MATEMATICA APLICADA unidad 2 leccion 2

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Lección 2: Trigonometría 
 
 
 
 
 
Introducción: 
 
Rama de las Matemáticas que estudia las relaciones entre los 
ángulos y lados en todo triángulo. 
Las relaciones por cociente que se establecen entre los lados 
de un triángulo rectángulo son conocidas con el nombre de 
funciones trigonométricas, y dependen inicialmente de la 
magnitud del ángulo agudo que forman los lados del 
triángulo y no de la longitud de los mismos. 
 
 
Objetivos: 
 
Al terminar esta lección, el estudiante podrá: 
 
1. Entender los conceptos básicos de la trigonometría. 
 
2. Resolver ejercicios aplicativos utilizando trigonometría. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidad 2 2 – 2 - 2 Matemática aplicada 
Lección 1 
 
2.1 Trigonometría 
 
En un triángulo rectángulo los siguientes nombres son dados a los lados del triángulo y 
estos nombres se utilizan para definir las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente. 
Es una práctica estándar utilizar las siguientes abreviaturas para estas razones. 
 
- sen – abreviatura para seno. 
- cos – abreviatura para coseno. 
- tan – abreviatura para tangente. 
- opuesto – el lado opuesto l ángulo dado. 
- hipotenusa – el ángulo opuesto al ángulo recto y es el lado más largo del triángulo. 
- adyacente – el lado siguiente al ángulo dado. 
 
En un triángulo rectángulo los lados y los ángulos están relacionados por tres razones 
trigonométricas, cuales están mostradas en la Tabla 2.1. 
 
Tabla 2.1. Triángulo rectángulo: relaciones trigonométricas entre lados y ángulos. 
Razones trigonométricas Abreviación Lados del triángulo 
Seno sen 
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
= 
𝐶𝑂
𝐻
 
Coseno cos 
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
= 
𝐶𝐴
𝐻
 
tangente tan 
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
= 
𝐶𝑂
𝐶𝐴
 
 
2.2 Usando senos, cosenos y tangentes 
 
Los valores de las razones trigonométricas se proporcionan en las calculadoras científicas 
y tablas matemáticas. Para los ejemplos y ejercicios siguientes será necesaria una 
calculadora. 
 
 
Unidad 2 2 – 2 - 3 Matemática aplicada 
Lección 1 
 
Ejemplo 2.1 
Use su calculadora para encontrar: sen 24o. 
La respuesta es 0.406736643 
El valor correcto de sen 24° = 0.41 a 2 decimales. 
 
Ejemplo 2.2 
Use su calculadora para encontrar: cos 30o. 
La respuesta es 0.866025404 
El valor correcto de cos 30° = 0.87 a 2 decimales. 
 
Ejemplo 2.3 
Use su calculadora para encontrar: tan 40o. 
La respuesta es 0.839099631 
El valor correcto de tan 40° = 0.84 a 2 decimales. 
 
 
Seno 
 
Ejemplo 2.4 
Use una calculadora para 
encontrar el ángulo θ en el 
triángulo mostrado en la 
Figura 2.1(a). 
Solución 
El primer paso es encontrar el seno del ángulo θ. 
 
sen 𝜃 =
𝐶𝑂
𝐻
=
2
4.47
= 0.45 
 
El siguiente paso es usa la función sen-1 en la calculadora para determinar el ángulo θ. Esta 
función quiere decir “¿qué ángulo es, cuyo seno es…?”. En este caso el ángulo es θ y su 
función seno es 0.45. Para encontrar el valor del ángulo θ en grados sexagesimales con el 
procedimiento siguiente: 
Unidad 2 2 – 2 - 4 Matemática aplicada 
Lección 1 
 
Con el valor de 0.45 y utilizando la función sen-1. 
θ = sen−1 0.45 
θ = 26.75 
 
Ejemplo 2.5 
Determine la longitud del lado x en la Figura 2.1(b). 
Solución: 
Se usa la relación de sen θ =
𝐶𝑂
𝐻
 
En este caso, el CO = 3m; la hipotenusa = x. El ángulo θ = 36.87° 
sen 36.87° =
𝐶𝑂
𝐻
=
3
𝑥
 
Despejando x obtenemos: 
𝑥 = 
3
𝑠𝑒𝑛 36.87°
 
x = 5 
 
Ejemplo 2.6 
Encontrar el valor de sen24°15´. 
Solución: 
La calculadora trabaja en grados y decimales, entonces, es necesario convertir 15´a 
decimales. Si 60´es 1°. 15´= 15/60 = 0.25°. 
Entonces: 24°15´= 24.25° 
El resultado de sen24.25° es 0.41. 
 
Ejemplo 2.7 
Una fórmula para la velocidad aproximada de un pistón en un motor alternativo es: 
𝑣 = 𝜔𝑟{𝑠𝑒𝑛𝜃 + (𝑠𝑒𝑛2𝜃)/2𝑛} 
Donde v = velocidad del pistón en m/s. 𝜔 = velocidad angular del cigüeñal en rad/s. r = 
radio del muñequilla en metros y n = coeficiente de la longitud de la biela entre el radio de 
Unidad 2 2 – 2 - 5 Matemática aplicada 
Lección 1 
 
la muñequilla. Calcular la velocidad del pistón cuando: 𝜔 = 300 rad/s, r = 0.05m, n = 4.5 
y 𝜃=30°. 
Solución: 
𝑣 = 300 𝑥 0.05 {𝑠𝑒𝑛30° +
𝑠𝑒𝑛60°
9
} 
𝑣 = 15 {0.5 + 
0.87
9
} 
𝑣 = 8.94 𝑚/𝑠 
 
Coseno 
 
Ejemplo 2.8 
Use la calculadora para encontrar el ángulo 𝜃 en 
el triángulo mostrado en la Figura 2.2. 
Solución: 
El primer paso es buscar el coseno del ángulo 𝜃. 
cos 𝜃 =
𝐶𝐴
𝐻
= 
8
8.83
= 0.91 
El siguiente paso es usar la función cos-1 en la calculadora para determinar 𝜃. Esta función 
quiere decir “¿qué ángulo es, cuyo coseno es…?”. En este caso el ángulo es θ y su 
función coseno es 0.91. Para encontrar el valor del ángulo θ en grados sexagesimales con 
el procedimiento siguiente: 
Con el valor de 0.91 y utilizando la función cos-1. 
θ = cos−1 0.91 
θ = 24.49° 
 
Ejemplo 2.9 
La aceleración “a” de un pistón de motor está dado por la siguiente fórmula: 
𝑎 = 𝜔2𝑟{𝑐𝑜𝑠𝜃 + (𝑐𝑜𝑠2𝜃)/𝑛} 
Donde a = aceleración lineal del pistón en m/s2. 𝜔 = velocidad angular del cigüeñal en 
rad/s. r = radio del muñequilla en metros. n = coeficiente de la longitud de la biela entre el 
radio de la muñequilla. 𝜃 es el ángulo en grados que la muñequilla ha girado del PMS. 
Unidad 2 2 – 2 - 6 Matemática aplicada 
Lección 1 
 
Calcular la aceleración lineal “a” del pistón cuando: 𝜔 = 50 rad/s, r = 0.05m, n = 4.5 y 
𝜃=30°. 
Solución: 
𝑎 = 502 𝑥 0.05 {𝑐𝑜𝑠30° +
𝑐𝑜𝑠60°
4.5
} 
𝑎 = 125 {0.87 +
0.5
4.5
} 
𝑎 = 122.50 𝑚/𝑠2 
 
Tangente 
 
Ejemplo 2.10 
Un vehículo de carretera tiene una ancho 1.52 m y su centro de gravedad está a una altura 
de 1,17 m por encima de la superficie de la carretera. ¿En qué ángulo puede ser inclinado 
el vehículo antes de que se vuelque? 
Solución: 
Un vehículo volcará cuando 
la línea vertical que pasa 
por el centro de gravedad 
(OG), cruza a través del 
punto donde la rueda hace 
contacto con la carretera 
(A), tal como se muestra en 
la Figura 2.3. 
 
De la figura 2.3 obtenemos 
que: 
tan θ =
CO
CA
= 
0.76
1.17
= 0.65 
Usando la función tan-1 y el valor de 0.65. El resultado es 33°. 
El vehículo volcará si el ángulo de inclinación llega a 33°. 
Ejemplo 2.10 
Unidad 2 2 – 2 - 7 Matemática aplicada 
Lección 1 
 
Determinar los ángulos A y B de la Figura 2.4. 
Solución: 
tan 𝐴 = 
2.45
5.2
= 0.47 
ángulo 𝐴 = 25.17° 
 
tan 𝐵 = 
2.45
3.8
= 0.64 
ángulo 𝐵 = 32.62° 
 
 
 
Ejercicios 2.1 
Resuélvanse los siguientes problemas. 
 
1. Usando calculadora encontrar los valores de: (a)sen42°; (b)sen86°; (c)sen 29°; 
(d)sen15°; (e)sen 23°15´; (f)sen30´. 
 
2. Usando calculadora encontrar los valores de: (a)sen-1 0.87; (b) sen-1 0.15; (c) sen-1 
0.50. 
 
3. Calcular la velocidad del pistón cuando r=0.06m, la velocidad del cigüeñal del 
motor es de 6000 rev/min, 𝜃=45° y n = 4. 
 
4. Encontrar la longitud del lado x en los 3 triángulos mostrados en la Figura 2.5 
Unidad 2 2 – 2 - 8 Matemática aplicada 
Lección 1 
 
 
 
5. La velocidad de un objeto cuyo movimiento es armónico simple está determinado 
por la fórmula 𝑣 = 𝜔𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 , donde v = velocidad m/s, r=radio en m, 𝜔 = 
velocidad angular en rad/s y 𝜃 = desplazamiento angular. Calcular v cuando 𝜔 = 50 
rad/s, r = 0.1m y 𝜃 =30°. 
 
6. Encuentre la dimensión x en cada triángulo rectángulo mostrado en la Figura 2.6. 
 
 
7. Usar la calculadora para encontrar los ángulos cuyas tangentes son: (a) 0.51; (b) 
0.75; (c) 0.53; (d) 1.33. 
 
8. Encuentre el ángulo en cada triángulo rectángulo mostrado en la Figura 2.7. 
 
Unidad 2 2 – 2 - 9 Matemática aplicada 
Lección 1 
 
 
 
9. Encuentre la longitud del lado x en cada triángulo rectángulo mostrado en la Figura 
2.8. 
 
 
10. La Figura2.9 muestra el diseño de un 
mecanismo de muñequilla y biela. Calcular el 
ángulo 𝜃; también calcular la dimensión x por 
lo tanto determinar la distancia que el pistón 
se ha desplazado desde el PMS.