Ley de Coseno y Tangente

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Ley de Coseno y 
Tangente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Índice: 
 
I. Introducción 
 
II. Ley de Coseno 
 
 
a. Formulación y definiciones 
 
b. Demostración 
 
 
c. Aplicaciones y ejemplos 
 
III. Ley de Tangentes 
 
a. Formulación y definiciones 
 
 
 
b. Demostración 
 
 
c. Aplicaciones y ejemplos 
 
IV. Relación entre la Ley de Cosenos y la Ley de 
Tangentes 
 
V. Conclusiones 
 
 
VI. Bibliografía 
 
VII. Anexos 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. Introducción 
 
 
La geometría euclidiana estudia las propiedades y 
relaciones entre figuras geométricas planas y 
espaciales. 
En este contexto, la ley de cosenos y la ley de 
tangentes son fundamentales para analizar y resolver 
problemas relacionados con triángulos. 
 
 El objetivo de este ensayo es presentar la formulación, 
demostración, aplicaciones y ejemplos de ambas 
leyes, además de establecer la relación existente entre 
ellas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. Ley de Cosenos 
 
a. Formulación y definiciones: 
 
La ley de cosenos establece que, en cualquier 
triángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes 
de dos lados es igual al doble del producto del 
cuadrado de la longitud del lado restante por el valor 
del coseno del ángulo opuesto. Matemáticamente se 
representa como: 
 
```A^2 + b^2 = 2abcosen©``` 
 
Donde a, b y c son los lados del triángulo y C es el 
ángulo opuesto al lado c. 
 
 
 
 
 
b. Demostración: 
 
La demostración de la ley de cosenos se basa en la 
aplicación del teorema de Pitágoras a un triángulo 
rectángulo formado por un cateto del triángulo original 
y la altura relativa a la base. A partir de esta 
construcción y algunas manipulaciones algebraicas, 
se deduce la relación entre las longitudes de los lados 
y el coseno del ángulo opuesto. 
 
c. Aplicaciones y ejemplos: 
 
La ley de cosenos se utiliza para resolver problemas en 
los que se conocen dos lados y el ángulo opuesto al 
lado restante. Por ejemplo, si se conoce que un 
triángulo tiene un lado a = 5 unidades, un lado b = 4 
unidades y el ángulo C = 60°, se puede utilizar la ley de 
cosenos para hallar la longitud del lado restante c. 
 
 
 
 
 
III. Ley de Tangentes 
 
 
a. Formulación y definiciones: 
 
 
La ley de tangentes establece que, en cualquier 
triángulo, la relación entre el valor de la tangente de la 
mitad de la diferencia entre dos ángulos y el valor de la 
tangente de la mitad de la suma de estos ángulos es 
igual a la relación entre las longitudes de los lados 
opuestos a esos ángulos. Matemáticamente se 
representa como: 
 
```(tang((A-B)/2))/(tang((A+B)/2)) = a/b``` 
 
Donde a y b son los lados del triángulo y A y B son los 
ángulos opuestos a estos lados. 
 
b. Demostración: 
 
c. La demostración de la ley de tangentes se basa en 
la transformación de las fórmulas trigonométricas 
tangente suma y tangente resta, seguida de una 
serie de simplificaciones y sustituciones 
algebraicas. La demostración también utiliza la 
ley de sines para relacionar las longitudes de los 
lados con las tangentes de los ángulos opuestos. 
 
 
d. Aplicaciones y ejemplos: 
 
La ley de tangentes se utiliza para resolver problemas 
en los que se conocen dos lados y el ángulo entre 
ellos. 
 
Por ejemplo, si se conoce que un triángulo tiene un 
lado a = 4 unidades, un lado b = 3 unidades y el ángulo 
A = 60°, se puede utilizar la ley de tangentes para hallar 
la longitud del ángulo B. 
 
 
 
 
 
 
 
IV. Relación entre la Ley de Cosenos y la Ley de 
Tangentes 
 
Aunque la ley de cosenos y la ley de tangentes se 
aplican a contextos geométricos distintos, existe una 
relación entre ellas. 
 
La ley de cosenos se puede derivar de la ley de 
tangentes al aplicar las fórmulas trigonométricas 
tangente suma y tangente resta, seguida de una serie 
de manipulaciones algebraicas y la aplicación de la ley 
de senos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V. Conclusiones 
 
 
En conclusión, la ley de cosenos y la ley de tangentes 
son herramientas fundamentales en el estudio de la 
geometría euclidiana. 
 
 La primera se aplica a triángulos y relaciona las 
longitudes de los lados con el coseno del ángulo 
opuesto, mientras que la segunda se aplica a 
triángulos y relaciona las tangentes de las mitades de 
la suma y resta de dos ángulos con las longitudes de 
los lados opuestos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VI. Bibliografía 
 
 
 
• Euclides. (2008). Los elementos (Vol. 1). Gredos. 
 
• Gómez de Terreros, J. (2016). Elementos de 
geometría. Ediciones Paraninfo. 
 
 
• Mancilha, D. A. (2015). Elementos de geometría 
para arquitectura e ingeniería. UNAM. 
 
• Rojas, M., & Charris, R. (2013). Geometría 
euclidiana. Fondo de Cultura Económica. 
 
 
 
 
 
 
VII. Anexos 
 
 
 
• Anexo 1: Ejemplo de aplicación de la ley de 
cosenos 
 
 
 
• Anexo 2: Ejemplo de aplicación de la ley de 
tangentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo 1:Ejemplo de aplicación de la ley de cosenos 
 
 
Considere un triángulo ABC con lados a = 5 unidades y 
b = 4 unidades, y ángulo C = 60°. Utilice la ley de 
cosenos para hallar la longitud del lado restante c. 
 
 
1. Utilice la formulación de la ley de cosenos: a² + b² 
- 2abcosen© = c² 
 
2. Inserte los valores conocidos: 5² + 4² - 
254cosen(60°) = c² 
 
 
3. Calcule el coseno del ángulo C: cosen(60°) = ½ 
 
4. Sustituye estos valores en la ecuación: 25 + 16 – 
40(1/2) = c² 
 
 
5. Simplifique la ecuación: 41 – 20 = c² 
 
6. Resuelva para c: c ≈ √21 ≈ 4.58 
 
 
El lado c del triángulo ABC mide aproximadamente 
4.58 unidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo 2: Ejemplo de aplicación de la ley de tangentes 
 
Considere un triángulo ABC con lados a = 4 unidades y 
b = 3 unidades, y ángulo A = 60°. Utilice la ley de 
tangentes para hallar la medida del ángulo B. 
 
 
 
1. Utilice la formulación de la ley de tangentes: 
(tang((A-B)/2))/(tang((A+B)/2)) = a/b 
 
2. Inserte los valores conocidos: (tang((60°-
B)/2))/(tang((60°+B)/2)) = 4/3 
 
 
3. Separe la ecuación para obtener una expresión 
para tang((60°+B)/2): tang((60°+B)/2) = 3tang((60°-
B)/2)/4 
 
4. Divida ambos lados de la ecuación por tang((60°-
B)/2): cotg((60°