MANUNAL_ESTUDIANTE_-Trigonometria

Vista previa del material en texto

1 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
a 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD TRIGONOMETRÍA 
MANUAL DOCENTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INACAP 
Ciencias Básicas 
Vicerrectoría de Académica de Pregrado 
2016 
 
 
 
MANUAL DOCENTE 
 
“TRIGONOMETRÍA” 
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE - INACAP 
UNIDAD 
 
 
2 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD TRIGONOMETRÍA 
 
EDICIÓN 2019 
 
Creación 
Lorena Rosas Toro 
Germán Osses Romano 
Dirección 
Alejandro García Miño 
 
EDICIÓN 2020 
 
Creación 
Bernardita Pérez Ureta 
Validación 
María Verónica Férnandez 
Dirección 
Alejandro García Miño 
Juan Pablo Vargas 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD 
 
 
3 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
PRESENTACIÓN 
 
MATEMÁTICA tiene dos propósitos fundamentales, primero nivelar a los alumnos de las áreas 
de Ingeniería en habilidades matemáticas necesarias para la vida, mediante estrategias de 
clase expositiva, solución de ejercicios y problemas y, segundo, contribuir en la formación 
técnica de los alumnos, mediante el desarrollo de destrezas que mejoren su desempeño 
profesional. 
 
Para ello esta asignatura busca promover el desarrollo de la competencia genérica de 
resolución de problemas. Competencia que busca promover en los estudiantes el desarrollo 
del razonamiento lógico necesario para asumir desafíos del mañana como futuro profesional. 
 
El MANUAL DOCENTE “TRIGONOMETRÍA” ofrece una variedad de problemas y ejercicios 
asociados a los objetivos de aprendizaje presentes en la unidad de Resolución de Problemas 
presente en el programa de la asignatura. La propuesta constituye una guía para organizar, 
orientar y complementar el trabajo del docente. 
 
 
Esperamos que este material sea de ayuda tanto para el estudiante como para el docente. 
 
 
Éxito en esta etapa de la asignatura 
 
 
 
 
 
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS 
VICERRECTORÍA ACADÉMICA 
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE INACAP – 2020 
 
 
 
 
 
UNIDAD 
 
 
4 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
TRIGONOMETRÍA 
 
La trigonometría, al igual que cualquier otra rama de 
la matemática, fue el resultado de la labor de muchos 
matemáticos. Su historia se remonta a los 
astrónomos babilónicos de los siglos V y IV a.c., 
quienes acumulando una cantidad de datos 
astronómicos y astrológicos permitirían a los 
matemáticos griegos construir la trigonometría 
gradualmente. 
 
El aporte de los griegos fue un estudio sistemático de 
las relaciones entre los ángulos centrales (o sus arcos 
correspondientes) en un círculo y las longitudes de las 
cuerdas que los subtienden. Los astrónomos de la 
época Alejandrina ya habían empezado a trabajar en 
problemas que apuntaban de una manera cada vez 
más urgente a la necesidad de establecer sistemáticamente relaciones entre los ángulos y las 
cuerdas. 
 
Estas relaciones les permitieron calcular, a través de las proporciones, el tamaño de la Tierra y 
las distancias relativas al Sol y a la Luna. Hiparco de Nicea (140 a.C.), es considerado como el 
padre de la trigonometría, en efecto durante varios siglos los griegos se habían dedicado a 
estudiar las relaciones entre rectas y circunferencias y habían aplicado estas relaciones a gran 
cantidad de problemas astronómicos, pero de todo ello no había resultado nada que pudiera 
llamarse una trigonometría más o menos sistemática. Todo parece indicar que a mediados del 
siglo II a.C. fue armada la primera tabla trigonométrica por obra del astrónomo Hiparco de 
Nicea. Sin embargo, no es sino hasta principios del siglo XVII, el matemático John Napier 
inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje. 
A mediados de este siglo Isaac Newton, utilizando series infinitas, encontró la serie para el 
sen(x) y series similares para el cos(x) y la tan(x). Finalmente, en el siglo XVIII, el matemático 
Leonhard Euler encontró la relación entre las propiedades trigonométricas y los números 
complejos. 
 
 
 
APRENDIZAJES ESPERADOS 
 
Resuelve problemas de la disciplina y/o especialidad, que involucren tópicos introductorios de 
trigonometría. (Integrada Competencia Genérica Resolución de Problemas) 
 
 
CRITERIOS DE EVALUACIÓN 
 
1. Transformando medidas angulares de un sistema a otro. 
2. Calculando razones trigonométricas en triángulos rectángulos. 
3. Utilizando el teorema del seno y/o teorema del coseno en diversos triángulos. 
UNIDAD 
 
 
5 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
4. Representando la función seno, con traslaciones y/o deformaciones, mediante su registro 
algebraico y/o gráfico. 
5. Representando la función coseno, con traslaciones y/o deformaciones, mediante su registro 
algebraico y/o gráfico. 
6. Calculando imágenes y/o preimágenes de funciones seno y coseno. 
7. Identificando las características principales de las funciones seno y coseno. 
 
 
 
CONTENIDOS 
 
1. Trigonometría en el triángulo rectángulo: 
 Razones trigonométricas. 
 Razones trigonométricas de ángulos notables. 
 
2. Teoremas fundamentales: 
 Teorema del seno. 
 Teorema del coseno. 
 
3. Funciones seno y coseno: 
 Definición de funciones seno y coseno. 
 Representación gráfica de la función seno y coseno. 
 Representando la función coseno y seno, con traslaciones y/o deformaciones. 
 Cálculo de imágenes y preimágenes de funciones seno y coseno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
PLANIFICACIÓN DE UNIDAD 
UNIDAD: TRIGONOMETRÍA 
 
APRENDIZAJE 
ESPERADO 
CRITERIOS DE 
EVALUACIÓN 
CONTENIDOS HORAS 
SUGERIDAS 
ACTIVIDADES MÍNIMAS OBLIGATORIAS EN EL AULA 
(A.M.O.) 
ACTIVIDADES ON LINE Y 
EJERCITACIÓN 
MATEMÁTICA FUERA 
DEL AULA 
Resuelve problemas de 
la disciplina y/o 
especialidad, que 
involucren tópicos 
introductorios de 
trigonometría. 
(Integrada Competencia 
Genérica Resolución de 
Problemas) 
1. Transformando 
medidas angulares 
de un sistema a 
otro. 
2. Calculando 
razones 
trigonométricas en 
triángulos 
rectángulos. 
3. Utilizando el 
teorema del seno 
y/o teorema del 
coseno en diversos 
triángulos. 
4. Representando 
la función seno, 
con traslaciones 
y/o deformaciones, 
mediante su 
registro algebraico 
y/o gráfico. 
5. Representando 
la función coseno, 
con traslaciones 
y/o deformaciones, 
mediante su 
registro algebraico 
y/o gráfico. 
1. Trigonometría 
en el triángulo 
rectángulo: 
•Razones 
trigonométricas. 
•Razones 
trigonométricas de 
ángulos notables. 
 
2. Teoremas 
fundamentales: 
•Teorema del seno. 
•Teorema del 
coseno. 
 
3. Funciones seno y 
coseno: 
•Definición de 
funciones seno y 
coseno. 
•Representación 
gráfica de la 
función seno y 
coseno. 
•Representando la 
función coseno y 
seno, con 
 
24 horas: 
 
22 horas 
clases 
lectivas 
 
2 horas 
evaluación 
sumativa 
 
 
 ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA 01: 
- Actividad: “Quién tiene la razón” 
- Análisis de ángulos y el sentido horario y antihorario 
de transformación de grados a radianes y 
configuración de la calculadora. 
Orientación: Esta situación corresponde a una 
actividad de análisis, en la primera parte el objetivo 
es que discutan y analicen el significado de medidas 
angulares y el sentido horario y antihorario. En la 
segunda parte el objetivo es que el estudiante a 
través de la observación llegue a obtener una relación 
entre grados y radianes y obtenga una forma de 
calcular las transformaciones de un sistema a otro. 
Posterior al momento de discusión entre los pares, se 
sugiere formalizar los conceptos de medidas 
angulares, sistemas de medición y el sentido horario y 
antihorario de los ángulos. 
 
Duración estimada: 45 minutos aprox. 
 
 
• ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA 02: 
- Problema “Las cerchas” 
- Discusión sobre estrategias y/o conceptos implicados 
en la situación. Se recomienda recordar el teorema de 
Thales y algunas propiedades de semejanzas entre 
triángulos. 
- Las medidas angulares I 
(AOL01.) 
- Las medidas angulares 
II (AOL02) 
- Ángulos y razones 
Trigonométricas (AOL03) 
- ExpresionesTrigonométricas (AOL04) 
- El avión (AOL05) 
- El faro (AOL06) 
- Los segmentos (AOL07) 
- Los segmentos (AOL08) 
 
 
Desafío On Line: Las 
áreas (DES01) 
 
 
Actividades de Trabajo 
Autónomo 
 Ejercitación con 
problemas 
rutinarios y no 
rutinarios del 
manual del 
estudiante. 
 
 
UNIDAD 
 
 
7 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
6. Calculando 
imágenes y/o 
preimágenes de 
funciones seno y 
coseno. 
7. Identificando las 
características 
principales de las 
funciones seno y 
coseno. 
8. Estableciendo 
propuestas de 
solución 
pertinentes. 
traslaciones y/o 
deformaciones. 
•Cálculo de 
imágenes y 
preimágenes de 
funciones seno y 
coseno. 
 
 
Orientación: Esta situación corresponde a una 
actividad de descubrimiento. Se sugiere 
implementar previo a la enseñanza de las razones 
trigonométricas. 
Posterior al momento de discusión, se sugiere 
formalizar las razones trigonométricas y sus 
recíprocos. 
 
Duración estimada: 45 minutos aprox. 
 
 
 
• ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA 03: 
- Problema “Midamos INACAP” 
- Discusión sobre estrategias y conceptos implicados 
en la situación. 
Orientación: Esta situación corresponde a una 
actividad con una doble finalidad, por una parte, 
profundizar el trabajo con razones trigonométricas y 
por otra parte reforzar la resolución de situación 
problemáticas aplicadas a contextos reales, de tal 
forma que el estudiante reconozca la importancia de 
trazar una estrategia para resolver una situación 
problema y luego ponga en práctica los 
conocimientos adquiridos. 
Duración estimada: 45 minutos aprox. 
 
• ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA 04: 
- Problema “El mapa” 
- Discusión sobre estrategias y conceptos implicados 
en la situación. 
Orientación: Esta situación corresponde a una 
actividad con una doble finalidad, por una parte, 
profundizar el trabajo con razones trigonométricas y 
UNIDAD 
 
 
8 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
por otra parte, introducir los teoremas del seno y 
coseno. Posterior al momento de discusión de 
estrategias, se sugiere formalizar los teoremas del 
seno y coseno y/o profundizar nociones nuevas e 
importantes, relacionadas con el teorema del seno y 
coseno, que emerjan de su solución y sean relevantes 
para la comprensión del problema. 
Duración estimada: 45 minutos aprox. 
 
• ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA 05: 
- Problema “El lote 38”. 
- Discusión sobre estrategias y 
conceptos implicados en la 
situación. 
Orientación: Esta situación corresponde a una 
actividad de profundización. Se sugiere 
implementar para ahondar el estudio de los teoremas 
del seno y coseno. Posterior al momento de discusión 
de estrategias, se sugiere formalizar y/o profundizar 
nociones nuevas e importantes, relacionadas con los 
teoremas del seno y coseno, que emerjan de su 
solución y sean relevantes para la comprensión del 
problema. 
Duración estimada: 45 minutos aprox. 
 
• ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA 06: 
- Problema “La rueda hidráulica” 
- Discusión sobre estrategias y 
conceptos implicados en la 
situación. 
Orientación: Esta situación corresponde a una 
actividad de introducción a la gráfica de la función 
seno y coseno. Se sugiere implementar para iniciar el 
estudio de las gráficas de la función seno y coseno, 
UNIDAD 
 
 
9 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
para lo que se recomienda finalizar con la actividad 
de ampliación de conocimientos que facilitará la 
formalización y/o profundización de nociones nuevas 
e importantes, relacionadas con las funciones del 
seno y coseno, que emerjan de su solución y sean 
relevantes para la comprensión del problema. 
Duración estimada: 45 minutos aprox. 
 
 
• ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA 07: 
- Actividad “Experimentando con Geogebra I” 
- Discusión sobre estrategias y 
conceptos implicados en la 
situación. 
Orientación: Esta situación corresponde a una 
actividad de análisis de la gráfica de la función seno y 
coseno, respecto del cambio de amplitud de estas 
ondas. Se sugiere implementar para iniciar el estudio 
de las deformaciones de las gráficas de la función 
seno y coseno. Posterior al momento de discusión de 
estrategias, se sugiere formalizar y/o profundizar 
nociones nuevas e importantes, relacionadas con la 
amplitud de las funciones seno y coseno, que emerjan 
de su solución y sean relevantes para la comprensión 
del problema. 
Duración estimada: 45 minutos aprox. 
 
• ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA 08: 
- Actividad “Manecillas del reloj” 
- Discusión sobre estrategias y conceptos implicados 
en la situación. 
Orientación: Esta situación corresponde a una 
actividad de análisis de la gráfica de la función seno y 
coseno, respecto del cambio en el periodo de estas 
UNIDAD 
 
 
10 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
ondas. Se sugiere implementar para continuar el 
estudio de las deformaciones de las gráficas de la 
función seno y coseno. Posterior al momento de 
discusión de estrategias, se sugiere formalizar y/o 
profundizar nociones nuevas e importantes, 
relacionadas con el periodo, que emerjan de su 
solución y sean relevantes para la comprensión del 
problema. 
Duración estimada: 45 minutos aprox. 
 
• ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA 09: 
- Actividad “Experimentando con Geogebra II” 
- Discusión sobre estrategias y conceptos implicados 
en la situación. 
Orientación: Esta situación corresponde a una 
actividad de análisis de la gráfica de la función seno y 
coseno, respecto de las traslaciones de ellas en el eje x 
y en el eje y. Se sugiere implementar para continuar el 
estudio de las deformaciones de las gráficas de la 
función seno y coseno. Posterior al momento de 
discusión de estrategias, se sugiere formalizar y/o 
profundizar nociones nuevas e importantes, 
relacionadas con las traslaciones de las funciones sen 
y cos, que emerjan de su solución y sean relevantes 
para la comprensión del problema. 
Duración estimada: 45 minutos aprox. 
 
• ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA 10: 
- Actividad “Los engranajes” 
- Discusión sobre estrategias y conceptos implicados 
en la situación. 
Orientación: Esta situación corresponde a una 
actividad de análisis de la gráfica de la función seno y 
coseno, respecto de las traslaciones, cambios en el 
UNIDAD 
 
 
11 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
período y amplitud. Se sugiere implementar como una 
actividad integradora del análisis de las gráficas o 
como una evaluación formativa respecto de las 
funciones sen y cos en torno a los valores de la 
imagen y preimagen y el análisis gráfico. 
Duración estimada: 45 minutos aprox. 
 
 
Evaluación formativa 
Orientación: Esta evaluación corresponde a una 
actividad de tipo formativa, para que tanto el docente 
como los estudiantes logren visualizar aquellos 
contenidos que se deben reforzar previos a la 
evaluación de la unidad. Se sugiere implementar 
como una actividad de tipo individual y 
posteriormente el docente deberá realizar la 
corrección en pizarra de esta evaluación, conversando 
con los estudiantes las dificultades que se 
presentaron para reforzar aquellos contenidos. 
Duración estimada: 45 minutos aprox. 
 
Evaluación Sumativa 
En esta clase el docente deberá aplicar el instrumento 
evaluación de la unidad trigonometría, evaluación de 
tipo sumativa que debe desarrollarse en forma 
individual. 
Duración estimada: 90 minutos aprox. 
 
Posteriormente a la entrega de resultados el docente 
deberá realizar la corrección de esta evaluación con 
los estudiantes. 
UNIDAD 
 
 
12 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
ORGANIZACIÓN SUGERIDA PARA LA UNIDAD 
A continuación, se muestra una organización de las actividades considerando bloques de 45 minutos cada una. 
 
HORAS 
HORAS 
ACUMULADAS 
SUB-UNIDAD ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA OTRAS ACTIVIDADES 
1 1 
Introducción a la 
trigonometría 
 
Sistema de medición y 
medidas angulares 
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD - 
A.M.O. N°01 
 
1 2 
Sistema de medición y 
medidas angulares 
 
Problemas y ejercicios resueltos y 
propuestos de cálculo de razones 
trigonométricas. 
1 3 Razones trigonométricasA.M.O. N°02 
1 4 Razones trigonométricas 
Problemas y ejercicios resueltos y 
propuestos de transformación de medidas 
angulares 
 
1 5 Razones trigonométricas A.M.O. N°03 
1 6 Razones trigonométricas 
Problemas y ejercicios resueltos y 
propuestos de situaciones problemáticas. 
 
1 7 
Razones trigonométricas y 
Teorema del seno y 
coseno 
A.M.O. N°04 
1 8 
Razones trigonométricas y 
Teorema del seno y 
coseno 
 
Problemas y ejercicios resueltos y 
propuestos de aplicación del teorema del 
seno y coseno y situaciones problemáticas 
de teorema del seno y coseno 
1 9 
Teorema del seno y 
coseno 
A.M.O. N°05 
1 10 
Teorema del seno y 
coseno 
 
Problemas y ejercicios resueltos y 
propuestos de teorema del seno, coseno y 
razones trigonométricas. 
1 11 Funciones trigonométricas A.M.O. N°06 
1 12 Funciones trigonométricas 
Problemas y ejercicios resueltos y 
propuestos de función del seno y coseno. 
1 13 
Amplitud de las funciones 
sen y coseno 
A.M.O. N°07 
1 14 
Amplitud de las funciones 
sinusoidales 
 
Problemas y ejercicios resueltos y 
propuestos de amplitud de función del 
seno y coseno. 
UNIDAD 
 
 
13 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
1 15 
Periodo de las funciones 
sinusoidales 
A.M.O. N°08 
1 16 
Periodo de las funciones 
sinusoidales 
 
Problemas y ejercicios resueltos y 
propuestos de periodo de función del 
seno y coseno. 
1 17 
Traslaciones y desfases de 
las funciones sinusoidales 
A.M.O. N°09 
1 18 
Traslaciones y desfases de 
las funciones sinusoidales 
 
Problemas y ejercicios resueltos y 
propuestos de traslaciones de función del 
seno y coseno. 
1 19 
Deformaciones de las 
funciones sinusoidales 
A.M.O. N°10 
1 20 
Deformaciones de las 
funciones sinusoidales 
 
Problemas y ejercicios resueltos y 
propuestos de deformaciones y 
traslaciones de función del seno y coseno. 
1 21 Trigonometría 
A.M.O. N°11 EVALUACIÓN 
FORMATIVA 
 
1 22 Trigonometría Revisión de evaluación formativa 
1 23 Trigonometría EVALUACION SUMATIVA 
1 24 Trigonometría EVALUACION SUMATIVA 
 
 
 
 
 
UNIDAD 
 
 
14 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
 
 
FORMALIZACIÓN 
DE CONTENIDOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD 
 
 
15 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
TRIGONOMETRÍA 
 
La trigonometría es una ciencia que se preocupa de la resolución de triángulos, esta ciencia comenzó 
debido a la necesidad que tenía el hombre para calcular distancias muy grandes, por ejemplo, la 
distancia de la Tierra al Sol o a la Luna o la distancia entre dos puntos muy lejanos en la Tierra. 
 
 
 
Comenzaremos esta unidad entregándote algunas definiciones básicas que necesitarás para comenzar a 
trabajar con la trigonometría. 
 
ÁNGULOS 
Un ángulo se forma cuando dos rayos tienen un punto de inicio en común. Este punto se llama el vértice. 
El ángulo queda determinado por la apertura de estos rayos. 
 
Tipos de ángulos 
Ángulo agudo: la medición de un ángulo inferior a 90 grados. 
 
 
Ángulo recto: un ángulo que mide exactamente 90 grados; los dos lados son perpendiculares. 
 
 
Ángulo obtuso: un ángulo de medición superior a 90 grados y menos de 180 grados. 
 
 
Ángulo llano o extendido: un ángulo que mide exactamente 180 grados. 
 
 
 
UNIDAD 
 
 
16 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
SISTEMAS Y MEDIDAS ANGULARES 
 
Para medir ángulos utilizaremos los siguientes sistemas de medición son: el sistema sexagesimal y el 
sistema circular. 
 
También existe un sistema de medición que divide a la circunferencia en 400 grados centesimales, en 
donde los ángulos rectos miden 100 grados centesimales o gonios (100g) 
Las calculadoras científicas poseen los tres sistemas de medición: 
 
Sexagesimal: degree Centesimal: grade Circular: rad 
 
 
 
El Sistema Sexagesimal: la unidad de medida es un grado sexagesimal, 
denotado 1°. Para definirla se considera una circunferencia de centro C que 
se divide en 360 arcos de la misma longitud, es como tomar la 
circunferencia como si fuera una torta y sacarle 360 rebanadas iguales 
(muy delgaditas). Cada uno de estos arcos, junto con el centro C, origina un 
∡𝐴𝐶𝐵 que mide 1°. 
 
 
Observación: 1 grado sexagesimal es equivalente a 1 minuto, y a su vez 
un minuto es equivalente a 60 segundos. 
1° = 60′ y 1′ = 60′′ 
 
 
 
Ejemplo: 
Si divides la circunferencia en 4 arcos iguales, ¿cuánto mide cada uno de los 
ángulos que se forman? 
 
Observa que si dividimos la circunferencia en 4 partes obtenemos: 
 
360°: 4 = 90° 
 
Es decir, cada arco origina un ángulo que mide 90° 
 
 
UNIDAD 
 
 
17 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
El Sistema Circular: la unidad de medida es un radián, que es la 
medida de un ∡𝐴𝐶𝐵 de vértice en el centro C de una circunferencia y 
que subtiende un arco de longitud igual al radio de esta. 
Si R es el radio de la circunferencia la longitud de esta es 2𝜋 veces el 
radio y cada radio corresponde a un ángulo del centro de 1 rad. Luego 
para la totalidad de la circunferencia, se tiene: 
360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 
 
 
 
Ejemplo: Transforma 90° a radianes. 
 
Resolvemos utilizando una cuarta proporcional sabiendo que 360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 
 
 
 
 
 
Ahora resolvemos: 
𝑥 =
90° × 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
360°
⟹ 𝑥 =
𝜋 
2
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 
 
Por lo tanto 90° equivalen a 
𝜋 
2
 radianes 
 
 
Ejemplo: Transforma 
5𝜋 
3
 radianes a grados 
 
Resolvemos utilizando una cuarta proporcional sabiendo que 360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 
 
 
 
 
 
Ahora resolvemos: 
𝑥 =
180° ×
5𝜋 
3 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
⇒ 𝑥 = 300° 
 
 
Por lo tanto 
5𝜋 
3
 radianes equivalen a 300° 
360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 
𝑥° =
5𝜋 
3
 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 
 
360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 
90° = 𝑥 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 
 
UNIDAD 
 
 
18 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
Comprueba los valores obtenidos utilizando tu calculadora en modo Deg y Rad para las conversiones 
como se muestra a continuación: 
 Paso 1: Al presionar la tecla más de tres veces se muestran pantallas de 
configuración adicionales. 
 
Selecciona la opción Deg (1) 
 
 
 
 
 Paso 2: Transforme 
 
Ejemplo: Convertir 
𝜋
3
 radianes a grados 
 
 ･････ (Deg) 
 
(𝜋/3) (DRG ) (R) 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Convertir 45 grados a radianes 
 
 ･････ (Rad) 
45 (DRG ) (D) 
 
 
 
 
 
UNIDAD 
 
 
19 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
GRADOS, MINUTOS Y SEGUNDOS 
 
Para desglosar una medida en el sistema sexagesimal de grados en forma decimal y calcular los minutos y 
segundos equivalentes también trabajamos con la cuarta proporcional. 
Si quieres saber cuántos minutos, grados y segundos tiene 148,34° desglosamos de la siguiente forma: 
Tenemos 148° y queremos saber cuántos minutos y segundos son 0,34°, sabiendo que 1° es equivalente a 
60’ (minutos) resolvemos: 
 
 
 
 
 
 
Ahora resolvemos: 
𝑥 =
0,34° × 60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
1°
 
 
𝑥 = 20,4 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
Por lo tanto 0,34° equivalen a 20,4′ 
 
Luego procedemos de la misma forma para calcular los segundos, desglosamos 20,4 en 20 minutos y 0,4 
minutos y transformamos este último en segundos: 
 
 
 
 
 
 
Ahora resolvemos: 
𝑥 =
0,4′ × 60′′
1′
 
 
𝑥 = 24 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 
 
Por lo tanto 148,34° equivalen a 148° 20’ y 24’’ 
 
1° = 60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
0,34° = 𝑥 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
1′ = 60 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 
0,4′ = 𝑥 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 
 
UNIDAD 
 
 
20 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
Los ángulos se miden en sentido antihorario, esto significa que van en sentido contrario a las agujas del 
reloj, así definimos ángulos positivos. 
 
Si lo mides en sentido de las agujas el ángulo será negativo. 
 
 
 
 
 
UNIDAD 
 
 
21 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
Una razón trigonométrica es una razón entre las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo. 
 
Son seis razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, las que se 
abrevian: sen, cos, tan, sec, cotan y csc, respectivamente.Cada razón trigonométrica tiene asociada una razón recíproca (que corresponde a su inverso 
multiplicativo), en el siguiente cuadro te mostramos cuales son las recíprocas de cada una: 
 
Razón trigonométrica Razón trigonométrica recíproca 
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 𝑐𝑠𝑐(𝛼) =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
 
𝑐𝑜𝑠(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 𝑠𝑒𝑐(𝛼) =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
𝑡𝑎𝑛(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
 
 
 
Observaciones: 
 Si bien la cosecante es la razón recíproca de seno, también funciona al revés, es decir, el seno es 
la razón recíproca de la cosecante y lo mismo para todas las razones trigonométricas. Esto quiere 
decir que si multiplicamos una razón por su recíproca obtenemos como resultado el neutro 
multiplicativo 1. 
 Que una razón sea la recíproca de la otra significa que si una de ellas tiene valor 4/5 la razón 
recíproca será 5/4. 
 El valor de la razón trigonométrica depende sólo de la medida del ángulo. No depende del tamaño 
del triángulo, ya que al aumentar de tamaño el triángulo en forma proporcional o disminuir en 
forma proporcional tenemos triángulos semejantes, lo que implica que la medida de los ángulos 
se mantiene. 
 
Entonces para calcular las razones trigonométricas necesitamos los lados del triángulo, observa los 
siguientes ejemplos: 
 
Ejemplo 1: Determina las razones trigonométricas sen, cos y tan para el ángulo 𝛼: 
 
 
UNIDAD 
 
 
22 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
Primero calculamos la hipotenusa del triángulo rectángulo dado pues se desconoce su valor y la 
necesitaremos para calcular las razones trigonométricas, para esto utilizamos el teorema de Pitágoras: 
 
(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜1)
2 + (𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2)
2 = (ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 
32 + 42 = 𝑥2 
9 + 16 = 𝑥2 
25 = 𝑥2 
√25 = 𝑥 
5 = 𝑥 
 
 
 
 
Entonces: 
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
4
5
 𝑐𝑜𝑠(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
3
5
 𝑡𝑎𝑛(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
4
3
 
 
 
Observación: 
Recuerda que el cateto opuesto es aquel que se encuentra enfrente del ángulo dado y el cateto 
adyacente es aquel que junto a la hipotenusa forman el ángulo, por lo mismo su ubicación depende del 
ángulo que estés mirando: 
 
Ejemplo: 
Si miras el ángulo 𝛼 el cateto opuesto mide 4 unidades y el cateto 
adyacente mide 3 unidades, en cambio si miras el ángulo 𝛽 el 
cateto opuesto mide 3 unidades y el cateto adyacente mide 4 
unidades. 
 
 
 
 
Ejemplo 2: Sabiendo que sen(𝛼) =
1
5
, calcule el cos(𝛼) 
 
Recuerda que sen 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
, entonces si dibujamos un triángulo rectángulo, nos están dando 
las medidas del cateto opuesto y la hipotenusa. 
 
Recuerda que la medida del 
cateto sólo puede ser positiva, 
ya que es la medida de un lado 
del triángulo, es decir es una 
distancia. 
UNIDAD 
 
 
23 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
Debemos calcular la medida del cateto faltante utilizando el teorema de Pitágoras, ya que lo 
necesitamos para calcular el coseno del ángulo 𝛼: 
 
(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜1)
2 + (𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2)
2 = (ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 
12 + 𝑥2 = 52 
𝑥2 = 25 − 1 
𝑥2 = 24 
𝑥 = √24 
 
Por lo tanto, el cateto adyacente al ángulo 𝛼 tiene una medida de √24 unidades (pues podrían ser 
metros, centímetros, kilómetros, etc.) 
 
Entonces el 𝑐𝑜𝑠(𝛼) =
√24
5
≈ 0,98 
 
Observación: 
Las razones trigonométricas también se asocian a funciones de tal forma que x es el ángulo y la función 
es sen, cos o tan. Más adelante profundizaremos en el concepto de función trigonométrica, sin embargo, 
para calcular los ángulos a veces necesitarás las funciones trigonométricas inversas llamadas arcoseno, 
arcocoseno y arcotangente, en tu calculadora las encontrarás como: 𝑠𝑒𝑛−1, 𝑐𝑜𝑠−1, 𝑡𝑎𝑛−1 
 
En tu calculadora puedes encontrar estas funciones aplicando (Shift) y estas te permiten determinar un 
ángulo. 
 
Ejemplo: En el triángulo anterior sen(𝛼) =
1
5
, por lo tanto 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−1 (
1
5
) → 𝛼 ≈ 11,5° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD 
 
 
24 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
 
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 
 
A continuación, te mostramos una estrategia para resolver problemas: 
 
 
Analicemos el siguiente problema y como resolverlo paso a paso: 
 
Una persona que mide 1.7 m de altura vé con un ángulo de elevación de 38° la punta de un poste, sabiendo 
que la persona se e encuentra a una distancia de 8 m desde el pie del poste. Calcula la altura del poste de 
luz. 
 
 
a) Identificación de datos: 
- Ángulo de elevación del observador al objeto ∝= 38°. 
- Distancia horizontal del observador al objeto 𝑑 = 8𝑚 
- Altura del observador 𝑙 = 1.7𝑚. 
- Altura del objeto 𝐻 la incógnita. 
 
Incluso puedes hacer un dibujo de la situación si esto te 
ayuda a organizar los datos: 
 
 
 
 
 
 
1° Leer y 
comprender
•Leer el enunciado del 
problema.
•Identificar datos y 
pregunta del 
problema.
2° Proponer y 
fundamentar
•Buscar una estrategia 
de resolución.
3° Resolver y 
comprobar
•Explicar la estrategia 
y justificarla.
•Comprobar que el 
resultado que 
obtuviste da 
respuesta al 
problema.
4° Comunicar
•Comunicar los 
resultado de manera 
acorde a la situación e 
interlocutores.
UNIDAD 
 
 
25 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
b) Estrategia de resolución: 
- Interpretar la información y los datos dentro de los elementos de un triángulo rectángulo. 
- Aplicar la razón trigonométrica adecuada en este caso la tangente del ángulo de elevación, 
ya que la tangente es el lado opuesto (un valor incógnito) sobre el lado adyacente al ángulo 
(cuyo valor tenemos que es de 8 m) 
 
c) Resolución: 
Interpretamos geométricamente la figura incorporando los datos y variables. 
 
 
- Utilizamos la tangente de α = 38° 
tan 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝.
𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦.
 
tan 38° =
𝑥
8𝑚
 
8m ∙ tan 38° = 𝑥 
8m ∙ 0.7813 = 𝑥 
6.25m = 𝑥 
- Pero 
𝐻 = 1.7𝑚 + 𝑥 
- Luego 
𝐻 = 1.7𝑚 + 6.25𝑚 
 
𝐻 = 7.95𝑚 
 
 
d) Comunicación de resultados: 
La altura del poste es 7.95m 
 
UNIDAD 
 
 
26 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
FUNCIONES SENO Y COSENO 
Las funciones seno y coseno tienen como dominio el valor de un ángulo que puede tomar cualquier valor 
en el conjunto de los números reales y por imagen tendrá también un valor real. 
 
Para graficar estas funciones realizaremos una tabla de valores, con las preimágenes de la función, es decir 
los valores de 𝑥 (ángulos), y las imágenes de la función, es decir los valores de 𝑦 ó 𝑓(𝑥). 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
𝒙 0 𝜋
6
 
𝜋
4
 
𝜋
3
 
𝜋
2
 
2𝜋
3
 
3𝜋
4
 
5𝜋
6
 
𝜋 7𝜋
6
 
4𝜋
3
 
3𝜋
2
 
5𝜋
3
 
7𝜋
4
 
11𝜋
6
 
2𝜋 
𝑓(𝑥) 0 1
2
 √2
2
 
√3
2
 
1 √3
2
 
√2
2
 
1
2
 
0 
−
1
2
 −
√3
2
 
−1 
−
√3
2
 −
√2
2
 −
1
2
 
0 
 
 
 
 
 
Observa: 
 Las imágenes de la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) están en el intervalo [-1,1] 
 El máximo de la función se alcanza cuando 𝑥 =
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ 
 El mínimo de la función se alcanza cuando 𝑥 =
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ 
 Los ceros de la función se obtienen cuando 𝑥 = 𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ 
 La gráfica de la función es periódica, se repite cada 𝑥 = 2𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ 
 La función seno es una función impar, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una 
rotación de 180 grados alrededor del origen. 
 La función seno es creciente en [0,
𝝅
𝟐
] y decreciente en [
𝜋
2
, 𝜋] 
 
UNIDAD 
 
 
27 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
 
𝒙 0 𝜋
6
 
𝜋
4
 
𝜋
3
 
𝜋
2
 
2𝜋
3
 
3𝜋
4
 
5𝜋
6
 
𝜋 7𝜋
6
 
4𝜋3
 
3𝜋
2
 
5𝜋
3
 
7𝜋
4
 
11𝜋
6
 
2𝜋 
𝑓(𝑥) 1 √3
2
 
√2
2
 
1
2
 
0 
−
1
2
 −
√2
2
 −
√3
2
 
−1 
−
√3
2
 −
1
2
 
0 1
2
 √2
2
 
√3
2
 
1 
 
 
 
Observa: 
 Las imágenes de la función 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) están en el intervalo [-1,1] 
 El máximo de la función se alcanza cuando 𝑥 = 2𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ 
 El mínimo de la función se alcanza cuando 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ 
 Los ceros de la función se obtienen cuando 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ 
 La gráfica de la función es periódica, se repite cada 𝑥 = 2𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ 
 La función coseno es par (es simétrica con respecto al eje y) lo que quiere decir que su gráfica no 
se altera luego de una reflexión sobre el eje y. 
 La función seno es decreciente en [0,𝜋] y creciente entre [𝜋, 2𝜋] 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD 
 
 
28 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
AMPLITUD DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO 
 
La amplitud es la distancia vertical entre la línea media y uno de los puntos extremos, pero ¿qué es la 
línea media?, es la recta horizontal de la forma: 𝑦 = 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ, que pasa en medio de los puntos máximos 
y mínimos de la gráfica. 
 
Entonces, la amplitud la podemos calcular de la siguiente forma: 
 
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
2
 
 
De acuerdo con lo anterior ¿cuál es la amplitud de las gráficas realizadas en la actividad anterior? 
 
Ejemplo: 
La siguiente gráfica muestra la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y ℎ(𝑥) = 4𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
 
 
La amplitud de estas funciones es 1 y 4 respectivamente, esto lo puedes observar en la gráfica, ya que la 
línea media en ambos casos está ubicada en 𝑦 = 0, por lo tanto, la distancia desde ese punto a un punto 
máximo cualquiera o mínimo cualquiera es de 1 unidad para 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y será de 4 unidades para 
ℎ(𝑥) = 4𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
Y si utilizas los valores máximos y mínimos también obtendrás las mismas amplitudes anteriores: 
 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)  𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 =
1—1
2
=
2
2
= 1 
 ℎ(𝑥) = 4𝑠𝑒𝑛(𝑥)  𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 =
4−−4
2
=
4+4
2
=
8
2
= 4 
 
 
UNIDAD 
 
 
29 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
PERIODO DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO 
Las funciones trigonométricas son periódicas, es decir cada cierto tramo se repiten. 
 
El periodo es la distancia que hay entre dos puntos máximos o mínimos consecutivos, gráficamente el 
periodo nos muestra cada cuántos grados (o radianes) se repiten las funciones seno y coseno. 
 
Para las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥) y ℎ(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥) se define como: 
 
𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 =
2𝜋
|𝑏|
 
 
Entonces la función 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y 𝑐𝑜𝑠(𝑥) tienen periodo: 
2𝜋
|1|
= 2𝜋, es decir cada 2𝜋 ó cada 360° se repiten. 
 
Ejemplo: 
Para la función ℎ(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(3𝑥) que se muestra en la gráfica a continuación junto a la función 𝑓(𝑥) =
𝑐𝑜𝑠(𝑥), su periodo será: 
2𝜋
|3|
=
2𝜋
3
 a diferencia de la función 𝑓(𝑥) cuyo periodo es 2𝜋. 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD 
 
 
30 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
TRASLACIONES DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO 
Dadas las funciones: 𝑓(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷 ó 𝑔(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷, con 𝐴, 𝐵, 𝐶 y D 
coeficientes que pertenecen al conjunto de los números reales. 
Las traslaciones en el 𝑒𝑗𝑒 𝑦 están determinadas por el coeficiente 𝐷: 
 Si 𝐷 > 0, la gráfica se desplazara 𝐷 unidades hacia arriba respecto de la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 Si 𝐷 < 0, la gráfica se desplazara 𝐷 unidades hacia abajo respecto de la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
 
Ejemplo: 
En la función ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2 al compararla con la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), puedes observar que es la 
misma curva, es decir no se ha deformado: su periodo y amplitud son los mismos, pero se ha trasladado 
dos unidades hacia arriba. 
 
 
Las traslaciones en el 𝑒𝑗𝑒 𝑥 (también llamadas cambio de fase) están determinadas por el valor de 𝐶: 
 Si 𝐶 > 0, la gráfica se desplazara 
𝐶
𝐵
 unidades hacia la derecha respecto de la función respecto de 
la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 Si 𝐶 < 0, la gráfica se desplazara 
𝐶
𝐵
 unidades hacia la izquierda respecto de la función respecto de 
la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
 
UNIDAD 
 
 
31 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
Ejemplo 1: 
 En la función ℎ(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +
𝜋
2
) al compararla con la función 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥), puedes observar 
que es la misma curva, es decir no se ha deformado: su periodo y amplitud son los mismos, pero 
se ha trasladado 
𝜋
2
 unidades hacia la izquierda. 
Nota: Observa que C es negativo ya que 𝑥 − −
𝜋
2
= 𝑥 +
𝜋
2
 
 
 
Ejemplo 2: 
 En la función ℎ(𝑥) = −3𝑠𝑒𝑛(4𝑥 − 2) al compararla con la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), puedes 
observar que no es la misma curva, se ha deformado: su periodo es 
2𝜋
4
=
𝜋
2
 esto quiere decir que 
cada 
𝜋
2
 (1,6 unidades aproximadamente) se completa una onda, su amplitud es de 3 unidades, 
pero como la amplitud va acompañada de un signo negativo significa que la onda se invierte (se 
produce una simetría respecto del eje x) , además se ha trasladado 
𝐶
𝐵
=
2
4
=
1
2
 unidades hacia la 
derecha. 
 
 
UNIDAD 
 
 
32 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
RESUMEN DE LAS DEFORMACIONES Y TRASLACIONES DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO 
De acuerdo con lo que hemos desarrollado respecto del periodo, amplitud, cambios de fase (traslaciones 
en el eje x) y traslaciones en el eje y, resumiremos: 
𝑓(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷 
ℎ(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷 
1) En ambas funciones los parámetros A, B, C, D afectan de la misma forma a la gráfica. 
2) La amplitud es: |𝐴| 
3) Si 𝐴 es negativo se produce una reflexión de la gráfica, respecto de su línea media. 
4) El periodo se calcula: 
2𝜋
𝐵
 
5) La traslación en el eje y depende del valor de D 
6) El desfase (traslación en el eje x) se calcula: 
𝐶
𝐵
 
7) No debemos olvidar que si C es negativo la expresión (𝐵𝑥 − 𝐶) se verá de la forma: (𝐵𝑥 + 𝐶) y 
la gráfica se trasladará hacia la izquierda. 
 
Ejemplos: 
1) 𝑓(𝑥) = 3 ∙ 𝑠𝑒𝑛(8𝑥 − 9) − 1 
a) Los factores son: 𝐴 = 3, 𝐵 = 8, 𝐶 = 9 𝑦 𝐷 = −1 
b) La amplitud es: |𝐴| = |3| = 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠, esto quiere decir que desde el valor máximo al 
mínimo hay una distancia total de 6 unidades. 
c) El periodo se calcula: 
2𝜋
𝐵
=
2𝜋
8
=
𝜋
4
, esto quiere decir que una onda se completa en un giro de 
45° o 
𝜋
4
 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 
d) La traslación en el eje y es: D = -1, esto quiere decir que la onda se traslada una unidad hacia 
abajo en el eje y. 
e) El desfase (traslación en el eje x) se calcula: 
𝐶
𝐵
=
9
8
 unidades, esto quiere decir que la onda se 
traslada 9/8 unidades hacia el lado positivo del eje x. 
 
2) ℎ(𝑥) = 0.2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 +
𝜋
3
) + 4 
a) Los factores son: 𝐴 = 0.2, 𝐵 = 2, 𝐶 =
𝜋
3
 𝑦 𝐷 = 4 
b) La amplitud es: |𝐴| = |0.2| = 0.2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 , esto quiere decir que desde el valor máximo al 
mínimo hay una distancia total de 0.4 unidades. 
c) El periodo se calcula: 
2𝜋
𝐵
=
2𝜋
2
= 𝜋, esto quiere decir que una onda se completa en un giro de 
180° o 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 
UNIDAD 
 
 
33 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
d) La traslación en el eje y es: D = 4, esto quiere decir que la gráfica de la onda se traslada hacia 
arriba cuatro unidades en el eje y. 
e) El desfase (traslación en el eje x) se calcula: 
𝐶
𝐵
=
𝜋
3
2
=
𝜋
6
 unidades, esto quiere decir que la onda 
inicia en 
𝜋
6
, pero como C es negativo ya que la expresión dada es de la forma (𝐵𝑥 + 𝐶) 
significa que la onda se desfasa hacia el lado negativo del eje x 
𝜋
6
 unidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD 
 
 
34 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
 
 
EJERCICIOS 
RESUELTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD 
 
 
35 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
EJERCICIOS DE CALCULO DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
1) Determina todas las razones trigonométricas para el ángulo 𝛼: 
 
Para determinar las razones trigonométricas primero necesitamosdeterminar todos los lados del 
triángulo: 
152 + 𝑥2 = 162 
𝑥2 = 256 − 225 
𝑥 = √31 
 
Luego, las razones trigonométricas para el ángulo 𝛼 serán: 
 
Razón trigonométrica Razón trigonométrica opuesta 
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
√31
16
 𝑐𝑠𝑐(𝛼) =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
=
16
√31
 
racionalizando: 
16√31
31
 
𝑐𝑜𝑠(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
15
16
 𝑠𝑒𝑐(𝛼) =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
16
15
 
𝑡𝑎𝑛(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
√31
15
 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
=
15
√31
 
racionalizando: 
15√31
31
 
 
 
 
2) Sabiendo que tan 𝛽 =
2
3
, calcule el resto de las razones trigonométricas para el ángulo 𝛽 
 
Representaremos las medidas dadas (opuesto =2, adyacente = 3) en un triángulo rectángulo: 
 
 
 
UNIDAD 
 
 
36 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
Y calcularemos la medida faltante de la hipotenusa: 
 
22 + 32 = 𝑥2 
4 + 9 = 𝑥2 
√13 = 𝑥 
 
Por lo tanto, el resto de las razones trigonométricas del ángulo dado son: 
 
sen 𝛽 =
2√13
13
 cos 𝛽 =
3√13
13
 csc 𝛽 =
√13
2
 sec 𝛽 =
√13
3
 ctg 𝛽 =
3
2
 
 
 
EJERCICIOS DE TRANSFORMACIÓN DE MEDIDAS ANGULARES 
 
1) Transforma de grados a radianes: 
 
a) 30° 
 
Recuerda que 180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 con esto armamos nuestra cuarta proporcional: 
 
 
 
 
 
 
Ahora resolvemos: 
𝑥 =
30° × 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
180°
 
𝑥 =
𝜋 
6
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 
 
Por lo tanto 30° equivalen a 
𝜋 
6
 radianes 
 
 
De la misma forma transformamos los siguientes ángulos: 
 
b) 45° Respuesta: 
𝜋 
4
 radianes 
c) 125° Respuesta: 
25 𝜋 
36
 radianes 
d) 240° Respuesta: 
4𝜋 
3
 radianes 
e) 310° Respuesta: 
31𝜋 
18
 radianes 
 
180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 
30° = 𝑥 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 
 
UNIDAD 
 
 
37 
 
 
 
 
 TRIGONOMETRÍA 
2) Transforma de radianes a grados: 
 
a) 
𝜋 
5
 rad 
 
Recuerda que 180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 con esto armamos nuestra cuarta proporcional. 
 
 
 
 
 
 
Ahora resolvemos: 
𝑥 =
180° ×
𝜋 
5
 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
 
𝑥 = 36° 
 
Por lo tanto 
𝜋 
5
 radianes equivalen a 36° 
 
 
De la misma forma transformamos los siguientes ángulos: 
 
b) 
2𝜋 
9
 rad Respuesta: 40° 
c) 
7𝜋 
4
 rad Respuesta: 315° 
d) 
6𝜋 
7
 rad Respuesta: 154,3° aproximadamente 
180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 
𝑥° =
𝜋 
5
 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 
 
 
 
 
 
38 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
EJERCICIO DE SITUACION PROBLEMÁTICA DE RAZONES EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 
 
 
Hallar la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve la parte superior de ella bajo un ángulo 
de 30°. 
 
Recordemos los pasos para aplicar la estrategia de resolución de problemas: 
 
a) Identificación de datos: En este caso siempre es útil realizar un esquema que permita identificar los 
datos y comprender la situación. 
 
 
 
b) Estrategia de resolución: 
- Interpretar la información y los datos dentro de los elementos de un triángulo rectángulo. 
- Aplicar la razón trigonométrica adecuada en este caso la tangente del ángulo de elevación. 
 
 
c) Resolución: 
Interpretamos geométricamente la figura incorporando los datos y variables. 
tan 30° =
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎
18
 
18 ∗ tan 30° = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎 
10,4 ≈ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎 
d) Respuesta: 
La altura de la antena es de 10,4 metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
EJERCICIO DE SITUACION PROBLEMÁTICA DE TEOREMA DEL SENO Y COSENO 
 
Una montaña de 540 m de altura separa 2 pueblos A y B. Desde A, se ve la cima C de la montaña con un ángulo 
de elevación de 27°; Desde B el ángulo de elevación es de 34° ¿Cuál es la distancia entre los pueblos? 
 
a) Identificación de datos: Realizaremos un esquema con los datos del problema. 
 
 
b) Estrategia de resolución: 
- Interpretar la información y los datos dentro de los elementos de un triángulo rectángulo. 
- Aplicar la razón trigonométrica adecuada en este caso la tangente del ángulo de elevación o el 
teorema del seno o coseno. 
 
c) Resolución: 
Este problema se puede resolver aplicando razones trigonométricas, en particular la tangente para obtener cada tramo 
desde el pueblo A al pueblo B, pero también se puede utilizar el teorema del seno, observa: 
 
sen 27° =
540
𝑥
→ 𝑥 = 1.189 
Con esto obtenemos la distancia desde el pueblo A, hasta la cima de la 
montaña: 1.189 metros. 
Luego para encontrar la distancia de A hasta B, aplicaremos el teorema del seno: 
1.189
𝑠𝑒𝑛(34°)
=
𝑦
𝑠𝑒𝑛(119°)
→ 𝑦 ≈ 1.860 
 
d) Respuesta: La distancia entre los pueblos es de 1.860 metros. 
 
 
 
 
 
40 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
EJERCICIOS DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO 
¿Cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas en cada caso? 
1) Si comparamos las gráficas de seno y coseno podemos decir: 
a) Son iguales. 
b) Si la gráfica de la función seno se desplaza 
𝜋
2
 unidades a la derecha será igual a la gráfica de 
coseno. 
c) Si la gráfica de la función seno se desplaza 𝜋 unidades a la derecha será igual a la gráfica de la 
función coseno. 
d) Si la gráfica de la función seno se desplaza 
𝜋
2
 unidades a la izquierda será igual a la gráfica de 
coseno. 
 
2) Cuál de los siguientes valores puede ser un valor de la imagen de la función 𝑦 = cos (𝑥) 
a) 
1
4
 
b) 0 
c) √3 
d) -0,9 
 
Soluciones y explicaciones: 
1) a) Falso. Las dos gráficas tienen el mismo patrón repetitivo o la misma forma general, pero no son 
idénticas ya que sus imágenes para un valor determinado del ángulo son distintas. 
b) Falso. Si cambias seno por coseno en esta opción obtienes un enunciado correcto. Las dos gráficas 
descritas tienen la misma forma, pero los máximos y mínimos no concuerdan. 
c) Falso. Si desplazas la gráfica de la función seno 𝜋 unidades a la derecha, obtienes una gráfica que 
inicia en cero para el valor de y, en cambio la gráfica de coseno inicia en 1 para el valor de y. 
d) Verdadero. Si la gráfica de la función seno se desplaza 
𝜋
2
 unidades a la izquierda será igual a la 
gráfica de coseno, pues cada uno de los valores de sus imágenes coincidirán para cada ángulo. 
 
2) El recorrido de la función coseno está definido para valores entre -1 y 1, por lo que todos aquellos 
valores que estén fuera de ese rango no son parte de las imágenes de la función, en este caso el único 
valor que no cumple es √3. 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
EJERCICIOS DE AMPLITUD DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO 
Observa las siguientes gráficas y determina cuál es la amplitud de cada una de ellas según los datos dados y 
ecuación de la línea media en cada caso. 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
Soluciones y explicaciones: 
a) Amplitud = 5 unidades ecuación línea media: y= -2 
Recordemos que la amplitud es igual a: 
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 =
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
2
=
3 − −7
2
=
10
2
= 5 
A partir del valor de la amplitud determinamos la ecuación de la línea media ya que contamos las unidades a 
partir del valor máximo (o del mínimo) y determinamos el punto medio en y = -2 
 
b) Amplitud = 2 unidades ecuación línea media: y= 1.5 
En este caso no tenemos el valor mínimo, tenemos un valor medio (ya que está sobre la línea media, por lo 
que esa distancia es la amplitud: 3.5 -1.5= 2. Y la ecuación de la línea media viene dada por el valor de y en el 
punto (0, 1.5), es decir la ecuación de la línea media es: y = 1.5 
 
 
 
 
 
42 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
EJERCICIOS DE PERIODODE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO 
1) Observa la gráfica y luego determina: 
 
a) Amplitud. 
b) Periodo. 
c) Expresión algebraica de la función. 
 
 
 
a) Amplitud = 2 unidades 
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 =
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
2
=
2 − −2
2
=
2 + 2
2
=
4
2
= 2 
 
O si observas la gráfica, la distancia desde la línea media hasta un punto extremo (máximo o mínimo) 
es de 2 unidades. 
 
b) Periodo = 4 unidades 
El periodo es la distancia (en el eje x) que hay entre dos puntos máximos o mínimos consecutivos, 
por lo tanto, si observamos esa distancia entre los puntos (1,2) y (5,2) es de 4 unidades. También 
puedes observar a partir desde el (0,0) cuando la gráfica se vuelve a repetir esto ocurre en el punto 
(4,0). 
 
c) Expresión algebraica 
 
Recordemos que la expresión algebraica de las funciones sen y coseno son: 
𝑓(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷 
ℎ(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷 
En las cuales: 
 La amplitud es: |𝐴| (Si 𝐴 es negativo se produce una reflexión de la gráfica, es decir todos los 
valores de y cambian a sus opuestos. 
 El periodo se calcula: 
2𝜋
𝐵
 
 
 
 
43 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
 La traslación en el eje y es: D 
 El desfase (traslación en el eje x) se calcula: 
𝐶
𝐵
 
 No debemos olvidar que si C es negativo la expresión (𝐵𝑥 − 𝐶) se verá de la forma: (𝐵𝑥 + 𝐶) 
y la gráfica se trasladará hacia la izquierda. 
 
En este caso 𝑓(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷 la función no está trasladada en el eje x ni en el y, por lo que nos 
quedaremos con la expresión: 𝑓(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥), la amplitud es 2, y el valor de B lo obtenemos del 
periodo, sabiendo que este es: 
2𝜋
𝐵
 
Como sabemos que el periodo es 4, entonces resolvemos: 
2𝜋
𝐵
= 4 ⇒ 𝐵 =
2𝜋
4
⇒ 𝐵 =
𝜋
2
 ó 0.5𝜋 
Por lo tanto, la ecuación es: 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛(0.5𝜋𝑥) 
Podemos comprobar lo obtenido reemplazando un par de puntos en nuestra ecuación, por ejemplo: 
Si x=0, y=0 𝑓(0) = 2𝑠𝑒𝑛(0.5𝜋 ∗ 0) ⟹ 𝑓(0) = 2 ∗ 0 = 0 (Recuerda configurar tu calculadora en radianes) 
Si x=1, y=2 𝑓(1) = 2𝑠𝑒𝑛(0.5𝜋 ∗ 1) ⟹ 𝑓(1) = 2 ∗ 1 = 2 
Que coinciden con la gráfica. 
 
EJERCICIOS DE TRASLACIONES DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO 
1) Determina cuántas unidades se traslada en el eje x e y, la función dada respecto de las funciones 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
y 𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 −
𝜋
3
) 
b) 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 3) − 1.5 
c) ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝜋) + 1 
d) 𝑚(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(3𝑥 + 5) − 3 
e) 𝑡(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (4𝑥 +
𝜋
2
) + 7 
 
Recordemos que la forma general de la función seno y coseno es: 
𝑓(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷 ℎ(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷 
 La La traslación en el eje y es: D 
 El desfase (traslación en el eje x) se calcula: 
𝐶
𝐵
 
 No debemos olvidar que si C es negativo la expresión (𝐵𝑥 − 𝐶) se verá de la forma: (𝐵𝑥 + 𝐶) 
y la gráfica se trasladará hacia la izquierda. 
 
 
 
44 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
Entonces: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 −
𝜋
3
) 
 
Como 𝐷 = 0, en este caso no hay traslación en el eje y. 
La traslación en el eje x (desfase) se calcula: 
𝐶
𝐵
=
𝜋
3
1
=
𝜋
3
 , es decir se traslada 
𝜋
3
 unidades hacia la derecha en el 
eje x. 
 
b) 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 3) − 1.5 
 
Como 𝐷 = −1.5, se traslada 1.5 unidades hacia abajo en el eje y. 
La traslación en el eje x (desfase) se calcula: 
𝐶
𝐵
=
−3
1
= −3 , es decir se traslada 3 unidades hacia la izquierda en 
el eje x. 
 
c) ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝜋) + 1 
 
Como 𝐷 = 1, se traslada 1 unidades hacia arriba en el eje y. 
La traslación en el eje x (desfase) se calcula: 
𝐶
𝐵
=
−𝜋
1
= −𝜋 , es decir se traslada 𝜋 unidades hacia la izquierda en 
el eje x. 
 
d) 𝑚(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(3𝑥 + 5) − 3 
 
Como 𝐷 = −3, se traslada 3 unidades hacia abajo en el eje y. 
La traslación en el eje x (desfase) se calcula: 
𝐶
𝐵
=
−5
3
 , es decir se traslada 
5
3
 unidades hacia la izquierda en el eje 
x. 
 
e) 𝑡(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (4𝑥 +
𝜋
2
) + 7 
 
Como 𝐷 = 7, se traslada 7 unidades hacia arriba en el eje y. 
La traslación en el eje x (desfase) se calcula: 
𝐶
𝐵
=
−𝜋/2
4
= −
𝜋
8
 , es decir se traslada 
𝜋
8
 unidades hacia la izquierda 
en el eje x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
2) Analiza los datos a continuación y determina cuál es la ecuación que representa cada función. 
 
a) Si la función seno tiene su línea media en y =7.5 y su valor máximo se alcanza en y = 12, 
considerando que el periodo no cambia. 
 
 La distancia entre la línea media y el valor máximo es de 12 – 7.5 = 4.5 unidades que es 
la amplitud. 
 Como el periodo no cambia B=1 
 Y la ecuación de la línea media también nos indica que se trasladó desde el 0 hasta el 
7.5. 
 Por lo tanto, tenemos la ecuación: ℎ(𝑥) = 4.5𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 7.5 
 
 
b) Si la función coseno tiene su línea media en y =3 y su valor máximo se alcanza en y = 6.8, y su 
periodo= 3𝜋 unidades. 
 
 La distancia entre la línea media y el valor máximo es de 6.8 – 3 = 3.8 unidades que es 
la amplitud. 
 El valor de D es de 3 unidades ya que su línea media se trasladó desde y= 0 hasta y=3 
 Como el periodo es 3𝜋 , entonces el valor de B lo obtenemos despejando la 
igualdad: 
2𝜋
𝐵
= 3𝜋 ⟹ 𝐵 =
2
3
. 
 Para determinar C, necesitamos saber cuántas unidades se ha traslado en el eje x, como 
no hay información sobre dicha traslación asumiremos que no la hay, por lo tanto, C=0. 
 Finalmente, tenemos la ecuación: 𝑔(𝑥) = 3.8cos (
2
3
𝑥) + 3 
 
 
c) Si la función seno tiene su línea media en y =-2 y su valor máximo se alcanza en y = 4, su 
periodo= 6 unidades, se ha trasladado 2 unidades en el eje x hacia el lado positivo. 
 
 La distancia entre la línea media y el valor máximo es de 4 – –2 = 6 unidades que es la 
amplitud. 
 El valor de D es de -2 unidades ya que su línea media se trasladó desde y= 0 hasta y=-2 
 Como el periodo es 6, entonces el valor de B lo obtenemos despejando la 
igualdad: 
2𝜋
𝐵
= 6 ⟹ 𝐵 =
2𝜋
6
⟹ 𝐵 =
𝜋
3
. 
 Sabiendo que el desfase es de 2 unidades en el eje x hacia el lado positivo, para calcular 
el valor de C utilizamos la igualdad: 
𝐶
𝐵
= 2 ⟹
𝐶
𝜋
3
= 2 ⟹ 𝐶 = 2 ∗
𝜋
3
⟹ 𝐶 =
2𝜋
3
. 
 Finalmente, tenemos la ecuación: ℎ(𝑥) = 6𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
3
𝑥 −
2𝜋
3
) − 2 
 
 
 
 
 
46 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS 
PROPUESTOS 
(con solución) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
EJERCICIOS N°01 TRANSFORMACIÓN DE MEDIDAS ANGULARES 
 
1) Escribe en grados los ángulos marcados en la siguiente figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Representa en la siguiente circunferencia los ángulos de -345° y de 𝜋/12 radianes ¿Qué relación hay 
entre ambos ángulos? 
 
 
 
 
 
 
3) A continuación, te mostramos un tutorial para que aprendas 
cómo utilizar tu calculadora cuando quieres trabajar operatoria 
con grados sexagesimales y cómo configurar tu calculadora en 
grados sexagesimales y radianes. 
Haz click en los siguientes enlaces para revisar los videos: 
 https://www.youtube.com/watch?v=DisYVq7MD1A 
 https://www.youtube.com/watch?v=R8J6Y-Fx5aY&feature=youtu.be 
 
Escribe en tu calculadora los siguientes ángulos y determina cuántos grados, minutos y segundos tienen y 
trasforma cada ángulo del sistema sexagesimal al radián: 
a) 20,5° 
b) 108,76° 
c) 193,454° 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=DisYVq7MD1A
https://www.youtube.com/watch?v=R8J6Y-Fx5aY&feature=youtu.be
 
 
 
48 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
Soluciones: 
 
1) 
3π
4
rad = 135° 
5π
4
rad = 225° 
7π
4
rad = 315° 
 
2) La representación de -315° es equivalente a 15° (360°-315°), para representar entonces se puede 
dividir el primer cuadrante en 6 partes iguales y se obtiene un ángulo de 15°. De forma similar para 
𝜋/12 radianes se divide el ángulo de 180° en 12 partes igualesy la primera parte representa el ángulo 
dado, que es equivalente a los mismos 15° dibujados anteriormente. 
 
3) 
a) 20,5° = 20° 30´ en radianes: 
41
360
𝜋 𝑟𝑎𝑑 
b) 108,76° = 108° 45´36” en radianes: 
2719
4500
𝜋 𝑟𝑎𝑑 
c) 193,454° = 193° 27´14.4” en radianes: 1,074̅̅̅̅ 𝜋 𝑟𝑎𝑑 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
EJERCICIOS N°02 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
1) Dado el triángulo isósceles EFG, cuyos lados 
congruentes miden 3 cm. 
 
a) Determina el valor exacto del sen(45°). 
b) Determina el valor exacto del cos(45°). 
c) Determina el valor exacto de la tan(45°). 
 
 
 
2) Si tan(𝛼) =
7
16
, determina 𝑠𝑒𝑛(𝛼), cos(𝛼). Entrega los valores simplificados y racionalizados. 
 
3) Si cos(𝛽) =
√3
5
, determina sec(𝛽) , 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝛽), 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝛽). Entrega los valores simplificados y 
racionalizados. 
 
4) Resolver el triángulo rectángulo para los datos dados. Usa calculadora. 
 
a) 𝛼 = 20°, 𝑐 = 12 
b) 𝛾 = 87°, 𝑎 = 10 
 
 
Soluciones: 
 
1) a) 𝑠𝑒𝑛(45°) =
√2
2
 b) 𝑐𝑜𝑠(45°) =
√2
2
 c) 𝑡𝑎𝑛(45°) = 1 
 
2) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
7√305
305
 𝑐𝑜𝑠(𝛼) =
16√305
305
 
 
3) 𝑠𝑒𝑐 (𝛽) =
5√3
3
 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝛼) =
5√22
22
 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝛼) =
√66
22
 
 
4) a) Los lados que faltan miden 4,4 y 12,8 unidades y el ángulo que falta mide 70° 
 
b) Los lados que faltan miden 190,8 y 191,1 unidades y el ángulo que falta mide 3° 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
EJERCICIOS N°03 PROBLEMÁTICAS DE RAZONES EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 
 
Luego de la clase de Trigonometría en la que los estudiantes han aprendido 
sobre las razones trigonométricas, el profesor ha enviado a sus alumnos una 
tarea: ¡Midan grandes alturas, cosas que no pueden medir con una regla! 
 
Y para esto les ha enseñado como construir un simple instrumento que les 
permitirá calcular ángulos de elevación y depresión en forma aproximada según 
se muestra en la imagen, si no tienen instrumentos más avanzados. 
 
 
 
1) Ernesto siempre ha tenido curiosidad por determinar 
cuál es la altura que mide el árbol que se encuentra 
en la plaza Victoria de Valparaíso, por lo que 
aprovecha esta oportunidad para averiguarlo. Para 
esto cuenta 150 pasos (pegaditos uno tras otro) desde 
el pie del árbol hasta un punto donde puede ver la 
cima de este mismo, luego desde ese punto observa 
con un ángulo de elevación de 40° la copa del árbol 
recostado sobre el suelo. 
Observación: Ernesto mide la huella que deja su 
calzado obteniendo una huella de 26 cm. 
¿Cuál es la altura del árbol que calculó Ernesto? 
 
 
2) Daniela desea saber cuál es el largo de la aguja del reloj de sol que se encuentra ubicado en Viña del 
Mar, pero se da cuenta que olvidó llevar el instrumento para medir ángulos, así que sólo toma con una 
huincha de medir las medidas indicadas en la figura en color rojo y en color azul. 
 
Las medidas tomadas son: 
AB = 30 cm BC = 15 cm AD = 5,4 metros 
 
a) ¿Cuál es la medida del largo de la aguja del reloj de sol que 
obtuvo Daniela? 
b) ¿Cuál es la medida del ángulo que se forma entre la base del 
reloj y la aguja (ángulo BAC)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
 
 
3) Patricio viene desde Puerto Montt y en la isla Tenglo hay una cruz donde mucha gente todos los años 
viaja por su fé y quiere averiguar su altura. Le pide a su tío que es ingeniero en construcción que 
justamente está trabajando en reforzar la cruz, que tome dos ángulos con sus instrumentos y se los 
envíe (pidiéndole que por favor no le revele la altura de la cruz), los ángulos y distancia enviados por el 
tío de Patricio se marcan en la imagen. ¿Cuál es la altura de la cruz calculada por Patricio? 
 
 
 
 
 
4) Jaime ese fin de semana viaja a visitar a su familia que vive en Arica, y por lo tanto hará la tarea que les 
dio el profesor midiendo el Morro. 
 
Para lograrlo escoge un punto del paseo que se muestra 
en la imagen en línea recta, para medir el primer ángulo 
de elevación hasta la cima del morro el que da un valor 
de 30° y luego se acerca 8 metros y vuele a medir su 
ángulo de elevación obteniendo 32° 
Sabiendo que todos los ángulos de observación los tomó 
Jaime de pie y que su altura es de 1,64 metros ¿Cuál es la 
medida de la altura del Morro de Arica que obtuvo 
Jaime? 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
5) Karina vive en el edificio A marcado en la imagen 
que está situado a 370 metros en línea recta del 
Costanera Center (según Google maps), como está 
trabajando la unidad de trigonometría ha decidido 
que calculará la altura del Costanera Center 
utilizando los conocimientos adquiridos en clase. 
 
Para lograr su objetivo sube a la azotea del edificio 
en el que vive y con un simple instrumento 
fabricado por ella para medir ángulos de 
observación, registra los siguientes ángulos (acostada sobre el piso de la azotea): 
 
Desde la cima del edificio A hasta la cima del Costanera su instrumento marca un ángulo de 50° y desde el mismo 
punto de medición hacia el extremo inferior del Costanera su instrumento marca un ángulo de 25°. 
 
a) ¿Cuál es la altura del Costanera Center que calculó Karina con sus datos? 
 
b) Busca en internet la altura real del Costanera Center y determina el porcentaje de error del cálculo 
realizado por Karina. En base a lo obtenido determina la altura real del edificio donde vive Karina. 
 
 
 
 
Soluciones: 
1) Ernesto calculó que el árbol de la Plaza Victoria mide aproximadamente 32,7 metros. 
 
2) a) Daniela determina que la medida del largo de la aguja del reloj de sol es de 6 metros aprox. 
b) La medida del ángulo BAC es de 26,6° aprox. 
 
3) Patricio determina que la cruz tiene una altura de 25 metros aprox. 
 
4) Jaime obtuvo que el morro de Arica mide 101,64 metros aprox. 
 
5) a) La altura que calculó Karina del Costanera Center es de 281,9 metros. 
b) La altura real del Costanera Center es de 300 metros por lo que el porcentaje de error de cálculo 
cometido por Karina (debido a que su instrumento de medición no es exacto) es de 6,03% 
aproximadamente, por lo que la altura del edificio A en el que vive Karina es de 84,4 metros 
aproximadamente (con los datos tomados la altura es de 79,3 metros sin ajustar el porcentaje de error) 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
EJERCICIOS N°04 APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO Y COSENO 
 
Resuelve los triángulos en cada caso: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Soluciones: 
a) 𝑎 = 4,38 𝑐 = 4 𝛾 = 115,3° 
b) 𝑑 = 6,49 𝜀 = 88° 𝜁 = 75,91° 
c) 𝜂 = 30,05° 𝜃 = 90,21° 𝜄 = 59,74° 
 
 
 
 
54 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
EJERCICIOS N°05 PROBLEMÁTICAS DE TEOREMA DEL SENO Y COSENO 
 
1) Andrés realiza el recorrido que se 
muestra en la imagen, partiendo 
desde su casa, primero va a dejar a 
sus hijos a la escuela, luego va al 
supermercado y finalmente pasa a 
dejar plásticos, latas, etc. a un 
punto limpio, para finalmente 
regresar a su casa. Sabiendo que 
sólo pasa una vez por los lugares 
antes mencionados y que elige el 
camino más corto para volver a su 
hogar. 
 
¿Cuántos metros en total camina 
Andrés diariamente? 
 
 
 
2) Se quiere construir un parque para 
conservar especies nativas que tendrá la 
forma de la figura. 
Calcula el área total que tendrá el parque. 
 
 
 
 
 
 
 
3) Un foco proyecta luz según se muestra en la imagen. Si la altura a la que está 
colgado es de 2,5 metros desde el suelo ¿Cuál es la superficie que ilumina? 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
4) Dos veleros de juguete parten simultáneamente desde un mismo 
punto en dirección tal que forman un ángulo de 35°. Uno va a 2 
m/min y el otro a 3 m/min. Determina a qué distancia se encuentran 
separados despuésde 5 minutos. 
 
 
 
 
 
 
 
5) Un topógrafo encuentra que el ángulo en el punto de A de la figura desde 
donde observa los puntos B y C, en cada orilla del pantano, es 72° y la 
distancia AB es de 32 metros y la de AC es 43 metros. Calcular la distancia 
de B a C. 
 
 
 
 
 
Soluciones: 
 
1) Andrés camina diariamente 3.135,2 metros. 
 
2) El área total del parque es de 313.136 m2 
 
3) La superficie que ilumina es de aproximadamente 1,5 metros cuadrados. 
 
4) 79 metros aproximadamente es la distancia a la que se encuentran separados después de 5 minutos de 
viaje. 
 
5) 45 metros es la distancia de B a C. 
 
 
 
 
 
56 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
EJERCICIOS N°06 TEOREMA DEL SENO Y COSENO Y RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO 
RECTÁNGULO 
 
1) Calcula el área del triángulo 
 
 
 
 
2) Un avión vuela entre dos ciudades A y B que se 
encuentran a una distancia de 80 km entre sí. 
Desde el avión se miden los ángulos que se 
muestran en la figura ¿A qué altura está el avión? 
 
 
 
 
 
 
3) El terrario que se muestra en la imagen tiene forma de pirámide cuya base 
es un cuadrado de lado 20 cm que forma un ángulo de 51° con las aristas 
laterales. Las caras laterales son cuatro triángulos isósceles. ¿Cuál es el área 
total de las paredes y el piso del terrario? 
 
 
Soluciones: 
1) El área del triángulo es de 3,4 unidades2 
2) El avión vuela a una altura de 17,9 km aproximadamente 
3) El área total de las 4 paredes es de 493,95 cm2 aproximadamente, y el área del piso es de 400 cm2 
 
 
 
 
 
 
57 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
EJERCICIOS N°07 ELEMENTOS DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO 
 
Ingresa a: https://www.geogebra.org/m/mjaqrtkj 
 
 
 
 
 
 
 
Mueve el punto B; observa qué sucede y responde: 
1) ¿En qué cuadrantes 𝑠𝑒𝑛(𝛼) toma valores positivos? ¿Y en qué cuadrantes toma valores negativos? 
2) ¿En qué cuadrantes 𝑐𝑜𝑠(𝛼) toma valores positivos? ¿Y en qué cuadrantes toma valores negativos? 
3) ¿Qué relación hay entre las coordenadas del punto B y el problema de la rueda hidráulica? 
4) ¿Qué relación hay entre las coordenadas del punto B y los valores de sen(α) y cos(α)? 
5) De acuerdo con los valores que te entrega la circunferencia ¿cuál de las gráficas realizadas en el 
problema de la rueda hidráulica corresponde a la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)? ¿Y cuál a la 
función 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)? 
6) ¿Cuál es el valor del dominio y recorrido de las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)? 
7) ¿Cuál es el máximo de cada una de las funciones? ¿Para qué valores del dominio lo alcanzan? 
8) ¿Cuál es el mínimo de cada una de las funciones? ¿Para qué valores del dominio lo alcanzan? 
9) ¿Cuáles son las raíces de las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥)? 
10) ¿Cada cuántos grados las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) se repiten? 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.geogebra.org/m/mjaqrtkj
 
 
 
58 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
EJERCICIOS N°08 FUNCIONES SENO Y COSENO 
 
La siguiente gráfica muestra el movimiento de dos péndulos que se mueven como muestra la imagen con la 
mano. 
 
Responde a continuación, justificando en cada caso: 
1) ¿Cuántos cm recorre de ida cada péndulo? ¿Y cuántos de vuelta? 
2) ¿Cada cuántos segundos se encuentran ambos péndulos en la misma posición? 
3) Según la información entregada en el gráfico, marca en la imagen de la mano la posición donde parte 
cada péndulo el movimiento. 
4) ¿Alguno de los péndulos se mueve más rápido? 
 
 
Soluciones: 
1) Recorre 4 cm de ida y 4 cm de vuelta, ya que la distancia negativa muestra que el péndulo se devuelve, 
es decir su movimiento es en contra del movimiento inicial. 
2) A partir de los 0,5 segundos que es la primera vez que se encuentran, cada dos segundos se vuelven a 
encontrar, que es donde las gráficas se intersectan. 
3) En la imagen se representa dónde parte cada péndulo según su color. 
El péndulo rojo parte en sentido contrario al movimiento que indica la flecha, y el péndulo 
azul también parte en sentido contrario a la dirección que indica la flecha 
4) No, ambos se mueven con la misma rapidez, ya que si se observa el gráfico se ve que el 
péndulo azul se demora en ir y venir 4 segundos (que es cuando se completa una figura y 
luego se repite), lo mismo ocurre con el péndulo rojo. 
 
 
 
 
59 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
EJERCICIOS N°09 AMPLITUD DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO 
 
1) Los perímetros de cada uno de los engranes de la imagen son: 
 Engranaje A = 80 cm 
 Engranaje B = 65 cm 
 Engranaje C = 50 cm 
Para cada uno de ellos calcula cuál es la amplitud de la onda que queda 
determinada por: su giro en grados y la altura de un punto determinado de 
ellos, respecto de su eje central de rotación. 
 
 
2) Realiza la gráfica de las siguientes funciones a partir de la gráfica de cos(x). 
a) 𝑓(𝑥) =
1
3
 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 
b) 𝑔(𝑥) = 4.5 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 
 
 
 
 
 
 
60 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
 
Soluciones: 
1) La amplitud queda determinada por los radios de cada engranaje, para A su amplitud es de12,7 cm, B 
tendrá una amplitud de 10,3 cm y C tendrá una amplitud de 8 cm aproximadamente. 
 
2) Realiza la gráfica de las siguientes funciones a partir de la gráfica de cos(x). 
a) 𝑓(𝑥) =
1
3
 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) (grafica roja) 
b) 𝑔(𝑥) = 4.5 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) (grafica verde) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
EJERCICIOS N°10 AMPLITUD Y PERIODO DE LA FUNCION SENO 
En cada una de las siguientes ecuaciones determina amplitud y periodo y grafícalas: 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛(7𝑥) 
b) 𝑔(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
c) ℎ(𝑥) = −6𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥) 
d) 𝑡(𝑥) =
3
4
𝑠𝑒𝑛 (
2
7
𝜋𝑥) 
 
Soluciones: 
a) Amplitud = 3 unidades periodo = 
2
7
𝜋 unidades 
 
b) Amplitud = 1 unidad periodo = 2𝜋 unidades 
 
c) Amplitud = 6 unidades periodo = 2 unidades 
 
 
 
62 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
 
d) Amplitud = 
3
4
 unidades periodo = 7 unidades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
EJERCICIOS N°11 FUNCIONES SENO Y COSENO PROBLEMAS DE PERIODO 
 
 
1) Marcelo observa como su perro intenta morderse la cola de modo que 
realiza 6 giros en 8 segundos. 
a) ¿Cuál es la duración en segundos de un periodo del movimiento? 
b) ¿Cuál es la cantidad de giros que realiza el perro si girase 14 
segundos? 
c) Calcula la amplitud del movimiento descrito. 
d) Determina la función que modela el movimiento descrito. 
 
 
2) El CD de un ordenador gira con una velocidad de 650 r.p.m. 
a) ¿Cuál es la duración en segundos de un periodo? 
b) Calcula el número de vueltas que da durante la reproducción de 
una canción de 4 minutos. 
c) ¿Qué información te falta para determinar la función que permita 
modelar el giro del CD? 
Nota: las r.p.m son las revoluciones por minuto y representan la 
cantidad de vueltas que en este caso da el CD en un minuto. 
Soluciones: 
 
1) a) Un periodo tiene una duración de 4/3 segundos. 
b) Realiza 10.5 giros en 14 segundos 
c) La amplitud del movimiento descrito es de 35 cm. 
d) Una función que modela el movimiento del perro es: 𝑓(𝑥) = 35 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
3𝜋
2
𝑥) (suponiendo que el 
perro siempre gira en el mismo lugar y nunca se desplaza) 
 
 
2) a) Un periodo dura aproximadamente 0,092 segundos. 
b) Una canción de 4 minutos tiene 2.608 revoluciones (giros). 
c) Falta el diámetro del CD para determinar la amplitud, ya que al estar fijo el CD dando vueltas no 
existen desfases en el eje x o y. 
 
 
 
64 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
EJERCICIOS N°12 TRASLACIONES DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO 
 
1) Determina cuántas unidades se traslada en el eje x e y, cada una de las gráficas dadas en color rojo, 
respecto de las funciones 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y 𝑐𝑜𝑠(𝑥) marcadas en color negro. 
 
a)b) 
 
 
 
2) Escribe la expresión algebraica de cada una de las funciones de color rojo representadas en el ejercicio 
anterior. 
 
 
 
Soluciones: 
1) a) La gráfica se traslada 
5𝜋
4
 hacia el lado derecho en el eje x (también sería correcto decir que se 
traslada 
3𝜋
4
 hacia la izquierda) y se traslada 2 unidades hacia arriba en el eje y. 
b) La gráfica se traslada 
3𝜋
2
 hacia el lado derecho en el eje x (también sería correcto decir que se 
traslada 
𝜋
2
 hacia la izquierda) y se traslada 3 unidades hacia abajo en el eje y. 
 
 
2) Las expresiones algebraicas de cada gráfica de color rojo son: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 −
5𝜋
4
) + 2 ó 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +
3𝜋
4
) + 2 
b) 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −
3𝜋
2
) − 3 ó 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
) − 3 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
EJERCICIOS N°13 DEFORMACIONES Y TRASLACIONES DE FUNCIÓN DEL SENO Y COSENO 
 
1) La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda es: 
𝑓(𝑥) = 0,05 cos(24𝜋 − 4𝜋𝑥) , donde 𝑥 es la distancia en metros 
de un punto en la cuerda respecto del origen y f(x) es la separación 
en metros del punto desde la línea central de la onda. 
a) ¿Cuál es la separación máxima de un punto respecto de su 
línea media? 
b) ¿Cuál es la distancia que recorre una onda completa? 
 
 
 
2) La siguiente ecuación muestra el movimiento de un resorte con una masa: 
𝑦(𝑡) =
5
2
𝑠𝑒𝑛 (2𝑡 −
𝜋
3
) 
 
Donde 𝑦 es el estiramiento del resorte en metros y 𝑡 es el tiempo transcurrido en 
segundos. 
a) Determina: Amplitud, Periodo, Ecuación de la línea media de la onda, Desfases. 
b) ¿Luego de cuántos segundos desde que se inicia el movimiento el resorte alcanza 
su máximo estiramiento? 
 
 
 
 
 
Soluciones: 
1) a) La separación máxima de un punto respecto de su línea media es de 0.05 metros. 
b) La distancia corresponde al periodo de la función que es 0.5 metros. 
 
2) a) la amplitud es 5/2, periodo 𝜋, ecuación de la línea media de la onda y=0, no se desfasa en el eje y, 
desfase en x es de 
𝜋
6
. 
b) luego de 1,3 segundos aproximadamente alcanza su máximo estiramiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
 
 
 
 
PROBLEMAS NO 
RUTINARIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
 
1) Observa las medidas del diámetro de cada una de las ruedas de la bicicleta y responde: 
 
Una bicicleta aro 26 significa que tiene 26 pulgadas de diámetro (559 mm aproximadamente) y una bicicleta 
aro 29 significa que tiene 29 pulgadas de diámetro (622 mm aproximadamente) 
 
a) Si consideras el giro de sus ruedas, ¿Cuál es la longitud recorrida en un giro completo en cada 
bicicleta? 
b) ¿Cuál es la función sinusoidal que representa los movimientos rotatorios de las ruedas de ambas 
bicicletas? 
 
 
 
2) A continuación, se presentan los datos consignados en una bitácora meteorológica, donde se observó 
durante 24 horas la temperatura de una ciudad. La primera coordenada es la hora en la cual se tomó la 
temperatura y la segunda es la temperatura en grados Celsius. 
 
(7:00,9.0) (8:00,11.0) (9:00,14.0) (10:00,18.0) (11:00,19.5) (12:00,20.0) (13:00,20.0) (14:00,19.0) 
(15:00,17.0) (16:00,15.0) (17:00,13.0) (18:00,11.5) (19:00,10.0) (20:00,9.0) 
(21:00,8.0) (22:00,7.0) (22:00,7.0) (24:00,1.2) (1:00,6.0) (2:00,5.5) 
(3:00,5.5) (4:00,6.0) (5:00,7.0) (6:00,8.5) (7:00,9.0) 
 
a) Representa los datos en un plano cartesiano. 
b) Encuentra una función del tipo sinusoidal que permita estimar el 
fenómeno y grafícala. Compara lo obtenido con los puntos originalmente dados. 
c) Determina la amplitud, el periodo y el desfase de tu función creada. 
 
Solución: 
 
1) a) La longitud recorrida en un giro completo corresponde al perímetro de la rueda, en el caso de la 
bicicleta aro 26 es de 175,6 cm aproximadamente, y en el caso de la bicicleta aro 29 es de 195,4 cm 
aproximadamente. 
 
 
 
 
68 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
b) las funciones que permiten modelar el movimiento rotatorio de la bicicleta aro 26 y aro 29 son 
respectivamente: 
𝑓(𝑥) = 279.5 ∙ 𝑠𝑒𝑛(0.02𝑥) 
 
𝑔(𝑥) = 311 ∙ 𝑠𝑒𝑛(0.02𝑥) 
 
2) a) Representa los datos en un plano cartesiano. 
 
b) Encuentra una función del tipo sinusoidal que permita estimar el fenómeno y grafícala. Compara lo obtenido 
con los puntos originalmente dados. 
En este caso las respuestas pueden ser diversas, una función que permite seguir la curva y estimar los datos es: 
𝑓(𝑥) = 11.07 + 7.26𝑠𝑒𝑛(0.26 + 0.02) 
Pero hay muchas más, debido a que los puntos no forman una onda sinusoidal exacta, por lo que buscamos una 
función que permita aproximarse a los valores, analizando amplitud, periodo y desfases. 
 
 
 
 
69 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
En este caso la gráfica de la función creada es: 
 
c) Determina la amplitud, el periodo y el desfase de tu función creada. 
De acuerdo con la función creada: 
𝑓(𝑥) = 11.07 + 7.26𝑠𝑒𝑛(0.26𝑥 + 0.02) 
 La amplitud es 7.26 
 El periodo es 
100𝜋
13
≈ 24.2 
 El desfase en el eje y es de 11.07 unidades. 
 El desfase en el eje x es de 1/13 unidades (0.08 unidades aproximadamente) 
También puedes estimar una función sinusoidal utilizando el programa Geogebra. 
 
 
 
 
70 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA