Cálculo Integral - Problemas Propuestos - Wilton Oltmanns

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2 
 
Introducción 
 Este manual de cálculo integral y series es una ayuda preparada para 
los estudiantes que t ienen que cursar esta materia y para los amantes de las 
matemáticas . En este se empieza con una retroalimentación al cálculo 
diferencial con el objetivo de reforzar los conocimientos principalmente de 
límites y derivadas. 
 Entre los contenidos se encuentran tiene: Diferencia entre calculo 
Diferencial e integral, Derivación logarítmica, derivadas por formulas, 
formas indeterminadas y límites por la Regla de L°Hoppital , historia del 
cálculo integral , primitiva de una función, integral definida e indefinida, 
Resolución de integrales inmediatas, integrales por el método de 
sustitución, integrales trigonométricas, Integrales por identidades 
trigonométricas, integrales por partes, integrales cíclicas, método tabular, 
integrales de potencias de la distintas funciones trigonométricas , integrales 
de ángulos distintos, método de sustitución trigonométrica inversa, 
integración por tabla , integrales que contienen polinomios cuadráticos, 
método de fracciones parciales, método de Heaviside, integración de 
funciones racionales de seno y coseno, Integrales con valor absoluto, 
sumatoria y propiedades, estimación de áreas , sumas de Riemann , Reglas 
de Simpson, Reglas del trapecio, integral definida, Teoremas fundamentales 
del cálculo, áreas entre curvas, integrales impropias, integrales 
convergentes y divergentes, volumen de sólidos de revolución, método de 
los discos, método de las arandelas, series, serie de Maclaurin, serie de 
Taylor y serie de Fourier. 
 Al final de cada unidad hay actividades de ejercicios para que el 
lector se pueda ejercite . Se espera que este manual sea de mucha ayuda. 
 
Wilton Oltmanns 
Revisado el 18 de enero del 2015 
 
3 
 
 
 
C á l c u l o 
El cálculo elemental incluye dos procesos que son fundamentales en el 
análisis matemático: 
 El cálculo diferencial: Estudia el cambio que hay en las 
funciones. Define la pendiente de la recta tangente de la función 
en un punto determinado. 
 
 El cálculo Integral: Permite hallar el área de figuras curvas las 
cuales se forman por regiones l imi tadas por funciones 
continuas. 
 
Definición y propiedades de la función logaritmo natural. 
La función logaritmo natural se define como 
1
1
ln , 0
x
x dt x
t
  . 
Propiedades de los logaritmos. Si a y b son números positivos y n es 
racional, se satisfacen las siguientes propiedades. 
1. ln1=0 3) ln Pn=n ln P 
2. ln (PQ)= ln P + ln Q 4) ln (P/Q)= ln P – ln Q 
 
Derivada de la función logaritmo natural. 
Sea u una función derivable en x 
1
1. (ln ) , 0
d
x x
dx x
  
1 '
2. ( ) , 0
d du u
lu u
dx u dx u
  
 
 
 
 
 
4 
2 1 3 2
'
2 3 2 1
y y
x x x
  
    
    2
2
2 1 3 2 3 2
'
2 3 2 1 ( 1)
x x
y
x x x x
   
    
    
 
 
 
Derivación logarítmica. 
Se llama derivación logarítmica al proceso de utilizar los logaritmos como 
ayuda en la derivación de funciones no logar ítmicas. Ejempló. 
Ejemplo: Hallar la derivada de 
2
2
3 2
, 1
( 1)
x x
y x
x

 

 
1. Se Reescribe la función. 
2
2
3 2
, 1
( 1)
x x
y x
x

 

 
2. Se aplica logaritmo en ambos miembros.
2
2
3 2
ln ln
( 1)
x x
y
x



 
3. Aplicando las propiedades logarítmicas en ambos miembros.
 
1
2
ln 2ln ln(3 2) 2ln( 1)y x x x     
4. Derivar en ambos lados. 
5. Despejar a y 
6. Sustituyendo a y por el paso 1. 
 
Ejemplo 2: Hallar la derivada de
4
7
( 1)
2
x
y
x



 
Resolviendo
4
9
7 9
8 8 4
9 9 7
( 1) 1
4 ( 1) ( 2)
72
' 1 1 9 4 1 9 ( 1)
4( ) ' ( )
1 7 2 1 7 2 2
x
Lny Ln Lny Ln x Ln x
x
y x x x
y
y x x x x x

     

     
        
        
 
 
 
 "Cuando se muere un viejo es como si se quemara una bibl ioteca" 
(Probervio africano) 
' 2 1 3 2
2 3 2 1
y
y x x x
 
   
  
 
5 
 
 
Resolución de derivadas por fórmulas 
Sean u y v funciones de x. 
1. La regla de la constante 
 
( )
0
df d c
dx dx
  
 
2.Regla de una variable 
 respecto a ella misma 
 
( )
1
df d x
dx dx
  
3 .Regla del múltiplo constante. 
 
( )d cu du
c
dx dx
 
  
 
 
4. Regla de las potencias. 
1 'n n
d
u nu u
dx
    
5. Regla de la suma 
 
d
' '
dx
u v u v   
6. Regla del producto: 
  ' '
d
uv uv vu
dx
  
7. Derivada del cociente. 
2
' 'd u vu uv
dx v v
 
 
 
 
 
   
3
3 3
3
3 2
Esta es la derivada de un producto, 
por lo tanto se tiene que:
( 1) (5 1) (5 1) ( 1)
 ( 1) 5 (5 1)
Ejemplo 1: Resolver
3
 5
 las siguientes d
1
erivadas 
 ( 1)(
5
1
3
5 )
dy d d
x x x x
dx dx dx
x x x
x x
d
x x
dx
x
     
   
  
  
 
     2
2
5
 
6 4
 2
Ejemplo 2: Resolver ( 6 4)
6
dy d d d
x x
d
d
x x
x dx dx dx
dy
x
d
dx
x

  




 
6 
 
 
Derivadas de funciones trigonométricas 
   
   
   
2
2
8) ( ) cos . ' 11) ( ) cosec . '
9) os( ) . ' 12) ( ) sec . tan . '
10) ( ) sec . ' 13) ( ) co
d d
Sen u u u Cot u u u
dx dx
d d
C u senu u Sec u u u u
dx dx
d d
Tan u u u Cosec u
dx dx
  
  
   sec .cot . 'u u u
 
22Ejemplo: Derivar y = ( ' 2 cos ( 9)9) y x xSen x    
Derivadas de funciones exponenciales 
 
14. función potencial inversa 
 
1
1 '
 
n n
d nu
dx uu

 
  
  
15. Derivadas para raíz (n-esima) 
1
'n
n n
d u
u
dx n u 
  
  
 
9 2
8
29
Ejemplo: Derivar y = 3
2
 '
9 3
yx
x
x
  
  
 
 16. Derivada de la función exponencial en base a. 
) ( ) .ln b) ( ) .ln . 'x x u u
d d
a a a a a a a u
dx dx
  
17. Derivada de la función exponencial natural. 
( )
) b) ( )
x
x u ud e d dua e e e
dx dx dx
  
 
 
 
7 
 
 
 
 
18) Derivada de una función elevada a otra función. 
1 ( ) . . ' + . Ln u . v 'v v v
d
u v u u u
dx
 
Derivadas de funciones Logaritmicas 
18. Derivada de la función logaritmo natural. 
 
'
( ) , 0
d u
Ln u u
dx u
 
 
19. Derivada de la función logaritmo decimal . 
 
'
( )
.ln
a
d u
Log u
dx u a
 
 
 
 
3
3 2
3
3 3
1
 
E
+ 1 3 1
 + 1 
jemplo: Deriva
+
r y
 
 = Ln +
1
 1
Senxd
Cosx x xdy dx
dx Cosx x Cosx
Cosx x
x
 
   
 
 

 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
Cálculo Integral 
Práctica: 1 
Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:……………………….. 
Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….… 
Práctica de funciones logarítmicas y exponenciales. 
 
 
   
 
   
 
   
  
5
5
4
9
36
3
7
5 3 4
3
8
3 3
7
23
43 5
8
. Deriva las siguienttes funciónes:
1. y = ln 2
2. y = Log 2 5
3. y = ln 2 1 3 4
6 2
4. y = 
3
1 6
5. y = 
2 7
5 2
6. y=
2 2
4 2 2 6
7. y=ln
5 2
I
x x
x
x x
x x
x
x x x
x
x x
x
x x
x


  
 


 



  
 
 
  
 
 
    
 
 
4 3
5 3
7
3
3
ln
6 9cot8 6 4
sec
9 2 6
3 5
2 8
. Halle la derivada de las funciones 
exponenciales dadas:
1. y = e
2. y = Tan
3. y = e ln
4. y = 5 cos
5. y = x cos
6. y = 7
7. 
x senx x
x xx
x x
x
sen x
sen x senx
II
e x e
sen x
Cot e x
e
 
 

 

 
 
 
 
 
 
6 3lncos 5
3
y = e 9
8. y = x Tan .
9. y= sec9 (ln cos )
x senxx x
xe senx
Co x x
 
 
9 
 
 
  
5
2
5
4 cos
sec6
3
16
6 52
10
5
9 3
18
. Determine la derivada de cada función:
1. y = log
2. y = log
an
3. y = log cot
4. y = log 2 tan cos * 7
5. y = log secx x
x
x
IV
senx x
Sen x x
T e
x x
x x x
x e

 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
8 2
2 4
6
3 2
3
ln 2
tan cos 3
ln cos
ln 6
cot ln
ln 5
. Encuentre la derivada de las funciones exponenciales 
 
1. y = 5
2. y = 4 7
3. y = sec 10
4. y = 6
5. y = 6
6. y = 12
x x sen x
x x x x
x x
x x x Cotx
x x x
cos x x
III
 
 

  
  
 

 
  
 
2
3
2
sec cos2
tan
cos
4
7. y = 16
8. y =10 ln 4
9. y = 6
x
x senx x
sen x
x
sen
e
x

  
"La cara es el espejo del alma, y los ojos confiesan en 
silencio los secretos del corazón" (San Jerónimo) 
 
10 
 
 
 
20. Derivadas de las funciones trigonométricas inversas. 
2 2
2 2
2
' '
( ) (arccos )
1 1
' '
( tan ( cot )
1 1
' '
( sec ) ( sc )
1
d u d u
arcsenu u
dx dxu u
d u d u
arc u arc u
dx u dx u
d u d u
arc u arcc u
dx dxu u u u

 
 
 
 

 
 2 1
 
26. Derivación e integración de funciones hiperbólicas. 
2
2
( ) (cosh ) ' (coth ) (csc ) ' 
(cosh ) ( ) ' (sec ) (sec tanh ) ' 
(tanh ) (sec ) ' (csc ) (csc coth ) ' 
d d
senhu u u u u u
dx dx
d d
u senhu u hu hu u u
dx dx
d d
u h u u hu hu u u
dx dx
  
  
  
 
32. Derivación de funciones hiperbólicas inversas. 
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
' '
[ ] [ ]
1 1
' '
[tan ] [ t ]
1 1
' '
[sec ] [ sc ]
1 1
d u d u
senh u cosh u
dx dxu u
d u d u
h u co h u
dx u dx u
d u d u
h u c h u
dx dxu u u u
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: Hallar la derivada de las funciones dadas. 
 
 
     
2
2
5 6
6
6
2 2'
1 4
' 6 3 3
1) ( 4)
2) 3
3 1
1
1 
y Arcsen x
y Sech x
x
y
x
y x Sech x x Tanh x x
x
 
 
      

  


 
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
8
4
7 10
8
5
11
9
tanh 2
II. Determine la derivada de cada función:
1. y=senh ln
2. tanh
tan
3. y sec 9 ln
3
4. cos
5. tan coth ln
6. log tanh
7. ln 3 coth 5 4
8. 
x
x
x
x
x x
y arcsenx x
senh e x
x h
x
y ch x senx
y x e x
y senhx x
senx x x
y


 

 

 
 

   

   4cosh tanh ln
13 9
xx e x
 
Cálculo Integral 
Práctica: 2 
Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:………………………….. 
Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….… 
Práctica de funciones trigonométricas inversas e hiperbólicas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El mejor medio de conservar los amigos es no pedirles ni deberles nada. 
François de la Rochefoucauld. Escritor francés. 
 
   
 
 
5
9 5 arccos
csc 4
ln cot 9
5
. Halle la derivada de las siguientes funciones:
1. y = tanh ln 7
2. y = arctan 9 
3. y = arcsec 4
4. y = 11 arccos
5. y = 3 arctan 6 3
x x
x
arc x
x
I
arcsen x x x
x x e
x
sen x x
x x

  
 

 
  
   
 
 
 
  
 
 
2
6 3sec 6
10 9
2 3
7
arctan 8 4
6
6. y = 6 log
5
7. y = Arccos 9
8. y = Sen sec ln ln arctan
9. y = 14 11 sec
10. y = Arcsen ln
arc x x
sen x
x
senx x
x
x
arc x x
x x arc x
x x



 
 
 
 
 
 


 
 
12 
 
 
Indeterminaciones y Límites 
Las formas indeterminadas 
A 0
0
 y 

Se le llama formas indeterminadas porque no garantizan que 
el límite exista , ni indican cual es en caso de existir . 
Las más comunes son 
0 0
, , ,0 , ,0 ,1 ,
0
    
   
 Regla de L’HÔpital 
Sean f y g funciones que son derivables en un intervalo abierto (a,b) 
conteniendo un (a,b)c . Asumir que g´(x) existe para todo x en (a,b), 
excepto posiblemente el propio c. si el límite de 
( )
 
( )
f x
g x
 cuando x tiene a c 
produce la forma indeterminada 0 ,
0


, entonces , 
( ) ´( )
im im
( ) ´( )x c x c
f x f x
L L
g x g x 
 
Supuesto que el límite de la derecha existe es infinito). Este resultado 
también aplica si el límite de 
( )
 
( )
f x
g x cuando x tiende a C produce 
cualquiera de las formas indeterminadas 
, ,
,
ó   
    . 
Ejemplo 1. Encuentre el 
0
2
lim
x
x senx
x
 
0
2 2(0) 0 0 0 0
lim
0 0 0x
x senx sen
x
  
  
 
Como el cálculo directo nos lleva a la 
forma indeterminada 
0
0 podemos aplicar la regla de L’HÔpital.
 
0 0 0
2 2 cos
lim lim lim2 cos 2 cos0 2 1 1
1x x x
x senx x
x
x  
 
       
 
 
 
13 
 
 
Ejemplo 2. Halle el l ímite de 
2
ln(3 5)
 
( 2)x
x
Lim
Tan x


 
2
2 22 2
ln(3 5) 0
Evaluando se tienes que 
( 2) 0
3
3 33 5Ahora plicando regla de L'Hopital 3
( 2) (3 5) ( 2) 1
x
x x
x
Lim
Tan x
xLim Lim
Sec x x Sec x

 



   
   
Ejemplo 3. Determine el límite
0
im(cos )Cotx
x
L x

 
1. Evaluando directamente se tiene que 
2. Ahora se aplica logaritmo natural 
3. Aplicando propiedades logarítmicas y evaluando 
00
ln y = lim1 (cos ) limcot 1 cos (cot 0)1 cos .00Cotx
xx
n x x n x n

  
4. Para aplicar el Hoppital se debe obtener las indeterminaciónes 0
0
ó

 
 
5. 
En la expresión (2) aplicar identidades trigonométricas y evaluar 
 
6. 
 
0 0
cos
limcot 1 cos lim
0
0x x
Ln x
x n x
Tanx 
  
 
7. Ahora si se puede aplicar la regla de Hoppital 
 
 
0 0 0
0
cos
lim lim lim
 1
lim 0
x x x
x
Ln x Senx Senx
Lny
Tanx Cosx Secx
Senx Lny
  

   
       
   
    
8. Como La variable dependiente esta afectada por un logaritmo se 
aplica la operación inversa de esta. 
 0
0
0 1 im(cos 1)Ln Cotx
x
y Le xLny e y

      
 
 
csc
0
 lim (cos ) x
x
Ln y Ln x


cot cot0
0
im(cos ) ) 1(cos0x
x
L x

 
 
14 
 
Cálculo Integral 
Práctica: 3 
Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:………………………….. 
Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….… 
  2
22
3
2
2
2
2
1
0
0
3
3
I. Busca el límite de las siguientes funciones:
2
1. y= lim
4
8
2. lim
2
3 5
3. lim
5 6 3
4. lim
5. lim cos
2
6. lim
3
7. lim
3
1
8. lim 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x x
y
x x
y x e
y x
sen x
y
sen x
e e
y
x
y
x














 

 







 

23
5 2
20
5 2
9. lim
9 3
3
10. lim
8
x
x
x
y
x x
x x
y
x x



 

 
    



 
El hombre que sabe gastar y ahorrar es el más feliz, porque disfruta de 
ambas cosas. Samu el Johnson . Ensayis t a , poeta y dramaturgo inglés . 
 
 
23
0
3 3
0
2
0
2
3 2
1
0
2
2
2
11. lim
1
12. lim
tan 3
13. lim
14. lim
15. lim tan
7 4
16. lim
2
17. lim cos
4
18. lim
19. lim 5 2
xx
x
x
x x
x
x
senx
x
x
x
x
x
x
x
e e
e
x
e e
senx
x x x
x
x x
x x
x x
x
x x x














  
 


 
  
 
15 
 
 
 
 
Cálculo Integral 
 
 En el siglo III a.c Arquímedes y otros griegos empezaron a investigar 
cómo conseguir el área y volumen de cualquier figura geométrica. Dieron 
una regla general para calcular la medida del área de un rectángulo (b.h ), 
por tal razón el área de un triangulo rectángulo es (1/2.b.h). 
 Se sabe que la trigonometría nos proporciona fórmulas para hallar la 
medida de cualquier clase de triángulo (1/2b.h senθ) . Los pitagóricos 
inventaron que un polígono se puede descomponer en triángulos, entonces 
su área se consigue mediante la suma de las áreas de los tr iángulos en que 
se ha dividido (Método del agotamiento). Este procedimiento de medir áreas 
sólo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas y es un 
aproximado. En esa época los griegos no encontraron una expresión general 
por falta de herramientas (limite). 
 La ciencia queda al desnudo con la quema de la biblioteca deAlejandría (S. III d.c), años más tarde (1600) Johane Keepler Comienza a 
investigar sobre área de figuras curvas y funciones, acertó en muchas cosas 
pero no pudo encontrar un método general . 
Después Pierret Fermat y Renet Descartes (Fran ceses) combinan algebra y 
geometría (descripción de figuras a través de ecuaciones). 
 Finalmente ha mediado del siglo XVII se logra inventar un método 
general para buscar área bajo curva, a ese método se le llamo integración. 
 El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una 
rama de las matemáticas en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso 
de integración o anti -derivación. 
 Fue inventado por Leibniz, Newton y Barrow, éste último junto a 
Newton, crearon el Teorema fundamental del cálculo integral que propone 
que la derivación y la integración son procesos inversos. 
 La integración es una herramienta para calcular mucho más que áreas 
y volúmenes. Tiene aplicaciones en estadística, economía, ciencias e 
ingeniería. Permitiéndo calcular rangos de aplicaciones de probabilidad y 
promedios de consumo de energía, así como la fuerza del agua contra las 
compuertas de una presa. Su objetivo es permitir calcular efectivamente 
muchas cantidades, dividiéndola en partes más pequeña y sumando después 
en total cada trozo. 
 
16 
 
 
 
Función primitiva, antiderivada o integral. 
 Es la relación dependiente de datos 
sobre uno o más valores que declaran los 
límites de un área. A través de la primitiva se 
encuentran una familia de funciones que solo 
difieren en la constante. Por lo que 
( ) ( ) ( ( ) ) ( )
dy
f x dx F x c F x c f x
dx
     , 
eso indica que la operación inversa de la 
integración es la derivación y viceversa. La 
función f (x) posee infinitas integrales que solo 
se diferenciaran en una constante (c). 
Tipos de Integrales. 
Hay dos tipos de integrales, las cuales son la integral definida cuyo resultado es un 
número y la integral indefinida mediante la cual se obtiene otra función. 
En este manual empezaremos por el estudio de las integrales indefinidas Las cuales formar 
parte de ecuaciones y descripciones de modelos en el gran marco de las teorías de 
matemáticas puras y aplicadas. 
El diferencial es el que nos indica respecto a cual variable es que vamos a integral. 
( )d  la integración se va a realizar respecto a  , no sobre  . 
 
 
 
 
 
19 
1
1
n
n xx c
n

 

 
 
 
Resolución de integrales 
Por medio de integración inmediata. 
Para resolver integrales de este tipo es conveniente que el estudiante memorice una serie de 
integrales fundamentales 
 
1. Integral de Cero : Será igual a una constante. 
2. Integral del diferencial de una variable : 
 Es igual a la variable más una constante. 
3. La integral del producto de una constante por una función : 
 Es igual al producto de la constante por la integral de la función. 
 
4. La integral de la suma (o diferencia) de dos funciones: Es igual a la 
suma (o diferencia) de las integrales de cada una de ellas. 
 
5. Integral de una función exponencial: Es igual a la base de la 
función elevada al exponente aumentado en uno y dividido por el 
exponente aumentado en uno, más una constante, es , 
decir, para 1n   de una forma general tenemos que , Para todo número real
1n   . 
6. integral de la función exponencial e 
Reglas para la integración de este tipo: 
1. Se reescribe la función ponerla de tal forma que se pueda integral. 
2. Se integra. 
3. Reducción de términos semejantes. 
4. Escribir el resultado de la integral. 
 
 
( ) ( )kf x dx k f x dx 
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx     
0dx C
dx x C 
  Cedue
uu.
1
1
n
n uu C
n

 

Ejemplos: Resuelva las siguientes integrales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En los siguientes ejemplos hay que desarrollar el numerador. 
Ejemplo g: 3 2 3 6 4 7
1
(4 ) 16 8 16 2
7
x dx dx x dx x dx x x x c           
Ejemplo h: 2 2 2
1
(1 ) | 2 2
2
x x x x xe dx dx e dx e dx x e e c           . 
 
 
 
Solo si estás dispuesto a ir demasiado lejos sabrás lo lejos que puedes llegar . 
Autor pendiente 
 
6 1 7
6.
6 1 7
x x
a x dx C

  

4 1
4 4 5. 5 5 5( )
4 1
x
d x dx x dx x c

   
 
 

 c
x
c
x
dxxb
3
3
4 1
3
.   cxc
x
dxxf 2
32
3
2
1
.
3
2
.
2
3
5 4 2
5 4 2
6 5 1 2
. ( 4 3 1)
4 3
1 4 1
3
6 5 2
c x x x x dx
x dx x dx x dx xdx dx
x x x x x c



   
    
     

    
 
26 
Resolución de integrales por el método de 
sustitución o cambio de variable. 
Las operaciones de integración de funciones pueden llegar a ser muy 
complicadas, para facilitarlas se han ideado diversos procedimi entos generales, 
de los cuales uno de los métodos más importante para la resolución de 
integrales complicadas es el llamado método de sustitución o cambio de 
variable . Esta técnica consiste en introducir una nueva variable (u) para 
sustituir a una expresión apropiada del integrando, de manera que la expresión 
resultante sea más fácil de integrar. Hay que tomar en cuenta que si tenemos a u 
también debemos tener su diferencial por lo tanto debemos derivar. 
7. La función logaritmo natural y la integración. 
 Sea u una función derivable de x. 
a. 
lndx
x
x c  b. ln
du
u
u c  
Ejemplo 1: resolver las siguientes integrale. 
6 6
5 5 (1 )(1 ) |
6 6
1 ,
x
x x
x x
u e
e e dx u du c c
u e du e dx

     
  
  
Ejemplo 2: Separando el numerador. 
 
2
3
3 2
2
x
dx
x x

 ; haciendo 
3 2u x x  el denominador y luego derivando para obtener 
el numerado y susti tuir cada valor 
 23 2du x dx 
, por lo tanto tenemos que 
y obtenemos de resultado a 
 
 
 3lim 2
du
LnU x x c
u
   
 
27 
 
 Ejemplo 3: Integrar 2 1
x
x
dx
 
2
21
21
1 1 y 2
despejando a du se tiene que:
x
x u
dx du u x du xdx

     
 
2
du
xdx
, aplicando la regla logarítmica para la integración: 
21 1 1
2 2 2
1 ln ln 1udu u c x c     
Ejemplo4: 2
22
6
6
1x
d L xx
x x
x

 
  Esta integral es inmediata ya 
que el numerador es exactamente la de rivada del denominador la siguiente 
también solo que tenemos que acomodar el numerador a través de art ificios 
matemáticos. 
Ejemplo5: 
2 2 2
1
6
1x
dx
x x
c

 

 
 
1 4
5 4 3 3
4
3
5
53
4
5
3
4
1 1 3
1 , 5 
 : 
 
5 5 4
3
 1 1
1
20
z x dz x dx z dz z
x x d
x
c
dx
x
x
x
 
      
 
   





Ejemplo 6 Resuelva la siguiente integral
 
 
 
 
 
28 
 
Resolución de integrales trigonométricas y 
potenciales aplicando el método de sustitución. 
 
 8) 
 Cedue uu .
 
 9) 
 C
a
a
dua
u
u
ln
.
 
 10) 
 Cudusenu cos.
 
11) 
 Csenuduu.cos
 
13) . ln(sec ) ó - ln costgu du u C x c   
14)  . ln ó - ln cscctgu du senu C x c   
15)
   Ctguuduu .secln.sec 
16)
   Cctguuecduecu .cosln.cos 
 
 
a) Demostración de la integral de la tangente. 
 
 
tan ln secxdx x c  
 
 
 
 
 
1 1
sin 1
tan ( sin )
cos cos 
cos , sin 
 
tan 1 sec 
 , 
1
tan 1 1 1 cos ,
x
xdx dx xdx
x x
sea
u x du xdx
al hacer las sustituciones respectivas seobtiene
xdx du n u c n u
xdx
c n x c
u
n x c
 
   
   
       



 




 
29 
 
 
 
b) Demostración de la integral de la cotangente. 
 
 
 sin cos
t ln ln
siu x du xdx
du
co xdx n
u
se x cu
  
    
 
 c) Demostración de la integral de la secante Secxdx . 
 Multiplicando y dividiendo el integrando por secx+tanx 
 
 Resolviendo por el método desutitución trigonométrica 
 
 ln sec tanSecxdx x x c    
 
d)Demostración de la integral de la cosecante Cscxdx 
Multiplicando y dividiendo el integrando por cscx-cotx 
 
 
Por lo que cotLn CscxCscx x Cdx    
Ejemplos: Calcular la siguentes integrales. 
 
   
1 1
cos
9 9
1
9 = 9
9
c s 9
9
o zdz senz
z x
x dx
sen x c
dz dx
  
 

 
 
 
30 
2
2 1 cos2 
2
1
cos2 ; 
2
sen d
como sen Entonces sera
d d
 


  




 
   
7
8
71 8
77
11 cos , 
7
 = 1 cos
8
Resolver 1 c
7 8
os
u x du senxd
senx xd
x
u
u du x c
x
  
  



 
Resolución de integrales aplicando identidades 
y sustitución trigonométricas. 
Las integrales trigonométricas vistas en cursos anteriores son de mucha 
importancia, pues las vamos a usar para poder integrar fácilmente. 
Ejemplo 1: Hallar 2(tan 1)x dx 
Como 
2 2tan 1 secx x  , entonces 
2 2(tan 1) sec secx dx xdx xdx     
Aplicando la fórmula 15 tendremos que: 
sec ln sec tanxdx x x c   
Ejemplo 2: 1
cox
senx dx 
1 cos
ln ln 1duu
u senx du x
u c senx c
   
     
 
 
Ejemplo 3: 
 
La primera es una integral directa y la segunda por sustitucion. 
 
“Libros, caminos y dias dan al hombre sabiduria”. 
 Proverbio árabe. 
 
2 1 1 2
2 4
sen d sen c     
 
31 
 
   
   
   1 2
1
 z +Tan z z +Tan z z dz
 z
= z z dz + z dz, Resolviend
 z +T
o cada integral 
1
 z z dz z +c & + z dz=
an z
Ejemplo 4: Resolver 
-co z
2
 z
s 
Se
Sen dz Sen Cos
Sec
Sen Cos Sen
I Se
n
dz
n Cos s
Sec
en I Sen

  
 
 
 
 



  +c
 
 z +T 1
 z - cosz
an z
 
 
 +
2z
 c
Sen
dz sen
Sec

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El hombre que tiene lengua no es hombre, si no puede con ella conquistar a 
una mujer. Will iam Shakespeare 
 
 33 
 
Cálculo Integral 
Práctica: 4 
Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:………………………….. 
Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….… 
Integrales inmediatas y sustitución
1 
9x dx 
2.  2 4r r dr  
3. 
3
4x dx 
4. 
5. 
2 1
5 4 3
1
5. 2 
5
y y y dy
 
   
 

6. 
3
2
2 3 9y y
dy
y
 
 
7. 
9(4 7 6 )te Sen t dt 
8. 
2Ln xdx
x 
9.  
5
2 3x dx 
10. 
2 32 ( 4)z z dz 
11. 
3 1 Lnx
dx
x

 
12. 7Cos d  
13. 
2Sen Cos d   
14. 45w dw 
3
2
15) 
4
u
du
u
 
 34 
 
 
 
 
2
2
2
5
2 2
tan
sec
2
3
2
2
II. Resuelve las siguientes integrales:
1) tan 11
4
2) 
1
sec 1
cos
3) 
cot
1 1
4) 
sec sec
sec
5) 
cos
6) 
1
cot
7) 
1
6
8) 
1 arccos
7
9) 
ln
7
10) 
x
arc x
x dx
dx
sen x
x
x
dx
x
dx
c x x
xe
dx
x
e
dx
x
arc
dx
x
x x
dx
x x
x
 
 
 













ln
dx
x

 
Las personas no cambian por el s imple hecho de cambiar, s ino, 
cuando hacen conciencia de que realmente deben cambiar. 
Wi lton Oltmanns 
 
 
9
7
2
2
2
5 ln
11) 
3
12) 
3
13) 4
14) 
2 3
tan arccos
15) 
1
x
dx
x
x
dx
x
x x dx
x
dx
x
x
dx
x









 35 
 
Derivando a (uv) ( )
Despejando a ( ) -
ahora se integra -
y se obtiene -
d uv udv vdu
udv udv d uv vdu
udv duv vdu c
udv uv vdu c
  
 
 
 
  
 
 
Integración por partes 
El método de integración por parte surge cuando hay un producto fruto de 
combinaciones de funciones, tal como una algebraica unida a una 
trigonométrica, una algebraica unida a una logarítmica, una 
trigonométrica inversa y una logarítmica solas, aunque también puede ser 
una trigonométrica con una transcendente cualquiera, etc. 
Debido a que no hay una integral inmediata para resolver un producto de 
integrales, ha sido necesario crear un método para darle solución a estas. 
Sean u y v funciones de x con derivadas continuas. 
Demostración:
 
udv uv vdu c    
 
 
 
 
 
 
Nota: Cuando se está frente a una integral por partes, es conveniente 
seleccionar como dv la parte más complicada, pero de más fácil 
integración y como u el resto. Luego se hacia el proceso de integración 
cuantas veces sea necesario 
 
 36 
 
 
 
 
Regla nemotécnica: 
 Para elegir la función se puede usar una de las siguiente reglas 
sabiendo que esta sera la función de la izquierda. 
1. Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebraicas , 
Trigonométricas, Exponenciales. ⇒ L I A T E . 
 
2. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales, 
Trigonométricas ⇒ I L P E T 
 
Nota: Elegimos siempre "u" como la función si tuada más a la 
izquierda de la palabra ILPET, LIATE O ALPES. 
 
 
 
 
 
 
El hombre que tiene lengua no es hombre, si no puede con ella 
conquistar a una mujer. Will iam Shakespeare 
 
 
 37 
 
 
Resuelva las siguientes integrales: 
 
 
 . . 
 1:
 
 
 Re 
x x
x
x xx x
x
siu x du dx
dv e v e
acoplando x e dx ala fórmula ud
Ejemplo solver
v uv vd
xe e
xe dx
u c
xe e dx c
  
  
  


   
  


 
2
2 22
1
 ln
 
2
 ln . 
 2 : Re 
ln
2
ln .
4
 
1
ln
2 2
siu du d
dv d v
acoplando d a
Ejemplo so
la fórmula udv uv vdu
lv
C
er d
c
d
 

 

 
  

 


 
  
  
   
 
  
 
 
   
 
  


 
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
 
 
 
2
 int 
 3 :
:
2 2
 Re 
2 4
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
u x du dx
dv e dx
e
Integrando a dv e dx v
Aplicando el métdo de egración tenemos que
xe e
xe d
Ejemplo solver xe dx
x uv vdu c dx
xe
xe e
Cdx
  
 
 
  
    

 
  


 
A veces se tendría que aplicar varias veces este método hasta llegara a 
resolver definitivamente la integral, debemos tener en cuanta tal como ya lo 
vimos en los ejercicios anteriores que se debe llegar a resolver una sola 
integral y que la misma sea directa. 
 38 
 
 
2Ejemplo 4 : Resolver cosx xdx 
2
2 2
2 2
 2
 cos 
cos 2 . .
Re . . 
 
 cos
cos cos cos
 ( cos ) cos
siu x du xdx
dv xdx v senx
x xdx x senx x senx dx
solviendo x senx dx
siu x du dx
dv senxdx v x
x x xdx x x senx
Uniendo x x senx x x senx csenx x x senx
  
  
 
  
   
    
  

  
 


 
 
 
 
2
2
2
2
1
: Arctanx ; du= ; ; 
1
Arctan dx arctan
 La siguiente integral se resuelve por sustitución
1 ; 
 5: Resolver Ar
 
ctan
1
1
 
1
 
1
x
 
d
dx
x
u dx dv dx v x
x
udv uv vdu c x
Eje
dx
mplo
x x
z
x
x
x
 

     
 


   


 
2
1 2
2 ; 
2
1 1
1
2 2 2
 
 Arct
1
an x
2
d 1 
dz
dz xdx dx
x
x dz dz
xTan x Ln x
Ln
x z
c
x c
z
x 
 
 
     

  


 

 
 
 
 39 
 
 
Integrales cíclicas 
Son aquellas que vuelven a su integral original por lo tanto hay que hacer 
algunos arreglos para obtener su resultado final. 
cos
 
 int :
cos
 que la integral de la derecha es por parte, aplicamos el m
 6 : Re 
étdo d
x x
x x
x
x
u senx du xdx
dv e dx v e
Aplicando el métdo de egración tenemos que
e senx
E
dx e senx e xdx
Da
jemplo solver e se
do
nxdx
  
  
  

e nuevo.
cos cos cos
cos
; 
 se puede obsevar la integral original se repite, porque es cíclica,
cos
x x x x x
x x x
x x x x
x
e xdx e x e senxdx e x e senxdx
u x du senx
dv e dx dv e dv v e
Como
e senxdx e senx e x e senxdx c
e s
    
   
   
   
  
 
 
c
cos
2
2
c
o
s
s
o
x x
x
x
x
x
x
x
x
enxdx e senxdx e senx e x c
e senxdx e senx e x c
e senxd
e senx e x
xc
   
 
 


 


 
2Ejemplo 7 : Resolver .sen x dx 
Reescribiéndola tenemos    dxsenxsenx . 
 





dxxdusenxu
xvdxsenxdv
.cos
cos.
 
Aplicamos el método:   dxxxsenxdxxsen .coscos..
22
 
 
 40 
 
 
 
Aplicando identidades trigonométricas 
   dxxsenxsenxdxxsen .1cos..
22
 
Luego operamos de acuerdo a las propiedades ya vistas de las integrales: 
  dxxsendxxsenxdxxsen .cos..
22
 
 Luego operamos algebraicamente: 
xxsenxdxxsendxxsenxdxxsendxxsen   cos..2cos...
222
 
2 . os
2
.
cse
sen x
nx x x
Cdx
 
 
 
2 2
2
 Resolver 
ln
.
. cosxdx 
2 3 3cos3
. 3 sol: 
Jer
 
13 13
 
cicios: 
x
x x
x
x
dx
x
e
sen xe xe
e sen x x c
E
d  



 
 
 
 "La cara es el espejo del alma, y los ojos confiesan 
en silencio los secretos del corazón" (San Jerónimo) 
 
 
 41 
 
Método Tabular 
Es otro método de resolución de integrales que se usa frecuentemente 
sustitución del método de integrales por partes, pero este es una técnica 
matemática más fácil . Su inventor fue Dan Rosen profesor de la universidad 
de Hofstra. 
Este método es para integrales que tienen la forma: 
cos , ,n n n axx axdx x senaxdx x e dx   
 
Procedimiento: 
Según el prof. ing. gil Sandro Gómez. 
Para calcular    f x g x dx construye una tabla, donde se puedan poner las 
funciones a derivar (fx) en la columna “D” y en la columna “I” las 
funciones a integral (gx). Los signos van alternándose. 
   
   
 2
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
IntDe
f x g x
Df
rivadasSign egra
x I g x
D
los
f x
es



 
  
   
2
1
 
 ( )
 
... ... ...
 ( )n n
I g x
D f x I g x 
 
Se continúa este proceso hasta que: 
 La función a la izquierda se convierta en cero. En este caso siempre 
debe ser una algebraica. 
 El producto de las funciones en el último reglón se pueda integrar. 
 
 
 42 
 
 El producto de las funciones sea un múltiplo constante del producto 
de las funciones en el primer reglón. 
Resuelva la integral dada utilizando el método tabular . 
4
4
3
 sus int
 
- 4 
:
 
 Re x
x
Ejemplo solver
Signos u y sus derivada
x e dx
s dv y egrales
x e
x


2
 
 12 
- 24x 
 24 
- 
x
x
x
x
e
x e
e
e


4 34 2
 0 
 4 12 24xx x x
x
x x
e
x e x e x e x ex e Cd     
 
Resolucion de Integrales Trigonométricas con 
exponentes enteros. 
Hay varios casos de este tipo de integrales, pero es bueno reconocer que 
los más comunes son del tipo. 
cos sec tanm n m nsen x xdx y x xdx  
a) Integrales que contienen potencias de senos y cosenos 
Caso 1 . Si la potencia del seno es impar y positiva, conservar un factor 
seno y pasar los factores restantes a cosenos. Entonces, desarrollar e 
integrar. 
   
2 1 2
2 2
cos cos cos
 cos 1 cos cos 
m n k n k n
k k
n n
sen x xdx sen x xdx sen x xsenxdx
sen x xsenxdx x xsenxdx
 
  
  
  
 43 
 
   
 
2 2
5 4 2 2
5 2 4
5
4 2
. . . . . 1 cos .
. . 1 2cos cos . . 2 .cos . .cos .
Tenemos tres integrales que se res
Ejemplo 1: Resolve
uelven p met d
r
or o
sen x dx senx sen x dx senx sen x dx senx x dx
sen x dx senx x x dx senx dx senx x dx senx x dx
sen xdx
    
     
   
    

1
3
2
2
5
4
3
4
os anteriormente vistos,
como a) se resuelve directamente, b) y c) por sustitucion.
) . cos
cos
) .cos .
3
cos
) .cos .
5
cos
.
. .
a senx dx x C
x
b senx x dx C
x
c senx x dx C
u x
du
du senx dx dx
senx
du
senx u
se
  
  
 



    

 



5 5
4
3
3 5
3
5
cos
.
5 5
Arnando la integral original te
2 1
c
ndremos :
os cos cos
3 5
.
u x
u du C C
nx
s x x x Cen x dx
    
  
  

 

 
3
3
3 4 4
4
cos
Sustituyendo tenemos que :
1 1
cos
Ejemplo 2: Resolver sen xcosx
4 4
 
x
4
 
d
u senx du x
sen x xdx u du u c sen
sen
x
x
C
c
  
 
 
   

 
 
Caso 2. Si la potencia del coseno es impar y positiva, conservar un factor 
coseno y pasar los factores restantes a senos. Entonces, desarrollar e 
integrar. 
   
2 1 2
2 2
cos cos cos cos
 cos cos 1 s cos 
m n m k m k
k k
m m
sen x xdx sen x xdx sen x x xdx
x xsen xdx sen x en x xdx
 
  
  
  
 44 
 
5 2 5
5 3
2 5 7
6 7
5 7 5 7
Sacamos un factor coseno y lo otro lo convertimos en seno:
cos cos (1 s
Ejemplo 3: Resolver sen xcos x
)cos ( cos cos )
c
dx
os cos
6 7
sen x xdx sen x en x xdx sen x x sen x x dx
u u
sen x xdx sen x xdx u du u du C
Ha
   
     
 



  
6 7
: 
6
 
c
7
 
os
cem
sen x sen x
Cos
u senx du xdx

  

 
 
Caso 3. Si las potencias de ambos son pares y no negativas, usar 
repetidamente las identidades. 
2 21 cos2 1 cos 2 cos
2 2
x x
sen x y x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: para potencias d i f erentes consultar l ibros de tablas mate máticas . 
 
 
 45 
 
   
2
2
4
4 2 2
4 2
1 cos 2 1
cos . cos . . 1 2.cos 2 cos 2 .
2 4
1 1 1
cos . cos 2 . cos 2 .
4
Ejemplo 4: Resolver cos x.
2 4
1 1
)
4 4
2
1
) cos 2 .
2 2
dx
.
2
x
x dx x dx dx x x dx
x dx dx x dx x dx
a dx x
u x
b x dx du
du dx dx
Sustituyendo y resolviend
 
     
 
  




  

   
   



 2
4
1 1 1 1
: cos . cos . 2
2 2 4 4 4
1 1 1 cos 4 1 1 1
) cos 2 . . cos 4 . cos 4 .
4 4 2 8 8 8
1 1
. 4
8 32
1 1 1 1
cos . 2 . 4
4 4 8 32
3 1 1
2 4
8 4 32
du
o u u du senu sen x
x
c x dx dx dx x dx dx x dx
x s
x s
en x
x dx x sen x x sen x en x sen x C
  
 
     
 
  
      
 
     

2
2
2
2 2
 :
1 cos 2 1 co
Ejemplo 5 : Re cos
s 2
~ (2),cos ~ (3)
2 2
 (2) (3) (1) :
1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1
(1
2 2 4 4
Aplicamos la identidad del ángulo duplo
x x
sen x x
Sustituyendo y en tenemos que
x
sol
x x
dx dx
ver sen x xdx
 
 
    
   
  

 
2
2
1
4
1 cos4 cos41 1
2 2 4 4
1 1 1 1
4 8 8 8 32
cos41
2 4
cos41
2 4
cos 2 ) ~ (4)
 :
1 cos 4
cos 2 ~ (5)
2
. (5) en (4):
1
(1 ) (1 ) (1 )
4
( ) cos 4 cos
x x
x
x
x
x dx
Utilizamos la identidad del ángulo duplo otra vez
x
x
Sust
dx dx dx
dx dx xdx




    
   





  
  
4
4
8 32
 4 4
 : dz
x sen xzdz
Hacemos z x dz dx
De a hí q
C
ue dx

  


 
 
 46 
 
 
Integrales que contienen potencias de secante - 
tangente y cotangente – cosecante. 
Caso 4. Si la potencia de la secante o cosecante es par y positiva y hay 
factores tangentes o cotangente , conservar un factor secante o cosecante 
cuadrado y convertir los factores restantes en tangente o cotangente. 
Entonces desarrollar e integrar. 
2 2 1 2 2 1 2sec tan (sec ) tan sec (1 tan ) tan seck n k n k nx xdx x x xdx x x xdx      
 
Caso 5. Si la potencia de la tangente o cotangente es impar y positiva y hay 
factores secante o cosecante, se debe conservar un factor secante tangente 
o cosecante cotangente y convertir todos los demás en secanteo secante y 
luego desarrollar e integrar. 
2 1 1 2 1 2sec tan sec (tan ) sec tan sec (sec 1) sec tanm k m k m kx xdx x x x dx x x x xdx       
 
Caso 6. Si la tangente o cotangente están solas y su potencia (n) es 
cualquier entero positivo , se convierte un factor cuadrático de ellos en 
2sec x o 2c sc x y se deja todo lo demás en tangente o cotangente. Aplicar 
este proceso tantas veces sea necesario hasta obtener una tangente o 
cotangente de n=1, la cual se hará inmediatamente. 
2 2 2 2tan tan (tan ) tan (sec 1)n n nxdx x x dx x x dx      
Caso 7. Si se tiene una integral de la forma sec
m xdx se aplican los 
siguientes criterios. 
a) Para m par aplicar el caso 4 
b) Para m impar aplicar la integración por parte. 
Caso 8 . Si ningunas de las guías anteriores aplican tratar de convertir el 
integrando en senos y cosenos. 
 
 
 47 
 
Ejemplo 6. Resuelva el siguiente integral. 
 
2 4 2 2 2 2 2 2
2 2 4 2 2 2 4 2
2
3
2 4
tan sec tan sec sec tan (1 tan )sec
(tan sec tan sec ) tan sec tan sec ~ ( )
:
tan
~ ( ) ( ) ( ) :
sec
3
x xdx x x xdx x x xdx
x x x x dx x xdx x xdx a
Hacemos
u x
b Sustituyendo b en a
du xdx
u
u du u du
  
   


  
  
  
 
5 3 5tan tan
5 3 5
u x x
C C   
 
Ejemplo 7. Calcule el integral. 
3 3 2 2 2 2
4 2 4 2
tan sec tan sec sec tan (sec 1)sec sec tan
(sec sec tan sec sec tan ) sec sec tan sec tan sec ~ ( )
:
sec
~ ( ) ( ) 
sec tan
x xdx x x x xdx x x x xdx
x x x x x dx x x xdx x x xdx a
Hacemos
u x
b Sustituyendo b en
du x xdx
  
   


  
  
5 3 5 3
4 3
( ) :
sec sec
5 3 5 3
a
u u x x
u du u du C C       
 
 
 
 
 
 
 
 
 48 
 
 
Cálculo Integral 
Práctica: 5 
Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:………………………….. 
Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….… 
2
32
cos
5
5
2 4
5
3 2
6
6 2
Integrales por parte y trigonometricas:
1. xsen2xdx
2. 
5
3. cos
4. 5
5. 2
6. 
7. 
8. cos
9. tan
10. cos
11. tan
12. sec tan
x
x
x
x
xsen dx
x xdx
e x dx
e sen xdx
x e dx
sen xdx
sen x xdx
xdx
sen x xdx
xdx
x xd
 
 
 










313. sec
x
x


 
 
2 2
2 2 2
cos
3 5
3
4 2
5 3
1
R : cos 2 sin 2
2 4
R : 5 cos 25sin
5 5
R : cos
R : 5 10
R : 2 cos 1
R : ?
2 1
R : cos cos cos
3 5
1 1 1 1
R : 4 2
8 2 8 6
1 1
R : tan tan ln cos
4 2
1 1
R : cos cos
5 3
R : ?
R : ?
x x
x
x
x x c
x x
x c
xsenx x c
x e e c
e x c
x x x c
x sen x sen x c
x x x c
x x c
  
  
 
 
  
   
 
   
 
  
 
 49 
 
 2
2 3 2
2
2
13) R: ln cos
cos
1 1 1
14) arctan R: arctan ln(1 )
3 6 6
15) ln 
x
dx xTanx x c
x
x xdx x x x c
x
xdx

   



2 R: ln 2 ln 2x x x x x c  
 
 
 
4
3
2
5 4
4
2
16) ln ............ (4 ln 1)
16
1
17) 2 ....... 2 1 4
2
1
18) 2 cos2x dx.... sen 2
12
1
19) ................ 12 8 2 4
32
20) Tanx ...............
x
x xdx x c
arcsen xdx xarcsen x x c
sen x x c
sen xdx x sen x sen x
Sec x dx
   

 
  

 




2
2
1
.
2
21) 3
22) 2
Tan x c
x Cos xdx
e Cos dx 



 
"Tener hijos no nos convierte en padre, del mismo 
modo tener un piano no nos convierte en pianista". 
(Michael Levine)
 
 
 
 50 
 
Integrales que contienen los productos seno-coseno 
de ángulos distintos. 
En este tipo de integrales es necesario convertir dicho producto en función 
de una suma. Su demostración está en el manual de precálculo en la parte de 
trigonometría. Aquí se dan las formulas directamente. Se debe tomar en 
cuenta que m y n son las veces que se repite un ángulo y que 𝑚 ≠ 𝑛. 
 
1
2
1
2
1
2
 
 . (cos[ ] cos[ ] )
 .cos ( [ ] s [ ] )
cos .cos (cos[ ] cos[ ]
 17 : Pr
)
sen mx sen nx m n x m n x
sen mx nx sen m
Fórmula s o
n x en m n x
mx nx m n x m n x
ductos
   
   
   
 
Ejemplo: Resolver las siguientes integrales. 
   
   
 
1
2
1
 8 5 . 8 5 8 5
2
1
 3 1 3 
2
 
1
 
 3
) 8 5 
Senmx Sennx Cos m n x Cos m n x
Sen x Sen x dx C
Sen x Sen
os x Cos x
Cos x dx Cos x dx
Cos x
x dx
      
      
 



 
3 1
 
3 3
dx
u x
Cosu du
du dx
dx du






 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
1 11 
2 3 13
1 11 
2 3 13
1 1
 
6 26
1 1
 3 1 3
6 26
Cosu du Cos dz
Senu Sen z c
Senu Sen
Sen x Sen x c
 
   
 
 
   
 
  
  
 51 
 
   
 
1
2
1 1
10 3 7 13
2 2
1 1 1 1
 
3). 10 3
 7 16
2 7 2 13
1 1
7 13
14 26
Cosmx Cosnx Cos m n x Cos m n x
Sen x Cos x Cos xdx Cos xdx
Sen x Sen x
Cos
Sen x
x Co
Sen x
s xd
c
x
    
  
  


    
   
 

 

 
 
 
 
 
   
 
1
2
1
6 2 4 8
2
4
1 1
4 
4 2
4 
 
4
1 1
 
2) 6
4 8
8 16
2
Senmx Cosnx Sen m n x Sen m n x
Sen x Cos x Sen xdx Sen xdx
Sen xdx
u x Sen u du
du dx
du
dx
Cos
Sen x Cos xd
x Cos
x
x
      
  
 
   
 






 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Transformarte en la persona que tu realmente quieres ser 
 
 
 52 
 
 
 
Método de sustitución trigonométrica inversa. 
Para aplicar el método es necesario usar el Teorema de Pitágoras y las 
identidades trigonométricas. Se hará uso de un triángulo rectángulo desde 
donde se sacaran todas las funciones que serán sustituidas en el ejercicio. 
2
Ejemplo1: Resuelve 
16
dx
x
 
 Sustituyendo en la integral ! 
 
 
 
 
 
 
2
2
2
22
:
4cos
16 4
4cos
16 16
4cos
16 1
4cos
4 1
 
4
4
4
,
4
d
Sen
d
Sen
d
Sen
d Cos d
CosSen
C
x
ol
os d
d C
Cos
x
arcSen C aplicam
ucion arcSen
os la inversa
x
arcSen arcSen
arcSe
C
nx
s
 

 

 

   

 
 





 


   
 
   
 





 
 

 53 
 
   
 
 
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
Ahora sustituyendo en la integral se tiene que :
2
2 4 2
2
4 4 4
2
4 4 1
21
4
2
1 1
4 4
Ahora aqu debemos aplicar iden
Cos d
Sen Sen
Cos d
Sen Sen
Cos d
Sen Sen
Cos d
Sen Cos
Cos d d
Sen Cos Sen
í
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  







 




 
2
2
2
tidades 
trigonom tricas, pues recordemos 
1 1
que cos
4
1 4
,
4
: 
4
4
 
é
Coscx ec d
senx
x
Cot c peroCot
x
soluci
x
C
x
ón
 
 
 

 




2 2
Haciendo sustituc
E
iones de , 2 , dx = 2 cos d
2
jemplo 2 : Resuelve 
4
x
Se
dx
x Se
x x
n n   

 

 
 
 
 

 54 
 
 
 
  
 
   
 
33
2
2 2
3 2
2
3 2
2
2
3
3
2
2
2
 
5 tan
(5sec )
25 5 tan 25
5 25 tan sec
25 tan 25
5 125 tan sec
25 tan
Ejempl
1
125 tan sec 125 tan sec tan
125 sec 1 sec tan
125 sec s
o 3 : R
ec t
esuelve 
an 125 s
25
x
dx d
x
d
d
x
dx
d
d
x
d

 

  

  

     
  
   

 



 
 
 


 


 

2
2
3
2
3
2
3
2
2
ec tan
sec ; sec tan
125 125sec
125
125sec
3
125 25 125
25
3
1
25 25 25
3
5
 
5
d
u du d u du d
x x c
u
u du
u
c
x
x
  
   


    

  
 
  
 

   

 


 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 55 
 
Integración por Tabla 
El método de sustitución trigonométrica puede ser muy útil cuando 
aparecen expresiones algebra icas como la siguientes, sabiendo que ( )u u x. 
Lo que debemos es memorizar estas fórmulas y en vez de irnos por el 
método anterior, sustituir tal como la igualdad. 
 
 
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
1
18) arctan 22) ln
1
19) .ln 23) ln
2
1
20) ln 24) 
2
du u du
C u u a C
u a a a u a
du u a du
C u u a C
u a a u a u a
du a u du
C
a u a a u u u
 
         
 
      
   
 
    
 
 
 2
2 2
1
sec
21) 25) u du u Lnu - u +C
u
arc C
a aa
du u
arcsen c Ln
aa u
 

 
   
 

 
 
 
Ejemplo 1. Resolver las siguientes integrales: 
La descomponemos en dos integrales en la cual en la primera aplicamos la 
fórmula 1 y en la otra una integral por sustitución. 
   





CxLxdx
x
x
dx
x
dx
x
x
)1(arctg
1
2
1
1
1
21 2
222
 
Integrales que contienen polinomios cuadráticos. 
Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o potencias negativas de 
un polinomio de la forma 2ax bx c  se pueden simplificar con e l proceso de 
completar cuadrado. Tienen la forma 
2 2
dx dx
ó
ax bx c ax bx c   
  . 
Ejemplos: Resolver las siguientes integrales. 
1)
1
22
( 1)
( 1)2 2 1
d dx
Tan x
x x
c
x
x   
 

 
 
2)
1
22
( 2)
( 2)4 5 1
d dx
Tan x
x x
c
x
x   
 

 
 
3) 
2 2
1 3
tan( )
( 3) 4 2 26 13
dx x
Arc c
x
dx
x x

 
 

   
 
 56 
 
 
 
 
2
11 3ln
cos
arctan 2
1
1
11arctan 2 3ln
2
1 3ln co
1
s
u c
u
du sen d
x
c
c
x
x


 

 
  

 
 

 
   
 
  

 
 
2 2
2 2
22
2 2
sec tan 2sec
5 3
tan 1 tan 1
tan 2 secsec
5 3
sec 1 sec
5 3 tan 2
5 3 6
cos
5 3
d d
dd
d d
sen
d d
du
u
    
 
   
 
  

  




 
 
 
 
  
  
 
 
 
 
 


4) 
2 4 7
dx
x x 
 Podemos escribir el denominador como la suma de dos 
cuadrados donde tenemos que 
 
2 2 22 3x u a   
. 
 
En esta forma de cuadrados completados tenemos que 
2u x  y 3a  por lo tanto 
2 2
1 2
tan( )
4 7 ( 2) 3 3 3
dx dx x
Arc C
x x x

  
    
 
2
5 3
5) int 
4 5
x
Encuentre la egral de dx
x x

  
Completando al cuadrado el denominador para transforma rlo en el tema 
anterior. Descomponiendo distributivamente 
 
 
 
2
2
2
22
4 5
4 4 1
2 1
5 3 5 3
5 4 5 2 1
x x
x x
x
x x
dx dx
x x x
 
  
 
 

   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
tan 2
tan 2
sec
x
x
dx d


 
 
 

 57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
   
 
 
2
2
2
2
2
2
2
4 sec 1 2
4sec tan 2
4sec 2 2sec tan
4sec 16
4sec 2 2sec tan
16sec 16
4sec 2 2sec tan1
16 tan
4sec 2 2sec1
16 tan
sec4 2 sec
8 tan 8 tan
se1
2 1
2 1 16
2
d d
dx
dx x
dx
Solucion
d
d
d
d
x
d
x
d
x
d

 
   

   

   

  

   
 
 



 


 





 


 






 
 
2
1
cos
2
cos
2
c 1
tan 4
tan ; sec
1 1 1
2 4
1 1
ln cos
2 4
1 1
ln tan ln cos cot
2 4
sen
d
d
u du d
du
d
u sen
u c d
c c



 


  


 
 

 
 
 
   
 
 

     
  
 
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
2 1
2
2 151
4 4
2
2
4 4 15
4 4
4 4 15
2 2
2 2 19 4 2 2 2 4 19
15 1 1 15
4 2 2 4
1 1
4
2 2
1
4
2 1
Ejemplo 6 : 
4 4
2
1
2 1 4
1
4
2
5
4
4
1
1
x x
x x
x x x
x x x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
 
   
      
   
     
   
         
   
  
     
  
 
   
 
   
   
 


 


   
 
2
2
2
2 21
4
2
4 2 1
2
16
2 1
sec , 4sec 2 1, 4s
1
2
ec 1
1 1
2
4
6
x
dx
Transformado
x
x
x
dx
x
x x  


 
 
 
    

   





 58 
 
 
Método de fracciones parciales 
 
Función racional: Es una función que puede expresarse como el cociente 
de dos polinomios. Es decir, 
( )
( )
( )
P x
R x
Q x
 ; Donde ( ) ( )P x y Q x son polinomios. 
El método de fracciones parciales : Es una técnica algebraica que 
descompone un polinomio ( )R x en una suma de términos . Nos permite 
integrar cierta clase de funciones racionales 
1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )
( )
k
P x
R x p x F x F x F x
Q x
      
Donde ( )p x es un polinomio y ( )iF x es una expresión que puede integrarse 
con facilidad. 
Esta integral cuyo integrando, está constituido por expresiones fraccionarias, que por lo 
general son de fácil solución. 
Al momento de intentar resolver este tipo de integrales, es importante tener en cuenta los 
siguientes criterios: 
 Criterio1: Si el numerador de la integral dada, es de menor grado que el 
denominador, se debe –si es posible- aplicar el proceso de factorización. 
 Criterio2: Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se 
debe resolver primero la división de polinomios. 
Fracción parcial Simple: Es cualquier fracción propia de polinomios, es decir, el 
grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador. 
 
  
. 
1 2 
3 
; 
3 
2 5 
; 
4 
3 
, 
3 2 
x 
x 
x x 
x 
x 
Así 
 
 
  
 
 
 59 
 
 
 
 Muchas veces la dificultad al resolver integrales por este método, estriba en que el 
estudiante debe tener conocimientos previos de precálculo el cual debe dominar, por lo 
menos, una técnica que le permita resolver los sistemas de ecuaciones, que se generan al 
momento de intentar calcular dichas constantes. 
 Una vez determinadas las mencionadas constantes, se obtienen integrales que por lo 
general se resuelven aplicando los métodos ya expuestos, por esta razón, es conveniente 
que el estudiante los domine todos. 
Descomponer factorialmente el polinomio q(x), es decir, se hallan las raíces de la ecuación 
q(x) = 0, el cual es el denominador. Al realizar la mencionada descomposición, es posible 
encontrar resultados distintos y éstos se pueden clasificar en cuatro casos: 
Primer caso: 
1. Fracción impropia: Si p(x)/q(x) es una fracción impropia (es 
decir, si el grado de numerador es mayor o igual al grado del 
denominador), dividir el denominador para obtener 
 
Donde: p(x) es el dividendo, q(x) el divisor, c(x) el cociente y r(x) el resto y se cumple que 
q(x) es de mayor grado que r(x). Ahora aplicando el símbolo integral a ambos miembros y 
los respectivos diferenciales, se obtiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 xq
xr
xc
xq
xp

 
 
 
 
 
 
 
 
dx
xq
xr
dxxcdx
xq
xr
xc
xq
xp
 






 60 
 
 
Ejemplo 1: Resuelve 
2 1
1
x
dx
x

 
Se resuelve realizando previamente la división , a través de la cual 
obtenemos el cociente x+1 y el resto 2 que es símbolo de 
  



CxLx
x
dx
x
xdx
x
x
12
2
)
1
2
1(
1
1 22
 
 
 
Ejemplo 2: Resuelva 
2 3
2
x x
dx
x
 
 
Dividimos el numerador por el denominador y luego aplicamos integramos 
cada parte. 
 
 
 
 
2
2
2
3 9
3
2 2
3 9
3
2 2
3 9
2
3 9ln 2
2
x x
x
x x
x x
dx x dx
x x
dx
x
x
x x c
dx
x
 
  
 
 
  
 



 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 xq
xr
xc
xq
xp

 61 
 
2do Caso: Factores lineales. 
2.a) Factores en el denominador lineales distintos. La integral dada 
debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Constantes (A, B, C, etc) en 
el numerador y dichos factores en el denominador. Como se muestra a continuación: 
xQ es un polinomio que tiene raíces reales distintas, es decir,
     1 2 3 ...x nQ x a x a x a x a     , por lo tanto: 
 1 2
1 2
... n
n n
Px A A x a
Qx x ax a x a

 
  
 Integrando 1 2
1 2
( ... )n
n n
Px A A x a
dx dx
Qx x a x a x a

 
   
 
  
  
   
   
2
2
2
Factorizamos el polinomio que est enel denominador. 
6 3 2
1 1
6 3 2
3 2
2 3 1 2 3 1
El coeficiente de
1
 
 x es 0x 1, mult
3 : R
ip
 
6
li
e
á
x x x x
dx dx
x x x x
A B
dx
x x
A x B x Ax A B
Ejemplo solve
x B
r dx
x x
    

   
 
   
  
       








   
 
 
5 5
2
5
cando por 3 2
 :
 
1 1 1 1
; ;
5 5 5 3 5 2
1 1
ln 3 ln 2
5 5
 0
2 3
2
ln
3
ln 3 l
1
n 2
1
6
A B
A B
x x
Como mas abajo se formo un sistema de ecuaciones
dx dx
B A
x x
x x c
x x c
cx
x x
x
x
d
 
     
 
     
      


 







 

 
 
 62 
 
 
 
2
dx
Ejemplo 4: Resolver 
x -16 
 
   
   
   
 
2
2
16 4 ( 4)
1
4 4
1
16 4 4
1 4 4
1 4 4
0
0
0
 0 4
x x x
dx
x x
A B
x x x
A x B x
Ax A Bx B
Ax Bx x
x A B
A B
A B A
   
 
 
  
   
   
 
 
 
  

4 0
4 4 1 4
B
A B A
 
    
   
1 1
8 8
2
4 1
 8 1
1 1
 
8 8
1
16 4 4
1 1 1 1
ln 4 ln 4
8
1 1
ln
4 8 4 8
4 l 4
8 8
8
n
B
B
A B
x x x
dx d
x
x x c
x
x x
x

 

  


  

  
      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 63 
 
 
 
     
        
     
2 2 2
2 23 2
2
2 2
2
2
3 2
2
4 18 38 4 18 38 4 18 38
5 3 3 1 3 1
4 18 38
Re alg 
3 13 1 1
1
4 18 38
 5 : Re 
5 3
1 3 1
x x x x x x
dx dx dx
x x x x x x x
x x A B C
solviendo ebraicamente
x xx x x
A x x B
x x
Ejemplo solver dx
x x x
x x C x
     
 
      
 
    
   
 
 
  
   
  

  
   
     
2
2
2
3 1 4 18 38
 
 4
2 2 18
3 3 38
 
8 4 6
3 1 1
8ln 3 4ln 1 6 1
8, 4 6
ln
,
x x x
Operando y luego resolviendo el sistema de ecuaciones
A B
A B C
A B C
dx dx dx
x x x
x x x dx c
x
A B c

  
    
 

    
   


  
  
      
 
  

   
 
 
 
1
8
4
4
8
1
3 ln 1 6
3 6
ln
11
1
x
x c
x
C
xx


 




 


 
 
 
 
 
 
 64 
 
 
Método de Heaviside para factores lineales distintos.
 
 
 
   
 
       
Si se tienen funciones parciales sumando el grado de p y los factores
 de son todos lineales distintos
R ,, , .
para aplicar este metodo hacer los siguientes pasos:
1. Escribir el co
P x
x R x
R x
R x
x x a x b x c x z

    
 
 
 
 
     
 
 
 
    
 
  
ciente R en forma factorizada:
, , ,
2. Eliminar uno a uno los factores de R , reemplazando
cada en los factores por el numero que la elimina.
 cuando 
, , ,
, , ,
x
P x p x
R x x a x b x c x z
x
x
p x
A x a
x b x c x z
p x
B
x a x c x

   
  
  

   
 
    
 
 
 
       
2
3
2 2
3
 cuando 
 cuando 
, , ,
3. Escribir el desarrollo de como:
, , ,
3 10
Ejemplo: resolver 
2 2
por el metodo de Hearside.
3 10 3
2 2
x b
z
p x
C x c
x a x b x z
P x
R x
P x A B C Z
R x x a x b x c x z
x x
dx
x x x
x x x x
dx
x x x
 

  
  
    
   
 
  
  

  

   
         
  
2
2
10
1 1 2
Como todos son lineales distintos podemos
aplicar este metodo.
3 10
1 1 2 1 1 2
 A cuando 1 es el valor que la anula
3 10 6
A= 1
1 2 6
 
dx
x x x
x x A B C
x x x x x x
x
x x
x x

  
 
  
     
 
  
  
 
 
 
 65 
 
 
  
  
     
 
2
2
 cuando 1 es el valor que la anula
3 10 12
6
1 2 2
 C cuando 2 es el valor que la anula.
3 10 12
C= 4
1 1 3
1 6 4
1 1 2
6
1 1 2
6ln 1 ln
B x
x x
B
x x
x
x x
x x
dx
x x x
dx dx dx
x x x
x
 
  
  
  
 
  
  
 
  
        
   
  
 

  
   
      
 
   
22
3
1 ln 2
6ln 1 ln 1 ln 2
 
13 10
ln
2 2 1 2
x x c
x x x c
xx x
dx c
x x x x x
   
     

  
  
      

 
2.b) Factores lineales repetidos en el denominador. 
Para cada factor lineal ( )
mpx q , la descomposición en fracciones simples 
debe incluir la suma siguiente de (m=n) fracciones. 
1 2
2
...
( ) ( ) ( )
m
m
AA A
px q px q px q
  
  
 
La integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Constantes (A, 
B, C, etc) en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a 
continuación: 
 
 
        





n
bax
z
bax
B
bax
A
xq
xp
...
2
 66 
 
 
 
5
3
5
3 3 2
5
5
, 
3 3
 
 : Re 
1
 
11
 
x x
dx dividiendo tenemos
x
x
Ejemplo solver dx
x
x
x
xx



 
 

3 2
5
 3 3 1x x x
x
  
 4 3 2 2
4
3 3 3 6
 3
x x x x x
x
    
3 2
4
3 
 3
x x
x
 
 3 2
3
 9 9 
 6
x x
x
 
2
3
8 3
 6
x x
x
 

 
   
       
 
2 3 2
2 2
3 3
2
3 2 3
2
3
2
 int :
1 0 15 6 3 1 0 15 6
3 6 6
3
18 18 6
 1 0 15 6
 
21 1
1 0 15 6
11 1 1
1
 
Aplicando egrales
x x x x x
x x dx dx x x dx
x x
x x A B C
dx
xx x x
Multiplicar por
x
x
x
x x
   
       
 
 
   
  
  



  
 
   
 
22
2 2
2 2
 10 15 6 1 1
 10 15 6 2 1
 10 15 6 2
x x A x B x C
x x A x x Bx B C
x x Ax Ax A Bx
      
       
     
           
2 3 2 3
2 15 
6 1
 formó un sistema de ecuacion de 3*3 cuya sol
 
ucion será:
10 5 1
10 5
1 11 1 1 1
10l
 0, 5, 1
5
n
1 2
B C
Se
dx dx dx dx dx dx
x xx
A B
A B C
x
A B C
B
x x
A

 
     

 
  

   
 
 


     
     
 
 
 
3
2
2 3
1 2
2
2
3 5 1
6 10ln
1 5 1
1
3 2 1 2 1
1
1 1
10ln 1 5
1 2
5 1
10ln 1
1 2 1
x x dx x dx
x x
x
x c
x
x
x x x c
x
x x
 
 
   
    
    
      
 
  
  
 

 
  
 
 
 
 
 67 
 
 
 
 
2
2
3
3
Este es otro método de determinar las constantes que aparecen
 en las fracciones parcial
Método de la di
3 4
Ejemplo:Res
ferenciación en factores lineales repetidos
olver 
2
es.
solucio
.
n:
3 4
2
x x
dx
x x
x
x
 





     
   
2 3
22
2 2 2
Ahora se procede a eliminar las fracciones
para determinar el valor de las constantes A,B,C
3 4 2 2
a) Para encontrar el valor de C basta con buscar
un valor de
A B C
dx dx
x x x
x x A x B x C
 
   
    
      
 
   
   
2 2
 X que anule todas las demas constantes
en este caso seria x=2 y sustituimos 
A 2 2 3 4
 x = 2
A 0 0 6
 6
x B x C x x
B C
c
      
  

 
 
 
 68 
 
 
 
b) Ahora se deriva la misma expresión de en ambos lados.
2A 2 0 2 3
2 2 2 3
Como se puede observar para obtener a B
se sustituye x=2 para eliminar la constante
A y asi se obtiene el valor de 
a
x B x
A x B x
    
   
   
 
   
     
2 3
3
B.
2A 2 2 2 2 3
 
c) Para obtener C
2A 2 2 3 derivar
 2A=2
 
Eso implica que:
2 2 2
1 7 6
2
 7
 A=
2
12
2
B
x B x
A B C
dx
x x x
dx dx dx
x x x
d
B
x
x
   
   
 
   
    
  
  



  
   
 
   
2 3
1
1
2
2 2 2
7 6
2 2
ln 2
2
12
dx dx
x x
dx
I x c
x
dx dz z
I z dz
x z


 
 
   

   

  

  
   
 
 
 
3 3 2
2
1 2 232
1 1
2; =
2
1 1
ln 2
2
1
2 2 2
3 4
2 2 2
z
z x
z x
d dx
dx
I
x x
x x
dx I I C
x
x
x
I
x
    

  
 
 
       
 

 
 
 
 
 
 69 
 
 
3cer caso Factores cuadráticos 
 3a) Factores cuadráticos repetidos. 
La descomposición en fracciones simples debe incluir la suma siguiente de 
n fracciones en 2( )nax bx c  . 
2 2 2 2
...
( ) ( ) ( )
X
n
Ax B Cx D W Z
ax bx c ax bx c ax bx c
  
  
      
 
La integral dada debe escribirse en función de un cociente compues to por: 
Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el 
denominador, como se muestra a continuación: 
 
  2
1
: Re
1 1
Ejemplo solver dx
x x 
 
Multiplicamos por   21 1x x  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
        








n
cbxax
ZWx
cbxax
DCx
cbxax
BAx
xq
xp
2222
...
    2
2 2
2
1 1 1
0
0
1
1 1 1
; ;
2 2 2
1 1 1
2 1 2 1 2 1
1
2
2
A x Bx C x
A B
B C
A C
siA B C
dx x dx
dx
x x x
u x
du x
du
xdx
    
 
 
 
    
  
  
 


  
 
 
2
2
2
4
2
1
1 1 1
ln 1 arctan
2 2 2
1 1 1
ln 1 arctan
2 4 2
1 1
ln 1 ln arctan
4 2
arctan
ln 1 ln 1
2
1 arctan
ln
21
du
dx
x
x x
u
du
x x c
u
x u x c
x
x x c
x x
c
x

   
    
    
     

  





 70 
 
3B) Factores cuadráticos distintos. La integral dada debe escribirse en 
función de un cociente compuesto por: Polinomios de grado uno, en el numerador y dichos 
factores en el denominador, como se muestra a continuación: 
 
Para cada factor cuadrático 
2( )nax bx c  , Factorizar completamente el 
denominador en fracciones de los t ipos : 
2
2
( ) ( )
 
m npx q y ax bx c
donde ax bx c es irreducible
  
  
y recordando que Cuando tengamos 
denominadores que nos den raíces complejas entonces tendremos 
,Ax B Cx D  sobre el polinomio. 
Ejemplo 7: Calcula la integral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
...
22






  edxcx
DCx
cbxax
BAx
xq
xp
 
 
 
 
 
    
3 2
5
2
4 2
2
2
2
3
22 2
2
2
2 2
2
2
2 5 16
8 16
2 5 16
2 5 16
8
4
4 4
. 4
4 2 5 16
0, 2, 5
tan 2 tan 2se
16
c
2
4
2
x x x
dx
x x x
x x
x
Ax B Cx D
dx
x x
Mult por x
Ax B x Cx D x x
A B C
x
x dx d
du
u x xdx
x x x
dx
x x x
   
 

 
 


 
 
 

      
  

    
  







 71 
 
 
 
22 2
2
22
2
2
2
2
2
2 5 4
4 4
2sec
2 2
4 2 tan 4
sec
4
4 tan 4
4 sec
4 tan
arctan
1
x
x
dx dx
x x
dx d
x
d
d
d c
c
 

 

 
 



 

 


   

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
   
2
22 2
2
2 2
2
1
4
2
2 1
cos
2
5 8
4 4
5 2sec
8
2 4sec
5 sec
16
2 16sec
cos
sec
1 cos 1 1
cos 2
2 2 2
1
2 ; ;
2 2 4
1
2 2
2 4
1 1
arctan
2 2 4
x dx
dx
x x
du d
u
d
u
d d
d
d d d
dz
z d senz
dz d sen
x

 


 

 
 


   

 

 


 
 
 
  

  
   
 
 
  
 
 
 

  
  
 2
3 5 1
arctan 2arctan
2
2a
2 4
rctan
2
22 4
x
x
sen c
x
sen c
x
   
   
 
  
  





 
 
 
 
 
 72 
 
2
5 4
3 2
 8 : Resolver la siguiente integral 
1
x x
Ejemplo dx
x x x
 
   
Factorizando el denominador aplicando unos de los métodos ya conocidos 
como es el método de Ruffini tenemos que:     
25 4 21 1 1 1x x x x x x      
por lo que tenemos. 
    
2
2 2
3 2
1 1 1
x x
dx
x x x
 
  
 Observando cada uno de los 
miembros del divisor lo expresaremos en la forma. 
 
   
2 2
x x
x
Q M nA B C
R x a x b x dx b

   
  
 
Ha de hacer notar que la última parte tiene esa forma por tener raíces 
complejas. 
    
2
2 2
3 2
1 1 1
x x
dx
x x x
 
  
 =
 
2 21 1 11
xM nA B C dx
x x xx
 
   
    
 por lo tanto 
      
2
2 22 2
3 2
1 1 11 1 1 1
xM nA B C x x
x x xx x x x
  
   
     
 
              
           
         
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 3 2 2
2
4 3 2 4 3 2 4 3 3 2
2
2 1 1 1 1 1 1 1 2 1
3 2
2 1 1 1 1 1 1 2 1
3 2
2 2 2 1 1 1 1 1
3 2
x
x
A x x B x x x C x x M N x x x
x x
A x x x B x x C x x M N x x x
x x
A x x x x B x C x x x M x x x N x x x
x x
              
 
              
 
                  
 
 
 
 
 
 
 73 
 
 
Ahora se forma un sistema de ecuación 
0
2 0
2 1
2 3
2
A B M
B C M N
A C N
B C M N
A B C M N
  
    
  
     
    
 
Ponerlo en forma para resolver por Gauss. 
 
0 0 0
2 0 0
2 0 0 1
2 0 3
2
A B C M N
A B C M N
A B C M N
A B C M N
A B C M N
    
     
    
      
    
 
Resolviendo el sistema obtenido obtuvimos: 
1 5 3 1 3
; ; ; ; 
8 8 4 2 2
A B C M N       
Sustituyendo en la integral: 
 
 
31
2 2
2 2
2 2 2
51 3
8 8 4
1 1 11
1 5 3 1 3
8 1 8 1 4 2 1 2 11
x
dx
x x xx
dx dx dx x dx
dx
x x x xx
  
    
    
 
   
   

    
 
 
 
 
 74 
 
 
Resolviendo detenidamente cada integral 
a) 
1 1 1
ln ln 1
8 1 8 8
dx du
u x C
x u
    
 
 
b)  
5 5
ln 1
8 1 8
dx
x C
x
    

 
c) 
   
2 2
3 3 3 1 3
4 4 4 4 11
1
dx dz
C
z z xx
z x
dz dx
  
     
 
 

 
 
d) 
2
2
2
1 1 1 1
ln
2 1 2 2 4
1
ln 1
4
1
2
x dv
dx v
x v
x C
v x
dv xdx
 
    
  
 

 
 
e) 
2
3 3
arctan
2 1 2
dx
x
x


 
 
 
 
Solución: 
 
 
2
5 4
21 5 3 1 3 ln 1 ln 1 ln 1 arctan
8 8 4
3 2
 
1 4 21
x x
dx
x x
x x x x C
xx
      
 

  
 
 
 
 
 
 75 
 
     
 
 
 
3 2
2
2
2
2
2
2
3
3
III. Integrales por fracciones parciales.
12)
11
13)
3 4
3 13
14)
3 10
17 3
15)
3 2
7 2 3
16)
2 1 3 2 3
17)
9
18)
2
19)
1
IV. Resolver las siguientes integral
dx
x x x
x
dx
x x
x
x x
x
dx
x x
x x dx
x x x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
 

 

 

 
 
  











2
2
2
2
es por 
complexion de cuadrados.
20)
8 19
21)
5 15 20
2 1
22)
2 2
2
23)
6 13
dx
x x
dx
x x
x
dx
x x
x
dx
x x
 
 

 
 




Cálculo Integral 
Práctica: 6 
Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:……………………….. 
Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….… 
Integrales con ángulos repetidos, fracciones parciales y 
complexión de cuadrados. 
 
2
2
2
2
2
2
2
2
I. Integrales con angulos repetidos
1) 7 3
2) cos9 cos12
3) cos 25 cos12
II. Resuelva
4)
100
5)
4 1
6)
1 1
7)
5
8)
16
9)
9
10)
25 9
11)
25 9
sen x sen xdx
x xdx
x xdx
dx
x
dx
x x
dx
x
dx
x
dx
x
dy
y
dx
x
dx
x


 

 














 
"No hay amistad sin libertad" (Francesc Torra lba) 
 
 76 
 
 
Integración de funciones racionales de seno y coseno 
Hay integrales que a veces se nos complica resolverla por los métodos 
anteriormente vistos, por lo que si el integrando es una función racional de 
de ( ) ^ ( )Sen u Cos u debemos reducirla a una función racional de z, Por lo que 
asumiendo que 
1
2
z Tan u , para obtener las formulas del seno, coseno y el 
diferencialen función de z partiremos de las identidades del ángulo duplo . 
 
1. Demostración de Sen u. 
 2u = 2sen( ). ( );Sen u Cos u Como 
1
u= 
2
u tenemos que 
1 1
 (u) = 2sen .
2 2
Sen u Cos u 
Ahora multiplicamos por 
1
2
1
2
Cos u
Cos u
 y obtenemos que 
2
1 1
2
1 1 12 2 (u) = 2sen . (u) *
1 12 2 2
2 2
Cos u Sen u
Sen u Cos u Sen Cos u
Cos u Cos u
   
     
      
    
   
 
2 2
1 1 1 1
2 . 2 .
1 12 2
1
2 2
Tan u Tan u
Sec u Tan u
   
   
    
   
   
2
1
2
2
1
1
2
Tan u
Tan u


 ; ahora haciendo 
sustituciones de 
1
2
z Tan u tenemos que 
2
2
( )
1
z
Sen u
z


 
 
 
 
 
 77 
 
 
2. Demostración de Cos U. 
Como 2
1
( ) 2 1
2
Cos u Cos u  aplicando identidades trigonométricas para el 
coseno obtendremos que 
2 2
2 2
( ) 1 ( ) 1
1 1
ec 1
2 2
Cos u Cos u
S u Tan u
    

 y 
operando algebraicamente 
2 2
2
2
2
2 2
1
( )
1 1
1 1
2 2 2
1 1 1
1 1 1
1
2 2 2
Tan u Tan u
Tan u Tan u Tan u
z
Cos u
z
 
  


 



 
 
c) Demostración del diferencial 
Como 2
1 1 1
.
2 2 2
z Tan u dz Sec u du   por lo que aplicando identidades y luego 
haciendo transposición de términos tendremos que 
 2
2
2
1
2 (1 )
2
2
1
Tan u du
dz dz z
d
z
du
z
du 

  

  . 
En conclusión: 
2
2
22
1
( 
2
( ) ;
1
) ;
2
 
11
 
z
S
z
Coen u
z
d
z
s u
z
z
du

 
 

 
Ejemplo 1. Calcule la siguiente integral 
4 
1 
du
Cos u
 
2 2
2
22
2 84 
4 1 1 4 4
21 1
1
11
dz dz
du z z dz z
Cos u z
zz
 
      
  
    
    Como ya sabemos que 
1
2
z Tan u 
tenemos que 
4 
1
1
 
4
2
du
Cos u
Tan u C


 
 
 78 
 
 
Cálculo Integral 
Práctica: 7 
Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:……………………….. 
Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….… 
Integrales de seno y coseno 
1) ln 1 tan
1 cos 2
cos
2) cos ln 1 cos
1 cos
3) cos ln tan
2
1
4) - se
tan 4
dx x
c
senx x
senx x
dx x x c
x
x
ecxdx c
dx
senx x
 
     
  

 
 
 





2 1c ln tan
2 2 2
cot 1
5) ln
3 2 3 3 2
2
6) arctan 3 tan +c
2 cos 23
tan
2
7) ln
1 cos
x x
c
x senx
dx c
senx senx
dx x
x
x
dx
senx x
   
    
   

 
  
  
   
 
 
 
 

tan 1
2
x 
 
 
 
 
"Un país con grandes desigualdades sociales mata de hambre a los de 
abajo, de miedo a los de arriba, y deja sin libertad y sin felicidad a 
todos" (Juan) 
 
 79 
 
 
Sumatoria y área de figuras planas 
Para definir el área de una región en el plano cartesiano, acotad a por una 
curva y=f(x) y las rectas x = a y x = b , hay que hallar la suma de muchos 
términos; por lo que hay que utilizar la expresión de sumatoria. 
 Sumatoria: 
Dado un conjunto de números 1 2( , , ,..., )i i i nb b b b  , su suma la representamos como 
 , 
donde 
 : denota sumatoria 
 kb : representa el k-ésimo término 
 
k : se llama índice de sumatoria y adquiere valores enteros sucesivos. 
 
:i Extremo inferior, :n Extremos superior. 
 
 
 
Ejemplos: Resuelve por sustitución directa. 
 
Sustituir k por 1,2,3,4 realizar las operaciones indicadas. 
 
 
 
 
 
1 2
1
... ,
n
k i i i n
k
b b b b b 

    
4
2 2 2 2 2
1
) (1) (2) (3) (4) 1 4 9 16 30
k
a k

        
5
3
2 2 2 2 47
) 
3 4 5 30k
b
k
   
2 2 22
2
( 2) ( 1) 0 1 2
) 
2 1 2( 2) 1 (2)( 1) 1 2(0) 1 2(1) 1 2(2) 1k
k
c
k
 
     
       

4 1 1 2 1 2 8
0 1
3 1 3 5 3 5 5
        
 
 80 
 
5) ( ) ( )
b b c
k a k a c
f k f k c

  
  
Sumatoria por propiedades 
1) Regla del valor constante: Es igual a la constante multiplicada por 
el extremos superior. 
 
 
2) Regla del múltiplo constante: Es igual a la constante por la 
sumatoria de la secuencia. 
 
3) Regla de la suma : Es igual a la suma de la sumatoria de cada 
secuencia. 
 
 
4) Regla de la resta: Es igual a la resta de la sumatoria de cada 
secuencia. 
4)
 1 1 1
( )
n n n
k k k k
k k k
a b a b
  
    
 
 5) 
Regla para cuando 1k  
7) Regla de la potenciación de sumatoria . 
 
 
 
1
1) , : c onstante
n
k
c cn c


.
1 1
2) , : constante
n n
k k
k k
c a c a c
 
 
 
1 1 1
3) 
n n n
k k k k
k k k
a b a b
  
    
Si ,Entoncesn z
2
1
( 1)(2 1)
6
n
k
n n n
k

 

2 2
3
1
( 1)
4
n
k
n n
k



3 2
4
1
( 1)(6 9 1)
30
n
k
n n n n n
k

   

1
( 1)
2
n
k
n n
k



 81 
 
 
Ejemplos: Hallar la suma a través de sumatorias. (Asumir que k=i) 
 
 
 
 
 
3) Hacer la sumatoria de si obtenemos 133,560. 
 
 Estimación de áreas a través de sumas f initas. 
 Es a través de la cual podemos encontrar 
una proximidad del área de figuras 
geométricas que no tienen formulas 
especifica. 
Sea y=f(x) una curva; acotada en el eje 
positivo por x a x b  . Continúa en 
el cual formara la región. 
Para hallar el área debemos dividir la región en intervalos cuya longitud 
Serán rectángulos cuya A=b.h. 
 
5
2
1
1) ( 3)
i
i


5 5 5
2 2
1 1 1
 ( 3) (3)
i i i
i i
  
     
( 1)(2 1)
 5(3)
6
n n n 
 
5(6)(11)
 15 55 15 70
6
    
20
1
2) (3 )( 2)
k
k k


20 20 20
2 2
1 1 1
 (3 6 ) 3 6
k k k
i i i i
  
      ( 1)(2 1) ( 1) 3( ) 6( )
6 2
n n n n n  
 
 
1
 ( 1)(2 1) 3 ( 1)
2
n n n n n        
1
 20(20 1)(2(20) 1) 3 20(20 1)
2
      
 8,610 1260 7,350  
20
2
1
3 ( 2)
k
k k


 ,a b
 82 
 
 
2
Como se dividió el área en 4 rectángulos, tenemos 
1
que:b = , h = y, aplicando sumatoria se tiene que
4
1 1 31 1 7 1 23
2
4 4 16 4 4 4 16
1 31 7 23
2 64 16
71
2.21875 unid
3
64
2
S
S
S
     
        
     
   
 
2
Buscando la altura para lueg
Ejemplo : Encontrar el rea d
o hacer la gráfica, por lo q
e la curva 2 entre las rectas 
verticales x 0 y x 1
ue se evalua la 
1 3
función y los resultados son: (0,2); ,
.
 
4
á y x 
 
1 1 7 3 23
 ; , ; , . Aquí en cada
16 2 4 4 16
rectángulo se incluye el extremo final.
     
     
     
 
 
Sumas de Riemann 
Bernard Riemann fue un matemático Alemán que murió a la temprana edad 
de 40 años. (1826-1866). Su suma es un método matemático utilizado para 
aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. 
Aplicaciones 
La determinación del área por este método es solo una de las muchas 
aplicaciones que implican el límite de una suma. Un enfoque similar puede 
utilizarse para determinar cantidades tan diversas como longitu des de arco, 
valores medios, centroides, volúmenes y áreas superficiales. 
Sea : [ ]f D R , continua en [a, b] contenido en D, siendo P un conjunto de 
intervalos abiertos de particiones I, tales como 
0 1 1 2 1[( , );( , ) ... ( , )]a n n bp x x x x x x   por lo tanto P se define como la suma de 
Riemann. 
1
( ).
n
i
i
Lim
S f c x
n 
 


 Donde: 
b a
x
n

 
 y ic a i x   
f (ci) es el valor mínimo absoluto de f en i-Enésima sub-intervalo. Esto significa 
1
0, 0 / ( )
n
i
n N f ci x A 

     
 83 
 
Resolución de Área por sumatorias de Riemann. 
1. Desarrollar operaciones si es necesario. 
2. Despejar las constantes 
3. Aplicar las propiedades de las sumatorias 
4. Reducir términos semejantes 
5. Aplicar limite cuando n t