Algebras de Boole

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Matemática 1
Comisión 2C
CLASE 17.04.23
Sabemos que la suma, la resta y la multiplicación son cerradas en el conjunto de los números reales 
(satisfacen la ley de cierre). 
La operación $ está definida a partir de la suma, la resta y la multiplicación por lo cual la operación $ es 
cerrada en ℝ.
La operación NO es conmutativa. Veamos un contraejemplo (ejemplo en el que se ve que no es 
conmutativa).
 2$3 = 2 − 3 + 2 ∙ 3 = 2 − 3 + 6 = 5
 3$2 = 3 − 2 + 3 ∙ 2 = 3 − 2 + 6 = 7
2$3 ≠ 3$2 →La operación $ no es conmutativa. 
Importante: Cuando una propiedad NO se cumple (como en este caso) basta con mostrar un ejemplo en el 
que no se cumpla.
En cambio cuando se cumple hay que mostrarla en general, no alcanza con un ejemplo)
Recordemos que ℕ = 1, 2, 3, 4, …
1) El producto es cerrado en ℕ
(Sabemos que el producto de naturales nos 
da un natural)
2) El producto es asociativo en ℕ
3)Existencia del elemento neutro
Dado 𝑎 ∈ ℕ
𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎
1 ∈ ℕ
Existe el neutro de la multiplicación en ℕ y es 
el 1
4) Existencia del inverso
No se satisface este propiedad. Veamos un 
contraejemplo: 
8 ∈ ℕ
8 ∙ 𝑎′ = 1 → 𝑎′ =
1
8
∉ ℕ
ℕ,∙ no es un grupo. 
Diagrama de Hasse
 𝐻 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
 𝑃 𝐻 = ∅, 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑐 , 𝑏, 𝑐 , 𝐻
Último elemento(todos los demás 
están contenidos en él). Es el 𝟏
(en la idea del orden, no el 
número 1) 
Primer elemento(está contenido 
en todos los demás). Es el 𝟎 (en la 
idea del orden, no el número 0). 
Recuerden que el vacío está contenido en cualquier 
conjunto
Este es el
diagrama de 
Hasse del 
conjunto 𝑃(𝐻)
Diagrama de Hasse
 𝐻 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
 𝑃 𝐻 = ∅, 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑐 , 𝑏, 𝑐 , 𝐻
∅ ⊂ 𝑎 ⊂ 𝑎, 𝑏 ⊂ 𝐻
∅ ⊂ 𝑎 ⊂ 𝑎, 𝑐 ⊂ 𝐻
∅ ⊂ {𝑏} ⊂ 𝑎, 𝑏 ⊂ 𝐻
∅ ⊂ 𝑏 ⊂ {𝑏, 𝑐} ⊂ 𝐻
∅ ⊂ {𝑐} ⊂ 𝑎, 𝑐 ⊂ 𝐻
∅ ⊂ {𝑐} ⊂ 𝑏, 𝑐 ⊂ 𝐻
Conjunto ordenado 
respecto a la 
contención
(relación de orden)
Definición de 
Algebras de Boole
𝟎 y 1 son 
formas de 
nombrar al 
primer y 
último 
elemento
(no son los 
números el 1
y el 0, sino el 
𝟏 y el 𝟎
pensando 
en el 
diagrama 
de Hesse) 
UsuarioW10
Cuadro de texto
0 el el neutro de la operación supremo
UsuarioW10
Cuadro de texto
1 es el neutro de la operación ínfimo
Cuestiones de notación 
Cuidado extremo: los símbolos + y ∙ los veníamos utilizando para indicar la suma y la 
multiplicación entre números. Ahora estos mismos símbolos tienen otro significado.
En el contexto de Algebra de Boole: 
+ indica el supremo (no la suma)
∙ indica el ínfimo (no la multiplicación)
Con esta nueva notación los axiomas 
se anotan como: 
+ indica el supremo (no la suma)
∙ indica el ínfimo (no la multiplicación)
El ínfimo y el supremo son operaciones 
cerradas en el conjunto subyacente
Primer y ultimo elemento
Asociatividad del ínfimo y el supremo
ínfimosupremo
Un ejemplo de álgebra de Boole
 𝐻 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
 𝑃 𝐻 = ∅, 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑐 , 𝑏, 𝑐 , 𝐻
Dotamos al conjunto 𝑃 𝐻 con las operaciones Unión e Intersección (las que ya conocemos y
trabajamos en el capítulo 2, que van a ser cerradas en 𝑃(𝐻) ). Y con la operación
complemento que es una operación unaria.
Lo anotamos así: (𝑃 𝐻 ,∪, ∩, , 𝑠′, ∅, 𝐻)
supremo
complemento
ínfimo
Primer elemento 
(el 0 del álgebra) 
Último elemento
(el 1 del algebra)
Recordemos propiedades que vimos en el C2
Veamos que (𝑃 𝐻 ,∪, ∩, 𝑠′, ∅, 𝐻) cumple con los las 8 propiedades para ser un algebra de Boole. 
𝑃 𝐻 = ∅, 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑐 , 𝑏, 𝑐 , 𝐻
Sean 𝐴, 𝐵 y C tres elementos cualesquiera del conjunto 𝑃 𝐻
 (𝐵1) Conmutatividad de la unión: A ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ A✔(Por lo que vimos en C2)
 𝐵2 Conmutatividad de la intersección: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ A✔(Por lo que vimos en C2)
 (𝐵3) Distributividad de la intersección en la Unión: 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)✔(Por lo que vimos en C2)
 (B4)Distributividad de la unión en la intersección: 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)✔(Por lo que vimos en C2)
 (B5) Existencia del elemento neutro para la unión
Veamos que ∅ ∈ 𝑃(𝐻) y 𝐴 ∪ ∅ = ∅ ∪ 𝐴 = 𝐴. Luego existe elemento neutro para la unión en 𝑃 𝐻 y es ∅
 (B6) Existencia del elemento neutro para la intersección 
Veamos que H ∈ 𝑃(𝐻) y dado 𝐴 ∈ 𝑃(𝐻) se tiene que 𝐴 ∩ 𝐻 = 𝐻 ∩ 𝐴 = 𝐴. Luego existe elemento neutro para 
la intersección en 𝑃 𝐻 y es 𝐻
 (B7)𝐴 ∪ 𝐴𝑐 = 𝐻 que es el neutro de la operación intersección, “es el 1 del algebra”
 (B8) 𝐴 ∩ 𝐴𝑐 = ∅ que es el neutro de la operación unión, “es el 0 del algebra”
Como cumple con las 8 propiedades estamos en condiciones de decir que (𝑃 𝐻 ,∪, ∩, , 𝑠′, ∅, 𝐻) es un 
algebra de Boole
Otro ejemplo de álgebra de Boole
 dos estados: 1, 0; on, off; verdadero falso
 Conjunto subyacente: 𝐵 = {0,1}
(Seguramente trabajaron con una idea similar en Organización de Computadoras) 
Se probar que el conjunto 𝐵 = {0,1} dotados con las operaciones ínfimo, supremo y complemento definidas 
arriba verifica las 8 propiedades para ser un algebra de Boole. 
Otro ejemplo de algebra de Boole
El ínfimo es la conjunción
El supremo es la disyunción 
A trabajar
 Con esto pueden hacer los ejercicios 8 y 9 de 
las páginas 18 y 19(el 10 no lo vamos a hacer)