Calculo_de_varias_variables_Vol _2_-_Mar

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Esta Serie tiene por objeto ofrecer a los 
lectores una buena selección de problemas 
resueltos sobre distintos temas de matemáticas. 
Los primeros volúmenes se prepararon especial­
mente para satisfacer las necesidades de los 
alumnos que inician sus estudios profesionales 
en las carreras de matemáticas, ingeniería y 
ciencias, mientras que los últimos contienen 
algunos temas más difíciles. A fin de dejar el 
mayor espacio posible para los problemas, los 
textos explicativos y teóricos se redujeron a lo 
indispensable; también se cuidó de presentar en 
cada libro sólo los temas que pudieran cubrirse 
completamente.
Los libros se han escrito para usarlos 
como complemento de los cursos impartidos 
con textos convencionales. Son de gran utilidad 
para el estudiante, porque le ayudan a entender 
los problemas planteados en clase y adquirir 
práctica al resolver los problemas con respues­
tas que se agregaron con este propósito.
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CALCULO DE VARIAS VARIABLES
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El original inglés de esta obra se publicó 
como el Volumen 2 de la colección
PROBLEM SOLVERS
cargo de L. Marder, Profesor Titular de Matemáticas 
de la Universidad de Southampton, Inglaterra.
SERIE.
SELECCION DE PROBLEMAS RESUELTOS
LIMUSA
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CALCULO 
DE VARIAS 
VARIABLES
Volumen 2
L. MARDER,
Profesor Titular de Matemáticas, 
Universidad de Southampton, 
Inglaterra.
m
E D I T O R I A L L I M
M E X I C O
S A
19 7 4
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Título de la obra en inglés:
CALCULUS OF SEVERAL VARIABLES 
© George Alien & Unwin Ltd, 1971
Versión española:
RICARDO VINOS 
Revisión:
JOSÉ HERNAN PÉREZ CASTELLANOS 
Ingeniero Industrial 
Profesor Titular de Matemáticas de la 
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica 
y Eléctrica del Instituto Politécnico 
Nacional de México.
Derechos reservados en lengua española,
© 1974, EDITORIAL LIMUSA, S. A. 
Arcos de Belén 75, México 1, D. F. 
Miembro de la Cámara Nacional de la 
Industria Editorial, Registro Núm. 121.
Primera edición: 1974
Impreso en M éxico
(878)
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C o n te n id o
CAPITULO 1. DERIVACION PARCIAL
1.1 Definiciones, 7
1.2 Derivadas parciales, 10
1.3 Funciones compuestas; la regla de la cadena, 15
1.4 Diferenciales, 25
CAPITULO 2. JACOBIANOS Y TRANSFORMACIONES 33
2.1 Funciones implícitas y jacobianos, 33
2.2 Dependencia funcional, 38
2.3 Propiedades de los jacobianos, 42
2.4 Transformaciones, 44
CAPITULO 3. EL TEOREMA DE TAYLOR Y
SUS APLICACIONES 53
3.1 El teorema de Taylor en dos variables, 53
3.2 Máximos y mínimos, 58
3.3 Restricciones; multiplicadores 
indeterminados, 67
3.4 Envolventes, 70
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6 / contenido
CAPITULO 4. INTEGRALES MULTIPLES 75
4.1 Integrales dobles y repetidas, 75
4.2 Transformaciones de las integrales dobles, 81
4.3 Integrales triples, 86
4.4 Transformaciones de las integrales triples, 89
CAPITULO 5. INTEGRALES DE LINEA Y
DE SUPERFICIE 97
5.1 Integrales de línea, 97
5.2 El teorema de Green en el plano, 104
5.3 Integrales de superficie, 107
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS 
INDICE
117
121
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CAPITULO 1
D e riv a c ió n p a rc ia l
1.1 Definiciones Un conjunto es cualquier colección de objetos 
definidos por alguna propiedad; los objetos se llaman miembros o 
elementos del conjunto. Denotaremos por R el conjunto de los nú­
meros reales, el cual podemos considerar como el conjunto de los 
puntos sobre una recta (el eje real). Llamamos intervalo cerrado a 
un conjunto de números reales x que satisfacen la relación a ^ x ^ b ; 
si la relación es a < x < b obtenemos un intervalo abierto. Si c es un 
número real cualquiera, el conjunto de puntos sobre el eje real cuya 
distancia euclidiana desde c es menor que 8, donde 8 > 0, se llama 
vecindad de c, es decir, la relación \x — c\ < 8 define una vecindad 
de c.
Denotaremos por R2 el conjunto de pares de números reales 
(x, y ) , el cual podemos considerar como el conjunto de los puntos en 
un plano. Una vecindad (circular) de (a, b) es un conjunto de 
puntos, en el plano, cuya distancia euclidiana desde (a, b) es menor 
que 8, donde 8 > 0, o sea, se define una vecindad de (a, b) mediante 
una desigualdad (x — a)2 + (y — b)2 < 82. Un conjunto de puntos 
es abierto cuando cada punto P en el conjunto posee una vecindad 
totalmente contenida en el conjunto. Por ejemplo, el conjunto S : x? + 
+ y2 < 1 es abierto, pero el conjunto T : x2 + y2 ^ 1 no lo es, debido 
a que las vecindades de los puntos x2 + y2 = 1 contienen puntos que 
no pertenecen a T. En un conjunto, un punto frontera se caracteriza 
por la condición de que todas sus vecindades contienen puntos que 
pertenecen y puntos que no pertenecen al conjunto. Los puntos para 
los cuales x2 + y2 = 1 son puntos frontera tanto de T como de S. 
Un conjunto como T, que contiene todos sus puntos frontera, es 
cerrado.
7
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Por región entenderemos un conjunto abierto o un conjunto 
abierto con algunos o todos sus puntos frontera. (Comúnmente se 
refuerza esta definición diciendo que una región no puede consistir de 
partes ajenas.)
Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos 
que asocia uno o más elementos del segundo conjunto con cada uno 
de los miembros del primero. Si el primer conjunto es R2 y el segundo 
es R, entonces cada pár de números reales (x, y) se asocia con 
uno o más números reales, F{x, y). Cuando z = F{x, y) tiene preci­
samente un valor para cada par (x, y), entonces decimos que la 
regla (y también el valor, F(x, y), lo cual no deja de ser un poco 
ambiguo) es una función de valor único de las variables x y y. Por 
ejemplo, z = x2 + y2 representa una función de valor único, mientras 
que z2 = |* + y| es una función de valores múltiples, pues a los valo­
res de a: y y cuya suma es distinta de cero corresponden más de un 
valor de z. En condiciones normales, entenderemos por la palabra 
función una regla de valor único.
Llamaremos aquí variables independientes a las variables x, y, 
y z será la variable dependiente. Los puntos {x, y) para los cuales 
F(x, y) está definida constituyen el dominio de definición de la fun­
ción; por ejemplo, si F(x, y) = x2 + y2, el dominio de definición es 
todo el plano xy; en cambio, si F (x, y) = y ( x — y), el dominio de 
definición es la región x ^ y. Podemos identificar un punto en el 
espacio tridimensional con cada combinación posible de los valores 
(x, y, z ) , mediante un sistema de coordenadas cartesianas rectangu­
lares Oxyz. En general, esta representación gráfica de una función de 
dos variables crea una superficie.
Supongamos que F(x, y) es una función definida en una vecindad 
de (a, b), con la posible salvedad del mismo (a, b). Si podemos 
aproximar F(x, y) tanto como se quiera a un valor definido l con 
tan sólo escoger pimíos (x, y) suficientemente próximos a (a, b) 
pero no en (a, b )), entonces decimos que F(x, y) tiende al límite l 
cuando {x, y) tiende a {a, b). Reviste importancia que l no dependa 
de la dirección de (x, y) respecto de (a, b). Con más formalidad, 
escribimos
lím F(x, y) = l, 
si, para cualquier número e > 0, existe un número 8 > 0 tal que
8 / Derivación parcial
|F(*,y) —1\ < e siempre que 0 < (x— a)2+ (y —b)2 < 82.
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Definiciones / 9
Se dice que la función es continua en (a, b) cuando está definida. 
en este punto y cuando F(a, b) = l. Por ejemplo, la función cuyo 
valor es cero en todos los puntos menos en (0, 0), donde tiene 
el valor 1, posee un límite cuando (x, y) tiende a (0, 0). Empero 
tal límite es cero, no 1, así que la función es discontinua allí, por­
que F(0, 0) ^ 0.
Muchos teoremas importantes se aplican a funciones continuas en 
todos los puntos de una región. La suma, producto, cociente, etc., 
de dos funciones continuas son todos continuos, con la suposición, 
para los cocientes, de no anularse el denominador. Las funciones 
compuestas formadas exclusivamente de funciones continuas, también 
son continuas y asísucesivamente. Estos teoremas son generalizaciones 
de resultados en el cálculo de una variable; los enunciados precisos 
pueden encontrarse en casi todos los textos sobre cálculo avanzado.
Problema 1.1 Si
x2(x+ y) x2- y 2 + 2x3
f ( x>y) ^ , 2 •> s ( x>y) =x2+ y2 x2 + y2
cuando (x, y) ^ (0, 0), demostrar que, en (0, 0) : (i) / es continua 
si /(0, 0) = 0; (ii) g no es continua, al margen del modo en que se 
defina g(0, 0).
Solución, (i) Supongamos que x y y no son simultáneamente 
cero. Gomo x2 ^ x2 + y2,
I/(*> y) I = I*+yKI*l+ bl-x + y
Por lo tanto, si e > 0, tenemos que |/(#, y) — 0| < e cuando tanto 
|x| < -Je como b l< ie- Esto se cumple, sin duda, cuando 0 < x2 + y2 
< S2, donde S = £e. Por lo tanto, f(x, y) tiende hacia cero cuando 
(x, y) tiende hacia (0, 0), de modo que / es continua en este punto, 
siempre y cuando definamos /(0, 0) = 0 .
(ii) Supongamos que g{0, 0) = /. Si g fuese continua en (0, 0), 
entonces g(x, y) debería aproximarse al valor de l al tender {x, y) 
a (0, 0) a lo largo de cualquier recta. Pero en y = 0, g = í + 2x 
(x=£0), lo cual tiende a 1 cuando x se aproxima a cero; en cambio, 
en x — 0, g = — 1 (y ̂ 0). El primer resultado requiere que 1 = 1 , 
pero el segundo que l = — 1. Siendo incompatibles ambos, deducimos 
que g no puede ser continua en el punto citado. □
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1.2 Derivadas pareiales Sea z = /(*, y) una función (real) de 
las variables independientes (reales) * y y. Si mantenemos y en el 
valor constante y1; entonces podremos considerar z como función de 
x. Si existe la derivada de z = f{x, y i) con respecto a x en x = xly 
la llamamos derivada parcial de f con respecto a x en el punto 
(xi, y i) . Esto se denota por los diversos símbolos
10 / Derivación parcial
dl
dx
, te 
> ° T(*1,1/1) dx
, ó fx{xu yx), ó zx(x1} yx).
(*1, t/i)
Definimos de manera semejante la derivada parcial con respecto a y. 
En forma explícita, en (x±, y*), ponemos
3/ ,, f(xi + h,y1) - f ( x 1,y 1)
— = lim , (1.1)
ox 7i_k, n
3/ ,, f { x i ,y i+ k ) - f ( x u yi)— — lím -------------------------------- , (1.2)
3y k
cuando existen tales límites.
Problema 1.2 Si f(x, y) - x2y3 — 2y2, encontrar los valores de
(i) U(x, y ), (ii) fv{x, y), (iii) fx{ —2, 1), (iv) / „ ( - 2 , 1).
Solución, (i) Al considerar y como constante, derivamos con 
respecto a x, obteniendo
fx(x,y) = 2 x f .
(ii) Consideramos x como constante y derivamos con respecto 
a y:
fv(*>V) = 3x2y2 4y.
Al tomar x — — 2, y = 1, obtenemos
(iii) — 2, 1) = 2( —2) ( l ) 3 = —4.
(iv) / , ( — 2, 1) = 3( — 2)2(1)2—4(1) = 8 . □
Problema 1.3 Demostrar que z = eos (x + y) es una solución de 
la ecuación diferencial parcial
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Derivadas parciales / 11
Encontrar una ecuación diferencial parcial que sea satisfecha, cuando 
z = eos xy.
Solución. En el caso de z = eos (* + y), tenemos: 
dz d— = —- cos(x-t-y) = — sen(*+y),
dx dx
dz
dy
de donde
Si z = eos xy,
dz/dx
así que
la cual es una ecuación diferencial parcial en z (es decir, una ecua­
ción en donde intervienen las derivadas parciales de z).
Observe el lector que se cumple (1.3) cuando z es una función 
arbitraria de x + y y que (1.4) se satisface cuando z es una fun­
ción arbitraria de xy. Q
Problema 1.4 Interpretar, desde el punto de vista geométrico, las 
derivadas parciales dz/dx, dz/dy, donde z = f{x ,y ).
Solución. Considérese la superficie S cuyas coordenadas carte­
sianas rectangulares satisfacen la ecuación z = f(x, y), donde toma­
mos el eje de las z vertical y dirigido hacia arriba (figura 1.1). 
La altura de esta superficie medida desde cualquier punto (xí3 yi) 
en el plano z = 0 es f(xi, yx) , y su valor puede ser positivo o nega­
tivo. Sea P el punto (xi, y1} f(x 1} yt) ), situado en la curva plana 
vertical donde el plano y = y2 se intersec^con S. La pendiente de la 
tangente PQ a esta curva, en P y en la dirección en que crece x es 
(dz/dx)
De la misma manera, la derivada parcial dz/dy en (x1} yx) es la 
pendiente de la tangente PR, en P y en la dirección en que crece y, 
a la curva plana vertical, intersección del plano vertical x = xx y S.
□
: — cos(x+y) = —sen(x+y),
dy
dz dz 
dx dy
(1.4)
= — y sen xy, dz/dy = — x sen xy,
dz dz
x — — y — = 0,
dx dy
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12 / Derivación parcial
Figura 1.1
Problema 1.5 Si
f(x ^ = U y / i^ + f) , (*,y).¥= (0,0),
n*>y> (O, (x,y) = (0,0),
demostrar que / no es continua en (0, 0), pero que tanto fx como 
fy existen en el punto en cuestión.
Solución. A lo largo de la recta x = cy, (c^ ¿0 ),
cy‘
c2y2 + y3 c2 + y'
siempre y cuando y^é 0. Por consiguiente, cuando el punto (x, y) 
se aproxima a (0, 0) a lo largo de esta recta, f(x, y) tiende al valor 
l/c. Como este valor depende de c, f(x, y) no tiende a un límite 
único cuando (x, y) tiende a (0, 0) (en cualquier dirección) y, por 
lo tanto, no es continua en este punto.
En casos como éste, no conviene derivar la fórmula correspon­
diente a / en un punto general y sustituir después los valores x = 0, 
y = 0. En cambio, trabajamos directamente con las definiciones 
(1.1) y (1.2):
7l-y0 h h-* 0 h
r /(O, *) - / ( 0 , 0) „ 0 - 0fy(0, 0) = lun = lim------- = 0,
lo cual demuestra que existen tanto fx como /„ en (0, 0), y cada una 
vale cero. □
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Derivadas parciales / 13
Problema 1.6 Si x = r eos 6 y y = r sen 6, encontrar dx/dr y 
dr/dx. ¿Por qué no se tiene idénticamente que
dx dr 
— — = 1?
dr dx
Solución. Si consideramos r y 0 como las variables independien­
tes y derivamos la ecuación x — r eos 6 con respecto a r (con 0 
constante), obtenemos
dx/dr = eos 6. (1.5)
La forma de notación dr/dx es imprecisa, pues indica que x debe 
considerarse como una de las variables independientes pero no éspe- 
cifica la otra, es decir, no queda claramente establecido cuál debe 
considerarse constante cuando se deriva. Si se supone que * y y 
deben conservar la misma calidad en la segunda parte del problema, 
entonces éstas serán las variables independientes, y las dependientes 
serán r y 6. Al resolver las relaciones dadas, obtenemos
r — (x2 + y2) 1/2, 6 = tan-1(y/x). (1-6)
Derivando la primera de las expresiones de (1.6) con respecto a x,
manteniendo y constante (como indica la notación siguiente):
( — ) = x(x2+ y2)~1/2 = - = eos 0. (1-7)
\dx/v r
Podemos escribir el producto de las ecuaciones (1.5) y (1.7) como
(B e)
\ d r j e \dx/y
lo cual no es idénticamente igual a 1. Esto era previsible, pues se 
mantuvieron como constantes variables diferentes al llevar a cabo las 
derivaciones sobre los miembros de la izquierda. □
Cuando f(x, y) posee derivadas parciales fx y fy en alguna región, 
éstas serán funciones de x y y, de modo que pueden tener, a su vez, 
derivadas parciales con respecto a x y y, las cuales se conocen como 
segundas derivadas parciales de /, y se denotan por
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a2/ _ a (d f\ 32/ _ 0 /df\
dx2 dx \dx/’ dxdy dx\dx)’
i = i = ^ L = l f K s\
V* dydx dy\dy)’ W dy2 dy\dyj
Problema 1.7 Encontrar las segundas derivadas parciales de la 
función f(x, y) = xsy + exy.
Solución. Tenemos
fx — 3 x2y+yexv, /„ = x3 + xexy.
Por lo tanto, al derivar de acuerdo con las fórmulas anteriores, ob­
tenemos
fxx — 6 xy+y2̂ , fxy = 3 x2 + exy + xyexy, 
fyx = 3 x2 + exy+xyexy, fw = x2exy.
Observe el lector que fxy = fyx. Esto no es cierto para toda fun­
ción f(x, y), pero la relación se cumple, en particular, cuando los 
dos miembros existen y son continuos en las inmediaciones del punto 
en cuestión, lo cual suele verificarse en casi todas las aplicaciones 
prácticas. □
Problema 1.8 Si f(x, y) = x2̂ / (x2 + y2), (x, y) ^ ( 0 ,0 ) , de­
mostrar que
(i) xfx+yfy = 2/,
(ü) x2fxx + 2xyfxV+ f f y„ = 2/.
Solución, (i) Encontramos con facilidad que
0
fx = 2xy2{x2 + lf ) ~ 1 + x2y2 — (x2+ y2)~1 = 2 xyt(x2+ ’f )~ í2,
dx
y, por simetría,
fy = 2 xiy(z2+ f ) ~ 2,
de donde
2 x2f ( y 2 + x2)
xfx+yfy = ----— -------- = 2 f. (1.8)
/V (x2+y2) 2 1 K '
14 / Derivaciónparcial
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(ii) Al derivar parcialmente (1.8) con respecto a x y después 
con respecto a y obtenemos
xfxx d" fx d" yfxv = 2fxj 
xfyx~̂ ~ fy^yfyy = 2 fv.
Multiplicando la primera igualdad por * y la segunda por y, su­
mando y aplicando la relación = fyx, obtenemos:
X!‘fxx+2xyfxv + y2fm = xfx + yfy = 2 /, 
para (i). □
Definimos las derivadas parciales de orden superior como exten­
sión natural de las segundas derivadas. Por ejemplo,
0 0
/asra — ~ (/aw)j fym — — ifxy), etc. dx dy
En condiciones adecuadas, no importa el orden de diferenciación, 
así que podemos escribir los subíndices en cualquier orden.
Funciones compuestas: la regla de la cadena / 15
1.3 Funciones compuestas; la regla de la cadena
Problema 1.9 Si / y g son funciones arbitrarias de una variable, 
demostrar que
z — f ( x - c t ) + g (x + cí),
donde c es una constante, es una solución de la ecuación de onda
d2z _ 1 d2z 
~dx2 ~ ~c* W
Solución. Sean u = x — ct, v = x + ct. Si mantenemos í cons­
tante y aplicamos un procedimiento estándar para derivar funciones 
compuestas de una variable,
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16 / Derivación parcial
donde el apóstrofo denota la derivación de una función con, respecto 
a su argumento. Por lo tanto,
d2z du dv
- r j = / " ( « ) - r - + g " (v) t - = /" (« )+ « " (» )• (1-9)dx dx dx
De la misma manera, si mantenemos x constante,
En general, si w = f{x, y), donde x y y son funciones de las 
variables independientes r y s, entonces w es una función de r y s. 
Vamos a denotar por d/dr la derivación con respecto a r, donde s es 
constante, y por 3/3s la derivación con respecto a s, donde r es cons­
tante. Como antes, la notación d/dx y 3/3y significa que y y x son, 
respectivamente, constantes al derivar. La regla de la cadena de la 
derivación parcial afirma que
= -c f'{u )+ cg '(v ) ,
— - ( ~ c ) T ( u ) + ( c ) 2g " ( v ) , ( 1.10)
así que, por (1.9), (1.10), concluimos que
d2z _ 1 d2z _
Hx2 ~c*W ~ □
3 w dw dx 3 w dy
dr dx 3r dy 3r ’
dw dw dx dw dy
3s dx ds dy 3s
Si w = f(x, y, « , . . . ) , donde x = x{r, s, t, . . . ) , y — y(r, s, 
t, . . . ) , z = z{r, s, t, . . .) , etc., entonces la regla correspondiente es
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dw dw dx dw dy 3w 3z
3r dx 3r 3y 3r 3z 3r
dw dw dx dw dy dw dz_ = — ,— + — .— + — •— + • • •, 
ds dx ds dy 35 3z ds
dw dw dx dw dy dw dz_____ — _|_ __ -j- .. -J- * • • etc»
dt dx dt dy dt dz dt
Aquí suponemos que los números de variables x, y, z, . . . y r , í , í , . . . 
son finitos, aunque no necesariamente iguales.
Problema 1.10 Sea w = f(x, y) = exlx~y), donde x = 2f eos t, 
y = 2t sen t. Encontrar dw/dt cuando t = -k.
Solución. Podemos sustituir x y y en términos de t y derivar, o 
bien podemos aplicar la regla de la cadena, con lo cual obtenemos 
(ya que w es función compuesta tan sólo de t ) :
dw 3/ dx df dy
dt dx dt dy dt
= (2^—j')ea,(*̂ !/)(2cosí —2ísení) -xe*(*-J|') (2sení + 2ícosí).
Cuando í = ir, x — —2ir, y = 0, así que
dw/dt = (-47r)^ ’r2( - 2 ) - ( - 2 7 r ) ^ ( - 2 x ) •=4W( 2 - » ) « W*. □
Problema 1.11 Si x = p eos 6, y = p sen 6, (siendo p, 0 coorde­
nadas polares en el plano y x, y coordenadas rectangulares), demos­
trar que la ecuación de Laplace para V(x, y),
d2v d2v 
— + —— = o,
dx2 d f
equivale a
d2V 1 dV 1 d2v
 + -------- + = 0.
dp2 p dp p2 d02
Solución. Primer método. Tenemos:
Funciones compuestas: la regla de la cadena / 17
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dV dV 3a; dv dy dV dV ,
 = ----------+ -----------= eos t í ----- + sen 9 -----, (1.11)
dp dx dp dy dp dx dy
dv dVdx dvdy dv dv ,
 = ---------- + -—---------= — p sen---9 --- + p eos 9 ----- . (1.12)
d9 dx d9 dy d9 ̂ dx F dy
Por lo tanto, podemos reemplazar d/dp y d/d9 por las operaciones 
equivalentes:
0 0 0
— = eos 9 — + sentí — , (1.13)
dp dx dy
0 0 0— = -p sen tí— + peostí — . (1.14)
0tí dx dy
Por (1.11),
d2V 0 / dV 0F\
— - = — I eos tí + sen tí )
dp dp \ dx dy J
d /dv\ dv d ,
= eos 9 — ( — ) + (eos 9)
dp\dxj dx dp
d /dV\ dV 0
+ sm eT A ^ ) + ^ ^ { mí e ) - ( u 5 )
Aplicamos ahora (1.13) a fin de reemplazar d/dp tan sólo en los tér­
minos primero y tercero; en los otros dos términos podemos derivar 
directamente con respecto a p. (En efecto, como p y tí son variables 
independientes, tenemos que (d/dp) eos tí = 0, (d/dp) sen tí = 0.) 
Por lo tanto,
18 / Derivación parcial
d2V
dp*
/ 0 0 \
= eos tí ( eos t í h sen t í I
\ dx dy J
dV . ( + sen tí (
dx \
n d \ dV
eos tí + sen tí ----
dx dy ) dy
d2V d2V d2V .........
= eos2 tí h 2 sen tí eos tí + sen2 tí , (1*16)
dx2 dxdy dy2
pues d2V¡dxdy = d2Vjdydx. De la misma manera,
d2V d ( dV 0F\
 = — I — p sen tí + p eostí .
d92 d$\ F dx P d y j
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Pero
0 0
— ( — p s e n d ) = —p eos#, — (p eos 0) = — psen0,
00 00
y de acuerdo con el procedimiento adoptado en (1.15) obtenemos, 
al aplicar (1.14),
d*V ( 0 8 \ dV dV
 = —p sen 0 ( —p sen 0 ----- + p eos 0 -----) —— — p eos 0 -----
002 V dx d y ) dx 0*
/ 0 0 \ dV dV
+ p eos 0 ( — p sen 0 ----- + p eos 0 1 —- — p sen 0 ----
\ dx dy J dy dy
( d2V d2V d2V\
= p2 ( sen2 0 --------2 sen 0 eos 0 ------ + eos2 0 ----- )
\ 0at2 dxdy d f J
( ?>V— píeos 0 ---- + sen0 ). (1-17)
\ dx dy J
Por (1.11), (1.15),
d2V ld V 1 d2V 02F d2V ......
 + + = + (1.18)
dp2 p dp p2 002 dx2 d f
de donde se deduce el resultado requerido.
Segundo método. Tanto si invertimos las ecuaciones x = p eos 0,
y = p sen 0, para obtener p — (x2 + y2) ̂ 0 = tan-1 (y/x), como si
resolvemos (1.13), (1.14), encontramos que
0 0 1 0 0 0 1 0 „— = cos0 sen 0 — , — = sen0— + - eos 0 — . (1.19)
0* dp p dú dy dp p 00
Al aplicar sucesivamente cada uno de estos operadores a V, podemos 
obtener expresiones para d2V¡dx2 y d2V ¡d f en términos de p, 0 y 
las derivadas de V (hasta de segundo orden) con respecto a estas 
variables. Al sumar las dos expresiones así obtenidas, llegamos, des­
pués de algunas reducciones, al primer miembro de (1.18), de donde 
nuevamente se deduce el resultado que se busca. El lector debe veri­
ficar los pormenores de lo dicho.
Funciones compuestas: la regla de la cadena / 19
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Observe el lector que es mejor no confiar en invertir relaciones 
dadas en problemas de este tipo; esto no siempre puede hacerse. 
Es preferible usar (1.13), (1.14) para deducir (1.19). En el siguiente 
problema se ofrece otro ejemplo del método. 0
Problema 1.12 Si x = u2 — ¡y2, y = 2uv, encontrar du/dx, dv/dx, 
du/dy, dv/dy. Si / = f(x, y), expresar (df/dx)2 + (df/dy)2 en térmi­
nos de las derivadas parciales con respecto a u y v,
Solución. De acuerdo con la regla de la cadena, si g(x, y) es 
cualquier función,
9g dg du dg dv
— = , (1.20) 
dx du dx dv dx
dg dg du dg dv_* = j L _ + _ f _ . (1.21)
9y du dy dv 9y
En particular, cuando g = x, encontramos, a partir de las relaciones 
dadas, que
. du dv
1 = 2u— — 2v — , 
dx dx
du dv
0 = 2 u -------2v — ,
dy dy
De la misma manera, cuando g = y,
„ du dv
0 = 2v— +2 u — ,
dx dx
du dv
1 = 2v — + 2u — .
dy dy
Resolviendo las últimas cuatro ecuaciones,
du u dv ‘—v
20 / Derivación parcial
dx 2(u2+ v2) ’ ' dx 2(u2 + v2) ’
du v dv u
dy 2(u2 + v2) ’ dy 2{u2 + v2)
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Sustituyendo estos valores ai (1.20) y (1.21), y sustituyendo g 
p or/:
3/ 1 / 3 / 3f\— = ——----- —I u — —v — , (1-22)
dx 2(u2 + v2) V Su 0u/
Funciones compuestas: la regla de la cadena / 21
3/
0y
de donde
- . L ^ . L E + A ( , 23)
2(u2+u2) V 3« 3y/
\ d x j \ d y j 4 (u2 + u2) L\0u/ \ 0¡V J
Problema 1.13 Con la misma notación del último problema, en­
contrar d2f/dxdy en términos de las derivadas de / con respecto a 
u y v, cuando u = 2, v = 1.
Solución. De (1.22) se deduce que
0
dx 2 (u2
1 / 0 0\
 — I u y — I.
+ V2) \ 01Í 0U/
y aplicando este operador a (1.23), se tiene, cuando u = 2, z; = 1, 
02/
0x9y 10 \ 9u 0u/ l 2(u2 + u2) \ 0u 0U/J
20 L\ 0ü / u2 + v2J \0u 0u /
+ J - ( , ± » ) ( , » + , * ) .
100 V 3 v j\ du dv J
Observeel lector que hemos reemplazado u por 1 y o por 2 tan sólo 
en las funciones de u y v que aún no se han derivado.
Llevamos a cabo las derivaciones, sin olvidar que u y v son las 
variables independientes, para encontrar:
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d2f
22 / Derivación parcial
dxdy
_ i r - 4 » + 2 gy a/ a/\
20 l_(M2 + y2) 2J \0w dv )
i r a2/ a2/ 0/ a2/ 0/ 02/ i
+ ---- 2» —w — — + 2 u ------+ 2 tí------
100 L 3tí2 dvdu du dudv dv 3z;2J
1 / 02/ 02/ 02/ 0/ 0/\
 ( 10— + 1 5 — - 1 0 — - 1 1 — - 2 — 1. □
500 \ du2 dudv dv2 du dv J
Problema 1.14 Encontrar la solución general de la ecuación de 
onda para z(x, t) :
 ------- -----------= 0. (1.24)
dx2 c2 dt2
Solución. Denotemos por dx, dv las derivadas d/dx, d/dy, y
pongamos u = x + ct, v = x — ct. (Esta sustitución se sugiere a
partir del problema 1.9.) Entonces, con el método de los problemas
anteriores, tenemos:
dx U¡dy i Vgdjj 0a 4* 0»,
dt — tí¿0« 4" Vtdx ~ c(du 3 )̂,
así que, con una notación obvia para las segundas derivadas,
3*» — (3« 4- d v ) (0U 4- 0„) = 0UU 4- 23«« 4- 3„''Ws
— 3tt — (du ~ 3r) (du~dv) = 3«« ~ 23„„ 4- 3CT. c2
Si restamos, podemos escribir (1.24) como
d2z/du dv = 0.
La integración con respecto a u, considerando v como constante,
da
dz/dv = F(v),
donde F es una función arbitraria. A continuación, integramos con 
respecto a v. para obtener
z = S F(v) do + /(«)»
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donde / es arbitraria. Por lo tanto, si ponemos g(v) en lugar de la 
integral indefinida de la última ecuación, habremos obtenido la so­
lución general de (1.24), en la cual intervienen dos funciones arbi­
trarias / y g:
z = f(x + ct) + g (x —ct). O
Problema 1.15 Encontrar la solución de la ecuación de onda 
esférica para z(r, t) :
d2z 2 dz 1 d2z
— + ------- = 0, (1.25)
3r2 r dr c 2 di2
de modo que z = r 1 sen r y dz/dt = 0 cuando t = 0.
Solución. Como
drr(rz) = d r(rzr + z) = r z „ + 2 Zr, 
dtí(rz) = dt(rzt) = rztt,
encontramos que, al multiplicar por r, podemos dar a (1.25) la 
forma
[3rr- (l /c2)'0tt](rz) = 0.
De acuerdo con el problema anterior, la solución general de esta 
ecuación es
rz = f(r+ ct) + g ( r - c t ) ¡ (1.26)
donde f y g son arbitrarias. Aplicamos las condiciones dadas en 
t = 0, para obtener
(2) (t=o) = r-x sen r = r-x\j(r) +g(r)]
es decir,
f(r) +g(r) = senr, (1.27)
y
(3*2) («=o> = 0 = r~x [f'(r + ct) (c) + g '(r -c t ) ( - c ) ] (t=o)
o sea,
f ( r ) ~ g , (r) = 0 , (1.28)
al derivar (1.26), donde el apóstrofo denota la derivación de una 
función con respecto a su argumento.
Funciones compuestas: la regla de la cadena / 23
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Observe el lector que en (1.28) no interviene t y las derivadas
son ordinarias, no parciales. En consecuencia, podemos integrar para
obtener
í i r) ~SÍr) — A — const. (1-29)
Por (1.27), (1.29)
f i r) = |(senr+^4), g(r) = ¿(sen r -A ) ,
y, por lo tanto, la solución que buscamos es, por (1.26),
z — r-1[f(r + ct) + g (r— ct)]
= ^[sen(r + cí) +sen(r—ct)]. □
Si la función f(x, y, z, .. .) tiene la propiedad siguiente:
f(tx, ty, tz, . . . ) = tnf{x, y, z, . . . ) ,
para valores generales de t, decimos que es homogénea de grado n. 
Por ejemplo,
f(x ,y ,z ) = (*3 + 3*y2—xz2)/z
es homogénea de grado 2, porque, si t=£ 0,
f(tx,ty,tz) = [(tx)3 + 3(tx) {ty)2— (tx) (tz)2]/tz 
= t2(x3 + 3xy2 — xz2)/z = t2f(x ,y ,z ).
Problema 1.16 Demostrar el teorema de Euler: si f(x, y, z, . . . ) 
es homogénea de grado n, entonces
0/ 0/ 0/
* 7 + 7 7 + 7 7 + - = n / - (1-30)dx dy dz
Verificar el resultado en el caso en que f(x ,y ,z) = ix3 + yz2 — xyz.
Solución. Sean X = tx, Y = ty, Z = tz, . . . . Entonces, por hi­
pótesis,
f ( X ,Y ,Z , . . . ) = t " f { x ,y ,z , . . . ) .
Derivamos cada miembro con respecto a í, para obtener 
dX dY dZ
+ / r i r + u ~ ¡ r +
24 / Derivación parcial
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Diferenciales / 25
es decir
xfx + yfv + z fz+ • • • = fitn-1f(x, y,z, . . . ) , (1.31)
donde fx = (d/dX)f(X, Y, Z, . . . ) , etc.
A continuación, pongamos t = 1, con lo cual X = x, Y = y,
Z = z, y obtenemos, a partir de (1.31),
xfx + yfy + zfa + ■■■ = nf,
que es el resultado requerido.
La función dada es claramente homogénea de grado 3. Por
cálculo directo,
xfx+yfy + zfz = x(6x2—yz) +y(z2 — xz) +z(2yz—xy)
= 6x3 — 3xyz+3yz2 — 3/,
lo cual queríamos demostrar. Q
En una generalización del teorema de Euler se afirma que (ver 
problema 1.8):
{x% +f)y+ • - - ) mf{x,y, . . . ) = n (n - l ) . . . (n -m + í ) f (x ,y , . . . ) , 
cuando m n.
1.4 Diferenciales Sea P el punto (xt, yx) y sea Q el punto 
(*i + Ax, yx + Ay), donde Ax y Ay son respectivamente incremen­
tos en x y y. Sea R un punto variable (xx + t Ax, yx + t Ay) sobre 
la recta PQ, donde t es un parámetro. Si P y Q son puntos fijos, 
entonces, para cualquier función f(x, y),
F(t) = / ( * i + t Ax, yx + t Ay) (1-32)
es función tan sólo de t. En virtud de un teorema del valor medio 
del cálculo de una variable, si existe la derivada de F en 0 ^ i ^ 1, 
entonces
F( 1) - F ( 0 ) = F '(k ),
donde k es algún número con la propiedad de que 0 < k < 1. Esta 
cantidad representa el incremento Af en / entre P y Q, y derivando 
(1.32) obtenemos
Af = ft (xx+k Ax, yx+k Ay)Ax + fv(xx + k Ax, yx + k Ay) Ay,
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siempre y cuando estas derivadas existan. Si, además, son continuas, 
podemos escribir esta última ecuación como
A/ = (fx+ e i)A x + (fv + e2)Ay,
donde ahora evaluamos las derivadas parciales en (xi, y*), y ei y e2 
tienden ambos hacia cero cuando Ax y Ay tienden hacia cero.
La fiarte principal de este incremento es
df = fx Ax + fy A y,
y, cuando Ax y Ay tienen valores pequeños, df es aproximadamente 
igual a Af. df se llama diferencial de /, y cuando se usan los incre­
mentos Ax y Ay en este contexto se denotan respectivamente por dx 
y dy. Por lo tanto,
df = fxdx + fydy. (1.33)
Esta fórmula es válida aun cuando x y y no sean las variables inde­
pendientes, entonces se cambian ligeramente los significados de dx 
y dy (pues se convierten en partes principales). Por ejemplo, si 
x = x(u, v), y = y(u, v), donde u y v son las variables indepen­
dientes, entonces, en correspondencia con las diferenciales du, dv en 
u, v, tenemos
dx — xudu + xvdv, dy = yudu + yvdv, df = fudu + fvdv.
que satisfacen (1.33), porque
fxXu 4" fyy« ~ fu, fxXy 4“ fvyv = fv.
Las generalizaciones a funciones de más de dos variables son 
inmediatas.
Problema 1.17 (i) Encontrar df cuando f(x, y) = x2e2v eos xy;
(ii) encontrar g(x, y) de modo que
dg = [2y2(sen*4-xcos*) — ye**] dx4- (4xy sen x —xe**4- 2y) dy. (1.34)
Solución, (i) Por (1.33),
df --- e'¿y[2x eos xy -Fx2 ( — y) sen xy]
dx4-x2[2e'¿veosxy + e2v( —x )sen xy] dy 
= xe2v[ (2 eos xy — xy sen xy) dx+x(2 eos xy—x sen xy) dy].
26 / Derivación parcial
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Diferenciales / 27
(ii) Si existe una función g(x, y) con la propiedad citada, enton­
ces, al comparar (1.34) con (1.33) (con g en lugar de /) , veremos 
que g debe satisfacer las condiciones
gx = 2y2(senx + xcosx) — ye™, (1.35)
gy - 4xy sen x — xe*® + 2y. (1.36)
Integramos (1.35) con respecto a x, manteniendo y constante, y ob­
tenemos
g — 2y2xsenx — e™ + h(y), 
donde la función h debe determinarse. Al sustituir en (1.36): 
gy = 4xy sen x — xe™+h'(y) = 4xy sen x — xe™+2y, 
de donde se tiene que h'(y) — 2y, es decir,
h(y) = y2 + C, 
donde C es una constante arbitraria. Por lo tanto,
g(x, y) = 2y2x sen x — exy+ y2 + C. □
Problema 1.18 Demostrar que no existe función alguna (con se­
gundas derivadas parciales que sean continuas) cuya diferencial sea 
xy dx 4- 2x2 dy.
Solución. Consideremos cualquier función f(x, y) con la dife­
rencial
df = P(x,y)dx + Q(x,y)dy, (1-37)
donde P y Q son funciones dadas. Por (1.33), debemos tener:
/* ~ P> fv = £>•
Cuando / posee segundas derivadas parciales que son continuas, enton­
ces fxy = fyx, de modo que
dP/dy = dQ/dx (1.38)
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28 / Derivación parcial
es una condición necesaria paraque el segundo miembro.de (1.37) 
sea la diferencial de alguna función /. En nuestro caso, P = xy, 
Q = 2x2, y
Py = X, Qx = 2x,
o sea,
Py ^ Qa
(excepto cuando x — 0) con lo cual queda demostrada la proposición 
del problema.
Cuando (1.37) es válida para alguna fruición f(x, y), se dice que 
la expresión P dx + Qdy es una diferencial exacta. El resultado recí­
proco del que acabamos de deducir es el siguiente: cuando se veri­
fica (1.38) en toda una región, la forma diferencial P dx + Qdy es 
exacta (aunque quizá / no sea de valor único, a menos que la región 
sea simplemente conexa; véase la pág. 105). □
Problema 1.19 Interpretar desde el punto de vista geométrico A/ 
y df en el punto (*,, y-¡) para una función dada f(x, y ) .
Solución. Consideremos la superficie S: z = f(x, y) referida a 
los ejes cartesianos rectangulares Oxyz. Denotemos por P0 y (2o l°s 
puntos (xi, y-t) y (x¡¡, y2) (eligiendo arbitrariamente el segundo) en 
el plano xy, y pongamos zx = f(xx, yi) , z2 = f(x2, y2) , de modo que 
los puntos P(x}i, yu zx), Q(x2, y2, z2) están en S. Si dx = Ax — x2 
— xx, dy = Ay — y¡¡ — y1} el incremento correspondiente en / es
Af = z2—zx = f{xx+Ax, yi + Ay) ~f(xx,yi),
es decir, Af es el incremento en la altura de la superficie S desde el 
punto (x, y), cuando éste va desde P0 hasta (2o-
Consideremos a continuación el plano tangente a S en el punto 
P(xx, yx, Zx), cuya ecuación, siendo lineal en x, y, z, debe ser de la 
forma
z — Zx — l{x — Xx) + m (y—yx). (1.39)
Por inspección, l es la pendiente de la recta de intersección de este 
plano y el plano vertical y = yx. La curva de intersección de 5 y 
el plano y — yt debe tener la misma pendiente, l, en P, así que
l = fx(xx,yi), m = fv(xx,yx), (1.40)
(obteniendo el segundo resultado con un argumento semejante).
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Diferenciales / 29
Si sustituimos x, y por x2, y¡, entonces, por (1.40), el segundo 
miembro de (1.39) se convierte en
fxdx + fydy, (1.41)
es decir, la diferencial df evaluada en (*,, y , ) . El primer miembro de 
(1.39) se convierte en
z'2~ zi, (1-42)
donde z'2 es la altura vertical desde Q0 del plano tangente en P. Si 
igualamos (1.41), (1.42), obtenemos
df = zf2 — Zi,
lo cual muestra que la diferencial df es el incremento en la altura del 
plano tangente en P cuando el punto base (x, y) va desde P0 
hasta Q0.
Además, este resultado muestra que df y Af son casi iguales, cuando 
los valores de dx y dy son pequeños. l~~l
Problema 1.20 Si f(x ,y ) = ex2y, encontrar un valor aproximado 
para /(1.05, 0.97).
Solución. Escribimos x = x0 + Ax, y = y<¡ + Ay, donde x̂ y y0 
son arbitrarios. Si Ax y Ay son suficientemente pequeños, tenemos que, 
aproximadamente,
f(x ,y ) ~ f(x 0,yo) = /*(*<,, y¡>) A *+/„(*0, y0) Ay.
Tomamos x0 = 1, y0 = 1, Ax = 0.05, Ay = —0.03. Entonces, f(x0,y0) 
= e, y
fx{xO, yo) = 2x<)ex"v‘> = 2e, 
fv(xo, yo) = xr¡<ex°v° = e.
Por lo tanto, nuestro valor aproximado es
/(1.05,0.97) = e + 2e( (0.05) + e ( -0.03)
= 1.07* = 2.91.
En efecto, el valor exacto hasta cuatro cifras decimales es 2.9137.
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Podemos obtener una aproximación mayor por medio del teore­
ma de Taylor; véase el problema 3.4. □
Problema 1.21 Si a, b, c son los lados de un triángulo, expresar 
a en términos de b, c y el ángulo opuesto A; determinar la diferen­
cial da. A continuación, encontrar un valor aproximado para a cuan­
do b = 4.10, c = 3.95, A = 62°.
Solución. Por la fórmula del coseno,
a2 — b2 + c2 — 2bccosA. (1.43)
Si tomamos diferenciales,
2ada = 2b db + 2c de —2c eos A db —2b eos A dc + 2bc sen A dA,
es decir,
da = cr^b — c eos A)db+ (c — b eos A)ds + bc sen A dA\. (1.44)
A fin de obtener la aproximación que se desea, comenzamos con los 
valores b = 4, c = 4, A — 60°, así que, por (1.43),
a2 = (4)2+ ( 4 ) 2 —2(4) (4) (¿) = 16, es decir a — 4
(lo cual también puede deducirse del hecho de que los valores 
escogidos correspondan a un triángulo equilátero). A continuación, 
ponemos
A b = db = 0.10, A c = de = —0.05,
A A = d A = (62 - 60)rr/180 = tt/90
(radianes) y obtenemos una relación aproximada a partir de (1.44), 
cuando sustituimos da por A a, lo cual conduce a
A« = i [ 4 - 4 (|)](0.10) +{4 —4( i ) ] ( —0.05) +4(4) (¿V3) (tt/90)
= ¿(0.20-0.10+0.484) = 0.15,
hasta dos cifras decimales.
Por lo tanto, el valor aproximado para a es 4.15. En efecto, esto 
concuerda con el valor exacto, calculado hasta dos cifras decimales. □
30 / Derivación parcial
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Ejercicios / 31
EJERCICIOS
1. Si f (x , .y) = x eos y + y sen xy, encontrar fx(x, y), fv{x, y),
fxie(x, y), fxx(l, Í tt) , fxy(l> i 17) •
2. Si f(x, y) = xy(x2 — y2) / (x2 + y2) cuando (x, y) (0, 0) y 
/(O, 0) = 0 , demostrar que / es continua en (0, 0). Demostrar, a 
partir de las definiciones, que tanto fxy(0, 0) como fyx{0, 0) existen 
pero tienen valores diferentes.
3. Si z = sen xy2 y x = t + e*, y — te-1, encontrar dz¡dt y d?z¡dt2 
cuando t = 1.
4. Si x — eu eos v, y = eu sen v, encontrar du/dx, du/dy, dv/dx, 
dv/dy, en términos de * y y, (i) por el método de eliminación del 
problema 1.12, (ii) por el método de resolver primero para u y v. 
Demostrar que, para una función arbitraria f(x, y) (continua y con 
derivadas parciales continuas hasta de segundo orden),
5. Demostrar que z = f(x + ev) + g(x — ev) es solución de la 
ecuación
para / y g arbitrarias (con derivadas parciales de segundo orden con­
tinuas). Encontrar una solución con la propiedad de que z — 0, 
dz/dy = 1 + x cuando y = 0.
6. Demostrar que f(x, y) = V (*4 + y4) satisface la ecuación
(i) mediante el cálculo de las derivadas parciales, (ii) por el teore­
ma de Euler acerca de las funciones homogéneas.
Demostrar también que
d2z d2z ^ 0z
dx2 dy2 dy
xfx+yfs = 2/,
x2Ux+2xyfjV+ y2fvy = 2/.
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7. (i) Demostrar que (x y + l)y dx+[(xy— l )* + y] dy no es una di­
ferencial exacta, (ii) Encontrar una f(x, y) con la propiedad
df = y l( l+ x )e x+v—2x]dx+x^(l+y)ex+v—x]dy.
8. Encontrar un valor aproximado, hasta dos cifras decimales para
ln[(0.97)^°tó-(0 .03 )e0-52] 
considerando la diferencial de ln[(l— x)e1~v— xé^ en x = 0, y — 0.5.
32 / Derivación parcial
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CAPITULO 2
J a c o b ia n o s y tra n s fo rm a c io n e s
2.1 Funciones implícitas y jacobianos Guando tres variables x, 
y, z están relacionadas por una sola ecuación de la forma
F {x ,y ,z ) = 0 (2.1)
normalmente podemos asignar valores a dos de ellas, por ejemplo 
x y y, y entonces la tercera variable, z, queda determinada. Decimos 
que (2.1) define z como función implícita de x y y.
Sin embargo, no toda ecuación de esta forma define una de sus 
variables (supuesta real) en función de las otras dos. Por ejemplo, 
la ecuación
*2 + y2 + z2 + l = 0
nunca se cumple cuando todas las variables toman valores reales. 
Asimismo, la ecuación
(* + y )2 + z2 - 1 = 0 (2.2)
define una z real tan sólo cuando {x + y ) 2 ^ 1, y en cada punto
que no se encuentre sobre la frontera en este dominio de dependencia,
la función es de valores múltiples.
Cuando (2.1) define z como una función de x y y en una región 
R del plano xy, digamos z = f(x, y), entonces (2.1) se convierte en 
una identidad en * y y, al sustituir z por /(#, y) . Por tanto, si F es la 
función a la izquierda de (2.2), entonces, en la faja R cuya ecuación 
es |x + y| 1, tenemos
z = f(x ,y ) = ± V [1 - (* + y )2],
33
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y, al poner esta expresión en lugar de z en (2.2), nos queda 
F[{*>y>f{x,y)] = ( *+ y )2 + l - ( * + y ) 2- l = 0,
lo cual es una identidad.
Supongamos que podemos encontrar un conjunto de valores x0, y0, 
z0 que satisfacen (2.1) y que, cerca de (*0, y0, 2o), F y sus primeras 
derivadas parciales son continuas; además que dF/dz=£ 0. Entonces 
un teorema de existencia afirma que en una región determinada del 
plano xy que contiene (x0, y0) , existe precisamente una función dife- 
renciable z = f(x ,y ) mediante la cual (2.1) se reduce a unaidenti­
dad, tal que z0 = f(x0> y0).
Problema 2.1 Si x2 — xz+z*+yz = 4, encontrar dz/dx y dz/dy 
cuando x = 1, y = 3.
Solución. Tenemos
F(x,y,z) = x 2 — xz+z2+ yz—4 = 0. (2-3)
Si suponemos que z está definida como una función de x y y me­
diante esta ecuación y derivamos con respecto a x (y constante), ob­
tenemos
dz dz dz
I x - z - x — + 2 z — + y 0. (2.4)
0 * 0 * 0*
De la misma manera, derivando con respecto a y (* constante),
02 02 02 
- * — +22— + y — + z = °. (2.5)
dy dy oy
Resolviendo (2.4), (2.5), resulta
02 2— 2* 02 —2
34 / Jacobianos y transformaciones
(2-6)0* 2 z + y —x dy 2 z + y —x
Cuando * = 1, y = 3, (2.3) da
z2 + 2z — 3 = 0,
es decir,
2 = 1 ó - 3 . (2.7)
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Al tomar este resultado para sustituirlo en (2.6),
dz _ _ 1 , 5 dz _ 1 , 3
dx 4 ° 4 ’ 3y ~ 4 ° 4 ’
/
en cada caso, el primer valor corresponde a z = 1, y el segundo a 
z = — 3. CU
Problema 2.2 Si « y o son funciones de * y y, definidas implíci­
tamente en alguna región del plano xy por las ecuaciones
u sen v + x2 = 0, 
u eos v—y* = 0,
encontrar du/dx, dv/dx, dujdy, dv/dy.
Solución. Derivamos las ecuaciones dadas con respecto a x, con­
siderando y como constante.
du dv
— sen v+u eos o -h 2x = 0,
dx dx
du dv
— eos y + « ( —sen u) — = 0.
dx dx
De igual manera, derivamos con respecto a y tomando x como cons­
tante:
du dv
— sen v + u eos v — = 0,
dy dy
du dv
— eos v + u( — sena) 2 y — 0.
dy dy
Resolvemos las últimas cuatro ecuaciones a fin de obtener las deriva­
das parciales que se buscan:
Funciones implícitas y jacobianos / 35
du dv 2x
— = — 2x sen v. --- = — ---
dx dx U
du dv _ 2 y
— = 2y eos v, — =
dy dy u
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36 / Jacobianos y transformaciones
Cuando la ecuación F(x, y, z) = 0 define z como una función de 
x y y, el método del problema 2.1 nos muestra (en la notación com­
pacta de subíndices) que
Fx+F zzx = 0, Fy+FzZy = 0,
de donde obtenemos
2* = —Fx/Fz, Zy = -Fy/Fz. (2.8)
Observe el lector que el denominador Fz no se anula cuando F satis­
face las condiciones del teorema de existencia citado al principio de 
esta sección.
De nuevo, si las ecuaciones simultáneas
F(x, y, u, v) = 0, G(x, y, u,v) = 0 (2.9)
definen u y v como funciones de * y y, como en el problema 2.2, 
entonces al derivar parcialmente cada ecuación con respecto a x y 
después con respecto a y, se tiene:
Fx + Fuux + Fvvx = 0, Fy + Fuuy + F„vv — 0, (2.10)
Gm + GUtlX + GyVg = 0, Gy + GUUy + GyVy = 0. (2.11)
Una vez resueltas tales ecuaciones, obtenemos
Fx Fv 1 Fu Fv
Gx Gv 1 Gu Gv
Fu Fx 1 Fu Fv
Gu Gx 1 Gu Gv
con dos relaciones parecidas, donde se pone y en lugar de x. Se su­
pone, desde luego, que el denominador / = FUGV — FVGU 0.
Se aplica un teorema de existencia en el caso de (2.9) cuando 
las ecuaciones se satisfacen para un conjunto de valores x<¡, y0, «o, vQ, 
si F, G y sus derivadas parciales de primer orden son continuas y 
/ 0 en las cercanías de (x0, y0, Uo, «o). El teorema establece que en
cierta región del plano xy, la cual contiene a (r0, y0), existen precisa­
mente dos funciones diferenciables u = f(x, y), v — g(x, y), me­
diante las cuales (2.9) se convierten en un par de identidades, con 
la propiedad de que tío = /(*o, yo), v0 = g(xo, y0).
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Funciones implícitos y jacobianos / 37
Los determinantes funcionales como el de (2.12) se llaman jaco­
bianos, y se denota el denominador de esa ecuación por 3 (F, G) /3 
(ti, v ). De la misma manera, si F, G, H son funciones de las variables 
ti, v, w, *i, . . xn, entonces el jacobiano de F, G, H con respecto 
a u, v, w es
Fu Fv FuW ,G ,H )
3(«, v, w)
W
Gu Gv G„ 
Hu Hv Hw
(2.13)
En este último caso, si las ecuaciones F = 0, G *= 0, H = 0 defi­
nen u, v, w como funciones de las variables x, el procedimiento que 
nos condujo a (2.12), muestra que, para una derivada típica, se 
tendrá
j u - _ ( ¡_ l j2>. . . n)i (2.14)
dxi d(F, G, H) /0(ti, v, w) v
con otras cinco formas semejantes.
Problema 2.3 Si la ecuación F(x, y, z) = 0 puede resolverse para 
cualquiera de las variables x, y, z en términos de las otras dos, de­
mostrar que
«
\dy/s\(¡zj x\dxjv
donde la variable indicada fuera de cada paréntesis se mantiene 
constante al derivar.
Solución. En primer lugar, consideramos x como función de 
y y z, y obtenemos, al derivar con respecto a y,
Fxxv + Fy = 0,
es decir, (xv) z = — F„/F«. (2.15)
De la misma manera, encontramos que
(y .). = -F*IFV, {Z')v = -F . /F „ (2.16)
Así, al formar el producto de (2.15), (2.16)
(*»)« (y*)»(^*)»= O
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2.2 Dependencia funcional Consideremos las ecuaciones
M = x2 + y + l , v = xi + 2x2y+ y2 — x2 — y. (2.17)
Como existe una identidad entre u y v, a saber:
v = (m — l ) 2 — (m — 1) = u2 — 3w + 2,
decimos que u y v son funcionalmente dependientes. En general, si 
«i, u2, . . . , um son m funciones de las n variables xx, x2, . . . , xn> en­
tonces decimos que las u son funcionalmente dependientes cuando 
existe una relación de identidad de la forma F(ut, u2, .. ., um) = 0.
En los problemas siguientes, supondremos que F es una función 
continua con derivadas parciales continuas.
Problema 2.4 (i) Demostrar que si u(x, y), v(x, y) son funcio­
nalmente dependientes en una región del plano xy, entonces
0 («, v )
i r ~ 7 s 0 ' (2-18)0(*,y)
(ii) Verificar (2.18) en el caso en que u y v están dadas por
(2 -1 7 ) . ............................................
Solución, (i) Por hipótesis, existe una relación de identidad de
la forma F(u, v) = 0 ; entonces, derivando parcialmente con respec­
to a x y y en sucesión:
Fuux + F vvm = 0, (2-19)
F uUy + Fvvy = 0. (2.20)
Por consistencia con este resultado, debe verificarse que
d{u,v)
38 / Jacobianos y transformaciones
d(x,y)
= 0, (2.21)
a menos que tanto Fu como Fv sean idénticamente cero.
En este último caso, observamos que si u y v tienen la propiedad 
de que el jacobiano (2.21) es continuo y distinto de cero en cual­
quier punto, entonces debe ser distinto de cero en una vecindad N 
del punto en cuestión. Por lo tanto, por (2.19), (2.20), Fu y F„
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Dependencia funcional / 39
son cero en todos los puntos de N, de modo que F no depende de u 
ni de v y la ecuación F = 0 no define relación funcional alguna.
(ii) Si u = x? + y + 1, v = xi + 2 x?y + y2 — x2 — y, el jacobia- 
no (2.21) es
d(u,v) 2x 4xs+4xy—2x 
d(x,y) = 1 2x2 + 2y—í
= 2x(2x2 + 2y— 1)— (4x3+4xy—2x) = 0 . Q
Problema 2.5 Demostrar que la condición de (2.18) es suficiente 
para la existencia de una relación funcional entre u(x, y), v(x, y ) .
Solución. Escribimos
u = f ( x ,y ) , v = g (x ,y ). (2.22)
Si no tomamos en cuenta el caso trivial en el que todos los elementos 
del determinante (2.18) son cero, pódeme» suponer que u * ^ 0 (de 
lo contrario, intercambiamos la notación u y v, ó x y y ) . Por lo tanto, 
la primera relación de 2.22), puesta en la forma f(x ,y ) — u = 0 
determina x como una función de y y u, de acuerdo con el teorema 
de existencia de las págs. 33 y 34. Cuando sustituimos x por esta 
función en la segunda igualdad de (2.22) obtenemos una relación 
de la forma
v = G(u,y). (2.23)
Si podemos demostrar que Gy es idénticamente cero, deducire­
mos de (2.23) que u y v están funcionalmente relacionadas. Ahora 
bien, por (2.23),
Vg¡ — G UUX, Vy G uU y4r Gyy 
así que la condición dada (2.18) se traduce en
Ux Uy Uy Uy
Vy Vy G uUx GfiUx ~)r G y
War Gv_
una vez desarrollado el determinante. Pero ux =£ 0, y, por lo tanto, 
Gv = 0. De esto se deduce el resultado. Q
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40 / Jacobianos y transformaciones
Problema 2.6 Con el criterio del jacobiano, demostrar que existe 
una relación funcional entre
u = 2lnx+1ny, v — (*, y > 0 ) , (2.24)
y determinar tal relación.
Solución. Tenemos:
0,Uj Uy 2/x 1 /yV9 Xy VjkHVv e*Wx/2 Vy
y, por lo tanto, existe una relación funcional entre u y v.
Al resolver la primera igualdad de (2.24) para y, encontramos 
que y — ¿“/x2. Al poner esto en lugarde y en la segunda relación 
de (2.24),
ln v = x V y —
es decir,
eiu- \ n v = 0.
El resultado también podría haberse obtenido por inspección. □
Problema 2.7 (i) Demostrar que si u(x, y, z) , v(x,y, z) , w(x, y, z)
están funcionalmente relacionados, entonces
U& Uy Ug 
Vx Vv Vg 
Wg Wy Wg
= 0. (2.25)
(ii) Con la suposición de que se verifica el resultado recíproco, 
demostrar que existe una relación funcional entre
u = j^ (y—z + x ) — x2(x + y —z), 
v - x+y,
W = y2 — x2 — y2 + XZ'
Solución, (i) Sea la relación F(u, v, w) = Ú. Cuando derivamos 
sucesivamente con respecto a x, y•, z, obtenemos
F vMx + F VVX + Fyflüg = 0,
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Dependencia funcional / 41
con dos ecuaciones más en las cuales x se sustituye por y y por z. 
Ahora bien, a menos que se anulen F„, Fv, Fw (en cuyo caso F — 0 
no define una relación funcional), debemos tener, por consistencia 
entre las tres últimas ecuaciones, la condición determinantal (2.25).
(ii) Con las funciones dadas, encontramos al formar las derivadas 
necesarias,
u „ Uy Uz y2 — 3x2 — 2xy+2xz 3y2 — 2yz + 2 xy —x2 x2—y*
vx Vy Vz 8=3 1 1 0
wt Wy w¡ z —2x 2y —z x —y
= 0, (2.26)
como se tiene (por ejemplo) al desarrollar el determinante respecto 
al renglón intermedio y reducir. En consecuencia, existe una relación 
funcional entre u, v y w. En efecto, es u = vw. □
Como extensión de los resultados anteriores, supongamos que 
tenemos m funciones de n variables, Mi(*i, . . . , xn) , . . . , Um(x1} . . . , 
xn) . Si A denota la matriz m X n cuyo elemento en el i-ésimo renglón 
y la j-ésima columna es dui/dx¡, entonces existe una relación funcio­
nal de la forma F(«i, .. .,«*,) = 0, si el rango de A es menor que 
m. (El rango de una matriz es el número máximo de renglones o 
columnas linealmente independientes.) Cuando el rango es r ( < m), 
existen exactamente m — r relaciones independientes entre las úes, 
Por ejemplo, la matriz 3 X 3 de (2.26) tiene rango menor que 
3, porque el determinante es cero. Pero, por inspección, los dos últi­
mos renglones son linealmente independientes (pues no son propor­
cionales), así que el rango es, por lo menos, 2. Esto último nos per­
mite afirmar que el rango es exactamente 2 y tan sólo hay 1( = 3 
— 2) relación entre u, v y w a saber: u = vw.
Problema 2.8 ¿Cuántas relaciones funcionales independientes exis­
ten entre las funciones
t = 2 x+y, u = x+z,
v = 2x2+xy+yz+2xz, w — x + y —z?
Solución. Hemos de considerar el rango de la matriz 4 X 3
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42 / Jacobianos y transformaciones
ty t z ' r 2 1 °1
w* % uz 1 0 1
V* vy V z 4x+y+2z x+ z 2x
W y W ¡ . . L 1 1 -1 J
(2.27)
El rango no puede exceder del número de columnas, 3, y como m = 4, 
existe por lo menos una relación funcional entre t, u, v y w. (Este 
es siempre el caso cuando hay más funciones que variables.) Como 
los dos primeros renglones de la matriz son, sin duda, linealmente 
independientes, el rango es, por lo menos, 2. Tan sólo debemos de­
terminar si el rango es 2 ó 3.
Aquí podemos servimos provechosamente de otra definición de 
rango: si una matriz contiene por lo menos una submatriz cuadrada 
de p renglones con un determinante que no se anula, y toda matriz 
cuadrada de (p + 1) renglones tiene determinante cero, entonces el 
rango es p. Las cuatro submatrices de 3 renglones en (2.27), que 
formamos al eliminar cualquiera de los renglones resultan tener de­
terminante cero, así que concluimos que el rango es menor que 3. 
Por lo tanto, es 2.
De esto se desprende que el número de relaciones funcionales 
independientes es 4—2 == 2. Podemos expresarlas de diversas mane­
ras; una de ellas es v = tu, w = t — u. □
2.3 Propiedades de los jacobianos En esta sección suponemos 
que existen y son continuas todas las derivadas en cuestión.
Problema 2.9 Si u = u(x, y), v = v(x, y), donde x y y son 
funciones de las variables independientes r y s, demostrar que
d(tt, v) = d(u,v) d {x,y ) 
a(r, s) 3(x,y) 3 (r, s)
(2.28)
Solución. Observamos la semejanza entre esta ecuación y la 
regla de derivar una función compuesta en el cálculo de una variable. 
La demostración es sencilla, pues
miembro izquierdo = X r Xg
yr y*
UzXT+uvyr UzXg 4“ Uyy, ur u.
VsXr+VyJr VzX»+vvy, Vr V, = miembro derecho
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donde hemos aplicado la regla de multiplicación de matrices para 
multiplicar determinantes. Q
Problema 2.10 Si u — u(x, y), v = v(x, y) pueden resolverse 
para obtener las relaciones inversas x = x(u, v), y = y(u, v) , de­
mostrar que
3 ( « * » ) _ 1 / ü í i Z l . (2.29)
Propiedades de los jacobianos / 43
3(*, y) i d(u,v
Solución. Observe el lector que ninguno de los jacobianos en 
(2.29) puede anularse, pues cualquiera de los pares de ecuaciones 
que relacionan u, v con x, y es invertible.
Por (2.28), poniendo u, v en lugar de r, s (sin olvidar que las 
primeras desempeñan papeles de variables tanto dependientes como 
independientes), y puesto que
9(m, v) 1 0 
0 1 = 1.3 («, v) 
tenemos 
i = d(u>v) a(*»y)
3(x,y) 3 (u,v) ’
de donde se desprende inmediatamente la validez de (2.29). Q
Problema 2.11 Si u, v, w son funciones de las variables inde­
pendientes *i, x2, x3, *4, y si
0 (u, v, w) d{u,v,w)
A = —----------- —, B =d(x2, x3, x4) ’ d(x3,x i, x 1)
c _ 0(«, v, w) D = d{u,V,w)
3 (*4, X1} x2) 3 (*i, x2, x3)
demostrar que
3 A 3 B 3 C 3 D --------+ = 0 . (2.30)
3*1 3*2 3*3 3*4
Solución. Sean 0! = 3/3*i, « i = du/dxi, etc. Consideremos
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44 / Jacobianos y transformaciones
Mediante un conocido procedimiento para derivar determinantes, 
esta derivada es la suma de los tres determinantes que obtenemos de 
A al derivar los elementos de un renglón mientras los otros dos 
permanecen sin alterarse. Al desarrollar cada uno de estos tres deter­
minantes respecto al renglón derivado, obtenemos una expresión para 
dA/dxi como una suma de menores de 2 X 2 de A multiplicados por 
una derivada de segundo orden (mixta) de u. Por ejemplo, el pri­
mer término de la suma es '
«1 2
Z>3 V t 
Ws Wt
(2.32)
Consideremos a continuación la expresión (2.30) completa; po­
demos expresarla como un determinante formal:
Ai jBj+C3—D4
0x 02 03 04
«1 U2 «a M4
O í ü2 Vs Dt
W i Ws W3 W t
(2.33)
donde desarrollamos respecto al primer renglón y mantenemos siem­
pre un operador derivado a la izquierda de la función sobre la cual 
actúa. Al operar con los tres términos restantes en este desarrollo 
como se hizo con el (2.31), podemos expresar (2.33) como una 
serie finita de términos semejantes al (2.32), en el cual los dos índi­
ces que aparecen dentro del menor (por ejemplo, 3, 4) son distintos 
a los de la segunda derivada que se encuentra fuera del menor,
(i, 2).
La inspección de (2.33) nos muestra que los únicos términos que 
contienen a «i2 (ó ti2i) en la serie son
«3 V i Vs V i
«12 , «21
Ws W i WS W i
Cuya suma es cero. Por una permutación cíclica de los índices y de 
las variables u, v, w, se deduce que el coeficiente de cada segunda 
derivada de «, v, ó w en el desarrollo en serie de (2.33) se anula de 
la misma manera. En consecuencia, el valor del determinante (2.33) 
es cero, como debía demostrarse. O
2.4 Transformaciones Hasta aquí, venimos llamando función a 
toda regla que asocia con cada miembro de un conjunto, un ele­
mento particular de un segundo conjunto. También se llama mapeo.
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Transformaciones / 45
En muchas aplicaciones donde intervienen cambios de variable, 
debemos trabajar con fórmulas como:
x = /(« , y), y = g{ u, y), (2.34)
que transforman (o “mapean” ) puntos en alguna región del plano 
uv sobre puntos de una región correspondiente del plano xy. Estos 
mapeos entre conjuntos de puntos suelen llamarse transformaciones. 
Podemos considerar también transformaciones de la forma
x = f(u,v,w), y = g(u, v,w), z — h(u, v, w) ,
donde intervienen puntos en el espacio de tres dimensiones. (Aquí 
no es preciso considerar otra posibilidad, a saber, que el número de 
variables w, y, . . . difiera del número de variablesx, y, . . . . )
En (2.34), el punto (x, y) que corresponde a una elección par­
ticular de a y y forma la imagen del punto (a, y) bajo la transfor­
mación. Un lugar geométrico en el plano a, v, como una curva, 
tendrá un lugar imagen en el plano xy.
Si / y g son continuas y tienen derivadas parciales continuas, y 
si d(x, y) /0(a, v) =£ 0, en principio podemos resolver (2.34) para 
obtener la transformación inversa u = F(x, y), v = G{x, y). La 
correspondencia es entonces uno a uno, pues cada punto de la región 
adecuada de uno de los planos posee un punto imagen único en la 
región correspondiente del otro plano.
Problema 2.12 Si i? es la región triangular en el plano xy limi­
tada por las rectas x + y = 2, y — x = ~ 1, * = 0, encontrar la 
región imagen S en el plano uv bajo la transformación x = u + 2v, 
y = v — 2u. Encontrar, además, d(u, v)/d{x, y).
Solución. La recta x + y — 2 se mapea sobre el lugar geomé­
trico (u + 2y) + (y — 2u) = 2, es decir 3v — u — 2.
La recta y — x = — 1 se mapea sobre (y — 2u) — (u + 2v) = 
— 1, es decir, 3m + y = 1, y la recta x = 0 sobre u + 2y = 0. En 
consecuencia, la región S limitada por estas rectas imagen en el plano 
uv es la que se muestra en la figura 2.1 .
A partir de las relaciones dadas, x = u + 2y, y = v — 2w, encon­
tramos:
ñ(x v) 
d[ü^v)
xu xv i 2
y» y® - 2 1
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46 / Jacobianos y transformaciones
y, por lo tanto,
3(«>g) = J I2(x,y) _ 1 
I d(u,v) 5'
En ocasiones, una transformación es válida e invertible con la 
salvedad de algunos puntos de una región, llamados puntos singula­
res en los cuales la correspondencia no es uno a uno. Esto sucede 
en muchos casos prácticos, y usualmente se manifiesta en la calidad 
del jacobiano, el cual puede anularse o volverse infinito en un punto 
singular. □
Problema 2.13 (i) Encontrar la región R del plano xy mapeada
en el plano uv por medio de la transformación
x = u cosh v, y = u senh v. . (2.35)
(ii) Describir las curvas de R cuyas imágenes son las rectas 
u = Uo y v = v0.
(iii) Indicar en un diagrama la región Rx en el plano xy cuya 
imagen es la región rectangular S1} limitada por las rectas u = 1, 
u = 2, v = i, v = 1.
Solución, (i) Al eliminar sucesivamente « y o entre las (2.35) 
obtenemos
uz = x2 — ’f , tanh v = y/x, (2.36)
siempre y cuando x=£0. Cuando x = 0, de (2.35) se deduce que 
u = 0 (pues cosh o =£ 0), y de ahí que y — 0 ; eso entraña que toda
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Transformaciones / 47
la recta u = O corresponde al punto x = 0, y = 0, de modo que 
constituye un punto singular de la transformación.
Cuando x^=0, tenemos, por (2.36), que \y¡x\ = |tanh y| < 1, 
así que |y| < |jc|. Al someter (2.35) a esta última condición, la trans­
formación nos define un valor único de v en — oo < v < oo para 
cada par de valores (x, y). De nuevo, al tomar |y| < |*|, tenemos 
que u2 > 0 en (2.36), lo cual nos asegura que u es real. Por (2.35), 
vemos que u tiene el mismo signo que x, y (2.36) nos indica que u 
puede tomar todos los valores reales. *
En consecuencia, la región R está dada por |y| < |*| (que se ha 
sombreado en la figura 2.2a), junto con x = 0, y = 0 como punto 
singular. La región imagen está compuesta de todo el plano uv.
i r j r
$
! " i'* * I
(b)
Figura 2.2
(ii) La recta u = u<) es imagen de una rama de la hipérbola rec­
tangular x2 — y2 = u2, siendo la rama tal que x tiene el mismo signo
que «o. (Excluimos el caso singular en que t*o = 0, que ya se trató 
en (i).) La recta v = y0 es la imagen de la recta y = (tanh v0)x. 
En la figura 2.2 se muestran algunos casos.
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(iii) A partir de (ii), vemos que las ramas para valores positivos 
de x en las hipérbolas x2 — y2 = 1 y x2 — y2 = 4 corresponden res­
pectivamente a u — 1, « = 2. Las rectas y = (tanh i ) x y y — (tanh 
1) x corresponden a » * = ¿ y » = l . La región Rx es, por lo tanto, 
la que se muestra en el diagrama.
El jacobiano d(x, y ) /3(u, v) que corresponde a (2.35) es fácil 
de evaluar; resulta ser igual a u. Observamos que se anula en el 
punto singular x — 0, y = 0. O
Guando una región i? en el plano xy corresponde a una región S 
en el plano uv, en una transformación invertible, las fronteras de las 
dos regiones también se corresponden. Supongamos que un punto P 
describe la frontera de R en un sentido definido (por ejemplo, en el 
sentido opuesto al movimiento de las manecillas del reloj). Entonces, 
su punto imagen Q describirá la frontera de S, ya sea en el mismo 
sentido o en sentido opuesto. Un resultado importante es que si el 
jacobiano es positivo, las dos fronteras se describirán en el mismo 
sentido, y si el jacobiano es negativo, los sentidos serán opuestos.
Por ejemplo, en la figura 2.2, las partes correspondierites de las 
fronteras de Ri y Sx se han marcado con el mismo número de trazos. 
El número de trazos aumenta de 1 a 4 cuando se recorre cada fron­
tera en la misma dirección (en el sentido opuesto al movimiento de 
las manecillas del reloj) y el jacobiano u es positivo.
Gomo un segundo ejemplo, consideremos la transformación que 
resulta de (2.35) al reemplazar x por —x. La región R\ en el plano 
xy, que corresponde a Sx, se obtiene al reflejar Rx en la recta x = 0 
(figura 2.3). Esta reflexión invierte el sentido en que debe recorrerse 
la frontera a fin de encontrar un número creciente de trazos, desde 
1 hasta 4. Pero ahora tenemos d(x, y) /3(«, v) — —u, que es negativo 
cuando u > 0.
48 / Jacobianos y transformaciones
Figura 2.3
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Transformañone» / 49
Problema 2.14 Considérese la transform ación
senh u eos 9 senh u sen 9
x =
coshw —eos y ’ ̂ cosh u — eos v
donde
0 < u < oo, 0 < v < 2tt3 0 < 9 < 2tt.
Encontrar la región R del espacio xyz que se mapea sobre la repon 
rectangular del espacio uvO limitada por los plapps u = \, u = 1, 
v = tt/6, v = tt/4, 9 = 0, 0 = tt/2.
Solución. Empezaremos por una consideración más general de 
las tres familias de superficies cuyas respectivas ecuaciones son 
w == const, v = const. y 9 = const. Como (2.37) da y = * tan 0, 
tenemos que la superficie 9 = 60 es un plano que pasa por el eje z, 
con un ángulo de inclinación 9<¡ respecto del plano x = 0.
Si tanto u como v se mantienen constantes mientras 9 varía, en­
tonces z y x2 + y2 permanecen constantes, de acuerdo con (2.37) y, 
por tanto, el punto correspondiente en el espacio xyz describe una 
circunferencia paralela al plano xy, con centro en el eje z. Por consi­
guiente si cualquier miembro de la familia u = const. contiene un 
punto de cualquier circunferencia así, debe contener la circunferencia 
entera. Esto significa que cada uno de los miembros es una superficie 
de revolución alrededor de Oz, y lo mismo podemos decir de cada 
curva de la familia v = const. Podemos establecer todas las demás 
propiedades de ambas familias, si investigamos sus curvas de intersec­
ción con el plano 9 = 0 (es decir, y = 0).
Cuando 9 = 0, obtenemos, a partir de (2.37),
(x —coth u)2+z2 = cosech2 u, x2+ (z — cot v)2 = cosec2 v, (2.38)
La primera de estas ecuaciones indica que la superficie u = w0 corta 
el plano y = 0 en el espacio xyz, en una circunferencia de radio 
cosech Uo con centro en x = coth Uo, z = 0. De la misma manera, la 
segunda de (2.38) indica que la superficie v = v0 corta el plano 
y = 0 en una circunferencia de radio cosec u0 y centro en x = 0, 
z = cot v0. (Las dos familias de circunferencias u = const, v = const. 
en el plano y = 0 son, en efecto, familias ortogonales de circunfe­
rencias coaxiales, en las cuales x = ± 1, z = 0 son puntos límite. 
De todo lo anterior se desprende que cada miembro de la primera 
familia es un toro; u, v, 9 son coordenadas toroidales.)
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50 / Jacobianos y transformaciones
La región R que buscamos se obtiene al hacer girar la región 
sombreada de la figura 2.4, recorriendo un ángulo de alrededor 
de Oz. Los extremos planos de la región son y = 0 y x = 0.Observe el lector que los denominadores de (2.37) se vuelven 
cero cuando u = v = 0, lo cual constituye una recta de puntos 
angulares de la transformación en el espacio uvQ. O
En el capítulo 4 estudiaremos otras propiedades de las transfor­
maciones.
EJERCIOOS
1. Si x* + yu + zu? = xyz define u como una función de x, y, y z, 
encontrar ux, Uy, ue.
2. Si las ecuaciones
u3x —yv = u, v3y —xu ■= v,
definen u y v como funciones de x y y, encontrar ux y vt.
3. Verificar la existencia de una relación funcional entre
u == x —y+z, v = xz— (x+z)y, w = x^+jf+z2, 
y, si existe, determinarla,
4. ¿Cuántas relaciones irracionales independientes existen entre
t = x~y, u = x+3y+2z, v = y(y+z) —x(x+z) , w = x + y + z ?
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Ejercicios / 51
5. Para la transformación u = x + y2, v = y — x2, evaluar el jaco- 
biano d{x, y)/d(u, v).
6. Sugerir una generalización de (2.29) que se aplique a una 
transformación invertible
u = u{x,y,z), v = v(x,y,z), w = w(x,y,z).
Si u = x+y+z , v = x2+z2, w = (x+y)z , encontrar d(x, y, z) fd 
(u, v, w) y dar los valores de x, y y z para los cuales el resultado es 
válido.
7. Una región rectangular R en el plano xy, limitada por las rec­
tas x ~ In a, x = ln b, y = far, y = ir (ó > a > 0), se mapea sobre 
una región S en el plano uv bajo la transformación
u = eos y, v = e* sen y.
Demostrar que las rectas x — x0 y y = y0 en R se mapean respecti­
vamente, en porciones de circunferencias y de rectas que pasan por 
el origen en el plano uv. Hacer un esquema de la región S.
Evaluar 3(k, o) fd(x, y). Si un punto P se mueve por la frontera 
de R en un sentido dado, ¿describe el punto Q, su imagen bajo la 
transformación, la frontera de S en el mismo sentido o en sentido 
opuesto?
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CAPITULO 3
E l te o re m a d e T a y lo r 
y sus a p lic a c io n e s
3.1 El teorema de Taylor en dos variables Si f(x) tiene una 
(n + 1) -ésima derivada continua en el intervalo a ^ x ^ a + h, en­
tonces ,
f(a + h) - / ( a ) + A f ( « ) + ••• + ^ /<»>(«)+*„, (3.1)
donde el residuo Rn está dado por
ñ » = 7 - T T ^ (n+1)̂ ’ (3-2)(w+ 1)!
para algún punto c con la propiedad de que a < c < a 4- h. Este 
resultado se conoce como teorema de Taylor en una variable. (El 
caso particular en que n = 0 se llama también teorema del valor 
medio.)
Hay varias expresiones posibles para Rn. La de (3.2) es la 
forma de Logran ge, mientras que la forma de Cauchy es
f?„ = ------------------------------------------------(3.3)
ni
donde c es un punto con la propiedad de que a < c < a + h, aun­
que no necesariamente el mismo punto de (3.2), y p = 1 — (c—a) ¡h. 
(Observe el lector que 0 < p < 1.)
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Podemos extender el teorema de Taylor a funciones de más de 
una variable; aquí bastará con enunciar el teorema en el caso de dos 
variables independientes. Supongamos que f(x} y) y sus derivadas 
parciales de todos los órdenes hasta n + 1 son continuas en una 
vecindad de cada punto sobre el segmento rectilíneo PQ, donde P 
es el punto (a, b) y Q es el punto (a + h, b + k) . Entonces
f{a+h, b + k) — f(a, b) + ( h ^ + k ^ j f{a, b) +
.+ —. ( h 7T + k r ) f { a , b ) + R „ , n! \ dx dyj
donde
i / 3
i2” = ' ^ + í y ! r 0í + V J
y
(c, d) = (a+6h, b+$k), 0 < 0 < 1,
es un punto del segmento rectilíneo PQ. Aquí, la notación
f{o, b) (3.6)
significa que el operador debe desarrollarse por el teorema del bino­
mio y aplicarse a f(x, y) antes de poner x = a, y — b. Por ejemplo,
h I " + H a> V “ h2f * * ( a> + 2 h k f*v (a> b ) + k * fw (a> b )-dx dy)
No es difícil demostrar (3.4), (3.5), si se suponen válidas (3.1),
(3.2). Fijamos a, b, h, k y consideramos la función de una variable:
F(t) = f (a+ th , b + tk), ( 0 < í < l ) .
Entonces, (3.1), (3.2) se usan para expresar F(t) en términos de 
F(0) y las primeras n derivadas de F(t) en t = 0, junto con un 
término residual. El resultado se deduce del hecho de que un tér­
mino como el (3.6) es simplemente F{n) (0), por la regla de la 
cadena. Los detalles se dejan al lector. El caso en que n — 0 se 
llama también aquí teorema del valor medio.
54 / el teorema de Taylor y sus aplicaciones
(3.4)
(3.5)
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el teorema de Taylor en dos variables / 55
En cualquiera de las formas anteriores del teorema de Taylor, y 
en las extensiones obvias hacia números de variables mayores que 
dos, se obtiene un desarrollo en serie infinita cuando se permite n 
tienda hacia el infinito, siempre y cuando la función dada posea 
derivadas continuas de todos los órdenes. Tal serie representa la 
función si Rn tiende hacia cero, y se conoce como serie de Taylor 
para la función. En condiciones normales, se reemplazan a + h por 
b + k por y en la serie de Taylor que resulta de (3.4), con lo cual se
expresa f(x, y) como serie de productos de potencias de x — a y
y — b.
Problema 3.1 Si f(x, y) — x2y + 2xy2 y si a = 1, h = 2, b = 2,
k = 1, encontrar 9 en el teorema del valor medio:
f(a+h, b + k ) - f ( a , b) = + k —j
f(a+9h, b + 9k), 0 < 9 < l . (3.7)
Solución. Al sustituir los valores dados, el miembro izquierdo
de (3.7) se convierte en
/(1 + 2, 2+1) /(1, 2) = / ( 3 ,3 ) - / ( l , 2 )
= (27 + 5 4 )-(2 4 -8 ) = 71.
Además,
( h ^ + k ^ j f ( x , y ) = 2 fx(x,y) + fv(x,y)
= 2{2xy+2y‘ ) + (x2+4xy) = xa+8xy+4y2.
Si ponemos x = a + 9h = 1 + 29, y = b + 9k = 2 + 9, e iguala­
mos los dos miembros de (3.7), obtenemos
(l + 20)2+ 8 (l + 20) (2+0) +4(2 + 9)* = 71,
es decir,
1202 + 3O0—19 = 0,
9 = [ - l S ± V ( 5 5 3 ) ] / 1 2 .
Pero 0 < 6 < 1, lo cual indica que debemos tomar el signo 
positivo. Encontramos que, aproximadaniente, 9 = 0.710. Q
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Problema 3.2 Desarrollar é3* eos y como una serie de Taylor 
alrededor de x =* 0, y = 0, hasta términos de tercer grado.
Solución. La proposición del problema significa que debemos 
tomar a = 0, b = 0 en la notación adoptada en esta sección. Así 
obtendremos una fórmula aproximada para la función dada para 
valores pequeños de x y y.
La serie de Taylor para /(*, y) en las inmediaciones de (0,0) es
/ ( * > y) = f(°> ° ) + x U + y f v + 7 ^ ( xl!f * '+ 2x yf*v+ y lfvv) + • • ■> ( 3 -8 )
donde todas las derivadas se evalúan en (0,0). En este punto, 
(0,0), encontramos mediante cálculos sencillos los siguientes valores 
para f(x, y) = e2* eos y y sus derivadas parciales hasta de tercer 
orden:
/ = 1, U = 2, fy = 0,
/«« = 4, fsy — 0, fyy ~ 1j
/«ai» ~ 9, fxty “ 0, fxyy — 2, fyyy ~ 0,
La sustitución de (3.8) conduce a la serie de Taylor que buscamos:
é^co&y — 1 + 2 *+ — (4a:2— y2) + — (8â — b x f) H------- O (3.9)
2! 3!
Problema 3.3 ¿Cómo puede modificarse la serie dada en (3.9) 
a fin de que termine con los términos de tercer grado en * y y, 
mientras la ecuación se conserva exacta?
Solución. Aquí hemos de sustituir los términos de tercer grado 
por el residuo Rz. Con a — b = 0 en (3.5) y poniendo (x, y) en 
lugar de (h, k), una vez efectuadas las derivaciones necesarias, te­
nemos:
R 2 = *?f** + 3x*yfav + Sxffzw+ffwv) (3-10)
(por desarrollo del operador), donde se eva’úan todas las derivadas 
en {dx, Oy) y 0 < 6 < 1.
Al derivar f{x, y) = e2x eos y, obtenemos en (x, y ) :
fxxx = Se23 eos y, fxsy = — 4^* sen y,
fxn = ~ 2¿M eos y, fvvv = e2X sen y,
56 / el teorema de Taylor y su* aplicaciones
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Al sustituir (x, y) por (0x, Oy) y llevar esto a (3.10),
R2 = — [x3(8cos0y) +3x2y (—4sen(?y) +3xys( — 2 cosfly)
3!
+y3(sen Qy) Je28*
= — [(8X3—6xy2)cos 0y — ( 12xy2—y3)sen flyje28*. Q
3!
Problema 3.4 Encontrar la serie de Taylor para /(x, y) ~ e*1'ena:s 
alrededor del punto (2, 0) hasta los términos de segundo grado. De 
ahí obténgase un valor aproximado para /(1.98, 0.015).
Solución. En (2, 0), encontramos que
/ = 1> /» = 0, f y ~ 8,
/** = 0, /,y = 12, fyy “ 64.
Por lo tanto, la serie de Taylor para f(x, y) alrededor de (2, 0) es
f(x,y) - / ( 2, 0) + (x—2) /» (2, 0) +yfv(2, 0 )
+ l [ ( x - 2 ) 2/«(2 , 0) + 2{x—2)yfxv{2, 0)
+y% «(2, <>)]+■••
= 1 + 8y + 12(x—2)y+ 32y^+ • • •
Al reemplazar x por 2 + Ax y y por Ay, en la última ecuación 
obtenemos
/(2+Ax, Ay) = 1+8 Ay+12 AxAy+32 A y ^ • • •
La aproximación requerida, resulta al poner Ax = —0.02, Ay = 0.015, 
con lo cual, si consideramos despreciables los términos de orden 
superior al segundo en Ax, Ay,
/(1.98,0.015) = 1 + (8 + 12 Ax + 42 Ay) Ay
= 1 + ( 8 - 0.24 + 0.48) (0.015) = 1.124,
hasta tres cifras decimales. Podemos comparar esto con el valor 
exacto, hasta cuatrp cifras decimales, 1.1235. □
el teorema de Taylor en dos variables / 57
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58 / el teorema de Taylor y sus aplicaciones
Debemos observar que la serie de Taylor representa una función 
dada tan sólo cuando el término residual Rn de (3.1) tiende hacia 
cero, al tender n hacia el infinito. No es suficiente la convergencia 
de la serie infinita. Por ejemplo, la función definida por
posee derivadas parciales continuas de todos los órdenes en (0, 0), 
y todas se anulan en el punto en cuestión. (Se calculan a partir 
de los principios.) En consecuencia, la serie de Taylor alrededor de 
(0, 0) para esta función es idénticamente cero, y no representa
Sin embargo, en casi todos los casos prácticos, si la serie de 
Taylor converge, representa la función. En esos casos, el método del 
problema 3.4 conducirá a una aproximación satisfactoria si se usa 
un número suficiente de términos.
3.2 Máximos y mínimos Supongamos que se ha definido f(x, 
y) en una región R que contiene a (*<,, y0) como punto interior. 
Entonces, se dice que f tiene un máximo absoluto en (xc, yo) si
para todo punto (x, y) en R. Si se invierte el sentido de la desigual­
dad en (3.11), entonces f tiene un mínimo (disoluto en (x0, yo). Los 
máximos o mínimos absolutos se llaman extremos absolutos.
A menudo, suelen interesamos más los extremos relativos, es 
decir, casos en donde sólo se requiere que la desigualdad se cumpla 
para puntos (x, y) en una vecindad de (x0, y0). Así, diremos que / 
tiene un máximo relativo en yo) si el incremento
( * , y ) ^ ( 0, 0), 
0, (*,y) = (0, 0),
f{*,y) < /(* o ,y 0) (3.11)
= f { x ,y ) - f {xo , yo) < 0 (3.12)
para todo punto (x, y) en R con la propiedad de que 
|x-*«| < k, b ’-yol < h,
para algún h suficientemente pequeño (k > 0). Para el caso de un 
mínimo relativo se aplica una definición correspondiente, y ambas
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máximos y mínimos / 59
definiciones permiten extensiones directas hacia funciones de más 
de dos variables.
En los problemas siguientes, supondremos que las funciones son 
continuas y poseen derivadas continuas de todos los órdenes nece­
sarios.
Problema 3.5 Demostrar que si f{x, y) tiene un extremo relativo 
en ('*o, y0) , entonces tanto fx como fv se anulan en este punto.
Solución. Trabajaremos con el caso en el cual f tiene un máxi­
mo relativo en (x.0, y0) ; en el caso de un mínimo relativo no habría 
sino que invertir ciertas desigualdades en el argumento.
Consideremos (3.12) con y constante en el valor y<¡. Tenemos:
f{x,yo)-f{xo,y*) < 0,
cuando [* — x0| < h, donde h es algún número positivo. En conse­
cuencia, la función F(x) — f{x,%) tiene un máximo relativo (en 
el contexto del cálculo de una variable) en x = xa. De conocimien­
tos teóricos elementales se deduce que F'{xa) = 0 , es decir, fx(x0, 
y0) = 0.
De la misma manera, si mantenemos x en el valor constante x0, 
encontramos que la función G(y) — f(x0, y) tiene un máximo rela­
tivo en y = y0, de donde G'(y,a) = fv{x0, y„) — 0. De ahí se deduce 
el resultado. □
Problema 3.6 Encontrar el punto del plano x + 2y — 3z = 4 
más próximo al origen.
Solución. Vamos a denotar por l la distancia de un punto ge­
neral P(x, y, z) desde el origen, así que P = x2 + y2 + z2. Si P está 
en el plano en cuestión, tenemos, una vez sustituida z,
P = x2+y2+-^-(x+2y—4 )2.
La naturaleza del problema nos indica claramente que P de la 
última ecuación debe poseer un mínimo (tanto absoluto como rela­
tivo) ; éste debe ocurrir donde
o* 2= 2 * + -(* + 2 y -4 ) = 0, (3.13)
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60 / él teorema de Taylor y sus aplicaciones
= 2y + ± (* + 2 y -4 ) - 0, (3.14)
dy 9
es decir,
5x+y = 2, 2x+13y = 8,
de donde x = y =
7 * 7 7
Gomo ésta es la única solución de (3.13), (3.14), debe corres­
ponder al punto que se busca. A continuación, la ecuación del plano 
nos permite hallar que z — —6/7 para estos valores de x y y, de 
modo que el punto más próximo al origen está dado por
Un punto crítico de la función f(x, y) es un punto (x0, y0) en 
el cual fa ~ fv = 0. En un punto así, el plano tangente a la super­
ficie z = f(x, y) es horizontal. El problema siguiente nos muestra 
que un punto crítico no siempre corresponde a un extremo relativo.
Problema 3.7 Encontrar los puntos críticos de la función /(*, 
y) ~ y2 — *2, y demostrar que la función no tiene extremos rela­
tivos.
/
Solución. Las ecuaciones fx = 0, fy = 0 dan x = y = 0 como 
el único punto crítico. Ahora bien, a lo largo de la recta y = 0, te­
nemos
A/ = / ( * ,0 ) - / (0 ,0 ) = - * 2 < 0 ,
mientras que, a lo largo de la recta x = 0,
A/ = / (0 ,y ) - / (0 ,0 )
En consecuencia, el signo de Af depende de la dirección del punto 
(*, y) desde el punto (0, 0), así que no puede corresponder a un 
máximo o a un mínimo relativo. Como no hay otro punto crítico, 
hemos establecido la validez del resultado.
Observamos que la función f(x, 0), como función de una sola 
variable, tiene un máximo en x = 0, mientras que la función / ( 0, y) 
tiene un mínimo en y = 0. En la figura 3.1 se muestra una parte de 
la superficie z — f{x, y ) . □
Guando el signo de Af en (3.12) depende de la dirección del 
punto Q(x, y) a partir de un punto crítico P(x0, y0) , como en el
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máximos y mínimos / 61
problema anterior, el punto crítico se llama punto silla. Estos pun­
tos pueden ser más complicados que el representado en la figura 
3.1. Por ejemplo, el comportamiento de / a lo largo de PQ puede 
alternarse muchas veces a medida que PQ ejecuta una vuelta com­
pleta alrededor de P.
Problema 3.8 Sea P(x0, y0) un punto crítico de f (x ,y) , y deno­
temos por r, s, t los valores respectivos de fxx, fxy, fn en ?•
(i) Demostrar que una condición suficiente para que P sea un 
punto extremo relativo es que
D E = r t - s * > 0. (3.15)
(ii) Si D > 0, demostrar que el extremo es un máximo cuando 
r < 0 (ó t < 0) y un mínimo cuando r > 0 (ó t > 0).
(iii) Si D < 0, demostrar que el extremo es un punto silla.
Solución, (i) Como /* = fv = 0 en el punto crítico P, el des­
arrollo de Taylor de f(x, y) alrededor de P resulta en, con x — x0 — l, 
y - y0 = m,
A/ = f { x , y ) - f { x 0,y0) = i (i2/**+ Hmfsy+ m2fn ) , (3.16)
donde se evalúa el segundo miembro en x = x0 + 01, y = y<, + 6m, y 
0 < 6 < 1. Demostraremos que A f 0 para todos los valores su­
ficientemente pequeños de / y m (sin ser ambos cero), cuando D > 0. 
Esto significa que A f no puede cambiar de signo en las inmediaciones 
de P (suponiendo que las segundas derivadas de / son continuas) y 
tendremos un máximo relativo en P si A f es negativo y un mínimo 
relativo si A f es positivo.
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En efecto, si se anulara A/ y si m ̂ 0, obtendríamos a partir de 
(3.16), al dividir entre ^m2, que la ecuación cuadrática
(*/m)a/« + 2 ( / /m ) /w+ /w = 0 (3.17)
tiene raíces reales para Ijm, de donde
fxxfyy~ (fxy)2 ^ 0. (3.18)
En caso de que tn = 0, podemos dividir (3.16) entre ¿P a fin de 
obtener (3.18). Pero la desigualdad (3.18) no puede satisfacerse 
cerca de P, porque rt — s2 > 0 y el primer miembro de (3.18) es 
continuo. Por lo tanto, A/ no es cero cerca de P, por lo cual debe 
ser un extremo relativo.
(ii) Como rt — s2 > 0, r y t no se anulan y tienen el mismo 
signo. Si ponemos m = 0, l =+ 0 en (3.16), vemos que el signo de 
A/ es el mismo que el de /,», y, por