Geometría 2 (2)

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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) 
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta 
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión 
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, 
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna 
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de 
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su 
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de 
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o 
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su 
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección 
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación 
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales 
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos 
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída 
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la 
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier 
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia 
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de 
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. 
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de 
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su 
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda 
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia 
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y 
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a 
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente 
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y 
principios de las Naciones Unidas. 
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a 
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin 
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y 
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá 
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho 
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de 
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1.	 Toda	persona	tiene	derecho	a	la	libertad	de	reunión	y	de	asociación	pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, 
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las 
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta 
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de 
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto 
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida 
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los 
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al 
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a 
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el 
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por 
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y 
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme 
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por 
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa 
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una 
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas 
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así 
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el 
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; 
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, 
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de 
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. 
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho 
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, 
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La 
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional 
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual 
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana 
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades 
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre 
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el 
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento 
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que 
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de 
la	comunidad,	a	gozar	de	las	artes	y	a	participar	en	el	progreso	científico	y	
en	los	beneficios	que	de	él	resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y 
materiales	que	le	correspondan	por	razón	de	las	producciones	científicas,	
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional 
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan 
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona 
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único 
fin	de	asegurar	el	reconocimiento	y	el	respeto	de	los	derechos	y	libertades	
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden 
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en 
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada	en	esta	Declaración	podrá	 interpretarse	en	el	sentido	de	que	confiere	
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y 
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los 
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
2
secundaria
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Geometría
Matemática
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 Geometría
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Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la 
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artículo 217.o.- será reprimido con pena privativa de libertad no 
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el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, 
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una 
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier 
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y 
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios 
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el 
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con 
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total 
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución 
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma 
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o 
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, 
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior 
importe cada uno.
Apertura
En esta sección 
encontrarás 
temas 
novedosos que 
propiciarán 
sostener 
una relación 
cercana con la 
Matemática.
se aborda el 
desarrollo del 
tema, donde 
encontrarás las 
definiciones 
organizadas 
siguiendo una 
secuencia 
didáctica.
Marco 
teórico
Conoce tu libro
Tema
83MateMática DELTA 2 - GeoMetría
6
Cuadriláteros II
a = b 
a = b 
En la imagen se observa dos edificios, donde sus fachadas muestran dos regiones 
paralelográmicas.
Paralelogramos
Son aquellos cuadriláteros con dos pares de lados opuestos congruentes y paralelos:
a° + b° = 180°
a° + q° = 180°
Como se puede ver en el gráfico los ángulos opuestos miden igual y los ángulos 
adyacentes son suplementarios.
Dentro de este grupo de figuras encontramos 4 figuras geométricas que cumplen con 
estas características, y son las siguientes:
El romboide: También llamado «Paralelogramo», es el más simple de los miembros 
de esta familia. Básicamente, en él, se van a cumplir las propiedades principales de los 
paralelogramos:
A
B Cb
b
a
q° a°
a° q°
a
D
A
B Cb
b
a a
a° b°
a°b°
D
AB // CD
BC // AD
Si L1 y L2 son 
paralelas
Ángulos 
suplementarios: Son 
dos ángulos cuya 
suma es 180°.
Recu e rda
b°
a°
L1
L2
a = b a° + b° = 180°
Título del tema
Para una mejor 
organización, los temas 
están numerados.
Comentarios 
y/o lecturas 
que 
refuerzan el 
desarrollo 
del tema
117MateMática DELTA 2 - GeoMetría
Recu e rda
Calcula la medida del ángulo TOA, si AT es una recta tangente y O es el centro.
Resolución:
∴ m TOA = 70°
Halla el valor de x, si BC // AD.
Encuentra el valor de x.
A D
30°
x
B C
A D
30°
60° x
B C
100°x
A
C
B
α°
A
C
B
Por la propiedad de las cuerdas paralelas: 
x = 60°
Resolución:
«B» por ser ángulo inscrito se cumple:
x = 100°
 2 ⇒ x = 50°
Resolución:
Si L // L1:
⇒ α° = β°
m AC = 2α
α° + β°
2x =
m AB = 2β
A
B
β°
xβ° α°
L
L1
α° β°
20°
T A
O
20°
70°
T A
O
Por teorema, el radio con la tangente 
forman un ángulo de 90°.
 
Rpta. 70°
 
Rpta. 60°
 
Rpta. 50°
Por el ángulo inscrito se cumple que 
m AB = 60°.
1
2
3
Ejercicios resueltos
Nombre de la 
sección
Algoritmo de 
resolución del 
problema planteado.
Preguntas y/o situaciones 
problemáticas reales o 
simuladas, planteadas de 
acuerdo al tema.
Ejercicios 
resueltos
se muestran 
ejercicios que 
están resueltos 
didácticamente, 
los mismos que 
servirán para 
el análisis del 
estudiante.
3MateMática Delta 2 - GeoMetría
Síntesis
Contenido del tema, 
que incluye teoremas, 
postulados, fórmulas, 
propiedades, leyes, etc., 
resumido en organizadores 
gráficos para tener un 
panorama general del 
contenido.
Modela y resuelve
Los problemas con 
numeración impar serán 
resueltos por el docente, 
mientras que los pares serán 
resueltos por el estudiante 
siguiendo la secuencia 
realizada.
46
1
21
Síntesis
Modela y resuelve 
En la figura, calcula el valor de a + b. En la figura, calcula el valor de k – m.
Teorema 
de Pitágoras
se cumple: 
a2 = b2 + c2
a
b
c
Triángulos rectángulos notables
2k
30°
60°
k
3k
2k
45°
45°
k
k
75°
h
15°
4 h
Observación
5k
3k
4k
37°
53°
k
k
3
3
k
3
32
30°
60° 45°
45°
k k
2 2
k
2
2
Resolución:
a
60°
12 u 
b
m k
8 cm
45°
Resolución:
Rpta. Rpta.
Triángulos rectángulos notables
Nombre de la 
sección
Nombre de la 
sección
Espacio para resolver 
el problema.
Organizador 
visual
Enunciado del 
problema o de la 
situación planteada.
123MateMática DELTA 2 - GeoMetría
Nivel I
1
2
5
3 6
4
Entonces Calculael valor de x, si AB = CF.
A 20° B 30° C 32°
D 34° E 31°
Determina el valor de x, sabiendo que RS, TS, QS 
y PS son líneas tangentes.
A 80° B 60° C 70°
D 75° E 65°
R
A
Q
C PT
B
β
S
x
α 40°
Calcula el valor de x, si AB = BC = CD.
A 33° B 30° C 32°
D 34° E 31°
x 40°
A
B
C
D
En la figura, encuentra el valor de x. 
Si m AB = m DE y m BC = m CD.
A 33° B 30° C 35°
D 34° E 31°
Halla la medida del arco MPN, si MN y el radio 
tienen medidas iguales.
A 280° B 230° C 225°
D 270° E 300°
Halla el valor de x, si m APB = 2x y m AB = x.
A 72° B 144° C 126°
D 200° E 120°
70°
x
F
A
B
C
D
E
2x x
A
B
P
O
M
N
P
R
70°
x
A
B
F
C
D E
Practica y demuestra
Preguntas 
planteadas, 
estas 
pueden ser 
situaciones 
reales o una 
simuladas.
Espacio 
para realizar 
anotaciones de 
resolución.
Alternativas
Nombre de la sección
Test
Esta evaluación incluye 
preguntas del contenido de 
los temas desarrollados en 
la unidad y son de elección 
múltiple.
Practica y 
demuestra
En esta sección se 
plantean preguntas que 
han sido organizadas por 
niveles de complejidad 
y de elección múltiple 
en la que el estudiante 
demostrará lo aprendido 
durante la sesión.
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas reales o 
simuladas, planteadas de 
acuerdo a los temas de 
la unidad.
Número de test
Alternativas
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 4
127MateMática DELTA 2 - GeoMetría
Si P y Q son puntos de tangencia, calcula el valor 
de x.
En la figura, P, Q y R son puntos de tangencia, 
si AC = 10 cm. Encuentra el valor de la suma de 
los catetos del triángulo rectángulo ABC.
En la figura, la circunferencia está inscrita en el 
cuadrilátero. Si AB = 6 u, BC = 4 u, AD = 10 u 
y EC = 8 u. Halla el valor de x.
En la figura, O es el centro y AO = DC, indica la 
relación correcta entre q y d.
Determina el valor de x, si m TPB = 50° y 
PT // AM.
Calcula la longitud del segmento MN. Si se sabe 
que AL = 3 u; O1 y O2 son centros.
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponde a la respuesta.
5A
10C
6B
11D
10 cmA
16 cmC
14 cmB
12 cmD
20°A
70°C
30°B
40°D
1A
3C
2B
4D
2°A
4°C
5°B
3°D
1 uA
1,5 uC
2,5 uB
2 uD
A
Q
P
n2 + 
3
2n2 – 33
A DE
B
C
80°
x
B
M
TP
A
O
r
A C
B
R
2 cm
P
Q
A CO
B
D
q d
B
M
L
N
A
O2O1x
4
5MateMática Delta 2 - GeoMetría
1
3
2
4
R
es
ue
lv
e 
pr
ob
le
m
as
 d
e 
fo
rm
a,
 m
ov
im
ie
nt
o 
y 
lo
ca
liz
ac
ió
n
Modela objetos 
con formas 
geométricas y sus 
transformaciones.
triángulos 8
Definiciones
Clasificación de los triángulos
Teoremas fundamentales
Teoremas auxiliares
líneas notables en el triángulo 25
Cevianas notables
Incentro, excentro y ortocentro
Ángulos formados por cevianas notables
triángulos rectángulos notables 41
Interpretación geométrica del teorema de Pitágoras
Triángulos rectángulos notables
congruencia de triángulos 53
Congruencia de triángulos
Criterios para determinar la congruencia de triángulos
Teoremas que aplican la congruencia
cuadriláteros I 69
Generalidades sobre los cuadriláteros
Relaciones angulares en los cuadriláteros
Clasificación de cuadriláteros por paralelismo
Teoremas que cumplen todos los trapecios
Otras propiedades
cuadriláteros Il 83
Paralelogramos
Definición
Instrucciones para dibujar cuadrados
circunferencia I 99
Elementos
Propiedades
Posiciones relativas de dos circunferencias
Teoremas
Polígonos inscritos y circunscritos
Teoremas de Poncelet y Pitot
circunferencia II 115
Ángulos en la circunferencia
unidad competencia y capacidades contenidos pedagógicos páginas
Comunica su 
comprensión 
sobre las formas 
y relaciones 
geométricas.
Usa estrategias 
y procedimientos 
para orientarse 
en el espacio.
Argumenta 
afirmaciones 
sobre relaciones 
geométricas.
Índice
El matemático Euclides, nacido el año 
330 a. C. (probablemente en Grecia), 
es considerado uno de los personajes 
más ilustres de la historia y Padre de la 
Geometría por sus grandes aportes a esta 
rama de la Matemática.
Algunos sostienen que fue educado en Atenas, y 
que por eso tenía gran dominio del conocimiento 
geométrico elaborado en la escuela de Platón, 
aunque no parece tan familiarizado con las de 
Aristóteles.
Euclides
y los postulados de
«Elementos»
Euclides se instaló en Alejandría durante el reinado de Ptolomeo I; en aquella ciudad fundó 
una escuela matemática muy importante y escribió Elementos, de la que no existe obra original 
pero tiene copias posteriores en griego, latín y árabe. Es importante resaltar que la ciudad de 
Alejandría era uno de los centros intelectuales más importantes por su biblioteca y su museo.
Obras de Euclides
Euclides produjo muchos tratados sobre la Geometría y otras ciencias. Sin embargo, su obra más 
conocida es Elementos y está compuesta por 13 libros que compilan obras de otros autores y 
de él y donde se tocan los temas de geometría plana o elemental, teoremas de los números y 
la geometría espacial. Además de desarrollarse en el campo de la Aritmética y la Geometría, 
Euclides tiene una obra titulada Sofismas y escritos sobre temas de música y óptica.
La obra Elementos contiene en su primer libro, 5 postulados de la geometría en el plano, los 
mismos que dieron tema de conversación a los entendidos matemáticos por mucho tiempo. 
Estos postulados son:
1. Dados dos puntos, se puede trazar una recta que los une.
2. Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la 
misma dirección.
3. Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
Pero el siguiente postulado fue controversial.
6
Quinto postulado
Si una recta, al cortar a otras dos, 
forma los ángulos internos de un mismo 
lado menores que dos rectos, esas dos 
rectas prolongadas indefinidamente 
se cortan del lado en el que están los 
ángulos menores que dos rectos.
Ya desde la época de Euclides, se 
pensó que su quinto postulado de la 
Fuente:
biografiasyvidas.com, bbvaopenmind.com, ecured.cu, euston96.com
Desempeños
•	 Establece relaciones entre las características y los atributos medibles de objetos reales o imaginarios. 
Asocia estas características y las representa con formas bidimensionales. Establece, también, 
propiedades en la congruencia de triángulos, y propiedades de área y perímetro.
•	 Expresa, con dibujos, construcciones con regla y compás, con material concreto y con lenguaje 
geométrico, su comprensión sobre las propiedades en la congruencia de triángulos. Los expresa 
aun cuando estos cambien de posición y vistas, para interpretar un problema según su contexto y 
estableciendo relaciones entre representaciones.
•	 Lee	textos	o	gráficos	que	describen	características,	elementos	o	propiedades	de	las	formas	geométricas	
bidimensionales. Reconoce propiedades en la congruencia de triángulos para extraer información.
•	 Selecciona y emplea estrategias heurísticas, recursos o procedimientos para determinar la longitud y el 
perímetro de polígonos empleando unidades convencionales (centímetro, metro y kilómetro).
•	 Plantea	afirmaciones	sobre	las	relaciones	y	propiedades	que	descubre	entre	las	formas	geométricas,	
sobre	la	base	de	simulaciones	y	la	observación	de	casos.	Las	justifica	con	ejemplos	y	sus	conocimientos	
geométricos.	Reconoce	errores	en	sus	justificaciones	y	en	las	de	otros,	y	los	corrige.
geometría del plano era demasiado complejo y podía enunciarse de manera más sencilla. Para 
abordar ese reto, se buscaron formulaciones equivalentes de ese axioma, pero de manera que 
la geometría que lo cumpliese siguiese siendo euclidiana. Así se llegó a enunciados más simples, 
como por ejemplo: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.
Al parecer, ni el propio Euclides se sentía satisfecho con este axioma.
No fue hasta principios del siglo XIX, cuando matemáticos como Lobachevski, Bolyai o Gaussplantearon la posibilidad de crear geometrías del plano a partir de postulados diferentes a los 
de Euclides, lo que se conoce como geometrías no euclidianas. La geometría hiperbólica de 
Lobachevski, que solo satisface los cuatro primeros postulados de Euclides, es un ejemplo. En 
ese caso, el quinto se sustituye por otro que es totalmente nuevo. En la geometría hiperbólica, la 
suma de los ángulos de un triángulo es menor que 180º.
En la historia de la Geometría, Euclides de Alejandría es el principal representante de esta 
ciencia. Sus aportes a la humanidad son invaluables y muchos de ellos se mantienen hoy en día 
como premisas universales.
7
8
Tema 1
Triángulos
Etimológicamente 
triángulo significa: 
tri : tres 
gonos: ángulos
¿Sa bía s qu e.. .?
En la naturaleza encontramos innumerables ejemplos de formas asociadas a figuras 
geométricas, y esto se debe a que nuestro cerebro procesa la idea abstracta de un 
polígono y la relaciona con una forma encontrada en la vida real.
Así, en la imagen, la hoja encontrada nos da la idea de la figura poligonal cerrada más 
simple como es el caso del triángulo.
Definición
Si A, B, C son tres puntos no alineados, entonces a la reunión de los segmentos AB, BC 
y AC se le denomina triángulo y se denota como ABC.
A
B
C
A
B
C
• Los puntos A, B, C son vértices.
• Los segmentos AB, BC y AC se llaman lados.
• Los ángulos BAC, ABC, BCA se llaman ángulos internos del triángulo y frecuentemente 
los designamos como:
 A , B , C
• A la suma de las longitudes de todos los lados de un triángulo se le denomina perímetro 
del triángulo.
Perímetro: 2p = AB + BC + AC
Semiperímetro: p = AB + BC + AC2
 AB: se lee
 segmento AB
AB: se lee
 medida del 
 segmento AB
También:
 AB = m AB
Recu e rda
9MateMática Delta 2 - GeoMetría
Recu e rda
El símbolo
indica el ángulo 
de 90°.
Clasificación de los triángulos
Según la longitud de sus lados:
Triángulo equilátero: Es aquel triángulo en el que sus lados tienen igual medida.
Triángulo isósceles: Es aquel triángulo en el que solo dos de su lados miden igual.
Triángulo escaleno: Es aquel triángulo donde sus tres lados tienen diferentes longitudes.
Según la medida de sus ángulos interiores:
Triángulo rectángulo: Es un triángulo que tiene un ángulo recto.
 Observación
 m A = 90° 
B
A
C
Etimológicamente 
equilátero significa: 
equi: igual 
latero: lado
Traduciendo sería 
lados de igual 
medida.
Isósceles significa:
isos: igual
celes: patas o 
piernas.
Es decir, patas o 
piernas de igual 
medida.
Se denomina región 
triangular a la unión 
del triángulo y su 
interior.
L L
L
L L
L
60°
60° 60°
L L
m
α° ≠ β° ≠ θ°
m
k
L
También:
También:
También:
¿Sa bía s qu e.. .?
¿Sa bía s qu e.. .?
m
k
L
α°
β°
θ°
L L
m
α° α°
L
β°
10
Los ángulos se 
clasifican en:
• Agudo: si su 
medida es mayor 
que cero y menor 
que 90°.
• Recto: si su 
medida es 90°.
• Obtuso: si su 
medida es mayor 
que 90° y menor 
que 180°.
<: menor que
>: mayor que
: menor o igual a
: mayor o igual a
Los teoremas son 
proposiciones 
matemáticas 
que tienen 
demostración.
Recu e rda
Import a nt e
Re cu e rda
 Triángulo oblicuángulo: Es un triángulo que no tiene un ángulo recto. 
 Si los tres ángulos son agudos se llama triángulo acutángulo, si uno de los ángulos 
es obtuso se llama triángulo obtusángulo.
B
CA
Q
P R
Acutángulo
m A < 90°
m B < 90°
m C < 90°
Obtusángulo
m Q > 90°
Teoremas fundamentales
Teorema de la existencia (Teorema de la desigualdad triangular) 
En todo triángulo la longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los 
otros dos lados y mayor que la diferencia de dichas longitudes.
c a
b
B
A C
Teorema de la suma de las medidas de los ángulos interiores
En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 180º.
Teorema del ángulo externo. En un triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a 
la suma de las medidas de dos ángulos internos no adyacentes a dicho ángulo externo. 
° + ° + ° = 180°
x = ° + °
 Se cumple que:
b – c < a < b + c , si b c
°
° °
x
°
°
11MateMática Delta 2 - GeoMetría
Teoremas auxiliares
I) 
II) 
III) 
x° = ° + ° + °
° + θ° = β° + δ°
Propiedad de la suma de dos 
ángulos exteriores.
IV) 
V) 
180° + x° = ° + °
x° + y° = m° + n°
m°
x°
n°
y°
x°
°
° °
m°
n°
x° y°
x°
° °
¿Sa bía s qu e.. .?
°
° 
β°
δ° 
Alfabeto griego:
Alfa : 
Beta : 
Gamma : 
Delta : 
Epsilon : 
Zeta : 
Eta : 
Theta : 
Iota : 
Kappa : 
Lambda : 
Mu : 
Nu : 
Xi : 
Omicron : 
Pi : 
Rho : 
Sigma : 
Tau : 
Ypsilon : 
Fi : 
Ji : 
Psi : 
Omega : 
x° + y° = m° + n°
12
a = b 
Teorema de la 
existencia
Recu e rda
Las medidas de los ángulos internos de un triángulo están en proporción de 4; 6 
y 8. Calcula el menor de los ángulos internos de dicho triángulo.
Resolución: 
Como los ángulos son proporcionales a 4; 6 y 8, entonces los ángulos interiores 
medirán: 4k, 6k y 8k. 
 Por teorema fundamental:
 4k + 6k + 8k = 180° ⇒ k = 10°
Nos piden la medida del menor ángulo interno, es decir 4k = 40º.
Un triángulo tiene por lados 3 cm y 7 cm. Si el tercer lado del triángulo mide el triple 
de uno de ellos, halla la medida del tercer lado.
Resolución: 
Antes de decidir a cuál de las longitudes de los lados le asumimos el valor del triple, 
primero debemos asegurarnos que dicho triángulo exista. Veamos:
Por lo tanto, los valores enteros admisibles 
serían 5; 6; 7; 8 y 9. Ahora bien, de acuerdo a 
la condición del problema el tercer lado debe 
medir el triple de uno de los valores dados. 
Entonces el tercer lado medirá 9 cm.
3 7
B
CA x
7 – 3 < x < 7 + 3
 4 < x < 10
ab
x
a – b < x < a + b
La suma y diferencia de dos ángulos de un triángulo son 100º y 40º, respectivamente. 
Determina la medida de los tres ángulos.
Resolución: 
Sean la medida de dos ángulos y .
De las condiciones tenemos: + = 100° …… (I)
 – = 40° ………(II)
Operando el sistema convenientemente hacemos (I) + (II) 
 2 = 140°
 = 70° = 30º 
Por teorema, la suma de las medidas de los tres ángulos es 180º. Entonces el tercer 
ángulo medirá 80º. Los tres ángulos serán 70º, 30º y 80º. 
Si en un triángulo, 
sus tres ángulos 
internos miden 
menos que 90°, 
entonces se llama 
acutángulo.
Recu e rda
 
Rpta. 40°
 
Rpta. 9 cm.
 
Rpta. 70º, 30º y 80º
1
2
3
Ejercicios resueltos
13MateMática Delta 2 - GeoMetría
 Dado un triángulo isósceles, cuyos lados miden 8 cm y 17 cm. Encuentra el 
semiperímetro del triángulo.
 Resolución: 
 Para que un triángulo sea isósceles primero debe existir. Por lo tanto, hay que 
analizarlo antes de evaluar cuál de las longitudes de lados se repite:
 17 – 8 < x < 17 + 8
 9 cm < x < 25 cm
A partir de ello, notamos que el tercer lado no puede medir 8 cm, ya que debe ser 
mayor que 9 cm. Entonces las longitudes de los lados son 8 cm, 17 cm y 17 cm.
El perímetro es 42 cm. Piden el semiperímetro que es 21 cm.
8 cm 17 cm
A
B
Cx
Recu e rda
El símbolo del 
perímetro es 2p.
 
Rpta. 21 cm.
5
4
En la figura, calcula el valor de x + y. 
Resolución: 
Es fácil notar para el triángulo ABC que:
 69° + 3 + 3 = 180°
 + = 37°
 Por lo tanto, en el triángulo AQC: + + y = 180° 
 y = 143º
 En el cuadrilátero no convexo ABCP también se 
tiene:
69° + + = x 
 106° = x 
Se pide: x + y = 249°
No o lv id e s
OM: bisectriz del 
 AOB
a = b x = ° + ° + °
A
B
M
O
x
°
°°
69°
x
y
α
β
β
β
α
α
C
P
Q
A
B
69°
x
y
α
β
β
β
α
α
 
Rpta. 249°
°
°
14
Recu e rda
Ángulo de medida 
C( ) = 90° – 
S( ) = 180° – 
Donde
C( ) : Complemento 
 de 
S( ) : Suplemento de 
Segunda resolución: Aplicamos la propiedad de la suma de dos ángulos exteriores
 10 + 13 = 50° + 180°
 = 10° 
Nos piden el complemento de :
 C( ) =90° – = 90° – 10° = 80°
(Página 11 - Teorema V).
Entonces en el ABC:
50° + (180° – 10 ) + (180° – 13 ) = 180°
 = 10°
Nos piden el complemento de :
C( ) = 90° – = 90° – 10° = 80°
Primera resolución: Podemos completar los ángulos interiores del triángulo. Así:
a° + b° = x + 180°
x
a° b°
 
Rpta. 80°
10θ B
50°
A C
180° – 13θ
13θ
180° – 10θ
7
Resolución: 
Por ángulo exterior en el triángulo PQC, la medida del ángulo PQA es 2x. 
 APQ: isósceles m PAQ = 2x
Finalmente, en el triángulo ABC:
5x = 90°
 x = 18°
Como los lados AB 
y BC tienen marcas 
iguales, se entiende 
que sus longitudes 
son iguales.
Obse rva ción
B
A C
 En la figura, determina el complemento de . 
10θ B
50°
A C
13θ
A
Q
C
P
B
2x
x2x 2x
x
 
Rpta. 18°
6 En la figura, halla el valor de x.
A
Q
C
P
B
2x
x
15MateMática Delta 2 - GeoMetría
En la figura, encuentra el valor de x.
Finalmente, en el cuadrilátero EDCF:
β° + 90° = x + β° + 2x
 30° = x
Resolución: 
En ABE: m DEF = x + ° ... (ángulo exterior) 
 m DCF = 90°
Obse rva
b c
a d
a = b a + b + c + d = 360°
No o lv id e s
x
y
a = b x + y = ° + °
° °
β°
β°
B
C
FA
E
D
x
2x
β°
β°
B
C
FA E
D
x
2xx + β°
 
Rpta. 30°
8
9 Halla el valor de x en la siguiente figura.
En un triángulo 
equilátero sus tres 
lados miden igual. 
Sus ángulos internos 
también son iguales, 
cada uno mide 60°.
¿Sa bía s qu e.. .?
x
P
B
A C
Resolución: 
 ABC: equilátero m BAC = m ABC = 60°
 PAB: isósceles m PAB = 30° m APB = m ABP = 75° 
Finalmente, en el punto B se cumple que:
75° + 60° + x = 180°
 x = 45°
P
B
A
C
30°
75°75°
60°
60°
x
 
Rpta. 45°
16
Vamos a demostrar empíricamente por qué la suma de las medidas de los ángulos 
internos de un triángulo es 180°.
Una manera muy sencilla es esta. Usando tu regla, lápiz y colores construye cualquier tipo 
de triángulo. Luego colorea apropiadamente las puntas (los ángulos). Convenientemente 
haz coincidir doblando las puntas en algún punto de un lado. Notarás que ellas coinciden 
y que exactamente forman una línea recta. Tú sabes muy bien que en esa posición la 
suma de todos los ángulos siempre será 180°.
Otra manera es esta:
Construye un triángulo cualquiera como en el caso anterior, luego colorea tres sectores 
de tal manera que al colorear el triángulo siempre haya un ángulo pintado. Luego con una 
tijera o si quieres rasgando el papel rompe tu figura. Verás que a la hora de hacer coincidir 
las porciones por la parte de los ángulos, estos se ubican en un único punto donde la 
suma de las medidas es 180°.
B
A C
B
C A
Actividad en tu cuaderno
 
La manera formal 
de demostrar 
sería trazando una 
paralela a un lado 
y por la propiedad 
de ángulos alternos 
internos, las medidas 
se repiten. Así:
Notamos en L1:
Obse rva
a = b ° + ° + ° = 180°
B L1
CA
°
°
°
°
°
Resolución: 
En el ABC:
60° + 20° + 5 = 180° 
 = 20° 
Además: APQ es isósceles 
 + 2x = 180° 
 x = 80°
En la figura, calcula el valor de x.
B
A C
2θ
 
 
2θ
P
Q
20°
x
60°
 
Rpta. 80°
10
17MateMática Delta 2 - GeoMetría
Síntesis
Modela y resuelve 
De la suma de medidas de sus 
ángulos internos. 
α + β + θ = 180° α + β + θ = 360° x = α + β 
x = α + β + θ 
x + y = α + β α + β = x + y α + β = x + y 
De la suma de medidas de sus tres 
ángulos externos, uno por vértice.
Del cálculo de la medida de un 
ángulo exterior.
De la existencia de un triángulo. De la correspondencia.
Teoremas adicionales
Teoremas principales
C B
A
a b
c
Sea ABC un triángulo
a – b < c < a + b
a > b
Si α > β
⇒ a > b
b a
B
A
C
α β
A C
x
B
β
α
A
B C
β
α θ
B
A C
β
α θ
xA
B
C
Oα
β
θ
B C
A D
α
β
x
y
A C
B
D
α
βx y
A D
B
C
α
β
x
y
2 Calcula el valor de x en la siguiente figura.1 La medida de dos ángulos internos de un triángulo 
son 38° y 63°. ¿Cuánto mide el tercer ángulo 
interno?
2x + 10°
2x – 10° 2x
Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta.
Triángulos
18
4 Calcula el valor de β. 3 Calcula el valor de .
5θ
6θ 120° 10°
Resolución:
60°
7β2β
20°
Resolución:
7 En la figura, halla el valor de x. 8 Halla el valor de x. 
6 En la figura que se muestra, determina el valor de x.5 En la figura que se muestra, determina el valor de .
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
120°
70°
A
B
C
α
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
70oB
3x
A
40º + 2x
C
140°
2x 6x x 126°
19MateMática Delta 2 - GeoMetría
10 Los lados AB y BC de un triángulo ABC miden 
7 cm y 11 cm y AC mide el doble de uno de ellos. 
¿Cuánto es el perímetro del triángulo?. 
12 Determina m BMC.
13 Del gráfico, encuentra el valor de x.
11 Determina m BCA.
9 Los lados de un triángulo isósceles miden 4 cm y 
10 cm. Calcula el perímetro del triángulo. 
Resolución:
Resolución:
Resolución:
120°
A C D
80°
3
B
Resolución:
B
A
M
C
4β 4β
2β 20°
14 Encuentra el valor de x.
Resolución: Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
x
20°
50º
x
60º
100º
20
16 Halla la medida del mayor ángulo de un triángulo 
isósceles, si los ángulos iguales miden 56°.
17 Las medidas de los ángulos internos de un 
triángulo son proporcionales a 2, 4 y 6. ¿Cuáles 
son sus medidas?
18 Las medidas de los ángulos internos de un triángulo 
están en proporción a 4, 6 y 8. Calcula el menor 
de los ángulos internos de dicho triángulo.
19 En la figura, determina el valor de x. 20 Determina el valor de x en el gráfico.
15 Halla la medida del menor ángulo interno de un 
triángulo rectángulo isósceles.
Resolución:Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
x40º
140º
B
A C
D
10º
80º
x
B
A C
D
21MateMática Delta 2 - GeoMetría
1
2 5
4
3 6
De las siguientes afirmaciones, escribe V si es 
verdadera o F si es falsa.
I) Triángulo escaleno: lados con diferentes 
longitudes.
II) Triángulo isósceles: si sus tres lados son de 
igual longitud.
III) Triángulo equilátero: si tiene dos lados de 
igual longitud.
 A VVV B FVV C FVF 
 D VFF E FFF
Señala el lado mayor del triángulo PQR.
68°
64° 48°
P R
Q
1. Ángulos de medidas iguales a) isósceles
2. Ángulos de medidas diferentes b) equilátero
3. Dos ángulos de medidas iguales c) escaleno
Relaciona; luego, marca la alternativa correcta.
 A 1b, 2c, 3a 
 B 1c, 2b, 3a 
 C 1b, 2a, 3a
 D 1a, 2b, 3c
 E 1c, 2a, 3b
En un triángulo dos de sus lados miden 3 cm y 
7 cm, si el tercer lado del triángulo mide el triple 
de uno de ellos, halla el perímetro del triángulo. 
A 22 cm B 22 o 29 cm
C 29 cm D Faltan datos
E N. A.
A PQ B QR 
C PR D Faltan datos
E N. A.
Determina el valor de x + y.
50°
x
65°
y
80°
60°
Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados miden 
5 cm y 12 cm. ¿Cuánto mide el perímetro del 
triángulo?
 A 31 cm 
 B 19 cm 
 C 30 cm 
 D 31 o 19 cm
 E Ese triángulo es imposible.
 A 115° B 103° C 105° 
 D 145° E 95°
Nivel I
Practica y demuestra
22
8
11
9 12
7 10En la figura, calcula m HQP, si la medida del 
ángulo PQR es 120°.
Determina el valor de m + n.
Si la medida de uno de los ángulos de un triángulo 
rectángulo es 45 de la medida del otro. ¿Cuánto 
mide el ángulo menor?
En un triángulo ABC, la medida del ángulo B es el 
doble del ángulo A y el ángulo C es igual a la suma 
de A + B. ¿Cuánto mide el ángulo menor?
La suma de las medidas de los ángulos B y C de 
un triángulo ABC es 105°. Si la medida del ángulo 
A excede a la del ángulo C en 40°. ¿Cuánto es la 
medida del ángulo B?
50°
m
120° 20°
70°
n
En la figura se cumple que si AB = BC, BP = BQ, 
halla el valor de x.
B
A P
x
Q
C30°
 A 40° B 50° C 60° 
 D 70° E N. A.
 A 100° B 101° C 99° 
 D 180° E N. A.
 A 30° B 40° C 45° 
 D 60° E 180°
 A 40° B 80° C 70° 
 D 60° E 75°
 A 40° B 30° C50° 
 D 80° E N. A.
 A 30° B 40° C 20° 
 D 50° E N. A.
Q
P H R
40°
Nivel II
23MateMática Delta 2 - GeoMetría
En la figura, determina el valor de x.
En la figura se cumple que AB = BC. Calcula el 
valor de x.
x
75°
2β
β
En la figura, encuentra el valor de x.
3x
4x
4x
3x
4x
En la figura se cumple que BD = PD. Halla el valor 
de x.
En la figura se cumple que AB = PC. Calcula el 
valor de x.
B
5x
P
x
7x
x
C
A
Si en la figura se cumple que α + θ = 70°. 
Determina el valor de x, si AP = PB y BQ = QC.
 A 40° B 50° C 30° 
 D 60° E 70°
 A 30° B 80° C 75° 
 D 45° E 60°
 A 8° B 10° C 12° 
 D 15° E 20°
 A 10° B 20° C 30° 
 D 40° E 50°
 A 60° B 65° C 70° 
 D 75° E 80°
 A 15° B 10° C 250° 
 D 40° E 45°
B
80°
60°
2x
A C
Q
P D
B
A
x
P
H
C
B
A P Q C
x
α
13
14
15
16
17
18
24
21
20
19
22
23
24
En la figura, encuentra el valor del complemento 
de x sumado al suplemento de θ.
105°
81°
x
θ3θ
 A 160° B 165° C 170° 
 D 175° E 189°
En el gráfico, halla el valor de x si el triángulo ABC 
es equilátero.
A C
B
x
Si dos lados de un triángulo tienen como longitud 
7 u y 2 u. Encuentra el valor del tercer lado que no 
sea ni el máximo ni mínimo valor entero. 
 A 6 u B 8 u C 7 u 
 D 9 u E 10 u
Dos lados de un triángulo suman 22 u. Determina 
el mayor valor entero que puede tomar la altura 
relativa al tercer lado. 
 A 9 u B 11 u C 10 u 
 D 12 u E 13 u
Clasifica al triángulo ABC.
3x
M
A
2x 45°
E
 A Acutángulo
 B Isósceles
 C Triángulo rectángulo
 D Triángulo escaleno
 E Más de una es correcta
Calcula el valor de x, si el triángulo ABC es 
equilátero.
B Q
C
A
P
x
 A 30° B 70° C 60° 
 D 80° E 50°
 A 30° B 60° C 70° 
 D 80° E 50°
Nivel III
Tema
25MateMática Delta 2 - GeoMetría
2
Líneas notables en el triángulo
M
A
M
N
B
B
O
O
El nombre ceviana 
fue introducido por 
M.A. Poulain, que 
lo utilizó en honor 
a Giovanni Ceva, 
quien en 1678 
formuló un teorema 
que lleva su nombre, 
este teorema da la 
condición necesaria 
y suficiente para 
que tres cevianas se 
corten en un punto.
El haber conocido el triángulo nos permite empezar a asociarlo con otras figuras.
Lo puedes asociar a líneas, circunferencias, otros polígonos, etc. En este capítulo 
empezaremos a ver la asociación que se puede dar con segmentos a los cuales 
llamaremos cevianas. 
Ceviana es un segmento de recta que une un vértice de un triángulo con el lado opuesto 
a este, o con su prolongación; determinando, de esa manera, la posibilidad que haya una 
ceviana interior y una ceviana exterior. También se la conoce como transversal angular. 
Gráficamente:
B
A D C E
Para el triángulo ABC:
 BD: Ceviana interior
 BE: Ceviana exterior
Como verás no le hemos dado ninguna condición especial a esta ceviana; pero cuando 
esto ocurre dicha ceviana toma nombre. Existen diversos tipos de cevianas notables. Sin 
embargo, en este grado analizaremos solo a dos: la bisectriz y la altura.
Cevianas notables
Bisectriz
Una bisectriz es una ceviana que «biseca» al ángulo (de allí su nombre), a partir del cual 
es trazada, determinando de esa manera dos ángulos congruentes. La bisectriz puede 
ser interior o exterior. 
A C
D
B
En el gráfico, como m ABD = m DBC, entonces BD es bisectriz interior.
Q
R
P S
Se nota en el siguiente gráfico que QS es una bisectriz exterior.
¿Sa bía s qu e.. .?
Impo rt a nt e
OM y ON son
trisectrices
°
°
°
°
°
OM: bisectriz
A
°
°
°
°
26
Un punto notable 
es un punto donde 
concurren cevianas 
notables.
Obse rva
• Bisectriz en inglés 
es bisector. 
• Incentro en inglés 
es incenter.
• Excentro en inglés 
es excenter.
Un triángulo tiene un 
único incentro pero 
tres excentros.
¿Sa bía s qu e.. .?
Obs e rva
Altura
Una altura es una ceviana perpendicular al lado hacia donde esta es relativa. Esta ceviana 
puede ser interior o exterior dependiendo del tipo de triángulo.
B
A C
H
B
H A
C
Cuando las cevianas se intersecan generan puntos, y dependiendo del tipo de ceviana 
estos puntos pueden ser singulares, normalmente a estos puntos se le denominan puntos 
notables. 
Como en este capítulo estamos estudiando a la bisectriz y a la altura, veamos ahora qué 
puntos notables se asocian de ellas.
Incentro y excentro
El incentro es el punto de concurrencia de las tres bisectrices interiores de un triángulo.
En el gráfico, tanto AD, BF y CE son bisectrices.
Incentro
del ABC
El excentro es el punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores y una bisectriz 
interior.
En el gráfico, BD y CE son bisectrices exteriores. AF es bisectriz interior.
E
F
D
B
A C
Altura interior
Altura exterior
Excentro
del ABC
relativo a BC
A
F
C
D
B
E
27MateMática Delta 2 - GeoMetría
El símbolo frecuente 
para indicar la altura 
es la «h», debido 
a que en inglés la 
palabra para la altura 
es height. 
Ángulos 
suplementarios 
Son dos ángulos 
cuya suma de 
medidas es 180°.
Ángulos 
complementarios 
Son dos ángulos 
cuya suma de 
medidas es 90°.
Recu e rda
Ortocentro
Es el punto de concurrencia de las tres alturas de un triángulo. Su ubicación puede ser en 
la región interior, exterior o en el mismo triángulo, eso va a depender del tipo de triángulo. 
Será interior si el triángulo es acutángulo, exterior si el triángulo es obtusángulo, y se 
ubicará en el mismo triángulo si es triángulo rectángulo. Veámoslo gráficamente.
Ortocentro
Ortocentro
Ortocentro
Ángulos formados por cevianas notables
Existen teoremas que relacionan ángulos y medidas angulares a partir de las cevianas 
que hemos estudiado. 
Ángulos en el incentro y excentro
a = b x = 90° +
θ°
2
B
E
A F
C
D
donde I: incentro
¿Sa bía s qu e.. .?
A
O
H C
T
B
x
I
B
A Cα°
α°
β°
β°
θ°
28
I: incentro del 
triángulo ABC
• Incentro 
Punto interior 
donde concurren 
las bisectrices 
interiores.
• Ortocentro 
Punto de 
concurrencia de 
las alturas. 
Recu e rda
También se cumple:
Obse rva
a = b x = 90° –
θ°
2
a = b x = 
θ°
2
Ángulos en el ortocentro
a = b x = 180° – θ°
a = b x = 180° – θ°
E: excentro
E: excentro
H: ortocentro
H: ortocentro
2x x
¿Sa bía s qu e.. .?
B
CA
I
xE
B
D
H
A C
θ°
A
P C
T
x
H
B
θ°
θ°
θ° α° α°
B
A C
x
E
β°
β°
θ°
α°
α°
B
E
x
CA
β°
β°
θ°
α° α°
29MateMática Delta 2 - GeoMetría
Obse rva
No o lv id e s
Resolución: 
Como CM es bisectriz, m ACM = m MCB = β°
En el triángulo ABC: 
Calcula el valor de x, si CM es bisectriz.
Entonces…
En el triángulo MBC: x + 40° + 30° = 180°
 x = 110° 
80° + 40° + 2β° = 180° 
 β° = 30°
C
Resolución: 
Como AB = AC, entonces el triángulo ABC es isósceles, por lo tanto: 
m ACB = m ABC = 70°
Al ser BH altura, entonces el triángulo BHC es rectángulo. Así:
x + 90° + 70° = 180°
 x = 20°
En la figura, determina el valor de x.
Se observa que en el triángulo ABC, tanto AE como CE son bisectrices, la primera 
interior y la segunda exterior. Por lo tanto, E es excentro del triángulo ABC. Por 
teorema:
Resolución: 
x = 80°2
⇒ x = 40°
En la figura, AB = AC, y BH es altura. Halla el valor de x.
B
A
M
CM es bisectriz 
x
a = b x = 
 β°
2
θ° α°
α°θ°
β°
β°
β°
80°
x
80° x
B E
A C
 
Rpta. 110°
 
Rpta. 20°
 
Rpta. 40°
C
B
M
A
x
80° β
40°
x
40°A
B
CH
70°
B
CH
x
1
2
3
Ejercicios resueltos
30
No o lv id e s
Re cu e rda
Obs e rva
En la figura, encuentra el valor de x.
Resolución: 
Por teoría E es excentro del triángulo 
ABC. Sabemos que:
En el gráfico, I es el incentro del triángulo rectángulo. Calcula el valor de x.
Resolución: 
Por dato del ejercicio, I es incentro del triángulo ABC, por lo tanto AI y CI son 
bisectrices interiores. 
Por teorema, tenemos:
θ° = 90° + 90°2⇒ θ° = 135°
Por otro lado, θ° y x forman un par lineal, por lo tanto son suplementarios.
θ° + x = 180° ⇒ x = 45°
En la figura, halla el valor de x.
Resolución: 
En la figura podemos notar fácilmente que H es el ortocentro del ABC.
Por teorema de medida de ángulos en el 
ortocentro:
2x + 3x = 180°
 x = 36°
B
A
E
C
40°
α
α
x
x
m
x
a + b = 180°
H: ortocentro
a = b m = 2x 
a = b x = 90° – 
°
2
°
°
° ° °
 40° = 90° – x
2
 
⇒ x = 100°
θ°
I x
B
A C
α β
α β
α° β°
β°α°
 
Rpta. 36°
 
Rpta. 45°
 
Rpta. 100°
α β
α β
I x
B
A C
B
A C
2x
3x
E
a
b
A
H
B
C
B
A C
3x
E2x
3x
H
4
5
6
31MateMática Delta 2 - GeoMetría
Síntesis
Modela y resuelve 
B
A D C
si α° = β°
 BD: bisectriz
B
A H C
si = 90°
 BH es altura
m°
x
I
β° α°
α α α
α
α
β
βα
x = 90° + m° 2
m°
 2
m°
x
x = m2
x
m°
x = 90° –
E: excentro
E
E
E: excentroI: incentro
H: ortocentro
m°
x
x = 180° – m°
H
2 Construye un triángulo rectángulo ABC recto en B 
y traza la altura relativa al lado AC. 
 Resolución:
1 Construye un triángulo acutángulo ABC y traza la 
altura relativa al lado AC.
 Resolución:
Líneas notables en el triángulo
32
3 Indica verdadero V o falso F.
- El baricentro es el punto de intersección de las 
medianas.
- El ortocentro es el punto de intersección de las 
alturas.
- El circuncentro es el punto de corte de las 
bisectrices interiores.
4 Calcula el valor de x, si CM es bisectriz. 
M
A
B
C
40°
x
80o
Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta.
6 Determina el valor de x, si ABC es equilátero y 
CH es altura. 
5 Determina el valor de x, si AM es bisectriz.
Resolución: Resolución:
A
B CM
40° 60°
x
B
H
A x C
8 Indica el valor de x, si AM es bisectriz.7 Indica el valor de x, si AM y CM son bisectrices. 
B
M
x
A C
Resolución:
B
M
C
80°
A
x
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
33MateMática Delta 2 - GeoMetría
10 Halla el valor de α, si BM es bisectriz. 9 Halla el valor de x, si BH es altura.
B
x
50°
A H C
B
A
M
C
2α – 30°
α
Resolución: Resolución:
12 Encuentra el valor de m ABM, si BM es bisectriz. 11 Encuentra la medida del ángulo ABC, si BM es 
bisectriz.
A C
B
M
30°– θ 20°+ θ2α – 40° α + 10
A
M
C
B
 °
Resolución: Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
13 Calcula el valor de α, si BM es bisectriz. 14 Calcula la suma de las medidas de los ángulos 
ABC y CAB, si CP es bisectriz. 
Resolución: Resolución:
55°
P
B
A C
B
CMA
12α – 10° 10α + 80°
Rpta. Rpta.
34
17 Determina el valor de x. 18 Determina el valor de x.
Resolución:
19 Encuentra el valor de x, si QF es bisectriz del 
ángulo PQR.
20 En el gráfico, RE es bisectriz exterior del triángulo 
ARQ. Encuentra el valor de φ.
Resolución:
Resolución:
16 En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza 
la altura BH; la bisectriz del ángulo ABH interseca 
a AC en Q, si AC = 20 cm y AQ = 3 cm. Halla la 
medida de BC.
 
Resolución:
B
20°
E
CA
x
Resolución:
x
I
40°
B
A C
15 En el gráfico, BD es bisectriz interior del ángulo 
ABC y BH es altura. Halla el valor de x.
B
A H CD
x
3θ θ
Resolución:
Q
85°
F
RP 35°
x 36° 104
°
A
Q
E
R
φ
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
35MateMática Delta 2 - GeoMetría
Nivel I
Practica y demuestra
Traza dos bisectrices exteriores en un triángulo 
obtusángulo. Indica el excentro.
Determina el valor de x, si AB = AC y BH es altura.
Confecciona un triángulo obtusángulo ABC, 
obtuso en el vértice B y traza la altura desde el 
vértice A.
Utilizando un transportador, dibuja un ángulo que 
mida 150° y mediante compás y regla traza la 
bisectriz.
Indica el valor de x, si AH es altura. 
B
H
130°
C A
x
40°
x
B
A H C
Calcula el valor de x, si BD es bisectriz.
70°
80° x
D
B A
A 45° B 60° C 80°
D 70° E 40°
A 10° B 15° C 20°
D 25° E 30°
A 70° B 75° C 80°
D 85° E 86°
1
4
2 5
3 6
36
De la figura, halla el valor de β, si BM es bisectriz 
del ABC.
Del gráfico, encuentra la longitud de BE, si BH es 
altura, AE es bisectriz y BF = 10 m.
A 20° B 30° C 35°
D 40° E 50°
A 4 m B 6 m C 8 m
D 9 m E 10 m
B
E
A H C
F
B
A M C
140°2β
β
Determina el valor de α, si BM es bisectriz.
C
M
A B
2α
3α – 15°
A 15° B 20° C 25°
D 30° E 45°
Calcula el valor de , si CP es bisectriz. 
A 110° B 55° C 35°
D 80° E 70°
Encuentra el valor de α, si // AC y CP es 
bisectriz.
Halla el valor de α, si BP es bisectriz del CBD.
A B D
P
60°
C
B
60°
80°
P
A C
A 120° B 60° C 30°
D 90° E 180°
A 40° B 30° C 20°
D 10° E 15°
Nivel II
7 10
8
11
9 12
B
A C
80° – 
 +10°
P
37MateMática Delta 2 - GeoMetría
13 16
14 17
15 18
En el triángulo rectángulo ABC (recto en B) se 
traza la altura BH y la bisectriz interior AQ que se 
cortan en P, tal que BP = PQ. Determina m BCA. 
En un triángulo ABC la m A – m C = 44°. Se 
traza la bisectriz interior BD. Calcula la m HAC 
siendo AH perpendicular a BD . 
A 20° B 30° C 40°
D 50° E 60°
A 41° B 50° C 30°
D 44° E 22°
En la figura, halla a + b, si BD es bisectriz del 
 ABC. 
En el gráfico, encuentra el valor de x.
En el gráfico, determina el valor de x.
En el gráfico, calcula el valor de x en función de α.
m m
5α 4α
x
B
A C
B
A
a
b
E
D C
A 60° B 75° C 100°
D 90° E 80°
A 140° B 120° C 160°
D 130° E 150°
A 60° B 100° C 120° 
D 80° E 90°
A α B 
α
2 C 2α
D 
α
3 E 
3α
2
B
60°
x
A C
B
80°
x
A C
α
α
θ
θ
38
Halla el valor de x.
x
x
DB
A C
Encuentra el complemento de x.
B
A C
100°
x
A 30° B 50° C 60° 
D 80° E Faltan datos
A 50° B 140° C 120°
D 150° E No existe
19
22
20 23
21 24Indica el valor de x.
B
A C
x
45°
60°
A 40° B 30° C 15° 
D 50° E 25°
Si MN es bisectriz exterior del triángulo ATM, 
determina el valor de γ.
T
N
100°
30°
MA
A 45° B 30° C 25° 
D 50° E 35°
Calcula el valor de x.
Si AE y CF son bisectrices, ¿qué punto notable 
es I?
A Incentro B Ortocentro
C Circuncentro D Excentro
E Baricentro
A 30° B 35° C 15° 
D 20° E 10°
40°
x
α α α
α β
β
ββ
EF
A C
B
I
Nivel III
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 1
39MateMática Delta 2 - GeoMetría
De las afirmaciones, indica el valor de verdad de 
cada una.
a) Triángulo acutángulo: si sus tres ángulos 
interiores son agudos.
b) Triángulo obtusángulo: si tiene un ángulo 
obtuso.
c) Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo recto.
La suma de dos ángulos de un triángulo ABC es 
140° y su diferencia es 20°. Halla el menor ángulo 
externo de dicho triángulo.
Encuentra el valor de x – y.
El perímetro de un triángulo es 96 cm, si un lado 
mide 24 cm y los otros están en la relación de 3 a 
5. ¿Cuánto mide cada uno de estos lados?
La suma y diferencia de dos ángulos de un 
triángulo son 100° y 40°, respectivamente. 
Calcula la medida del tercer ángulo de dicho 
triángulo.
Determina m CBD.
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
VVVA
VFVC
FVFB
FFVD
100°A
140°C
120°B
130°D
3 y 5A
27 y 45C
20 y 45B
10 y 18D
30°A
80°C
90°B
70°D
60°A
55°C
40°B
50°D
15°A
20°C
10°B
5°D
50°
y x
70°
2α
α
100°
A C
B
D
40
Encuentra el valor de α, si BP es bisectriz. En el gráfico, determina el valor de x.
Halla el valor de α, si CM es bisectriz. Encuentra el valor de x.
De la figura, calcula el valor de θ, si // AC y AP 
es bisectriz.
Halla el valor del suplemento de x.
7 10
8 11
9 12
20°A
60°C
40°B
30°D
60°A
15°C
30°B
20°D
70°A
80°C
40°B
20°D
80°A
40°C
30°B
60°D
40°A
20°C
30°B
10°D
130°A
80°C
140°B
50°D
A B
P
2α – 2°
5α – 122°
C
B
70°
50°
M
A C
α
C
B
P
100°
40°
A
θ
B
80°
x
A C
α
α θ
θ
x40°
EB
A C
x
I
80°
B
A C
Tema
41MateMática Delta 2 - GeoMetría
3
Triángulos rectángulos notables
Una pregunta que muchos estudiosos siempre se hicieron era de cómo los antiguos 
arquitectos hacían para conseguircon exactitud ángulos rectos. Una de las maneras se 
muestra en la imagen de arriba. En una cuerda cerrada de manera equidistante se hacían 
12 nudos, y cada uno de ellos delimitaba segmentos que como verás se distribuían en 
porciones, formando un triángulo con 3 secciones, 4 secciones y 5 secciones. Por el 
teorema de Pitágoras, para cualquier longitud de las secciones, se cumple que:
32 + 42 = 52
En consecuencia, el triángulo construido con dicha cuerda es un triángulo rectángulo.
En este capítulo aprenderemos más sobre los triángulos rectángulos notables. Pero antes 
de eso comencemos por definir el teorema de Pitágoras:
c a
b
Teorema de Pitágoras:
a: Longitud de la hipotenusa
b: Longitud del cateto (1)
c: Longitud del cateto (2)
a2 = b2 + c2
Interpretación geométrica del teorema de Pitágoras
Como vemos en este gráfico, sobre cada uno de los lados del triángulo rectángulo se 
pueden construir cuadrados, donde cada uno de sus lados serían recíprocamente lados 
de dichos cuadrados. Con la longitud de los lados del triángulo se puede calcular el área 
de cada cuadrado, obteniéndose que la suma de las áreas de las regiones cuadradas 
construidas sobre los catetos, equivale al área del cuadrado construido sobre la 
hipotenusa.
3
4
5 5
25
c
a
b
9
16 4
c2 = a2 + b2
3
5
3
4
En la antigüedad a 
los encargados de 
medir las porciones 
de tierra asignados 
a la agricultura se le 
llamaban «tensores 
de cuerda».
Para obtener ángulos 
rectos se usaba la 
cuerda de los 12 
nudos apoyándose 
en el triángulo de 3, 
4, 5 también usaban 
el triángulo de 6, 8 
y 10.
A Pitágoras se 
le atribuye la 
demostración del 
teorema que lleva 
su nombre. Sin 
embargo, es muy 
probable que hayan 
sido los alumnos de 
la escuela pitagórica 
quienes lo hicieron.
¿Sa bía s qu e.. .?
Nota
42
Triángulos rectángulos notables
Se llama así a cualquier triángulo rectángulo donde las proporciones de los lados y 
las medidas de los ángulos interiores son conocidas. Algunos son exactos y otros 
aproximados. En un estudio posterior haremos hincapié en este asunto. Por lo pronto 
veamos algunos casos interesantes:
Triángulo rectángulo de 30º y 60º
Triángulo rectángulo de 16º y 74º
Triángulo rectángulo de 37º y 53º
Triángulo rectángulo de 45º y 45º
Triángulo rectángulo de 15º y 75º
Se observa que este triángulo rectángulo tiene valores algo complicados; sin embargo, 
la relación entre la altura relativa a la hipotenusa y la longitud de esta se encuentra en 
relación de 1:4.
60°
30°
2a
a 3
a
45°
45°
b 2
b
b
53°
37°
5k
3k
4k
25k
74°
16°
24k
7k
4a
15°
75°
a ( 6 – 2)a
( 6 + 2)a
k
Not a
60°
45°
30°
45°
k
3k3
2k2 
Obse rva
15°
4k
k
También se cumple:
75°
43MateMática Delta 2 - GeoMetría
Recu e rda
No o lv id e s
a
c
a = b a2 + b2 = c2
b
Teorema de 
Pitágoras
30°
60° 2k
k
H k 3
5k 4k
3k
37°
53°
4k
k
15°
A
3 cm x
B 3 cm C
Resolución:
Una posible solución podría ser aplicar directamente el teorema de Pitágoras; sin 
embargo, al notar que los catetos son congruentes, podemos asumir que las medidas 
de los ángulos agudos son 45º y 45º, en tal caso la hipotenusa es conocida. 
En la figura, halla el valor de h.
Resolución:
Se sabe que el triángulo notable de 15º y 75º presenta una relación notable entre la 
altura relativa a la hipotenusa, donde:
x = 16 u4
 x = 4 u
En la figura, determina el valor de x.
53° 30°
20 u x
B
A C
 En la figura, calcula el valor de x. 
A
B C
3 2 cm
45°
45°
3 cm
3 cm
x = 3 2 cm
 
Rpta. 3 2 cm
 
Rpta. 4 u
16 u
h
15°
1
2
3
Ejercicios resueltos
44
Resolución:
El triángulo ABC, presenta dos ángulos cuyas medidas corresponden a un triángulo 
rectángulo notable, pero el triángulo ABC no es un triángulo rectángulo. Entonces vamos 
a trazar una altura que nos favorezca, a fin de conseguir triángulos rectángulos. ¿Desde 
dónde se debe trazar dicha altura?
La mejor opción es trazarla desde el vértice B. Así que trazaremos la altura BH. 
53° 30°
20 u x
B
A C
H
¿Sa bía s qu e.. .?
Re cu e rda
Luego, resolveríamos el triángulo ABH, es decir, calcularíamos sus lados a partir del 
triángulo rectángulo de 37º y 53°.
53° 30°
20 u x
B
A C
H12 u
16 u
Finalmente como BH = 16 u, entonces en el 
triángulo BHC que es un triángulo rectángulo 
notable de 30º y 60º, diremos que:
x = 32 u
En la figura, encuentra el valor de x.
Resolución:
En el problema anterior vimos una posible solución con el trazo de una altura, en este 
ejercicio podríamos hacer lo mismo desde B; sin embargo, aparecería un triángulo de 
8º, el cual es un triángulo rectángulo notable, pero no tan conocido. 
Una vez más buscaremos una altura que nos favorezca. 
En este caso la altura que trazaremos será exterior y desde el vértice A.
Al observar el gráfico, surge la pregunta: 
¿Qué conseguimos con este trazo?
Es que ahora ya conocemos la medida 
del ángulo ABH que es 45º (Teorema del 
ángulo exterior). Y podríamos resolver el 
triángulo ABH.
8°
82°
K
7k
5 2 k
x
a = b x = ° + º
° º
 
Rpta. 32 u
H
B
A
x
C8° 37°
6 2 u
6 2 u
B
x
37°8°A C
4
45MateMática Delta 2 - GeoMetría
«Resolver un 
triángulo» debe 
entenderse como 
conocer las medidas 
de los lados y de sus 
ángulos interiores.
Obse rva
Finalmente trabajaremos en el triángulo 
AHC, donde el cateto AH = 6 u, el cual es 
opuesto a un ángulo que mide 37º, y la 
variable es la hipotenusa.
Por lo tanto:
x = 10 u
En la figura, calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
x + 1
x + 2x
A
B C
Resolución:
Aplicando Pitágoras: x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2
Resolviendo: x2 – 2x – 3 = 0
 x = 3 y x = –1
Resolución:
En el triángulo rectángulo ABC:
 m ABC = 75°
Trazamos desde el vértice A la mediana AM, donde «M» está en BC.
Entonces: MC = 6 (por propiedad de la mediana en triángulos rectángulos).
Luego, el AHM es notable:
 ∴ AH = 3
Por lo tanto, el valor de x es 3.
 
Rpta. 10 u
 
Rpta. 3
 
Rpta. 3 cm
H
B
A x C
8° 37°
6 2u
6 u
45°
6 u
5
6
15°
30°
15°
6 6
6
75°
A
B
H
M
C
x
12 cm
15°A
B
H
C
x
46
1
21
Síntesis
Modela y resuelve 
En la figura, calcula el valor de a + b. En la figura, calcula el valor de k – m.
Teorema 
de Pitágoras
se cumple: 
a2 = b2 + c2
a
b
c
Triángulos rectángulos notables
2k
30°
60°
k
3k
2k
45°
45°
k
k
75°
h
15°
4 h
Observación
5k
3k
4k
37°
53°
k
k
3
3
k
3
32
30°
60° 45°
45°
k k
2 2
k
2
2
Resolución:
a
60°
12 u 
b
m k
8 cm
45°
Resolución:
Rpta. Rpta.
Triángulos rectángulos notables
47MateMática Delta 2 - GeoMetría
3 4
5 6
7 8
9 10
Determina la longitud de AD, si CD = 5 u. Determina el valor de BC, si AB = 10 cm.
Encuentra la longitud de BC, si AC = 20 cm. Encuentra la longitud de PQ, si AC = 5 m.
Halla la longitud de HR, si AB = 10 u. Si ABC es un triángulo equilátero.
Halla PQ
PR
 , si BC = 15 cm, AP = 4 cm.
Resolución:Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
En la figura, calcula el valor de x. Calcula la longitud de x, si AD = DC.
Resolución:
Resolución:
C
P
BA
53°
15
°
Q
37°
D
A 23° B
C
C R B
x
37°
A
H
53° 30°
60 u x
B
A C
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
RQ
A P C
B
E
37
B
CA D
x
40 m
30° 15°A 20 C
B
45°
B
30°A C
48
En la figura, halla el valor de x, si AD = DC. Halla el valor de x.
Resolución: Resolución:
En la figura, determina el valor de x. Determina el valor de a + b.
Resolución:
Resolución:
Del gráfico, encuentra el valor de x. Encuentra el valor de x.
Resolución:
Calcula la longitud de AD, si CD = 10 cm. Del gráfico, calcula el valor de x.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
B
A C
53°
x
20 cm
2x + 2
B
A C
45°
10 2 cm
45°
b
a
6 u
x
37°
45°
3 cm
x
10 m
53°
37°
30°
12 cm
30°
x
45°
6 2 cm
23°
37°B D C
A
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
8 cm
x
C
A
B
D
60º
37º
1211
13 14
15 16
17 18
49MateMática Delta 2 - GeoMetría
Practica y demuestra
Nivel I1
2 5
3 6
4
 En la figura, calcula el valor de a – b.
a6
37°
b
Halla la medida de HQ, si AB = 24 cm.
En la figura, determina el valor de BC si 
AB = 10 m.
30° 45°
B
A C
 A 1 u B 2 u C 3 u
 D 4 u E 5 u
En la figura, encuentra el valor de CQ, si 
AB = 10 mm.
37°
B
Q
A H C
30°
 A 3 3 mm B 9 mm C 6 3 mm
 D 6 mm E 4 mm
 A 4 cm B 6 cm C 8 cm
 D 9 cm E 12 cm
 A 8 2 m B 10 2 m C 5 m
 D 6 2 m E 5 2 m
Calcula el valor de x + 3y.
A 6 u B 6 3 u C (6 + 6 3) u
D 24 u E 12 u
Halla el valor de x.
30°
A
B
C
x
y
12 u
B
A H M
Q
15°
15° C
6 + x
B
A
30°
C
20 cm
A 10 cm B 4 cm C 6 cm 
D 8 cm E 3 cm
50
7 10
8
11
9
12
Determina el valor de x.
B
A C
30°
x
6 2 m
15°
Encuentra el valor de x, si AE = ED.
x
60 cm
53°
A E D
C
B
A 30 cm B 34 cm C 26 cm 
D 28 cm E 24 cm
Calcula el valor de x, si BE = EC.
6 2 u
B
E
D
C
53°
6 2 uA
x
A 4 u B 8 u C 10 u 
D 5 u E 6 u
A 10 cm B 12 cm C 14 cm 
D 15 cm E 12 2 cm
Según el gráfico, halla el valor de x.
x
45°
60° 4 3 cm
B
A
C
A 6 cm B 6 3 cm C 4 3 cm 
D 6 2 cm E 3 2 cm
Del gráfico, determina el valor de x.
x
6 u
30° 53°
37°
 A 8 u B 10 u C 12 u
 D 14 u E 16 u
Encuentra el valor de x.
2 u
x
60°
30°
 A 2 u B 2 3 u C 3 3 u
 D 4 3 u E N. A.
Nivel II
51MateMática Delta 2 - GeoMetría
13 16
14 17
15 18
De la figura, halla el valor de x.
x 8 u
53° 30°
 A 3 u B 4 u C 5 u
 D 6 u E 7 u
Determina el valor de x.
20 cm
x + 9
x
7 cm
 A 15 cm B 12 cm C 18 cm
 D 10 cm E 16 cm
Determina el valor de BC, si AB = 6 2 m.
 A 10 m B 5 m C 10 2 m
 D 8 m E 4 2 m
De acuerdo a la figura, calcula el valor de x – y.
37°
8 u
x 
y 
 A 2 u B 4 u C 1 u
 D 3 u E 5 u
Calcula el valor de x, si BE es bisectriz del 
CBM.
8 2 m 16 m
x
45°
A M E C
B
De la figura, halla el valor de x.
 A 6 cm B 8 cm C 10 cm
 D 6 3 cm E 8 2 cm
B
A C
37°45°
4
3
cm
60°
x
6 cm
 A 10° B 20° C 30°
 D 40° E 50°
52
Nivel III
De la figura, determina el valor de x – y.
Determina el valor de x.
a20 u
45°
x
y
Del gráfico, halla el valor de x.
Encuentra el valor de m.
x 8 m
45°
32 u
x
37°
30°
3 cmm
D
A C
30° 45°
B
 A 6 m B 4 2 m C 8 m
 D 4 m E 1 m
A (4 – 3 ) cm B (7 – 3 ) cm
C (7 + 3 ) cm D (3 – 3 ) cm
E (8 + 3 ) cm
 A 1 u B 2a u C a10 u
 D 0 u E 2 u
Encuentra el valor de x.
A
C B
50 cm
x
53°
37°
 A 20 cm B 30 cm C 40 cm
 D 50 cm E 60 cm
El ABC es equilátero, calcula el valor de x.
8 u
6 u
P
A x C
B
 A 6 u B 8 u C 9 u
 D 7 u E 5 u
 A 5 3 u B 10 2 u C 10 3 u
 D 12 3 u E 16 u
19 22
20
23
21
24
Tema
53MateMática Delta 2 - GeoMetría
4
Congruencia de triángulos
Dos figuras geométricas se dicen que son congruentes, cuando son idénticas en forma 
y medidas. 
Tomemos a un segmento como ejemplo:
Digamos que tanto el segmento AB como el segmento curvo PQ tienen la misma medida 
longitudinal. ¿Eso los convertiría en congruentes? Obviamente la respuesta es NO, ya 
que ambos no tienen la misma forma.
Analicemos otra situación con circunferencias:
C1 C2
Y este par de circunferencias… ¿Son congruentes? Tampoco, porque a pesar de tener la 
misma forma no tienen el mismo tamaño.
Veamos ahora esta situación:
B
A
C
D
L
L L
Q R
P S
L
Se observa que ambos son cuadrados (misma forma), con la misma longitud de lados 
(mismo tamaño). Podemos concluir que ambas figuras son CONGRUENTES.
¿Y por qué no es exacto decir que las figuras son «iguales»?
Para empezar, el término igualdad va asociado normalmente a un número (medida); en 
este caso podríamos decir que las medidas son iguales. 
Por otro lado, es obvio que las figuras no son iguales porque están formadas por un distinto 
conjunto de puntos. En el ejemplo de los cuadrados los vértices del primer cuadrado son 
los puntos A, B, C y D; mientras que en el otro son los puntos P, Q, R y S. Por tanto, dichos 
cuadrados no son los mismos.
12 cm
A
B
P
Q
12 cm
Si los triángulos 
son congruentes.
B
A CH
a° b°
Q
P RT
a° b°
Podemos afirmar que 
todos los elementos 
homólogos o 
correspondientes 
también miden igual. 
Import a nt e
Re cu e rda
A
P
B
Q
m AB = m PQ
segmento AB
es congruente al 
segmento PQ
AB PQ
También
Se lee: el
5 u
5 u
BH = QT
54
Obse rva
= Se lee: igual a
 Se lee: congruente a
<>Se lee: equivalente a
Corolario
Cuando el triángulo 
es rectángulo también 
se puede decir que 
son congruentes; si 
cumple que:
El corolario es 
una proposición 
matemática de 
menor jerarquía que 
un teorema, ya que 
está restringido a 
un tipo especial de 
figura.
Congruencia de triángulos
Por definición de congruencia: dos triángulos son congruentes si todas sus medidas, 
tanto angulares como laterales son las mismas.
Un caso simbólico es el siguiente par de triángulos.
Criterios para determinar la congruencia de triángulos
Aunque, por definición de congruencia, se afirma que todos los elementos tienen la 
misma medida. Sin embargo, hay algunos criterios que determinan la congruencia con 
simplemente satisfacer dichas condiciones.
Existen muchos criterios, no obstante los más conocidos son:
1. Lado-ángulo-lado (L - A - L). Dos triángulos son congruentes si consecutivamente 
tienen un lado, un ángulo y luego un lado con las mismas medidas.
2. Ángulo-lado-ángulo (A - L - A). Dos triángulos son congruentes si consecutivamente 
tienen un ángulo, un lado y un ángulo con las mismas medidas.
H P
F G M N
a° θ° a° θ°
3. Lado-lado-lado (L - L - L). Dos triángulos son congruentes si los tres lados miden 
igual.
NOTA: Como puedes notar a veces se suele colocar marcas iguales para indicar que 
las medidas de los lados o de los ángulos es la misma.
a°
a°
a°
a°
F
D E R S
T
¿Sa bía s qu e.. .?
Impo rt a nt e
C R
A B P Q
b° b°
B
A C
E D
F
a° θ°
b°
a°θ°
b°
55MateMática Delta 2 - GeoMetría
Teoremas que aplican la congruencia
Teorema de la bisectriz. Las perpendiculares trazadas desde un punto de la bisectriz 
hacia los lados del ángulo desde el cual se ha trazado la misma, determinan dos triángulos 
congruentes.
A
P
BO
a°
a°
 APO BPO
 PA = PB
 AO = OB
Teorema de la mediatriz. Cualquier punto perteneciente a la mediatriz asociada a un 
segmento equidista de los extremos de dicho segmento; determinando así dos triángulos 
rectángulos congruentes.
PH: mediatriz de AB
 APH BPH
 PA = PB
 m PAH = m PBH
Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa. La mediana trazada hacia la hipotenusa 
de un triángulo rectángulo mide la mitad de dicha hipotenusa.
BE = AC
2
Teorema de la base media y de los puntos medios. En todo triángulo el segmento que 
une los puntos medios de dos lados mide la mitad del tercer lado, y al mismo tiempo es 
paralelo a dicho lado.
E F
B
A C
EF: base media
EF = AC
2
Además: EF // AC
P
A BH
B
A C
E
Obse rva
Se debe trazar una 
perpendicular desde 
P al lado OB
Se recomienda 
trazar una paralela 
que pase por M y se 
vuelva base media.
Si AM = MC = BM
Se debe trazar PB 
 m B = 90°
A
P
BO
a°
a°
P
A BM
B
B
A C
A
M
CM
Sugerencia de trazo
¿Sa bía s qu e.. .?
56
Recu e rda
Los criterios básicos 
para identificar la 
congruencia son:
• Lado - Ángulo - Lado 
(L - A - L)
• Ángulo - Lado - Ángulo 
(A - L - A)
• Lado - Lado - Lado 
(L - L - L)
Calcula el valor de x, si AB = BC y BD = BE.
B
A
D30°
x
E
C
Resolución: A partir de los datos se tiene:
Se nota: DBA EBC (L – A – L) 
Por lo tanto: x = 30° 
Los triángulos:
 CRA DCE
∴ CE = RA = 5 u
 AC = DE = 8 u
 AE = 13 u
Como ARC es isósceles
 AR = RC
∴ ARD RCE 
Finalmente: x = 4 u
Halla el valor de AE, si RC = CD.
En la figura, encuentra el valor de x.
Resolución:
Resolución:
4 u
θ°
θ°
a° a°
D
A C
ER x
Not a
a b
R
E
triángulos
congruentes
b
a°
a
 Rpta. 30°
 Rpta. 13 u 
 Rpta. 4 u 
B
A
D30°
x
E
C
5 u
8 u
C
R
A
D
E
5 u
8 u
C
R
A
D
E8 u 5 u4
D
A C
ER x
1
2
3
a°
Ejercicios resueltos
57MateMática Delta 2 - GeoMetría
4
5
6
Recu e rda
Re cu e rda
Se sugiere trazar la
 mediana BM:
Se cumple:
En la figura mostrada, determina el valor de x, si AR = 10 cm.
• Al trazar la mediana RM, RMD es 
isósceles m RMA = 2a
• ARM: isósceles ∴ RM = 10 cm
 Pero: RM = 
QD
2 QD = 20 cm 
• Dato: AR = DC.
• RDE es isósceles RD = DE
• m RDC = m ARD + m RAD
 ∴ m ARD = m EDC = b
 Por teoría ARD CDE (LAL). 
Se sabe que: PT = x – 3.
MN: base media del OPT
 MN = PT2
 5 = x – 32
 13 cm = x
A C
B
2k
Resolución:
En la figura se cumple que AR = DC. Calcula el valor de x.
Resolución:
50°
50°
x
R
CDA
E
En la figura mostrada, halla el valor de x, si se sabe que OM = MP.
Resolución:
A
P
R
5 cm
M
O
x – 3
A Q Dx
R
2a a
 x = 50°
50°
50°
x
R
CDA
E
b
b
A
P
R
5 cm
M
N TO
x – 3
A K KM
K
C
2k
B
b° a°
a°b°
* ABM y CBM
 son isósceles.
2k
k
a = b BM =
AC
2
 
m
ma°
a°
A Q M D
10
R
2a° 2a°
a°
a°
 Rpta. 20 cm 
 Rpta. 50° 
 Rpta. 13 cm
58
k
Recu e rda
Re cu e rda
Si L es mediatriz de 
AB, entonces:
L AB, también
AM = MB
Si LM es mediatriz, 
se recomienda 
trazar 
LB ya que: 
LA = LB
Encuentra el valor de x en la siguiente figura, si L es mediatriz de AC.
Resolución:
En la figura mostrada, determina el valor de x.
Resolución:
A C
3b
L
9 u 3x
B
10 u
8x
B
NM
CA
10 u
B
Q
N
R
M
P
CA
8x2k
• MN: base media del PQR
• PQ: base media del ABC
• Por teoría:
 MN = PQ2 PQ = 20 u 
• También:
 PQ = AC2 20 = 
8x
2
 ∴ 5 u = x
• m B = 2 (ángulo exterior)
• Como L es mediatriz:
 APC: isósceles AP = PC = 9 u
 m ACP = b ∴ m CPB = 2b 
• Se nota: PBC: isósceles
 9 = 3x x = 3 u
L
B
M
A
 MN: base media
 
Rpta. 3 u
 
Rpta. 5 u
L
B
M
A
Sugerencia
7
8
3x
A C
3b
L
P
9 u
b b
B
2b
2b
9 u
59MateMática Delta 2 - GeoMetría
Síntesis
Modela y resuelve 
Criterios • L – A – L : Lado – Ángulo – Lado
 • A – L – A : Ángulo – Lado – Ángulo
 • L – L – L : Lado – Lado – Lado
Aplicaciones
Teorema de la bisectriz Teorema de la mediatriz
Teorema de los puntos medios Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa
m
m
a
a
P
BA
L
A C
M N
B
⇒ MN // AC
⇒ PA = PB
B
A M C
2k
k k
k
BM = AC2
También MN =
Si AM = MB
 ∧ BN = NC
Sea L: mediatriz 
de AB
AC
2
a
a
2 Determina, en cada caso, si los triángulos son 
congruentes o no. Si la respuesta es afirmativa 
escribe el caso que lo sustenta:
1 Determina, en cada caso, si los triángulos son 
congruentes o no. Si la respuesta es afirmativa 
escribe el caso que lo sustenta:
a)
b)
50°
F
G
E
a)
b)
E
10 cm 10 cm
8 cm 8 cm
F
7 cm 7 cm
D P
Q
R
A
80°
70°
R
Q
70°
6 u C
P
6 u
30°
50°
I
H J
40°
60°
M
N
P
T
80°
40°
Q
R
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Congruencia de triángulos
60
Calcula el valor de x.Calcula el valor de x.
Resolución: Resolución:
Halla el valor de x, si BH es mediatriz de AC.Halla el valor de x
2
.
Resolución: Resolución:
Encuentra el valor de b – a. Encuentra el valor de x.
Resolución: Resolución:
Determina el valor de AD, si BC = CE, AB = 10 cm 
y ED = 12 cm. 
Determina el valor de x.
Resolución: Resolución:
50° 30°
x
3 u
a
b
7 u
65°
95°
65°
x
20°
8 cm
8 cm
2x
42°
B E
A C D
a a
a
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
150°
x
4x
20 cm 16 cm
ab
ba
4 cm
3 cm
B
H CA
x
3 4
5 6
7 8
9 10
61MateMática Delta 2 - GeoMetría
1211
1413
1615
1817
Calcula el valor de CE, si AC = DE, BC // DE; 
AB = 8 u y BC = 10 u. 
Si XN = MZ y TN = TZ. Calcula el valor de θ, si 
m XTN = 20°.
Resolución: Resolución:
Encuentra la longitud del segmento MN, si 
AB = 16 u, BC = 18 u y AC = 20 u. 
Encuentra el valor de BC, si PQ = 2 u. 
Resolución:
Determina el valor de x, si AC = CD. Determina el valor de x, si OM = MP.
Resolución:
Resolución:
Halla el valor de x. Halla el valor de m, si m + n = 24 cm.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
x – 6
5 cm
R
C D
E
A
A
3 + 2x
P
15 cm
aO B
a
T
40° 140°
M
N
X
θ
Z
m
n
M CA
Q
B
P
2x + 8
3x
M
A
O
P
θ
θ
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
B
N
CA
a
θ θa
M
B
A
D
EC
a a
62
Halla el valor de x, si MN es mediatriz de AC .
Calcula el valor de AC.
Encuentra el valor de DC, si AB = BC; AE = 6 y 
DE = 9.
Determina el valor de m PBQ, si m ABC = 110°. 
Halla el valor de AC + DE, si AB = BE; BC = 7 cm; 
CD = 2 cm. 
Calcula el valor de x.
Encuentra el valor de DE, si AB = BC; AE = 9 u 
y DC = 21 u.
Se tiene un triángulo ABC, cuya medida del ángulo 
B es 120°; se trazan las mediatrices de los lados 
AB y BC; las cuales intersecan al lado AC en P 
y Q, respectivamente. Determina el valor del ángulo 
PBQ.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
M
2x – 1
36°
NA
72°
x +
 5
B
C
A
D
B E
C
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
20
22
24
26
19
21
23
25
E
D
f
f
C
B
A
x 6 cm
11 cm
4 cm
A
B
C
5 cm
θ
θ
A E
D
B
C
A E
D
B
C
A P
B
Q C
63MateMática Delta 2 - GeoMetría
Nivel I
Practica y demuestra
Determina, en cada caso, si los triángulos son 
congruentes o no. Si la respuesta es afirmativa 
escribe el caso que lo sustenta.
Halla, en cada caso, si los triángulos son 
congruentes o no. Si la respuesta es afirmativa 
escribe el caso que lo sustenta.
Calcula el valor de x.
39
74°
69°
37°
25
40 
40 
25 
x 
39 
a
a
a
R
Q P
12
8
M
N
8
12
A
M
R
N
16
a
θ
F
G
18
H
a
θ
b
ba
a
II
I
A 37° B 74° C 69°
D 111° E 90°
1
4
5
6
2
3
Halla el valor de x. 
Encuentra el valor de x.
Determina el valor de 3x.
2x
 ‒ 
3
5 cm
5 cm
17
 cma
a
b
b
2x2 – 4
4 cm
θ
θ
A 110° B 200° C 100°
D 130° E 120°
A 21 cm B 12 cm C 17 cm
D 14 cm E 30 cm
A 2 cm B 4 cm C 6 cm
D 8 cm E 10 cm
130°
x
64
Calcula el valor de x.
Encuentra el valor de OH, si AB = 16 cm; AM = MC 
y BO = OM.
Encuentra el valor de a + b.
Determina la longitud de x.
Halla el valor de x.
Calcula el valor de x.
4 cm
a
b
6 cm
a
a
25 m
24 m
x
x + 1
3x – 3
A 15 mm B 10 mm C 21 mm
D 3 mm E 6 mm
A 1 u B 2 u C 3 u
D 4 u E 5 u
A 12 cm B 8 cm C 4 cm
D 2 cm E 6 cm
A 2 cm B 4 cm C 6 cm
D 8 cm E 10 cm
A 4,5 cm B 9 cm C 12 cm
D 16 cm E 18 cm
A 104 m B 37 m C 23 m
D 7 m E 13 m
x 9 c
m
f
f
b
b
Nivel II
7
8
9
10
11
12
D
10 mm
E
C
R
x
A
θ
θ
B
H
O
A M C
53°
65MateMática Delta 2 - GeoMetría
13 16
14 17
15 18
Determina el valor de θ. Encuentra el valor de DE, si AB = BC; AE = 12 u 
y DC = 23 u.
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x. Determina el valor de a + θ, si AM = MB y AN = NC. 
Halla el valor de x, si AB = BC y BD = BE.
B
9 u
C
D
A
a
a
θ
θ
x2
A
6
B
C
D
x2 + 2
E
D
30°
C
B
E
A
θ
A 20° B 40° C 80°
D 60° E 50°
A 9 u B 13 u C 12 u
D 10 u E 11 u
A 90° B 75° C 120°
D 180° E 135°
A 80° B 70° C 100°
D 90° E 30°
A 1 cm B 2 cm C 3 cm 
D 6 cm E 5 cm
A 9 u B 4,5 u C 3 u
D 2 u E 1 u
B
A E
CD
B
E
D
A C
30° x
a
a
100°
B
M
A
H N
C
θ
a
66
Encuentra el valor de x, si OM = MP.
Encuentra la medida de PQ, si BC = 10 cm; 
HC = 3 cm. Determina la m PBQ, si m ABC = 100°. 
Halla el valor de MN, si MN // AD; AD = 6 cm y 
AM = MB.
En la figura mostrada, calcula el valor de x.
Calcula el valor de x, si AB = 10 cm.
B
CA
P Q
A 10 cm B 18 cm C 15 cm
D 20 cm E 25 cm
 A 4 u B 5 u C 8 u
 D 6 u E 7 u
 A 7 cm B 6 cm C 8 cm
 D 5 cm E Faltan datos
A 11 cm B 8 cm C 12 cm
D 7 cm E 13 cm
 A 10° B 20° C 15°
 D 25° E 30°
 A 2 cm B 3 cm C 4 cm
 D 6 cm E 5 cm
B
P Q
A C
H
a
a
A
2x – 8
P
R
9 cm
M
O