Álgebra 3

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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) 
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta 
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión 
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, 
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna 
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de 
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su 
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de 
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o 
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su 
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección 
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación 
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales 
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos 
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída 
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la 
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier 
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia 
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de 
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. 
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de 
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su 
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda 
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia 
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y 
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a 
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente 
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y 
principios de las Naciones Unidas. 
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a 
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin 
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y 
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá 
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho 
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de 
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1.	 Toda	persona	tiene	derecho	a	la	libertad	de	reunión	y	de	asociación	pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, 
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las 
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta 
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de 
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto 
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida 
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los 
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al 
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a 
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el 
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por 
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y 
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme 
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por 
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa 
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una 
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas 
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así 
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el 
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; 
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, 
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de 
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. 
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho 
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, 
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La 
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional 
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual 
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana 
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades 
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre 
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el 
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento 
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que 
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de 
la	comunidad,	a	gozar	de	las	artes	y	a	participar	en	el	progreso	científico	y	
en	los	beneficios	que	de	él	resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y 
materiales	que	le	correspondan	por	razón	de	las	producciones	científicas,	
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional 
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan 
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona 
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único 
fin	de	asegurar	el	reconocimiento	y	el	respeto	de	los	derechos	y	libertades	
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden 
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en 
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada	en	esta	Declaración	podrá	 interpretarse	en	el	sentido	de	que	confiere	
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y 
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los 
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
3
secundaria
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Matemática
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Y conexos
Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la 
autorización del autor. 
 
artículo 217.o.- será reprimido con pena privativa de libertad no 
menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa, 
el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, 
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una 
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier 
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y 
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios 
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el 
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con 
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total 
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución 
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma 
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o 
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, 
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior 
importe cada uno.
Apertura
En esta sección 
encontrarás 
temas 
novedosos que 
propiciarán 
sostener 
una relación 
cercana con la 
Matemática.
se aborda el 
desarrollo del 
tema, donde 
encontrarás las 
definiciones 
organizadas 
siguiendo una 
secuencia 
didáctica.
Marco 
teórico
Conoce tu libro
98
Tema 8
Números complejos
Ejemplos:
• √–4 • √–10
• √–8 • √–1
Ejemplos:
a) √–4 = √4 · √–1 = 2i
b) √–5 = √5 · √–1 = √5i
Ejemplos:
a) 3i + 8i = 11i
b) 5i + 7i – 3i = 9i
c) (4i)(3i) = 12i2 = 12(–1) = –12
d) (2 + i)(3 – i) = 6 – 2i + 3i – i2 = 7 + i
e) (2 + i)2 = 22 + 2(2)(i) + i2
 = 4 + 4i – 1 = 3 + 4i
f) 
4 + 3i – (3 + i) – 1
3i – i
 = 
4 + 3i – 3 – i – 1
2i
 = 
2i
2i
 = 1
c) √–81 = √81 · √–1 = 9i
d) √–50 = √25 · 2 · √–1 = 5√2i
Número imaginario
Es el número que resulta de extraer la raíz de índice par a un número real negativo.
Unidad imaginaria
La unidad imaginaria se define como √–1 y se denota con la letra i; es decir:
√(–) = imaginarioPar
4
6
10
√–1 = i ⇒ i2 = –1
Con los números imaginarios se pueden realizar las operaciones de adición, sustracción,
multiplicación y división.
Potencias enteras de la unidad imaginaria
i1 = i i5 = i i9 = i i13 = i
i2 = –1 i6 = –1 i10 = –1 i14 = –1
i3 = –i i7 = –i i11 = –i i15 = –i
i4 = 1 i8 = 1 i12 = 1 i16 = 1 ...
Se observa que los resultados de las potencias de la unidad imaginaria se separan en 
periodos de 4.
Se puede notar que:
i4k + 1 = i
i4k + 2 = –1
i4k + 3 = –i
i4k = 1
Ejemplo: 
Calcula i234.
Observamos: 234 = 232 + 2
Entonces:
i234 = i4k + 2 = i2 = –1
iN = i4k + r = ir
impar
 4k 
Propiedades:
 • i4k + i4k + 1 + i4k + 2 + i4k + 3 = 0
 ; k ∈ ℤ+ • i–38 = (–1)38i38 = 1 · i4k + 2 = i2= –1i–k = (–1)k · ik
i + i2 + i3 + i4 + i5 + ... + i4k = 0
Leonard Euler
(1707 – 1783)
Matemático suizo, 
en 1777 simbolizó la 
raíz cuadrada de –1 
con la letra i (unidad 
imaginaria).
Obse rva
Re cu e rda
¿Sa bía s qu e.. .?
(4k + r)n = 4k + rn
n ∈ ℕ; r ∈ ℤ
Ejemplo:
(733)25 = (4k + 1)25
 = 4k + 125
 = 4k + 1
• 32n = 4k + 1 
• 32n – 1 = 4k + 3
Ejemplo:
• i7525 = i(4k + 3)47
 = i347
 = i4k + 3 = –i
n, k ∈ ℕ
Título del temaPara una mejor 
organización, los temas 
están numerados.
Comentarios 
y/o lecturas que 
refuerzan el 
desarrollo del tema
11MateMática DELTA 3 - álgebra
	 Simplifica	la	expresión	A.
Resolución:
1
2x	+	3	+	2x	+	2	+	2x	+	1
2x	+	2	+	2x	+	1	+	2x
A	=
2x . 23	+	2x . 22	+	2x . 21
2x . 22	+	2x . 21	+	2x
A	=
2x(23	+	22	+	21)
2x(22	+	21	+	1)
=
8	+	4	+	2
4	+	2	+	1
=
14
7
3
4
1
2
= =	2
Rpta. 2
 Determina	el	valor	de	x.
	 3x	+	1	+	3x	+	2	+	3x	+	3	=	117
 Resolución:
	 3x .	31	+	3x .	32	+	3x .	33		=	117
	 																	3x(3	+	9	+	27)	=	117
	 																													3x .	39	=	117
2
117
393
x	=
3x	=	31
x	=	1
Rpta.	1
	 Reduce	la	expresión	e	indica	el	valor	de	L.
	 Factorizamos	en	el	numerador	y	en	el	denominador.
3
Resolución:
L	= a
3b4	–	a2b3
a3b2	–	a2b
= a
2b3(a	.	b	–1)
a2b(a	.	b	–	1)
= b2
=	b
Rpta. b
	 Halla	el	exponente	de	x	al	reducir	la	expresión	E.4
Resolución:
Identificamos	índices	y	exponentes.
x1 . x1 . x1
2 2 2
8 x
E	=
x(1	.	2	+	1)2	+	1
x8
2 . 2 . 2
	=
	=
x7
x8
8
= x
7
x1
8 = x68 =	x			=	x
6
8
3
4
Rpta. 
Rpta. 
	 Calcula	el	valor	de	x	que	verifica	la	igualdad.
	 163
2x
	=	84
2x
5
Resolución:
Buscamos	bases	iguales.
(24)3
2x
	=	(23)4
2x
 ⇒ 24	.	3
2x
	=	23	.	4
2x
4	.	32x	=	3	.	42x ⇒ 3
2x
3 =
42x
4
32x	–	1	=	42x	–	1 
Entonces:	2x	–	1	=	0	⇒	x	=
	 Encuentra	el	valor	de	R	luego	de	reducir.6
R	=	649–4
–2
–1
Resolución:
Entonces:
	=	64				=
1
3 3 64	=	4
Rpta. 4
1
2
Ejercicios resueltos
x . x . x
x8
E	= ;	x	≠	0
L	= a
3b4	–	a2b3
a3b2	–	a2b
;	b	>	0
R	=	649
–4
–2
–1 1
2
1
4
1
4
1
24 = ==
1
2
– 1
2 2
R	=	64 =	64 =	649
1
4
1
4
1
2
–
1
2 2
Nombre de la 
sección
Algoritmo de 
resolución 
del problema 
planteado.
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas 
reales o simuladas, 
planteadas de 
acuerdo al tema.
Ejercicios 
resueltos
se muestran 
ejercicios que 
están resueltos 
didácticamente, 
los mismos que 
servirán para 
el análisis del 
estudiante.
3MateMática Delta 3 - álgebra
Síntesis
Contenido del tema, 
que incluye teoremas, 
postulados, fórmulas, 
propiedades, leyes, etc., 
resumido en organizadores 
gráficos para tener un 
panorama general del 
contenido.
Modela y resuelve
Los problemas con 
numeración impar serán 
resueltos por el docente, 
mientras que los pares serán 
resueltos por el estudiante 
siguiendo la secuencia 
realizada.
171MateMática DELTA 3 - álgebra
Síntesis
Modela y resuelve 
21
Resolución: Resolución: 
Funciones
f: A → B / y = f(x)
Nombre de la función
Conjunto 
de salida
Conjunto 
de llegada
Regla de 
correspondencia
Notación
f asigna a todo elemento del conjunto A 
un único elemento del conjunto B.
Si (a ; b) ∧ (a ; c) ∈ f ⇒ b = c
Propiedad
Definición
Dominio: Dom(f) = {x ∈ A / (x ; y) ∈ f}
Rango: Ran(f) = {y ∈ B / (x ; y) ∈ f}
Importante
Si
P(x)
Q(x)
⇒ Q(x) ≠ 0
Si ⇒ P(x) ≥ 0P(x)
2n
Funciones especiales
1. Función constante
y
c y = c
x
Dom(f) = R
 Ran(f) = {c}
2. Función lineal
y = ax + b
y
b
x
pendiente
Dom(f) = R
 Ran(f) = R
3. Función identidad 4. Función valor absoluto
Dom(f) = R
 Ran(f) = R
y
x
y = x
45°
y y = |x|
x
Dom(f) = R
 Ran(f) = [0 ; +∞
5. Función raíz cuadrada
y
y = x
x
Dom(f) = [0 ; +∞
 Ran(f) = [0 ; +∞
6. Función cuadrática
y y = x2
Dom(f) = R
Ran(f) = [0 ; +∞
f: R → R / y = f(x) = ax2 + bx + c
Valor
máximo
y
x
x1 h x2
f
V(h ; k)
a < 0
Ran(f) = –∞ ; k]
k
y
V(h ; k)
h
x1kvalor
mínimo
x2
x
fa > 0
Ran(f) = [k ; ∞
• h =
–b
2a
• k = f(h)
Calcula el valor de a + b, dada la función f.
f = {(3 ; 4), (2 ; a + 2b), (3 ; 2a – b), (2 ; –3)}
Calcula el valor de m + n, dada la función g.
g = {(3 ; 1), (7 ; 2m – n), (3 ; m + 2n), (7 ; 12)}
Rpta. Rpta.
Nombre de la 
sección
Nombre de la sección
Espacio para resolver 
el problema.
Organizador 
visual
Enunciado del 
problema o de la 
situación planteada.
56
2
3
 A VFVF B FFVV C VVFF
 D FVFF E FFFV
 A Q(x) = 2x2 – 3x + 1; R(x) = x + 1 
 B Q(x) = 2x2 + 2x + 1; R(x) = x – 1
 C Q(x) = 2x2 + x + 2; R(x) = x + 2
 D Q(x) = 2x2 – 2x + 1; R(x) = x + 1
 E Q(x) = 2x2 – x + 3; R(x) = x – 2
 A Ia; IId; IIIc; IVe
 B Id; IIa; IIId; IVe
 C Ie; IIa; IIId; IVe
 D Id; IIe; IIIa; IVd
 E Id; IIa; IIIb; IVe
1
4
 A 5 B 1 C –2
 D –4 E 3
 A –3 B –2 C 2
 D –1 E 1
 A 3 B 2 C 1
 D 0 E 4
Luego de completar la división
A 2 3 1 D –1
–1 B 2
 1 –1 1
–2 2
2 C 2 1 1
Encuentra Q(x) y R(x); sabiendo que Q(x) es el 
cociente y R(x) el residuo de la división.
2x4 – x3 + x2 + 2x – 5
x2 – 1
Indica el valor de verdad de las proposiciones. 
x4 + 2
x2 + 1
( ) La división es exacta.
( ) El cociente es de grado 2.
( ) El residuo es de grado 1.
( ) El término independiente del cociente es 1.
Halla el término independiente del cociente luego 
de dividir.
2x4 + x3 – 5x2 – x + 1
2x2 + x – 1
Determina la suma de coeficientes del cociente.
6x3 + 4x2 – 17x + 7
3x – 1
Descubre el resto de la división.
3x4 – x3 – 14x2 + 9x + 1
x – 2
5
6
Relaciona.
I. A
II. B
III. C
IV. D
a. –2
b. –1
c. 0
d. 1
e. 2
Nivel I
Practica y demuestra
Preguntas 
planteadas, 
estas pueden 
ser situaciones 
reales o 
simuladas.
Espacio 
para realizar 
anotaciones de 
resolución.
Alternativas
Nombre de la sección
Test
Esta evaluación incluye 
preguntas del contenido de 
los temas desarrollados en 
la unidad y son de elección 
múltiple.
Practica y 
demuestra
En esta sección se 
plantean preguntas que 
han sido organizadas por 
niveles de complejidad 
y de elección múltiple 
en la que el estudiante 
demostrará lo aprendido 
durante la sesión.
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas reales o 
simuladas, planteadas de 
acuerdo a la unidad.
Número de test
Alternativas
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 3
151MateMática DELTA 3 - álgebra
Resuelve la ecuación.
Halla el valor de E, si x1 y x2 son las raíces de 
la ecuación 3x2 – 5 = 10x. 
E = 
1
x1
 + 
1
x2
Calcula la suma de valores de n si la ecuación 
cuadrática x2 + nx + 6 – n = 0, tiene solución 
única.
Encuentra el determinante de la matriz A.
5
4 Determina el valor de b, si las raíces r y s de la 
ecuación 4x2 – bx + 24 = 0, cumple con:
Luego de resolver, indica la raíz cuadrada de x + 1.
4r + 5s = 23 
4r + 3s = 17 
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
6
A –2 B –1
C 1
2
 D 2
A –4 B –2
C 1 D 2
A –20 B –10
C 0 D 20
A {3} B {1; 4}
C {2; 5} D {4; 5}
A 2 B 4
C 6 D 8
A 24 B 18
C –12 D 4
x2 – x
4
= x – 1
2
3
= 1
5
x – 7
A = 
3
0
0
0
–1
 4
 0
 0
5
1
1
0
 2
 7
 2
–1
4
5MateMática Delta 3 - álgebra
1
3
2
4
R
es
ue
lv
e 
pr
ob
le
m
as
 d
e 
re
gu
la
rid
ad
, e
qu
iv
al
en
ci
a 
y 
ca
m
bi
o
Traduce datos 
y condiciones 
a expresiones 
algebraicas y 
gráficas.
leyes de exponentes 8
Potenciación
Propiedades
Ecuaciones exponenciales
polinomios 20
Definiciones
Valor numérico
Grados de un polinomio
productos notables 32
Producto de binomios
Identidades
división algebraica 45
División de polinomio por polinomio
Métodos para dividir polinomios
Divisibilidad
cocientes notables 61
Definición
Propiedades
Término general
Factorización de polinomios 73
Definición
Criterios de factorización
mcd y mcm de polinomios y fracciones algebraicas 86
Máximo común divisor (MCD)
Mínimo común múltiplo (MCM)
Fracciones algebraicas
números complejos 98
Número imaginario
Número complejo
Representación gráfica de un número complejo
ecuaciones cuadráticas 113
Método de solución
Propiedades de las raíces
Análisis de las raíces
matrices y determinantes 125
Matrices cuadradas especiales
Operaciones con matrices
Determinante
sistema de ecuaciones 139
sistema de ecuaciones lineales
Métodos para resolver sistemas lineales
Clasificación de un sistema por su solución
desigualdades e inecuaciones 153
Definiciones
Criterio de los puntos de corte
Inecuaciones cuadráticas y de grado superior
Funciones 166
Definición y propiedades
Gráfica de una función y funciones especiales
logaritmos 179
Definición
Propiedades
Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
unidad competencia y capacidades contenidos pedagógicos páginas
Comunica su 
comprensión 
sobre las 
relaciones 
algebraicas.
Usa estrategias 
y procedimientos 
para encontrar 
equivalencias y 
reglas generales.
Argumenta 
afirmaciones 
sobre relaciones 
de cambio y 
equivalencia.
Índice
El príncipe de las 
matemáticas y su
Johann Carl Friedrich Gauss, conocido 
como «El príncipe de las matemáticas», 
fue un matemático, físico y astrónomo 
nacido el 30 de abril de 1777 en Brunswick 
(actualmente Alemania).
Cuando aún era un infante, demostró una 
prodigiosa capacidad para las matemáticas; 
tan es así, que la anécdota más conocida de su 
infancia ocurrió en el colegio cuando tenía 7 años. 
El profesor castigó a toda la clase asignándoles como 
tarea sumar todos los números naturales desde el 1 hasta 
Gauss
Teorema
el 100 y casi de forma instantánea Gauss tenía la respuesta correcta: 5050. Sus profesores no 
tuvieron mejor idea que recomendarlo al duque de Brunswick, quien financió todos sus estudios 
secundarios y universitarios en la Universidad de Göttingen. A los 22 años sustentó su tesis 
sobre el teorema fundamental del álgebra (que establece que toda ecuación algebraica de 
coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas).
En 1805 contrajo matrimonio con Johanna ElizabethRosina Osthoff con quien tuvo tres hijos; fue 
durante el nacimiento del tercero de sus hijos que Johanna falleció. Un año más tarde se casó 
con Friederica Wilhelmine Waldeck, con ella tuvo también tres hijos.
Como anécdota, Gauss mantuvo un diario de sus descubrimientos, comenzando con el 
heptadecágono. El diario, que enumera 146 descubrimientos, estuvo perdido durante más de 
40 años después de su muerte. En 1807 fue nombrado director del observatorio de Göttingen, 
cargo en el que permaneció durante el resto de su vida.
En esa época, el ejército de Napoleón había invadido el territorio 
y obligó a pagar un tributo de 2000 francos a la caja de guerra 
francesa.
Desde 1821 hasta 1848 Gauss trabajó en Geodesia. 
Entre 1830 y 1840 se dedicó a la física matemática, 
concretamente electromagnetismo, 
magnetismo terrestre, la teoría de la atracción 
según la ley de Newton, entre otros. Los últimos 
años de su vida, entre 1841 y 1855, los dedicó 
al «análisis situs» y a la Geometría asociada a 
funciones de variable compleja.
6
Veamos cómo factorizar 
A(x) = x4 - 2x3 - 13x2 + 14x + 24
aplicando el teorema de Gauss 
en el video que se encuentra 
en esta dirección 
https://youtu.be/slD6YXohOAs.
Desempeños
• Establece relaciones entre datos, valores desconocidos, condiciones de equivalencia. Transforma esas 
relaciones a expresiones algebraicas o gráficas, a sistemas de ecuaciones lineales, a inecuaciones, a 
ecuaciones cuadráticas y a funciones cuadráticas.
• Expresa, con diversas representaciones gráficas, tabulares y simbólicas, y con lenguaje algebraico, su 
comprensión sobre la solución de un sistema de ecuaciones lineales y de la ecuación cuadrática e 
inecuación lineal, para interpretar su solución en el contexto de la situación y estableciendo conexiones 
entre dichas representaciones.
• Expresa, con diversas representaciones gráficas, tabulares y simbólicas y con lenguaje algebraico, su 
comprensión sobre el comportamiento gráfico de una función cuadrática para interpretar su solución 
en el contexto de la situación y estableciendo conexiones entre dichas representaciones.
• Selecciona y combina estrategias y procedimientos matemáticos más convenientes para simplificar 
expresiones algebraicas, y solucionar ecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones lineales e 
inecuaciones, usando productos notables o propiedades de las igualdades.
• Plantea afirmaciones sobre el significado de los puntos de intersección de dos funciones lineales que 
satisfacen dos ecuaciones simultáneamente, la relación de correspondencia entre dos o más sistemas 
de ecuaciones equivalentes, u otras relaciones que descubre. Justifica y comprueba la validez de sus 
afirmaciones mediante ejemplos, propiedades matemáticas, o razonamiento inductivo y deductivo.
Fuentes:
elpais.com, biografiasyvidas.com, ugr.es, bbc.com
El teorema de Gauss
El teorema de Gauss es utilizado para 
determinar las posibles raíces de un 
polinomio mediante el cociente 
entre los divisores del término 
independiente y los divisores del 
coeficiente principal (coeficiente 
del término de mayor grado) y 
adaptando el método de Ruffini.
Otros aportes
Su curiosidad y capacidad de aprendizaje le permitieron realizar 
también grandes contribuciones a la astronomía, la óptica, la 
electricidad, el magnetismo, la estadística y la topografía.
Otro aporte de Gauss a la ciencia es la famosa Campana de Gauss, 
que es una representación gráfica de la distribución normal de un grupo de 
datos. Estos se reparten en valores bajos, medios y altos, creando un gráfico de 
forma acampanada y simétrica con respecto a un determinado parámetro. Se 
conoce como curva o campana de Gauss o distribución Normal.
Aunque lleva su nombre, realmente la distribución normal la descubrió y publicó por 
primera vez Abraham Moivre el año 1733.
Gauss murió mientras dormía en la universidad de Göttingen el 23 de febrero de 1855, a la 
edad de 77 años. Fue enterrado en el cementerio Albanifriedhof de Göttingen, cerca de la 
universidad.
7MateMática DELTA 3 - álgebra
8
Tema 1
Leyes de exponentes
El Sol tiene 1 392 500 000 metros de diámetro.
Es tan grande que alrededor de 1 300 000 
planetas tierras podrían caber dentro del sol.
¿Sería cómodo hacer cálculos con cantidades 
muy grandes o muy pequeñas sin expresarlas 
como potencia?
Potenciación
Es la operación que permite encontrar la cantidad llamada P (potencia) dadas las 
cantidades b (base) y n (exponente).
bn = P
Definiciones
Exponente entero positivo
Si b es cualquier número real y n es un número entero positivo, entonces la enésima 
potencia de b es:
b1 = b
bn = b × b × b × ... × b; n ≥ 2
n factores
� –54 = –5 × 5 × 5 × 5 = –625
3
2
3
=– – – – =
3
2 × ×
3
2
3
2
–27
 8
Exponente cero
Si un número real diferente de cero llamado b, es elevado al exponente cero, el 
resultado es 1.
b0 = 1 � 3
0
= 1
� –50 = –1
Exponentes enteros negativos
Si b es un número real diferente de cero y n es un número entero positivo, entonces:
b–n = 1b
n
=
1
bn
� 3–2 = 1
3
2
 = 1
3
 × 1
3 
 = 1
9
� 1
2
–3
 = 23 = 2 × 2 × 2 = 8
Exponentes racionales
Si n es cualquier entero positivo, entonces la raíz enésima principal de b se define como:
b
n
= r ⇒ rn = b
Para cualquier exponente racional mn donde m y n son enteros y n > 0, definimos:
b
m
n = = b
n( (m b
n m
� 25
1
2 = 25 = 5
� 216
1
3 = 216
3
 = 6
Recu e rda
(+)par = +
(–)par = +
(+)impar = +
(–)impar = –
(+) = (+)
impar
(+) = (+)
par
(–) = (–)
impar
(–) = ∃ 
par
Obse rva
= b
n m b
n m
Potenciación:
Radicación:
b
n+∈ ∈n – {1} ∧; ℝ
b
n
∈ ℝ
; b ≠ 0
;
9MateMática DELTA 3 - álgebra
Propiedades
Multiplicación de potencias de bases iguales
bm × bn = bm + n
Ejemplo:
57 × 53 × 54 = 57 + 3 + 4 = 514
División de potencias de bases iguales
bn
bm = b
n – m ; b ≠ 0
Ejemplo:
x9
x5 = x
9 – 5 = x4
Potencia de una multiplicación
(a × b)n = an × bn
Ejemplo:
(5 × 7 × 9)6 = 56 × 76 × 96
Potencia de potencia
(bn)m = bn × m
Ejemplo:
((32)2)3 = 32 . 2 . 3 = 312
Potencia de una división
a
b
n
=
an
bn
; b ≠ 0
Ejemplo:
x2
y3
4
=
(x2)4
(y3)4
=
 x8
y12
Exponentes sucesivos
bn
mp = b
nq
 = ar
Raíz de una multiplicación
a × b
n
= a
n
× b
n
Raíz de un cociente
=a
b
a
b
n
n
n
; b ≠ 0
Raíz de raíz
a
mn p
= a
n . m . p
Raíz de una potencia con índice igual al exponente
bn
n
=
|b|, si n es par
 b , si n es impar
a) (–3)4
4 = |–3| = 3
b) (–2)3
3 = –2
Ejemplos:
Ejemplo:
1227
0
 = 122
1
 = 12
2
 = 144
Ejemplo:
25 . 36 = 25 . 36 = 5 . 6 = 30
Ejemplo:
Ejemplo:
27
3
27
64
3 =
64
3 =
3
4
Obse rva
bn
b–m
= bn + m
5n × 3n = (5 × 3)n = 15n
123
33 =
12
3
3
= 43
a
n
 . b
n
 = a . b
n
 
a
b
n=
b
n
a
n
Import a nt e
Las propiedades 
solo son distributivas 
con respecto a la 
multiplicación y a la 
división.
Por ejemplo:
Es falso ya que:
16 + 9 = 16 + 9
16 + 9 = 16 + 9
5 4 3
5 ≠ 4 + 3
x5
34
= x5
4 . 3 . 2
= x5
24
� 
� 
� 
� 
� 
10
Propiedades adicionales
n
x
a m
x x
b p c
+ +
=
n . m . p x(a . m + b) . p + c
Ejemplos:
4
x5
3
x2 x =
4
x5
3
x2
2
x1
x x x ...
n n n
= A
n
x . A = A
b) x x x ...
3 3 3
= A ⇒ 3 x . A = A ⇒ x . A = A3 ⇒ x = A2 ⇒ A = x
Ecuaciones exponenciales
4 . 3 . 2
x(5 . 3 + 2)2 + 1 =
24 x35=a)
Potencias de igual base
bx = bn ⇒ x = n ; b ≠ 0, b ≠ 1
; b ≠ 0, b ≠ 1
Potencias de igual exponente
xn = bn ⇒
• (3x – 5)3 = 64
 (3x – 5)3 = 43 ⇒ 3x – 5 = 4 
 3x = 9 
 x = 3
Potencias bases y exponentes iguales
xx = bb ⇒ x = b
• xx3 = 3 ⇒ (xx3)3 = 33
 (x3)x3 = 33 ⇒ x3 = 3 ⇒ x = 33
; x > 0, x ≠ 1, b > 0
• 52x + 1 = 25
 52x + 1 = 52 ⇒ 2x + 1 = 2 ⇒ x = 12
¿Sa bía s qu e.. .?
Impo rt a nt e
Si:
ax = bx ⇒ x = 0
Ejemplo:
2x – 3 = 5x – 3
Entonces:
x – 3 = 0 ⇒ x = 3
Si:
xxx = n ⇒ x = nn
Ejemplo:
xxx
x
 = 3
entonces:
x
xx = 3 → x3 = 3
 → x = 3 3
3
n: par
|×| = |b|
n: impar
x = b
11MateMática DELTA 3 - álgebra
 Simplifica la expresiónA.
Resolución:
1
2x + 3 + 2x + 2 + 2x + 1
2x + 2 + 2x + 1 + 2x
A =
2x . 23 + 2x . 22 + 2x . 21
2x . 22 + 2x . 21 + 2x
A =
2x(23 + 22 + 21)
2x(22 + 21 + 1)
=
8 + 4 + 2
4 + 2 + 1
=
14
7
3
4
1
2
= = 2
Rpta. 2
 Determina el valor de x.
 3x + 1 + 3x + 2 + 3x + 3 = 117
 Resolución:
 3x . 31 + 3x . 32 + 3x . 33 = 117
 3x(3 + 9 + 27) = 117
 3x . 39 = 117
2
117
393
x =
3x = 31
x = 1
Rpta. 1
 Reduce la expresión e indica el valor de L.
 Factorizamos en el numerador y en el denominador.
3
Resolución:
L = a
3b4 – a2b3
a3b2 – a2b
= a
2b3(a . b –1)
a2b(a . b – 1)
= b2
= b
Rpta. b
 Halla el exponente de x al reducir la expresión E.4
Resolución:
Identificamos índices y exponentes.
x1 . x1 . x1
2 2 2
8 x
E =
x(1 . 2 + 1)2 + 1
x8
2 . 2 . 2
 =
 =
x7
x8
8
= x
7
x1
8 = x68 = x = x
6
8
3
4
Rpta. 
Rpta. 
 Calcula el valor de x que verifica la igualdad.
 163
2x
 = 84
2x
5
Resolución:
Buscamos bases iguales.
(24)3
2x
 = (23)4
2x
 ⇒ 24 . 3
2x
 = 23 . 4
2x
4 . 32x = 3 . 42x ⇒ 3
2x
3 =
42x
4
32x – 1 = 42x – 1 
Entonces: 2x – 1 = 0 ⇒ x =
 Encuentra el valor de R luego de reducir.6
R = 649
–4
–2
–1
Resolución:
Entonces:
 = 64 =
1
3 3 64 = 4
Rpta. 4
1
2
Ejercicios resueltos
x . x . x
x8
E = ; x ≠ 0
L = a
3b4 – a2b3
a3b2 – a2b
; b > 0
R = 649
–4
–2
–1 1
2
1
4
1
4
1
24 = ==
1
2
– 1
2 2
R = 64 = 64 = 649
1
9
1
9
1
2
–
1
2 2
12
 Determina el valor de x en la igualdad.7
79 + 7x
7x + 73
3 = 7
Resolución:
Elevamos al cubo.
79 + 7x
7x + 73
3 = 73 ⇒ 7
9 + 7x
7x + 73
= 73
 79 + 7x = 73(7x + 73)
 79 + 7x = 73 + x + 73 + 3
 79 – 76 = 73 + x – 7x
 76(73 – 1) = 7x(73 – 1)
 76 = 7x ⇒ x = 6
Rpta. 6
 Si se sabe que xx = 2, encuentra el valor de E.10
E = (xx
x + 1
)x
x
Resolución:
E = (xx
x + 1
)x
x
producto de bases iguales
 = (xx
x . x1)x
x propiedad conmutativa
 = (xxx
x
)x
x reemplazamos
 = (22)2
 = 24
 = 16
Rpta. 16
 Halla x + y2, si se cumple las igualdades.11
 Halla el valor de x en la igualdad.8
3x + 3x + 1 + 3x – 2 + 3x – 4 = 334
Resolución:
Factorizamos la base 3 con el menor exponente x – 4
3x – 4 + 4 + 3x – 4 + 4 + 1 + 3x – 4 + 4 – 2 + 3x – 4 = 334
3x – 4(34 + 35 + 32 + 30) = 334
3x – 4(81 + 243 + 9 + 1) = 334
3x – 4(81 + 243 + 9 + 1) = 334
3x – 4 . 334 = 334
Entonces:
3x – 4 =
334
334
3x – 4 = 30 ⇒ x – 4 = 0
x = 4 Rpta. 4
 Calcula el valor de R, si se sabe que x = 612 .9
R = x . x 2 x. . .3 x 4 x 9
Resolución:
Multiplicamos los radicales con índices iguales:
R = xx2 . 2 . x 3 . x 4 . x 9
 = x2 . x1 2 . x1 3 . x1 4 . x1 9
 = x2 + 1 + 1 + 1 + 1 . 2 . 3 . 4 . 9 = x6 . 63
Tenemos: x = 6
12 x6 = 6
2
Entonces: R = 61 . 63 = 61 + 3 = 4 64 = 6
Rpta. 6
xx2 = 16 ∧ yy2 = 2
Resolución:
(xx2)2 = (42)2 ⇒ x2
 . x2 = 44
(x2)(x
2) = 44 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = 2
(yy2)
2
 = (2)2 ⇒ y2
 . y2 = 22
(y2)(y
2) = 22 ⇒ y2 = 2 ⇒ y = 2
Piden: x + y2 = 2 + 22 = 4
1.°
2.°
Rpta. 4
 Dado que M = 2 4 2 4 ... calcula el cubo del 
valor de M.
12
Resolución:
M = 2 4 2 4...
M = 2 4M
(M2)2 = (2 4M)2
M2 = 2 4M
M4 = 22 . 4 . M
M4 = 22 . 4
M3 = 22 . 22 ⇒ M3 = 24
⇒
Observamos que piden M3.
Entonces: M3 = 16
Rpta.
3
16
M
13MateMática DELTA 3 - álgebra
Modela y resuelve 
Síntesis
1 2
Exponente
Ecuaciones exponenciales
Propiedades
Entero positivo
Exponente cero
b0 = 1; " b ≠ 0
xx = bb ⇒ x = b ; x ≠ 1, (x > 0, b > 0)
xn = bn ⇒
bx = bn ⇒ x = n ; b ≠ 0, b ≠ 1
; n ≠ 0, b ≠ 1
bn = b × b × b × b × ... × b
n factores
Leyes de exponentes
Entero negativo
Fraccionario
b–n =
b =
donde:
n ∈ N ∧ n > 1
; " b ≠ 0
1
bn
m
n
Halla el valor de P.
P = 
2n + 6 – 2n ⋅ 32 
2 ⋅ 2n + 3
Halla el valor de M.
M = 3
n + 2 – 3n ⋅ 5 
2 ⋅ 3n + 1
Resolución: Resolución:
n bm
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
10.
11.
5.
bn ⋅ bm = bn + m ⇒ Multiplicación de bases iguales
⇒ Raíz de una multiplicación
⇒ División de bases iguales
⇒ Raíz de una división
(ab)n = an ⋅ bn ⇒ Potencia de una multiplicación
⇒ Raíz de raíz
(bn)m = bn ⋅ m ⇒ Potencia de potencia
bn
bm
= bn – m
⇒ Potencia de una divisióna
b
= a
n
bn
n
a ⋅ b = 
n
a ⋅
n
b
n
a
b
n = a
n
b
n
m n m ⋅ na = a
n bn
│b│, n: par
 b, n: impar
=
x x
n
x ⋅ A = A
nn n
x … = A ⇒
; b ≠ 0
Rpta. Rpta.
|×| = |b|, n: par
 x = b, n: impar
x
b
 x
an
x(a ⋅ m + b) ⋅ p + c
n ⋅ m ⋅ pm p
x
c
 =
+× × +
14
3 4Encuentra el valor de x.
3x + 2 + 3x + 1 – 3x = 99
Encuentra el valor de x.
2x + 3 + 2x + 1 – 2x = 72
Resolución: Resolución:
5 6
7 8
9 10
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Determina el valor de H.
H = 3225
–8
– 13
Determina el valor de A.
A = 649
–4
– 12
Calcula el valor de B.
B = 15
4 ⋅ 108
303 ⋅ 254
Descubre el valor de x que verifica la ecuación.
252
x + 1
= 54
x – 3
Descubre el valor de x que verifica la ecuación.
646
x + 2
= 26
2x – 4
Calcula el valor de E.
E = 9
4 ⋅ 355
215 ⋅ 153
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
15MateMática DELTA 3 - álgebra
11 12
13 14
15 16
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Reduce E.
E = 
x7y–1 + x6
x3y3 + x2y4
4
Reduce C.
C = a
8b2 + a10
a4b6 + a6b4
4
Halla el exponente final de x.
H = 
x4 ⋅ x ⋅ 33 x3
x ⋅ 3
3
x
.
Halla el exponente final de x.
N = 
x5 ⋅ x3 ⋅ 3 x3
x3 ⋅ 
3
x2
.
Encuentra el valor de n + 2.
213 + 2n 
2n + 25
 = 24
Encuentra el valor de a – 2.
314 + 3a 
3a + 34
 = 35
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
16
17
19 20
18
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Si xx
3
 = 3, yy
2
 = 3 3; determina el valor de N. 
N = x3 + y2
Si ab = bb = 2, calcula el valor de L.
 L = abab
ab
Si xx
5
 = 5, yy
2
 = 12
4 ; determina el valor de A.
 A = x5 + 4y2
Si xy = yy2 = 3, calcula el valor de R.
R = xyxy
xy
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
17MateMática DELTA 3 - álgebra
2
3
 A Ib; IIa; IIId; IVc 
 B Ie; IId; IIIa; IVb 
 C Ib; IIa; IIIe; IVc
 D Ic; IIe; IIIa; IVd
 E Ib; IIa; IIIc; IVe
 A 3 B 4 C 1
 D 5 E 2
 A VFVV B FFVV C VVFF
 D FVFF E FFFF
1
Relaciona.
Halla el valor que verifica la igualdad. 
3x + 2 + 3x = 90
Indica el valor de verdad de las proposiciones.
( ) xy–2 = 
1
xy2
( ) –32 = –9
( ) xn + yn = x + y
n
 
( ) 32
0
 = 1
I. 2
3 ⋅ 24
2
 
II. 2
6
 
III. (22
2
)3
IV. ((22)3)3
a. 22
b. 26 
c. 218 
d. 264 
e. 212 
 A 12 B 15 C 18
 D 24 E 30
4 Determina el valor de A.
A = 
122 ⋅ 153 
1802
Practica y demuestra
Nivel I
 
12
 A 3 B 4 C 5
 D 6 E 7
Al simplificar S, se obtiene una expresión de la 
forma: xb
a . Calcula el valor de a – b.
S = 
x ⋅ x 
x ⋅ x 
5
 A 1 B 7 C 5
 D 4 E 3
Encuentra el valor de n en la siguiente igualdad.
xn xn + 2 = x3
6
 A 1 B –1 C –2
 D 2 E 1 
2
Reduce E; luego, indica el exponente final de x.7
x3 ⋅ x2 ⋅ 43 5 x4 ⋅ 43 5 xE =
 A 1 
5
 B 7 C 5
 D 25 E 1
8 Descubre el valor de la expresión M.
M = 125–27
–1
3
18
13
12
¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son 
verdaderas?
I. 210 + 210 = 211 
II. 210 – 210 = 010 
III. 210 × 210 = 220 
IV. 210 ÷ 210 = 100
V. (210)10 = 220
VI. 20 ⋅ 
10 10 2 = 
20
2 
VII. –210 × 2–10 × (–1)9 = –1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Una computadora tarda 0,000003 segundos para 
hacer un cálculo. ¿Cuánto tiempo tarda en hacer 
6 millones de cálculos?
9 Si 3a = 2b, halla el valor de Z.
Z = 3
a + 3 + 2b + 5
2b + 2
Indica el valor de x + 1 al resolver la ecuación.
38 + 3x
3x + 32
 = 33
Simplifica la expresión J.
1 – 64n
1 – 64–n
3J =
15
16
 A 2 s B 5 s C 20 s
 D 18 s E 10 s
 A 5 B 3 C 6
 D 4 E 7
 A 4n B –64n C –4n
 D 1 E 64n
 A 6 B 5 C 7
 D 8 E 4
 A 27 4 B 
39 
4 C 
29 
4
 D 31 
4
 E 59 
4
 
Nivel II
 A –1 B 0,5 C –3
 D 1 E 2
Determina el valor de x en la igualdad a4
x + 1
 = a8; 
luego, indica el valor de A = 4x – 3.
10
 A 
1 
4 B 
1 
8 C 4
 D 2 E 1 2
Calcula el cuadrado de la expresión G.
G = 
2
6
 ⋅ 2
3
 ⋅2
4
2
5 ⋅ 2
20
11
14
 A 1 B 6 C 4
 D 8 E 2
Encuentra el valor de H.
H = 6 ⋅ 2
n – 1 + 5 ⋅ 2n 
2n + 2 – 3 ⋅ 2n
19MateMática DELTA 3 - álgebra
18 Halla el valor de x en la igualdad.
254
x
 = 58
2 Simplifica la fracción y encuentra el valor de H.
H = 2
–32 – (2–2)3
23
20
– 20
22
 A 5 2 B 3 C 2
 D 4 E 7 2 A 
1 
8 B 64 C 16
 D 8 E 24
–2
3
Nivel III
21
24 Después de despejar x, indica qué relación se 
cumple.
xxn
1 – n
 = nn2n
Calcula el valor de C = x6 – x3 + 1, si xx3 = 124.
23 De acuerdo a la siguiente igualdad, señala la 
relación correcta.
x
y
y
x
x
y
x
y
y
x
x
y
x – y
x – y
x + y
x + y = ; xy ≠ 0
19 ¿Cuál de las dos expresiones es mayor?
I. 
1
31
3
II. 
1
27
(3 3)–1
A I es mayor que II 
B I es mayor que II 
C Son equivalentes
D No se puede determinar 
E No marcar esta opción
 A 135 B 144 C 288
 D 85 E 133
 A x = y B x = 4y2 C x = y2
 D x2 = 4y E x = 2y
 A x = nnn B x = nn C xn = n
 D x2 = nn E x = n
17
 A 6 B 3 C 2
 D 4 E 6
Descubre el valor de N.
N = 649
–2
–1
 A 0 B 3 C 4
 D 1 E 2
Determina el valor de E.
E = 64 
–1
3 + (–32)
–3
5 
–1
3
20
 
 
20
Tema
Elizabeth encuentra en la biblioteca de su abuelo el 
libro de Morroyo y Gago (Logroño, 1916). En este 
libro, el volumen de un barril está representado por la 
expresión:
V(a, b, ℓ) = 185 (2a
2 + b2)ℓ
b
ℓ
a
Definiciones
Término algebraico
Es una expresión formada por el producto de números (coeficientes) y letras con sus 
exponentes (parte literal).
Ejemplos:
Términos semejantes
Dos o más términos son semejantes si tienen la misma parte literal. Para reducir 
términos semejantes, se suman o restan los coeficientes y se escribe la misma parte 
literal.
Ejemplo 1
Calcula el valor de m . n si los siguientes términos son semejantes:
 P(x; y) = 3x5y3n – 2mz; Q(x; y) = –6x4m – 3y8z
Resolución:
Si P(x; y) y Q(x; y) son semejantes, tienen igual parte literal (exponentes de sus 
respectivas variables son iguales).
Entonces: 4m – 3 = 5 ⇒ m = 2
 3n – 2m = 8 ⇒ 3n – 2 2 = 8 ⇒ n = 4
Piden: m n = 2 4 = 8
Polinomios
René Descartes
Francia : 1596
Suecia: 1650
Matemático francés 
que comenzó la 
utilización de las 
últimas letras del 
alfabeto (x; y; z) 
para designar 
las cantidades 
desconocidas.
Import a nt e
Not a
Obs e rva
La representación 
simbólica nos permite 
reconocer cuáles son 
las variables de una 
expresión.
P(a) = a2 + ay + y2 
variable
A(x; y) = 2x2 + xy + y4
variables
Elementos de un
término algebraico
– 9 x7 y3
• –12x7y3; 7x7y3
Son términos semejantes
• 8x2y5; 3y5x
No son términos semejantes
signo
variablescoeficiente
exponentes
Parte Literal
2
Coeficiente: –6
Parte literal: x3y2
• –6x3y2
Combinación de números (coeficientes) y letras 
(variables) mediante un limitado número de operadores 
matemáticos.
Los exponentes de las 
variables son números 
naturales.
• P(x; y) = 5x2 + 3y + 2
• Q(x) = 4x3 + 2x
2
3 – x
Al menos un exponente 
de las variables es entero 
negativo.
• P(x; y) = 5x
2
y + 3xy – 7
• Q(x; y) = 
4
x2
 + 
4x2
y3
 – 6
Al menos una variable está 
dentro del signo radical.
• P(x) = 7√x + x – 3
• Q(x; y) = 
3
√x + 1 
 + 4y
Racional
Entera Fraccionaria 
Irracional
Expresión algebraica
Coeficiente:
Parte literal: x
5√y
• 3
5 
x5√y
3
5
21MateMática DELTA 3 - álgebra
Ejemplo 2
Reduce E. 
E(x)= –7x y – 3y x + 8x y + 5y x + 3x y + 4
Resolución:
Agrupamos los términos semejantes:
E(x) = (–7 + 8 + 3)x y + (–3 + 5)y x + 4
E(x) = 4x y + 2y x + 4
Polinomio
Es aquella expresión algebraica racional entera, es decir, los exponentes de sus 
variables son números enteros positivos.
En general:
 P(x) = a0x
n + a1x
n – 1 + ... + an – 1x + an; a0 ≠ 0
Grados de un polinomio
Grado relativo (G.R.) 
Es el mayor valor del exponente de una variable.
Ejemplos:
Determina el G.R.(x) y G.R.(y) en cada caso.
Nombre del
polinomio
Mayor 
exponente
Variable Coeficiente 
principal
Término
independiente
grado
Donde:
a0; a1; ...; an
coeficientes del 
polinomio
Propiedades:
Suma de coeficientes: a0 + a1 + ... + an – 1 + an = P(1)
Término independiente: an = P(0)
Valor numérico
Es el número que se obtiene luego de reemplazar las variables del polinomio por 
números.
Ejemplo 2
Sea P(x + 2) = 4x2 + x – 5.
Halla el valor de P(–3)
Resolución:
Efectuamos: x + 2 = –3 ⇒ x = –5
P(–5 + 2) = 4 · (–5)2 + (–5) – 5
 P(–3) = 90
Ejemplo 1
Sea P(x; y) = 4xy2 + 3x2y – 5xy – 2.
Halla el valor de P(3; 1) 
Resolución: 
Reemplazamos: x = 3; y = 1 
P(3; 1) = 4 · 3 · 12 + 3 · 32 · 1 – 5 · 3 · 1 – 2
P(3; 1) = 22
G.R.(x) = 3
G.R.(y) = 5
G.R.(x) = 9
G.R.(y) = 7
• En un polinomio los
 exponentes son
 enteros positivos.
• Si a0 = 1, P(x) es
 llamado mónico.
• Polinomio con:
 – Un término:
 Monomio
 – Dos términos:
 Binomio
 – Tres términos:
 Trinomio
 – Con n términos:
 Polinomio de n 
términos.
P(x; y) = 5n3x4y6z7
¿Es de grado 20?
• No, es de grado 10.
¿Por qué?
P(x; y) = 2a4x2y6 + 9x9y
• G.R.(x) = 9
• G.R.(y) = 6
• G.A.(P) = 10
Recu e rda
De safío
Obs e rva
a) P(x; y) = 8x3y5 
b) Q(x; y) = 5x2y7 – 3x9y + 9x8y4
22
Polinomios especiales
Nombre Definición Ejemplo
Ordenado respecto 
a una variable
Los exponentes de la variable 
están ordenados en forma 
creciente o decreciente.
P(x; y) = 5x6 + 3x4y – 3x2y3 – y
Ordenado en forma decreciente 
respecto a x.
Completo respecto
a una variable
Los exponentes de la variable 
se indican desde el mayor hasta 
cero (término independiente).
Propiedad:
n.º de términos = grado + 1
P(y) = 7y3 + 5y – y4 + 3y2 – 9
Polinomio completo respecto a y.
Q(x) = 5x4 + 3x3 + 2x2 – 7x + 11
Polinomio completo y ordenado
respecto a x.
Homogéneo Sus términos tienen igualgrado absoluto.
P(x; y) = x5y4 + 2x8y – 7x3y6 – 5y9
 5 + 4 = 8 + 1 = 3 + 6 = 9 
Grado de homogeneidad: 9
Idénticos
Dos polinomios son idénticos
si tienen igual valor numérico
para cualquier valor que se
asigne a su variable.
Si están desarrollados, los
coeficientes de sus términos
semejantes son iguales.
Si P(x) = 5x3 + 3x2 – 6x – 9
y Q(x) = Ax3 + Bx2 + Cx – D
son idénticos.
Entonces:
• A = 5
• B = 3
• C = –6
• –D = –9 ⇒ D = 9
Idénticamente nulo Sus coeficientes son igualesa cero.
P(x) = (a – 5)x3 – (b + 2)x2 + c – 6 ≡ 0
Entonces:
a – 5 = 0 ; –(b + 2) = 0 ; c – 6 = 0
 a = 5 b = –2 c = 6
 
Ejemplo:
Encuentra el valor de a + b + c, si 3x2 – 6x – 5 ≡ a(x – 2)2 + b(x – 2) + c.
Resolución:
En los polinomios idénticos hacemos que x = 3
Entonces: 3 · 32 – 6 · 3 – 5 = a(3 – 2)2 + b(3 – 2) + c
 27 – 18 – 5 = a + b + c ⇒ a + b + c = 4
El valor de a + b + c es 4.
Exponentes 
consecutivos desde 
el mayor hasta el T.I.
Exponentes 
consecutivos desde 
el T.I. hasta el mayor.
Import a nt e
Obs e rva
Si:
P(x) ≡ Q(x)
Entonces:
V.N.[P(x)] = V.N.[Q(x)]
El polinomio es 
completo y ordenado 
en forma decreciente 
(descendente).
El polinomio es 
completo y ordenado 
en forma creciente 
(ascendente).
P(x) = 5x3 + x2 – 2x1 + 7x0
P(x) = 6x0 + 2x1 – x2 + x3
9 + 5
14
9 + 2
11
8 + 9
17
mayor
5 + 10
15
Entonces:
G.A.(A) = 14
Entonces:
G.A.(B) = 17
Grado absoluto (G.A.)
• De un monomio: Se determina sumando los exponentes de sus variables.
• De un polinomio: Es el mayor grado absoluto de los términos del polinomio.
Ejemplos:
a) A(x; y) = 11x9y5 b) B(x; y) = 7x9y2 + 7x8y9 – 13x5y10 
23MateMática DELTA 3 - álgebra
Calcula m · n si el polinomio P es de grado 20, y el 
grado relativo a x es 8.
P(x; y) = xm + 1yn – 2 + 2xm + 2yn – 1 – 7xm + 3yn – 2
Resolución:
En el polinomio
P(x; y) = xm + 1yn – 2 + 2xm + 2yn – 1 – 7xm + 3yn – 2
Determina el valor de M = P(Q(1)) + Q(P(1)), dados 
P(x) = 3x + 7 ∧ Q(x) = 3x + 2.
Resolución:
Tenemos:
 Q(x) = 3x + 2 P(x) = 3x + 7
 x = 1: Q(1) = 3 · 1 + 2 x = 1: P(1) = 3 · 1 + 7
 Q(1) = 5 P(1) = 10
Entonces:
M = P(Q(1))+ Q(P(1)) ⇒ M = P(5) + Q(10)
 P(x) = 3x + 7 Q(x) = 3x + 2
x = 5: P(5) = 3 · 5 + 7 x = 10: Q(10) = 3 · 10 + 2
 P(5) = 22 Q(10) = 32
Luego:
M = P(5) + Q(10) = 22 + 32
Si el polinomio P(x) = xm – 1 + xn – 2 + m – n, se 
encuentra ordenado y completo, indica el valor de 
m + n.
Resolución:
Observamos que el polinomio está ordenado en 
forma decreciente (termina con el T.I.).
Entonces: xm – 1 + xn – 2 + (m – n)
• n – 2 = 1 ⇒ n = 3
• m – 1 = 2 ⇒ m = 3
Piden: m + n = 3 + 3 = 6
1
2
3
Halla la suma de coeficientes del polinomio 
homogéneo P(x; y) = m2xmm + nx2y2 + mxyn.
Resolución:
Tenemos el polinomio homogéneo:
P(x; y) = m2xmm + nx2y2 + mx1yn
mm = 2 + 2 = 1 + n
Entonces:
• mm = 4 ⇒ mm = 22 ⇒ m = 2
• n + 1 = 4 ⇒ n = 3
Piden:
m2 + n + m = 22 + 3 + 2 = 9
Dada la expresión algebraica P, calcula el valor 
de P(3).
P 1x1 
– = 4x2 – 2x – 5 
Resolución:
Hacemos:
1 – 1x = 3 ⇒ –2 = 
1
x ⇒ x = 
–1
2
Luego:
P(3) = 4 –1
2
2
 – 2 –1
2
 – 5
 = 4 · 14 + 2 · 
1
2 
– 5
 = 1 + 1 – 5 
 = –3
4
6
m + 1+ n – 2
m + n – 1
Tenemos:
G.R.(x) = m + 3 = 8 ⇒ m = 5
G.A.(P) = m + n + 1 = 20 ⇒ 5 + n + 1 = 20 ⇒ n = 14
Piden : m · n = 5 · 14 = 70
m + 2 + n – 1
m + n + 1
m + 3 + n – 2
m + n + 1
Rpta. 70
Rpta. 9
Sea P(x; y) = nxn – 10 + 13x2y
n
3 – 5y14 – n un 
polinomio, descubre el valor de n.
Resolución:
Sabemos que los exponentes en un polinomio son 
enteros positivos:
n – 10 ≥ 0 ; 14 – n ≥ 0 ; n = múltiplo de 3
 n ≥ 10 n ≤ 14
Los posibles valores de n son:
n = {10; 11; 12; 13; 14}
Elegimos el valor de n que sea múltiplo de 3.
Por lo tanto, n = 12.
5
Rpta. 12
Rpta. –3
Rpta. 54
Rpta. 6
Ejercicios resueltos
24
Determina el valor de M = a · b · c, siendo el polinomio 
P idénticamente nulo. 
P(x) = (a + b – 5)x2 + (b + c – 4)x + c + a – 7
Resolución:
Sabemos que en un polinomio idénticamente nulo 
los coeficientes son iguales a cero:
Entonces: a + b – 5 = 0 ⇒ a + b = 5 (1)
 b + c – 4 = 0 ⇒ b + c = 4 (2)
 c + a – 7 = 0 ⇒ c + a = 7 (3)
(1) + (2) + (3): 2(a + b + c) = 16 ⇒ a + b + c = 8 (4)
(1) en (4): 5 + c = 8 ⇒ c = 3
(2) en (4): a + 4 = 8 ⇒ a = 4
(3) en (4): 7 + b = 8 ⇒ b = 1
Piden: a · b · c = 4 · 1 · 3 = 12
Si a(x – by + a) + b(x – ay + b) ≡ 2x + 4y + 8 para 
todo x, y; encuentra el valor de H. 
H = 1a + 
1
b + 
a
b + 
b
a
Resolución:
Nos piden: H = 
(b + a) + (a2 + b2)
ab
Tenemos:
ax – aby + a2 + bx – aby + b2 ≡ 2x + 4y + 8
(a + b)x – 2aby + a2 + b2 ≡ 2x + 4y + 8
Entonces:
a + b = 2; –2ab = 4 ⇒ ab = –2; a2 + b2 = 8
Luego:
 H = 2 + 8–2 = 
10
–2 = –5
Sean los polinomios A(x; y) = 2x + 3y – 2;
P(x) = 2x2 – 15; además M(x) = A(P(3); 3x – 1), 
halla el término independiente de M(x).
Resolución:
Hallamos:
P(3) = 2 · 32 – 15 = 3
M(x) = A(3; 3x – 1) = 2(3) + 3(3x – 1) – 2
Luego:
M(x) = 9x + 1, piden M(0) = 1
7
8
9
Sea un polinomio, tal que P(x) = P(x – 5) + 2 y 
P(5) = 0. Descubre el valor de J = P(15).
Resolución:
Tenemos:
 P(x) = P(x – 5) + 2
x = 10: P(10) = P(5) + 2 +
x = 15: P(15) = P(10) + 2
 P(15) = P(5) + 2 + 2
 P(15) = 0 + 4
Calcula el valor de R = m · n · p, si el grado de 
homogeneidad del polinomio P es 23. 
P(x; y; z) = xm – 1ypzn – 1(xn + 4 + x2y9 + z2m + 1) 
Resolución:
Dado el polinomio homogéneo, observamos que:
 n + 4 = 2 + 9 = 2m + 1
Luego: n + 4 = 11 ⇒ n = 7
 2m + 1 = 11 ⇒ m = 5
Entonces:
P(x; y; z) = x4ypz6(x11 + x2y9 + z11)
 = x4 + 11ypz6 + x4 + 2yp + 9z6 + x4ypz6 + 11
 = x15ypz6 + x6yp + 9z6 + x4ypz17
• 15 + p + 6 = 6 + p + 9 + 6 = 4 + p + 17 = 23
 21 + p = 23 ⇒ p = 2
Piden:
R = m · n · p = 5 · 7 · 2
Si P(x + 2) = 2x + 5 ∧ P(Q(x) + 1) = 4x + 11, 
determina Q(x).
Resolución:
En el polinomio: P(x + 2) = 2x + 5
Hacemos: x + 2 = a ⇒ x = a – 2
Luego: P(a) = 2(a – 2) + 5
 = 2a + 1
Tenemos:
 P(Q(x) + 1) = 4x + 11
2[Q(x) + 1] + 1 = 4x + 11
 2Q(x) + 3 = 4x + 11
 2Q(x) = 4x + 8
 Q(x) = 2x + 4
10
11
12
Rpta. 12
Rpta. 4
Rpta. 70
Rpta. 2x + 4
Rpta. –5
Rpta. 1
25MateMática DELTA 3 - álgebra
 Sean:
 S(x; y) = 7x5y4
 I(x; y) = 3x3y8 – 4x6y7 + 8x8y2 
 R(x; y) = 11x10y8 + 5x2y13 – x12y2z6 
 Completa el cuadro.
 Marca con un según corresponda.
 Sean:
 C(x; y) = 5x4y2
 M(x; y) = 3x5y2 – 4x4y8 + 8x2y9 
 E(x; y) = 4x7y4 + 5x3y12 – x6y11z2 
 Completa el cuadro.
1
3 4
 Marca con un según corresponda.2
Polinomios
Grado Valor numérico Especiales
Ordenado
completo
Idénticamente 
nulo
Homogéneo
Términos semejantes
Idénticos
G.R.
Monomio Polinomio
G.A.
Exponente de 
la variable.
Mayor exponente 
de la variable.
Los exponentes de las variables 
son enteros positivos
Valor del polinomio cuando sus 
variables son reemplazadas con 
números.
Suma de coeficientes de P(x): P(1)
Término independiente (T.I.) de 
P(x): P(0)
Exponentes consecutivos 
hasta / desde CERO
Coeficientes igual a cero
Términos de igual grado
Igual valor numérico
Tienen igual parte literal 
(variables y sus respectivos 
exponentes iguales).
⇒ Se suman o restan
Suma de 
exponentes.
Mayor suma de 
exponentes.
Expresión racional
Irracional
Entera Fraccionaria
5
4 xy
2 – 5xy4
3x2y + 5xy2
 4x + 4x – 5
2 + x2 – 5x4
x + 2
 x
 – 3
Expresión racional
Irracional
Entera Fraccionaria
2xy
4 – 3xy
5
2
 y
 – y + 3xy
x2y4 – 7xy 
3x4 + 7x3 – 1
4x – 6x + 1
C(x; y) M(x; y) E(x; y)
G.R.(x)
G.R.(y)
G.A.
S(x; y) I(x; y) R(x; y)
G.R.(x)
G.R.(y)
G.A.
Síntesis
Modela y resuelve 
26
 Halla el valor de N, dado el polinomio
 P(x; y) = 6x5y3 + x6y2 – 3x4y2 – 2y9 + 7x2y2
 N = G.R.(x) + G.R.(y) + G.A.(P)
 Dado el polinomio P completo y ordenado, 
determina el valor de abc. 
 P(x) = 3xa – 3 + axb – 4 + 2xc – 1 + 5abc 
 Dado el polinomio Q completo y ordenado, 
determina el valor de nmp. 
 Q(x) = 5xn – 2 + nxm – 3 + mxp – 3 + 2m + n
5
 Sea F(x) = 5x – 1; calcula el valor de N. 
 N = F(F(F(0))) + F(0,2)
7
9
 Sea P(x) = 4x – 2; calcula el valor de A.
 A = P(P(P(1))) + P(0)
8
10
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
 Halla el valor de H, dado el polinomio
 Q(x; y) = 8x5y3 + x6y8 – 7x2y10 – 2y7 + 7x4y3
 H = G.R.(x) + G.R.(y) + G.A.(Q)
6
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
27MateMática DELTA 3 - álgebra
 Encuentra la suma de los coeficientes del 
polinomio homogéneo P.
 P(x; y) = mnx4ny3n + 2 + 2nx2my5n + 4 – mx3my5n + 1
 Sabiendo que 3x + 5 ≡ a(x + 2) + b(x + 1); 
descubre el valor de ab.
 Sabiendo que 7x – 5 ≡ m(x + 1) + n(x – 2); descubre 
el valor de mn.
 Si el polinomio es ordenado y completo 
 P(x) = (n – 2)xn – 9y + (n – 3)xn – 8y2 + (n – 4)xn – 7y3 + ...
 Halla el número de términos.
 Si el polinomio es ordenado y completo
 Q(x) = (a – 3)xa – 7 + (a – 4)xa – 6 + (a – 5)xa – 5 + ...
 Halla el número de términos.
 Encuentra la suma de los coeficientes del 
polinomio homogéneo Q.
 Q(x; y) = abx3ay2a + 2 + 2ax3by3a + 3 + bx2by3a + 6
11
13
15
12
14
16
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
28
 Halla a + b + c dado que el polinomio P(x) ≡ 0.
 P(x) = ax(x + 1) + bx(x – 1) + c(x + 1) + 1
 Calcula m + n + p dado que el polinomio Q(x) ≡ 0.
 Q(x) = mx(x + 2) + nx(x – 1) + p(x + 2) – 4
 Dados los polinomios A y B, determina B(x – 3). 
 A(B(x) + 2) = 8x + 1 ∧ A(x + 2) = 2x + 5
 Dados los polinomios P y Q, determina Q(x + 2).
 P(Q(x) + 2) = 6x + 9 ∧ P(x – 3) = 2x + 1
17
19
18
20
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
29MateMática DELTA 3 - álgebra
2
3
4
 A Ia; IIb; IIIc; IVe 
 B Ib; IIa; IIIe; IVc 
 C Ib; IIa; IIId; IVe
 D Ic; IIe; IIIa; IVd 
 E Id; IIa; IIIb; IVe
 A 7 B 9 C 10
 D 11 E 8
 A VFVF B FFVV C VVVV
 D VVFV E FFFV
 A –8 B –12 C 4
 D 9 E –10
1
 A 12 B 15 C 13
 D 14 E 16
 A 28 B 29 C 30
 D 31 E 33
5
 A 13 B 12 C 10
 D 9 E 6
Dados los polinomios.
Q(x; y) = 5x2y2 – 3x4y3 – 7y5 
R(x; y) = 2x3y5 + 4x7y7 – 5y10
Relaciona.
I.El G.A.(Q) es:
II. El G.R.(x) de Q(x; y) es:
III. El G.A.(R) es:
IV. El G.R.(y) de R(x; y) es:
a. 4
b. 7
c. 10
d. 12
e. 14
Determina el término independiente del polinomio Q.
Q(x) = (x2 + x + 1)2 + 3(4x – 2) + 7x – 5
Sean los polinomios P(x) = x2 + 2x – 1 y Q(x) = 3x + 1; 
halla el valor de H = P(Q(0)) + Q(P(1)).
Indica el valor de verdad de las proposiciones:
( ) P(x) = x4 – x + 5x2, es un polinomio
( ) Q(x) = 3x + x2 + 5, es un polinomio mónico.
( ) R(x) = 2x–1 + 5x – 7x2, es una expresión
 algebraica irracional.
( ) H(x) = 1 + 2x + 3x2 + 4x3, es un polinomio 
 completo y ordenado.
Si el G.A. de P(x) = 3x2n – 3 + 7x2n + 5 – 6 es 29, 
encuentra el valor de n.
Calcula la suma de coeficientes del polinomio P.
P(x) = (x – 3)2(x + 1)3 – 2x + 1
Si el polinomio es completo y ordenado, descubre 
el valor de P(2).
P(x) = axa + 1 + bxb + 1 + cxc + 3 + abc
6
7
Practica y demuestra
Nivel I
30
9
10
11
12
Dado el polinomio homogéneo P, halla el valor 
de m + n.
P(x; y) = 2xm
3 – 1 + 3x5y2 + 9xny
Si la suma de coeficientes del polinomio F es 10, 
encuentra su término independiente.
F(x + 2) = x2 + 6x + n
Calcula el valor de A + B para que con cualquier 
valor de x se cumpla la equivalencia.
A(x + 4) + B(2x + 3) ≡ 8x + 27
En el polinomio homogéneo P, descubre el valor 
de n + m.
P(x; y) = x3yn + 2 – xnym – 1 – 3xym + 3
13 Determina la expresión equivalente de H = P(3x).
P x + 1
2
 = 3x + 4
Dado el polinomio P de grado 8; halla G.R.(x) si 
G.R.(y) es 5.
P(x; y) = axa + 2yb – 2 + bxbya + b
14
Dado los términos semejantes P y Q, encuentra 
el valor de a – b.
P(x; y) = 2x27yb + a ∧ Q(x; y) = 0,5xaay7 
15
 A 6 B 7 C 8
 D 9 E 10
 A 5 B 7 C 10
 D –7 E –5
 A 11 B 10 C 9
 D 7 E 8
 A 1 B 2 C 3
 D 5 E 7
 A 4 B 3 C 7
 D 5 E 6
 A 1 B 7 C 4
 D 0 E –1
 A 18(x + 1) 
 B 18x + 1 
 C 12x + 1 
 D 15x – 1 
 E 6x – 1 
Nivel II
 A –36 B 12 C 36
 D –12 E 8
Determina el valor de A – B, si dado el polinomio 
P(x) = (x – 2)(x + 1)(x + 2)(x + 3)
Se tiene que:
A: suma de coeficientes de P(x).
B: término independiente de P(x).
8
 A 18(x + 1) B 18x + 1
 C 12x + 1 D 15x – 1
 E 6x – 1
31MateMática DELTA 3 - álgebra
 A 3 B 9 C 6
 D 5 E 8
 A 1 B 2 C 3
 D 0 E 4
 A 11 B 33 C 44
 D 22 E 55
Si la expresión Q(x) = (n – 2)xn + 1 + 3x3n – 2 + x2
se reduce a un monomio, calcula el valor de Q(1).
Si en el polinomio Q(x) = 4x2 + 5x + 3n + 1, el término 
independiente es 7, descubre el valor de Q(n).
Si el siguiente polinomio es ordenado y mónico, 
P(x) = (n – 5)xn + 1 + 3x4 + 2x + n + 3, entonces 
cuál será el valor del término independiente.
16
17
18
 A 4 B 5 C 7
 D 11 E 13
 A a2 B a C a + 3
 D 3 E 1
19
20
22
21
Sabiendo que P(x) = (x + 1)2 – 3x, determina E.
E = 
P(a – 1) – P(2)
a – 3
Calcula el valor de E = a + b + c, si los polinomios 
A, B son idénticos.
A(x) = 5x2 + 19x + 18 
B(x) = a(x – 2)(x – 3) + b(x – 3)(x – 1) + c(x – 1)(x – 2)
Si P(x + 1) = (2x + 1)n + nx2 + 3 es un polinomio 
donde T es su término independiente y S es la 
suma de sus coeficientes, encuentra el valor de n 
si T + S = 10.
Halla el valor de p + q + r, siendo idénticos los 
polinomios P(x; y) y Q(x; y).
 A 3 B 5 C 4
 D 2 E 6
 A 2 B 0 C –1
 D –4 E 4
P (x; y) = (p + q)x + (q – 2r)y
Q(x; y) = (r – 2)(x – 1)
Nivel III
23 Descubre el valor de f en la expresión 
matemática. 
f x
x – 1
 = (x – 1)2; x ≠ 1
24 Determina la relación entre m y n en la siguiente 
identidad.
x3 + bx + b ≡ x3 + (mx + n)2
 A 
1
x + 1
2
 B x2 C (x –1)n
 D 1
x2
 E 
1
x – 1
2
 A m3 = n B 2m3 = n C m3n = 2
 D m = 2n3 E 2m = n
x – 1
x
32
Tema
Productos notables
Son multiplicaciones conocidas en las que no se realizan operaciones previas de la 
multiplicación, entre ellas tenemos a:
Producto de binomios con término común
Producto de suma por diferencia
Binomio en suma al cuadrado
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + a . b
(x + y)(x – y) = x2 – y2
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Ejemplos:
Ejemplos:
Ejemplos:
Efectúa
a) (x + 7)(x + 9) = x2 + (7 + 9)x + (7)(9) = x2 + 16x + 63
b) (x + 3)(x + 2 3) = x2 + ( 3 + 2 3)x + 3 . 2 3 = x2 + 3 3x + 6
Efectúa
a) (3x – 2y)(3x + 2y) = (3x)2 – (2y)2 = 9x2 – 4y2
b) (5n2 + 3m3)(5n2 – 3m3) = (5n2)2 – (3m3)2 = 25n4 – 9m6
Efectúa
a) (3a + 5b)2 = (3a)2 + 2(3a)(5b) + (5b)2 = 9a2 + 30ab + 25b2
b) (x2z3 + 2)2 = (x2z3)2 + 2(x2z3)(2) + (2)2 = x4z6 + 4x2z3 + 4
El área del rectángulo
• Multiplicamos base por altura: (x + a)(x + b)
• Sumamos las áreas: x2 + bx + ax + ab
Entonces:
El área:
• Del rectángulo antes del traslado:
 (x + y)(x – y)
• Después del traslado: x2 – y2
Entonces:
El área del cuadrado
• Multiplicamos lados: (x + y)(x + y)
• Sumamos las áreas: x2 + xy + yx + y2
Tenemos:
x a
x
b
x2 ax
bx ab
y2
xy
xy
x2
y
x
y x
y2
yx x
x=x – y
Obse rva
Determina el valor de:
A = 3012 . 3007 – 30092
Resolución:
Hacemos: x = 3009
A = (x + 3)(x – 2) – x2
A = x2 + x – 6 – x2
A = x – 6
Luego:
A = 3009 – 6 = 3003
Determina el valor de:
L = 126 . 114
Resolución:
L = (120 + 6)(120 – 6)
L = 1202 – 62
L = 14 400 – 36
L = 14 364
ab = (a2)(2ab)(b2)
Ejemplo
 UM C D U
542 = 2 9 1 6
U : 42 = 16
D : 2 . 4 . 5 + 1 = 41
C : 52 + 4 = 29
UM: 2
2
3
33MateMática DELTA 3 - álgebra
Binomio en diferencia al cuadrado
Identidades de Legendre
Binomio suma al cubo
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
(x + y)2 – (x – y)2 = 4xy (x + y)2 + (x – y)2 = 2(x2 + y2)
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y)
Área del cuadrado:
(x – y)2 = (x – y)(x – y) Aplicamos la propiedad distributiva
 = x . (x – y) – y . (x – y)
 = x2 – xy – yx + y2
Entonces:
Sea:
E = ( 8 + 2)2 – ( 8 – 2)2
Entonces:
E = 4 . 8 . 2
E = 4 . 8 . 2
E = 4 . 4 = 16
Volumen del cubo:
• Elevamos al cubo la arista x + y: (x + y)3
• Sumamos los volúmenes: x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Entonces:
También:
Ejemplos:
Efectúa
Efectúa
Ejemplos:
a) (3x – 7)2 = (3x)2 – 2 . (3x) . (7) + 72 = 9x2 – 42x + 49
b) 2x – 1
x
 
2
 = (2x)2 – 2 . 2x . 1
x
 + 1
x
 
2
 = 4x2 – 4 + 1
x2
a) (3x + 2)3 = (3x)3 + 3(3x)22 + 3(3x)22 + 23 = 27x3 + 54x2 + 36x + 8
b) (a2 + a–1)3 = (a2)3 + 3(a2)2(a–1) + 3(a2)(a–1)2 + (a–1)3 = a6 + 3a3 + 3 + 1
a3
x – y
x – y
Sea:
L = ( 7 + 5)2 + ( 7 – 5)2
Entonces:
L = 2( 72 + 52)
L = 2(7 + 5)
L = 24
x3
3x2y 3xy2
y3
y
x
x y
y
x
A(x) . B(x) = C(x)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2)
×
Ejemplo:
Halla:
H = ( 3 + 2)4 – ( 3 + 2)4
Resolución: 
H = 8 . 3 . 2( 32 + 22)
H = 16 3(3 + 4)
H = 112 3
factores producto
Recu e rda
Obs e rva
34
Recu e rda
Obs e rva:
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) 
Ejemplo:
x3 + 23 = (x + 2)(x2 – 2x + 42)
(x + y)3 + (x – y)3 = 2x(x2 + 3y2)
(x + y)3 – (x – y)3 = 2y(y2 + 3x2)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Ejemplo:
n3 – 13 = (n – 1)(n2 + n . 1 + 12)
Binomio diferencia al cubo
Producto de binomio por trinomio
Trinomio al cuadrado
(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
(x – y)3 = x3 – y3 – 3xy(x – y)
(x + y)(x2 – xy + y2) = x3 + y3
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
(x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3
Volumen del cubo:
• Elevamos al cubo la arista x – y: (x – y)3
• Restamos al volumen de arista x los volúmenes de los prismas amarillos y del prisma 
marrón:
 x3 – (3xy(x – y) + y3)
Entonces:
Hallamos el área:
• Del cuadrado de lado x + y + z:
 (x + y + z)2
• Sumamos las áreas:
 x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
Entonces:
Efectuamos: (x + y)(x2 – xy + y2)
aplicando la propiedad distributiva
x(x2 – xy + y2) + y(x2 – xy + y2)
x3 – x2y + xy2 + yx2 – xy2 + y3
x3 + y3
Efectuamos: (x – y)(x2 + xy + y2)
aplicando la propiedad distributiva
x(x2 + xy + y2) – y(x2 + xy + y2)
x3 + x2y + xy2 – yx2 – xy2 – y3
x3 – y3
También:
Ejemplos:
Efectúa
Efectúa
Efectúa
Ejemplos:
Ejemplos:
a) (5a – 2)3 = (5a)3 – 3(5a)2 . 2 + 3(5a)22 – 23 = 125a3 – 150a2+ 60a – 8
b) (x3 – 2x–1)3 = (x3)3 – 3(x3)2(2x–1) + 3(x3)(2x–1)2 – (2x–1)3 = x9 – 6x5 + 12x – 8
x3
a) (x + 2)(x2 – 2x + 4) = x3 + 23 = x3 + 8
b) (a – 3)(a2 + 3a + 9) = a3 – 33 = a3 – 27
a) (x + y + 4)2 = x2 + y2 + 42 + 2xy + 2x4 + 2y4 = x2 + y2 + 16 + 2xy + 8x + 8y
b) (x + x + 2)2 = x2 + x2 + 22 + 2 . x . x + 2 . x . 2 + 2 . x . 2 = x2 + 5x + 4 + 2x x + 4 x
x – y
(x – y)3
y3
x – y
y
x
x
y
x
x – y
z
y
x
x y z
xz
xy
xx
yz
yy
xy
zz
yz
xz
35MateMática DELTA 3 - álgebra
Trinomio al cubo
Identidades condicionales
Identidad de Gauss
(x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 + 3(x + y)(y + z)(x + z)
(x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 + 3(x + y + z)(xy + xz + yz) – 3xyz
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz)
Hacemos x + y = n.
(x + y + z)3 = (n + z)3 Binomio al cubo
 = n3 + 3n2z + 3nz2 + z3
Pero: n3 = (x + y)3 ⇒ n3 = x3 + y3 + 3xy . n
Luego:
(x + y + z)3 = x3 + y3 + 3xy . n + 3n2z + 3nz2 + z3 Factor común: 3n
 = x3 + y3 + z3 + 3n(xy + nz + z2) Regresamos a n = x + y
 = x3 + y3 + z3 + 3(x + y)(xy + (x + y)z + z2) Desarrollamos
 = x3 + y3 + z3 + 3(x + y)(xy + xz + yz + z2) Agrupamos
 = x3 + y3 + z3 + 3(x + y)(x(y + z) + z(y + z))
 = x3 + y3 + z3 + 3(x + y)(y + z)(x + z) Expresión abreviada
Si x + y + z = 0, entonces se cumplen las siguientes relaciones:
I. x2 + y2 + z2 = –2(xy + xz + yz)
II. x3 + y3 + z3 = 3xyz
III. (xy + xz + yz)2 = (xy)2 + (xz)2 + (yz)2
Entonces:
También:
x + y + z
x + y + z
x + y + z
Obse rva
Obs e rva
Desarrolla:
(x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
Ordenamos para
multiplicar:
(x2 + 1)(x2 + 1) – x2
(x2 + 1)2 – x2
x4 + 2x2 + 1 – x2
x4 + x2 + 1
Identidad de Argand:
(x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2)
Es igual a: 
x4 + x2y2 + y4
Si
(a – 3)2 + (b – 1)2 = 0,
entonces:
a – 3 = 0 ⇒ a = 3
b – 1 = 0 ⇒ b = 1
Elevamos al cubo el trinomio (x + y + z).
36
 Desarrolla la expresión H.1
H = ( n + 4)( n – 3) – ( n – 2)( n – 4)
R = (x + 3y)2 – (x + 2y)(x – y) – ( xy + y)( xy – y)
 M = a2 + a3 + b3 + b2
H = ( n + 4)( n – 3) – ( n – 2)( n – 4)
 • ( n + 4)( n – 3) = n2 + (4 – 3) n + (4)(–3)
 • ( n – 2)( n – 4) = n2 + (–2 – 4) n + (–2)(–4)
H = (n + n – 12) – (n – 6 n + 8)
 = n + n – 12 – n + 6 n – 8
 = 7 n – 20
Resolución:
Aplicamos producto de binomios con término común 
y reducimos términos:
Desarrollamos:
• (x + 3y)2 = x2 + 2(x)(3y) + (3y)2
 = x2 + 6xy + 9y2
• (x + 2y)(x – y) = x2 + (2y – y)x + (2y)(–y)
 = x2 + xy – 2y2
• ( xy + y)( xy – y) = (xy)2 – y2
 = xy – y2
• (a + b)2 = 52
 a2 + 2ab + b2 = 25; pero: ab = 2
 a2 + 2 . 2 + b2 = 25 ⇒ a2 + b2 = 21
• (a + b)3 = 53
 a3 + b3 + 3ab(a + b) = 125
 2 5
 a3 + b3 + 3 . 2 . 5 = 125 ⇒ a3 + b3 = 95
Piden:
M = 21 + 95 = 116
Luego:
R = x2 + 6xy + 9y2 – (x2 + xy – 2y2) – (xy – y2)
 = x2 + 6xy + 9y2 – x2 – xy + 2y2 – xy + y2
 = 4xy + 12y2
 Si x3 – y3 = 29, x – y = 2; calcula el valor de xy.4
Rpta. 7 n – 20
Rpta. 4xy + 12y2
Rpta. 116
 Reduce la expresión R.2
Resolución:
Resolución:
 Si a + b = 5, ab = 2; determina el valor de M.3
Resolución:
Elevamos al cubo x – y = 2.
 (x – y)3 = 23
x3 – y3 – 3xy(x – y) = 8
 29 2
 29 – 3xy(2) = 8
 21 = 6xy
 Halla el valor de E.5
E =
E =
 = = 2
xy = = 3,5=
(n + 2)2 – (n – 2)2
(n + 1)2 – (n – 1)2
(n + 2)2 – (n – 2)2
(n + 1)2 – (n – 1)2
4 . n . 2
4 . n . 1
21
6
7
2
Resolución:
Aplicamos la identidad de Legendre:
 (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Entonces:
Entonces:
 Sea P(x) = (x + 1)(x – 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1),
 encuentra el valor numérico de P(x) para x.
 x = 4 + 15 – 4 – 15
6
Resolución:
Elevamos al cuadrado:
x2 = ( 4 + 15 – 4 – 15)2
 = 4 + 15 
2
 – 2 4 + 15 . 4 – 15 + 4 – 15
2
 = 4 + 15 – 2 (4 + 15)(4 – 15) + 4 – 15
 = 8 – 2 16 – 152 = 8 – 2(1) = 6
Multiplicamos convenientemente:
P(x) = (x + 1)(x – 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
P(x) = (x3 + 1)(x3 – 1) = x6 – 1
Luego N = (x2)3 – 1
 = (6)3 – 1 = 216 – 1 = 215
Rpta. 215
Rpta. 2
Rpta. 3,5
Ejercicios resueltos
37MateMática DELTA 3 - álgebra
 Si a4 + a–4 = 34, descubre el valor positivo de N.
 N = a – a–1
 Si x2 + 4x + 1 = 0, halla el valor de C.
 C = x4 + x–4
 Si (x + y)2 = 4xy, encuentra el valor de E.
 Si se cumple 2x2 + y2 + 9 = 6x + 2xy, descubre el 
valor de M = 2x + 3y + 7.
 Si x – y = 5, xy = 2; determina el valor de H.
 Si x3 = y3, x ≠ y; calcula el valor de M.
7 10
11
12
8
9
Resolución:
Elevamos al cuadrado: N = a – a–1
 N2 = (a – a–1)2
 N2 = (a)2 – 2 . a . a–1 + (a–1)2 a . a–1 = 1
 N2 + 2 = a2 + a–2 Elevamos al cuadrado
(N2 + 2)2 = (a2 + a–2)2 a2 . a–2 = 1
(N2 + 2)2 = (a2)2 + 2 . a2 . a–2 + (a–2)2
(N2 + 2)2 = a4 + a–4 + 2
(N2 + 2)2 = 34 + 2
 N2 + 2 = 6 ⇒ N2 = 4
Luego: N = ± 2
Resolución:
Tenemos x2 + 1 = –4x.
Resolución:
Igualamos a cero y buscamos productos notables.
 2x2 + y2 + 9 – 6x – 2xy = 0
x2 – 6x + 9 + x2 – 2xy + y2 = 0
 (x – 3)2 + (x – y)2 = 0
Entonces: x – 3 = 0 ⇒ x = 3
 x – y = 0 ⇒ x = y
Luego:
M = 2 . 3 + 3 . 3 + 7 ⇒ M = 22
Elevamos al cuadrado:
 x + 
1
x
 
2
 = (–4)2 ⇒ x2 + 2 . x . 
1
x
 + 
1
x2
 = 16
x2 + 
1
x2
 = 14 Elevamos al cuadrado
 x2 + 
1
x2
 
2
 = 142 ⇒ (x2)2 + 2 . x2 . 
1
x2
 + 
1
(x2)2
 = 196
x4 + 
1
x4
 + 2 = 196 ⇒ C = 196 – 2 ⇒ C = 194
Resolución:
Elevamos al cubo x – y = 5
 (x – y)3 = 53
 x3 – y3 – 3xy(x – y) = 125
 x3 – y3 – 3 . 2 . 5 = 125
 x3 – y3 = 125 + 30 = 155
Elevamos al cuadrado x – y = 5
 (x – y)2 = 52
 x2 – 2xy + y2 = 25
x2 + y2 – 2 . 2 = 25
 x2 + y2 = 25 + 4 = 29
Luego:
Resolución:
Tenemos x3 – y3 = 0
(x – y)(x2 + xy + y2) = 0
Entonces:
x – y = 0 ⇒ x = y no se cumple (x ≠ y)
x2 + xy + y2 = 0 ⇒ x2 + y2 = –xy
Piden:
= –4 ⇒ x + = –4
H =
M = = = = –3
x2 + 1
x
1
x
155
29
x2 + y2 – 2xy
xy
–xy – 2xy
xy
–3xy
xy
155
29
H =
x3 – y3
x2 + y2
E =
2xy + 5x2 – y2
4x2 – xy
Resolución:
Tenemos:
x2 + 2xy + y2 = 4xy
x2 – 2xy + y2 = 0
 (x – y)2 = 0 ⇒ x = y
Luego, en E reemplazamos y con x.
E =
 = = 2=
2xy + 5x2 – y2
4x2 – xy
2x . x + 5x2 – x2
4x2 – x . x
(2 + 5 – 1)x2
(4 – 1)x2
M =
(x – y)2
xy
Rpta. 2
Rpta. 194
Rpta. 2
Rpta. 22Rpta. –3
Rpta.
38
Resolución:Resolución:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
5
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 
(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
6
Si a + b + c = 0
• a3 + b3 + c3 = 3abc
• a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc)
10
Desarrolla los productos notables.
a) (3x – yz)2
b) (2x + 5)(2x – 3)
c) (2 y – 3)(2 y + 3)
d) (2x + 1)3
a) (4ab – c)2
b) (3n + 2)(3n – 5)
c) (3 x – 5)(3 x + 5)
d) (3x + 2)3
 
 
 
 
 
 
Desarrolla los productos notables.1 2
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab1
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) 
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
4
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
3
(a + b)(a – b) = a2 – b22
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)8
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)9
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 
7
• Si a2 + b2 + c2 = 0 ⇒ a = b = c = 0
• Si a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac ⇒ a = b = c
• Si a3 + b3 + c3 = 3abc ⇒ a = b = c ∨ a + b + c = 0
Productos 
notables
Síntesis
Modela y resuelve 
Rpta. Rpta.
39MateMática DELTA 3 - álgebra
 Halla el valor de M; si x + y = 9, xy = 7. 
 M = x2 + y2
 Reduce la expresión L.
 L = (z + 1)2 + (z + 2)2 – 2(z – 1)2
 Reduce la expresión E.
 E = (x + 2)2 + (x + 3)2 – 2(x + 1)2
3
 Determina el valor de H; si a + b = 3, ab = 7. 
H = a3 + b3
5
7Determina el valor de R; si x + y = 4, xy = 5.
R = x3 + y3
6
8
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
 Halla el valor de V; si a + b = 11, ab = 6. 
 V = a2 + b2
4
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
40
 Simplifica E.
E = 
( 20 + 5)2 – ( 20 – 5)2 
( 3 + 2)2 + ( 3 – 2)2
 Si a + 1b = 3, 
a
b = 2; calcula el valor de R.
 R = a2 + 1
b2
 Si x + 1y = 5, 
x
y = 3; calcula el valor de A. 
 A = x2 + 
1
y2
 Si n3 = 1, n ≠ 1; encuentra el valor de E. 
 E = n2 + n + 5
 Si a3 = 8, a ≠ 2; encuentra el valor de G. 
 G = a2 + 2a + 9
 Simplifica E.
E = 
( 3 + 12)2 – ( 3 – 12)2 
( 7 + 2)2 + ( 7 – 2)2
9
11
13
10
12
14
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
41MateMática DELTA 3 - álgebra
 Descubre el valor de H.
H = 1 + 80(92 + 1)(94+ 1)
16
 
 Dado 1b + 
1
a = 
4
a + b ; halla el valor de E.
 E = 
5a2 + b2
ab
 Dado 
1
x + 
1
y = 
4
x + y ; halla el valor de N.
 N = 
6xy2 + 4x2y
5y3
 Si x2 + 1 = x 6, determina el valor de H. 
 H = x6 + x–6
 Si a2 + 1 = a 3, determina el valor de Q.
 Q = a6 + a–6
 Descubre el valor de L.
L = 1 + 24(52 + 1)(54 + 1)
8
 
15
17
19
16
18
20
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
42
2
5
4
3
6
 A 9x + 13 B 12x + 1 C 10x – 5
 D 15x – 3 E 18x + 5
 A 12 B 9 C 19
 D 29 E 31
 A 2 B –2 C 0
 D 1 E –1
 A VVFF B VFVF C VFFV
 D FFFV E FVFV
 A 3(a + b)(a – b) B (3a – b)(a + 3b)
 C (3a + b)(a + 3b) D (3a – b)(a – 3b)
 E (3a + b)(a + b)
 A 2n B 4 C 1
 D 2 E n
1
 A 5 B 9 C 0
 D 3 E 4
 A 18 B 32 C 27
 D 9 E 45
 A 4 B 13 C 2
 D 8 E 6
Calcula el valor de xy, si se cumple que
x2 + y2 = 7
 x + y = 3
Reduce la expresión M.
 M = 
(2n + 1)2 – (2n – 1)2
(n + 2)2 – (n – 2)2
Simplifica la expresión J.
J = (x + 2)2 + (x + 3)2 – 2(x – 2)2
Determina el valor de H = (a – b)2, si a + b = 7 y 
ab = 5.
Encuentra un equivalente de L.
L = (2a + b)2 – (a – 2b)2
Indica el valor de verdad en cada caso.
( ) (x – 3)2 = x2 – 9
( ) (z + 1)(z – 1) = z2 + 1
( ) (n + 5)2 = n2 + 5n + 25
( ) (y – 1)(y2 + y + 1) = y3 – 1
Descubre el valor de N = a3 – b3, si a – b = 3 y 
ab = 2.
Halla el cuadrado de A = x – y; si x2 + y2 = 14, 
x + y = 5.
Calcula el resultado de E.
E = ( 9
3 – 5
3
)( 81
3
 + 45
3
 + 25
3
)
8
7
9
Nivel I
Practica y demuestra
10 Si b3 = 1 y b ≠ 1, determina el valor de P = b2 + b + 9.
 A 8 B 5 C 6
 D 7 E 0
43MateMática DELTA 3 - álgebra
11
12
13
Encuentra el valor de H. 
H = 17 + 1 ⋅ 17 – 1 + ( 5 + 1)( 5 – 1)
Halla el valor de M.
 M = 1 + 24(52 + 1)(54 + 1) 
Si x + y = 2 3; xy = 2, relaciona.
I. x2 + y2
II. x3 + y3
III. x4 + y4
IV. x – y
a. 12
b. 56
c. 8
d. 2
e. 12 3
14
 A 3
4
 B 1 C 5
6
 D 2 E 5
4
Reduce la expresión E.
E = 
( 7 + 3)2 + ( 7 – 3)2
( 8 + 2)2 – ( 8 – 2)2
Simplifica la expresión L.
L = (x + 1)3 + (x – 1)3 – 6x
Si 1
x
 + 1
2y
 = 4
x + 2y
; determina el valor de H.
H = 
x2
y2
 + x
y
Si x2 + 3x + 1 = 0, descubre el valor de K.
K = x4 + x–4
Calcula la raíz cuadrada de A.
A = (195 126)(195 120) + 9(65 046)(65 036) + 25
15
18
16
17
 A 4 B 8 C 12
 D 16 E 10
 A 25 B 925 C 125
 D 625 E 3075
 A Ia; IIe; IIIb; IVd 
 B Ic; IIe; IIId; IVb 
 C Ia; IIc; IIId; IVe
 D Ic; IIe; IIIb; IVd 
 E Ia; IIc; IIIb; IVe
 A 9 B 3 C 32
 D 11 E 15
 A 8 B 6 C 2
 D 10 E 4
 A 2x2 B 2x3 C x3
 D x2 E 6x
 A 38 B 31 C 35
 D 47 E 39Nivel II
44
22 Si la expresión matemática x3 + mx2 + nx + p, es 
un cubo perfecto, descubre el valor de R.
R = 
m2
n + 
m3
p
Indica el valor de E.
E = M + I2 + G
24
23
Determina el valor de C = (x2 – x + 3)(3y2 + 6y + 1), 
dado el sistema.
 x3 = –1; x ≠ –1
 y3 = 8; y ≠ 2
Siendo n > 0, calcula el equivalente de R.
21
20
Si a
b
 + b
a
 = 6; además:
• M = 
a2
b2
 + 
b2
a2
• I = 
a
b 
– 
b
a
• G = 
a3
b3
 + 
b3
a3
Si a + b = 8, a ≠ 5, b ≠ 7; halla el valor de N.
N = 
(a – 5)3 + (b – 7)3 + 64
(a – 5)(b – 7)
 A 248 B 264 C 258
 D 268 E 286
 A 64 B 0 C 12
 D 1 E 6
 A –22 B 2 C –11
 D 11 E 125
 A n B n + 1 C n – 1
 D 2n E 2n – 1
 A 31 B 30 C 27
 D 40 E 36
Nivel III
19 Si x2 + y2 + 17 = 2x + 8y; encuentra el valor de 
N = xy.
 A 1 B 3 C 5
 D 2 E 4
R = – 1
(n + 1)4 – (n – 1)4
(2n + 1)2 – (2n – 1)2
Tema
45MateMática DELTA 3 - álgebra
División algebraica
División de polinomio por polinomio
Al dividir dos polinomios D(x) llamado dividendo y d(x) llamado divisor, se obtienen otros 
dos polinomios Q(x) llamado cociente y R(x) llamado residuo, donde se cumple:
Propiedades de grados
1. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.
 G.A.(Q) = G.A.(D) – G.A.(d)
2. El grado máximo del resto es el grado del divisor disminuido en 1.
 G.A.(R)máx. = G.A.(d) – 1
Métodos para dividir polinomios
Para dividir dos polinomios, el dividendo y divisor deben ser completos y ordenados en 
forma decreciente. Entre los métodos más usados tenemos el de Horner, el de Ruffini 
y el método clásico.
6x3 + 7x2 + x + 3 2x2 + x – 1 2x2 + x – 1 6x3 + 7x2 + x + 3
 6x3 + 7x2 + x + 3 2x2 + x – 1
–6x3 – 3x2 + 3x 3x
 3x
2x2 + x – 1 6x3 + 7x2 + x + 3
 –6x3 – 3x2 + 3x
Luego:
 6x3 + 7x2 + x + 3 2x2 + x – 1
–6x3 – 3x2 + 3x 3x + 2
 4x2 + 4x + 3
 –4x2 – 2x + 2
 2x + 5
Luego:
 3x + 2
2x2 + x – 1 6x3 + 7x2 + x + 3
 –6x3 – 3x2 + 3x
 4x2 + 4x + 3
 –4x2 – 2x + 2
 2x + 5
Q(x) = 3x + 2
R(x) = 2x + 5
6x3
2x2
6x3
2x2
= 3x = 3x
D(x) d(x) 
R(x) Q(x)
D(x) ≡ d(x) . Q(x) + R(x)
Método clásico
1.º Escribe los polinomios en línea horizontal, uno a continuación de otro, utilizando el 
esquema.
2.º Divide el primer término del dividendo, entre el primer término del divisor, obteniendo 
el primer término del cociente.
3.º Este término, se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se pasan a 
restar con los correspondientes términos del dividendo.
4.º Divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor para 
así obtener el segundo término del cociente.
5.º Proceder como el paso 3, y así sucesivamente, hasta terminar la división.
Ejemplo:
Determina el cociente de la división (6x3 + 7x2 + x + 3) ÷ (2x2 + x – 1).
Método europeo Método americano
1 1
3 3
2 2
Recu e rda
Para dividir monomios
Q =
–24x8y5
8x3y
1.° Dividimos 
coeficientes
–24
8
= –3
2.° Dividimos variables
x8y5
x3y1
= x5y4
Luego, Q = –3x5y4
(+)
(+)
a
d
b
d
c
d
a + b + c
d
= (+)
+⇒ +
(–)
(+) = (–)
(–)
(–) = (+)
(+)
(–) = (–)
Dividendo
Dividendo
Residuo
Residuo
Cociente
D(x)
D(x)
R(x)
R(x)
d(x)
d(x)
Q(x)
Q(x)
divisor
divisor
Cociente
Donde:
D(x) ≡ d(x) . Q(x) + R(x)
Método europeo
Método americano
Para dividir polinomios
entre monomios
(aplicamos la
distribución)
4
46
Método de Horner
El método de Horner se utiliza para dividir polinomios cuyos divisores sean de grado 
mayor o igual a uno. 
Ejemplo:
Calcula el cociente y el residuo de la división.
Resolución:
• Ordenamos y completamos los polinomios.
• En el esquema de división:
6x7 + 7x4 + 2x5 + 9x6 + x3 + 4 – 6x
3x4 – x + 4x2 – 2
6x7 + 9x6 + 2x5 + 7x4 + x3 + 0x2 – 6x + 4
3x4 + 0x3 + 4x2 – x – 2
1
 3 6 9 2 7 1 0 –6 4
 0
–4
 1
 2
6 9 –6 –3 + + + +
 3 6 9 2 7 1 0 –6 4
 0 0 –8 2 4
–4 0 –12 3 6
 1 0 8 –2 –4
 2 0 4 –1 –2
2 3 –2 –1 16 8 –11 2
En columna los 
coeficientes del 
divisor d(x), el 
primero con el 
mismo signo y 
los restantes con 
signo contrario.
Separamos con una línea vertical tantas columnas 
como el grado del divisor a partir de la derecha.