Trigonometría 2

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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) 
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta 
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión 
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, 
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna 
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de 
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su 
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de 
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o 
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su 
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección 
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación 
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales 
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos 
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída 
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la 
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier 
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia 
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de 
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. 
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de 
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su 
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda 
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia 
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y 
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a 
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente 
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y 
principios de las Naciones Unidas. 
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a 
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin 
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y 
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá 
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho 
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de 
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1.	 Toda	persona	tiene	derecho	a	la	libertad	de	reunión	y	de	asociación	pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, 
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las 
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta 
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de 
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto 
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida 
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los 
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al 
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a 
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el 
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por 
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y 
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme 
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por 
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa 
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una 
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas 
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así 
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el 
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; 
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, 
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de 
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. 
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho 
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, 
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La 
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional 
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual 
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana 
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades 
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre 
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el 
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento 
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que 
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de 
la	comunidad,	a	gozar	de	las	artes	y	a	participar	en	el	progreso	científico	y	
en	los	beneficios	que	de	él	resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y 
materiales	que	le	correspondan	por	razón	de	las	producciones	científicas,	
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional 
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan 
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona 
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único 
fin	de	asegurar	el	reconocimiento	y	el	respeto	de	los	derechos	y	libertades	
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden 
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en 
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada	en	esta	Declaración	podrá	 interpretarse	en	el	sentido	de	que	confiere	
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y 
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los 
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
2
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TrigonomeTría
Matemática
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® matemátIca delta 2, secundaria
 trigonometría
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forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y 
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios 
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el 
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con 
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total 
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución 
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma 
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o 
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, 
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior 
importe cada uno.
Apertura
En esta sección 
encontrarás 
temas 
novedosos 
que propician 
sostener 
una relación 
cercana con la 
Matemática.
El desarrollo del 
tema se da en 
esta sección, 
donde 
encontrarás las 
definiciones 
organizadas 
siguiendo una 
secuencia 
didáctica.
Marco 
teórico
Conoce tu libro
Tema
61MateMática Delta 2 - trigonoMetría
Sistema de coordenadas 
rectangulares
5
Cuenta la historia que Descartes se 
inspiró en el movimiento de una mosca 
para crear el sistema de coordenadas 
rectangulares.
Cierto día, Descartes, se encontraba 
descansando aquejado por su frágil 
salud; cuando observa a una mosca 
y se pregunta si podría saber con 
exactitud la posición de la mosca.
0 1
1
2
3
4
5
2 3 4 65 7
mosca
El plano cartesiano
Par ordenado
Un punto cualquiera P, está 
determinado por dos números a y b.
a: abscisa del punto P, ubicada 
trazando una línea perpendicular 
al eje x.
b: ordenada del punto P, ubicada 
trazando una línea perpendicular 
al eje y.
y
x
b
ordenada
abscisa
aO
1
P(a ; b)
El plano cartesiano es dividido por dos 
rectas numéricas perpendiculares que 
se cortan en el origen (O).1
1 2 3 4 50–1
–1
–2
–3
–4
–5
–2–3–4–5
3
2
4
5Segundo cuadrante
(II C)
Tercer cuadrante
(III C)
Primer cuadrante
(I C)
Cuarto cuadrante
(IV C) Eje x: Eje de abscisas
 Eje y: Eje de ordenadas
y
x
II C
• (– ; +)
• (– ; –)
• (+ ; +)
• (+ ; –)
III C
I C
IV C
El origen de 
coordenadas O, 
tiene como par 
ordenado a (0 ; 0).
1596 – 1650
Filósofo y matemático 
francés. 
René Descartes
Obse rva
Re cu e rda
Título del tema
Para una mejor 
organización, los temas 
están numerados.
Comentarios y/o 
lecturas que refuerzan 
el desarrollo del tema
50
1 3
2
4
Encuentra el valor de a – b.
 Determina el valor de x + y.
Calcula el perímetro del triángulo. 
21 = 3k
 7 = k
5k = 35
4k = 28
perímetro = 21 + 28 + 35 
 = 84
Los catetos son iguales
Recuerda: 
⇒ BC = 20
En el triángulo BCD
20 = 4k
 5 = k
⇒ x = 25
 y = 15
∴ x + y = 40
⇒ x
3
 = sec 60°
 x = 3sec 60°
 x = 3 . 2
∴ x = 6 m
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
37°
21
37°
21 = 3k
5k
4k
Rpta. 84
Rpta. 8
Rpta. 6 mRpta. 40
45° 53°
A
C
B20 y
x
D
45°
45°
20A B
C
53°
4k = 20
y = 3k
x = 5k
B D
C
 
b
a
8
37°
30°
30°
8 = k
2k = 2(8)
 = 16
 
a = 5k = 5(4) = 20
16 = 4k 3k = 3(4)
 b = 12
a = 20
b = 12
Piden:
 a – b
20 – 12
 8
37°
Una ardilla observa una nuez que se encuentra 
en la parte alta de un árbol. Si la ardilla está 
a 3 metros del árbol y observa la nuez con un 
ángulo de elevación de 60°, ¿qué distancia 
separa a la ardilla de la nuez?
60°
 3 m
Ejercicios resueltos
Nombre de la 
sección
Algoritmo de 
resolución 
del problema 
planteado.Preguntas y/o situaciones 
problemáticas 
reales o simuladas, 
planteadas de 
acuerdo al tema.
Ejercicios 
resueltos
se muestran 
ejercicios que 
están resueltos 
didácticamente, 
los mismos que 
servirán para 
el análisis del 
estudiante.
3MateMática Delta 2 - trigonoMetría
Síntesis
Contenido del tema, 
que incluye teoremas, 
postulados, fórmulas, 
propiedades, leyes, etc., 
resumido en organizadores 
gráficos para tener un 
panorama general del 
contenido.
Modela y resuelve
Los problemas con 
numeración impar serán 
resueltos por el docente, 
mientras que los pares serán 
resueltos por el estudiante 
siguiendo la secuencia 
realizada.
27MateMática Delta 2 - trigonoMetría
Síntesis
2
3 4
 
S = 9k
C = 10k
R = 
pk
20
27' = 50m
81'' = 250s
Factor de conversión
180°= 200g = p rad
S
180
C
200
R
p
= =
S° = Cg = R rad
Fórmula de conversión
L = θ . R
S = θ . R
2
2
S = 
L2
2θ
S = L . R2
R
Lθ S
Para minutos 
y segundos
Sector circularConversiones entre sistemas de medición angular
1 Convierte 99° a grados centesimales.
 Calcula el valor de x.
Rpta.
Rpta.
 Calcula el valor de x.
Rpta.
x°
– p
9
 rad 135°
–x
g
 Convierte 130g a grados sexagesimales.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Modela y resuelve 
Nombre de la 
sección
Nombre de la 
sección
Espacio para 
resolver el 
problema.
Organizador 
visual
Enunciado del problema 
o de la situación 
planteada.
71MateMática Delta 2 - trigonoMetría
1 1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
I. Simetría con x	 a. (–2 ; 3)
II. Simetría con y	 b. (–2 ; –3)
III. Simetría con O	 c. (2 ; 3)
 Calcula el radio vector del punto C.
 Encuentra las coordenadas del punto B.
 A 11 B 13 C 14
 D 15 E 17
 A (15 ; 2) B (16 ; 2) C (16 ; 3)
 D (14 ; 2) E (13 ; 4)
 Relaciona según corresponda, para el punto 
B(2 ; –3).
 A Ia; IIb; IIIc B Ib; IIa; IIIc
 C Ic; IIa; IIIb D Ic; IIb; IIIa
 E Ib; IIc; IIIa
y
B
A
x
(–3 ; –2)
19
4
C(12 ; –5)
x
y
4 Determina las coordenadas de B.
 A (10 ; 9) B (11 ; 9) C (12 ; 9)
 D (12 ; 8) E (12 ; 7)
x
y
12–3
(–3 ; 1) A
B
17
5 Halla la distancia entre A y B.
 A 32 B 31 C 39
 D 36 E 37
y B (15 ; 6)
x
A
(–20 ; –6)
 
 
 
 A 31 B 32 C 34
 D 35 E 36
y
x
B
16°
C(2 ; 1)
A 24
 9 Descubre la suma de coordenadas del punto B.6
O
Preguntas planteadas, 
estas pueden ser 
situaciones reales o 
simuladas.
Espacio 
para realizar 
anotaciones de 
resolución.
Alternativas
Nombre de la 
sección
Test
Esta evaluación incluye 
preguntas del contenido de 
los temas desarrollados en 
la unidad y son de elección 
múltiple.
Practica y 
demuestra
En esta sección se 
plantean preguntas que 
han sido organizadas por 
niveles de complejidad 
y de elección múltiple 
en la que el estudiante 
demostrará lo aprendido 
durante la sesión.
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas reales o 
simuladas, planteadas de 
acuerdo a la unidad.
Número de test
Alternativas
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 3
91MateMática Delta 2 - trigonoMetría
1 4
2
5
3
6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
 Halla el punto medio entre A(1 ; 5) y B(–3 ; 7).
 A (–2 ; 7) B (–1 ; 5) C (–1 ; 6)
 D (–1 ; 4) E (–2 ; 5)
 Calcula la suma de las longitudes de los radio 
vectores del punto A(5 ; –12) y de su punto 
simétrico con respecto al eje x.
 A 13 B 24 C 10
 D 26 E 15
 A 51 B 31 C 41
 D 30 E 35
 Encuentra la distancia entre A(1 ; 2) y C(41 ; 11).
 
 
 
 
 A 1 B 2 C 3
 D 4 E 5
Determina el valor de 
b + c
a – d .
y
CA
x
(–5 ; –2)
(a ; b)
(c ; d)B
10
6
Descubre el valor de f + b – c
a – 2e – d
, si ABCD es un 
cuadrado.
 A 1 B 2 C 3
 D 4 E 5
A
B C
(1 ; 1)
(e ; f)y
x
(c ; d)
(a ; b)
D
5
5
5
5
 Según el gráfico, halla el valor de a – b.
 A 3 B 1 C 2
 D 4 E 5
 A 3 B 1 C 2
 D 4 E 5
(2 ; 1)
(b ; a + 1)
(a ; 1 – 3b)
4
5MateMática Delta 2 - trigonoMetría
1
3
2
4
R
es
ue
lv
e 
pr
ob
le
m
as
 d
e 
fo
rm
a,
 m
ov
im
ie
nt
o 
y 
lo
ca
liz
ac
ió
n
Modela objetos 
con formas 
geométricas y sus 
transformaciones.
sistemas de medición angular 8
Ángulo trigonométrico
Tipos de ángulo
sistemas de medidas angulares
Cambio en el sentido de giro de un ángulo trigonométrico
conversiones entre sistemas de medición angular y sector 
circular 21
Conversión entre sistemas
Conversión entre minutos y segundos sexagesimales y 
centesimales
sector circular
razones trigonométricas de un triángulo rectángulo I 37
Razones trigonométricas
Propiedades de las razones trigonométricas
razones trigonométricas de un triángulo rectángulo II 48
Resolución de triángulos rectángulos
Ángulos verticales
sistema de coordenadas rectangulares 61
El plano cartesiano
Par ordenado
Radio vector
Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano
Coordenadas del punto medio de un segmento
simetría de un punto
razones trigonométricas de un ángulo en posición normal 76
Razón trigonométrica de un ángulo en posición normal
Ángulos en posición normal negativos
signos de las razones trigonométricas
Razones trigonométricas de un ángulo cuadrantal
Ángulos coterminales
Identidades trigonométricas I 93
Identidades recíprocas
Identidades por cociente
Identidades trigonométricas II 102
Identidades pitagóricas
unidad competencia y capacidades contenidos pedagógicos páginas
Comunica su 
comprensión 
sobre las formas 
y relaciones 
geométricas.
Usa estrategias 
y procedimientos 
para orientarse 
en el espacio.
Argumenta 
afirmaciones 
sobre relaciones 
geométricas.
Índice
Hijo del comerciante Mnesarchus y de 
Pythais, el filósofo y matemático griego 
Pitágoras nació en Jonia, en la isla de 
Samos en 572 a. C., aproximadamente.
Se cree que durante su vida conoció a 
Anaximandro de Mileto y que visitó muchos 
lugares como Egipto, Arabia, Fenicia, Judea, 
Babilonia e incluso la India, con el único fin 
de recolectar conocimientos de sus cultos 
secretos o místicos a sus dioses.
Pitágoras de Samos
y el teorema
que lleva
su nombre
En Crotona, Italia, se casó con Theano y tuvo un hijo llamado Telauges y tres hijas de nombres 
Arignote, Damo y Myia. En esta ciudad creó un movimiento filosófico-religioso llamado 
pitagorismo, inspirado en una corriente religiosa de la antigua Grecia de nombre orfismo.
En cuanto a su filosofía con respecto al área místico-religioso, Pitágoras creía en la transmigración 
de las almas, que considera a las almas como emanaciones del espíritu divino y cada alma 
pasa de un cuerpo a otro en un ciclo continuo de nacimientos y muertes, y la condición de 
cada existencia está determinada por sus acciones en vidas anteriores.
Muchos de los descubrimientos matemáticos y científicos fueron atribuidos a Pitágoras; entre 
ellos, el famoso teorema de Pitágoras; sin embargo, también hizo descubrimientos en el campo 
de la música, la astronomía y la medicina.
El teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, el 
cuadrado de la longitud de la 
hipotenusa es igual a la suma de 
los cuadrados de las respectivas 
longitudes de los catetos.
3
4
5 5
25
c
a
b
9
16 4
3
a = b c2 = a2 + b2 
a
c
b
6
En cuanto a este teorema, tiene el nombre de Pitágoras porque su demostración fue realizada 
por la escuela pitagórica. Mucho tiempo atrás, en Mesopotamia y Egipto ya se conocían ternas 
de valores en los que se relacionaban los lados de un triángulo rectángulo y eran empleados 
para hallar la solución de problemas con dichos triángulos.
Una de las evidencias es la pirámide de Kefrén construida en el siglo XXVI a. C., aproximadamente, 
teniendo como base el triángulo sagrado egipcio, que es un triángulo rectángulo cuyos lados 
tienen las longitudes proporcionales a 3; 4 y 5.
Debido a que Pitágoras no dejó obra escrita, no es posible saber si las teorías o estudios que se 
le atribuyen sean realmente de él o la de sus discípulos.
Se dice que la influencia que ejerció la secta pitagórica en Crotona fue tal, que suscitó la 
enemistad del pueblo contra el dominio de los pitagóricos al punto que sus propiedades fueron 
atacadas y posteriormente expulsados de la ciudad.
Al parecer, Pitágoras huyó a Metaponto, ciudad en la que falleció tiempo después, más o menos 
en el año 496 antes de Cristo.
El teorema que lleva su nombre, sea de autoría o no de Pitágoras, resulta ser una de las expresiones 
matemáticas más utilizadas en la resolución de problemas de Geometría, Trigonometría y hasta 
Física, debido a su exactitud y precisión.
Desempeños
• Establece relaciones entre las características y los atributos medibles de objetos reales o imaginarios. 
Asocia estas características y las representa con formas bidimensionales compuestas. Establece 
relaciones entre los valores de diferentes sistemas de medidas angulares.
• Expresacon dibujos y lenguaje geométrico, su comprensión sobre las razones trigonométricas de 
ángulos agudos y cuadrantales. Los expresa aun cuando estos cambien de posición y vistas, para 
interpretar un problema según su contexto y estableciendo relaciones entre representaciones.
• Lee textos o gráficos que describen características, elementos o relaciones entre los elementos de un 
triángulo rectángulo.
• Selecciona y emplea estrategias heurísticas para determinar razones trigonométricas y medida del 
área de un sector circular empleando unidades convencionales.
• Plantea afirmaciones sobre las relaciones y propiedades que descubre en el triángulo rectángulo y las 
relaciones que hay entre sus elementos. Las justifica con ejemplos y sus conocimientos geométricos. 
Reconoce errores en sus justificaciones y en las de otros, y los corrige.
7MateMática Delta 2 - trigonoMetría
8
Tema
Sistemas de medición angular
1
La trigonometría está presente en nuestra vida cotidiana de 
muchas maneras, por ejemplo el movimiento de las agujas 
de un reloj nos da la idea de un ángulo trigonométrico, y 
la división de una hora en minutos y segundos tiene su 
origen en el sistema sexagesimal babilónico.
El ángulo trigonométrico se genera al 
rotar un rayo alrededor de un punto fijo, 
desde una posición inicial hasta una 
posición final.
Existen dos giros posibles para un ángulo 
trigonométrico: en sentido horario y en 
sentido antihorario.
Se designa el signo positivo para 
todos los ángulos que giran en sentido 
antihorario y el signo negativo para los 
ángulos que giran en sentido horario.
El ángulo de una vuelta se forma cuando el lado 
inicial (OA) coincide con el lado final (OAʹ).
El ángulo llano se forma cuando el lado inicial (OA) 
es exactamente opuesto al lado final (OAʹ).
El ángulo recto se forma cuando el lado inicial (OA) 
es perpendicular al lado final (OAʹ).
Ángulo de una vuelta
Ángulo llano
Ángulo recto
Ángulo trigonométrico
Giro en sentido antihorario
Giro en sentido horario
Posición final
(+)
Posición inicial
O
Posición final
(–)
Posición inicial
O
Sentido horario
Movimiento en 
el sentido de las 
manecillas del reloj.
Sentido antihorario
Movimiento contrario 
al de las manecillas 
del reloj.
Rayo: (OA)
Es una línea recta 
que tiene un origen 
pero no un final 
(ilimitada).
O A
origen La flecha 
indica que 
es ilimitada
O Aʹ
A
Aʹ AO
Aʹ
AO
Import a nt e
Tipos de ángulo
9MateMática Delta 2 - trigonoMetría
El sistema de medida angular sexagesimal divide 
al ángulo de una vuelta en 360 partes iguales, cada 
parte es equivalente a un grado sexagesimal.
El sistema de medida angular centesimal divide al 
ángulo de una vuelta en 400 partes iguales, cada 
parte es equivalente a un grado centesimal.
1ʹ = un minuto sexagesimal
1° = 60ʹ
1ʹʹ = un segundo sexagesimal
1ʹ = 60ʹʹ
Un grado sexagesimal se divide en 60 partes 
iguales, cada parte es un minuto sexagesimal.
Un minuto sexagesimal se divide en 60 partes 
iguales, cada parte es un segundo sexagesimal.
Efectúa: 4°40ʹ37ʹʹ + 5°30ʹ50ʹʹ
 4°40ʹ37ʹʹ 
+ 5°30ʹ50ʹʹ
 9°70ʹ87ʹʹ
Ejemplo:
Resolución:
Sistema de medida sexagesimal
Sistema de medida centesimal
Ade más
Si a + b = 90°,
son complementarios
Si a + b = 180°,
son suplementarios
Import a nt e
0
360°
0
90°
0
1
360
359
2
O
Un grado sexagesimal (1°)
1
400
399
2
O
Un grado centesimal (1g)
Propiedad a°bʹcʹʹ = a° + bʹ + cʹʹ ; b y c < 60
Propiedad agbmcs = ag + bm + cs ; b y c < 100
+
9°71ʹ27ʹʹ
 60ʹ + 11ʹ
 1°
10°11ʹ27ʹʹ
Ángulo de una vuelta
Sistema sexagesimal
Ángulo llano
Ángulo recto
180°
Ángulo de una vuelta = 360°
Un grado sexagesimal = 1°
Ángulo de una vuelta = 400g
Un grado centesimal = 1g
Not a
0
400g
0
0
Ángulo de una vuelta
Sistema centesimal
Ángulo llano
Ángulo recto
200g
100g
1m = un minuto centesimal
1g = 100m
1s = un segundo centesimal
1m = 100s
Un grado centesimal se divide en 100 partes 
iguales, cada parte es un minuto centesimal.
Un minuto centesimal se divide en 100 partes 
iguales, cada parte es un segundo centesimal.
Sistemas de medidas angulares
9°70ʹ87ʹʹ
 60ʹʹ + 27ʹʹ
 1ʹ +
10
Si dividiéramos la longitud de una circunferencia cualquiera, 
entre el diámetro de la misma, el resultado es un número 
representado por la letra griega p.
Si cambiamos el sentido de giro de un ángulo trigonométrico, también debemos de 
cambiar el signo de dicho ángulo.
En el sistema de medida angular radial, 
el ángulo de una vuelta equivale a 2p rad.
El número p
Sistema de medida radial
Cambio en el sentido de giro de un ángulo trigonométrico
1 rad
O
+ a – a
Not a
Los ángulos 
trigonométricos son 
representados por 
letras minúsculas 
del alfabeto griego.
Algunas de estas 
son:
a : alfa
b : beta
q : theta
g : gamma
φ : fi
w : omega
Obse rva
L
p = LD
D
Ángulo de una vuelta = 2p rad
Un radián = 1 rad
O O
Ángulo Giro horario Giro antihorario
Agudo
Recto
Llano
Una vuelta
‒ p3 rad
O
O
‒ p2 rad
O
p
2 rad
O
‒p rad
O
p rad
O
‒2p rad
O
2p rad
O
p
3 rad
11MateMática Delta 2 - trigonoMetría
 Efectúa 90° – 30°15ʹ40ʹʹ.
Rpta. 59°44ʹ 20ʺ 
Para restar el minuendo debe ser mayor en grados, 
minutos y segundos.
Resolución:
89°59ʹ 60ʹʹ 
30°15ʹ 40ʹʹ
59°44ʹ 20ʹʹ
Entonces:
 Del gráfico, calcula el valor de x en grados 
centesimales.
Rpta. 39g60m
En grados centesimales el ángulo recto mide 100g.
∴ x = 99g100m – 60g40m
 x = 39g60m
Resolución:
60g40m
O
x
 x + 60g40m = 100g
 x = 100g – 60g40m
 Determina el valor de x, en radianes.
Rpta. 7p
8
 rad
Resolución:
p
4 rad
O
∴ x – p8 rad + 
p
4 rad = p rad
 x + p8 rad = p rad
 x = p rad – p8 rad
 x = 7p8 rad
 Simplifica
Resolución:
M = +
5°20ʹ
40ʹ
3 2ʹ30ʹʹ
50ʹʹ
Rpta. 5
M = 2 + 3 = 5
M = +
300ʹ + 20ʹ
40ʹ
3 120ʹʹ + 30ʹʹ
50ʹʹ
M = +
320ʹ
40ʹ
3 150ʹʹ
50ʹʹ
M = + 3
3 8
5° = 300ʹ
2ʹ = 120ʹʹ
 90° = 89°59ʹ60ʹʹ
p
8
x – rad
–
 Del gráfico, halla el valor de x en grados 
sexagesimales.
Rpta. 140°
Resolución:
x + 10°
20° – x
∴ x + 10° + 90° + x – 20° = 360°
 2x + 80° = 360°
 2x = 280°
 x = 280° 2
 x = 140°
 De la figura, encuentra el valor de x.
3x 64°– 5x
Resolución:
 3x = 64° – 5x
3x + 5x = 64°
 8x = 64°
 x = 8°
Rpta. 8°
1
2
3
4
5
6
Ejercicios resueltos
.
12
 La resta de dos ángulos complementarios es 30°. 
Halla el mayor de ellos.
Resolución:
Rpta. 60°
Dato (I) a – b = 30°
Se sabe (II) a + b = 90° (complementarios)
Sumando miembro a miembro
2a = 120°
 a = 60°
 Según el gráfico, calcula el valor de x en radianes.
Resolución:
Rpta. 3p
40
 rad
p
8
 rad + x = p
5
 rad
 x = p
5
 rad – p
8
 rad
 x = 3p
40
rad 
p
8
rad
p
5
rad
x
 Si x°yʹzʹʹ = 3°15ʹ45ʹʹ + 7°55ʹ16ʹʹ, encuentra el valor 
de x + z – 1
y
.
 x°yʹzʹʹ = 11°11ʹ1ʹʹ
 x + z – 1
y
 = 11 + 1 – 1
11
Resolución:
Rpta. 1
 3°15ʹ45ʹʹ 
 7°55ʹ16ʹʹ
10°70ʹ61ʹʹ
 10°70ʹ61ʹʹ = 10°71ʹ1ʹʹ = 11°11ʹ1ʹʹ 
 60ʹʹ + 1ʹʹ 60ʹ + 11ʹʹ
 Del gráfico mostrado, calcula el valor de a + b.
Resolución:
Rpta. 210°
• a + 30° = 180°
 a = 150°
∴ a + b = 150° + 60°
 a + b = 210°
• b + 90° + 30° = 180°
 b = 60°
 Del gráfico mostrado, determina el valor de a – b.
Resolución:
Rpta. 360°
0
a
b
a
–b
 a + (–b) = 360°
 a – b = 360°
b
a
30°
 Ordena en forma creciente los ángulos mostrados 
en la figura.
Resolución:
Rpta. b, q, a
b
q
a
Primero definiremos el signo de cada ángulo 
trigonométrico.
b(–)
a(+)
q(–)
b < q < a
 +
∴
7
8
9
10
11
12
 = 1
13MateMática Delta 2 - trigonoMetría
Síntesis
Sentido antihorario
(+)
Sentido horario
(–)
Ángulo de 
una vuelta
Ángulo llano Ángulo recto
1 vuelta = 360° 1 vuelta = 400g 1 vuelta = 2p rad
Sistema 
sexagesimal
1° = 60ʹ
1ʹ = 60ʹʹ
1g = 100m
1m = 100sSistema 
centesimal
Sistema 
radial
a°bʹcʹʹ = a° + bʹ + cʹʹ
xgymzs = xg + ym + zs
Ángulo trigonométrico Sistemas de medición angular
b ∧ c < 60
y ∧ z < 100
1 Efectúa.
 17°37ʹ49ʹʹ + 2°13ʹ10ʹʹ + 5°24ʹ37ʹʹ
 Efectúa.
21°17ʹ14ʹʹ + 4°57ʹ11ʹ + 5°21ʹ49ʹʹ
 Resuelve.
 20g57m63s + 8g50m17s + 11g20s
 Resuelve.
 19g25m + 59m40s + 49g20m80s
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
3
2
4
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Tipos de ángulos
Modela y resuelve 
14
1
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
5 Halla el resultado de 20°15ʹ30ʹʹ – 7°20ʹ35ʹʹ.
7 Calcula el valor de x, en grados centesimales.
9 Simplifica e indica el valor de N. 10 Simplifica e indica el valor de M.
6 Halla el resultado de 35°19ʹ21ʹʹ – 29°37ʹ40ʹʹ.
8 Calcula el valor de x, en grados centesimales.
140g50m40s
x
2g25m
9m
1m44s
16s
N = – 3
g20m
16m
2m56s
64s
M = –
x
O
60g10m15s
O
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15MateMática Delta 2 - trigonoMetría
11 Determina el valor de x. 12 Determina el valor de x.
14 Descubre el valor de x.
16 Encuentra el valor de x.
2x – 440g
13 Descubre el valor de x.
Rpta.
20g
120g
O
40g – x
x
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15 Encuentra el valor de x.
20g – x 
140g
90g
O
5p
6
rad
rad – xp
2
x
2p
3
rad
50g
100g – x
16
17 Ordena en forma creciente los ángulos mostrados 
en la figura.
22 Del gráfico, calcula el valor de x – y.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
20 Halla el suplemento en grados, minutos y 
segundos de 120°50'45''.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
O
a
q
b
18 Ordena en forma decreciente los ángulos 
mostrados en la figura.
Resolución:
Rpta.
O
a
q
b
21 Del gráfico, calcula el valor de x – y.
Rpta.
Resolución:
x°y'
40º30' 159g65m
xgym
19 Halla el complemento en grados, minutos y 
segundos de 30°15'27''.
17MateMática Delta 2 - trigonoMetría
 Resuelve. 
17g57m – 14g28m
3 Calcula el valor de x.
4 Determina el valor de x.
5 Halla el valor de x.
 A 2g28m B 3g29m C 3g28m
 D 2g57m E 2g30m
 A 25 B –27 C 26
 D –25 E 27
 A 122 B 112 C 142
 D 132 E 102
7 Efectúa.
 20°25'50'' + 15°10'12'' – 25°40'41''
 A 3 p
4
 rad B p
4
 rad C p
3
 rad
 D p
6
 rad E p
5
 rad
Efectúa.
 50°20' + 25°30''
 A 75°20'30'' B 55°50'' 
 C 55°45' D 75°50''
 E 65°20'
 A 9°54'21'' B 9°55'21''
 C 8°54'22'' D 8°50'22''
 E 7°55'23''
O
x
– p
6
 rad
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
O
x°
–63°
O
–xg
68g
6
1
18
 Resuelve. 
20g15m10s – 10g50m45s
9 Encuentra el complemento de un ángulo, si 
se sabe que mide diez grados y veinte minutos 
sexagesimales.
 A 78°60' B 90°
 C 81°20' D 79°40'
 E 80°40'
 A 19g64m65s B 9g64m66s
 C 9g64m65s D 8g64m64s
 E 9g61m63s
7
8
9
10
 A 34°25' B 35°24' C 58
 D 33°25' E 59
Descubre el valor de x + y.
O
55°35'
x°y'
 A 9 B 8 C 7
 D –9 E –8
Calcula el valor de x.
O
127°2x° – (100 – x)°
 A 69°10'40'' B 70°10'50''
 C 88°10'50'' D 69°20'50''
 E 69°9'50''
 Determina el complemento de un ángulo de 
veinte grados, cincuenta minutos y diez segundos 
sexagesimales.
11
Nivel II
 A 
p
3 rad B 
p
4 rad C 
p
2 rad
 D 
p
8 rad E p rad
16 Halla el valor de x.
–x – p
6
 rad
x + p
3
 rad
12
19MateMática Delta 2 - trigonoMetría
13 16
14
 A I; II; III; IV B IV; III; II, I
 C III; II; IV; I D II; III; IV; I
 E I; IV; III; II
Ordena los ángulos en forma decreciente.
I.
O
a
II. O
b
III. 
O
q
IV. 
O
w
 A 2 B 5 C 1
 D 3 E 4
Encuentra el valor de .x + y
z
O
280°10'20'' – x°y'z''
15 Descubre el valor de x, si OB es bisectriz de AOC.
 A 30g B 32g C 40g
 D 31g E 35g
O
47g
23g – 2x
A
B
C
 Calcula el suplemento de ciento setenta y 
dos grados, cuarenta y cinco minutos y veinte 
segundos sexagesimales.
 A 7°15'40''
 B 8°14'40'' 
 C 7°14'40''
 D 8°15'40''
 E 7°13'40''
 A 2 B 15 C 25
 D 5 E 35
17 Determina el valor de (x – 40)2, de acuerdo al 
gráfico.
O
x° + b
b – xº
 A 2 B 3 C 4
 D 1 E 2
18 Halla el valor de , según el gráfico.2x – 8
2
36
O
q – (x + 100)g 
xg + q
20
19 22
20
21
23
24
 A 15 B 20 C 25
 D 30 E 35
Encuentra el valor de 2x
5
 – 80, de acuerdo al 
gráfico.
20g40m – xg
xg + 220g40m
 A 30° B 35° C 55°
 D 40° E 45°
Descubre el valor de x.
O
x + b
50° – q
b – q
Calcula x + y, en grados sexagesimales.
 A 120° B 123° C 171°
 D 121° E 124°
O
xg – 45g50g – yg
105g
Determina el valor de x + y, según el gráfico.
x°– 80°
40° – y°
60°
x°
 A 150 B 160 C 130
 D 170 E 140
Halla el valor de 
z
162
y
27
+ . 
 A 10 B 20 C 30
 D 40 E 50
O
4°30'
y'
z''
 A Ia; IIb; IIIc B Ia; IIc; IIIb
 C Ib; IIa; IIIc D Ib; IIc; IIIa
 E Ic; IIa; IIIb
Según el gráfico:
agbm
–89g40m
149°20'
x°y'
6 Relaciona las columnas.
 I. x + b a. 70
 II. a – y b. 150
 III. y + a c. 90
Tema
21MateMática Delta 2 - trigonoMetría
2
Conversiones entre sistemas 
de medición angular y sector circular
Existen tres formas de medir un ángulo trigonométrico: el sistema sexagesimal, el 
sistema centesimal y el sistema radial.
Ejemplo: 
Convierte 81° a grados centesimales.
Se sabe que: 180° = 200g factor de conversión
De esta manera un ángulo trigonométrico posee tres 
medidas equivalentes.
Resolución:
Conversión entre sistemas
360°
Ángulo de una vuelta
400g 2p rad
Sistema sexagesimal (S) Sistema centesimal (C) Sistema radial (R)
S° = Cg = R rad Ángulo trigonométrico = S° = Cg = R rad
∴ 81° 81° 90g9 ×× ×= = =
200g
180°
200g
20°
200g
180°
9
20
10
g
1
Sistema que se quiere
Sistema en que se encuentra
Ángulo Sistema sexagesimal
Sistema 
centesimal
Sistema 
radial
360° 400g 2p rad
180° 200g p rad
90° 100g
p
2
 rad
O
O
O
En forma práctica
Not a
Factor de conversión
Import a nt e
180° = 200g = p rad
 Sist. que se quiere
Sist. en el que se encuentra
22
Factor de conversión
• Minutos
Además se cumplen 
estas equivalencias:
• Segundos
Recu e rda
Import a nt e
Los grados sexagesimales y centesimales 
poseen las siguientes equivalencias.
360° = 400g
180° = 200g
 9° = 10g
9 × 60ʹ = 10 × 100m
 540ʹ = 1000m
 27ʹ = 50m
27 × 60ʹʹ = 50 × 100s
 1620ʹʹ = 5000s
 81ʹʹ = 250s
Simplificando
Simplificando
Simplificando
Para pasar los grados a minutos, los 
multiplicamos por 60 (sexagesimales) y 
100 (centesimales).
Para pasar los minutos a segundos, 
debemos multiplicarlos por 60 y 100 de 
acuerdo al sistema.
Los números S, C y R representan 
a un mismo ángulo trigonométrico y 
para resolver los problemas podemos 
expresarlos en función de una misma 
constante k.
Se sabe:
S
180
 = C
200
 = Rp
S
9
 = C
10
 = 20Rp = k
Ejemplo: 
Convierte 6°18ʹ a minutos centesimales.
14
1
6°18ʹ = 6° + 18ʹ = 6 × 60ʹ + 18ʹ = 378ʹ
∴ 378ʹ × 
50m
27ʹ = 378' × 
50m
27ʹ = 14 × 50
m = 700m
Ejemplo: 
Simplifica M = 8S – 7C2C – 2S .
Se sabe que: S = 9k y C = 10k
Resolución:
Resolución:
Conversión entre minutos y segundos sexagesimales, y centesimales
∴ M = 8S – 7C2C – 2S 
reemplazando M = 
8(9k) – 7(10k)
2(10k) – 2(9k)
 M = 
72k – 70k
20k – 18k
 M = 2k2k
 M = 1
 
S = 9k C = 10k R = 
pk
20
Rpta. 1
1° = 60ʹ
• En el sist. sexagesimal
• En el sist. centesimal
1g = 100m
1ʹ = 60ʹʹ
1m = 100s
27ʹ = 50m
81ʹʹ = 250s
23MateMática Delta 2 - trigonoMetría
S = pR2
S = p R
2 
2 
S = p R
2 
4 
O
R
O
R
O
R
Import a nt e
Área del círculo
Área del semicírculo
Área de un cuarto de círculo
Sector circular
O L
R
R
q rad
El sector circular es una región de un círculo, 
limitado por dos radios y un arco entre ellos. 
O : centro de la circunferencia
R : radio de la circunferencia
q : ángulo central (en radianes)
L : longitud de arco
Área de un sector circular (S)
El área del sector está dado por:
Trapecio circular
Además, se sabe que L =q . R.
Luego S = q . R. R 2 = 
L . R 
2 .
∴ S = L . R 2 
También podemos escribir el área de la siguiente manera:
S = q . R
2 
2 
. q 
q
S = (q . R)
2 
2q S = 
L 2 
2q 
• Área del trapecio circular
 S = 
(L2)
2
2q 
 ‒ 
(L1)
2
2q
 
 S =
 1 
2q [ 2 (L )
2 ‒ (L )2]
 S =
 1 
2q ( 2 L
 ‒ 1 L )( 2 L
 + 1 L )
 S =
 1 
2 (
2 L 
q ‒ 
1 L 
q )( 2 L
 + 1 L )
 S =
 1 
2 (R2 ‒ R1)( 2 L
 + 1 L )
L = q . R
 
q
q
L
R
R
SS
L2L1
R
2
R
1
h
S
S =
 1 
2 h . ( 2 L
 + 1 L )
• Relación de longitudes de arco.
 
L1 
R1
 = 
L2 
R2
 
1
q . R2 
2S =
24
1 4 Convierte 63° a grados centesimales.
 Calcula el valor de x, en grados centesimales.
 Del gráfico mostrado, encuentra el valor de x en el 
sistema sexagesimal.
Se sabe que: 180° = 200g  factor de conversión
El siguiente paso es simplificar:
∴ 63° × 
200g
180° 
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Sistema que se quiere
Sistema en que se encuentra
Rpta. 70g
Rpta. 80g
Rpta. 150°
∴ 63° × 
200g
180° = 7 × 
200g
20° = 70
g
20
10g7
1
10
1
• 27° × 
200g
180° = 3 × 
200g
20° = 30
g
• p
4
rad × 
200g
p rad = 50
g
∴ x = 50g + 30g = 80g
27°
p
4
rad
x
7p
6
rad
x
210°
x
7p
6
rad 180°
p rad = 210°
×
∴ x° + 210° = 360°
 x° = 360° – 210° = 150°
30°
2
3
 Determina el área de un sector circular si se 
sabe que tiene un ángulo central de cien grados 
centesimales y un radio de 2 cm.
 Halla el valor de x en el sistema sexagesimal.
 Descubre el valor de x.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Datos: q = 100g
 R = 2 cm
Rpta. 2p cm2
Rpta. 72
Rpta. 70
q = 100g × p rad
200g
 = p
2
 rad
∴ S = q × R2 = p
2
 × (2 cm)2
 S = p
2
 × 4 cm2 = 2p cm2 
1
x°
20g
20g × 180°
200g
 = 20g × 180°
200g
 = 180°
10
 = 18°
Luego: 18° + x° = 90°
 x° = 90° – 18° = 72°
xg
rad13 p
20
xg
rad13 p
20130
g =
∴ 130g + xg = 200g
 xg = 200g – 130g = 70g
rad = = 130g×13 p
20
13 × 200g
20
200g 
p rad
10
1
5
6
Ejercicios resueltos
2
25MateMática Delta 2 - trigonoMetría
7
8
9
 Simplifica N = 
10S – 2C
C – S
– 6.
 Calcula la longitud de arco en el siguiente gráfico.
Resolución:
Resolución:
Se sabe que: S = 9k y C = 10k
El ángulo debe estar medido en radianes.
60° × p rad
180°
 = p
3
 rad
∴L = q × R
 L = p
3
 × 2 cm
 L = 2p
3
 cm
Rpta. 8
Rpta. 2p
3
 cm
∴ N =
10(9k) – 2(10k)
10k – 9k
– 6
N =
90k – 20k
1k
– 6
N = 70 – 6 64
N =
70k
1k
– 6
L
2 cm
60°
3
 Encuentra la longitud de un arco, si se sabe que 
el ángulo central mide 45° y su radio mide 16 cm.
Resolución:
Convertimos 45° a radianes.
45° × p rad
180°
 = p
4
 rad
∴L = q × R
 L = p
4
 × 16 cm L = 4p cm
Rpta. 4p cm
L
16 cm
45°
4
4
1
10
11
12
 Determina el valor de y. 
 Halla el valor de x, en grados sexagesimales.
 Siendo S y C el número de grados sexagesimales 
y centesimales para un ángulo que mide el triple 
de un ángulo recto, descubre el valor de S + 30
C
.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Se sabe que 50m = 27ʹ
S° = 3(ángulo recto)
S° = 3(90°) = 270° S = 270
C = 300
C° = 3(ángulo recto)
C° = 3(100g) = 300g
 x + 3x – 20g = 300g
 4x = 320g
 x = 80g
80g × 9°10g
 = 72°
Rpta. 9
Rpta. 72°
Rpta. 1
∴ 27ʹ = 3yʹ
 273 = y y = 9
–50m
3yʹ
50m
3yʹ
x
O
20g – 3x
x
O
3x – 20g 
∴ S + 30
C
270 + 30
300= = 1
= = 8
26
16
17
18
Determina la longitud del arco de un sector 
circular, si se sabe que tiene un ángulo central de 
cincuenta grados centesimales y el radio mide 40 
cm.
Resolución:
50g = rad
p
4
13 Calcula el valor de 20° + 50g en el sistema radial.
Resolución:
 = 
 = R1 
= R1 
= R2 
Piden: R1 + R2 = 
p
9 
+ p
4 
 = 4p + 9p
36 
 = 13p
36 
p = R2 
 = * *
S
180°
20p
180°
p
9
p
4
50g
200g
C
200°
R1
p
R2
p
Rpta. 13
36
 p
Rpta. 10p cm
Rpta. 260
Rpta. 5
Resolución:
14 Encuentra el valor de a
 rad = *
13p
50
(13p)(200g)
50p
 = 52g
a = 52 
Resolución:
13p
50
–ag
52g = ag 
Rpta. 52
* M = 2 rad . 25 cm
 M = 50 cm 
* 70 = 2 . (25 + N)
 35 = 25 + N
10 cm = N 
L = q . R
L = p4 rad . 40 cm 
L = 10p cm
L
40 
cm
50g
Halla el valor de x − y.
 432' = xm
 1000m = y'
Resolución:
 * 432' 50
m
27'
 = xm 
 800m = xm x = 800
* 1000' 27'
50m
 = y' 
 540' = y' y = 540
 Piden x − y = 800 − 540 
 x − y = 260
Indica el valor de M ÷ N. 
2 radM
N
25 cm
70 cm
Piden M ÷ N = 
M
N = 
50
10 = 5 
*
15 Simplifica 2pR , sabiendo que 2p es el perímetro.
Rpta. 3
L
R
1rad
Resolución:
 L = 1 . R
 L = R 
 2p = R + R + L = 3R
2p
R = 
3R
R = 3Piden:
27MateMática Delta 2 - trigonoMetría
Síntesis
2
3 4
 
S = 9k
C = 10k
R = 
pk
20
27' = 50m
81'' = 250s
Factor de conversión
180° = 200g = p rad
S
180
C
200
R
p
= =
S° = Cg = R rad
Fórmula de conversión
L = q . R
S = q . R
2
2
S = 
L2
2q
S = L . R2
R
Lq S
Para minutos 
y segundos
Sector circularConversiones entre sistemas de medición angular
1 Convierte 99° a grados centesimales.
 Calcula el valor de x.
Rpta.
Rpta.
 Calcula el valor de x.
Rpta.
x°
– p
9
 rad 135°
–x
g
 Convierte 130g a grados sexagesimales.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Modela y resuelve 
28
Encuentra la longitud del radio de un sector 
circular, si se sabe que tiene un ángulo de 1 rad y 
su longitud de arco mide 20 cm.
 
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Si S y C son las medidas de un ángulo en los 
sistemas sexagesimal y centesimal, halla el valor 
de N.
 N = 8S – 4C
2S – C
 
 
Resolución:
Rpta.
Encuentra la longitud de arco de un sector circular, 
si se sabe que tiene un ángulo de 2 rad y un radio 
de 10 cm.
Resolución:
Rpta. 
Resolución:
Rpta.
 
-ym
1°21'
Determina el valor de y.
Resolución:
Rpta.
 
1°48'
–ym
 
Si S y C son las medidas de un ángulo en los 
sistemas sexagesimal y centesimal, simplifica y 
halla el valor de M. 
 M = S + C
C – S
5
Determina el valor de y.7
9
6
8
10
29MateMática Delta 2 - trigonoMetría
Descubre el valor de x.
Resolución:
Resolución:
Halla el área del sector circular
Rpta.
Rpta.
Calcula el valor de x.
Rpta.
x° – p6
rad
Resolución:
Calcula el valor de x.
Resolución:
Rpta.
–xg
17 p
20
rad
q
6 cm
Halla el área del sector circular
q
4 cm
Resolución:
Rpta.
 5
2
cm 23
cm
–x°
80g
Descubre el valor x.
Resolución:
Rpta. 
xg
–54º
11
13
15
12
14
16
30
Simplifica.
A = 
30g + 63°
Encuentra el perímetro del sector circular.
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
L
16 c
m
 1
4
rad
p
2 rad
Simplifica.
B = 110
g – 9°
Rpta.
Resolución:
p
18 rad + 35°
Determina el valor de ab .
Resolución:
Rpta.
q
b
7
a
5
Determina el valor de x + yx .
q
y
9
x
3
Rpta.
Resolución:
Encuentra el perímetro del sector circular.
Resolución:
Rpta.
R
9 m 32
rad
17
19
21
18
20
22
31MateMática Delta 2 - trigonoMetría
Practica y demuestra
Nivel I
1 Completa el siguiente cuadro.
Ángulo S C R
Recto
200g
360°
5 Siendo S y C lo convencional para un ángulo, 
simplifica.
 A 39 B 49 C 59
 D 29 E 19
E = 3C + S
C – S
2 Calcula el valor de x.
 A 20° B 45° C 18°
 D 30° E 17°
O
x
p
3 rad
3 Determina el valor de q.
 A 1 rad B 2
1 rad C 4
1 rad
 D 2 rad E 3
1 rad
16a
8a
q
4 Encuentra el área del sector circular.
 A 15 cm2 B 20 cm2 C 25 cm2
 D 16 cm2 E 4 cm2
5 cm
R
1
2 rad
6 Halla el valor de x en grados sexagesimales.
 A 52° B 53° C 57°
 D 55° E 54°
x + p
3
 rad
O
70g
32
Nivel II
8 Indica el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones.
 A FFF B FVF C FFV
 D VVV E VVF
 I. 45° = p
2
rad
 II. 17° = 20g
 III. 50m = 27'
9 Relaciona las columnas, según corresponda.
 A Ia; IIc; IIIb B Ib; IIc; IIIa
 C Ia; IIb; IIIc D Ic; IIa; IIIb
 E Ib; IIa; IIIc
 I. 1'21'' a. 250m
 II. 2°15' b. 1m50s
 III. 150s c. 2m50s
7 Simplifica.A 2 B 4 C 7
 D 3 E 5
R = 60
g
p
20
 rad
+ 3
11 Determina el valor de x.
 A 155 B 145 C 135
 D 125 E 115
– p
9
 rad
150g
x°
O
10 Calcula el valor de L1 + L2.
 A 4 cm B 3 cm C 5 cm
 D 6 cm E 7 cm
15 cm
5 cm
L1 L2
1
5 rad
12 Simplifica 
L2 + L1
L2 – L1
.
 A 2 B 3 C 4
 D 5 E 6
25 cm
15 cm
L1 L2q
33MateMática Delta 2 - trigonoMetría
13
14
15
 Encuentra el área sombreada.
 Relaciona cada gráfico con su área.
 A 2 cm2 B 3 cm2 C 4 cm2
 D 5 cm2 E 6 cm2
 Siendo S, C y R lo convencional, simplifica Q.
 A 10 B 12 C 14
 D 11 E 13
Q = 20R + pC
pC – pS
 A Ic; IIa; IIIb B Ib; IIc; IIIa
 C Ia; IIc; IIIb D Ia; IIb; IIIc
 E Ic; IIb; IIIa
L
3 cm
10 cm
4 cm
R
2 cm
4 cm
R
2 cm
2 rad
q
1
4 rad
 I. a. 10 cm2
 II. b. 18 cm2
 III. c. 16 cm2
4 cm
8 cm4 cmq
18 Determina el valor de yx + z
.
 A 1 B 2 C 3
 D 4 E 5
O
3q
2q q
x z
y
17 Si 36º = xg ∧ 40g = py
 rad, calcula el valor 
de x + y
9
. 
 A 1 B 2 C 3
 D 4 E 5
16 Halla el valor de P = x + 6 si 5'24'' = xm.
 A 2 B 3 C 4
 D 5 E 6
34
21 Calcula el valor de x.
 A 120 B 110 C 140
 D 150 E 130
(x2 – 138x – 160)°
(20 – x)°
Nivel III
22 Determina el valor x, si x > 0.
 A 2 B 3 C 4
 D 5 E 6
2 cm
0,2 rad
1 rad
x2 – 3x
24 Halla el valor de x.
 A 100° B 101° C 102°
 D 103° E 104°
x
–70g
–260°
– p
3
 rad
19 Si 13 × p100
 rad = xyg, encuentra el valor de x + y4 . 
 A 3 B 7 C 9
 D 2 E 4
23 Encuentra el valor de x + y.
 A 22 cm B 24 cm C 26 cm
 D 23 cm E 25 cm
x
36 cm
20 cmy0,4 rad
20 Halla el valor de x.
 A 15 B 16 C 17
 D 18 E 23
–290g 
108
°
xp 
20
 rad
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 1
35MateMática Delta 2 - trigonoMetría
 Relaciona las columnas según corresponda.
 I. Complemento de 20° a. 30°
 II. Suplemento de 150° b. 70°
 III. Complemento de 70° c. 20°
 A Ia; IIb; IIIc B Ib; IIa; IIIc 
 C Ia; IIc; IIIb D Ib; IIc; IIIa
 E Ic; IIa; IIIb
 Relaciona según corresponda.
I. a. 120'
II. 2° b. 50g
III. 45° c. 100g
 A Ia; IIb; IIIc B Ic; IIa; IIIb
 C Ic; IIb; IIIa D Ib; IIc; IIIa
 E Ia; IIc; IIIb
 A 35 B 45 C 15
 D 25 E 30
 Determina el valor de x – y.
O
xgym
38g69m
 A 2 B 3 C 4
 D 5 E 1
1y – x
z
O
xgymzs
149g34m85s
Encuentra el valor de .
 A 15 B 20 C 8
 D 27 E 7
 Simplifica.
2°15''
8'1''
3g50m
70m
2m60s
20s
+ –
 Si x°y'z'' = 20° – 14°39'45'', calcula el valor 
 de x + z
y
.
 A 1 B 3 C 5
 D 2 E 4
1 4
2
5
3
6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
36
M =
 
 
 
 
10°
120'
18g
200m+
Reduce y halla el valor de M + 2.
Descubre el valor de 45° + 60° en el sistema 
radial.
Las medidas de los ángulos congruentes de un 
triángulo isósceles son (5 + 5x)g y (6x)°. Determina 
la medida del tercer ángulo en el sistema radial.
 A 2 B 4 C 6
 D 8 E 10
 A 10
4p rad B 4
5p rad C 10
11p rad
 D 20
11p rad E 14
4p rad
 A 2p rad B 5
3p rad C 5
6p rad
 D 5
4p rad E 5
5p rad
 Encuentra el valor de L.
 Halla el área del sector sombreado.
L
900
 cm
4°
x
7 5 a
y
 A 6 B 1 C 3
 D 6
1 E 3
1
 A 4
p cm B 2
3p cm C 3
2p cm
 D 5
2p cm E 5
p cm
4p
6
6
 
 
 
 
 A 9p B 12p C 18p
 D 24p E 36p
7 10
8
 De acuerdo al gráfico, calcula el valor de x – yx + y .
11
9
12
Tema
37MateMática Delta 2 - trigonoMetría
Razones trigonométricas de un 
triángulo rectángulo I
3
Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos.
El lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa y los lados opuestos a los 
ángulos agudos son catetos.
•	 a y β son ángulos agudos
•	 El ángulo B es recto.
Las razones trigonométricas se calculan mediante la división entre dos lados de un 
triángulo rectángulo. Existen seis posibilidades, y se denominan: seno, coseno, 
tangente, cotangente, secante y cosecante.
sen a = cateto opuestohipotenusa = 
a
b
cos a = cateto adyacentehipotenusa = 
c
b
tg a = cateto opuestocateto adyacente = 
a
c
ctg a = cateto adyacentecateto opuesto = 
c
a
sec a = hipotenusacateto adyacente = 
b
c
csc a = hipotenusacateto opuesto = 
b
a 
Razones trigonométricas
β
a
hipotenusa
A
C
B
cateto
cateto
b
c
a
a
hip
ote
nu
sa
A
C
B
ca
te
to
 o
pu
es
to
 a
 a
cateto adyacente a a
(b)
(c)
(a
)
Ángulo agudo
Ángulo cuyo valor se 
encuentra entre 0° y 90°
Not a
0° < x < 90°
Las razones 
trigonométricas 
se abrevian de la 
siguiente manera:
seno: sen
coseno: cos
tangente: tg
cotangente: ctg
secante: sec
cosecante: csc
Import a nt e
38
 
Dos razones trigonométricas del mismo ángulo son recíprocas si la multiplicación de 
ellas es igual a la unidad.
Razones trigonométricas recíprocas
Propiedades de las razones trigonométricas
a
b
b
a
. = 1sen a . csc a = 1
c
b
b
c
. = 1cos a . sec a = 1
a
c
c
a
. = 1tg a . ctg a = 1
 
Por lo tanto, podemos plantear la siguiente expresión:
a y β son ángulos complementarios, ya que:
Del triángulo:
 sen a = ab = cos β 
 tg a = ac = ctg β 
 sec a = cb = csc β 
Razones trigonométricas de ángulos complementarios
β
a
A
C
B
b
c
a
β = 90° – a
Ejemplo: 
Simplifica.
Q = + –sen 20°cos 70°
tg 40°
ctg 50°
cos 25° × sec 25°
Razón trigonométrica (a) = Co Razón trigonométrica (90° – a)
Por las propiedades:
RT (a) = Co RT (90° – a)
 sen 20° = cos (90° – 20°) = cos 70°
 tg 40° = ctg (90° – 40°) = ctg 50°
 cos 25° × sec 25° = 1 (recíprocas)
Resolución:
Q = + –cos 70°cos 70°
ctg 50°
ctg 50°
1
Q = 1 + 1 – 1
Q = 1
R.T. Co R.T.
sen cos
tg ctg
sec csc
Not a
Donde
R.T.: Razones 
 trigonométricas
 
Co R.T.: Co Razones
 trigonométricas
a + β = 90°
39MateMática Delta 2 - trigonoMetría
1
2
3
4
Por el teorema de Pitágoras
 102 = x2 + 82
 102 – 82 = x2
(10 – 8) (10 + 8) = x2
 2 • 18 = x2
 36 = x2
 6 = x
∴ sen a = 
C.O.
H = 
6
10 = 
3
5
 Calcula sen a.
a
10
8
Resolución:
a
10
8
x
Rpta. 35
 Se sabe que sen (3x – 25°) . csc (20° – 2x) = 1, 
halla el valor de 2x.
Resolución:
Nos piden hallar 2x = 2(9°) = 18°
3x – 25° = 20° – 2x
3x + 2x = 20° + 25°
 5x = 45°
 x = 45°
5
 ∴ x = 9°
Rpta. 18°
Sabemos que sen a . csc a = 1
(=)
 Determina 17sen a + 8tg a, si cos a = 8
17
 .
Resolución:
Aplicando el teorema de Pitágoras
 172 = 82 + x2
 172 – 82 = x2
 (17– 8)(17 + 8) = x2
 9 • 25 = x2
 3 • 5 = x
 15 = x
cos a = 8
17
 = C.A.H
a
17 = H 
8 = C.A.
x = C.O.
∴ 17 × sen a + 8 tg a
 17 × 15
17
 + 8 × 15
8
 15 + 15 = 30
Rpta. 30
 Si sec (2x + 10°) = csc (x + 20°), encuentra el valor 
de x + 5°.
Rpta. 25°
Si sec a = csc β R.T. de ángulos 
 complementarios
 
 2x + 10° + x + 20° = 90°
 3x + 30° = 90°
 3x = 90° – 30°
 3x = 60°
 x = 60°
3
 x = 20°
∴ Piden: x + 5° = 20° + 5° 
 = 25°
Resolución:
Recu e rda
 sen a = 
C.O.
H
 tg a = 
C.O.
C.A.
Piden:
Ejercicios resueltos
a + β = 90°
40
5
6
7
Por el teorema de Pitágoras.
 (x + 1)2 = x2 + 52 Por el teorema de Pitágoras.
 tg β = 
C.O.
C.A.
 = 
12
9
 = 
4
3
x2 + 2(x)(1) + 12 = x2 + 52
 x2 + 2x + 1 = x2 + 52
 x2 + 2x – x2 = 25 – 1
 2x = 24
 x = 242
 x = 12
x2 + 92 = 152
 x2 = 152 – 92
 x2 = (15 + 9)(15 – 9)
 x2 = (24)(6)
 x2 = 144
 x = 12
Recuerda que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
 Descubre el valor de x. Calcula tg β.
Resolución: Resolución:
Rpta. 12
x + 1
5
x
∴ 
sen 30° = 1
2
tg 45° = 
1
1
tg 16° = 
7
24
 Simplifica.
8 Simplifica A y B; luego, halla el valorde A + B.Resolución:
Rpta. 1 Rpta. 4
8sen 30° + 3tg 45°
24tg 16°
4tg 45° + 5sen 53°
( 3)sec 30° × 
7
6 
 ctg 16°
4(1) + 5 4
5
 
3 
2
3
 . 
7
6
 
24
7
2 . 1
2
 + 4 2
1
 
6 
5
3
 – 25 
7
25 
( 2)sen 45° + 4csc 30°
6sec 53° – 25sen 16°
∴ A + B = 1 + 3 = 4
4 + 4
2 . 4
1 + 8
10 – 7
P =
A =
A =
B =
B =
=
=
= = 1
= = 3
60°
30°
2 1 
3
74°
16°
(H) 25
24 (C.A.)
7 (C.O.)
45°
1
45°
1 2
P = 
P = 1
8 × 3 ×+1
2
1
1
P = 4 + 37
24 × 7
24
9
9
15
15
x
β
β
Rpta. 
4
3
Resolución:
8
8
9
3
41MateMática Delta 2 - trigonoMetría
Síntesis
1
Modela y resuelve 
2
Razones trigonométricas (R.T.)
Teorema de Pitágoras
 sen a = 
a
b
 cos a = 
c
b
 tg a = 
a
c 
R.T. Recíprocas
sen a	∙	csc	a = 1
cos a	∙	sec	a = 1
 tg a	∙	ctg	a = 1
R.T. Complementarias
sen a = cos (90º – a) 
 tg a = ctg (90º – a)
sec a = csc (90º – a)
 csc a = 
b
a
 sec a = bc
 ctg a = ca 
R.T. (a) = Co R.T.(90º – a)
b2 = a2 + c2
A B
ab
c
a
90º – a
C
Razones trigonométricas de un 
triángulo rectángulo I
 Calcula sen a.
Rpta.
 Calcula cos β.
Rpta.
Resolución:
a
12
5
β
8
6
Resolución:
42
3 
5
 
4 
6
7
 
8
Si csc a = 6160 , halla el valor de 60ctg a + 61cosa. Si sec β = 
37
35 , halla el valor de 37sen β + 35tg β.
Si	cos	(5x°	+	20°)	∙	sec	(3x°	+	60°)	=	1,	determina	
el valor de x – 1.
Si	csc	(2x°	+	40°)	∙	sen(80°	–	2x°)	=	1,	determina 
el valor de x + 1.
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Si tg (x° + 25°) = ctg (2x° + 5°), encuentra el valor 
de x + 5.
Si sen (55° – x°) = cos (4x° + 5°), encuentra el 
valor de 4x + 9.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
 
43MateMática Delta 2 - trigonoMetría
 
7
x
θ x + 1
 
11
x
a
x – 1
9 
11
 
10 
12
14
Calcula el valor de P.
P = (csc 45°)2 + 4sen 30° – 1
Calcula el valor de R.
R = (4sen 45°)(cos 45°) – 2cos 60° + 3
Resolución: Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Simplifica.
 
Resolución:
Q = sen 35° + 2cos 40° + 5tg 31°cos 55° sen 50° ctg 59°
Simplifica.
 
Resolución:
P = 
5sec 38°
 – 
3ctg 10°
 + 2cos 17°csc 52° tg 80° sen 73°
Halla el valor de csc θ. Halla el valor de sec a.
Resolución: Resolución:
 
13
 
44
15 
17
 
16 
18
19
 
20
Determina el valor de A = (85cos a + 13ctg a) + 1, 
si se sabe que sen a = .
Determina el valor de N = 15tg β + 17sen β, si se 
sabe que cos β = 1517.
Si cos (6aº – 4º) • sec (4aº + 8º) = 1, encuentra el 
valor de a – 2. 
Si ctg (5βº + 22º) • tg (8βº – 14º) = 1, encuentra el 
valor de 2β + 1. 
Calcula el valor de M. Calcula el valor de R.
13
85
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
 
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
2csc 28º
sec 62º
M = (tg 60º)2 + R = 4tg 45º + 4 • sen 36º
cos 54º
 + csc 30º
Resolución: Resolución:
 
45MateMática Delta 2 - trigonoMetría
1 1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
sen a csc a
cos a sec a
tg a ctg a
 Calcula el valor de sen θ.
 Si cos a = 6061 , halla el valor de tg a.
 A 
10
61 B 
61
60 C 
61
11
 D 11
60
 E 6011
 Según el gráfico, completa el cuadro.
37
12
a
35
41
θ
40
 A 
3
41 B 
4
41 C 
7
41
 D 9
41
 E 1141
4
Relaciona.
I. sen a a. 
17
8
II. ctg a b. 15
17
III. sec a c. 8
15
 Según el gráfico.
 A Ib; IIc; IIIa B Ic; IIb; IIIa
 C Ia; IIc; IIIb D Ia; IIb; IIIc
 E Ib; IIa; IIIc
17
a
8
5 Determina el valor de x.
 A 3 B 5 C 7
 D 9 E 11
2524
x
6 Encuentra el valor de x.
	 sen	(x	+	20°)	∙	csc	(40°	–	x)	=	1
 A 5° B 10° C 15°
 D 20° E 25°
46
Nivel II
 A Ia; IIb; IIIc 
 B Ic; IIa; IIIb
 C Ib; IIa; IIIc
 D Ic; IIb; IIIa
 E Ib; IIc; IIIa
9 Relaciona según corresponda.
 I. cos 20° a. ctg 50°
 II. tg 40° b. sec 20°
 III. csc 70° c. sen 70°
10 Halla tg θ, si cos θ = 0,6. 
 A 23 B 1 C 
4
3
 D 3
4
 E 0,4
7 Calcula el valor de x.
 cos (x + 30°) = sen (2x + 15°)
 A 10° B 15°
 C 12° D 13°
 E 25°
12 Encuentra tg (x + y + 4°), si cos (2x + 3°) = 
 sen (2x + 7°); además, tg (y – 11°) ctg (15° – y) = 1
 A 1
4
 B 1 C 34
 D 12 E 
4
3
8 Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
 I. sen 20° = cos 70°
 II.		tg	45°	∙	ctg	55°	=	1
 III. sec 10° = csc 10°
 A VVV B FFF
 C VFV D VFF
 E VVF
11 Determina el seno del ángulo intermedio en:
 A 8
13
 B 8
15
 C 15
17
 D 15
16
 E 3
8
x +
 4
8
x + 2
Por Pitágoras:
47MateMática Delta 2 - trigonoMetría
16
14
 A 0 B 1 C 2
 D 3 E 8
Si se sabe que csc (3a + 10°) = sec (6a – 1°) 
y ctg (5β + 12°) = tg (2β + 8°), halla el valor de 
ctg (2a + 2β + 7°). 
Nivel III
 A 0 B 100 C 225
 D 400 E 441
 Si sen β = 4a – 35b + 4 , encuentra el valor de (a + b)
2.
β
54
37
17 Simplifica P y Q; luego, descubre el valor de P – Q. 
P = (6cos 60° + 5cos 53°) ÷ ctg 45°
Q = (3ctg 37° . 2sen 30°) ÷ sec 60°
 A 0 B 1 C 2
 D 3 E 4
13 Calcula el valor de Q.
 A 2 B 4 C 5
 D 1 E 3
Q = 5sen 19°cos 71°
sen 30°4tg 21°
ctg 69°+
15 Si tg a = 4855 , determina el valor de (x – 10)
4.
 A 1 B 16 C 81
 D 256 E 625
a
4x – 4
5x – 10
 A 23 B 4 C 5
 D 21 E 7
18 Calcula el valor de 2x + 3 , de acuerdo al gráfico.
a
2x + 9
3x + 4
2x + 2
48
Tema 4
Razones trigonométricas 
de un triángulo rectángulo II
Para resolver un triángulo rectángulo debemos de conocer las medidas de todos los 
lados y ángulos de un triángulo rectángulo.
Para calcular la longitud del lado desconocido 
aplicamos el teorema de Pitágoras.
 hipotenusa 5
 cateto 4
 cateto x
52 = 42 + x2
25 = 16 + x2
 9 = x2
 3 = x
Resolución de triángulos rectángulos
A
C
B
5
4
x
Tabla de triángulos primitivos
Hipotenusa 5 13 17 37 25 65 53 41 101 85
Cateto 4 5 15 35 24 63 45 9 99 77
Cateto 3 12 8 12 7 16 28 40 20 36
 x
b
 = sen a
 x
a
 = csc a
 y
b
 = cos a
 y
a
 = ctg a
A
C
B
b
y
x
a
A
C
B
x
y
a
a
x = b . sen a y = b . cos a
x = a . csc a y = a . ctg a
Teorema de Pitágoras
A
C
B
b
c
a
Obse rva
b2 = a2 + c2
Triángulos 
rectángulos notables
1k
45°
45°
1k
2 k
1k
60°
30°
2k
3 k
Not a
Cuando se conocen dos lados del triángulo
Cuando se conoce un lado y un ángulo
49MateMática Delta 2 - trigonoMetría
 y
c
 = tg a x
c
 = sec a
A
C
B
x
c
y
a
Ángulo de elevación
Ángulo de observación
Es el ángulo entre la visual y horizontal, cuando el objeto se encuentra sobre la línea 
horizontal.
Ángulo de depresión
Es el ángulo entre la visual y horizontal, cuando el objeto se encuentra bajo la línea 
horizontal.
Por ejemplo, al estar en el techo de una casa y observar un automóvil que está en el 
suelo.
Es el ángulo entre las visuales cuando el objeto es observado de un extremo a otro.
Por	ejemplo,	desde	el	tercer	piso	de	una	casa,	observar	un	edificio	de	8	pisos,	desde	su	
primer piso hasta la cima.
Por ejemplo, al observar un ave en la copa de un árbol o el foco de un poste de alumbrado 
público.
Ángulos verticales
Triángulos 
rectángulos 
aproximados
3k
53°
37°
5k
4k
7k
74°
16°
25k
24k
Donde
k = {1; 2; 3; 4; ... }
x = c . sec a y = c . tg a
a
Línea
 visua
l
Línea horizontal
Línea horizontal
Línea visual
β
θ
Líne
a vis
ual
Línea visual
50
1 3
2
4
Encuentra el valor de a – b.
 Determina el valor de x + y.
Calcula el perímetro del triángulo. 
21 = 3k
 7 = k
5k = 35
4k = 28
perímetro = 21 + 28 + 35 
 = 84
Los catetos son iguales
Recuerda: 
⇒ BC = 20
En el triángulo BCD
20 = 4k
 5 = k
⇒ x = 25
 y = 15
∴ x + y = 40
⇒ x
3
 = sec 60°
 x = 3sec 60°
 x = 3 . 2
∴ x = 6 m
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
37°
21
37°
21 = 3k
5k
4k
Rpta. 84
Rpta. 8
Rpta. 6 mRpta. 40
45° 53°
A
C
B20 y
x
D
45°
45°
20A B
C
53°
4k = 20
y = 3k
x = 5k
B D
C
 
b
a
8
37°
30°
30°
8 = k
2k = 2(8)
 = 16
 
a = 5k = 5(4) = 20
16 = 4k 3k = 3(4)
 b = 12
a = 20
b = 12
Piden:
 a – b
20 – 12
 8
37°
Una ardillaobserva una nuez que se encuentra 
en la parte alta de un árbol. Si la ardilla está 
a 3 metros del árbol y observa la nuez con un 
ángulo de elevación de 60°, ¿qué distancia 
separa a la ardilla de la nuez?
60°
 3 m
Ejercicios resueltos
51MateMática Delta 2 - trigonoMetría
5
6
7
8
 Calcula el seno del mayor ángulo agudo, en el 
siguiente gráfico.
 Si cos (θ + 15°) . sec (2θ – 30°) = 1, determina el 
valor de x.
θ + 15° = 2θ – 30°
15° + 30° = 2θ – θ
 45° = θ
R.T. recíprocas
 172 = 152 + (x + 1)2
172 – 152 = x2 + 2x + 1
 64 = x2 + 2x + 1
 0 = x2 + 2x – 63
 0 = (x + 9)(x – 7) → x = 7
Piden: seno del ángulo mayor = 
15
17
 
Resolución:
Resolución:
Rpta. 8
1517
x + 1 C
B
A
Rpta. 15
17
x
θ
4 2
(H) x
45°
x = 4 2 × 2
= csc 45°x
4 2
x = 
x = 4 × 2 = 8
4
4
2
2
2
 Desde un punto en el suelo se observa la parte 
superior de un poste con un ángulo de elevación 
de 37°; halla la altura del poste, si la distancia 
horizontal del punto a la base del mismo es 
800 cm.
 Descubre el valor de h, en el gráfico.
Resolución:
Resolución:
Rpta. 600 cm
Rpta. 20 m
37°punto horizontal
C.O. a 37°
C.A. a 37°
visu
al h
800 cm
hip
ote
nus
a
Línea horizontal
53°
visual = 25 m
h
∴ h
25
4
5
= sen 53°
h = 25 . sen 53°
h = 25 .
h = 20 m
5
1
53°
53°
25
h
Del triángulo:
h
800
 = tg 37°
 h = 800 . tg 37°
 h = 800 . 3
4
∴ h = 600 cm
52
Síntesis
1
Modela y resuelve 
2 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, halla 
el valor de M.
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, halla 
el valor de Q.
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Q = b	∙	sen	A	+	c	∙	tg	A
a
M = c	∙	ctg	C	+	b	∙	cos	C
2a
 
 
 
 
Ángulos verticales
Triángulos rectángulos notables
x	=	b	∙	sen	a
y	=	b	∙	cos	a
xb
y
a
x	=	a	∙	csc	a
y	=	a	∙	ctg	a
x a
y
a
x	=	c	∙	sec	a
y	=	c	∙	tg	a
a
y
c
x
vis
ua
l vis
ua
l
horizontal
visual visual
horizontal
45°
45° 1k
1k
2k
30°
60° 1k2k
37°
53° 3k
4k
5k
16°
74° 7k
24k
25
k
3k
R
es
ol
uc
ió
n 
de
 tr
iá
ng
ul
os
Razones trigonométricas de un 
triángulo rectángulo II
a: ángulo de 
elevación
β: ángulo de 
depresión
θ: ángulo de 
observación
a β horizontal
θ
53MateMática Delta 2 - trigonoMetría
3
5
4
6
Del gráfico, determina la altura del árbol.
Calcula la distancia que hay entre Adrián y 
Bruno, si se sabe que desde Carlos hasta Bruno 
hay 6 metros. 
De la figura, determina la distancia entre la base 
del edificio y el punto de observación.
Calcula la altura del poste.
Rpta.Rpta.
Rpta.Rpta.
Resolución:
Resolución: Resolución:
Línea
horizontal
53°
Lín
ea 
vis
ual h
Resolución:
37°
 150 m
53°
Adrián
74°
h
390 cm
 
x
70 cm
BrunoCarlos
54
Resolución: Resolución:
Rpta.Rpta.
Rpta. Rpta.
7
9
8
10 Julio se encuentra en la cima de un risco y 
observa una roca en el mar a 50 m. Con estos 
datos, halla cuánto es el valor de h.
José se encuentra en la cima de un risco y observa 
una roca en el mar a 30 m. Con estos datos, halla 
cuánto es el valor de h.
Desde un globo aerostático ubicado a 30 m de 
altura, se observa un objeto en el suelo con 
un ángulo de depresión de 30°. Encuentra la 
distancia entre el objeto y el globo aerostático. 
Desde la azotea de un edificio de 32 m, se observa 
un punto en el suelo con un ángulo de depresión de 
45°. Encuentra la distancia entre el punto observado 
y la base del edificio.
53° 74°
Resolución: Resolución:
h h
55MateMática Delta 2 - trigonoMetría
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
11
13
12
14
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Ana y Brisa observan la misma ave que se 
encuentra en la copa de un arbusto. Mientras 
Ana lo hace con un ángulo de elevación de 45°, 
Brisa lo hace con 37°. Si se sabe que Ana se 
ubica a 6 metros de la base del árbol, ¿a qué 
distancia del árbol se encuentra Brisa?
Paola y Karina observan el mismo foco de un 
poste con 30° y 16° de ángulo de elevación, 
respectivamente. Si se sabe que la línea visual 
de Paola es de 14 m, ¿cuánto será el valor de la 
línea visual de Karina?
¿Cuánto es la altura de la casa, si se sabe que 
la distancia horizontal mide 140 cm?
¿Cuánto mide la altura de la escalera, sabiendo 
que la distancia horizontal es 135 cm?
16°30°
KarinaPaola
74°
37°
53°
53°
37°45°
BrisaAna
56
Practica y demuestra
Nivel I
3
2 Determina el valor de x – y.
 Encuentra la distancia entre el ratón y el gato.
 A 85 B 75 C 21
 D 23 E 17
 A 40 cm B 80 cm C 100 cm
 D 130 cm E 120 cm
60 cm
Línea horizontal
visual 
y x
105
37°
37°
37°
5 Calcula el perímetro.
 A 111 B 112 C 122
 D 132 E 142
55 
53°
 A a B b C 0
 D 2 E 1
b a
C
A Bc
1 Halla el valor de b	∙	sen	A + c . ctg C
a
. 
4 Descubre el valor de a.
 A 15° B 37° C 45°
 D 57° E 60°
a
25
37°
15
 A 20 B 24 C 30
 D 40 E 48
6 Si ABCD es un cuadrado, indica el perímetro del 
triángulo CDE.
DAF
E
CB
53°
30°
40
57MateMática Delta 2 - trigonoMetría
Nivel II
7 Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
 I. 4sen 30° = 2 ( )
 II. 6tg 45° = 5 ( )
 III. 3csc 37° = 5 ( )
 A VFV B VVV C FFV
 D FFF E FVV
9 Macarena mide 1,75 m y observa un insecto 
en el suelo con un ángulo de depresión de 
45°; determina la distancia del insecto al pie de 
Macarena.
 A 1,73 m B 1,74 m C 1,71 m
 D 1,75 m E 1,72 m
12 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, 
calcula el valor del cateto c, si la secante del 
ángulo A es veinticuatro y la longitud de b es ocho.
 A 1 B 2 C 3
 D E 1
3
1
2
 A 49 B 59 C 2
 D 3 E 4
11 Descubre el valor de y – 40.x – 1
x 
y 
37°
30°
95
8 Halla el valor de x + y, si x = 4cos 60° + 3tg 45° – 2; 
además, y = 3csc 30° – 4.
 A 1 B 2 C 3
 D 4 E 5
10 Halla el valor de AP, si A = (csc 45°)csc 30° + tg 45°; 
además, P = 5sen 53° – 5sen 37°.
 A 3 B 9 C 27
 D 2 E 4
58
Nivel III
14
 A Ia; IIb; IIIc B Ib; IIc; IIIa
 C Ib; IIa; IIIc D Ic; IIa; IIIb
 E Ic; IIb; IIIa
 Relaciona las columnas según corresponda.
I. a. 11x 6
30°
II. b. 12
85 y 
84
III. c. 13
61 60
z
13 Halla la altura del objeto mostrado, si la distancia 
horizontal es de 60 cm.
 A 100 cm B 120 cm C 125 cm
 D 121 cm E 123 cm
37°
53° Línea horizontalVisual inferior
Vis
ua
l s
up
eri
or
15 En un triángulo rectángulo, un cateto es el 
cuádruplo del otro. Determina el producto entre la 
cosecante del menor ángulo agudo y el seno del 
ángulo intermedio.
 A 1 B 15 C 17
 D 3 E 4
17 Encuentra el valor de tg a	∙	ctg	θ, si se sabe que 
3AC = 5CD.
 A 3
5
 B 3
5
 C 5
8
 D 8
3
 E 8
5
a θ
A
B
DC
 A 3 B 5 C 1
 D 4 E 2
18 Descubre el valor de y
z – 2x + 6
.
30°
53°
37°
20
y
x
z
16 Desde la parte alta de un faro se puede observar un 
bote con un ángulo de depresión de 16°. Si desde el 
faro hasta el nivel del mar hay 49 metros de altura, 
indica a qué distancia se encuentra el bote.
 A 168 m B 125 m C 105 m
 D 98 m E 67 m
49 m
16°
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 2
59MateMática Delta 2 - trigonoMetría
En	la	figura,	determina	el	valor	de	5cos	x.3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
 A 3 B 3
5
 C 4
5
 D 5
3
16
20
a
x
Simplifica.4
 
 A 0 B 1 
 C 2 D 3
Descubre el valor de tg2 θ, si se sabe que sec θ = 4.6
 A 15 B 13 
 C 15 D 5
Halla el valor de 3 sec β. 2
1
7 β
A
C
B
D
7 4 3
 3
4
7
4
Si se sabe que tg β = 0,75; encuentra el valor de 
E = sen2 β + cos2 β.
5
 A 5 B 4 
 C 3 D 1 
1
5
4
a
Calcula el valor de csc a,	según	la	figura.
 A B 5
3
 C 3
5
 D 4
5
3
4
5tg 45° + 6sen 30°
3ctg 37°
A =
60
Halla el valor de x + y, si sen x = cos 40°. Además, 
tg 80° = ctg y.
7
 A 10° B 20° 
 C 50° D 60°
Calcula b – a, si cos (a + 35) . sec 55° = 1; además, 
tg (2b + 18°) . ctg 62° = 1.
8
 A 0° B 1° 
 C 2° D 41°
Encuentra el valorde x.10
x
37°
30°
10
 A 12 B 15
 C 20 D 25 
Descubre la altura de una torre, si desde una 
distancia de 40 m de la base de dicha torre 
se puede observar la cima con un ángulo de 
elevación de 37°.
11
 A 30 m B 32 m 
 C 35 m D 45 m
Desde	lo	alto	de	un	edificio	de	58	m	de	altura	se	
puede observar un automóvil con un ángulo de 
depresión de 30°. ¿A cuántos metros de la base 
del	edificio	se	encuentra	el	automóvil?
12
 A 47 m B 58 m 
 C 58 3 m D 40 3 m 
Determina el perímetro del triángulo ABC.9
 A 12 u B 121 u 
 C 132 u D 123 u 
44 u
C
B
A
37°
Tema
61MateMática Delta 2 - trigonoMetría
Sistema de coordenadas 
rectangulares
5
Cuenta la historia que Descartes se 
inspiró en el movimiento de una mosca 
para crear el sistema de coordenadas 
rectangulares.
Cierto día, Descartes, se encontraba 
descansando aquejado por su frágil 
salud; cuando observa a una mosca 
y se pregunta si podría saber con 
exactitud la posición de la mosca.
0 1
1
2
3
4
5
2 3 4 65 7
mosca
El plano cartesiano
Par ordenado
Un punto cualquiera P, está 
determinado por dos números a y b.
a: abscisa del punto P, ubicada 
trazando una línea perpendicular 
al eje x.
b: ordenada del punto P, ubicada 
trazando una línea perpendicular 
al eje y.
y
x
b
ordenada
abscisa
aO
1
P(a ; b)
El plano cartesiano es dividido por dos 
rectas numéricas perpendiculares que 
se cortan en el origen (O).1
1 2 3 4 50–1
–1
–2
–3
–4
–5
–2–3–4–5
3
2
4
5Segundo cuadrante
(II C)
Tercer cuadrante
(III C)
Primer cuadrante
(I C)
Cuarto cuadrante
(IV C) Eje x: Eje de abscisas
 Eje y: Eje de ordenadas
y
x
II C
• (– ; +)
• (– ; –)
• (+ ; +)
• (+ ; –)
III C
I C
IV C
El origen de 
coordenadas O, 
tiene como par 
ordenado a (0 ; 0).
1596 – 1650
Filósofo y matemático 
francés. 
René Descartes
Obse rva
Re cu e rda
62
Radio vector (r)
Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano (d)
Coordenadas del punto medio de un segmento (M)
Es la distancia desde el origen de 
coordenadas a un punto cualquiera 
P en el plano cartesiano.
M es el punto medio del segmento 
AB, y sus coordenadas están 
determinadas por:
Donde:
La distancia entre dos puntos 
A(x1 ; y1) y B (x2 ; y2) se determina:
y
x
P
(a ; b)
O (0 ; 0)
r
y
x
y2
dx1
A
(x2 ; y2)
(y2 – y1)
(x1 ; y1)
B
C
x2
y1
(x2 – x1)
Distancia horizontal entre puntos, la mayor abscisa es x2, ya 
que está a la derecha de x1.
Distancia vertical entre dos puntos; la mayor ordenada es y2, 
ya que se encuentra sobre y1.
x2 – x1
y2 – y1
y
x
B
(x2 ; y2)
M
(x ; y)
(x1 ; y1)
A
El radio vector es 
siempre mayor que 
cero.
Un segmento es 
una parte de la recta 
determinado por dos 
puntos.
Recu e rda
La distancia entre 
A y B se obtiene 
aplicando el teorema 
de Pitágoras en el 
triángulo rectángulo 
ABC.
Obse rva
Not a
d = (x2 – x1)
2 + (y2 – y1)
2
r = a2 + b2
M(x ; y) = ; 
x1 + x2
2
y1 + y2
2
63MateMática Delta 2 - trigonoMetría
Simetría de un punto con el eje x
Simetría de un punto con el eje y
Simetría de un punto con el origen 
de coordenadas
Para obtener el punto simétrico A', 
cambiamos el signo de la ordenada del 
punto A.
Para obtener el punto simétrico B', 
cambiamos el signo de la abscisa del 
punto B.
Para obtener el punto simétrico 
C', cambiamos el signo de ambas 
coordenadas del punto C.
y
x
C(4 ; 5)
C'(–4 ; –5)
y
x
B B'
(–2 ; 5) (2 ; 5)
y
x
A
A' (2 ; –3)
(2 ; 3)
Punto
Punto 
simétrico 
respecto al 
eje x
Punto 
simétrico 
respecto al 
eje y
Punto 
simétrico 
respecto al 
origen
Punto 
proyección 
respecto al 
eje x
Punto 
proyección 
respecto al 
eje y
(‒3 ; 4) (‒3 ; ‒4) (3 ; 4) (3 ; ‒4) (‒3 ; 0) (0 ; 4)
(2 ; 2) (2 ; ‒2) (‒2 ; 2) (‒2 ; ‒2) (2 ; 0) (0 ; 2)
(‒2 ; ‒3) (‒2 ; 3) (2 ; ‒3) (2 ; 3) (‒2 ; 0) (0 ; ‒3)
(2 ; 0) (2 ; 0) (‒2 ; 0) (‒2 ; 0) (2 ; 0) (0 ; 0)
(0 ; 1) (0 ; ‒1) (0 ; 1) (0 ; ‒1) (0 ; 0) (0 ; 1)
¿Sa bía s qu e.. . ?
y
x
A
B
(0 ; y)
(x ; 0)
El punto A pertenece 
al eje y, por lo que la 
abscisa del punto A es 
cero.
El punto B pertenece 
al eje x, por lo que la 
ordenada del punto B 
es cero.
O
O
O
64
1
2
3
4
 Calcula el radio vector del punto A(–3 ; –4). Encuentra el punto medio del segmento que une 
a los puntos A(–2 ; 3) y B(6 ; 7).
 Halla y, si se sabe que el radio vector es 10.
 Determina la distancia entre A(2 ; 3) y B(7 ; 15).
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
y
x–3
r
–4
(0 ; 0)
A(–3 ; –4)
A ∈ III C
y
x
3
15 B
A
d
72
r = a2 + b2
d = (x2 – x1)
2 + (y2 – y1)
2
r = a2 + b2
d = (7 – 2)2 + (15 – 3)2
d = 52 + 122
d = 169
d = 13
= 25 + 144
r = (–3)2 + (–4)2
r = 9 + 16
r = 5
= 25
Rpta. 5
Rpta. (2 ; 5)
Rpta. 8Rpta. 13
1
1 2 3 4 5 6
x
y
–1
(–2 ; 3)
–2
3A
2
6
5
7 B
(6 ; 7)
4
M(x ; y)
(x ; y) = ;
x1 + x2
2
y1 + y2
2
(x ; y) = ;
–2 + 6
2
3 + 7
2
(x ; y) = ;
4
2
10
2 = (2 ; 5)
y
x
r
(–6 ; y)
(10)2 = 
100 = 36 + y2
 64 = y2
 8 = y
(–6)2 + y2
2
Ejercicios resueltos
65MateMática Delta 2 - trigonoMetría
5
6
7 Calcula a + b, según el gráfico. El punto simétrico con respecto al eje y del punto 
A(–3 ; 5) es Aʹ(a ; b). Encuentra el valor de 2b – a.
8 Si A(2 ; 3) y B(5 ; 7) son los vértices consecutivos 
de un cuadrado, halla el área del cuadrado.
 Determina la distancia entre el punto medio del 
segmento AB y uno de sus extremos.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
y
x
M(1 ; 1)
A(a ; b)
B (5 ; –2)
M(1 ; 1) es punto medio de AB.
(1 ; 1) = ;
a +5
2
b– 2
2
2 = a + 5
–3 = a
1 =
a + 5
2
2 = b – 2
4 = b
1 =
b – 2
2
Nos piden:
a + b = –3 + 4
a + b = 1
Rpta. 1
Rpta. 13
Rpta. 7
1
1 2 3
x
y
–1–2–3
3
Aʹ(3 ; 5)
2
5
4
A(–3 ; 5)
∴ A (a ; b) = Aʹ(3 ; 5)
a = 3 y b = 5
∴ 2b – a 
 2(5) – 3 
10 – 3 = 7
1
1 2 3
x
y
–1–2–3
B
A
2
–1
–2
–3
A
M
B
d(M ; B) = 
 d(A ; B)
2
Resolución:
La distancia entre A y B; es:
Rpta. 25
∴ Área = L2 = (5)2 = 25
d(A ; B) = 5 lado del cuadrado
d(A ; B) = (5 – 2)2 + (7 – 3)2
d(A ; B) = 32 + 42
d(A ; B) = 25
∴ d(M ; B) =
(3 – (–3))2 + (2 – (–2))2
2
= =
36 + 16 52
2 2
= =
132
2
13
3 A
L
D
L
B
2 5
y
7
C
66
10 La circunferencia mostrada, tiene su centro en el 
origen de coordenadas. Determina el valor de x.
Resolución:
Al ser parte de la circunferencia los radios deben de 
ser iguales.
Rpta. 2
(– 4)2 + (2)2
16 + 22 = x2 + 16
2 = x
x2 + (– 4)2=
(– 4 ; 2)
(x ; – 4)
O
11 Encuentra la longitud del segmento CD.
Resolución:
Distancia entre C y D.
Rpta. 5
= 5
d(C ; D) = (2 – (–2))2 + (–2 – 1)2
= =42 + (–3)2 25
x
y
C
A(–4 ; 0)
B(0 ; 2)
D(2 ; –2)
C = ;;
– 4 + 0
2
– 4
2
2
2 = (–2 ; 1)
0 + 2
2
12 Halla las coordenadas de B, según el gráfico.
Resolución:
Rpta. (4 ; 2)
y
x
(– 4 ; – 4)
A
2
6
4
2 B
y
x
A(– 4 ; – 4)
(– 4 ; – 4 + 2) = (– 4 ; – 2)
(– 4 + 6 ; –2) = (+2 ; – 2)
(+2 ; –2 + 4) = (2 ; 2)
=
(+2 + 2 ; 2) 
(4 ; 2)
B
2
6
4
2
9 Calcula el valor de b2 – a2.
Resolución:
El punto B es el punto simétrico respecto del origen 
del punto A.
a = –(–5) = 5
b = –(–7) = 7
Rpta. 24
∴ b2 – a2 = 72 – 52
 = 49 – 25
 = 24
x
y
B(a ; b)
A(–5 ; –7)
67MateMática Delta 2 - trigonoMetría
Síntesis
1
Modela y resuelve 
2
 d(A ; B) = (x2 – x1)
2 + (y2 – y1)
2 
 r = x2 + y
2 M(x ; y) = 
x1 + x2
2
y1 + y2
2;
A(x ; y)
abscisa
ordenada
Dado A(x1 ; y1) y B(x2 ; y2) 
Dado A(x ; y)
r: radio vector
A y B simétricos respecto del eje y
A y C simétricos respecto del eje x
C y B simétricos respecto del origen
Dado A(x1 ; y1) y B(x2 ; y2) 
M(x ; y) punto medio de AB
A
II C I C
III C IV C
B
C
(–a ; –b)
(–a ; b)
y
xO
(a ; –b)
(a ; b)
D
Distancia entre 
dos puntos
Par ordenado
Radio vector Punto medio
 Completa el cuadro.
 Calcula el radio vector.
 Completa el cuadro.
 Calcula el radio vector.
Rpta. Rpta.
Punto Simetría x Simetría y Simetría O
(2 ; 3)
(–1 ; 2)
(–4 ; –7)
(2 ; –3)
Punto