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Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Matemáticas Departamento de Matemáticas Segundo semestre de 2012 MAT1610 ? Cálculo I Gúıa N◦ 2 Ĺımites de funciones. Continuidad. PROBLEMAS DEL TEXTO GUIA 1. Sección 2.3: completa 2. Sección 2.4: completa 3. Sección 2.5: completa 4. Sección 2.6: completa PROBLEMAS ADICIONALES 1. Demuestre que ĺım x→1 |x− 1| 1− x no existe. 2. Demuestre por definición que: a) ĺım x→−2 (3x+ 5) = −1 b) ĺım x→2 x x+ 1 = 2 3 c) ĺım x→ 3 2 [x] = 1 d) ĺım x→a cos x = cos a 3. Demuestre que los siguientes ĺımites no existen: a) ĺım x→0 sen2 1 x . b) ĺım x→2 x x− 2 . c) ĺım x→0 tan 1 x . 1 4. Aplicando la definición de ĺımite demuestre que: a) ĺım x→ 3 2 4x2 − 9 2x− 3 = 6 b) ĺım x→2 (x2 − 1) = 3 c) ĺım x→3 f(x) = 6 siendo f(x) = 2x si x < 3 8 si x = 3 3x− 3 si x > 3 Dibuje un gráfico en cada caso. 5. Calcular los siguientes ĺımites y justificar su respuesta: ĺım x→2 x2 + 5 x2 − 3 ĺım x→1 x2 − 2x+ 1 x3 − x ĺım x→1 (x− 1) √ 2− x x2 − 1 ĺım x→1 ( 1 1− x − 3 1− x3 ) ĺım x→1 xm − 1 xn − 1 (m,n ∈ N) ĺım x→0 √ 1 + x− 1 x ĺım x→0 sen 5x x ĺım x→a √ x− b− √ a− b x2 − a2 (a > b) 6. Calcular los siguientes ĺımites: ĺım x→0 1− cos x x2 ĺım x→0 tan 2x sen 3x ĺım x→0 ( 1 sen x − 1 tan x ) ĺım x→π sen 3x sen 2x ĺım x→π 4 cos x− sen x cos 2x ĺım x→0 √ 2− √ 1 + cos x sen2 x ĺım x→0 1 x ( 1 3 + x − 1 3 ) ĺım x→0 (3 + x)3 − 27 x ĺım x→0 1 x ( √ 3 + x− √ 3 x ) ĺım x→0 √ 1 + 2x− √ 1− 3x x ĺım x→0 √ x2 + 1 x+ 1 ĺım x→0 √ x2 + p2 − p√ x2 + q2 − q 2 7. Si ĺım x→3 f(x) = 2 calcular: ĺım x→3 f 2(x) ; ĺım x→2 f(x2 − 1) ; ĺım x→4 f(2x− 5) 8. Si f(x) = x− 4 −1 < x < 2 x2 − 6 2 < x < 5 Calcular ĺım x→2 f(x) 9. Si f(x) = x3 − 1 x− 1 si x < 1 sen 3x x si x > 1 Calcular ĺım x→1 f(x) 10. Si f(x) = x2 x 6= 2 0 x = 2 encuentre ĺım x→2 f(x) Dado ε = 0,001 determine δ > 0 de manera que |f(x)−1| < ε cuando 0 < |x−2| < δ. 11. Calcule: a) ĺım x→ 3 2 4x3 + 8x2 − 3x− 9 10x3 + 9x2 − 5x+ 6 b) ĺım x→a xm − am xp − ap , m, p ∈ Z+ c) ĺım x→1 [ 2 1− x2 − 3 1− x3 ] 12. Calcule: a) ĺım x→a x3 − a3√ x− √ a , a ∈ R+ b) ĺım x→a n √ x− n √ a m √ x− m √ a , n,m ∈ Z+ c) ĺım x→1 3x− 2− √ 4x2 − x− 2 x2 − 3x+ 2 13. a) ĺım x→a 2a− 3 √ 4(a3 + x3) 3 √ 4(a3 + x3)− 2x b) ĺım x→1 √ x− 4 √ x 3 √ x− 5 √ x 14. Sean x1 < x2 las ráıces de la ecuación x 2−2ax+b2 = 0, a, b ∈ R+, a > b. Encuentre los siguientes ĺımites: a) ĺım b→a x2 − x1√ a− b b) ĺım b→a ax2 − b2 ax1 − b2 c) ĺım b→a ax2 − bx1 ax1 − bx2 3 15. Calcule: a) ĺım x→0 sen 4x sen 3x b) ĺım x→0 7x− sen 3x 2x+ 3 sen 4x c) ĺım x→0 Arc sen x x 16. Calcule: a) ĺım x→a sen x− sen a sen x 2 − sen a 2 b) ĺım x→π sen x 2 + cos x 1 + sen2 x+ cos x c) ĺım x→π 4 cos(x+ π 4 ) tan x− 1 17. a) ĺım x→0 tan(x− π 4 )− 1 sen x b) ĺım x→π 2 tan x(1− tan x 2 ) 18. a) ĺım x→0 2x − 3x x b) ĺım x→0 4x − 2x 5x − 3x 19. Dadas las funciones: f(x) = x2 − x− 6 x− 3 g(x) = x2 − x− 6 x− 3 si x 6= 3 3 si x = 3 h(x) = x2 − x− 6 x− 3 x 6= 3 5 x = 3 a) Dibuje el gráfico de cada función b) Analice su continuidad en x = 3 c) Redefina aquellas funciones en x = 3 cuando la discontinuidad sea evitable. 20. Localice los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones. Clasifique la discontinuidad en evitable o esencial: a) f(x) = x x3 − 4x b) g(x) = 1 sen 2x c) h(x) = [x] 21. Determine los intervalos donde son continuas las siguientes funciones: a) f(x) = 1 x2 − 9 b) g(x) = 4 x2 + x c) h(x) = √ x− 5 x+ 6 4 22. Encuentre los valores de p y q de manera que la función: f(x) = −2 sen x si x ≤ −π 2 p sen x+ q si −π 2 < x < π 2 cos x si π 2 ≤ x sea continua en todo R. Haga el gráfico de f . 23. Demuestre que si f es una función continua en [a, b] tal que f(a) < a y f(b) > b, entonces existe un punto c en [a, b] donde f(c) = c. (Propiedad del punto fijo). Ilustre esta propiedad gráficamente con una función adecuada. 24. Bosqueje los gráficos de las siguientes funciones señalando sus puntos de discontinui- dad y el caracter de éstos a) x3 − 1 x2 − 1 b) 3 √ 1 + x− 1 x c) cos x | cos x| d) Arc tan 1 x− 4 e) sen 1 x f) x sen 1 x g) sen x x h) sen 2x x− x2 i) x[ 1 x ] j) √ x− [x] k) [x] sen πX 25. Localice los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones y construya su gráfi- co: a) ĺım n→∞ 1 1 + xn con x ≥ 0 b) ĺım n→∞ x2n − 1 x2n + 1 c) ĺım n→∞ n √ 1 + x2n 5 26. ¿Es obligatoriamente discontinua en un punto dado la suma de dos funciones f(x) + g(x) si: a) f es continua pero g es discontinua en x = a? b) f y g son discontinuas en x = a? 27. Demuestre que si f(x) es una función continua en un punto a y f(a) > 0, entonces existe una vecindad de a donde f es positiva. 28. Demuestre que si f(x) es un polinomio de grado n tal que el primer y último coeficiente tiene signos opuestos, entonces f tiene al menos una ráız positiva. 29. Demuestre que si una función f(x) monótona está definida en [a, b] y toca todos los valores comprendidios entre f(a) y f(b), entonces f es continua en [a, b]. 30. Demuestre que si un veh́ıculo recorre un camino de 500 Km. con velocidad promedio de 50 km h , entonces debe existir un tramo de 50 km. que fue recorrido exactamente en 1 hora. 6
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