar parte de una
nueva colección de libros de matemática preuniversitaria que reemplaza a la anterior titulada
Colección Racso.
Nuestra visión de la enseñanza de las ciencias está dirigida a poner en uso lo que se aprende
en ciencia pero no solo para incrementar nuestro conocimiento y aprender ciencia para saber
más ciencia sino para aprenderla y mejorar la vida del hombre a través de la tecnología pero
con responsabilidad social.
En el caso particular de la Trigonometría, esta es un área de la Matemática Básica cuyo
aprendizaje y enseñanza se realiza con el propósito de poner en manos de los estudiantes de
secundaria una herramienta que les permita comprender otras áreas de las ciencias básicas
como la Física y la misma Matemática.
Los futuros estudiantes universitarios de las especialidades de ciencias e ingeniería encontrarán
en la Trigonometría una importante herramienta mediante la cual la ciencia analiza situaciones
de la realidad en donde se requiere determinar una variedad de magnitudes como distancias,
pendientes, ángulos, componentes de vectores, cantidades escalares, etc. o describir el
comportamiento de algunas variables que involucran a las funciones trigonométricas.
Un par de temas que merecen especial atención son: la Teoría de Ecuaciones y Funciones
aplicadas a la Trigonometría. En ellas el estudiante se ve ante la necesidad de aplicar sus
conocimientos matemáticos de Álgebra para la comprensión de dichos temas pero teniendo
en cuenta que las variables son arcos trigonométricos cuyo conjunto admisible de valores son
números reales restringidos.
No podemos dejar de mencionar dos temas que se constituyen en un reto en el ámbito de la
preparación preuniversitaria: las Funciones Trigonométricas Inversas y las Inecuaciones Trigo
nométricas. Ambas se retroalimentan, una requiere de la otra y resultan muy útiles al momento
de resolver situaciones contextualizadas en las que las variables guardan ciertas restricciones.
En esta edición, hemos incluido lecturas complementarias a cada tema. En ellas hemos elegido
una breve historia de la matemática vinculada al tema que se presenta y en otros casos
presentamos algunas aplicaciones que merecen resaltarse en el progreso de la ciencia.
Una educación matemática actual no puede realizarse como si la tecnología actual y disponible
no existiera. Este aspecto de nuestra realidad la hemos considerado en esta edición y la hemos
incluido en muchas lecturas a lo largo de las presentaciones de cada tema. En la mayoría de
casos acudimos a los softwares y apps gratuitos para smartphones.
Nuestra experiencia en la docencia nos ha permitido conocer, en el campo, a la educación
escolar en el nivel de secundaria, la preparación preuniversitaria y, en estos últimos años, la
cátedra en el nivel universitario, este aspecto de nuestra vida académica favorece nuestra
propuesta.
Hasta pronto.
Dr. Félix Aucallanchi Velásquez
Para concluir, quiero manifestar mi complacencia por las iniciativas que vienen tomando las
universidades privadas en cuanto se refiere a redefinir el perfil del profesional que desean
formar, lo que los ha conducido a redefinir el perfil del alumno que desean que ingresen en
ellas, todo a la luz del proceso de certificación universitaria en que se encuentran trabajando.
Esto a su vez ha obligado a modificar la estructura y contenido del examen de ingreso, en los que
ahora las preguntas ya no solo se elaboran para establecer el nivel de conocimientos de parte
del postulante, sino, reconocer las habilidades que éstos poseen ante situaciones problémicas
contextualizadas. Sin duda, este cambio contribuirá a mejorar el proceso de selección de los
postulantes, así como a la propia preparación preuniversitaria. Espero que lo mismo ocurra
con el resto de universidades nacionales. A los profesionales que se dedican a la preparación
preuniversitaria les aguarda la tarea de adecuación, adaptación y superación ante estas nuevas
condiciones académicas. Buena suerte.
No puedo pasar por alto el reconocimiento que merecen, de nuestra parte hacia ellos, los
promotores de colegios, centros preuniversitarios privados y directores de los centros
preuniversitarios de las distintas universidades a lo largo y ancho del Perú, quienes por su
oportuna decisión optaron por revisar, primero, nuestras obras y luego emplearlas como
material de clase o de complemento en sus bibliotecas. A ellos nuestro profundo y sincero
agradecimiento por tal oportunidad.
Sirvan estas líneas para agradecer la preferencia de los miles de lectores que confiaron en
nuestro trabajo, y que por ello los recomendaron a las siguientes generaciones. Muchos de
aquellos lograron alcanzar sus objetivos y nos complace ser reconocidos en variados eventos
académicos, por muchos profesionales, entre los cuales están quienes utilizaron nuestras
obras. .
Nada nos ha detenido, el entusiasmo no se ha agotado, por el contrario hemos encontrado la
forma de mejorar nuestras obras, y la palabra clave ha sido la capacitación, es decir, hemos
continuado estudiando la especialidad a la que nos hemos dedicado desde hace más de
35 años para afinarla y actualizarla, además de perfeccionar nuestra didáctica con cursos de
postgrado: Diplomados, Maestrías y Doctorados. Todo ello nos ha convertido en profesionales
de la educación capaces de elaborar obras que respondan a la exigencia de una educación de
calidad por parte de los que utilizan nuestros textos.
Los colaboradores que han participado en esta edición, son profesionales de la educación
que poseen un perfil definido y común: Son ingenieros o licenciados en ciencias, son además
licenciados en educación matemática, física o química, son diplomados en didáctica de su
especialidad, sonmagísteres en el área de investigación educativa y a la fecha la mayoría de
ellos son doctorandos, además de ser docentes cuya experiencia laboral la han desarrollado
en las más prestigiosas instituciones educativas en tres niveles de educación: secundaria,
preuniversitario y universitario. Un equipo así consolida nuestra labor editorial y nos da la
confianza de producir textos de calidad.
Este equipo labora en coordinación permanente con nuestra casa editorial y es el grupo de
profesionales que tiene a su cargo los talleres de capacitación que realizamos para tratar temas
educativos y presentar nuestras obras.
AL PROFESOR
Trigonometría Fundamentos y Aplicaciones, es un texto elaborado con el propósito de que los
docentes encuentren en él un complemento para la elaboración de su material educativo asi
como una guía para diseñar sus actividades de enseñanza aprendizaje.
Las principales y permanentes dificultades que encuentran los docentes en la elaboración de sus
materiales es la selección de problemas para la realización de sus clases, talleres, seminarios,
prácticas calificadas, tareas, etc. El texto ha sido elaborado para que el docente encuentre aquí
un oportuno y eficaz recurso.
La trigonometría es una parte de la matemática cuya enseñanza requiere de saberes previos en
„ Álgebra, Funciones y Geometría. Sin duda se trata de una ciencia cuya enseñanza demanda de
mucha creatividad de parte del docente para diseñar sus actividades pedagógicas, lo cual a su vez
requiere de un dominio de las ciencias afines indicadas y de modernas estrategias didácticas.
En esta obra el docente encontrará que el texto se ha dividido en tres partes: La teoría y
enunciados de problemas resueltos, La resolución de problemas y Los enunciados de problemas
propuestos.
Podría sorprender, a primera vista, que no hay razón para separar los enunciados de los problemas
de sus respectivas resoluciones, sin embargo, sí las tenemos. Investigaciones educativas hechas
sobre este aspecto demuestran que la mayoría de los estudiantes que leen los problemas, no
los intentan si la resolución se encuentra al pie, perdiéndose de este modo la posibilidad de
desarrollar habilidades matemáticas en el estudiante.
En Trigonometría como en cualquier otra área de la matemática, es limitado el número de
problemas que se proponen a los estudiantes y que tienen la característica desercontextualizados,
es decir, ser suficientemente reales. En este texto hemos dado una adecuada cabida a este tema
en situaciones problémicas que revelan la intención de plasmar constructivamente nuestra
concepción pedagógica y la tendencia actual de la enseñanza de las ciencias.
En el texto se incluyen temas que van más allá de la formación e información escolar, sin embargo
y si usted lo cree conveniente, puede desarrollarse una parte o el íntegro de los mismos sin poner
en riesgo su comprensión y conexión con el resto de los temas. Todo esto pasa por la generosidad
del tempo que se le destine a su enseñanza.
En trigonometría existen temas específicos en los que se requiere bastante claridad y precisión
en los conceptos y definiciones, por lo que se constituyen muchas veces en aspectos que
provocan controversia. En ellos hemos puesto especial énfasis y cuidado, y son: Circunferencia
Trigonométrica, Ecuaciones Trigonométricas, Inecuaciones Trigonométricas, Límites y Derivadas
Trigonométricos, entre otros.
Los enunciados de los problemas han sido cuidadosamente redactados para poder identificar
claramente qué habilidad matemática se pretende desarrollar con cada uno de ellos: Calcular,
Demostrar, Identificar, Visualizar, Resolver, Aproximar, Algoritmizar, Definir, etc. Enseñar
matemática es solo un pretexto para desarrollar habilidades y convertir a las personas en seres
. competentes, por ello proponemos aprender una matemática para la vida. Al respecto es
conveniente revisar los trabajos del cubano Dr. Delgado Rubí del ISPJAE.
Las resoluciones se han elaborado trazando la estrategia más adecuada, de este modo el estudiante
puede reconocer qué pasos se han propuesto seguir para llegar a establecer la solución, y no
jugamos con él al gato y al ratón, es decir, la resolución no le resultará inesperada, si no será una
consecuencia lógica de un plan previamente diseñado.
-■ En las lecturas hemos tenido el cuidado de seleccionar temas actuales y pertinentes, en muchos
de ellos aplicaciones tecnológicas y siempre citando la fuente de información en señal de respeto
a los derechos autorales.
Esperamos que esta forma de presentación del texto logre satisfacer su exigente selección de
materiales educativos.
AL ESTUDIANTE
: Teoría, número del capítulo y número de página.| ~__ | 1
| 437 | : Resolución de problemas, número del capítulo y número de página
| 877 | : Problemas Propuestos, número del capítulo y número de página.
Esperando que hayas comprendido el mensaje, te deseamos ¡Buena suerte!
Los libros de la Colección Fundamentos y Aplicaciones, son una apuesta por el desarrollo de
las ciencias en nuestro país, por el desarrollo de nuestros pueblos y por el crecimiento cultural
de nuestra nación. Postulamos que una educación de calidad pasa por muchos aspectos, entre
otros una adecuada condición para el estudio, la selección de la institución educativa, de buenos
profesores y de buenos materiales educativos. En este último rubro se encuentra nuestra
propuesta bibliográfica.
Trigonometría Fundamentos y Aplicaciones, es el último de una serie de textos que se vienen
publicando y mejorando desde hace casi 20 años y con relativo éxito. Este texto presenta el curso
de Trigonometría de un modo práctico, es decir, mostrando su aspecto aplicativo a través de
situaciones problémicas concretas y actualizadas.
¿Qué requieres saber para aprender, comprender y aplicar los conceptos, definiciones y teoremas
de la Trigonometría? Sería extenso recordarte todo lo que se supone has aprendido hasta ahora,
pero en la medida que hayas desarrollado una cultura matemática se hará más comprensible esta
importante área de la ciencia, sin embargo, vale la pena puntualizar aspectos que deben merecer
una permanente atención y evocación y son: Álgebra, Funciones y Geometría.
De lo primero necesitas recordar los campos numéricos y sus propiedades, de lo segundo la
capacidad de traducir situaciones concretas en expresiones matemáticas así como sus propiedades,
de lo tercero debes recordar que el nivel de correspondencia entre dos o más elementos se
puede expresar por una regla y de lo último la capacidad de visualizar y modelizar los cuerpos
a través de figuras. Puesto que nos asiste la autoridad intelectual y profesional, adquirida por
nuestra capacitación y por el ejercicio de su aplicación, es que hemos creído conveniente dividir
este texto, es decir todos los capítulos, en tres partes:
1. Teoría, Problemas Modelos, Estrategias de Resolución y Enunciados de Problemas Resueltos.
Aquí encontrarás, en cada capítulo, un resumen teórico de todo el tema, una adecuada selección
de problemas modelos resueltos que te permitirá reconocer la forma de presentación de los
mismos y cómo es que se plantean sus resoluciones. Asimismo te detallamos, en un cuadro aparte,
las estrategias que recomendamos para la resolución de problemas del tema. Luego observarás
los enunciados de una vasta selección de problemas para que los intentes por tu cuenta. Te lo
repito, esta forma de presentación la encontrarás hasta terminar con el último capítulo.
2. Resolución de Problemas. En esta segunda parte encontrarás las resoluciones de cada uno
de los problemas que leiste e intentaste en la primera parte. Nos interesa que desarrolles tu
capacidad de argumentar, por ello las resoluciones se presentan bien fundamentadas, al punto
que tú puedas continuar con la resolución si acaso el método no es el mismo que tu empleaste
en tus intentos.
3. Enunciados de Problemas Propuestos. En esta última parte encontrarás una batería de
problemas de cada tema,seleccionados adecuadamente y en un nivel progresivo de dificultad.
Cada una de estas partes las puedes identificar por el pie de página con los siguientes códigos:
CONTENIDO Resoluciones
1 12 258 774
2 23 274 778
3 32 288 784
4 41 302 788
5 50 315 794
6 59 328 798
(Razones 70 343 803
84 362 808
de9 Arcos 92 386 812
101 407 816
109 421 820
117 437 824
123 447 829
130 462 833
137 478 838
144 494 842
151 514 846
166 542 856
183 584 862
206 653 868
224 691 872
234 710 877
-15 Transformaciones de Producto a Sumas o
Diferencias
Razones Trigonométricas de ángulos en el Plano
Cartesiano
11 Identidades Trigonométricas del Arco Doble
12 Identidades Trigonométricas del Arco Mitad
13 Identidades Trigonométricas del Arco Triple
14 Transformaciones de Sumas o Diferencias a
Productos
Problemas
Propuestos
Teoría y
Enunciados
16 Sucesiones y Series Trigonométricas
17 Funciones Trigonométricas
18 Funciones Trigonométricas Inversas
19 Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
20 Resolución de Triángulos Oblicuángulos
21 Estudio de la Trigonometría con Números
Complejos
22 Límites y Derivadas Trigonométricos
7 Circunferencia Trigonométrica
Trigonométricas de Números Reales)
8 Identidades Trigonométricas
Identidades Trigonométricas
Compuestos
10 Reducción al Primer Cuadrante
Sistemas de Medida Angular
Longitud de Arco
Razones Trigonométricas de Angulos Agudos
Resolución de Triángulos Rectángulos
Razones Trigonométricas en Situaciones
Contextualizadas
Esta obra está dedicada a los
estudiantes que intentan forjarse
un mejor destino en circunstancias
que incluso no les son favorables.
r
f
to
s
¡stí’&edad
i
s-
7
h
UiBtrL . .x_____
En estos últimos 80 años, las radiocomunicaciones han
permitido desarrollar a los pueblos más rápidamente que en
m 3000 años de navegación marítima,
i La comunicación vía satélite se hace
por métodos de triangulación elemental y su
J explicación la encontramos en nuestro conoci-
i miento de la trigonometría. Este método permite
! posicionar objetos sobre la superficie terrestre.
La trigonometría ha permitido resolver las limitaciones de la fíp.
eometría Euclidiana. Por ejemplo ha contribuido con la...______Cs
plana, y que ha quedado resuelta midiendo '
la longitud de arco de circunferencia máxima que i
contiene a dichos lugares. j x
_ - ■ ** 5
______
J-
. Para la determinación de ángulos horizontales y verticales se >
utiliza el teodolito. Estos aparatos están calibrados en grados
' sexagesimales y en radianes y permiten [
. ~ - \identificar puntos del terreno ubicados en ’
un mismo plano horizontal o en planos paralelos. El r
conocimiento de tales lugares facilita la proyección |
de las construcciones.
geometría Euclidiana. Por ejemplo ha contribuido con la
geografía, sobre todo, para determinar
la distancia entre dos puntos geográficos
de la superficie terrestre, la que como sabemos
no es i'
1.1. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
a: ángulo de valor positivo (a > 0) p: ángulo de valor negativo (P < 0)
Es aquel ángulo trigonométrico en el cual el rayo vuelve a su posición inicial por primera vez.
O
m Z lo > 0 'm Z lo < 0A,B A.B
1.2. SISTEMAS ANGULARES
Para la medición de ángulos, tenemos tres sistemas llamados:
Sistema Sexagesimal (Inglés) ; Sistema Centesimal (Francés)
Sistema Radial o Circular (Internacional)
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RAO SO12
Cuando la rotación se realiza en sentido antihorario (O),
la medida del ángulo generado es de signo positivo, en cam-
tio cuando la rotación se realiza en sentido horario (O), la
medida del ángulo es de signo negativo. En general la medida
del ángulo trigonométrico toma cualquier valor real.
Nota.- Por convención al ángulo nulo se le considera ángulo trigonométrico, a pesar que no se
genera de una rotación.
1.1A Angulo de una vuelta (Z lo)
Definición.- Es aquel ángulo que se genera por la rota
ción de un rayo al rededor de un punto fijo llamado vértice (la
rotación se realiza sobre un mismo plano) desde una posición
inicial (lado inicial), hasta una posición final (lado final).
i wm
M a n gula r
1.2A Sistema Sexagesimal (Sistema inglés)
Su unidad de medida es el grado sexagesimal (Io), que se define como:
1° = m / lo = 360°
Equivalencias: Io = 60 minutos sexagesimales = 60'
1' = 60 segundos sexagesimales = 60" Io = 3 600"
El empleo de estas unidades se denota así: a° + b' + c" = a° b’c"
ls = m Z 1c = 400®
Equivalencias:
ls= 10 000s
1.2C Sistema Radial (Circular o Internacional)
Tiene como unidad de medida al radián (1 racf), que se define así:
m ¿ Id = 2 n rad ■ (n = 3,1416)1 rad =
Interpretación geométrica del radián
CONCLUSIONES:
i) 360° = 400® = 2 nrad i) 180° = 200® = Tirad
9° = 10g nrad =180° 200gnradO bien:
1.3. RELACIÓN NUMÉRICA ENTRE LOS TRES SISTEMAS
B
a = S° = C8 = Rrad
O A
Sistemas de Medida Angular
Geométricamente 1 rad, es la medida de un ángulo central, en
el cual la longitud del arco subtendido es igual a la longitud del radio
de la circunferencia, tal como se indica en la figura.
1.2B Sistema Centesimal (Sistema francés)
Su unidad de medida es el grado centesimal (ls), que se define:
mZlt>
2rt
mZlo
400
1® = 100 minutos centesimales = 100m
fftZlu
360
S = número de grados sexagesimales
C = número de grados centesimales
R = número de radianes
lm = 100 segundos centesimales = 100s
El empleo de estas unidades se denota así: x® + ym + zs = x®ymzs
C = 10*o bien: S = 9*
Donde * es una constante de proporcionalidad.
1.4. CUADRO COMPARATIVO DE LOS TRES SISTEMAS
1° = 60’
r = 60" eos 3 600 S360°
l° = 3 600"
c4008 10 000 clm= 100s 100C
R 2 Tirad
EQUIVALENCIAS
180° = u rad
90° = rad
22° 30' = 60°— rad
rad 360° = 2n rad36° =
14 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ■®i RACSO
>> IDITO1ÍI
s
180
Tt*
20
S
(grados
sexagesimales)
(grados
centesimales)
p- v
R =S C 180 200
n
3-
7C
2
K
T
= R
n
Siendo S, C y R los números que representan las medidas sexagesimal, centesimal y
radial de un mismo ángulo, los se relacionan de la siguiente forma:
S R
180 n
S C
~9 ~10
■S&"'
_c_ = A
200 st
135° = rad4
75°= ^rad
&
18 = 10 0005
270° = ~ rad120° = -y- rad
OiW
18°=^
67° 30' = rad
O
15°= -—-rad
72° = -y rad
45° = v rad 4
30° = 4 rad
O
300° -y5- rad
150° = rad
O
l8=100ra
54°=-§-rad 225°= ^y-rad
4
2^)=T
f rad
(20°-x)
(60°-x)-3x
A partir de esto se observa que:
(20° - x) - 2x + (40° - x) - 3x + (60° - x) = 360°
- 8x 240° x = -30°
PROB. 3
a-x
-0/
Este gráfico nos muestra que:
(a-x) +(-P) = 180°
a - P - 180°
PROB. 2
-ad
%/ad
(20°-x)
(60°-x)3x
N =
Sistemas de Medida Angular
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
[ RESOLUCIÓN
X
''a
PROB. 1
Según la figura, expresar x en términos de a y p.
De la figura que se muestra, determinar el
valor del ángulo x.
Expresando todos los ángulos en radianes:
35
\2x
(40°-x) ¿2
Gradeamos los ángulos en sentido antihorario
y construimos el ángulo a -x.
Gradeando los ángulos en un solo sentido
(sentido antihorario), tendremos:
E = 3
\-2x
(40°-x)XZ
Reducir la siguiente expresión:
90°+5rad + 100s
E = -------=--------------
30°+50s + ~~rad
PROB. 4
Siendo: S y C los números de grados
sexagesimales y centesimales respectiva
mente y R el número de radianes de un
mismo ángulo, reducir:
C . S +/? 2Ó + l8 + /?
C-S + R
~rad -i—rad + ^rad
^rad + ^rad + -^rad
o 4 12
171°x' 12" = 171°53'12"
x = 53Finalmente:Se sabe que: S = 9ft ; C = 106 y R =
N =Luego:
N = 1N =
PROB. 5
Calcular el valor de x en :
171° x' 12" = 3 rad
Sabemos que: I rad = 57° 17' 44”
171°x'12" =3 (57° 17'44")Luego:
Luego 5 grados N equivale a:
C = 10 k ; R =
16 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ■ffllRACSO
JflDITOlBI
[resolución
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
20
PROB. 6
Se sabe que 25 grados en un sistema "N"
equivalen a 60 grados sexagesimales ¿A
cuántos radianes equivalen 5 grados ”N"?k + R
k + R
kn
20
171°x' 12” = 171° 51’ 132”
’F+íz-
A continuación procedemos a efectuar la
suma de minutos, deduciéndose que :3) Si la condición del problema incluye a los números S, C y R (convencionales),
se recomienda reemplazarlos por las siguientes relaciones:
2) Cuando los ángulos trigonométricos estén expresados
deben transformar todos a un solo sistema.
25 grados "N" < > 60°
5 grados "N" < > x
Sacando quinta a la condición inicial,
encontramos que:
5 grados "N" o 12°
A continuación, transformamos dicho ángulo
a radianes, obteniendo:
en diferentes'sistemas, se
Á + A + r
2 2
10/J-9A + R
1) Ante situaciones problémicas en donde se presenten ángulos orientados (ángulos
trigonométricos), éstos se deben graficar en un solo sentido, de preferencia en
sentido antihorario (positivo)
n
15 rad
] 2o n rad- _ rt_ d
180° 15
S = 9k ;
Enunciados de Problemas v
con Resolución
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
M =
f3x»
A)2tt + 0 B)2tt
términos de “a”.
C
a A
07.- De la figura mostrada, calcular “x”
(5-llx)*
27x“
x-41
A)-2 B)-l C)5 D)4 E)3
y‘i
D)2400
E) 1800■o-
Sistemas de Medida Angular 17,«5Skl
A) a+360°
B) a + 180°
C) 2a-360°
D) 36O°-a
E) 180°-a
01.- De la figura mostrada, expresar x en térmi
nos de G.
A) -1/2
B) -3/2
C) l/2
D) 3/2
E) 1
A) n/3
B) ?tí2
C) 7t/4
D) 3n/4
E) 7t/5
120°
05.- Del gráfico mostrado, calcule:
20+y
4oy
yÓx+10°
C-A—T-rfir
06.- De la figura mostrada determine: “x + y"
en radianes.
08.- Del gráfico mostrado a qué es igual: 1Ox - 9,y
A) 1 100
B) 360
C) 280
03.- De la figura mostrada, determinar “x”
A) 15°
B) 20°
Q 25°
D) 30°
E) 45°
04.- De la figura mostrada, evaluar el ángulo “x”.
A) 40“
B) 20°
0-2(7
D) -50°
E) -10°
Qrt-0 D)0 E)-2ti-0
02.- De la figura mostrada, determine “x” en
fi nnc rio
2n .
~3rad
3x + 20°&
5y*/
Calcula:A) 3,34
C)llA) 7 B)5 D)-2 E)-3B)2,6 a
10 = (x-x*)radC) 4,2832
D) 1,7431
E) 2,1406 D)30° E)12°
g ---- m
A) 10a + 90 = 0 D C) 14A) 10 B) 12 D) 16 E) 18
B) 18O0-cot = O C
C) 2OOP + 07t = O O Ba°D) 38O0 = 7t(a-0)
AE)900P = 7t(90 + 5a) calcular: M =
CONVERSIONES
A)1 B)2 C) D) E)311.-Evaluar:
.10M =
A) 3 B)5 C)7 D)9 E)ll
A) 0,5298 B) 0,4326 C) 0,3524
D) 0,2836 E) 0,1620
A) P < a < 0 B) 0 < P < a C) a < P < 0
D)0<a<P E) a < 0 < p
A) 0,8543 rad B) 0,7265 rad13.-Convertir: Io 15'a radianes.
C) 0,6326 rad D) 0,5214 rad
E) 0,4318 rad
FrP 18 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos XÍ4 RACSO
ID1TOIII
1
3
1
2
09.- En la figura mostrada, calcular (en rad) el
valor del ángulo a para que el ángulo 0 sea
máximo.
Prad
- a0e be" de' ;
17.- Sabiendo que:
b + d +5 +e
a + c + 4
1S+2S +3’+4» +...+ 2005*
1°+2°+3°+4°+... + 2005“
(I-2)-
18.- Se tiene un ángulo en el sistema
sexagesimal cuya medida es de 16°15'36". De
terminar su equivalente en el sistema radial
considerando 7t =3,14.
12.- Dadas las siguientes medidas angulares:
a = 0,5236 rad ; P = 3Os5Om ; 0 = 27°25'
ordenar de menor a mayor. Utilizar: 7t = 3,1416.
B)^rad
D) 2^0 rad
A) 188 rad c) Í44 rad
E) 196 rad
19.- La medida de un ángulo en el sistema
sexagesimal es de 36°15'45". Calcule dicho án
gulo en el sistema radial. Considere 7t =3,14.
10.- En la figura mostrada, si OB y OC trisecan
al ángulo AOD entonces la expresión inco
rrecta es:
7115.- Si se verifica que: rad < > x° y'z" ;
(x, y, z 6 N). Calcular el complemento de:
(x + y - z)°.
A) 83° B)60° C)53°
16.-Si se cumple que: 37,98° o AB B0 ;
determinare! valor de: M = A2-B“
14.- Al convertir 7t/50 rad al sistema sexagesi
mal se obtiene A° B'.
B-2A
M —----------B-10A
20.-Si:
A) 50 B)40 C) 30 D)20 E) 10
A) 160 D)130 E) 120
M =
D)R2 E)2RC)2VRA) VR B)R
A)tE B)^ C)TE
W - 13 ,+
se obtiene:
A) 8 B)7 C)6 D)5 E)4
; a, b e IR+
términos
C) 36" D) 18" E) 54"
Sistemas de Medida Angular 19
^/Í80
V n
24.- Si S y C son los números que representan
la medida de un ángulo en los sistemas con
vencionales, éstos verifican: (« + b)2 + 8ab
1 Sab
¿Cuál es el menor valor del ángulo en el siste
ma sexagesimal?
A) 1" B) 18"
4c + Js
-Jc + Js
Jc-Js
D)(lO)a E)(^jA)n° B)g)
a + b + c = 63, ^y'z' =a°b'c" + c°a'b" + b°ca"
x~ yentonces al calcular: W =------ se obtiene:z
Calcular la medida del ángulo en el sistema
sexagesimal.
A) 50 B)40 C)30 D) 20 E) 10
28.- Al sumarlos números de(") y ('")quedan
la medida de un ángulo se obtiene 367 400.
Encontrar dicho ángulo en el sistema radial.
A>óó
ci —} 4360B) 5200A) 711 6840
B) 20
B) 150 C)140
26.- La media armónica de los números que
representan la medida de un ángulo en grados
sexagesimales y centesimales es igual a 36 ve
ces el cuadrado de la media geométrica de las
mismas. Halle el ángulo en radianes que sa
tisface la condición dada.
D>3áo E)^o
27.- El número que representa la medida de un
ángulo en grados centesimales mas el triple
del número que representa la medida del mis
mo en grados sexagesimales es 37/tt veces el
cuadrado del número que representa su medi
da en radianes. ¿Cuál es la medida del ángulo
no nulo en radianes?.
D) —
25.- La mitad del número que expresa la medi
da en grados sexagesimales de un ángulo ex
cede en 52 al quíntuplo de su medida en
radianes. Calcule dicho ángulo en grados
centesimales, considerando n = 22/7.
MEDIDAS ANGULARES RELACIONADAS
21.- Sabiendo que: SR = RC, donde: S, C y R
son los números que representa la medida de
un ángulo en los sistemas: sexagesimal,
centesimal y radial; calcular:
7ir 9rt c. 1 ln
C) 20 D) 20 E) lÓ
29.- Se tiene un ángulo trigonométrico positi
vo, tal que el producto de sus números de mi
nutos sexagesimales y centesimales es igual a:
22. - Los números S y C que representan la
medida de un ángulo en grados sexagesimales
y grados centesimales están relacionados por:
a 7t
s = x+- ;C = X+-
Calcule la medida de dicho ángulo en radianes.
p.rr n. 5n2 p. 7 re
A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) TÓÓ
23. - Si S y C son los números que representan
la medida de un ángulo en el sistema
sexagesimal y centesimal, entonces al calcular.
, es: calcule el valor de R.
A) ti/2 B)7t/3 C)7t/9 D) ti/90 E) 7t/3OA) 350 B)200 C)150 D) 100 E)50
B)A)
D)
W =
A) 5 Q 3 D)2 E)1B)4
10S + 3C + R = 2403,1416
B) C)
D)2ti E)ti
6m + 5n = 7ti/ 12 ;mS + n .C — 207?
calcular: “m/ri”
C) D) E)B)A)
¿^iiiAcso
B D IT O > 11
34.- Siendo S, C y R los números convencio
nales, y verificándose que:
31.- La suma de los (") y ("') de un ángulo es
33400. Determinar dicho ángulo en el sistema
radial.
35.- Siendo S, Cy R los números convencio
nales, se sabe que estos verifican:
Si además: 7t= 3,1416, calcular la medida del
ángulo dado en radianes.
3
5
5
3
2
3
calcule en radianes el valor mínimo que puede
tomar la medida de dicho ángulo.
6
S
_9_
10
10
9
efe)'
20 xísSií)
3CJ
60—719
71
Vc2-S2
32.- Si S, C, R son los números que represen
tan la medida de un ángulo en los sistemas
convencionales, determinar:
33.- Si S, Cy R representan el número de gra
dos sexagesimales, centesimales y radianes
que mide un ángulo, éstos verifican:
36.- La semidiferencia de los números que re
presentan la medida de un ángulo en grados
centesimales y sexagesimales es a 7 veces su
producto como su suma es a 133 veces el nú
mero que representa la medida de ese ángulo
en radianes. Encontrar la medida de dicho án
gulo en el sistema radial.
aC-20R A
JtS —120R J= 326.
30.- Si a y b son valores que representan el
número de (') y (') de un ángulo respectiva
mente, entonces el valor de la expresión:
B># O —30
C)f
72000
7T
E) 180
DI — ’ 40
C) -71-- -1 3600
20 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos
39.- Si S, C y R representan el número de gra
dos sexagesimales, centesimales y radianes
36000
TI2
7t2
72000
37.- Si “/?” es el número de radianes de un
ángulo, que verifica la siguiente igualdad:
1__
’R-l ’
calcular la medida de dicho ángulo en el siste
ma sexagesimal.
C)i°
7 71
20 371
D)t EjTo
B)2
_ 4«-16¿W =---- -—
D
«(?)■
D>fe)‘
38.- Si los números Sy Crepresentan las medi
das de un ángulo en los sistemas sexagesimal y
centesimal respectivamente, y se verifica que:
x2(C - S) = x4 - x2 + 1 , x > 0 ;
que mide un ángulo y que verifican: 43.- De la figura mostrada,determine “x”.
A'
'la
calcular el ángulo en radianes.
x‘
it/3 rad
B C
C) 120A) 108 B)123 D) 127 E) 130
Calcule dicha medida, si además se cumple:
A) 5n/4,3 ,6
■•(1) B) 4tt/5
C) 4tt/3
D)3tt/5
E) 5ti/6 CB E DE) 100°B)20° C)409 D)90°A) 10°
ÁNGULOS EN FIGURAS GEOMÉTRICAS
A) 6
8x°B)7
C)8
D) 9
A) CE)10
A) 2/13A)5tt/9
B) 1/15B) 7ti/8
C)3/2OC)7t/3
D)2/25D)7rt/9
EJ7/12CBE)5n/4
Sistemas de Medida Angular
20RS
9zt
41.- Determine la medida en radianes, del án
gulo desigual de un triángulo isósceles en el
que cada uno de los ángulos de la base es
cuatro veces la medida del ángulo desigual.
C_
10
S
9
7t
9
12R(C-S)
5ti
162SCR
7t
42.-De la figura mostrada, se tiene que BD y
CD son bisectrices del Z B y Z C respectiva
mente. Determine: ni Z D en radianes.
44.- El triángulo ABC es equilátero donde AD
y AE dividen el ángulo “A” en tres ángulos
congruentes. Determine “a + [3" en radianes.
45.- De la figura determine el valor de “x”:
B
.8
=y---(2)
180
E)^
40.- La medida de un ángulo expresado por
los números convencionales, verifica que:
yS“=xC2
A 9
A
C)^ D)ifAX 57t T»> 1 571 a>t B)~T
E) j
46.- De la figura mostrada, calcular:
■ 2x - y
M=-------
y
B)f C) J D) l
Q 13n/36
D)3n/31
DAE)5tt/39
&RACSO
iditoiii
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos22&
El número a, que se obtiene como la razón de la longitud de la circunferencia al diámetro,
tan familiar a todos los estudiantes, hace ya muchos años, ha sido calculado nada menos
que con 707 cifras exactas. Esta hazaña de cálculo fue realizada por W. SHANKS (1 873),
y aunque en la actualidad este número de cifras ha sido largamente superado, ocurre que
estas 707 cifras figuran grabadas a lo largo del friso circular en que se apoya la cúpula del
"Palnis de la Decouverte". Para ninguna aplicación práctica con p son necesarias tantas
cifras, bastando usualmente los valores aproximados 3,14 ; ó 3,1416 ; ó 22/7.
48.- En la figura mostrada determine la medida
del mayor ángulo interior en radianes.
50.- En un hexágono los ángulos interiores a,
b, c, d, e,f están en progresión aritmética, tal
q\ief<e<d<c<b<a. Si la medida del mayor
es 125°, calcular la medida del menor ángulo
en radianes.
A)^ E)^D)^
B) 145
E) 160m
C)^
B) —U> 36
119tr
M 180
D)1 36
A) ’ 180
m 121ttE)w
49.- Los valores que expresan las medidas de
los ángulos inteinos de un cuadrilátero en el
sistema M, están en progresión aritmética. Sa
biendo que el menor de ellos mide 5 grados M,
encontrar la medida del mayor ángulo intemo
en dicho sistema, si se sabe que 50 grados
centesimales equivale a 40 grados M.
A)140M B) 145M C)150M
D)155m
A------
De todos modos, como regla mnemotécnica para recordar las 32 primeras cifras, se puede
acudir a los siguientes versos, originales del ingeniero R. Nieto París, de Colombia:
Soy n, lema y razón ingeniosa
de hombre sabio, que serie preciosa
valorando, enunció magistral.
Por su ley singular, bien medido
el grande orbe por fin reducido
fue al sistema ordinario usual.
Si se sustituye cada palabra por el número de letras que la forma , obtendremos el
siguiente desarrollo decimal para re: ti = 3,1415926535898932384626433832795...
B___
47.- En la figura mostrada determine el ángulo
A en radianes.
A) llrc/18
B) 12n/59
[o.
z *
o
~ i
'•
Syo'cíeaad
hacia lugares desconocidos.
/
La orientación de su aguja se rige por la posición que
adquiere el imán en una circunferencia que ha sido
dividida en ángulos trigonométricos, las mismas que
permiten definir un rumbo determinado.
'W
f *
s>
Í
El estudio del Cosmos encuentra en la trigonometría una
/ valiosa herramienta para la medición de distancias astronómicas.
Un importante recurso se encuentra
en la definición del ángulo trigonométrico y de ñ \ (
la longitud de arco correspondiente aplicados r 5
por el telescopio Hubble para determinar la §
posición de los cuerpos celestes. . JF: \ 5
T---- *■'»"»
Los mecanismos de transmisión de movimiento tienen un '
comportamiento que se puede explicar mediante el uso de las
-Z leyes físicas del movimiento de rotación
así como de las características que verifican
los círculos y en particular las longitudes de arco de
las zonas de contacto en los engranajes...
i
’ La invención de la brújula ha sido un gran aporte para la
humanidad, en particular para la realización de las expediciones
í
MEDICIÓN DEL RADIO TERRESTRE
r
R
Como 7o entra unas 50 veces en los 360 grados,
multiplicó 50 por 800 igual a 40000 km de perí
metro o circunferencia. Dividiendo esta longitud
por el número «71», obtuvo el diámetro que es
igual a: 2R = 13 100 km y así resulta que el radio
R = 6 550 km. El valor exacto es de: 6445 km,
que indica un cálculo de dicha medida con un
error del 1%.
Los sabios de la Grecia antigua no compartían la ¡dea de sus antepasados de que la Tierra era
un disco sostenido por cuatro elefantes subidos a una enorme tortuga marina. Más bien creían
que el planeta era esférico, una idea postulada hacia 500 a. C. por los seguidores de Pitágoras,
que consideraban la esfera como la forma perfecta.
Al astrónomo griego Eratóstenes se atribuye el haber medido por primera vez la circunferencia
terrestre en el año 230 a. C. Razonó así: si el planeta es una esfera, entonces la línea que une
dos lugares cualesquiera forzosamente es un arco. Si lograba medir la longitud de éste como
una proporción de 360 grados (una circunferencia completa), obtendría una medida a partir de
la cual podría calcular la circunferencia total.
Eratóstenes:(275-194 a. C.) geógrafo, matemático, astrónomo, poeta y filósofo griego nacido
en Cirene. Fue discípulo de Aristón de Chios de Lisaninas de Cirene y de Calimaco y
contemporáneo de Arquímedes y Apolonio. Dijo Montucla que fue un hombre excepcional,
que sobresalió en todos los géneros del saber humano, pues fue notable como orador, poeta,
anticuario, matemático y filósofo por lo que algunos le dieron el nombre de Pentatlos, que se
aplicaba a los atletas que vencían en las cinco luchas de los juegos olímpicos.
Parece que vivió en Atenas hasta que por su fama, en tiempo de Tolomeo, este le llamó a
Alejandría y le puso al frente de la famosa biblioteca de aquella ciudad, siendo muy probable
que le encargara a sí mismo de la construcción de las grandes armillas de que se sirvieron
durante muchos años los astrónomos de la escuela de Alejandría.
Habiendo comprobado que en Alejandría el día del solsticio de verano el sol no distaba del
cénit más que la quincuagésima parte de circunferencia del gran círculo de la esfera, adoptando
la cantidad de 252 000 estadios como la-longitud total del meridiano. El estadio egipcio tenía
300 codos, por lo que puede calcularse en unos 40 000000 m la referida longitud.
Para medir la distancia de Alejandría a Siena envió un servidor, que fue contando los pasos. Esa
distancia es de unos 800 km aproximadamente.
El ángulo «a» lo calculó en base a la altura de la torre en Siena y el largo de la sombra proyectada,
justo cuando en Alejandría el sol caía vertical mente, es decir, al medio día. Dicho ángulo es de
7o, que es el mismo que forman los dos radios terrestres en el centro de la Tierra.
Con estos datos razonó así: Si para un ángulo de
7° la distancia es s = 800 km, ¿cuánto será para
los 360° correspondiente a toda la circunferencia
de la Tierra?
2.1. SECTOR CIRCULAR
Es una porción de círculo limitada por dos radios y un arco comprendido entre ellos.
Z AOB ... ángulo central
r — OA ... longitud del radio
2.2. LONGITUD DEL ARCO (/)
r
Grad l
r0 < 6<2til = e.r
Fórmula Especial: De la fórmula anterior se deduce:
2.3. ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR (5)
El área de una región circular se puede determinar, utilizando las siguientes fórmulas:
r
Qrad S l
r
Nota.- En las fórmulas mostradas, el ángulo central debe estar expresado en radianes.
Longitud de Arco 23
29
e = a
mAB ... longitud de arco
Un arco de circunferencia es una porción de ella que es
subtendida por un ángulo central y cuyalongitud depende
directamente de la medida del ángulo que lo subtiende y del
radio de la circunferencia a la que pertenece, así:
t íi d d e j
s= e¿. = Lz:
3 2 2
2.4. ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR (Sr)
2.5. APLICACIONES MECÁNICAS
2.5A Número de vueltas (n)
Z, =Z2 0,r. — 02ro
n =
“n” vueltas
r,
d
>1 =>2 ®lrl ~ ®2r2
0j = 02 =>
2.5B Transmisión de Movimientos eje común
| 24 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos -^4RACSO
IDlTOBiae/l
d
2nr
Siendo: r = radio de la rueda que gira
n = número de vueltas que da la rueda
Zc = longitud recorrida por el centro de la rueda
Los sistemas mecánicos que permiten trans
mitir movimientos pueden ser debido a un
contacto entre sus elementos o unidos a tra
vés de una faja o un eje.
Si una rueda de radio r se desplaza, sin
resbalar, una distancia d sobre una superficie,
el número n de vueltas que habrá dado en
dicho recorrido está dado por:
Cuando la superficie es curva, el número
de vueltas viene dado por:
2.5B1 Engranajes.- Las longitudes de arco,
definidas por el contacto entre dos poleas o
piñones, son iguales. Esto se denota así:
2.5B2 Poleas.- Las longitudes recorridas por cual
quier punto del borde de las poleas son iguales
a la longitud recorrida por un punto de la faja.
2.5B3 Transmisión por un eje.- Los ángulos
centrales barridos son iguales, es decir:
A +-
ST= 2 Jh
^1 _ ¡2
ri r2
PROB. 1
★ ★★★★★★★★★★★★★.★★★ir
Graficamos:
B
s30 rrí
120°
O 30 m A
120°
Luego:
.v = 20 itm
C
S
PROB. 2
/|C = y .15 rn, = ; pero:
Longitud de Arco
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
b) Conociendo el radio y el ángulo central en
radianes calculamos el área del sector circular:
Dado un sector circular de ángulo central 120°
y radio 30 m, se pide:
a) El valor de la longitud del arco que lo limita.
b) El área del sector circular comprendido.
La figura muestra la rueda de un coche de
una montaña rusa, cuyo radio mide «r». Si éste
es liberado en A, y de desplaza (sin resbalar)
hasta el punto C, calcule el número de vueltas
que da la rueda durante su recorrido.
Recordemos que en el juego mecánico de la
montaña rusa, el recorrido se ha diseñado de
manera que los coches nunca se desprendan
del riel que los conduce, con lo que está
garantizado que las ruedas puedan girar en
contacto con aquél.
La línea de trazos muestra la trayectoria que
describe el centro de la rueda en todo su
recorrido, de manera que si solo hay rodadura,
se deberá cumplir que el número de vueltas
está dado por:
6c
2rt. 15r
^'j(30m)2
= 2
2n .= -yrad
El ángulo central (120°) lo expresamos en
radianes, es decir:
a) x = . 30m
120° izu . 180o 2rr .
1
S = 300 Ttm2
Perímetro = 8 m
/2c = %.25r
Del gráfico: R
Perímetro = 2R + LLuego: Lnl
Donde deducimos que:
R... (1)L = 8 - 2Rn2 =
Usando la siguiente relación tendremos:
... (2)R.L = 8
77-p — n | + t?2 ==’>
nT = 10 vueltas
Luego :
PROB. 3
R -2
R -2
Finalmente: R = 2 m
DE RESOLUCIÓN
F 26~| Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSO
BDITOkBS
RESOLUCIÓN
iiM1'.
R(8 - 2R) = 8
2R2 - 8R + 8 = 0
R2.4R + 4 = 0
Reemplazando (1) en (2) obtenemos:
8R -2R2 = 8
_ 15
“ 4
_ 25
“ 4
El área de un sector circular es de 4m2, su
perimetro es de 8 m. Calcular el radio del círculo.
Finalmente, el número total de vueltas que
da la rueda es:
Area del sector circular : Asc
^15r
2n.r
^.25r
2it.r
3) El número de vueltas que da una rueda sobre una pista, se determina mediante
el recorrido que realiza su centro respecto de la superficie sobre la cual realiza su
rodadura. Esta relación sólo se verifica si la rueda no resbala sobre la superficie.
n - >2C
n2~ 2n.25r
4m2
ASC = V = 4
15 . 25 40
nT- 4 + 4 - 4
1) Para calcular la longitud de un arco de un sector circular necesariamente el
ángulo central debe, estar expresado en radianes, de lo contrario, se tiene que
convertir previamente.
2) Cuando se determina el área de un sector circular, el ángulo central debe estar
expresado en radianes, y luego de acuerdo a los datos utilizar una de las fórmulas
dadas del área.
con Resolución i
LONGITUD DE ARCO
ba
aC) lOOc/M
A) B)~7T
D)
A
B
BO
O
A)ti(3 + V2)
B)7t(5 + V2)
C)7t(3-V2)
D)ti(4-^) O c O, B
Calcular: M =
E)ti(4 + V2 ) + 4V2
C) 2A) 1 B)-l D)-2 E) 0
Longitud de Arco 27
A)688 cm
D)240 cm
V.—■ .. -TJ. --CT «T*?? -'.. Al UUJ- -- - .Enunciados de Problemas
04.- De la figura mostrada, encontrar “x” en
términos de “a” y “b”.
03.- En la figura mostrada, AOB es un sector
circular, BDC es una semicircunferencia de
centroO,, OA ± DOi,mZAOB=45“,O1B=4.
Calcule el perímetro de la región sombreada.
02.- Del gráfico adjunto, se tiene un sector
circular AOB siendo O, A y B centros de los
arcos AB, OR y OQ respectivamente. Deter
minar: M = Lg + Lg , si: AO = BO = 6 cm.
A) 71/4 cm
B) 71/2 cm
C) 3ti/2 cm
D) ncm
E) 2n cm
01.- Calcular la longitud del arco que subtiende
un ángulo central de 171° 53' 12" en un sector
circular cuyo radio mide 40 cm. (Considerar:
1 rad = 57° 17'44").
B)120cm
E) 480 cm
a+b
a2+b2 m 2ab
a-b a+b
a2+b2 t-x 2a2E)_r
05.- En la figura mostrada, BOC y AOD son
sectores circulares, OA = Lg, AB = L¡s. De
terminar la medida del ángulo central (0 > 0) en
radianes.
A) V3/7I
B) 7t/4
C) 71-1/7
D) (V5 -l)/2
E) 2-J5
06.- Con la ayuda de la siguiente figura:
A) 7t/40 B) it/20 C) Ti/10 D) 71/5 E) tü/3 '
A
N
D)
O BM
E)
B) 1/4 C) 3A) 2
A) 3tt C) 9tt E) 15ttB) 5n P) 1271A, ,B
R
O
B
E
D
A) 16 B) 8 D) 2 E) 1
A C O
medida del ángulo central es
Calcule el área del sector.
28| Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ■Si RACSO
BDtTOIll
07.- Un móvil se desplaza con movimiento uni
forme sobre un arco de circunferencia cuyo
diámetro mide 100 m. Si en 20 i recorre un
arco subtendido por un ángulo de 50®, ¿cuál
es su rapidez en m/sl
A) 5ti/8 B)7t/3 C) 2ti/5 D) 3ti/7 E) ti/4
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 60
12.- Determine el perímetro de la región
sombreada en la figura, donde “O” es el cen
tro del arco ÁB y “M” es el centro del arco
ÍÍB. Además se sabe que: AN = MB = 2 41 .
B) ( 2 42 + 7t
C) (2j2 +7t)
11.- En un sector circular de radio 73 6/7 , la
O
¿>8(5¿>)m
(15¿)m
5V2
2 71
10.- Se tiene un sector circular en el que si du
plicamos el ángulo central y el radio, obtene
mos un nuevo sector de área “A”. Si el área del
primer sector circular es “B”, evalúe: A/B.
C)4
15.- En la figura mostrada, AOB es un cuarto
de circunferencia, siendo AB = 3 42 m. Cal
cular (en m2) el área de la región sombreada.
08.- En la figura mostrada, AOB y EOF son
sectores circulares cuyas áreas están en la re
lación de 16 a 1. Determine en qué relación
están las longitudes de los arcos EF y AB.
-2V2 +71
A) 2 -ñ + 71 + 71
77+^77
14.- En la figura AOB es un sector circular,
AO J. OB , AO = OB = 8 cm\ C, D y E son
puntos de tangencia. Calcule el área de la re
gión sombreada en cm2.
A) 77(64 72 -26]
B) 77(82 72 - 34]
C) 77(128 72 -176]
D) 71(136 42 +12]
E) 77(152 72 -138]
13.- En cierta zona de un parque de diversio
nes se ha instalado una regadera a ras del piso;
la cual tiene un alcance máximo de 6 m. Des
pués de girar 150°; se barre en la superficie,
un sector circular cuya área (en m") es:
D) 2/3 E) 1/2
09.- En la figura mostrada, se cumple que:
R(0R + L) = 80
Calcule el área del sector circular AOB.
L
Qrad/^
A
m Z AOC = 2a
m Z COD = 3a
m Z DOB = 4a
A B
A) 25.
Si
B) 4
0 rad OC) 6D
D) 8
BE) 10
21.- De la figura mostrada, calcule “0” (en rad^.
C
A
:30oO
B O
D
TRAPECIO CIRCULAR
0 rad
D) 6B) 10 C) 8 E)4A) 12
1 29 |Longitud de Arco
B) 1
C) 1/3
D) 1/4
E) rt/3
19.- Siendo “S", “C" y “R” los números que
expresan la medida de un ángulo en los siste
mas sexagesimal, centesimal y radial, se pide
calcular: “0”
A) 71/10
B) 10/71
C) 2/tt
D) 7t
E) 4/tc
23.- En la figura mostrada, determine el valor
de “L" si la región sombreada tiene un área de
20 in~.
20.- De la figura mostrada, determinar el área
de la región sombreada:
O M B
A) rt/3 B) 7t/4 C) 2ti/3 D) 3ti/4 E) 5ti/2
16.-A partir de la figura, calcular “0” si se
sabe que: 13S| = 7S2. Considerar 7t = 22/7.
A) 1/2
18.- En la figura mostrada, AOB y OCD son
sectores circulares, OA = 3OD. Calcule la re
lación entre el área del trapecio circular ABCD
y el área del sector circular DOC.
si el área del trapecio circular ABCD es de 5 in .
A) 1/4 rad
B) 1/2 rad
C) 1 rad
D) 1/3 rad
E) 1/5 rad
22,- De la figura mostrada, calcular el área de
la región sombreada:
A) 0r2
B) 20r2
C) 30r2
D) 40r2
E) 50r2
17.- Si el área del sector circular AOB es 3ti,
determine la longitud del arco CD. Además
se sabe que: AC = BD = 2
A) 571/3
B) 4n/3
C) 7t
D) 2ti/3
E) ti/3
A) Im
B) 3 ni
C) 5 m
D) 7 ni
E) 9 ni
C
B) 4 C) 6 D) 8 E) 10A) 2
A
C D) E)
O
D
B
26.- El perímetro de un,sector circular mide 6
... An o _____1\ 1-
C) 3A) 1 B) 2 D) 4 E)5
27.- Determinar el área máxima de un trape
cio circular cuyo perímetro es “p".
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSO
IDITOBBI30
24.- En la figura mostrada se verifica que:
2.OA = ABy OC es bisectriz del Z BOD.
Determinar: S-dS¡.
A) 4,25
B) 3,75
C) 3,15
D) 2,55
E) 1,35
APLICACIONES MECÁNICAS
28.- En la figura mostrada:
a = 210-40* , b = 7x2-30x.
Si el área del trapecio circular tiene valor mí
nimo, entonces la medida de su ángulo cen
tral en radianes es:
AlA) trr2
L(R-r)
2rtRr
UR-r)
r(R + r)
ni y su área es de 2 m~. Calcular (en rad) la
medida del mayor ángulo central que verifica
estas condiciones.
RlB) 360r C) 180r
E) nR
«4
C) nL2
B)T
D) 26R
7 itr
B1 /?2
B) nLr
30.- Una bicicleta que tiene ruedas de radio
“r” recorre una pista circular de radio “R”, pla
na y horizontal; determinando sobre ésta un
ángulo 9o. Determinar el número de vueltas
que dará una de sus ruedas.
A)^
E)p2
31.- Sobre una pista circular plana y horizon
tal se desplaza un atleta con una rapidez de
17,6 km/h y recorre un arco que subtiende un
ángulo de 56° en 36 segundos. Calcule (en ni)
el diámetro de la circunferencia, si: 7t = 22/7.
29.- En la figura mostrada determinar el nú
mero de vueltas que da la rueda de radio r al
desplazarse, sin resbalar, por el arco AB = L:
O
25.- En la figura mostraba, AOB y COD son
sectores circulares, en donde: AC = BD = x ,
OC = OD = 2’, = (^+ 2) y L® = (x - 1)
Calcule el área del trapecio circular ABCD.
A) 15/2
B) 17/2
C) 21/2
D) 23/2
E) 25/2
A) 3/4 B) 1/4 C) 1/2 D) 3/5 E) 1/6
C
B90 cm1
D)5 E)6B) 3 C)4
8 mm
B
E) 376B) 175 C) 267 D) 295A) 125
D) 6C)5 E) 7D)80 E) 100C) 60B) 40A) 20
E) 9D) 8
31Longitud de Arco OI
12.
manivela
Á 5 m
37.- En la figura mostrada se sabe que n es el
número de vueltas que da la rueda de radio r
(r = 1 m) al ir del punto A hasta el punto E
sobre la superficie indicada. Se pide determi
nar el valor de: 44 n. Asumir que: 7t = 22/7.
C 5 m D Z' ~\pA) 2
34.- ¿Qué distancia recorre el bloque si se gira
lá manivela un ángulo de 0 rad. Se sabe tam
bién que: r, = 6 , r2 = 9 , r3
36.- Determine el número de vueltas que dará
la rueda de radio 2 cm, al desplazarse desde
“A” hasta tocar la pared vertical (7t = 22/7).
A) 3
B) 5
C) 7
D) 9
E) 11
39.- Si una rueda de radio "6o" se mantiene
fija y otra rueda de radio "a", puede girar al
rededor de ella. ¿Cuántas vueltas dará la rue
da pequeña si parte y llega al mismo punto
por primera vez?
A) 3 B) 4
40.- Calcular el número de vueltas que da la
rueda de radio bn al recorrer el perímetro de
un triángulo si el perímetro de este es de 44 m.
Considerar 7t = 22/7.
A) 5 B) 6 C) 7
A) 360 B) 300 C) 270 D) 240 E) 240
32.- En el sistema mostrado, el disco A gira
> 90°. Asimismo se sabe que: r. = 3, rB = 5, =
1. Calcule la medida del ángulo que gira el dis
co C.
38.- Los radios de las ruedas de una bicicleta
son 20 cm y 70 cm respectivamente. Calcular
(en m) el espacio recorrido por dicha bicicleta,
si se sabe además que la diferencia del número
de vueltas que dieron cada una de las ruedas para
recorrer el espacio anterior fue 100. (n = 22 / 7).
A) 174 B) 175 C) 176 D) 177 E) 178
A) 18° B) 27° C) 36° D)54°E)62°
33.- Los radios de las ruedas de una bicicleta,
son entre si como 3 es a 4. Calcular el número
de vueltas que da la rueda mayor cuando la
menor gire 8tt rad.
35.- Dos ruedas de radios R y r, tal que: R > r,
recorren la misma longitud L. Si la diferencia
del número de vueltas de la menor y la mayor
es , entonces al evaluar: ¿y , se obtiene: 87tr k
-w------
-5-
'r rr
í
o
lcsoRa[ .RaooRnooR-
teso Racso Rj eso
!
U;.
p ¿
s._
¡N’
O . '_____ j
v<h
H
¡q
i__
l
-,'i¿i't‘JI - -■ 1 j
/ En física, específicamente en óptica, el modelo matemático
que permite explicar el fenómeno de refracción de la luz,
\ ¡N
\sj ®
y = iluminación
7 = intensidad luminosa
d = distancia
^.;cos() ;
d
-------- -r’Z^
<nfraK;*q»«i i
El teatro requiere emplear una adecuada iluminación. Los
faros luminosos, controlados por computadora, generan «conos
de luz» que iluminan determinados sectores
del escenario, los mismos que cumplen con la
ley de iluminación de D'Alembert, que incluye la razón
trigonométrica coseno.
ST’
L
fifi J,ÍU«n'RaeSo,Racso'R¿,cM'R.HÓ,í seso Racso Racso Racso Racso Rae > Riera Rano Riese Racso Rao<U
1
propuesto por Willebrord Snell (1580-1626),
incluye el uso de la razón trigonométrica i X?
llamadaseno. ^0 3¡u _ ,
n, ■ sen 9, = n2 • sen 02 r A \
'x? K \ 1
Donde «n» es el índice de refracción del medióy«0»el l \ A 1
ánguloqueforma un rayo luminosocón la normal. (NN1) *
Tecrfelogíaj^
(' *-°s astrónomos han encontrado en la trigonometría, en
V T1' particular en las razones trigonométricas, una valiosa
herramienta para determinar la ¡——
- Ádistancia de los cuerpos celestes I
\ próximos,a la tierra, permitiendo con ello
S? elaboracxla configuración del-sistéma
planetario, sólar, Ips proyectos dé\viajes r.
espaciales, etc.
L'- ■
Í/F 1
6
\
3.1. DEFINICIONES DE LAS R.T. DE ÁNGULOS AGUDOS
B
SECANTEa
A b C
a2 + b2 = c2c > a ; c > b Teorema de Pitágoras
3.2. PROPIEDADES
sen a. esc a = 1 esc a = sen a =
eos a. sec a = 1 sec a = eos a =
tan a. cot a = 1 tan a = —
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ÍÍ4RACS0
IDITOKBi32
1
eos a
1
esc a
1
sec a
1
sen a
-e Á n au ÍS^Aqu C1 os)"
Hipotenusa
Cat Opuesto
3.2B Razones Trigonométricas Recíprocas
Si a es un ángulo agudo, se cumple que:
Sea a un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, tal como se muestra en la figura,
entonces se definen:
3.2APropiedad Fundamental
Los valores de las Razones Trigonométricas (R.T.) de los ángulos agudos no dependen de
la longitud de los lados que la forman, sino de la medida del ángulo definido por ellos.
’ 7 ’ .
b eos a = —a sen a = —
CaL Opuesto
CaL Adyacente
CaL Adyacente
Hipotenusa
CaL Opuesto
Hipotenusa
Hipotenusa
CaL Adyacente
COt“ = -
c
csc a = —a
cota= i
* .: ■. , L.-tete’-tetei J/Áte .. ' .L "te:.:te’:c:-;J
tan a =
b
COSENO Z>
sec“= K
1
cot a
íi e s^Er ¡ q ó n6m é tr i ¿a s
sen a = eos p tan a = cot p sec a = esc P
3.2D Razones Trigonométricas de 30°, 60°, 45°, 37° y 53°.
Se obtienen a partir de los siguientes triángulos notables en donde: k e R+
53°'fe0 5*, 3Jtk k
a
37°
4*
30° 37° 60°Notación
sen
sec
esc
Tk 82° (V6-V2>k
(r¡6 + ^2)k24 k
63° 30’k 2k
kte
Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos 33
Sobre la base de los triángulos anteriores se pueden construir otros, de relativa
importancia, para obtener de ellas sus Razones Trigonométricas.
%
45° 53°Razón Trigonométrica
seno
coseno
tangente
cotangente
secante
cosecante
137*72=18° 30’r
3k
,45o
*
3/5
4/5
3/4
4/3
5/4
5/3
4/5
3/5
4/3
3/4
5/3
5/4
eos
tan
cot
1/2
a/2
z/3/3
2^373
~~2
v>2/2
V2/2
1
1
V2
5372 = 26° 30L
2k
a/3/2
1/2
a/3/3
2
2^/3
4572 = 22° 30’
3¡2 + >¡2k
3.2C Razones Trigonométricas de Ángulos Complementarios (Co-razones)
Si a y P son dos ángulos complementarios (a + P = 90°), entonces se cumplirá que:
Tk
—íll-------
PROB. 1
tan
0,75tan a
c) tan 2a
3
a) Si tan a = 0,75 =
4-x
x2 = 25 3
x2 = 9 + 16+x2-8xx = 5
A C48x = 25
Luego: sen a = eos a =
Luego:
tan a = 3
sec a = esc a =
PROB. 2
Si se cumple que:
sen (x - 40°) sec (2x + 10o) = 1
tan (3y + 10°) cot (2y + 30°) = 1
B
calcule: E =3
I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos J^iRACSO
JJlDITOIU
RESOLUCIÓN
Si a es un ángulo agudo, tal que:
, obtenga los valores de:
a) Todas las razones trigonométricas de a.
b) tan aJ2
3
4
5
4
3
5
5
3
4
5
Aplicando Pitágoras en el triángulo rectángulo
sombreado.
3
5 + 4
25
8
a
2
sen(x-10°) + cos(y + 40°)
tan(x + 5°) + cot(y + 25°)
b) A partir del triángulo anterior construimos
un nuevo triángulo en donde figure a/2.
Entonces se tendrá que:
c) En base al primer triángulo construimos
un triángulo en su interior donde figure el
ángulo 2a.
-i
4 cot a = -o
24 tan 2a = -y
1 = =1
3
tan 2a =
x2 = (3)2 + (4 - x)2
3
’ 4-25.
8
75 3
100. “ 4
Entonces por Pitágoras : x2 = (4)2 + (3)2
B
tan (3y + 10o) = tan (2y + 30°)★★★★★★★★★★★★★★★★★★
De la primera relación se obtiene:
= 1
y = 20°
Finalmente: E =
(x-40°) + (2x+ 10°) 90°
x = 40°=> 3x=120°
De la segunda relación se desprende que:
= 1
DE RESOLUCIÓN
Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos 35
RESOLUCIÓN
T3 |
Esta igualdad se verifica cuando los ángulos
son complementarios, luego:
Esta igualdad se verifica si los ángulos son
iguales, luego:
3y + 10° = 2y + 30°
sen 30°+eos60°
tan45°+cot45°
b-H
1+1
=> sen(x-40°)
2) Cuando una razón trigonométrica es igual a su respectiva co-razón trígono-
métrica, inmediatamente se debe asumir que la suma de sus ángulos es 90°.
3) Toda vez que una razón trigonométrica de cierto ángulo es igual a la misma
razón trigonométrica de otro ángulo, entonces se debe afirmar que dichos ángulos
son iguales (pero esto ocurre solo cuando se trata de ángulos agudos)
4) Ante la presencia de las razones trigonométricas de los ángulos de 30°, 60°, 45°,
37° y 53°, debemos utilizar sus respectivos triángulos notables de dichos ángulos.
5) Si se tiene el valor de una razón trigonométrica de un ángulo agudo, y se desea
calcular los valores de las razones trigonométricas del ángulo mitad o del ángulo
doble, se procede a realizar construcciones geométricas adecuadas.
E=1
tan (3y + 10°) . tan(2y + 30o)
sen(x-40°). cos(2x + 10°)
eos (2x + 10°)
1) Cuando un ángulo es agudo, y se conoce una de sus 6 razones trigonométricas,
es inmediato el cálculo de los valores de las razones trigonométricas restantes,
simplemente construyendo un triángulo rectángulo ubicando a continuación uno
de los ángulos agudos, e identificando sus lados, de acuerdo con la razón
trigonométrica dada, y finalmente aplicamos el teorema de Pitágoras.
Enunciados de Problemas
con Resolución
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS
CA) 124
A) 1/2 B)1 C)2 D) 1/3 E) 3
B) 142
C)168
D) 186
BA 5 DB) 1/2 C)1 E)4A) 1/4 D)2 E)210
B
B)2 C)3A)1 D)4 E)5
A C
2 sen A = esc C
Calcular: W = tan C -
B
A) 1/8 B) 1/4 C) 1/2 D)1 E)2
E) 73A) 5/3 B)5 C)4/3 D) 3/4
C)3 D)1A) 1/2
36 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSO
1 D I T 011 >
02.- En el triángulo rectángulo ABC (A = 90°), se
sabe que: cot C + cot B = 4; entonces al calcular
F = 16 sen B.sen C.cos B.cos C se obtiene:
08.- A partir de la figura mostrada, determine
el valor de: M = cot a - tan 0, si: AB = CD.
D) 2+ 75
E) 3- 72
07.- En la figura mostrada m Z ACB=90°, AC = b,
BC = a, AB = 2Job ,a<b. Calcule: tan 9.
C
E) 1/3
A) 72 + 75
B) 2- 73
C) 73 - 72
tan 0 =
cot~A
2
03.- Se tiene un ángulo agudo “0” tal que:
21
20
1
Calcular el valor de: M = — sen 0 + 4 eos 0
04.- En un triángulo rectángulo ABC se sabe
que: m Z ABC = 90°. En este triángulo se veri
fica que:
01.- De un triángulo rectángulo ABC, se cumple:
tan A + tan C = 2. Calcular el valor de:
M = esc A . esc C
06.- En la figura mostrada, m Z ABC = 90° ,
m Z CAB = a, m Z CDB = 0 , DB = 3, CB = a.
Además : tan a + tan 0 = 77. Encontrar el
valor de a:
A
B)2
05.- Calcula la secante del mayor ángulo agu
do de un triángulo rectángulo sabiendo que
sus lados están en progresión aritmética.
A) 140 C)166 D)174 E) 182B) 158
A) D)
M = si: AD = DC
B
A) 711717
A D C 0971717 EA)1 B) 1/2 02 D)3 E) 1/3
D)
E)
15.- En la figura mostrada ni Z ABC = 90°. Si:
tan A
entonces al calcular x se obtiene :
A C
A) 5
C
B)4
C)A) B)
C)3 a
D)2
D) E) A Bc
E)1
R.T. RECÍPROCAS
16.- Calcular el valor de:
C)ó73 M
E)16 73D)8 73 B) 713 D) 75A) 13 C) 5 E)3
Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos
09.- El perímetro de un rectángulo es de 492 m
y su diagonal forma con la base un ángulo
cuya cotangente es 1,05. Calculedicha diago
nal (en m).
3
4
JL
15
b
a
en términos de «a» y «b».
B
10.- A partir de la figura, calcule el valor de:
2.sen0
cosa.cosfJ ’
b + 4ab
■Jba-b2
5375 TtL
360
25ttL
53
b + ^2ab
i¡2ab-b2
I (4cos36°+9sen54o)sec36°
V cotl8°.cot72°
b + -JaJ>
a + 4ba
12.- En un paralelogramo los lados adyacen
tes miden 8 ni y 16 ni. Si el ángulo comprendi
do entre dichos lados mide 60°, determinar la
longitud de la menor diagonal.
12x
-pj- y 10(6c - b) = b - c
14.- En la figura mostrada, ABCD es un cuadra
do de lado L y E es punto medio de AD. Calcu
le la longitud del arco BC aproximadamente.
11.- En el gráfico mostrado, se sabe que:
AD = CD = a; AB = b.
Exprese cot j
C)f
473B) —
13.- El perímetro de un triángulo rectángulo es
132 u, y Iji suma de los cuadros de sus lados
es 6 050t< . Calcule la tangente del menor án
gulo agudo.
Rt 7nLB) 25
E)|
17.- Calcular el valor de “x" que verifica:
(sen A)
Calcular el valor de sen A.
A) 3/5 B) J2 /2 C) 1/5 D) 75 /2 E) 1/3siendo x un ángulo agudo.
A) 15" B) 12.5“ C) 16° D)37“ E)25“
18.- Si se verifica que:
A) 15
sen(5(f + .y) - cos(40° - x) + tan(.r + 1 O")-tan(x+40°) = 1
B)18
C)21
D)24 CAA) 1 B)2 C)3 D)4 E)5
E)27
sen (a + y) - eos (85“-y-z) = 0 ... (1)
tan 2a . tan 3z = 1 ... (2) calcular: M = eos 69 + tan (50 - 5“)
Calcular: M = tan(2A +11°) - tan (x + z) A) 1/2 B)1 Q3/2 D)2 E)5/2
A) 3/4 B) 1/5 C)7/9 D)1 E)7/12
20.- Sabiendo que:
A = tan 1° . tan 2°. tan3“... tan 45“
B = tan 46“. tan 47°. tan 48°... tan 89°
,2
A) 3 C) 1/2B)2 E)1 • Calcular:
A) 75 C) 75 /3 D) 1/2B)1 E) 1/321.-Si: M =
R. T. DE ÁNGULOS NOTABLES
A) b/a B)2 C)2a/b D) 3b!a E)a/b
Además: O es centro de la circunferencia.
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos38
22.- En el triángulo rectángulo ABC, recto en
B, se verifica que:
19.- Siendo x, y, z ángulos agudos que se rela
cionan así:
26.- De ¡a figura mostrada, calcular: “tan 0”, si
se sabe que:
25.- Sabiendo que se verifican las siguientes
relaciones:
1 + M
Simplificar:
sec(3x-15“)
<1* RACSO
I O IT O H |
a¿(senl0“-l) + a2 -¿2cos80°
a¿(cos80°+l) + a2 + />2senl0°
24.- Sabiendo que 0 es un ángulo agudo y que:
esc (0 + 20°) = 2 tan 10“.sen 20“.sec 70°. tan 80°
23.- A partir de la figura mostrada, calcule “x”
si:AD = DC y sen (39°- 0) = eos (14° + 30).
senl0°+sen20°+... + sen80°
eos 10“+cos20“+... + eos 80“
i(cosC) + (cosC)(scnA,= ^
7t
a + b = ~ rad6
mZOCB = 37“
Determinar: M = sec 3x + cot2 —
3
D = tan (10° + 2c+ — d)
Calcular: M = (A.B)2. tan ^A.B.-^J
D) 1/3
sen (5a + 2b + c) = eos (20“ - 3a) ...(1)
eos (4<7 + e) = eos (40° + e) ... (2)
31.-Al calcular:A) 1/3
B)2/5
O WC)3/7
D)5/4 Se obtiene:
CBE)2/3 C)3A) 5 B)4 D)2 E)1
27.- De la figura mostrada, calcular: tan 9. 32.- Sixes igual a 15°, entonces al calcular:
:ot24x, se obtiene unW =
número de la forma
B) 18 C)6 D)22 E)35A) 25
D) V3 /5 E) 2/3 33.-De la figura mostrada, calcular el valor de:B)3/4 C) 4/3A)1
M = tan(20 - 30°), cot 028.- Si ABCD es un cuadrado, calcular: “tan x"
BCBA) 11/19
B) 21/25
E
C) 13/16
D) 14/19
A)1DAE)5/12
= 4 eos 60° - x
A) 1/3 BE)5D)-3C)3B)-2A)1
B) 41
DC)3 V2 .a
D) 41 /2 cMCalcular: A
E)3
E)12B)8 C)6 D)10A) 4
Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos 39
30.- Si se cumple que:
sec 0 = tan260° + sen 30°, donde 0 es agudo
_n.
E
34.- En la figura mostrada ABC es un triángu
lo rectángulo isósceles, donde D es punto
medio de BE . Calcule : cot a.
e\
C
D) J3 E)3/4
45 .tan 0 +
tan24x+ cos23x
sen 2x
| cot330°-6.sen60°+csc245°
cot45o.sen260°+V3.csc60°-^
4
29.-Calcular el valor de “x” si:
2x(sec 45°-sen 45°)sec60
y . Evaluar a + 3
A 14
B)2 C)V3/3
MISCELÁNEA tan {a + b) — V343.- Si: tan (a - b) = 1
Calcular: a--b
A)1 B)3 C)5 D)7 E)9
44.- En la figura: ¿ Cuál es el valor de "a" ?.A) 0.6 B) 0,5 C) 0,4 D) 0,7 E) 0,8
D
A)1 B)2 C)3 D) 1/2 E) 1/3 b
D)5° C
38.- Si: tan (2x + 25°) = coi (5a - 5o).
A) 4 73 B)6 D) 12 E) 12 ,/3C)6Determinar "x" (agudo)
A) 10° D) 40° E)45°
39.- Calcular a en:
tan (x + 41 °). tan (2.x - 31 °) = 1
A) 26.3° B)26°30’ C)26°40’
B) 300/73
D) 30’40'
C)400/73 x
40.- Si:
A
entonces el valor de x es:
E)175 B C--
El valor del mayor ángulo agudo es:
E = , para 0 = 30° es:
A) 15° B) 20° C) 25° D) 35° E) 45°
A) 10/3 C) 5/6B) 3/2 D) 1/2 E)2/3
1
A) 20° B)30° C)40’. D)5 0°
40 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ¿SiRACSO
J>lDtTOlll
36.- En un triángulo isósceles ABC (AB = AC)
se sabe que: eos A = 0,6. Calcular tan B.
35.- Los lados de un triángulo rectángulo es
tán representados por tres números en pro
gresión aritmética. Calcular el coseno del me
nor ángulo agudo.
\30°
60°n
A B
4—2V3—4-
B)20°
E)30°
30°
E)6Ó°
C) 30°
A) 36° E)35°
46.- El valor de la expresión:
cot220 + sec20
sec 20
45.- ¿Cuál es la distancia x en la figura?
„D-f
I col I-
B) 30° C)45° D)20°
0)250^
a/3 A)240
41.-Si: cot 2x-tan 3y = 0 ,y, 2x-y=10°
42.-Calcular : a + P , si:
sen a - eos 2P = 0 a sen 3 . esc 4a
5x-96°j
37.- Si: sen 3x = eos 75°, calcular "x" (agudo)
A) 10° B) 15° C)20° D)5° E)30°
ie>¿o
Q
O
Los teodolitos modernos, llamados estación total, permiten
notnrm¡ñor ilrxc v/artiz-olíic xz kxz->ri Tz-xrxf-i I nc* \
/•
había podido
rrrc ‘Tt.-c
¡CAP.
r
r Cuando una pelota rebota sobre un piso plano, la dirección de S
los movimientos, definidos por «a,» y <a2», están relacionados Vjg
' mediante razones trigonométricas: N
Así, por ejemplo, fue posible medir la
distancia de los planetas respecto de la
tierra y a partir de ello establecer la
influencia de estos sobre nosotros.
7
\
Donde «e> es
«p» es el coeficiente de rozamiento entre el
niso v la nelota. S'jrl \ . ■»
a, ,
1
I
l Lj
'r.
> Ruso Rano Ruso Raso Raso Rano Ruso Raso Raso Raso Rano Raso Raso Raso Raso Raso Raso Raso Raso Raso Raso Raso Raso Raso Raso Rj»
icm Raso RasoRaso Racso Raso Raso Racso Raso Raso Racso Racso Raso Raso Raso Racso Racso Racso Raso Raso Racso Racso Raso Racso Racso Raso I
Sragafa»
determinar ángulos verticales y horizontales, f
\ r > S utilizando un microprocesador electrónico
también miden distancias mediante la aplicación de
razones trigonométricas como reV serio, coseno o
tangente. * V
iniíifc I r-
./ La aparición de la Trigonometría, con sus razones trigono
métricas, impulsó la solución de problemas que la Geometría de
■ ----- —• entonces no I ' ’
1 resolver.
■* i
taneq-jx
tana2 + p
el coeficiente de restitución y ¡t
pisoy la pelota.
¿EXISTEN SOLO 6 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS?
ver cos'(0) = 1 + cos(0)
cover sen(0) = 1 - sen(0)c) Coverseno:
d) Covercoseno:
semiver cos(0) = ver cos(0)/2
semicover sen(0) = cover sen(0)/2
semicover cos(0) = cover cos(0)/2
En la siguiente imagen se muestran las
seis que más se usan actualmente (las seis
más conocidas y sobrevientes) junto con
el verseno, el coverseno, la exsecante y la
excosecante:
Históricamente se han tenido en cuenta otras razones trigonométricas de las seis conocidas
actualmente y que por algunas razones dejaron de ser importantes. Veamos algunas de
ellas:
g) Semicoverseno:
h) Semicovercoseno:
cover cos(0) = 1 + sen(0)
semiver sen(0) = ver sen(0)/2
a) Verseno: ver sen(0) = 1 — cos(0)
Esta fue una de las razones trigonométricas más importantes (aparecía en algunas
de las primeras tablas trigonométricas), pero fue perdiendo «nombre» poco a poco y
ahora prácticamente no se usa.
b) Vercoseno:
Casi nada, ¿verdad? Seguro que para la gran mayoría de vosotros estas razones trigono
métricas son totalmente nuevas, al igual que ocurrirá con las dos últimas que os voy a
presentar:
i) Exsecante: exsec(0) = sec(0) - 1
La exsecante, aunque ya prácticamente no se usa, fue muy importante en agrimensura,
astronomía y trigonometría esférica.
j) Excosecante: excosec(0) = cosec(0) - 1
e) Semiverseno:
El semiverseno (haversin en inglés) era muy conocido y muy utilizado en navegación
por formar parte de la fórmula del semiverseno para el cálculo de la distancia entre
dos puntos de una esfera dada las longitudes y las latitudes de los mismos.
f) Semivercoseno:
í .. Si? i.
4.1. DEFINICIÓN
4.2. TEOREMAS
4.2A TEOREMA 1. Conocida la Hipotenusa (m) y un ángulo agudo (a). Fig. (a)
4.2B TEOREMA 2. Conocido un ángulo agudo (a) y su cateto adyacente (m). Fig. (a)
4.2C TEOREMA 3. Conocido un ángulo agudo (a) y su cateto opuesto (rn). Fig. (a)
m tan am sena m
m cot amm eos a
F¡S- (c)Fig. (b)Fig. (a)
En general.- En cualquier triángulo rectángulo, se tiene:
Incógnita = (Dato) • R.T. (Z) R.T. (Z)Donde:
Resolución de Triángulos Rectángulos
Resolver un triángulo rectángulo es determinar la longitud de sus lados y la medida de
sus ángulos agudos, para lo cual deben ser conocidos al menos un lado y un ángulo agudo.
En la resolución de triángulos rectángulos se presentan tres casos los que se resuelven
por medio de un determinado grupo de teoremas.
Siendo: Incógnita: El lado del triángulo rectángulo que se desea calcular.
Dato: Es el lado del triángulo rectángulo que se conoce.
R.T.: Es la razón trigonométrica que corresponde al dividir la incógnita entre el dato.
Incógnita
Dato
1
. - .... ... ... . .. . .... .. - • -• • - .... (
fe s'fflü c i on-:d ézTri á na tilos
^3iR jetadlos/ <
4.3. ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
s = sen a
—JLS.
3 sen 0 + sen 0 = 3 eos $ + 2 sen 0PROB. 1
1.- Si ABCD es un cuadrado, calcule: 2 sen 0 3 eos 0
col 02
Luego:tan 0 + cot 0
PROB. 2
En el nuevo gráfico: AD = PQ
*
12
3
A 3 sen 0 En la nueva figura, se observa que:
rrn 421 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSO l D l T o m
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Está determinado por el semiproducto de dos de sus lados, multiplicado por el seno del
ángulo comprendido por dichos lados.
En la figura: ABCD es un cuadrado, demuestre
que: p + r
mn
2
C
sen0
B
ZT
Q r
I
.CN J
c
13tan 0 + cot 0 = “g"
=> tan 0 = -I =í
sen0 _ 3
cos0 — 2
18
ri” r
P sen 0 D
PR = QS
Entonces:
p sen a + r sen a = q sen a + t sen a
p + r = q + t
a
q. ar n
En el triángulo sombreado:
RP
h — m sen a
Área A =Luego:
PROB. 3 Área A =
DE RESOLUCIÓN
Incógnita = dato (lado) x R.T. (Z agudo)
Resolución de Triángulos Rectángulos .TV 43
RESOLUCIÓN
ESTRATEGIAS
n
A
jz
D
2) Una vez que identificamos al triángulo rectángulo con
ángulo, se aplica la siguiente técnica.
Sean m y n los lados del triángulo y a el ángulo
comprendido.
Dos lados de un triángulo rectángulo miden
myn. Calcula el área de su región triangular.
Si además se sabe que el ángulo comprendido
entre dichos lados es «a».
C
TZ
B
ZT
basexaltura
2
nxm sen a
2
en los cuales se conozca mínimamente
ángulos agudos.
un par conocido: lado y
1) Tratar de buscar triángulos rectángulos
uno de sus tres lados y uno de sus
h sen a = — m
Q
TJ
q sen a I
I
ZJ
P sen a \
al\,
Si \
-n «r
s
______ Ersen a
Finalmente: Área A = —sen a
Enunciados de Problemas v
con Resolución
TEOREMA 1
A) 3a.b + a eos a a
B)2/3
B)b - a eos a a
C) 1/3bC)b + a sen a
D)3/2
D) b - a sen a CE) 1/2
E) b + 2a sen a
A BA)msen 0 D) m(sen 0 + eos 0)
B) meos 0 E) 2rn sen 0
C) /«(sen 0 - eos 0)
03.- Calcular «x» en la figura:
A) 12 75
E)12V3
D) a sen Q + b eos 0A) a - b sen 0
E) a sen 0 - b eos 0B) a eos 0 + b sen 0
C) a eos 0 - b sen 0
1 Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ¿íá RACSO
JP BDITOklt
06.- En la figura la longitud del segmento PS
y RT es L y la segmento TS es k. El valor de
k está dado por:
02.- En un triángulo rectángulo se conoce uno
de los catetos «//i» y el ángulo opuesto «0».
Calcularla altura relativa a la hipotenusa.
04.- En la siguiente figura, G es el baricentro del
triángulo ABC; AD = BD y 3 sen a - eos a = 3.
Calcular la tangente del ángulo DCG.01.- Dada un banderín, como muestra la figu
ra, calcular <«».
05.- La figura muestra un cuadrado cuya área
es 64 m2 y tal que PC = BP. Calcular AM si
AP = 6 in.
A) L (sen 0 - sen a) T
A) D)
B) L (sen a + sen 0)
SC) L (sen a . sen 0) Bj E)
D) L (sen a - sen 0)
Qp C)RE) L (sen a + sen 0)
A
A) Rsen 0
B) R sen 0/2
C) 2R eos 0 b aD) R eos 0/2
CBE)2/? sen 0
D)R(M+1)
C
A) 18
P B B)15A
D) 3 eos a - 4 sen aA) 3 eos a + 4 sen a C)12
E) 4 cot a - 3 seo aB) 4 eos a+3 sen a D)9
C) 4 eos a - 3 sen a E)6
TEOREMA 2
B
. tan 0
CDA
Resolución de Triángulos Rectángulos
11.- Si ABCD es un cuadrado ni Z EBA = 53°,
ni Z DCE = a, ni Z BEA = 90°. calcular:
pq eos a
q- p sen a
pq eos a
p-qsen a
pq sen a
q + p eos a
pq sen a
p + q eos a
P<1
p sen a + q eos a
B2 + ¿>2
W= 5V10 .cosa.
B)( ).eos 0
07.- En la circunferencia de radio R se ha ins
crito el triángulo ABC con AB - AC. Si la me
dida del ángulo BAC es 0, entonces la longi
tud del lado BC es:
10.- En la figura mostrada se cumple: AB = BC=R
y sen2a + eos a = M, determinar: PQ.
ABC y PBD son sectores circulares
concéntricos.
12.- Las bases de un trapecio isósceles son B
y b. Si los lados no paralelos forman con la
base mayor un ángulo 0, hallar el área del tra
pecio.
B
A) RM B)R/M
E)RM208.- En la figura mostrada, calcular el valor de
“x". Si: AC = 4 y ni Z BPC = 53°.
«m
1
D C
C)R(M-l)
09.- De la figura mostrada, ni Z ABC = 90°,
ni Z CBD = a ; AB = p ; BC = x ; BD = q.
Calcule x.
A) 72 -1 C) +1B)272 + 1
D)2,/2 -1 E) 72 +2
17.- En la figura mostrada se verifica que:
mZCBE = mZDCE = p , «iZDAE = 0
z2a\
CA E
•O
es un cua-
C)1 E)3A)-2
R = tan x - 2 tan (.r - y)
A) 0,5
B)1
C)l,5
D)2 A ED
E)2,5
RACSO
jy I O IT O X 11Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos46
c
D)2
A) 273
B) 710
C) 77
D) 272
E) 75
A
B)-l
B2 —¿?2
4
j tan 0
15.- En la figura mostrada se cumple:
AB = CD. m Z BAD = P y m Z ACD = a,
calcular: cot a - tan P
Calcule tan 0 en términos de alguna razón tri
gonométrica de p.
A) sen3p
B) cos2p
C) tan3p
D) cot2p
E) sec4p
18.- Si ABCD es un cuadrado, ni Z DFA = a, y
además E es punto medio de BC; calcular el
valor de: sec a.
D) (
E) tan 0
B¿> nC) —.sen 0
19.- En la figura mostrada ABCD
drado. Determinare! valor de:
16.- En la figura mostrada, m Z ABC = 90°,
m Z DCB = m Z CAB = a, AD = 2 BC. Calcu
le: tan a.
C
14.- La altura de un cono circular recto es h y
el ángulo de abertura es 2a. Hallar en función
de h y de a, el radio de la esfera circunscrita.
A) 0,5 h sen- a
B) 0.5 h eos" a
C) 0.5 h tan- a
D) 0,5 /i sec' a
E) 0.5 h esc- a
13.- En un triángulo ABC, recto en B. la me
diana CM y el cateto BA forman un ángulo 0,
entonces tan 0 es:
A) 2 tan Á B)2cotÁ C)2tanC
D) tan Á + tan C E) 2(tan C + cot Á )
m Z ABC = m Z AEB = 90°,
TEOREMA 3
20.-En la figura, halle AB en términos de R y 0.
A) R tan 0 (esc 0+1)
B) Rcot 0 (esc 0+1)
C) R tan 0 (sec 0+1)
D) Rcot 0 (sec 0+1)
E) R tan 0 (esc 0-1) A B
21.- En la siguiente figura: AB =a, 2AB = DC.
Calcular el área del triángulo EFG.
D
A
2a
a
24.- De la figura, calcular “x”, si: AC = CD.
CB A) a tan 0F
B) 2a tan 0
C) a cot 0
D) 2a cot 0E) (tan a - cot a) D
E) 2a sec 0
F
E B
CM
A) D) D
E) «(cot a + tan P)B)
C)
Resolución de Triángulos Rectángulos 47
23.- Una circunferencia con centro en O está
inscrita en un triángulo ABC. Si la distancia
de O al vértice A del triángulo es la media pro
porcional entre las distancias del mismo pun
to O a los otros dos vértices, entonces la rela
ción que se establece entre los ángulos deí
triángulo es:
22.- En la figura mostrada, determinar “x”, si:
NC = «, ni Z ABM = a y «i Z MCN = p.
B
B ir 1L
A
A
a sec P
cot P - tan a
a esc P
tan a-cot P
«secP
tan a-cot P
a esc P
cot a - tan P A
25.- En la figura mostrada BDEF es un cuadra
do. Si además: ni Z DBA = a, ni Z BCA = P;
calcule: cot p.
A) esc2 a - cot a
B) tan2 a + sec a
C) cot2 a - esc a
D) sen2 a + tan a
E) sec2 a + tan a C
2a- C) tan a.. a1 , _. 2a2A) -¡v tan a B) —rr cot a1 o 43
a2D) Tí? (tan a + cot a)lo
26.- En la figura mostrada determinar “x” en
términos de “r” y “0"
C . sen
C)sen2 y = eos y
B . sen "2
C . eos y
C
sen 2
A) sen2 y = sen y
E) sen2 y = sen y
B) sen2 y = eos y
D) sen2 y = sen y
C
eVX
c
■sen 2
A)
A
B)
B)
C)
D) C B
D) E) r tan 0
27.- En la figura mostrada se cumple que:
OB = AB = OC = CD. Calcular: “cot 0”
M =
A) 73/3 A
A) B) C)0 2
B
1
D) E)
D) 73 +1
O cE) Jí
A) 45°
B)37°
C)30°M = 2cos0 + cot0.
D)6(rA)1 A N
E)53°B)2
C)3
M
D)4
A) 4 sen 0
E)5 O B) 8 sen 20
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
C)2cos 20
29.- De la figura mostrada se sabe que: D) 5 sen 0
A 4 O 4m Z BCA = m Z ADC = 90°; m Z ABC = a. E) 3 eos 20
■'1 48 I Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos RACSO>> 1DITOM11
B) 273 -1
C) 75 -1
Si además el área de la región triangular ADC
es k, calcule el área de la región triangular ABC.
32.- En la figura mostrada, evaluar el área de la
región triangular AOB en términos de 0.
k_
2
E) k tan2 a
30.- A partir de la figura mostrada, se pide de
terminar M, si:
2
3
3.
2
1
3
1
4
T
X
1
rese 0
sec 0-1
rcot 0
esc 0 +1
rcot 0
esc 0-1
r tan 0
esc 0 + 1
k_
2
C) ¿sec2 a
A) k esc2 a
33.- Si ABCD es un cuadrado donde: CD = 3ED
y además: m Z BEA = 0 ; calcular esc 0.
eos2 a
B
sen2 a
28.- En la figura se muestra un afeo de circun
ferencia, donde: AM = BN. Determine el valor
de:
31.- De la figura, calcular “0”, si se sabe que:
S = área de una región triangular.
c E D
A) 3 E
B)2
CC)1
AB D) 1/2 D
E) 1/3
bA) 5
B)4
B)A)
C)3
D,
D)2 C) D)
E)1
E)
; AB = t ; BD = «»iZBDC = 0
A) 2
Calcule el área de la región sombreada.
B)1
A C)3
D) 1/2
E) 1/3
C) 2 ab sen2 0. eos 0 B
D) 2 ab sen 0.cos~ 0
CD E
Resolución de Triángulos Rectángulos 49
38.- En la figura ABCD es un cuadrado, M y N
son puntos medios. Determinar «cot 0».
_____ b2_____
3(cota + cotP)
_____ b2_____
3(cota-cotp)
_____ b2_____
2(csca-csc P)
_____ b2____
2(cot a + cot P)
_____ b2_____
6(csca-cot P)
37.- Determinar el área de la región triangular
de la figura:
C B
35.- En la figura mostrada se sabe que:
34. - En la figura mostrada, ni Z ABC = 90°,
ni Z BCA = ni Z DAB = a. Asimismo se sabe
que el área de las regiones triangulares ABD y
ADC son equivalentes. Calcular el valor de:
W = eos 2 a . esc2 a
A
C)4F
A)^0
r> 7160
E ~Í2—
36.- En la figura mostrada, ABCD es un rectán
gulo. Si: AD = 4CD, CE = CD, m Z BFA = a;
calcule: W = 73 + 7tana
B)^l
B) ab sen 0.cos 0
D)^H5
10
A) y ab eos2 0
E) | ab sen2 0
ffiZABD = mZAED = mZBCE = 90° ;
Sociedad
■
líMedir una distancia vinculada al ángulo de elevación o >
depresión le permite al topógrafo medir los desniveles de un
' terreno o de algún punto
. particular de un proyecto. ,
■wi Las alturaso profundidades se miden
■ T resolviendo el triángulo rectángulo que
j se puede formar con los datos.
I X '
/ El ángulo de elevación es muy útil para determinar la altura de 1
los objetos. Cuando fue posible tomar datos de las alturas o '
desniveles de un terreno se dio
pase a una nueva disciplina
llamada hipsografía, del término griego,
«hypsos> (altura).
-y La localización de los objetos, personas, lugares, etc., son de
■ mucha ayuda en la actualidad. Estas son determinadas por
técnicas que, mediante
softwares, logran emplear los
datos hipsográficos e imágenes. Uno
de ellos es Google Maps.
Ü3 •
•H
5.1. ÁNGULOS VERTICALES
a: es la medida del ángulo de elevación
5.2. ÁNGULO DE OBSERVACIÓN
Üneá visual
0: ángulo de observación en el P.V. <j>: ángulo de observación en el P.H.
Problemas de Trigonometría y cómo resolverlos ^iRACSOJ|iDiroin50T5
P: es la medida del ángulo de depresión
tíM-
Se denominan así a aquellos ángulos agudos, uno de cuyos lados se ubica sobre la línea
horizontal mientras que el otro
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