Leyes de Senos y Proyecciones

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Leyes de Senos y 
Proyecciones 
 
 
 
 
 
 
 
Índice: 
I. Introducción 
 
II. Ley de Senos 
 
a. Formulación y definiciones 
 
b. Demostración 
 
c. Aplicaciones y ejemplos 
 
 
III. Ley de Proyecciones 
 
a. Formulación y definiciones 
 
b. Demostración 
 
c. Aplicaciones y ejemplos 
 
 
 
IV. Relación entre la Ley de Senos y la Ley de 
Proyecciones 
 
V. Conclusiones 
 
 
VI. Bibliografía 
 
VII. Anexos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. Introducción 
 
 
La geometría euclidiana estudia las propiedades y 
relaciones entre figuras geométricas planas y 
espaciales. Dentro de este contexto, la ley de senos y 
la ley de proyecciones son fundamentales para 
analizar y resolver problemas relacionados con 
triángulos y planos respectivamente. 
 
El objetivo de este ensayo es presentar la formulación, 
demostración, aplicaciones y ejemplos de ambas 
leyes, además de establecer la relación existente entre 
ellas. 
 
 
 
 
 
 
 
II. Ley de Senos 
 
a. Formulación y definiciones: 
 
La ley de senos establece que, en cualquier triángulo, 
la relación entre el seno de un ángulo y el lado opuesto 
es constante. Matemáticamente se representa como: 
```a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)``` 
 
Donde a, b y c son los lados del triángulo y A, B y C son 
los ángulos opuestos a estos lados. 
 
b. Demostración: 
 
La demostración de la ley de senos se basa en la 
construcción auxiliar del circuncírculo del triángulo y 
la comparación de los arcos interceptados por los 
ángulos. A partir de esta construcción y la aplicación 
de teoremas geométricos, se deduce la relación entre 
las longitudes de los lados y los senos de los ángulos. 
 
 
 
c. Aplicaciones y ejemplos: 
 
 
La ley de senos es útil para determinar longitudes de 
lados y medidas de ángulos en triángulos cuando se 
conocen dos ángulos y un lado, o dos lados y un 
ángulo opuesto. Por ejemplo, si se conoce que un 
triángulo tiene un ángulo de 60°, un ángulo de 45° y el 
lado opuesto al ángulo de 60° mide 5 unidades, se 
puede utilizar la ley de senos para hallar las longitudes 
de los otros dos lados. 
 
III. Ley de Proyecciones 
 
a. Formulación y definiciones: 
 
La ley de proyecciones establece que la relación entre 
las longitudes de los segmentos formados por la 
proyección de un punto sobre dos líneas paralelas es 
igual a la relación entre las longitudes de las líneas. 
Matemáticamente se representa como: 
 
```AP/BP = AC/BC``` 
 
Donde AP y BP son los segmentos formados por la 
proyección del punto P sobre las líneas paralelas AB y 
AC. 
 
 
b. Demostración: 
 
 
La demostración de la ley de proyecciones se basa en 
la construcción auxiliar de un triángulo semejante al 
triángulo ABC y la comparación de las longitudes de 
sus lados. 
 
 
c. Aplicaciones y ejemplos: 
 
La ley de proyecciones se utiliza para resolver 
problemas que involucran proyecciones de puntos 
sobre líneas paralelas. Por ejemplo, si se conoce que 
un punto P se proyecta sobre dos líneas paralelas AB y 
AC formando segmentos de longitudes 2 y 5 
respectivamente, y la longitud de BC es 10 unidades, 
se puede utilizar la ley de proyecciones para hallar la 
longitud de AP. 
 
 
 
IV. Relación entre la Ley de Senos y la Ley de 
Proyecciones 
 
Aunque la ley de senos y la ley de proyecciones se 
aplican a contextos geométricos distintos, existe una 
relación entre ellas. La ley de senos se puede derivar 
de la ley de proyecciones al considerar un triángulo 
obtusángulo y proyectar el vértice del ángulo obtuso 
sobre la base del triángulo. 
Esta proyección forma dos triángulos semejantes, y 
aplicando la ley de proyecciones a los segmentos de 
estos triángulos, se puede deducir la ley de senos para 
el triángulo original. 
 
 
 
 
 
 
 
V. Conclusiones 
 
 
En conclusión, la ley de senos y la ley de proyecciones 
son herramientas fundamentales en el estudio de la 
geometría euclidiana. 
 
La primera se aplica a triángulos y relaciona las 
longitudes de los lados con las medidas de los 
ángulos, mientras que la segunda se aplica a 
proyecciones de puntos sobre líneas paralelas y 
relaciona las longitudes de los segmentos resultantes. 
 
 Aunque ambas leyes se aplican a contextos distintos, 
existe una relación entre ellas, que permite derivar la 
ley de senos de la ley de proyecciones. 
 
 
 
 
 
VI. Bibliografía 
 
 
• Euclides. (2008). Los elementos (Vol. 1). Gredos. 
 
• Gómez de Terreros, J. (2016). Elementos de 
geometría. Ediciones Paraninfo. 
 
 
• Mancilha, D. A. (2015). Elementos de geometría 
para arquitectura e ingeniería. UNAM. 
 
• Rojas, M., & Charris, R. (2013). Geometría 
euclidiana. Fondo de Cultura Económica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Anexos 
 
 
 
• Anexo 1: Demostración de la ley de senos 
 
• Anexo 2: Demostración de la ley de proyecciones 
 
 
• Anexo 3: Ejemplo de aplicación de la ley de senos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo 1: Demostración de la ley de senos 
 
 
1. Considere un triángulo ABC y construya su 
circuncírculo. 
 
2. El circuncírculo interseca los lados del triángulo 
en tres puntos: D, E y F. 
 
 
3. Conecte los puntos D, E y F con los vértices del 
triángulo ABC, formando tres nuevos triángulos: 
ABD, BCE y CAF. 
 
4. Note que los triángulos ABD y BEC son isósceles, 
ya que los segmentos AD, BD, BE y CE son radios 
del mismo círculo y, por lo tanto, tienen la misma 
longitud. 
 
 
5. Utilice la relación de los senos en un triángulo 
isósceles para encontrar las longitudes de los 
lados: 
 
• En ABD, sen(A)/BD = sen(ADB)/AB 
 
• En BEC, sen(B)/CE = sen(BCE)/BE 
 
 
6. Como BD = CE (ambos son radios del mismo 
círculo), se puede igualar las dos ecuaciones: 
sen(A)/BD = sen(B)/BD 
 
7. Repita el proceso para los triángulos BEC y CAF, 
obteniendo las relaciones sen(B)/CE = sen(C)/CF 
y sen(C)/CF = sen(A)/AF 
 
 
8. Al igualar todas estas ecuaciones, se obtiene la 
ley de senos: sen(A)/AB = sen(B)/BC = sen(C)/CA 
 
 
 
 
 
Anexo 2: Demostración de la ley de proyecciones 
 
 
 
1. Considere un punto P y dos líneas paralelas AB y 
AC, donde P se proyecta sobre estas líneas 
formando los segmentos AP y CP. 
 
2. Construya una línea paralela a AB y AC que pase 
por P, y llámele PQ. 
 
 
3. Dibuje una perpendicular a AB desde P, que 
interseca AB en M y PQ en N. 
 
4. Note que los triángulos APM y PNC son 
semejantes, ya que comparten un ángulo recto y 
ambos tienen un ángulo correspondiente igual 
(ángulo entre AB y PQ). 
 
 
5. Como los triángulos son semejantes, sus lados 
son proporcionales: AP/AB = NP/PN 
 
6. Del mismo modo, los triángulos APN y CPM son 
semejantes, por lo que AP/NP = CP/AB 
 
 
7. Combine las dos ecuaciones: AP/AB = NP/PN y 
AP/NP = CP/AB, para obtener AP/AB = CP/AB 
 
8. Repita el proceso con las proyecciones de P sobre 
BC y AB, y obtenga la ley de proyecciones: AP/BP = 
CP/AB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo 3: Ejemplo de aplicación de la ley de senos 
 
 
Considere un triángulo ABC con ángulos A = 60°, B = 
45° y lado a = 5 unidades. Utilice la ley de senos para 
encontrar las longitudes de los lados restantes (b y c). 
 
1. Utilice la ley de senos: sen(A)/a = sen(B)/b 
 
2. Inserte los valores conocidos: sen(60°)/5 = 
sen(45°)/b 
 
 
3. Calcule el seno de los ángulos: sen(60°) = √3/2, 
sen(45°) = √2/2 
 
4. Sustituye estos valores en la ecuación: (√3/2)/5 = 
(√2/2)/b 
 
5. Resuelva para b: b = 5(√2/√3) ≈ 4.33 
6. . Repita el proceso para encontrar la longitud de c, 
utilizando sen© = √4/2 y c = 5*(√4/√3) ≈ 8.66