Taller 4

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Universidad de Antioquia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Instituto de Matematicas Algebra y Trigonometŕıa
Cursos de Servicios para Ude@ Taller-Parcial 4
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1. Expresar el número complejo z = −
√
2
2 +
√
2
2 i en su forma polar. Utilice tal expresión para determinar z
15.
2. Determinar el valor de x para que el número complejo (25− xi)2 sea un imaginario puro.
3. Verificar la siguiente identidad
(sen(x) + cos(x))
2
= 1 + sen(2x).
4. Resuelva las siguientes ecuaciones.
(a) cos(x) + 1 = sen(x), en el intevalo [0, 2π];
cos(x)− sen(2x) = cos(3x)− sen(4x);
(b) tan−1(x+ 1) + tan−1(x− 1) = tan−1(2);
cos−1(x)− sen−1(x) = cos−1(
√
3
2 );
5. Halle sen(α+ β) si se sabe que sen(α) =
3
5
con 0 ≤ α ≤ π2 , y cos(β) =
2√
5
con −π2 ≤ β ≤ 0.
6. Si z =
√
3 + i entonces calcule z6.
7. Cada item a continuación tiene igual valor
a) Verifique la identidad: sec(α− β) = sec(α)sec(β)
1 + tan(α)tan(β)
.
b) Halle todas las soluciones de la ecuación:
cos(t)− sen(2t) = 0
8. Cada item a continuación tiene igual valor
a) Halle el valor exacto de: tan(tan−1(1) + sen−1( 45 ))
b) Verifique la identidad:
cos−1(x) + cos−1(
√
1− x2) = π
2
, 0 ≤ x ≤ 1.
9. Encuentre los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo α tal que cosα = −35 y senα < 0
10. Si α y β son ángulos complementarios. Verificar la siguiente identidad:
sen2 α+ sen2 β = 1.
11. Si x > 0. Demostrar la siguiente identidad:
cos (2 arctanx) =
1− x2
1 + x2
12. Encontrar las soluciones de la siguiente ecuación trigonométrica en [0, 2π).
sen2 x+ senx = 6.
Además, calcule las soluciones de la ecuación en toda la recta real.
13. Calcular las tres raices cúbicas de 1
14. Resuelva para x la siguiente ecuación:
cos−1 x− sen−1 x = cos−1
√
3
2
15. Encuentre una solución en el intervalo [0, π2 ] de las ecuaciones:
1
a) cosx+ secx = 52
b) senx+ 2 cosx = 1
16. Evalúe lo siguiente:
a) sen
(
2 cos−1 23
)
b) cos
(
sec−1 32 − sec
−1 4
3
)
17. Si senα = 45 y senβ =
12
13 , calcule cos(α+ β), si α y β son ángulos del primer cuadrante.
18. En la siguiente identidad, transforme el primer miembro en el segundo
a)
1
cos2 α
− 1 = tan2 α
b)
1− senα
cosα
=
cosα
1 + senα
19. Resuelva para x la siguiente ecuación:
tan−1 x+ tan−1(1− x) = 2 tan−1
√
x− x2
20. Encuentre una solución en el intervalo [0, π2 ] de las ecuaciones:
a)
1
3 + cosx
=
1
4− cosx
b) cos 2x+ 2 cos2
x
2
= 1
21. Evalúe lo siguiente:
a) sen
(
2 cos−1 23
)
b) cos
(
sec−1 32 − sec
−1 4
3
)
22. Si senα = 45 y senβ =
12
13 , calcule cos(α+ β), si α y β son ángulos del primer cuadrante.
23. Halle los valores de x e y para los cuales se cumple (x+ iy)(a− bi) = i9, si |a| 6= |b|, a y b reales.
24. Determine las cuatro raices cuartas de −1−
√
3i
25. Encuentre el valor exacto de cos(α+ β) si se sabe que cscα = 53 , cosβ =
8
17 , y α y β estan en el primer cuadrante.
26. Verifique las siguientes identidades:
a)
sin(α− β)
cos(α+ β)
=
tanα− tanβ
1− tanα tanβ
b) tan−1 x =
1
2
tan−1
2x
1− x2
, con −1 < x < 1
27. Encuentre las soluciones de la ecuaci’on que est’an en el intervalo [0, 2π)
2 cos3 x+ cos2 x− 2 cosx− 1 = 0
28. Resolver la ecuaci’on:
tan−1
1− x
1 + x
+ tan−1
2x− 1
2x+ 1
= tan−1
23
36
29. Dado el complejo z = 1 +
√
3i encontrar:
a) z10
b) Las tres raices cubicas de z
30. Encontrar las raices cúbicas del complejo z = 1 +
√
3i.
31. Pruebe que:
arc sen
(
3
5
)
+ arc sen
(
4
5
)
=
π
2
2
32. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica:
tan−1(x) + tan−1(2− x) = 3π
4
− tan−1(3− 2x)
33. Pruebe la siguiente identidad trigonométrica:
sec(y)− csc(y)
sec(y) + csc(y)
=
tan(y)− 1)
tan(y) + 1
34. Si sen(α) = 4/5 Y cos(β) = 10/13, y α y β están en el primer cuadrante, calcule sen(α+ β), cos(2α) y tan(α− β).
35. Demuestre la siguiente identidad trigonométrica:
tan(α) + tan(β)
cot(α) + cot(β)
= tan(α) tan(β)
36. Determine todas las soluciones de la ecuación trigonométrica siguiente en el intervalo [0, 2π):
tan2(x) + sec(X)− 1 = 0
37. Pruebe la siguiente identidad
cos(arctan(α)) =
1√
1 + α2
EXITOS
3