Mas de algebra boolean

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Matemática 1
Comisión 2C
CLASE 20.04.23
Álgebra de Boole
Propiedad asociativa
Leyes de Idempotencia
Leyes de idempotencia
1)X ∪ 𝑋 = 𝑋
2) X ∩ 𝑋 = 𝑋
Leyes de idempotencia
1) 𝑥 + 𝑥 = 𝑥
2) 𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑥
Leyes de acotación
Leyes de acotación
1)X ∪ 𝐻 = 𝐻
2) X ∩ ∅ = ∅
Leyes de acotación
1) 𝑥 + 1 = 1
2) 𝑥 ∙ 0 = 0
Leyes de absorción
Leyes de absorción
1) 𝑥 + (𝑥𝑦) = 𝑥
2) 𝑥 ∙ (𝑥 + 𝑦) = 𝑥
Involución
𝑥 ′
′
= 𝑥 (𝐴𝑐)𝑐 = 𝐴
Leyes de De Morgan
Leyes de De Morgan
 𝑥 ∙ 𝑦 ′ = 𝑥′ + 𝑦′
 𝑥 + 𝑦 ′ = 𝑥′ ∙ 𝑦′
Leyes de De Morgan
 𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 = 𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐
 𝐴 ∪ 𝐵 𝑐 = 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐
Simplificación de expresiones
 Si en los números reales tenemos el siguiente cálculo:
1
2
+
47
46
+ 3 ∙ 2 + 2 =
1
2
+ 47−6 + 6 + 2 =
1
2
+ 4 + 6 + 2 = 10,5 + 2
Resolvimos el cálculo haciendo uso de las propiedades en los reales, por ejemplo, la del 
cociente de potencias de igual base: 
𝑎𝑛
𝑎𝑚
= 𝑎𝑛−𝑚, 𝑎 ≠ 0
Análogamente queremos trabajar en un Álgebra de Boole: queremos hacer cálculo con 
elementos de Álgebra de Boole. Para ello vamos a tener que usar las propiedades que se 
cumplan en las álgebras de Boole. 
Simplificación de expresiones booleanas
 Sea 𝑥, 𝑦, 𝑧 son variables de un Álgebra de Boole. Simplifique la siguiente expresión hasta 
llegar a la mínima posible: 
a) 𝑥 + 𝑥𝑧
Resolución:
𝑥 + 𝑥𝑧 = 𝑥 ∙ 1 + 𝑥 ∙ 𝑧 = 𝑥 1 + 𝑧 = 𝑥 ∙ 1 = 𝑥
Nosotros acá estaríamos sacando “factor común”
Acotación
Simplificación de expresiones booleanas
 Sea 𝑥, 𝑦, 𝑧 son variables de un Álgebra de Boole. Simplifique la siguiente expresión hasta 
llegar a la mínima posible: 
b) 𝑤 ∙ 1 𝑤′
Resolución:
𝑤 ∙ 1 𝑤′ = 𝑤 ∙ 𝑤′ = 0
Este 0 es el 0 
del álgebra 
de Boole, el 
elemento que 
estaría abajo 
de todo en el 
diagrama de 
Hasse. 
Simplificación de expresiones booleanas
 Sea 𝑥, 𝑦, 𝑧 son variables de un Álgebra de Boole. Simplifique la siguiente expresión hasta 
llegar a la mínima posible: 
c) 𝑤 + 1 𝑤′
Resolución:
𝑤 + 1 𝑤′ = 1 ∙ 𝑤′ = 𝑤′
Simplificación de expresiones booleanas
 Sea 𝑥, 𝑦, 𝑧 son variables de un Álgebra de Boole. Simplifique la siguiente expresión hasta 
llegar a la mínima posible: 
d)
𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑧 ′ = 𝑥 + 𝑥′ + 𝑧′ = (𝑥 + 𝑥′) + 𝑧′ = 1 + 𝑧′ = 1
Ley de De Morgan Propiedad
asociativa
del + (Acotación)
Este 1 es el 1 
del álgebra 
de Boole, el 
elemento que 
estaría arriba 
de todo en el 
diagrama de 
Hasse. 
Simplificación de expresiones Booleanas
e) 𝑦 + 𝑧 ′ ∙ 𝑥 + 𝑦
𝑦 + 𝑧 ′ ∙ 𝑥 + 𝑦 = (𝑦′∙ 𝑧′) ∙ (𝑥 + 𝑦) = (𝑦′∙ 𝑧′)𝑥 + (𝑦′∙ 𝑧′)𝑦 =
= (𝑦′∙ 𝑧′)𝑥 + 𝑦′𝑦 ∙ 𝑧′ = (𝑦′∙ 𝑧′)𝑥 + 0 ∙ 𝑧′ = 𝑦′ ∙ 𝑧′ ∙ 𝑥 + 0 = 𝑦′ ∙ 𝑧′ ∙ 𝑥
Ley de De Morgan
Distributividad del ínfimo en el 
supremo
Propiedad asociativa
Del ínfimo
Ley de acotación 
Simplificación de expresiones
 f) 𝑥 + 𝑥′ ′ = 1′ = 0
Simplificación de expresiones
g) 𝑥 + 𝑦 𝑥′ ∙ 𝑦′ = 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦 ′ = 0
De Morgan
𝑧 ∙ 𝑧′ = 0
Funciones Booleanas
 𝐵 = 0,1
 𝐵x𝐵 = B2 = 0,0 , 0,1 , 1, 0 , 1,1
 𝐵x𝐵xB = B3 = 0,0,0 , 0,0,1 , 0, 1, 0 , 0, 1, 1), 1, 0, 0 , 1, 0, 1 , 1, 1, 0 , 1, 1, 1
Sea 𝐺 una función Booleana:
𝐺: 𝐵𝑛 → 𝐵
𝐷𝑜𝑚 𝐺 = 𝐵𝑛
𝐶𝑜𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝐺 = 𝐵 = {0,1}
Interpretamos al 0 y al 1 como valores de verdad, 0 ⇝ 𝐹𝐴𝐿𝑆𝑂, 1 ⇝ 𝑉𝐸𝑅𝐷𝐴𝐷𝐸𝑅𝑂
Funciones Booleanas
 𝑥1 = ቊ
0 si el peso del paquete no es correcto
1 si el peso del paquete es correcto
Le asigno el valor 1 si el peso es el que yo quiero y sino queda en 0
Si p: el peso del producto es correcto
Si p es verdadera x1 toma el valor 1 y si p es falsa x1 toma el valor 0
 𝑥2 = ቊ
0 si el sellado del paquete es no correcto
1 si el sellado del paquete es correcto
Le asigno el valor 1 si el sellado es el que yo quiero y sino queda en 0
El producto será entregado ⇝ 1
El producto no será entregado ⇝ 0
Funciones booleanas
 La empresa A entregará exclusivamente cuando tanto el peso como el 
sellado estén correctos
x1 X2 f(x1,x2)
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
𝑓 𝑥1, 𝑥2 = 𝑥1𝑥2Función de entrega para la empresa A 
Funciones booleanas
 En la empresa 2, el producto será entregada cuando en dos casos:
El producto será entregado en dos casos:
a) El peso y el sellado son correctos
b) El peso no es correcto pero el sellado sí lo es
x1 x2 g(x1,x2)
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 0
𝑔 𝑥1, 𝑥2 = 𝑥1𝑥2 + 𝑥1’𝑥2Función de entrega para la empresa 2
	Diapositiva 1: Matemática 1 Comisión 2C
	Diapositiva 2: Álgebra de Boole
	Diapositiva 3: Propiedad asociativa
	Diapositiva 4: Leyes de Idempotencia
	Diapositiva 5: Leyes de acotación 
	Diapositiva 6: Leyes de absorción 
	Diapositiva 7: Involución 
	Diapositiva 8: Leyes de De Morgan
	Diapositiva 9: Simplificación de expresiones 
	Diapositiva 10: Simplificación de expresiones booleanas
	Diapositiva 11: Simplificación de expresiones booleanas
	Diapositiva 12: Simplificación de expresiones booleanas
	Diapositiva 13: Simplificación de expresiones booleanas
	Diapositiva 14: Simplificación de expresiones Booleanas
	Diapositiva 15: Simplificación de expresiones
	Diapositiva 16: Simplificación de expresiones
	Diapositiva 17: Funciones Booleanas
	Diapositiva 18: Funciones Booleanas
	Diapositiva 19: Funciones booleanas
	Diapositiva 20: Funciones booleanas