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1LIBRO UNI ÁLGEBRA LEYES DE EXPONENTES ÁLGEBRA I. NOTACIÓN UTILIZADA A. Para potencia: na = potencia exponente base B. Para radicación: = raíz índice radicando n a II. DEFINICIONES 1. 0a R a 1 2. 1a R a a 3. a R n N / n 2 na a a a........ " n " fac tores 4. a R 0 n R 1 n 1a a 5 m nam n R / 3a R m mnna a III. TEOREMAS 1. m n m na a a 2. m m n n a a ;a 0 a 3. nm mna a 4. n n na b a b 5. n n n a a ;b 0 b b 6. m n mna a 7. n n na b a b 8. n n n a a ;b 0 b b IV. PROPIEDADES 1. an b p cpm mnpna b cx x x a 2. m m n 1 n n 1n n n "m" radicales x x... x a 3. n 1n nx x... x 4. n 1n nx x ... x DESARROLLO DEL TEMA LEYES DE EXPONENTES Exigimos más! 2LIBRO UNI ÁLGEBRA V. ECUACIÓN EXPONENCIAL A. Diversos ejemplos: x x 14x x x x 22 4;3 4 5 ; 3 81 B. Teorema: x ysi :a a x y;a 1 C. Propiedad: x ysi :a a x 0;a,b 1 Problema 1 Reducir: 1 1 12 3 2E 4 27 36 Resolución: 11 1 32 2E 4 27 36 11 13E 4 27 36 1 1 1E 2 3 6 1 1 1 3 2 1 6E 2 3 6 6 6 E 1 Problema 2 Simplificar: 3 3 3X . X . X ...90 factores x. x. x...44 factores Siendo x >1 Resolución: Sea "k" la expresión simplificada, luego 90 3 44 x k x 30 15 1122 x xk xx 4k x Problema 3 Determine x en: x 1 x 13 4 8 Resolución: x 1 x 1 2 33 2 2 2x 2 3x 33 2 2 2x 2 3x 3 3 22 2 V. ECUACIÓN EXPONENCIAL A. x a 1si :x a x a B. bx 1si : x b x b C. x yc csi :x y x y Por teorema: 2x 2 3x 3 3 2 4x 4 9x 9 5x 13 13x 5 Problema 4 Determine un valor de x en: 3 3xx 4 Resolución: 3 3 33xx 4 3x3x 4 3x3 2x 2 Por comparación: 3x 2 3x 2 problemas resueltos 3LIBRO UNI ÁLGEBRA EL POLINOMIO ÁLGEBRA I. DEFINICIÓN Es la expresión algebraica que se caracteriza por presentar a todas sus variables en el mumerador, estando cada una de estas afectada solo por exponentes natural. Son ejemplos de polinomios: 3P x 2x 7x 4 4 2 2Q x; y 5x 3x y 5xy 27R x x 3x4 Obsevación: Todo númerador real es un polinomio en forma muy especial el cero, al cual llamaremos polinomio identicametne nulo. II. GRADO A. Grado absoluto (GA) B. Grado relativo (GR) * 2 7P x;y 5x y GR x 2;GR y 7;GA 2 7 9 * 3 2 2Q x; y 2x 5x y 4y GR x 3;GR y 2;GA 2 2 4 Obsevación: Todo número real diferente de cero tiene grado cero el cero carece de grado. III. POLINOMIOS ESPECIALES A. Polinomio homogéneo: * 4 3 2 2P x;y x 3xy 5x y B. Polinomio ordenado: * 2 10 17P x x 5x 4x * 5 3Q x x 2x x 1 C. Polinimio completo: * 2P x 2 x x * 3 2Q x 5x x x 10 Obsevación: En todo polinomio completo respecto a la variable x se cumple que: N° de términos = GR(x) +1 IV. EUCLIDEANO A. Forma general n n 1 n 2 n0 1 2P x a x a x a x ... a Donde: x = variable o ideterminada 0 1 2 na , a , a ,... a soncoeficientes n 0a x = término dominante, aquí 0a 0 yn 0a = coeficiente principal na = término independiente de x Obsevación: Un polinomio se dice literal si su grado mayor o igual que la unidad, de no ocurrir esto el polinomio es constante. B. Propiedades del polinomio literal P(x) * P(1) = suma de coeficientes * P(0) = términos independientes de x DESARROLLO DEL TEMA EL POLINOMIO Exigimos más! 4LIBRO UNI ÁLGEBRA III. POLINOMIOS MÓNICO: Es un plinomio literal que se encuentra en función de una sola variable, todos sus coeficientes son enteras y el princiapl es uno. Son polinomios mónicos: 5 2 2 P x x 2x x 10 Q x x 7x 4 Problema 1 ¿Cuántos polinomios de la forma n 7 n 10 nP x; y x nx y y existen? Resolución: Según la definición n 7 ,n 10 n deben ser números naturales, luego: 7 n 10 n 7 0 10 n 0 n 7 n 10 Como n tenemos: n = 7; 8; 9 y 10 existen cuatro polinomios Problema 2 Si P 2x 7 6x 1 . Determinar el polinomio P(7x + 2) Resolución: Según el polinomio dato. P 2x 7 6x 1 De acuerdo con en cambio de variable 2x 7 u 2x u 7 u 7x 2 u 7P u 6 1 2 P u 3 u 7 1 P u 3u 22 Finalmente el polinomio buscado es: P 7x 2 3 7x 2 22 P 7x 2 21x 6 22 P 7x 2 21x 28 Problema 3 Calcular mn si el polinomio: m 2 3 n 1P x, y x 5xy mny es homogéneo. Resolución: Por condición el polinomio dado es homogéno., luego se cumple: m 2 4 n 1 m 6 n 3 mn 18 Problema 4 Dado el siguiente polinomio mónico lineal: 2P x a 2 x a b 1 x 2a b Determine su término independiente. Resolución: Por ser un polinimio lineal se cumple que: a 2 0 a 2 ahora tenemos: P x 3 b x 4 b Por se un polinomio mónico se cumple que: 3 b 1 b 2 con lo cual tenemos: término independiente de x = 2 problemas resueltos 5LIBRO UNI ÁLGEBRA PRODUCTOS NOTABLES ÁLGEBRA I. CONCEPTO Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que tienen forma determinada, se pueden recordar fácilmente sin necesidad de efectuar la operación. II. TEOREMAS 1. Trinomio cuadrado perfecto • (a + b)2 a2 + 2ab + b2 • (a – b)2 a2 – 2ab + b2 Nota: 2n 2n(a - b) (b - a) Corolario: Identidad de Lengendre • (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) • (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab • (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2) 2. Diferencia de cuadrados • (a + b)(a – b) = a2 – b2 3. Desarrollo de un binomio al cubo • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 .... forma desarrollada • (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) .... forma abreviada • (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 .... forma desarrollada. • (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b) ... forma abreviada 4. Suma y diferencia de cubos • (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 • (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 5. Producto de multiplicar binomios con término común • (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab • (x + a)(x + b)=x3 + (a+b+c)x2 + (ab+bc+ac)x + abc 6. Desarrollo de un trinomio al cuadrado • (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) 7. Desarrollo de un trinomio al cubo • (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b+c)(a+c) • (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b+c) (ab+bc+ac)–3abc 8. Identidad de Argan’d • (a2m+ambn+b2n)(a2m–ambn+b2n) = a4m+a2mb2n+b4n Caso particular: (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1 9. Identidades de Lagrange • (a2+b2)(x2+y2) (ax+by)2+(ay–bx)2 • (a2+b2+c2)(x2+y2+z2) (ax+by+cz)2 + (ay–bx)2 + (az–(cx)2+(bz–cy)2 10. Identidades condicionales Si: a+b+c=0, se verifica: • a2+b2+c2=–2(ab+bc+ac) • a3+b3+c3=3abc III. PROPIEDAD Si a2+b2+c2=ab+ac+bc; a,b c a = b = c DESARROLLO DEL TEMA PRODUCTOS NOTABLES Exigimos más! 6LIBRO UNI ÁLGEBRA Problema 1 Si 1x x 5 . Calcular: 3 3x x Resolución: En la condición de plantea: 31 3 3 1 1 3 3 3 3 3 3 x x 5 x x 3 x.x x x 125 x x 3 1 5 125 x x 15 125 x x 140 Problema 2 Sabiendo que: x 12 7;y 7 10 z 10 12 Calcular: 3 3 3x y z xyz Resolución: Fácilmente podemos reconocer que: x + y +z = 0 Luego se cumple que: 3 3 3x y z 3xyz Finalmente tenemos: 3 3 3x y zE xyz 3xyzE xyz E 3 Problema 3 Si x, y,z ; tal que 2x y z 3 xy xz yz Calcular: 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 x y z 2x yzk x y x z y z Resolución: De la condición tenemos: 2 2 2 2 2 2 x y z xy xz yz 3 xy xz yz x y z xy xz yz Por propiedad tenemos: x = y = z Finalmente en "k" tenemos: 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 x y z 2x yzk x y x z y z x x x 2xk x x x 5xk x K 5 problemas resueltos7LIBRO UNI ÁLGEBRA división algebraica ÁLGEBRA I. DEFINICIÓN Dados dos polinomios llamados dividendo y divisor, es posible encontrar otros dos polinomio llamados cocientes y residuo, tal que verifiquen la siguiente identidad. x x x xD d Q R Donde: xD : es el dividendo xd : es el divisor xQ : es el cociente xR :es el resto o residuo A. Propiedades: 1. El grado del dividendo deberá ser mayor o igual que el grado del divisor. D d 2. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor. Q D d 3. El grado del resto o residuo, con respecto a la variable con la cual se efectúa la división, es menor que el grado del divisor. Por lo cual se deduce que, el máximo valor que puede tomar el grado del resto o residuo es igual al grado del divisor disminuido en uno. maxR d R d 1 B. Clases de cocientes Hay dos clases de cocientes. 1. Cociente Entero. Es el cociente propiamente dicho de la división. 2. Cociente Completo. Es una expresión fraccionaria que está compuesto por el cociente entero, por el residuo y por el divisor Se sabe que: x x x xD d Q R Dividiendo entre xd : x x x x x cociente entero Cociente Completo D R Q d d C. Teorema Si al dividendo y al divisor de una división se les multiplica por una misma expresión distinta de cero, entonces el resto o residuo también quedará multiplicado por dicha expresión. Sabemos que: x x x xD d Q R Multiplicando ambos miembros por xA : x x x x x x xA D A d Q A R Observación: Para efectuar la división entre polinomios se recomienda utilizar el método de Horner o para cierto caso especial la regla de Ruffini. DESARROLLO DEL TEMA DIVISIÓN ALGEBRAICA Exigimos más! 8LIBRO UNI ÁLGEBRA Problema 1 Calcular ab si la división es exacta 4 3 2 2 2x 5x x ax b x x 1 Resolución: Dada la ecuación: 1 2 - 5 1 a b - 1 2 - 2 2 1 7 - 7 - 10 10 2 - 7 10 0 0 En las columnas del residuo: a 7 10 10 b 10 0 a 17 b 10 ab 170 Problema 2 Si Q(x) es el cociente de dividir: 5x 2x 7 x 1 Resolución: Según la regla de Ruffini tenemos: 1 0 0 0 -2 7 x = -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 8 4 3 2Q x x x x x 1 Q 1 1 1 1 1 1 Q 1 3 Problema 3 Dertermine el resto de dividir: II. TEOREMA DEL RESTO A. Definición: Es una regla práctica que permite encontrar en forma directa el residuo de cierta división, consta de dos pasos. 1. Se iguala el divisor a cero y se despeja por transposición de términos la parte variable. 2. Se reemplaza el valor numérico de la parte variable en el polinomio dividendo, obtenido así el residuo de la división. Ejemplo: Determinar el residuo de dividir 4x 2x 7 x 1 a. x 1 0 x 1 b. 4D x x 2x 7 4R x 1 2 1 7 1 2 7 R x 10 Observación: El teorema del resto o teorema de Descartes en sus inicios solo se aplicaba cuando el divisor era un binimio de primer grado, hoy en día el divisor podrá ser un polinomio literal de grado arbitrario. III. DIVISIONES NOTALES A. Definición: Es una división entre binomios que presenta la siguiente forma. n nx y ;n / n 2 x y B. Cociente notable (C--N): Es el cociente de una división exacta. Ejemplo: La división: n nx y ;n / n 2 x y ¿Origina un cociente notable? Por el teorema del resto x - y = 0 x = 0 sea el dividendo: n n n n D x x y R x y y R x 0 n nx y SioriginaC N n / n 2 x y B. Propiedad: Si la división: m r a b x y x y origina un C - N se cumple: 1. El número de términos del C - N "n" verifica: m rn a b 2. En el C - N los exponentes de x disminuyen de "a" en "a", mientras que los de y aumentan en "b" en "b" problemas resueltos Exigimos más! DIVISIÓN ALGEBRAICA 9LIBRO UNI ÁLGEBRA 7 5 3 2 x 2x x x 1 x 1 Resolución: Según el teorema del resto: 2 2x 1 0 x 1 En el dividendo tenemos: 3 22 2 2D x x x 2 x x x x x 1 Reemplazando 2x por 1 R x x 2x x 1 R x x 1 Problema 4 Si la división: n 2 33 5 3 x y x y Origina un cociente notable. Calcular la suma de cifras del número que representa "n" Resolución: Según propiedad se cumple que : n 2 33 5 3 n 2 11 5 n 2 55 n 57 de cifras 12 10LIBRO UNI ÁLGEBRA factorización en ÁLGEBRA I. DEFINICIÓN Es el proceso mediante el cual un polinomio de coefic ientes enteros se transforma como la multiplicación de dos o más polinomios, también de coeficientes enteros. II. FACTOR PRIMO Es aquel polinomio literale que no se puede expresar como una multiplicación de otros polinomios literales. Ejemplo: * f(x) x2 – 4 no es primo, por que se puede expre- sar como (x – 2)(x + 2). * f(x) x – 2 es primo, por que no se puede factorizar. * f(x) 3x – 6 si es primo porque al obtener 3(x – 2) percatese que 3 es de grado cero. Se dice que la factorización se realiza en cuando los factores primos obtenidos presentan únicamente coefi- cientes enteros; mientras no se indique alguna aclara- ción la factorización solo se realiza en . Observación: * Al factor primo también se le llama polinomio irreductible. III. CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN A. Factor común Se denomina así al factor repetido en varios térmi- nos, para lo cual se eligen las bases comunes afec- tadas del menor exponente. Ejemplo: Factorizar: f(x;y) 4x3y4 + 5x2y5 + 7x4y7 Se observa: x2y4 como factor común. Luego factorizando tenemos: f(x; y) x2y4 (4x – 5y + 7x2y3) B. Identidades Es la aplicación inmediata de algunos productos notables como: – Diferencia de cuadrados: A2 – B2 = (A + B) (A – B) Ejemplo: Factorizar : P(x) 9x2 –16 Reconocemos : P(x) (3x)2 – (4)2 Luego : P(x) (3x + 4) (3x – 4) – Diferencia de cubos A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB + B2) Ejemplo: Factorizar : P(x) 27x3 – 8 Reconocemos : P(x) (3x)3 – (2)3 Luego : P(x) (3x – 2)(9x2 + 6x + 4) – Suma de cubos A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2) Ejemplo: Factorizar : f(x) 8x6 + 1 DESARROLLO DEL TEMA Exigimos más! FACTORIZACIÓN EN Z 11LIBRO UNI ÁLGEBRA Reconocemos : f(x) (2x2)3 + (1)3 Luego : f(x) (2x2 + 1) (4x4 –2x2 + 1) – Trinomio cuadrado perfecto A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 Ejemplo Factorizar : f(x) 9x4 + 6x2 + 1 Notese : f(x) (3x2)2 + 2(3x2)(1) + (1)2 Luego : f(x) (3x2 + 1)2 C. Agrupación de términos Consiste en seleccionar convenientemente los tér- minos de tal manera que se genere algún factor común o alguna identidad. Ejemplo: Factorizar: f(x;y) x10 – x2y8 + x8y2 – y10 Nos percatamos que no existe factor común en todos los términos, pero si agrupamos de dos en dos obtenemos: f(x;y) x2 (x8 – y8) + y2 (x8 – y8) Factor Repetido: (x8 – y8) Luego: f(x;y) (x 8 – y8) (x2 + y2) Continuamos: f(x;y) (x4 + y4) (x2 + y2) (x + y) (x – y) (x2 + y2) Se uso repetidas veces diferencia de cuadrados: f(x;y) (x4 + y4) (x2 + y2)2 (x + y) (x – y) D. Aspa simple Se utiliza para factorizar particularmente Polinomios de la forma: P(x) ax2n + bxn + c ó que se amol- den a dicha forma. Proceso * Descomponer los extremos. * Verificar que la suma de productos en aspa sea igual al término central. Ejemplo: Luego los factores se forman: Horizontalmente: (x – 3) (x – 4) E. Aspa doble Se usa en forma particular para polinomios de la forma: P(x;y) ax2m + bxmyn + cy2n + dxm + eyn + f Proceso: * Traza dos aspas simples * Verificación final con los extremos, veamos en un ejemplo: Factorizar:P(x;y) 15x2 – xy – 6y2 + 34x + 28y – 16 como se encuentra ordenado. 1.er Aspa 2.O Aspa Verificación final (Los términos estan descompuestos) Luego, en un esquema se tiene: P(x;y) = (5x + 3y –2) (3x – 2y + 8) FACTORIZACIÓN EN Z Exigimos más! 12LIBRO UNI ÁLGEBRA F. Aspa doble especial Se emplea para factorizar polinomios de 5 términos con la forma: P(x) Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + F Proceso: * Se descomponen los términos extremos en 2 factores cada uno. * Se hace el balanceo Ejemplo: Factorizar: 2 2P(x) (x 5x 1)(x x 1) G. Divisores binomicos (evaluación) Se usa básicamente para factorizar polinomios de grado mayores o iguales a 3. Proceso: Consiste en evaluar usando la regla de Ruffini. Luego: f(x) = (x – a) q (x) Al valor de "a” se denomina cero del polinomio. Por ejemplo: P(x) = x3 – x2 – 4; si evaluamos en x = 2, tenemos: Luego: x3 – x2 – 4 se puede expresar como: P(x)= (x – 2) (x2 + x + 2) (Nótese que esta factorizada) Problema 1 Factorizar: 5r(p4+q)–p2(r2+25q) A) (rp2–5q)(5p2–r) B) (rp–5q)(5p4–r) C) (rp4–5q)(5p3–r) D) (rp3–5q)(5p2–r) E) (rp2–5q)(5p4–r) Resolución: Agrupando los términos indicados y factorizando parcialmente = 5p2(rp2–5q)–r(rp2–5q) = (rp2–5q)(5p2–r) Respuesta: A) (rp2–5q)(5p2–r) Problema 2 Factorizar: 10x2+21y2+29xy A) (6x+7y)(2x+3y) B) (5x+7y)(2x+4y) C) (5x+7y)(2x+3y) D) (5x+7y)(3x+3y) E) (4x+7y)(2x+3y) Resolución: 10x2+29xy+21y2 5x 2x 7y 3y 14xy 15xy 29xy + Finalmente: (5x+7y)(2x+3y) Respuesta: C) (5x+7y)(2x+3y) problemas resueltos Exigimos más! FACTORIZACIÓN EN Z 13LIBRO UNI ÁLGEBRA Problema 3 Factorizar e indicar la suma de sus factores primos. 12a2–59b–63–7ab–10b2+15a A) 7a–3b+4 B) 7a–3b+3 C) 7a–4b+2 D) 7a–5b+2 E) 7a–3b+2 Resolución: Ordenando y aplicando el criterio de aspa doble 4a 3a – 2b 5b 12a -7ab - 10b - 15a - 59b - 632 –7 9 2 Finalmente (4a–5b–7)(3a+2b+9) luego factores primos: 7a– 3b+2 Respuesta: E) 7a–3b+2 Problema 4 ¿Cuántos factores primos tiene el polino- mio: 7 6 2 5 3P(x;y) x y 2x y x y ? UNI A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Resolución: De acuerdo con el criterio del factor común tenemos: 5 2 2P(x; y) x y (x 2xy y ) Dando uso de los productos notables tenemos: 5 2P(x; y) x y (x y) Finalmente los factores primos son: x, y (x y) N de factoresprimos 3 Respuesta C) 3 Problema 5 Determine la suma de los factores pri- mos del polinomio: 3 2P(x) x x x 1 UNI A) 2x + 1 B) 3x + 2 C) 3x – 1 D) 3x + 1 E) 2x Resolución: Por agrupación de términos tenemos: 3 2P(x) x x ( x 1) 2P(x) x (x 1) (x 1) Por el criterio del factor común: 2P(x) (x 1) (x 1) Por diferencia de cuadrados tenemos: P(x) (x 1) (x 1) (x 1) 2P(x) (x 1) (x 1) Aquí reconocemos que los factores primos son: (x + 1) y (x – 1) de f .p 2x Respuesta E) 2x Problema 6 Reconocer un factor de: 5P(x) x x 1 UNI A) x2 – x – 1 B) x2 – x + 1 C) x3 – x – 1 D) x3 – x2 + 1 E) x3 + x2 + 1 Resolución: Con la finalidad de formar una diferencia de cubos sumamos y restamos x2. 5 2 2P(x) x x x x 1 2 3 2P(x) x (x 1) x x 1 2 2 2P(x) x (x 1) (x x 1) (x x 1) Por el criterio del factor común: 2 2P(x) (x x 1) x (x 1) 1 2 3 2P(x) (x x 1)(x x 1) Respuesta D) x3 – x2 + 1 14LIBRO UNI ÁLGEBRA POTENCIA DE UN BINOMIO I. FACTORIAL DE UN NÚMERO Z+ Llamamos así al producto que resulta de multiplicar todos los números enteros y positivos de manera consecutiva desde la unidad hasta el número indicado. Notación: n! ó n Se lee: Factorial de "n". Así: 2! 1 2 2 3! 1 2 3 6 4 ! 1 2 3 4 24 5! 1 2 3 4 5 120 6 ! 1 2 3 4 5 6 720 En general: n! 1 2 3...(n – 2)(n – 1)n o también: n! n(n – 1)(n – 2)...3 2 1 Observaciones: 1. (a b) ! a! b! 2. (ab)! (a!) (b !) 3. a a!! b b! Propiedades 1. on! existe n z Luego: • (–5)! No existe • –5! Si existe • (2/3)! No existe • 7! Si existe 2. Por definición 1! = 1. Por acuerdo 0! = 1. Ejemplo: Hallar "x" en: (x – 4)! = 1 Luego: x – 4 0 x – 1 1 x 4 x 5 3. Si: a! = b! a = b * a; b 0; 1 Ejemplo: (x – 5)! = 6 (x – 5)! = 3! x – 5 = 3 x = 8 4. Todo factorial contiene en su desarrollo a otro factorial menor. (n 2) ! (n 1)! n! n (n 1) (n 2)...3 2 1 n! = n(n – 1)! n! = n(n – 1) (n – 2)! II. NÚMERO COMBINATORIO Representa el número de combinaciones de "n" ele- mentos tomados de "k" en "k". Notación: n nk k n kC C C Definición: nk n!C ; n k k !(n k)! Donde: on k Ejemplo: 5 2 5! 120C 10 2!(5 2)! 2 6 Regla práctica: " k " factores n k n(n – 1)(n – 2)...(n – k 1) (n – k)n!C k !(n – k) ! " k " factores ! 1 2 3...k (n – k) ! ÁLGEBRA DESARROLLO DEL TEMA Exigimos más! POTENCIA DE UN BINOMIO 15LIBRO UNI ÁLGEBRA Propiedades 1. nk o C Existe n z k z k n 2. Propiedad complementaria n n k n–kC C Ejemplo: 50 50 48 2 50 49C C 1225 2 1 3. Propiedad de igualdad n n p qC C 1.a Posibilidad: p = q 2.a Posiblidad: p + q = n Ejemplo: Hallar la suma de valores de "n" en: 10 10 n 6C C . 1.a Posibilidad: n1 = 6. 2.a Posibilidad: n + 6 = 10 n2 = 4. Luego n1 + n2 = 10. 4. Suma de combinatorios n n n 1 k k 1 k 1C C C Ejemplo: Hallar: 4 5 6 70 1 2 3S C C C C Luego: 5 5 6 70 1 2 3S C C C C 6 6 7 1 2 3S C C C 7 7 2 3S C C 83S C 8 7 6S 3 2 56 1 5. Reglas de degradación • n n 1k k 1 nC C k Ejemplo: 10 93 2 10C C 3 • n nk k–1 n – k 1C C k Ejemplo: 8 8 8 85 4 5 4 8 5 1 4C C C C 5 5 • n n–1k k nC C n – k Ejemplo: 9 84 4 9 8 4 4 9C C 9 – 4 9C C 5 III. BINOMIO DE NEWTON (Para exponente entero y positivo) Definición: n n n n–k k k k 0 (x a) C x a Donde: x; a 0 n Así: (x + a)2 = x2 + 2 x a + a2 (x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 (x + a)4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4 (x + a)5 = x5 + 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + a5 Nos damos cuenta: 5 5 5 5 4 5 3 2 5 2 3 5 4 5 50 1 2 3 4 5(x a) c x c x a c x a c x a c xa c a Luego: n n n n n 1 n n 2 2 n n 3 3 n n 0 1 2 3 n Desarrollo o expansióndel binomio (x a) c x c x a c x a c x a ... C a Propiedades 1. n N. de términos Exponente "n " 1 de (x a) Hallar el nº de términos en el desarrollo de: (x + 3y)7. N.º de términos = 7 + 1 = 8. POTENCIA DE UN BINOMIO Exigimos más! 16LIBRO UNI ÁLGEBRA Problema 1 Si "x" es un número real tal que el término central en el desarrollo de: 122 3x– 3 2 Es 924, hallar el valor de: 1 + x2 + x4 + x6 Nivel intermedio A) 4 B) 8 C) 6 D) 16 E) 2 Resolución: Sabemos que: n n–k k K 1 kT C x a C 12 71 2 T T T 12 12–6 6 7 6T C (2 3) (–3x 2) 924 6 6 6 6 6 12.11.10.9.8.7 2 3 x 924 6.5.4.3.2.1 3 2 x = 1 Entonces: 1 + 12 + 14 + 16 = 4 Respuesta: A) 4 Problema 2 Hallar el valor de "n" de modo que: n n 4 r 0 n (2r 1) 2 r Nivel difícil A) 18 B) 16 C) 17 D) 15 E) 20 Resolución: Sabemos: n n n n–1 r 0 r 0 n n 2 r n 2 r r 2. Si: x = a = 1; se obtiene la sumatoria de coeficien- tes: n n n n n n 0 1 2 3 nc c c c ... c 2 5 5 5 5 5 5 5 0 1 2 3 4 5c c c c c c 2 32 n–2 n–2 n–2 n–2 n–2 0 1 2 n–2c c c ... c 2 Hallar la suma de coeficientes en el desarrollo de: (5x2 + y4)40 Luego: x = y = 1 (5(1)2 + (1)4)60 660 3. Término de lugar general: Siendo: (x + a)n. En su desarrollo: n n–k kk 1 kT c x a Donde: "k + 1" es el lugar. Ejemplo: Hallar el T61 en el desarrollo de: B(x; y) = (3x 2 + 2y3)90 90 2 30 3 60 61 60T c (3x ) (2y ) 90 30 60 60 180 61 60T c 3x 2 y 90 30 60 60 180 61 60T c 3 2 x y 4. Término central ("n" exponente del binomio) Si "n" par existe un solo término central: c n 1 2 T T 5. Suma de exponentes Siendo B(x,a) = (x p + aq)n (p q)n(n 1)Exponentes 2 Ejemplo: Hallar la suma de exponentes en el desarrollo de: 393 x 4 Luego: p = 1/3; q = 1/2; n = 39. 1 1 39(39 1) 3 2exponentes Exp 650 2 problemas resueltos Exigimos más! POTENCIA DE UN BINOMIO 17LIBRO UNI ÁLGEBRA Entonces: n n n–4 r 0 r 0 n n 2r 2 r r n 1 n n 42 n 2 2 2 n n 4(n 1) 2 2 2 n = 15 Respuesta: D) 15 Problema 3 Si: n! (n! 3) 18 n! 4 . Determinar el valor de: 2K n 3n 7 Nivel intermedio A) 47 B) 17 C) 3 3 D) 35 E) 61 Resolución: Tenemos: (n!)2 – 3(n!) = 18(n!) + 18 4 (n!)2 – 21(n!) – 72 = 0 (n! – 24 )(n! + 3) = 0 n! = 24 ; n! = -3 n = 4 Entonces: 2K 4 4 3 7 K 35 Respuesta: D) 35 18LIBRO UNI ÁLGEBRA I. DEFINICIÓN: Es el proceso mediante el cual una expresión irracional se transforma en otra parcialmente racional. Frecuentemente se racionalizan denominadores con el auxilio del factor racionalmente (R:F) según la relación. (Exp. Irracional).(FR) = Exp. Racional A. Factor racionalizante (F.R) Es el menor número irracional positivo que multiplica a otro número irracional y lo transforma en racional. Ejempo: ¿Cuál es el factor racionalizante de 2 ? Resolución: observar lo siguiente 2 2 4 2 2 8 16 4 2 18 36 6 2 32 64 8 Existen varios números irracionales que multiplican a 2 y lo transforman en racional pero entre todos ellos 2 es el menor FR 2 B. Radical simple: Se denomina así a todo número irracional que se puede experesar segúnla foma: n A;n A Q Veamos algunos ejemplos: 5 333 4 2 3 24 Veamos algunos ejemplos: C. Radical doble: Se denomina asi a todo número irracional que se puede expresar según la forma: m nA B ;m n , A B Q Veamos algunos ejemplos: 34 12 2 3 10 108 II. TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLE A SIMPLES A. 1° caso A B . Se transforma según la fórmula: A C A CA B 2 2 Donde "C" se calcula Así: 2C A B !racional! B. 2° caso A B . Se transforma en M 2 N x y Donde: x.y N x y M racionalización ÁLGEBRA DESARROLLO DEL TEMA Exigimos más! RACIONALIZACIÓN 19LIBRO UNI ÁLGEBRA II. CASOS DE RACIONALIZACIÓN n mA FR A;A #primo A. Denominador monomio Donde: n n mFR A , veamos algunos ejemplos. • 11 1. 3 3 33 3.FR • 3 31 3 3 2 5 5. 2 5 2 24 2 .FR • 5 2 4 4 5 5 53 3 13 13 13 2 .3 .5 120 2 .3.5 2 .3.5.FR 13FR 13FR 2.3.5 30 B. Denominador binomio con índice potencia de dos: veamos algunos ejemplos: • 2 2 1 7 21 7 2 7 2 7 2 FR 7 2 1 7 2 7. 2 7 2 57 2 • 2 2 5 11 3 5 11 35 11 3 11 3 FR 11 3 5 11 3 5FR5 11 3 811 3 • 2 2 2 2FR 2FR 13 913 3 13 3 2 2FR FR 4 213 3 • 4 4 2 24 4 4 4 2 2 4 4 1 FR 5 1 5 15 1 5 1 5 1 FR 5 1 FR1 5 15 1 5 1 5 1 5 11 45 1 C. Denominador binomio con índice potencia de tres: veamos los siguientes ejemplos 22 3 33 3 33 33 3 33 3 3 3 3 33 3 33 33 3 33 1. 5 5. 2 2 1 5 2 5 2 FR 1 25 10 4 25 10 4 5 25 2 5 2 1 25 10 4 75 2 • • 2 23 3 3 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 33 33 3 3 3 3 3 3 1. 11 11. 5 5 1 11 5 11 5 FR 1 121 55 25 121 55 25 11 511 5 11 5 1 121 55 25 611 5 D. Denominador con índice susperior a tres: 1. n n n A B FR A B Donde: A B A B A B A B A - B A - B Expresión FR Resultado Expresión FR Resultado 3 3A B 3 3A B 2 23 3 3 3A A. B B 2 23 3 3 3A A. B B A B A B n 1 n 2 n 1n n n nFR A A B ... B RACIONALIZACIÓN Exigimos más! 20LIBRO UNI ÁLGEBRA Problema 1 Transformar a radicales simples la siguiente expresión: E 8 60 Resolución: Reconociendo: A = 8 B = 60 Hallemos "C": 2C 8 60 4 C 2 Luego: 8 2 8 2E 2 2 Finalmente: E 8 60 5 3 Método práctico: Debemos observar que el radical doble presenta la siguiente forma: x 2 y Luego podemos afirmar que: x 2 y a b Donde se debe cumplir que: a b a b x ab y Problema 2 Transformar a radicales simples la siguiente expresión: 5 2 6 Resolución: 5 2 6 3 2 2 32 5 2 6 3 2 Problema 3 El equivalente de: E 6 2 5 11 2 30 1.Es : Resolución: Utilizemos el método práctico para transformar a los radicales dobles en simples. * 6 2 5 5 1 5 1 * 11 2 30 6 5 2. n n n / n número impar A B FR A B Donde: n 1 n 2 n 1n n n nFR A A B ... B 3. n n n / n número par A B FR A B Donde: n 1 n 2 n 1n n n nFR A A B ... B Como: E 6 2 5 11 2 30 1 Ahora en la expresión "E" se tendría: E 5 1 6 5 1 Reduciendo: E 6 Problema 4 Racionalizar el denominador de la expresión: 7 7 7E 5 3 Resolución: Observamos que 7 75 3 corresponde a la relación (2) visto anteriormente, con lo cual tenemos. 7 7 7FR 7FRE 5 35 3 FR 7FRE 8 problemas resueltos 21LIBRO UNI ÁLGEBRA ECUACIONES ÁLGEBRA I. ECUACIÓN Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en la que al menos esté presente una variable que ahora recibirá el nombre de incógnita. Notación: Primer miembro Segundo miembro A(x; y;...z) B(x; y;...z) Donde: x; y; ...; z: incógnita Una ecuación que sólo se verifique para ciertos valores de las incógnitas recibe el nombre de ecuación condi- cional o, simplemente, ecuación. Por ejemplo: • x – 1= 3 se verifica solo para x = 2; es una ecuación condicional. • x2 – 1 = (x + 1) (x – 1) se verifica para todos los valores de x; es una identidad. Para representar una identidad se emplea el símbolo en lugar del símbolo =. A. Soluciones de una ecuación Las soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que transforman la ecuación en una identidad, es decir, se igualan ambos miembros. Las soluciones satisfacen a la ecuación. Resolver una ecuación es hallar todas sus soluciones. Por ejemplo: x = 2 es una raíz, o solución de la ecuación x + 3 = 5, ya que sustituyendo x = 2 en esta se obtiene 2 + 3 = 5, es decir, los dos miembros se hacen iguales y la ecuación se convierte en una identidad. B. Operaciones aplicadas en la transformación de ecuaciones • Si se suman miembro a miembro varias igual- dades, se obtiene otra igualdad. Por ejemplo la igualdad x – y = z, podemos sumar “y” a ambos miembros, con lo que resulta x = y + z. • Si se restan miembro a miembro varias igual- dades, se obtiene otra igualdad. Por ejemplo, en la igualdad x + 5 = 7, podemos restar 5 a ambos miembros con lo que se obtiene x = 2. • Si se multiplican miembro a miembro varias igualdades se obtiene otra igualdad. Por ejemplo, si se multiplican por 3 los dos miembros de la igualdad: 21 y 5x 3 . Se obtiene: y = 15x2 Análogamente, si los dos miembros de: 9 C k – 492 5 se multiplican por: 5 9 Se obtiene: 5C (k – 492) 9 • Si se dividen miembro a miembro varias igual- dades se obtiene otra igualdad siempre que no se divida por cero. Por ejemplo, si se dividen los dos miembros de la igualdad 3x = 6 por 3, se obtiene x = 2. Análogamente, en la igualdad F = ma se puede dividir los dos miembros por m(m 0) obte- niéndose: Fa m Fórmula: La fórmula es una ecuación que expresa un hecho general, una regla o un principio. DESARROLLO DEL TEMA ECUACIONES Exigimos más! 22LIBRO UNI ÁLGEBRA II. ECUACIÓN LINEAL O DE PRIMERGRA- DO CON UNA INCÓGNITA Forma General: ax + b = 0 ; a 0 ; en donde a y b son constantes arbitrarias. Como primer paso para la resolución de esta ecuación transponemos “b” al segundo miembro obteniéndose así la ecuación equivalente. ax = b Después dividimos ambos miembros entre “a”, obte- niéndose otra ecuación equivalente que es la solución de la ecuación dada: bx – a Si este valor de “x” se sustituye en ax + b = 0 ob- tendremos la identidad: ba – b 0 a –b + b = 0 Teorema: La ecuación lineal con una incógnita ax + b = 0, a 0 Tiene solución única: bx – a III. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO (CUA- DRÁTICA) A. Forma general 2ax bx c 0 donde: x incógnita, asume dos valores a ; b ; c / a 0 B. Fórmula de Carnot Si: x1; x2 son las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0; a 0 Estas se obtienen a partir de la relación: 2 1;2 –b b – 4acx 2a 1. Discriminante dada la ecuación cuadrática en "x": ax2 + bx + c = 0; a 0 se define como: 2b – 4ac 2. Propiedad del discriminante El discriminante de una ecuación cuadrática per- mite decidir qué clase de raíces presenta, es decir: 1. Si: 0 , la ecuación tiene raíces reales y diferentes. 2. Si: 0 , la ecuación tiene raíces reales e iguales (raíces dobles). 3. Si: 0 , la ecuación tiene raíces imagi- narias y conjugadas. IV. RELACIÓN ENTRE LAS RAÍCES Y LOS CO- EFICIENTES (PROPIEDADES DE LAS RAÍ- CES) DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA Si x1 ; x2 son las raíces de la ecuación cuadrática en "x" ax2 + bx + c = 0 Se cumple: • Suma: 1 2 bs x x – a • Producto: 1 2 cp x . x a • Diferencia: 2 1 2 b 4ac| x x | ;a 0 a Para determinar la diferencia de raíces se recomienda utilizar la equivalencia de Legendre, veamos: (x1 + x2) 2 – (x1 – x2) 2 = 4(x1 x2) A. Casos particulares Dada la ecuación cuadrática en "x": ax2 + bx + c = 0 De raíces x1 ; x2, si estas son: 1. Simétricas, se cumple: x1 + x2 = 0. 2. Recíprocas, se cumple: x1 . x2 = 1. V. RECONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA EN "X" Siendo "s" y "p", suma y producto de raíces, res- pectivamente, toda ecuación cuadrática en "x" se determina según la relación: 2x – sx p 0 VI. TEOREMAS CUADRÁTICAS EQUIVA- LENTES A. Ecuaciones cuadráticas equivalentes Siendo: ax2 + bx + c = 0 a1x2 + b1 x + c1 = 0 Se cumple: 1 1 1 a b c a b c B. Ecuaciones cuadráticas con una raíz común Sean: ax2 + bx + c = 0 a1 x 2 + b1 + c1 = 0 Se cumple: 2 1 1 1 1 1 1(ab – a b)(bc – b c) (ac – a c) Exigimos más! ECUACIONES 23LIBRO UNI ÁLGEBRA VII.POLINOMIO DE GRADO SUPERIOR A. Definición Dado un número entero n 3 , un polinomio en variable x con coeficientes en k de grado n, es una función de la forma: P(x) anx n + an–1x n–1 + ........ + a1x + a0, con an 0 A la cual llamaremos polinomio de grado superior, donde: • x = es la variable independiente. • aiK, son los coeficientes de las x y son constantes que pueden ser cualesquiera números. • K es un conjunto. • an= coeficiente principal • ao= término constante • n = [P]° es el grado del polinomio P(x) Observación: El estudio de todo polinomio: P(x) anx n + an–1x n–1 + ... + a1x + a0 con an 0, a0 0 radica en el tratamiento de sus coeficientes ia K y en particular de an y a0. B. El Teorema fundamental del Álgebra Todo polinomio P(x) de grado n > 0 con coeficientes complejos en general, tiene al menos una raíz gene-ralmente compleja. Colorario: Todo polinomio P(x) de grado n > 0, tiene exacta- mente "n" raíces. Por ejemplo P(x) = x5 + x – 1 tiene en total 5 raíces entre reales e imaginarias, asimismo podemos decir que 4F(x) x tiene en total 4 raíces (cada una es igual a cero). VIII. POLINOMIOS CON COEFICIENTES REALES A. Teorema (paridad de las raíces imaginarias) Si un polinomio P(x) con coeficientes reales tiene como raíz el número imaginario Z, entonces Z tam- bién es raíz de P(x). Observaciones • La paridad de raíces imaginarias, refiere lo siguiente, si Z = a + bi, con b 0 es raíz de un polinomio P(x) entonces Z = a – bi tam- bién es raíz de P(x). • Si Z = a + bi es raíz del polinomio P(x), entonces (x – Z) (x – Z ) será un factor de P(x). Propiedad Un polinomio con coeficientes reales puede escri- birse como el producto de un número real, multi- plicado por factores cuadráticos irreductibles con coeficientes reales y factores lineales con coeficien- tes reales. B. Teorema (paridad de raíces irracionales) Si un polinomio P(x) con coeficientes racionales tiene como raíz a b , donde b es irracional, a y b son racionales; entonces a b también es raíz de P(x). Sea P(x) un polinomio con coeficientes racionales. Si ( a b) es raíz del polinomio P(x), donde a, b, ab son irracionales, entonces a b, ; a b, a b también son raíces de P(x). Si la raíz ( a b) es de multiplicidad K, las otras raíces también son de multiplicidad K. IX. RELACIONES ENTRE LAS RAÍCES Y LOS COEFICIENTES Dado el polinomio de grado n > 0: P(x) = anx n + an–1x n–1 + ....... + a0 an 0 (con coeficientes reales o complejos) y cuyas n raíces son r1, r2, r3, ..., rn (reales o complejas, incluidas tantas veces como se repiten las raíces múltiples), en- tonces existen relaciones entre los coeficientes de P(x) y las raíces ri. Dichas relaciones se obtienen del siguiete modo: • n n 1n n 1 0a x a x ... a 0 n n 1 n 2 0n 1 n 2 n n n n aa a x x x ... 0 a 0 a a a (1*) • Como r1, r2, ..., rn son las n raíces de P(x), entonces el polinomio P(x) se puede escribir como: P(x) = an(x – r1) (x – r2) .... (x – rn) Como P(x) = 0 an(x – r1)(x – r2)....(x – rn)=0, an 0 (x – r1)(x – r2)....(x – rn) = 0 (2*) • Pero son idénticos (1*) y (2*): n x 1 n 2 0n 1 n 2 n n n aa a x x x ... a a a 1 2 n(x r )(x r )...(x r ) n n 11 2 nx r r ... r x nn 11 2 1 3 1 2 3 nr r r r ... x ... 1 r r r ...r ECUACIONES Exigimos más! 24LIBRO UNI ÁLGEBRA Problema 1 Sea la ecuación 4x2 – 2x + 3 = 0, cuyas raíces son a y b. Halle otra ecuación cuadrática que tenga por raíces (2a – 1) y (2b – 1) UNI 2008 - I Nivel fácil A) y2 – y + 1 = 0 B) y2 – y – 2 = 0 C) y2 + y + 3 = 0 D) 2 1y y 2 0 2 E) 2 1y y 3 0 4 Resolución: Dada la ecuación: 4x2 – 2x + 3 = 0 de raíces {a;b} 1. Si cambiamos: "x" por " y 2 " entonces: 2y y4 2 + 3 = 0 2 2 tenemos: y2 – y + 3 = 0 de raíces {2a; 2b} 2. Si cambiamos: "y" por "y+1" Entonces: (y + 1)2 – (y + 1) + 3 = 0 Tenemos: y2 + y + 3 = 0 de raíces {2a – 1, 2b – 1} Respuesta: C) y2 + y + 3 = 0 Problema 2 Las raíces de la ecuación x x 2 4 son: UNI 2007 - II Nivel intermedio A) solo x = 6 B) solo x = 3 C) x = 3, x = 6 D) x 6 , x = 3 E) No existen soluciones Resolución: x x 2 4 x 2 4 x Elevando al cuadrado y teniendo en cuenta que x – 2 0 4 – x 0 tenemos x2 – 9x + 18 = 0 (x – 3)(x – 6) = 0 de donde la que verifica solo será x = 3 Respuesta: B) Solo x = 3 Problema 3 Una ecuación cuadrática tienen como raíces a 4 y 2 . Halle la suma de las cifras del producto de estas raíces, siendo el discriminante de la ecua- ción. UNI 2006 - II Nivel difícil A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 Resolución: Suma de Raíces S 2 2 2Producto Raíces P 2 8 Luego la ecuación será: 2 2x (2 2)x 2 8 0 Luego calculando el discriminante: 2 2(2 2) 4( 2 8) 36 Luego: Producto de Raíces = (40)(34) = 1360 cifras 10 Respuesta: A) 10 Problema 4 Si {x1; x2} es el conjunto solución de: x 1 x x3 3 1 3 2 entonces la suma de x1 y x2 es: UNI 2008-I Nivel fácil A) –4 B) –2 C) 2 D) 4 E) 0 Resolución: Si: x 1 x x3 – 1– 3 23 Si: x 0 Eliminando los valores absolutos: 3x+1 – (3x – 1) = 3x + 2 Reduciendo: 3x . 3 –2 . 3x – 1 = 0 Tenemos: 3x = 1 x 0 Si: –1 x 0 Eliminando los valores absolutos: 3x+1 + 3x – 1 = 3x + 2 Reduciendo: 3x+1 = 3 Tenemos: x + 1 = 1 De donde: x = 00 1 x 0 Si: x < –1 Eliminando los valores absolutos: –x–13 3 x –1 3 x 2 Reduciendo: 3–x–1 = 3 Tenemos: –x – 1 = 1 De donde: x –2 C.S. {–2;0} Piden: –2 + 0 = –2 Respuesta: B) –2 Problema 5 Las raíces de la ecuación x x 2 4 son: UNI 2008-I Nivel intermedio A) Solo x = 6 B) Solo x = 3 C) x = 3, x = 6 D) x 6 , x = 3 E) No existen soluciones Resolución: x x 2 4 x 2 4 x problemas resueltos Exigimos más! ECUACIONES 25LIBRO UNI ÁLGEBRA Elevando al cuadrado y teniendo en cuenta que: x 2 0 4 x 0 Tenemos: x2 – 9x + 18 = 0 (x – 3)(x – 6) = 0 de donde la que verifica solo será x = 3. Respuesta: B) x = 3, x = 6 Problema 6 La suma de todas las soluciones posi- tivas de la ecuación: 2 2 10 6 x x 1 x x es: UNI 2009-II Nivel difícil A) 2 5 17 2 B) 2 5 17 2 C) 2 5 17 2 D) 3 5 17 2 E) 3 5 17 2 Resolución: Piden: x > 0 Llamemos a: x2 + x + 1 = m; m > 0 Del dato: 2 2 10 7 (1 x x ) 1 x x 2 10Reemplazando : 7 m m m 7m 10 0 (m 2)(m 5) 0 m 2 m 5 Reemplazando: 2 2 2 2 x x 1 2 x x 1 5 x x 1 0 x x 4 0 Utilizando la fórmula general: 1 5 1 17x x 2 2 como x > 0: 1 2 1 5 1 17x x 2 2 1 2 2 5 17x x 2 Respuesta: B) 2 5 17 2 Problema 7 La función polinomial: 2 4 2 F(x, y, z) (x y)(y z 3) [(Z y)(y x 3)] (x y z 3) tiene N raíces (x, y, z). Entonces N es igual a: UNI 2008 - I Nivel fácil A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Resolución: 2 4 0 0 (x y)(y z 3) (z y)(y x 3) 2 0 (x y z 3) 0 Se genera un sistema de ecuaciones: x y 0 y z 3 0 z y 0 y x 3 0 x y z 3 0 De donde: 1 x y 0 z y 0 x y z 3 0 C.S. (1,1,1) 2 x y 0 y x 3 0 x y z 3 0 C.S. 3 y z 3 0 z y 0 C.S. x y z 3 0 4 y z 3 0 y x 3 0 C.S. (2; 1,2) x y z 3 0 Nes igual a 2 Respuesta: C) 2 Problema 8 Determine el polinomio mónico de me- nor grado de coeficientes enteros que tenga como raíces a los números reales 2 3 y 3 2 . Dar como respuesta la suma de sus coeficientes. UNI 2007 - II Nivel intermedio A) 28 B) 42 C) 56 D) 70 E) 84 Resolución: Por el teorema de la paridad de raíces irracionales: Si una raíz es 3 2 la otra será ( 3 2) la cual origina el polinomio cuadrático x2 + 6x + 7. Análogamente: Si la otra raíz es 2 3 la otra será 2 3 que origina el polinomio: (x2 + 4x + 1). Por lo tanto el polinomio mónico será: P(x) = (x2 + 6x + 7)(x2 + 4x + 1) Nos piden: P(x) (14)(6) 84 Respuesta: E) 84 Problema 9 Dados los siguientes polinomios: P(x) de grado 2 y término independiente uno; y Q(x) = (x – 1) P(x) + 3x + 1. Si Q(2) = 7 y P(1) = 2, halle la suma de raíces de Q(x). UNI 2004 - II Nivel intermedio A) 0 B) 8/3 C) 10/3 D) 4 E) 5 Resolución: De los datos: P(x) = ax2 + bx + 1 Q(x) = (x – 1) (ax2 + bx + 1) + 3x + 1 Pero: Q(2) 7;(1)(4a 2b 1) 7 7 4a 2b 1......(1) P(1) 2;a b 1 2 a b 1...(2) de (1) y (2) = a 3 / 2;b 5 / 2 De donde: 3 23 3Q(x) x 4x x 2 2 se pide: 1 2 3 4 8x x x 3 / 2 3 Respuesta: B) 8/3 26LIBRO UNI ÁLGEBRA I. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LOS NÚMEROS REALES El sistema de los números reales, es un conjunto provisto de dos operaciones internas (adición y multiplicación) y una relación de orden y otra de igualdad. Notación Denotamos por al conjunto de los números reales. A. Axiomas de adición (A1) a,b : a b (Clausura o cerradura) (A2) a,b : a b b a (Conmutatividad) (A3) a,b, c : a (b c) (a b) c (Asociatividad) (A4) a : !0 / a 0 0 a a (Existencia y unidad del elemento neutro) (A5) a : !(–a) / a (–a) (–a) a 0 (Existencia y unidad del elemento inverso) B. Axiomas de multiplicación (M1) a,b : ab (Clausura) (M2) a,b : ab ba (Conmutatividad) (M3) a,b, c : a(bc) (ab)c (Asociatividad) (M4) a : !1 / a 1 1 a a (Existencia y unicidad del elemento neutro) (M5) 1 –1 –1a – {0} : !a / a a a a 1 (Existencia y unidad del elemento inverso) C. Axioma distributiva Distributividad de la multiplicación respecto de la adición. (D1) a,b, c : a(b c) ab ac (D2) a,b, c : (b c)a ba ca D. Relación de orden Es una comparación que se establece entre 2 ele- mentos de un conjunto que pertenece al campo de los números reales, el campo real es un campo ordenado. Símbolos de la relación de orden: > : "mayor que" : "menor o igual que" < : "menor que" : "mayor o igual que" II. DESIGUALDAD Es una relación de orden que se establece entre dos números reales de diferente valor. Existen dos tipos de desigualdades. 6 > 1 (Desigualdad verdadera) 5 < –2 (Desigualdad falsa) A. Axioma de tricotomia Si a b , entonces una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple: NÚMEROS REALES ÁLGEBRA DESARROLLO DEL TEMA Exigimos más! NÚMEROS REALES 27LIBRO UNI ÁLGEBRA B. Axioma de transitividad Si: (a b) (b c) (a c);a,b, c C. Otros axiomas y teoremas de la desigualdad a,b, c, d , se cumple: • a b a c b c • a b c d a c b d • Si: a b c 0 ac bc • Si: a ba b c 0 c c • Si: a b –a –b • Si: 0 a b 0 c d 0 ac bd • 2a ;a 0 • ab 0 {(a 0 b 0) (a 0 b 0)} • ab 0 {(a 0 b 0) (a 0 b 0)} • a y 1 a tienen el mismo signo a – {0} • Si a y b tienen el mismo signo y 1 1a b a b • Si: 1 1 1ab 0 a x b a x b • 2n–1 2n–1a b a b , n • 2n 2n0 a b a b , n • 2n 2na b 0 a b ; n • Si: a x b ab 0 entonces: 2 2 20 x Max(a ,b ) • Si: 0 a b entonces a ba b 2 • Si: 0 a b entonces a ab b D. Propiedades de desigualdades entre medias Si: x1; x2; ... xn son números positivos, se define: • Media aritmética de x1; x2; ... ; xn MA (x1; x2; ...; xn) = n i i 1 1 x n • Media geométrica de x1; x2; ...; xn MG (x1; x2; ...; xn) = n n i i 1 x • Media armónica de x1; x2; ...; xn MH (x1; x2; ... xn) = n ii 1 n 1 x • Media potencial de x1; x2; ...; xn MP (x1; x2; ...; xn) = n k ik i 1 x n Entonces: MP MA MG MH Para dos números: a b, K k k k a b a b 2ab 2 2 1 1 a b E. Recta numérica real Es la recta geométrica donde se puede ubicar los números reales, es decir, existe una correspon- dencia biunivoca entre el conjunto de los números reales y esta recta. NÚMEROS REALES Exigimos más! 28LIBRO UNI ÁLGEBRA Problema 1 Sean a, b, c y d cuatro números reales positivos tal que a – b = c – d y a < c. Decir la verdad o falsedad de las si- guientes afirmaciones: I. a c , si a b b d II. c a , si c d d b III. c a b d UNI 2004 - I Nivel fácil A) FFV B) FVV C) FVF D) VFV E) VFF Resolución: I. Si a < c 1 1 ; si a b a b 0 c a Luego: 1 1(c d) (a b) c a d b1 1 c a b d a c, a c b d (V) II. Si c < d a < b c a d b (F) III. a c b d ab cd c a b d (F) Respuesta: E) VFF Problema 2 Sean los números racionales a1, a2, ..., an tales que a1< a2 < ... < an–1 < an. Entonces se cumple que: UNI 2008 - II Nivel fácil A) n i n ni 1 1 n a a a n B) n i i 1 1 n a a a n C) n 1 i n i 1 a a a D) n n n 1 i n i 1 a a a E) n 1 n i i 1 a a a n n Resolución: Para un grupo de datos no todos iguales: 1 2 3 n1 n a a a ... a a a n , – son símbolos ideales, no son números rea-les, son simples representaciones. problemas resueltos Exigimos más! NÚMEROS REALES 29LIBRO UNI ÁLGEBRA n i i 1 1 n a a a n Respuesta: B) n i i 1 1 n a a a n Problema 3 Clasifique como verdadero (V) o falso (F) cada una de las siguientes afirma- ciones: • a,b números enteros, a/b es un número racional. • a,b números enteros, 2 a b 1 a es un número racional. • Si k y k2 es par, entonces k es par. UNI 2009 - I Nivel difícil A) FVV B) FFV C) VFV D) VFF E) FFF Resolución: a) Aplicación de teorema Recordar: Número A / A Z B Z 0 racional B b) Solución del problema • Es falso, cuando b = 0. • Es verdadero, porque en: 2 a b 1 a ; 2(1 a 0) • Es verdadero: o o 2 K 2 K .2 K Z Respuesta: A) FVV 30LIBRO UNI ÁLGEBRA INECUACIONES ÁLGEBRA 2. Aplicar uno de las teoremas siguientes: I. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) II. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) III. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) IV. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) D. Método de los puntos de corte Sea: 2 P(x) ax +bx +c 0 Consideraciones previas • En la resolución de una inecuación cuadrática se transpone, si es necesario, todos los términos a un sólo miembro de la desigualdad. 1. Factorizar la expresión cuadrática si es posible; si no se puede factorizar aplicar la fórmula cuadrática. 2. Hallar los puntos de corte (valor de x) igualando a cero el factor o los factores. 3. Ubica los puntos de corte en la recta numérica real. 4. Denotar las zonas o regiones determinadas por los puntos de corte colocando los signos intercalados empezando por la derecha con signo positivo. 5. I. Si: P(x) > 0, el conjunto solución es la unión de intervalos positivos (abiertos). II. Si: P(x) 0 , el conjunto solución es la unión de intervalos positivos (cerrados). II. Si: P(x) < 0, el conjunto solución es el inter- valo negativo (abierto). IV. Si: P(x) 0, el conjunto solución es el inter- valo negativo (cerrado). Teorema Sea: ax2 + bx + c > 0; a > 0 Si: 2b 4ac 0 Se verifica para todo x diferente de b 2a bC.S. : x 2a Teorema Sea: ax2 + bx + c < 0; a > 0 Si: 2b 4ac 0 No se verifica para ningún valor real "x". C.S. : x I. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Son aquellas inecuaciones de la forma: I. ax2 + bx + c > 0 II. ax2 + bx + c > 0 III. ax2 + bx + c < 0 IV. ax2 + bx + c 0 Donde: a 0 ;b, c A. Método de resolución de inecuaciones de se- gundo grado con una incógnita I. Método de completar cuadrados. II. Método de la ley de signos de la multiplicación. III. Método de los puntos de corte. B. Método de completar cuadrados Sea: ax2 + bx + c 0 1. El coeficiente de x2 debe ser 1, si no lo fuese entonces se divide a ambos miembros entre a. 2 bx cx 0 a a 2. El término independiente se pasa al segundo miembro. 2 b cx x a a 3. Se busca obtener un trinomio cuadrado perfecto, sumando a ambos miembros la mitad del coe- ficiente de x elevado al cuadrado. 2 2 2 b b c bx 2(x) 2a 2a a 2a 4. Escribiendo el primer miembro como un binomio al cuadrado y reduciendo el segundo miembro. 2 2 2 b b 4acx 2a 4a 5. Finalmente: Teorema 2x m x m x m;m 0 2x m x m x m;m 0 C. Método de la regla de signos de multiplicación Sea: ax2 + bx + c 0 1. Se factoriza el trinomio (factor común, dife- rencia de cuadrados, aspa simple) DESARROLLO DEL TEMA Exigimos más! INECUACIONES 31LIBRO UNI ÁLGEBRA Teorema Sea: ax2 + bx + c > 0; a > 0 Si: b2 – 4ac < 0 Se verifica para todo valor real “x”. C.S. : x Teorema Sea: ax2 + bx + c < 0; a > 0 Si: b2 – 4ac < 0 La inecuación no se verifica para ningún valor real “x”. C.S. : x II. INECUACIONES POLINOMIALES Son aquellas que presentan la siguiente forma general: n n-1 n-2 0 1 2 n-1 nP(x) a x a x a x ... a x a 0 x Variable a0; a1; a2; ... an Coeficientes n Z n 2 • Reducir el polinomio mediante factorizaciones ob- teniendo la forma equivalente siguiente: 1 2 nx a x a ... x a 0 donde todos los ai son diferentes entre sí, para luego aplicar: el método de los puntos de corte. III. INECUACIONES FRACCIONARIAS Son aquellas inecuaciones que reducida a su mas simple expresión asume la siguiente forma general: P(x) 0 Q(x) Donde: P(x) Q(x) son polinomios no nulos con coeficientes reales. Resolución: Se tiene: (x) (x) P 0 Q Multiplicamos a ambos miembros por: (x) (x) (x) (x) 2 2 P QQ 0 Q Expresión reducida: P(x) Q(x) > 0; no olvidando: Q(x) 0 Para luego utilizar el método de los puntos de corte. IV. INECUACIONES IRRACIONALES Se denomina así a aquellas inecuaciones donde la incógnita se encuentra bajo signo radical, los casos más usuales son: A. Caso I 2n 1 P(x) Q(x) Donde P(x), Q(x) son polinomios; n N se resuelve: P(x) Q(x)2n+1 Ejemplo: (1) Resolver: 3 x 2 1 Resolución: Se obtiene: x – 2 > 1 x > 3 B. Caso II 2n 2nP(x) Q(x) Es equivalente a resolver un sistema constituido a partir de: 2n 2n0 P(x) Q(x) Así: P(x) 0 ... (1) Q(x) 0 ... (2) P(x) Q(x) ... (3) finalmente: 1 2 3C.S. S S S Ejemplo: (1) Resolver: x 2 6 x Resolución: 1° x + 2 0 x –2 ... (1) 2° 6–x 0 –x –6 x 6 ... (2) 3° x + 2 < 6 –x 2x < 4 x < 2 ... (3) Luego: C.S. = 1 2 3S S S C.S.: [–2; 2> C. Caso III P(x) Q(x) Se resuelve el sistema construido a partir de: P(x) 0 ... (1) Q(x) > 0 ... (2) P(x) < Q2(x) ... (3) finalmente: 1 2 3C.S. S S S Ejemplo: Resolver: x 2 3 Resolución: 1° x – 2 0 x 2 ... (1) 2° 3 > 0 x R ... (2) 3° x – 2< 32 x < 11 ... (3) INECUACIONES Exigimos más! 32LIBRO UNI ÁLGEBRA Luego: 1 2 3C.S. S S S C.S. = [2; 11> D. Caso IV P(x) Q(x) Se resuelve: P(x) 0 1S P(x) 0 Q(x) 0 P(x) Q(x) 2S P(x) 0 Q(x) 0 Finalmente: 1 2C.S. S S V. VALOR ABOLUTO (V.A) a. Definición Sea a , el valor absoluto se denota por |a|, el cual se define por: a;a 0 a a;a 0 = – Ejemplos: 1. |4 – 2| =|2| = 2 2. |3 – 5| =|–2| = –(–2) = 2 B. Propiedades 1. El valor absoluto de todo número real siempre es un número no negativo. a 0 2. El valor absoluto de todo número real siempre es igual al valor absoluto de su opuesto. a a= – 3. El valor absoluto de la multiplicación de dos números reales es igual a la multiplicación de los valores absolutos de los números en mención.|ab| = |a||b| 4. El valor absoluto de la división de dos números reales (divisor es diferente de cero) es igual a la división de los valores absolutos. a a ; b 0 b b = 5. Todo número al cuadrado, siempre es igual al valor absoluto de la base elevado al cuadrado. a2 = |a|2 6. La raíz cuadrada de todo número elevado al cuadrado, siempre es igual al valor absoluto del número. 2a a= Nota: – Hagamos la siguiente generalización: x a;x a 0 x a x a;x a<0 – – – = – + – – Generalizando: |a + b| = |–a –b| ; |a – b| = |b – a| – Generalizando: |abc... n| = |a||b||c|...|n| – Estas dos propiedades antes mencionadas nos permiten hacer lo siguiente: – |3(x – 4)| = 3|x – 4| – 2|x + 2| = |2x + 4| – –2|x + 2| = –|2x + 4| – x 1 x 1 3 3 + += – x 2 x 2= 3 3 + +– – Comentario Esta propiedad va a ser de gran utilidad en el trabajo de una ecuación e inecuación con un valor absoluto. 7. Desigualdad triangular: |a + b| |a| + |b| En particular si: |a + b| = |a| + |b| ab 0 Nota: – Generalizando si n o: a2n = |a|2n a2n+1 = |a|2n.a – ¡Tenga cuidado! Teoría de exponentes 2x x x 0 = Números Reales 2x x x = VI. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO A. Caso 1 |x| = 0 x = 0 Ejemplo: • |x – 3|=0 x – 3 = 0 x = 3 B. Caso 2 |x| = a (a 0) (x = a a = –a) Ejemplo: • |x – 3| = 5 Si 5 0 x – 3 = 5 x – 3 = –5 x = 8 x = –2 Exigimos más! INECUACIONES 33LIBRO UNI ÁLGEBRA |x – 3| = –4 Si –4 0 (Falso) C.S. = C. Caso 3 |x| = |a| x = a x = –a Ejemplo: |x – 3| = |2x + 2| x – 3 = 2x + 2 x – 3 = –2x –2 –5 = x 3x = 1 x = -5 x = 1 3 VII. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO A. Caso 1 |x| a: a 0 (–a x a) Ejemplo: |x – 3| 5: 5 0 (–5 x – 3 5) –2 x 8 B. Caso 2 |x| a: x a x –a Ejemplo: |x – 2| 3: x – 2 3 x – 2 –3 x 5 x –1 C. Caso 3 |x| |y| (x – y)(x + y) 0 Ejemplo: |x – 2| |2x – 3| (–x + 1)(3x – 5) 0 (x – 1)(3x – 5) 0 Aplicando puntos de corte: 5 x ;1 ; 3 – + Problema 1 Halle el valor de a , para que la ine- cuación 2 2(a 14) x 4x 4a 0 , tenga como solución el conjunto [–2; 4]. UNI 2010-II A) –6 B) –4 C) –2 D) –1 E) –1/2 Resolución: (a2 – 14)x2 – 4x + 4a 0 Se debe cumplir que: 2 2 a 4 a –4 7a a –4 2 4 4a2 –8 a – 14 a –14 Por tanto: a = –4 Respuesta: B) –4 Problema 2 Si el conjunto solución de la inecuación: (2x – x) (3x – Log3x)(x 2 – 9)(3x – 9) > 0 es de la forma: S a;b c; . Ha- lle a + b + c. UNI 2009-I A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 Resolución: (2x – x)(3x – log3x)(x 2 – 9)(3x – 9) > 0 Resolviendo: De donde: x x2 x 2 x 0; x 0 De donde: x x 3 33 log x 3 log x 0; x 0 Resolviendo: (2x–x)(3x–log3x)(x+3)(x–3)(3 x–9) > 0 C.V.A. = Si: log3xR x > 0 x x x32 -x 3 -log x x 3 (x 3)(3 9) 0 Reduciendo: (x – 3)(3x – 9) > 0 x x(x 3 0 3 9) (x 3 0 3 9) x(x 3 x 2) (x 3 0 3 9) x > 3 x < 2..... S1 Luego: C. S.: C. V. A S1 S = 0; 2 3 ; + a b c a + b + c = 5 Respuesta: E) 5 Problema 3 La inecuación x2 – 2bx – c < 0 tiene como conjunto solución 3;5 . Halle b + c. UNI 2008 - II A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24 Resolución: Analizando: 2x 2bx c 0 x 3;5 Operando: a) Aplicación de fórmula o teorema • Suma de raíces: x1 + x2 = b a • Producto de raíces: 1 2 cx x a b) Solución del problema –3 5 serán raíces de la ecuación: x2 – 2bx – c = 0 Entonces: 1 2 2b x x 2 b 1 1 2 c x x 15 c 15 Conclusión b + c = 16 Respuesta: A) 16 problemas resueltos INECUACIONES Exigimos más! 34LIBRO UNI ÁLGEBRA Problema 4 Resolver: |2x + 6| = |x + 8| Nivel fácil Resolución: Aplicando el teorema: |a|=|b| a = b a = –b 2x + 6 = x + 8 2x + 6 = –x–8 x = 2 3x = –14 x = 14 3 – Respuesta: C.S.= 14 – ;2 3 Problema 5 Resolver: |3x + 5| = 2x – 3 Nivel intermedio Resolución: Aplicando el teorema: |x| = a a 0 (x = a x = –a) Entonces: 2x–3 0 (3x+5=2x–3 3x+5=–2x+3) x 3 2 (x = –8 5x = –2) x = 2 5 – Como: –8 3 2 (F) 2 3 5 2 – (F) Respuesta: C.S. = Problema 6 Resolver: |3x + 4| x + 10 Nivel intermedio Resolución: Aplicando el teorema: |x| a (a 0) (–a x a) Entonces: x+10 0 (–x –10 3x + 4 x + 10) x –10 (–x–10 3x+4 3x+4 x+10) –14 4x 2x 6 x –10 7 x x 3 2 – x –10 7 – x 3 2 Intersectando: –10 –7 2 3 +– Respuesta: – 7x ; 3 2 Problema 7 Sea la igualdad: x a b x a b .....(*) entonces la proposición verdadera es: UNI 2009 - I Nivel fácil A) (*) si y solo si 2 2x 0 a b B) (*) si y solo si x = a = b C) (*) si y solo si x 0 a b D) (*) si y solo si x 0 a b E) (*) si y solo si x = a = –b Resolución: a) Aplicación de fórmula o teorema x y x y x y b) Solución del problema (x a b) x a b x a b (x a b) 2b 2a 2x 0 Conclusiones a b x 0 Otra solución Tenemos: x a b x a b (2x) (2b – 2a) = 0 x = 0 a = b Recuerda: x y (x y)(x y) 0 Problema 8 Sean los conjuntos: A x / x x 1 y B x A / x x 1 1 Entonces podemos decir que A\B es: UNI 2009-II Nivel intermedio A) B) 1 1,2 2 C) 1 ,02 D) 1 ;0 2 E) 0; Resolución A x / x – x 1 B x A / x – x – 1 1 Operando: I. Calculando el conjunto A (de la ine- cuación). i) x 0 : 0 1 iC.S. 0; ii) x 0 : x - (-x) 1 2x 1 1 2x 1 1 1x pero x 0 2 2 II. Calculando el conjunto B (de la ine- cuación) 1 ; i Como x A 2 1i) x 0 : 2x 1 1 2 1 2x 1 1 0 x 1, pero 1 x 0 2 C.S. ii i ii ii) x 0 : 1 1 1 1 C.S. 0 C.S. C.S. C.S. 0 B 0 ; ; ; Calculando A–B 1A B ;0 2 Respuesta: D) 1 ;0 2 Exigimos más! INECUACIONES 35LIBRO UNI ÁLGEBRA Problema 9 Dada la siguiente relación: y y x x diga cuál de las siguientes gráficas es la que le corresponde: UNI 2010 - I Nivel difícil A) B) C) D) E) Resolución: Ubicación de incógnita Encontrar la gráfica de la relación. Análisis de los datos o gráficos y y x x y x y x Operación del problema Si: x 0 y 0 y x y x Si: x 0 y 0 y x y x 2y 0 y 0 y x Si: x 0 y 0 y x y x 2x 0 y x Si: x 0 y 0 y x y x x y y x Luego: y x Respuesta: D) y x 36LIBRO UNI ÁLGEBRA FUNCIONES ÁLGEBRA La palabra función se escuchará muy a menudo en la misma vida diaria por ejemplo en las siguientes frases: 1. Los precios están en función a la oferta y la demanda. 2. El volumen de una esfera está en función del radio de la misma. Y así podría escucharse otras frases que nos dan una idea intuitiva del concepto de una función, el concepto intuitivo de función. "Es la relación de 2 ó más conjuntos bajo una regla o ley". El objetivo es esquematizar el concepto intuitivo en una definición formal, pero antes daremos algunos conceptos previos. I. PAR ORDENADO Es un conjunto de 2 elementos denotado así: (a;b) Donde: a: se llama 1.a componente. b: se llama 2.a componente. Que formalmente se define así: (a,b) = {{a}, {a, b}} Teorema: (a,b) = (m,n) a = m b = n II. PRODUCTO CARTESIANO Dados 2 conjuntos A y B no vacíos el producto carte- siano de A y B denotado por A x B se define: A x B a,b / a A b B Ejemplo: Sean A = m,n , B p,q,r A x B = {(m,p), (m,q), (m,r), (n,p), (n,q), (n,r)} B x A = {(p,m), (p,n), (q,m), (q,n), (r,m), (r,n)} Vemos que: A x B B x A A B Por el diagrama del árbol A B AxB m p qq r p (m,p) (m,q) (m,r) (n,p) n p qq r (n,p) (n,q) (n,r) Por el diagrama sagital o de Ven A B m n p q r A B m,p , m,q , m,r , n,p , n,q , n,r Por el diagrama cartesiano A B m,p , m,q , m,r , n,p , n,q , n,r III. RELACIONES Dados 2 conjuntos no vacíos, A y B se llama relación R de A en B a todo subconjunto de A x B. Ejemplo: Sea A = {m, n}, B = {p, q,r} A x B m,p , m,q , m,r , n,p , n,q , n,r DESARROLLO DEL TEMA Exigimos más! FUNCIONES 37LIBRO UNI ÁLGEBRA Ejemplo: m n p A B f q 1 2 3 7 Df = A m,n,p,q , Rf 1,3 Observación: Si: x,y f función de A en B se denota, y = f(x), se dice: y: es imagen de x bajo f. x: es la preimagen de x bajo f. x: variable independiente. y: variable dependiente. C. Cálculo del dominio y el rango El dominio se halla ubicando los posibles valores que puede asumir la variable independiente. El rango, dependiendo del dominio considera los valores de la variable dependiente. Ejemplo: Halle el dominio y el rango en: 2 2 25 xf x x 7 I) Df = 2 2x R / 25 x 0 x 7 0 = 2x R / x 5 x 5 0 x 7 0 x 5,5 x , 7 7, x 5 , 7 7; Df = x 5 , 7 7,5 II) Rf = R+0 D. Gráfica de una función Se define como el conjunto de los pares (x,y) x, y R x R / x Df Rf Así: A B C D E Sea: f 3,5 , 2,2 , 1,2 , 4,3 , 5, 4 Se citan las relaciones: 1R m,p , n,p , n, r 2R m,q , n,p , n,q 3R m,q IV. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Unafunción f es una correspondencia entre 2 con- juntos A y B tales que a cada elemento a A le co- rresponde un único elemento de B. Se llama función f al conjunto de pares ordenados (a,b) que: Para cada aA, !b B / a, b f asimismo: a,b f (a, c) f b = c Ejemplo f 3,a , 4,a , 5,b Cumple la definición, por tanto f es una función. Ejemplo: 3 7 9 m n p A B f f 3,m , 3,n , 7,p , 9,n – No se cumple la condición de unicidad. – No es función. "No deben existir 2 o más pares ordenados con el mismo primer elemento". A. Dominio de una función Se llama así al conjunto de todas las primeras compo- nentes que coinciden con los elementos del conjun- to de partida denotado por Df (dominio de f). Df = { x A / !b B a,b f}} B. Rango de una función Es el conjunto de todas las segundas componentes de todos los pares ordenados de f, denotado por Rf (Rango de f). Rf b B / a A a,b f FUNCIONES Exigimos más! 38LIBRO UNI ÁLGEBRA Observación: • Si tanto la variable independiente "x" y la variable dependiente "y" son reales se llama función real en variable real. • Si los pares son continuos la gráfica obtenida es una línea. E. Propiedad de las funciones reales f es una función real de variable real si y solo si cada recta vertical corta a lo más en un punto a su gráfica. Ejemplo: V. FUNCIONES ESPECIALES A. Función identidad B. Función constante C. Función valor absoluto x x 0 f x x 0 x 0 x x < 0 D. Función escalón unitario 0, x aU x 1, x a E. Función signo (sig.x) 1 x 0 y Sig x 0 x 0 1 x < 0 F. Función máximo entero f x x n n x n 1,n Z 2 2 x 1 1 1 x 0 f x x 0 0 x 1 1 1 x 2 2 2 x 3 y 2 1 1 2 3 -1-2 O -1 -2 Df= Rf=z R Exigimos más! FUNCIONES 39LIBRO UNI ÁLGEBRA G. Función inverso multiplicativo 1f x / x 0 x ; f x 1/ x; x 0 H. Función polinomial 1. Función lineal f x ax b ; a 0 2. Función cuadrática a 0 2f x ax bx c; de raíces x1, x2 Discriminante: = b2 – 4ac 3. Función cúbica 3 2f x ax bx cx d Reemplazando x por bx 3a se transforma en: 3k x px q 31f x x px q, de raíces 1 2 3x , x , x llama- mos discriminante: 2 3q p 2 3 I. Función potencial nf x x / n N VI. TRAZADO DE GRÁFICAS ESPECIALES En esta sección veremos una forma rápida de construir las gráficas de algunas funciones definidas a partir de otras cuyas gráficas se asumen conocidas. En este sen- tido, dada la gráfica de una función de base y = f(x) veremos primero la forma de construir rápidamente las gráficas de las funciones siguientes: 1. g(x) = f(x) + k; g(x) = f(x - h); g(x) = f(x-h)+k 2. g(x) = -f(x); g(x) = f(-x); g(x) = -f(-x) 3. g(x) = af(x); g(x) = f(ax); ( a 0 ) 4. g(x) = |f(x)|; y 5. g(x) = f(x) [Todas en base a la gráfica y = f(x)] (1a) La gráfica de g x f x k se obtiene despla- zando verticalmente la gráfica de y = f(x) en |k| unidades: i) Hacia arriba, si k > 0 ii) Hacia abajo, si k < 0 x y O g(x) = f(x)+2 y = f(x) h(x) = f(x)-2 -2 2 (1b) La gráfica de g x f x h se obtiene despla- zando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en h uni- dades: i) Hacia la derecha, si h > 0 ii) Hacia la izquierda, si h < 0 pues si f(x) = x2, entonces: f(x – 4) = (x – 4)2 = g(x) f(x + 3) = (x + 3)2 = j(x) Donde en el caso de: j(x) = (x + 3)2 [x – (–3)]2 se tiene que: h = –3 (<0). Tenemos la gráfica correspon- diente a continuación: FUNCIONES Exigimos más! 40LIBRO UNI ÁLGEBRA (1c) La gráfica de g x f x h k se obtiene com- binando (1a) y (1b) en cualquier orden. y=f(x)=x2 x y y=(x-7)2 7 O y=x -32 -3 (7;-3) g(x) = (x-7)-3 2 (2a) La gráfica g x f x se obtiene por reflexión de la gráfica de y = f(x) sobre el eje x. Considerando a este eje como doble espejo. Todo lo que está encima del eje X pasa abajo, y viceversa. O y=-f(x) x y f -f y=f(x) (2b) La gráfica y f x se obtiene por reflexión de la gráfica de y = f(x) sobre el eje y considerando a este eje como doble espejo. Todo lo que está encima del eje y, pasa abajo y viceversa. O y=-f(x) x y x f(x)=f(-x) y=f(x) -x (2c) La gráfica de y f x se obtiene combinado (2a) y (2b). Ejemplo: Como ilustración de los resultados anteriores. Hallaremos la gráfica de: y = g(x) = –(x – 2)2 + 1 Resolución: Sean f(x) = (x + 2)2 – 1, entonces: f(–x) = [(–x) + 2]2 – 1 = (x – 2)2 – 1 –f(–x) = –x(x – 2)2 + 1 Luego y = g(x) = –f(–x): f(x)=(x+2)-1 2 y y=f(-x+2)-1 2 x -2 -3-4 0 -1 1 -3 1 2 3 4 1 3 =(x-2)-1 2 g(x)=-(x-2)+1=-f(-x) 2 Note que pudimos haber graficado esta parábola di- rectamente, claro. (3a) La gráfica de y a f x . a 0 , se obtiene: i) Estirando la gráfica de y = f(x) verticalmente en un factor a, si a > 1, con base en el eje X. ii) Si: 0 < a < 1, escogiendo la gráfica de: y = f(x) verticalmente en un factor a. (3b) La gráfica de y f ax , a > 0, se obtiene: i) Encogiendo horizontalmente la gráfica de y = f(x) en un factor a, si a > 1, con base en el eje Y. ii) Estirando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en un factor a, si 0 < a < 1. Gráfica de: y = |f(x)| Desde que: f x , si f x 0 y f x f x 0 f(x), si f x 0 Entonces la gráfica de: y f(x) se encontrará comple- tamente en el semiplano superior y 0 y se obtiene a partir de la gráfica de la función y = f(x); reflejando hacia arriba del eje x todo lo que este debajo de este eje, quedando intacta la parte de la gráfica de: y = f(x) que originalmente ya se encontraba arriba o en el mismo eje x (es decir, en la zona y 0). Exigimos más! FUNCIONES 41LIBRO UNI ÁLGEBRA VII. FUNCIONES PARES, IMPARES Y PERIÓ-DICAS A. Función par Una función f se llama función par si: i) x Domf x Dom f ii) f (–x) = f(x) En este caso la regla de correspondencia y = f(x) no varía si se reemplaza x por –x. Geométricamente, la gráfica es simétrica respecto al eje y. Así tenemos que las funciones f(x) = x2, f(x) = Cosx, f(x) = x4, son funciones pares. B. Función impar Una función f se llama función impar, si: i) x Domf x Dom f ii) f (–x) = –f(x) Aquí la regla de correspondencia y = f(x) no varía si se reemplaza simultáneamente tanto x por – x como y por – y. Por lo tanto, su gráfica es simétrica res-pecto al origen. y x f(x) 0 x -x f f(-x)=-f(x) Son funciones impares: a) f(x) = x3 b) f(x) = sen x c) (x) = 1/x Una función que es a la vez par e impar es, por ejemplo: f(x) = 0, x 5 , 2 2 ,5 . x0-2-5 2 5 y C. Funciones periódicas Una función f, en R, se denomina función periódica si existe un número real T 0 , tal que: i) x Domf x T Dom f ii) f (x + T) = f(x) . x Domf Tal número T es llamado un periodo de T. xx y 0 f(x) x+T x+2T x+3T T Note que f(x+T) = f(x) Toda función periódica con periodo T tiene su grá- fica de modo tal que la misma forma que tiene en un intervalo de longitud T se repite horizontal y periódicamente en el siguiente intervalo consecuti- vo de longitud T. Note que si T es un periodo de f, entonces 2T, 3T... también son periodos de f. Las funciones seno y coseno tienen periodo T = 2 : Sen(x + 2 ) = Senx . Cos(x + 2 ) = Cosx; x R También vemos que: 2 . 4 .6 ...2k con k entero 0 , son periodos de seno y coseno, siendo 2 el menor periodo positivo. Definición Se llama periodo mínimo de una función periódica al menor de sus periodos positivos. VIII. ÁLGEBRA DE FUNCIONES A. Igualdad de funciones Dos funciones f y g son iguales si: i) Dom f = Dom g ii) f(x) = g (x), x Dom f En tal caso se denota f = g. Así tenemos que las funciones: f(x) = x2 –x, 2x 0, 4 ; g(x) x x, x 0,5 No son iguales, pues aunque tienen la misma regla de correspondencia, sus dominiosno coinciden. B. Adición de funciones Recordemos que una función está completamente FUNCIONES Exigimos más! 42LIBRO UNI ÁLGEBRA definida cuando se especifica su dominio y su regla de correspondencia. Definición: si f y g tienen dominios Dom f y Dom g, se define una nueva función llamada. Función Suma "f + g", tal que: i) Dom f g Domf Domg ii) (f + g)(x) = f(x) + g(x) C. Sustracción y multiplicación de funciones Si f y g tiene dominios Dom f y Dom g, se definen las funciones: 1. Diferencia "f – g" i) Dom f g Domf Domg ii) (f – g)(x) = f(x) – g(x) 2. Multiplicación "f . g" i) Dom (fg) = Dom f Dom g ii) (f . g)(x) = f(x) g(x) f g x f x g x / x Dom f Domg f g x, f x g x / x Domf Domg Notación La multiplicación de una función por sí misma: 2 nf f : f : f f.f...f (n veces), n Donde: nDom(f ) Domf Domf ... Domf Domf Por lo tanto: el dominio de cualquier potencia entera positiva de f tiene el mismo dominio de la función f. Así: 2f x, f x .f x / x Domf Asimismo: c . f x,c f x / x Dom f para cualquier constante real c. C. División de funciones Si f y g son funciones con dominios Dom f y Dom g, se define la nueva función "cociente" denotada por "f/g", tal que: i) Dom (f/g) = Domf x Domg / g(x) 0 = Domf Domg x Domg / g(x) 0 ii) f x f / g x , g x x Dom (f / g) La condición (i) exige que el dominio de f/g no debe contener los valores de x que hagan que g(x) = 0. Es así, que: f x f / g x, / x Dom f / g g x IX. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas 2 funciones f y g la función composición deno- tado por fog se define así: • fog = {(x;y)|y = f(g(x))} • Dfog = x Dg g(x) Df Esquematizando con el diagrama sagital: Ejemplo: f = {(3;5), (4;3), (5;2)} g = {(5;3), (3;5), (7;2)} Exigimos más! FUNCIONES 43LIBRO UNI ÁLGEBRA fog = {(5;5), (3;2)} Ejemplo: f(x) 4x 3 , x 15,22 g(x) 3x 1, x 7,14 • (fog)(x) = f(g(x)) = 4(3x – 1) + 3 = 12x – 1 • Dfog x 7,14 3x 1 5,22 16 23x , 3 3 23x 7, 3 23fog(x) 12x 1 / x 7, 3 Propiedades de la composición de funciones Dadas las funciones f, g, h, I (identidad) 1. (fog)oh = fo(goh) [asociativa] 2. Si I es la función identidad: función f: foI = f Iof = f 3. (f + g)oh = (foh) + (goh) 4. (fg)oh = (foh) . (goh) 5. fog goh, en general 6. InoIm = Inm; n,m, Z+ 7. Ino(f + g) = (f + g)n, n Z+ 8. 1 nnI oI | I | , para n par Z+ 9. 1 1 n nn nI o I I o I I , n Z+, impar X. FUNCIÓN INVERSA Definiciones previas. A. Función inyectiva Llamada también univalente o uno a uno, se dice inyectiva si a cada elemento del rango le corresponde un único valor del dominio. Formalmente: f es inyectiva si para: 1 2x ; x Df 1 2 1 2x x f(x ) f(x ) Equivalentemente: 1 2 1 2f(x ) f(x ) x x Ejemplo: Ver x 1f(x) x 1 es inyectiva. Resolución: Sean 1 2x ; x Df Si: f(x1) = f(x2) 1 2 1 2 1 2 x 1 x 1 x x x 1 x 1 f es inyectiva. Teorema f es inyectiva si todo vector horizontal corta su gráfica a lo más en 1 punto. Ejemplo: FUNCIONES Exigimos más! 44LIBRO UNI ÁLGEBRA B. Función suryectiva (epiyectiva) Sobreyectiva o sobre. Se dice suryectiva si el conjun- to de llegada queda cubierto por el rango de ese modo coincidiendo el rango y el conjunto de llegada. C. Función biyectiva Una función se dice que es biyectiva si es inyectiva y suryectiva a la vez. XI. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INVERSA Dada una función f x, y / y f x inyectiva se define la función inversa denotado por f* como lo que: f* y; x / y f(x) x Df De donde: Df* = Rf, Rf* = Df Ejemplo: Halle la inversa de x 1f(x) x 1 si existe. Resolución: Se ha visto que es inyectiva, es a su vez suryectiva. su inversa Para hallar la inversa se despeja "x". f x 1 x f x x f x 1 x 1f x x 1 Df* = R – {1} ; Rf* = R – {1} XII. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA Conociendo la gráfica de la función f(x) la gráfica de f*(x) se obtiene reflejando en el eje de la función identidad, así: Propiedades: f x, y / y f x , x Df y f x f* y, x / y f x , x Df x f * y y f x f * y x x DF I. f * f x x; x Df II. f f * y y; x Df* Rf III. (fog)* = g* o f* IV. (f*)* = f Exigimos más! FUNCIONES 45LIBRO UNI ÁLGEBRA Problema 1 Sean A y B conjuntos no vacíos, señale la alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I. Si: (x,y);(x,z) f {(x,y) /x A,y B} AxB implica que y = z, entonces po- demos decir que f es una función de A en B. II. Toda función sobreyectiva f:A B es inyectiva. III. Toda función inyectiva f:A B es sobreyectiva. A) VVV B) VFV C) VFF D) FFV E) FFF UNI 2010-I Nivel fácil Resolución: I. Verdadero De acuerdo a la condición de unici- dad esta proposición es perfecta- mente válida. II. Falso No necesariamente, por ejemplo: F : 1;2 0;4 2y F(x) x Es una función sobreyectiva, pero no es inyectiva. III. Falso No necesariamente, por ejemplo: F : 1;3 2;4 y F(x) 2x 1 Es una función inyectiva, pero no es sobreyectiva. Respuesta: C) VFF Problema 2 Dadas las funciones: f = {(3, 1); (2, –3); (5, 0); (4, –4); (1, 1)} g = {(–4, 3); (–2, 7); (0, 0); (1, 5); (2, 1)} h = {(1, –4); (3, –2); (5, 0); (7, 2)} Determine la función compuesta f o g o h. UNI 2010-I Nivel intermedio A) {(1, 0); (5, 1)} B) {(3, –3); (5, –4)} C) {(1, 1); (7, 1)} D) {(1, 1); (2, –3)} E) {(3, –1); (7, 1)} Resolución: f={(3;1), (2;–3), (5;0), (4;–4), (1;1)} g={(–4;3), (–2;7), (0;0), (1;5), (2;1)} h={(1;–4), (3;–2), (5;0), (7;2)} Calculando goh: goh = {(1;3), (3;7), (5;0), (7;1)} f = {(3;1), (2;–3), (5;0), (4;–4), (1;1)} fo(goh) = {(1;1), (7;1)} Respuesta: C) {(1;1), (7;1)} Problema 3 Dada la función: 1f(x) K ; x K x K Halle todos los valores que puede tomar K para que la gráfica de la fun- ción f y de su inversa sea la misma. UNI 2010-I Nivel difícil A) 1;2 B) 0;1 C) 1;1 D) 0 ; E) ; Resolución: 1y K ; x K x K 1 1x K x K ; y K y K y K 1f * (x) K ; x K x K f(x) f * (x) Lo cual se cumple para cualquier valor real de K, es decir: K ; . Respuesta: E) ; Problema 4 El rango de la función f : 0 definida por: 1f(x) x x es: UNI 2007 - II A) 2, 2 B) 2, 2 C) 1, 1 D) 1, 1 E) 0 Resolución: Sabemos: 1x 2 ; x 0 x 1x 2 ; x 0 x f(x) 2 f(x) 2 problemas resueltos FUNCIONES Exigimos más! 46LIBRO UNI ÁLGEBRA Ranf = ; 2 2; 2;2 Respuesta: A) 2, 2 Problema 5 Dada la función: 25x 7x 8f(x) x 3 / 5 definida sobre 3 3, 5 5 . Halle el rango de f . UNI 2008 - I A) 13 7; 5 5 B) 13 7; 5 5 C) 7 13; 5 5 D) [7;13 E) 7;13] Resolución: Piden: Rango de f . Siendo: 25x 7x 6f(x) 3x 5 Tenemos: 5(5x 3)(x 2)f(x) 5x 3 Reduciendo: f(x) 5(x 2) Si: 3 3x ; 5 5 , entonces: 3 3x 5 5 Restando 2: 3 32 x 2 2 5 5 Por 5: 13 7x 2 5 5 f(x) 13 5 x 2 7 Luego: 7 f(x) 13 Rg f 7;13 Respuesta: D) 7;13 Problema 6 En la figura adjunta se muestra las grá- ficas de las funciones f y g definidas por: f(x) = ax2 + bx + c g(x) = mx2 + nx + p De las siguientes relaciones: I. 2n 4mp II. a b m n III. abc mnp ¿Cuáles son verdaderas? A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) II y III Resolución: Del gráfico: f y g tienen raíces reales e iguales. I. 0 para g n2 – 4mp = 0 2n 4mp II. Como tienen vértices iguales en- tonces: b n a b– – 2a 2m m n III. a > m, ya que
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