Problemas de calculo vectorial-24

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70 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial70 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial70 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial
Derivando impĺıcitamente respecto a y en la igualdad se llega a
exy(x′y + x) + x′ + 2y = 0
y despejando x′
x′ = −xe
xy + 2y
1 + yexy
.
En el punto (0, 0) se calcula inmediatamente que x′(0) = 0. Para calcular
la segunda derivada en 0, volvemos a derivar con respecto a y en la
ecuación ya derivada una vez, para encontrar
exy (x′y + x)
2
+ exy (x′′y + 2x′) + x′′ + 2 = 0
Despejando x′′ llegamos a
x′′ = −e
xy
(
(x′y + x)2 + 2x′ + 2
)
1 + yexy
,
y particularizando en (0, 0), teniendo en cuenta que x′(0) = 0, nos queda
x′′(0) = −2.
447 Demostrar que en un entorno del punto (x0, y0, z0) = (1, 0, 1) la ecuación
z3y + zx2 = 1 define a z como función impĺıcita de x e y. Hallar el plano
tangente a la superficie que define z en el punto (1, 0).
OPTIMIZACIÓN
Caṕıtulo
3
En este caṕıtulo trataremos con ejercicios relacionados con el cálculo de
máximos y mı́nimos de funciones de varias variables, una temática que entra
dentro de lo que se conoce como optimización. En una primera parte hay
ejercicios dedicados a la obtención y clasificación de puntos cŕıticos, para
luego estudiar problemas de extremos condicionados.
3 1
PUNTOS CŔITICOS Y EXTREMOS
� Encontrar los puntos cŕıticos de las funciones dadas y determinar su natu-
raleza:
448 f(x, y) = x2 + y2 + 3xy.
449 f(x, y) = 3x2 + 2xy + 2x+ y2 + y + 4.
450 f(x, y) = 1xe
x sen y.
451 f(x, y) = xy −
y
x .
452 f(x, y) = x+ y + 1xy .
453 f(x, y) = 6000 + 6x3 − 36xy + 3y2;
454 f(x, y) = 3xy − x3 − y3.
455 f(x, y) = 3x
4−4x3−12x2+18
12(1+4y2) .
456 f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + xy.
457 f(x, y, z) = x4 − x2y2 + y4 + 4x2 − 6y2.
Solución:
450 Para determinar los puntos cŕıticos y su naturaleza para una fun-
ción necesitamos resolver el sistema ∇f = 0 y estudiar el carácter
72 Capı́tulo 3 Optimización72 Capı́tulo 3 Optimización72 Capı́tulo 3 Optimización
de D2f , por lo que precisamos calcular expĺıcitamente todas las de-
rivadas hasta orden dos. Con un poco de paciencia en los cálculos
obtenemos
∂f
∂x
=
1
x
ex sen y
(
sen y − 1
x
)
,
∂f
∂y
= ex sen y cos y,
∂2f
∂x2
=
1
x3
ex sen y
[(
sen y − 1
x
)2
+ 1
]
,
∂2f
∂x∂y
= ex sen y cos y sen y,
∂2f
∂y2
= ex sen y
(
x cos2 y − sen y
)
.
Para resolver ∇f = 0, como la exponencial no puede anularse en
ningún caso, y teniendo en cuenta el excluir x = 0, las soluciones
del sistema se obtienen para
sen y − 1
x
= 0, cos y = 0,
de donde encontramos que x = sen y = 1 o x = sen y = −1, es
decir, y = π2 + kπ. En definitiva, tenemos los puntos cŕıticos
(1, π2 + 2kπ), (−1, 3π2 + 2kπ), k ∈ Z.
Estudiando la matriz hessiana en estas dos familias de puntos se
llega a (
e 0
0 −e
)
,
(
−e 0
0 e
)
.
Estas dos matrices son no definidas, y en consecuencia, todos los
puntos cŕıticos, sin excepción, son puntos de silla. Véase un boceto
del grafo en la Figura 9.
455 Al igual que en el apartado anterior calculamos todas las derivadas
hasta orden dos. Aśı obtenemos
∂f
∂x
=
x3 − x2 − 2x
1 + 4y2
,
∂f
∂y
=
− 2y(3x4 − 4x3 − 12x2 + 18)
3(1 + 4y2)2
,
∂2f
∂x2
=
3x2 − 2x− 2
1 + 4y2
,
∂2f
∂x∂y
=
− 8y(x3 − x2 − 2x)
(1 + 4y2)2
,
∂2f
∂y2
=
− 2(1− 12y2)(3x4 − 4x3 − 12x2 + 18)
3(1 + 4y2)3
.
	Optimización
	Puntos críticos y extremos