Fase_2_Calculo

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UNIDAD 2
Tarea 2: Derivadas de funciones de varias variables
Presentado a:
JOSE ADEL BARRERA
Tutor
Entregado por:
CARLOS ALBERTO BONET ALVAREZ
EDGAR IVAN TRUJILLO 
JUAN CARLOS EPINAYU
FABIAN LEONIDAS MARTINEZ
DANIEL ALBERTO RAMIREZ
Grupo: 203057_33
Universidad Nacional Abierta Y A Distancia - UNAD
Escuela De Ciencias Básicas, Ingenierías Y Tecnologías 
Curso De Cálculo Multivariado
Chiriguaná – Cesar 
INTRODUCCION 
Una derivada parcial de una función de diversas variables, es la derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial, geometría diferencial, funciones analíticas, física, matemática, etc.
En este trabajo usted encontrará el desarrollo de la actividad (Tarea 2 _ Derivadas de Varias Variables) el cual consta de 5 problemas que a su vez cuenta con 5 ejercicios (a - e) a desarrollar, la temática es que los 5 integrantes del grupo escojan un ejercicio a realizar por cada problema; Se abarcaran temas como: Derivadas Parciales, Derivadas Direccionales, Linealización y Diferenciales, Máximos y Mínimos y Multiplicadores de Lagrange.
TABLA DE ELECCION DE EJERCICIOS 
	Nombre del estudiante
	Selección de ejercicios.
	
	Grupo de ejercicios 1 – Derivadas parciales
	Grupo de ejercicios 2 – Derivadas direccionales
	Grupo de ejercicios 3 – Linealización y diferenciales
	Grupo de ejercicios 4 – Máximos y mínimos
	Grupo de ejercicios 5 – Multiplicadores de Lagrange
	Edgar Iván Trujillo 
	D
	D
	D
	D
	D
	 Juan Carlos Epinayu
	A
	A
	A
	A
	A
	 Carlos Alberto Bonet
	B
	B
	B
	C
	B
	 Daniel Alberto Ramírez
	E
	E
	E
	E
	E
	 Fabián Martínez 
	C
	C
	C
	B
	C
Grupo de ejercicios 1 – Derivadas Parciales.
Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso:
Zill, D. (2011). Matemáticas 3 Cálculo de varias variables. México: McGraw-Hill Interamericana. (pp. 153-159). 
La ecuación de onda
Si nos paramos en la orilla del mar y tomamos una foto de las ondas, el rango muestra un patrón regular de picos y valles en un instante de tiempo. Vemos el movimiento vertical periódico en el espacio, con respecto a la distancia. Si nos paramos en el agua, podemos sentir como sube y baja el agua con las olas. Vemos el movimiento vertical periódico en el tiempo. En física, esta bella simetría se expresa mediante la ecuación de onda en una dimensión (espacial)
Donde es la altura de la onda, es la variable de distancia, es la variable de tiempo y es la velocidad de propagación de las ondas.
Muestre que todas las funciones de los ítems a – e son soluciones de la ecuación de onda:
a. 
Desarrollo
	Ecuación
	Solución
	
	
	
	
	
	
	
	
Verificación
b. 
SOLUCION
Ahora 
 
Este Resultado lo multiplicamos por según la formula y dependiendo de este resultado comparamos para comprobar que es solución de la ecuación de onda: 
Reemplazando en la fórmula: 
Cómo se puede observar son iguales resultados por lo cual Es una solución de la ecuación de onda. 
c. 
SOLUCION
d. 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Comprobación
e. 
SOLUCION
Grupo de ejercicios 2 – Derivadas Direccionales. 
Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso:
García, H. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 89-92).
En los siguientes ejercicios encuentre la derivada direccional de la función dada en el punto indicado en la dirección señalada:
a. en 
	Primeras derivadas parciales
 
	
	
	
	
	
	
	Hallamos el gradiente de la función
	
	 
	Evaluamos en el punto y desarrollamos 
	
	
	
	
	Comprobar si el vector es unitario, para ello deberá dar 1
	
	
	
	
	Volvemos unitario el vector
	
	
	
	Por principios e interpretación
	
	
	
	
b. en 
Hallamos las derivadas Parciales 
 
Ahora procedemos a hallar el vector gradiente 
Ahora hallamos el Vector Unitario, pero para ello hallamos la magnitud del vector dirección
 
Hallamos el vector unitario 
Ahora obtenemos la derivada direccional a partir de:
c. en 
SOLUCION
Sea 
d. en 
Hallando primero las derivadas parciales primero:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Hallando el gradiente
Evaluando el gradiente en el punto 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Mirando si el vector dado es unitario
Como la magnitud no es 1, encontramos el unitario en la dirección del vector
Por definición
e. en 
SOLUCION
MAGNITUD
Grupo de ejercicios 3 – Linealización y Diferenciación. 
Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso:
Zill, D. (2011). Matemáticas 3 Cálculo de varias variables. México: McGraw-Hill Interamericana. (pp. 172-178).
Determine la linealización de de la función en . Luego determine una cota superior , para la magnitud del error de la aproximación en el rectángulo .
a. en 
b. en 
EVALUAMOS
 
 
 
Linealización de 
Ahora para encontrar la cota superior usamos la desigualdad
Para calcular el valor de M Calculamos 
c. en 
SOLUCION
d. en 
 (Use 
e. en 
SOLUCION
Linealización 
Grupo de ejercicios 4 – Máximos y Mínimos.
Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso:
García, H. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 92-99).
Identificar los extremos de la función reconociendo su forma dada o su forma después de completar cuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas parciales para localizar los puntos críticos y probar si son extremos relativos.
a. 
SOLUCION
	Primeras derivadas parciales
 
	
	
	
	
	
	
	
DESPEJE PARA HALLAR PUNTOS CRÍTICOS
	
	
	
	
	
	
	
Segundas derivadas parciales
	
	
	
	
	
	
	
Por fórmula para hallar máximos y mínimos
	
	
	
	
	
	
b. 
c. 
Según las condiciones y al resultado encontrado determinamos que es un mínimo relativo.
d. 
Completando los cuadrados	
Mínimo relativo en (-2,3/2)
Mínimo relativo en (-2,3/2)
e. 
SOLUCION
El punto crítico es (2.5,-1)
Mínimo relativo
Grupo de ejercicios 5 – Multiplicadores de Lagrange.
Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso:
Zill, D. (2011). Matemáticas 3 Cálculo de varias variables. México: McGraw-Hill Interamericana. (pp. 177-182).
Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos con restricciones de la función dada.
a. , sujeta a 
SOLUCION
Sujeta a 
	Derivada repecto a x:
	Derivada respecto a y:
	
	
	
	
Igualdades: 
	
	
	
	
 
	Ecuación 1
	 
	Ecuación 2
	 
	Al igualar
	 
	Despejando y simplificando
	 
Reemplazando y resolviendo 
 
b. , sujeta 
Para hallar los extremos, utilizaremos la siguiente formula:
Entonces, hallemos las gradientes vectoriales
Aplicamos la fórmula:
Agrupamos “i” y “j”, y de lo anterior, nos saldrán 3 ecuaciones:
Pasamos a dividir “2”:
Ahora tenemos que:
 
Reemplazamos “” 
Ahora reemplazamos “x” en .
Reemplazamos “y” en “x”
Entonces tenemos que los extremos son:
Ahora si reemplazamos el punto “x” en la función de “” nos quedaría que:
Entonces:
c. , sujeta 
d. , sujeta 
Variables Y y Z en términos de x
Resolviendo con la última ecuación
Evaluando la función
e. , sujeta 
LINKS DE VIDEOS 
	Nombre Estudiante
	Ejercicios sustentados
	Link video explicativo
	
	
	
	Carlos Alberto Bonet
	1) B
	https://youtu.be/tSB8w9H0nAI
	Daniel Alberto Ramirez 
	4) E
	https://youtu.be/au13gp1KiWwReferencias
García, H. (2014). Cálculo de Varias Variables. (Larusse, Ed.) México, México : Editorial Patria .
Zil, D. (2011). Matemáticas 3 Cálculo de varias variables. México: Mcgraw-Hill Interamericana.
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