Apuntes Cálculo Vectorial

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Apuntes 
Cálculo Vectorial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Instituto Nacional de México 
Instituto Tecnológico de La Paz, BCS 
 
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La asignatura contribuye a desarrollar un pensamiento lógico-matemático al 
perfil del ingeniero y aporta las herramientas básicas para introducirse al 
estudio del cálculo vectorial y su aplicación, así como las bases para el 
modelado matemático. Además proporciona herramientas que permiten 
modelar fenómenos de contexto. 
La importancia del estudio del Cálculo Vectorial radica principalmente en que 
en diversas aplicaciones de la ingeniería, la concurrencia de variables 
espaciales y temporales, hace necesario el análisis de fenómenos naturales 
cuyos modelos utilizan funciones vectoriales o escalares de varias variables. 
La asignatura está diseñada de manera que el estudiante pueda representar 
conceptos, que aparecen en el campo de la ingeniería por medio de vectores; 
resolver problemas en los que intervienen variaciones continuas; resolver 
problemas geométricos en forma vectorial; graficar funciones de varias 
variables; calcular derivadas parciales; representar campos vectoriales que 
provengan del gradiente de un campo escalar, así como su divergencia y 
rotacional; resolver integrales dobles y triples; aplicar las integrales en el 
cálculo de áreas y volúmenes. 
Con esta asignatura se espera desarrollar la capacidad de análisis y síntesis 
en actividades de modelación matemática; adquirir estrategias para resolver 
problemas; elaborar desarrollos analíticos para la adquisición de un concepto; 
pensar conceptualmente, desarrollar actitudes para la integración a grupos 
interdisciplinarios; aplicar los conocimientos adquiridos a la práctica y 
aprovechar los recursos que la tecnología ofrece, como el uso de TIC’s. 
Esta asignatura sirve como base para otras asignaturas de las diferentes 
especialidades tales como: estática, dinámica y mecanismos, con la 
representación geométrica y álgebra de vectores; electromagnetismo y 
teoría electromagnética con el cálculo del gradiente, divergencia y rotacional 
de un campo vectorial; en termodinámica con el cálculo de derivadas parciales 
en las diferentes formas de la segunda ley; en fenómenos de transporte, 
transferencia de masa y transferencia de calor, con el cálculo de derivadas 
parciales y las ecuaciones que modelan estos fenómenos. Se pueden diseñar 
proyectos integradores con cualquiera de ellas. 
 
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La asignatura de Cálculo Vectorial se organiza en cinco temas. 
 En el primer tema de la asignatura se inicia con la comprensión, manejo 
algebraico y representación geométrica de los vectores, utilizando el 
producto escalar para la obtención del trabajo realizado por una fuerza y el 
producto vectorial para el cálculo del momento de la misma, entre otras 
aplicaciones. Se estudia el triple producto escalar como parte de las 
propiedades de los productos de vectores para calcular el volumen de un 
paralelepípedo rectangular y el momento de una fuerza con respecto a un eje, 
entre otras aplicaciones. Terminando el tema con la obtención de ecuaciones 
de rectas y planos en el espacio. 
En el segundo tema se estudian diferentes tipos de curvas en el plano para su 
aplicación en el estudio y representación del movimiento de un cuerpo, su 
posición, velocidad y aceleración. Se trabaja en coordenadas rectangulares y 
coordenadas polares, de acuerdo a la geometría de las trayectorias 
propuestas y aprovechando en cada caso, la facilidad en el manejo algebraico 
de las ecuaciones utilizadas. Se obtiene las tangentes horizontal y vertical a 
una curva y la longitud de arco, así como el área de una superficie. 
En el tercer tema se inicia con el estudio de diferentes tipos de curvas en el 
espacio en forma paramétrica. Analiza el límite de las funciones y su 
continuidad. Se obtiene la derivada de una función vectorial y sus 
propiedades, y las integrales correspondientes. Del mismo modo se analizan 
los vectores tangente, normal y binormal que caracterizan una curva en el 
espacio, así como la longitud de arco y su curvatura. Se estudian las 
aplicaciones de funciones vectoriales para representar modelos físicos como: 
escaleras de caracol, hélices cónicas, etc. 
En el cuarto tema se grafican funciones de dos variables y se utilizan los 
mapas de contorno y las curvas de nivel para comprender la definición de 
función de dos variables. 
Analiza el límite de las funciones de varias variables y su continuidad. Se 
obtienen las derivadas parciales de una función y se estudian sus 
propiedades. Se calculan las derivadas parciales de las funciones de dos 
variables y se muestra la interpretación geométrica de las mismas. Se 
estudia el concepto de diferencial y la linealización de una función. 
 
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Se complementa el tema de derivación con la regla de la cadena, la derivación 
implícita y derivadas parciales de orden superior. Se introduce la definición 
de gradiente para el cálculo de derivadas direccionales. Se termina el tema 
calculando los valores extremos de funciones de varias variables. 
En el último tema se estudian las integrales dobles y triples en diferentes 
sistemas de coordenadas como una herramienta para el cálculo de áreas y 
volúmenes principalmente, donde el uso de regiones tipo I y tipo II permite 
utilizar la integral múltiple para este fin. 
La integral múltiple se considera como tema fundamental. Se introducen la 
definición de campo vectorial, resaltando la importancia geométrica y física, 
tomando ejemplos prácticos como el flujo de calor, flujo de energía, el campo 
gravitatorio o el asociado a cargas eléctricas, entre otros; análisis que 
servirá para dar significado a la representación geométrica del gradiente, la 
divergencia y el rotacional de un campo vectorial. Se finaliza el tema con la 
integral de línea y los teoremas clásicos de integrales: de Green, de Stokes y 
de la divergencia de Gauss. 
El estudiante debe desarrollar la habilidad para modelar situaciones 
cotidianas en su entorno. Es importante que el estudiante valore las 
actividades que realiza, que desarrolle hábitos de estudio y de trabajo para 
que adquiera características tales como: la curiosidad, la puntualidad, el 
entusiasmo, el interés, la tenacidad, la flexibilidad y la autonomía. 
El Cálculo Vectorial contribuye principalmente para el desarrollo de las 
siguientes competencias genéricas: de capacidad de abstracción, análisis y 
síntesis, capacidad para identificar, plantear y resolver problemas, habilidad 
para trabajar en forma autónoma, habilidades en el uso de las TIC’s, 
capacidad crítica y autocrítica y la capacidad de trabajo en equipo. 
El docente de Cálculo Vectorial debe mostrar y objetivar su conocimiento y 
experiencia en el área para construir escenarios de aprendizaje significativo 
en los estudiantes que inician su formación profesional. El docente enfatiza 
el desarrollo de las actividades de aprendizaje de esta asignatura a fin de 
que ellas refuercen los aspectos formativos: incentivar la curiosidad, el 
entusiasmo, la puntualidad, la constancia, el interés por mejorar, el respeto y 
la tolerancia hacia sus compañeros y docentes, a sus ideas y enfoques y 
considerar también la responsabilidad social y el respeto al medio ambiente. 
 
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1.1Definición de un vector en el plano y en el espacio y su interpretación 
geométrica. 
1.2 Álgebra vectorial y su geometría. 
1.3 Producto escalar y vectorial. 
1.4 Ecuación de la recta. 
1.5 Ecuación del plano. 
1.6 Aplicaciones. 
2.1 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas planas y su representación 
gráfica. 
2.2 Derivada de una curva en forma paramétrica. 
2.3 Tangentes a una curva. 
2.4 Área y longitud de arco. 
2.5 Curvas planas y graficación en coordenadas polares. 
2.6 Cálculo en coordenadas polares. 
3.1 Definición de función vectorial de una variable real. 
3.2 Límites y continuidad de una función vectorial. 
3.3 Derivada de una función vectorial. 
3.4 Integración de funciones vectoriales. 
3.5 Longitud de arco. 
3.6 Vectores tangente, normal y binormal. 
3.7 Curvatura. 
3.8 Aplicaciones. 
 
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4.1 Definición de una función de varias variables. 
4.2 Gráfica de una función de varias variables. Curvas y superficies de nivel. 
4.3 Límite y continuidad de una función de varias variables. 
4.4 Derivadas parciales. 
4.5 Incrementos y diferenciales. 
4.6 Regla de la cadena y derivada implícita. 
4.7 Derivadas parciales de orden superior. 
4.8 Derivada direccional y gradiente. 
4.9 Valores extremos de funciones de varias variables. 
5.1 Cálculo de áreas e integrales dobles. 
5.2 Integrales iteradas. 
5.3 Integral doble en coordenadas rectangulares. 
5.4 Integral doble en coordenadas polares. 
5.5 Integral triple en coordenadas rectangulares. Volumen. 
5.6 Integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas. 
5.7 Campos vectoriales. 
5.8 La Integral de línea. 
5.9 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física. 
5.10 Teoremas de integrales. Aplicaciones. 
 
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1.1 Definición de un vector en el plano y en el espacio y su 
interpretación geométrica. 
¿Qué es un vector? 
El vector es una herramienta matemático que nos permite representar un 
fenómeno físico, para poder indicar; su magnitud, su dirección y su sentido. 
La representación de estos vectores puede ser posible en (plano; dos 
coordenadas) y en (espacio; tres coordenadas). 
La nomenclatura más usual, es la siguiente; 
 ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗ (
 
 
) 
 ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗ (
 
 
 
) 
Gráficamente se representan como la diagonal, desde el origen, hasta un 
punto determinado, ya sea en el plano o en el espacio; 
Se representa al vector ⃗⃗ ⃗( ) 
que se representa con la diagonal 
que va desde el origen hasta el 
punto ( ). 
Las coordenadas, del punto, en el 
lenguaje vectorial, se convierten 
en las componentes horizontal y 
vertical del vector. 
El símbolo representa el ángulo 
de inclinación, o dirección, de la 
recta infinita sobre la cual se 
representa el vector. Y El sentido del 
vector lo indica la cabeza de flecha, de 
donde; 
 
 
 
 
 
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Para determinar la dirección, en , es un poco más complejo, dado que 
existen tres ejes contra los que se tendrá que referir dicha dirección de 
nuestro vector. Al conjunto de ángulos se les denomina “ángulos directores” y 
la dirección quedará definida por los “cosenos directores” de dichos ángulos, 
como; 
 
 
| ⃗⃗ ⃗|
 
 
| ⃗⃗ ⃗|
 
 
| ⃗⃗ ⃗|
 
 
La notación | ⃗⃗ ⃗| representa la magnitud, o norma, del vector y para 
determinar dicha magnitud del vector, es decir la distancia que hay desde la 
cola hasta la cabeza del vector, podemos apoyarnos en el Teorema de 
Pitágoras: 
 
 
 
 
 
Es decir que la magnitud de nuestro vector la obtenemos a partir de sus 
componentes rectangulares u ortogonales, utilizando las siguientes 
expresiones de Pitágoras; 
| ⃗⃗ ⃗| √ 
 
 | ⃗⃗ ⃗| √ 
 
 
 
 
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Ahora, bien, debemos tener muy 
claro que si bien es cierto, nos 
resultará muy conveniente la 
representación de los vectores, 
cuyo inicio coincida con el origen 
del sistema de coordenadas de 
que se trate, la verdad es que 
un vector puede ser 
representado como un ente 
libre y continurá siendo el 
mismo vector; esto sucede 
tanto en el plano , como en el 
espacio . 
 
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1.2 Álgebra vectorial y su geometría. 
Suma vectorial. 
La suma vectorial posee propiedad conmutativa, es decir; 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) 
 ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) 
Por ejemplo; 
 ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) ( ) 
 ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) ( ) 
La representación gráfica de la suma vectorial la podemos obtener a partir 
de las dos concepciones siguientes; 
1) Método de la “cabeza con cola” (o de extremo con origen). 
Este método consiste en colocar un vector inicial y trasladar un segundo 
vector y colocar la cola de este en la cabeza o terminación del anterior y así 
sucesivamente, hasta terminar de colocar los todos los vectores sumandos. 
Como podemos observar en el 
gráfico, los vectores; 
 ⃗⃗ ⃗ , ⃗⃗ ⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗ ⃗ , ⃗⃗ ⃗ se han ido 
colocando en orden sucesivo 
“cabeza con cola” y esto 
significa suma vectorial, 
obteniendo como resultado, de 
dicha suma, al vector ⃗⃗ , que se 
indica con una línea punteada 
que indica el inicio y final del acomodo vectorial, es decir, la suma de todos 
los vectores acomodados sucesivamente. 
Al realizar el acomodo de los vectores pudieran llegar a cruzarse, sin 
embargo, esto no altera, en ningún momento, la suma entre ellos. 
 
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2) Método o regla del paralelogramo. 
Este procedimiento consiste en colocar un vector inicial y trasladar un 
segundo vector hasta colocar la cola de este, en la cabeza o terminación del 
anterior. Este método se realiza por parejas de vectores y se obtiene la 
suma o resultante, que es la diagonal de dicho paralelogramo, y que va desde 
el origen hasta la cabeza o punta del segundo vector; esta resultante se suma 
con el vector siguiente formando paralelogramos, y así sucesivamente, hasta 
terminar de colocar los todos los vectores sumandos. 
Lo descrito anteriormente se 
puede observar en el gráfico, 
donde tenemos un par de vectores; 
 ⃗⃗ ⃗ y ⃗⃗ ⃗ y ambos son trasladados, 
paralelamente, hasta ocupar con 
sus colas, la punta del otro, 
formando de esta manera un 
paralelogramo y quedando así, 
determinada la suma de ambos 
vectores, representada por el 
vector ⃗⃗ ⃗ que cruza en diagonal al 
paralelogramo. 
Si existieran más vectores por sumar, el siguientevector formaría 
paralelogramo con la resultante (diagonal ⃗⃗ ⃗) obtenida, y así sucesivamente 
hasta sumar todos los vectores que se deseen sumar, cuya resultante o suma 
final, sería la última diagonal obtenida. 
 
 
 
 
 
 
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Resta vectorial. 
Esta operación vectorial no posee propiedad conmutativa, es decir; 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) 
 ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) 
Por ejemplo; 
 ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ( ) 
 ⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ( ) 
La representación gráfica de la resta nos coloca en una posición de privilegio 
para la interpretación cabal del concepto. Por un lado, podríamos referirla 
como la otra diagonal en el paralelogramo o bien, sólo como el vector que une 
“punta a punta, los vectores que se están restando. También pudiéramos 
considerar a la resta, como el vector que resulta de unir dos puntos. Pero 
aquí hay que tener el debido cuidado, ya que la representación aritmética de 
esta operación, coloca en el primer lugar de la resta, el vector, o el punto, 
hacia donde viaja el vector resta que resultara. 
 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ En este caso, el vector resta viajará de 
 ⃗⃗⃗ hacia el vector ⃗⃗ ⃗. 
 
 
 ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ y en este caso, el vector resta viaja de ⃗⃗ ⃗ 
hacia el vector ⃗⃗⃗ . 
Y esto es lo que nos lleva a confirmar el por qué la 
resta vectorial no es conmutativa. 
 
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Producto de un escalar por un vector. 
Esta operación la podemos imaginar como una suma abreviada un mismo 
vector. Es decir que si tenemos el producto ⃗⃗ ⃗ en realidad lo que tenemos es 
la suma del vector ⃗⃗ ⃗ , sumándose veces. 
Ahora bien, 
 
 
 
 
 
 
 
Veamos su representación gráfica; 
 
El vector ⃗⃗ ⃗ se está 
multiplicando por una 
constante . Entonces el 
vector resultante es tres 
veces mayor. 
 
 
El vector ⃗⃗ ⃗ ahora se está 
multiplicando por una constante 
negativa . Entonces el 
vector resultante es tres 
veces mayor, pero ha cambiado 
de sentido. 
 
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1.3 Producto escalar y vectorial. 
Antes de definir las operaciones del producto entre vectores, definamos el 
concepto de vector unitario. 
Empezaremos por decir que un vector unitario es aquel que tiene una 
magnitud, o norma, igual a la unidad, es decir; 
 ⃗⃗ ⃗ | ⃗⃗ ⃗| 
Por ejemplo; 
 ⃗⃗ ⃗ (
 
 
 
 
 
) | ⃗⃗ ⃗| √(
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 √
 
 
 
 
 
 √
 
 
 √ 
Sin embargo, un concepto mucho más interesante que esta simple definición 
es, cómo obtener un vector unitario a partir de otro vector, que no lo es. Es 
decir, pudiera ser que nos interese obtener un vector unitario con la misma 
dirección de ese otro vector, que no lo es. Entonces vamos a establecer la 
definición de vector unitario, a partir de lo anterior; 
 ⃗⃗ ⃗ 
 ⃗⃗ ⃗
| ⃗⃗ ⃗|
 
Debemos entender el cociente anterior, no como una división entre vectores, 
dado que esta operación no existe. Pero si partimos de que la norma de un 
vector es un escalar, entonces podemos reescribir la expresión anterior como 
un producto de un escalar por un vector; 
 ⃗⃗ ⃗
| ⃗⃗ ⃗|
 
 
| ⃗⃗ ⃗|
 ⃗⃗ ⃗ 
Y si observamos detenidamente esta última expresión veremos el producto 
de un escalar menor que uno por un vector, por lo que el vector no unitario al 
ser multiplicado por el inverso de su norma, este adquirirá la dimensión o 
característica d vector unitario, con la misma dirección que el vector que lo 
genera. Veamos un ejemplo; 
 
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Ejemplo; 
 ⃗⃗ ⃗( ) | ⃗⃗ ⃗| √( ) ( ) √ √ 
Por lo tanto, el vector unitario, con la misma dirección que su vector original, 
es; 
 ⃗⃗ ⃗ (
 
√ 
 
 
√ 
) 
Esto también se cumple para . Veamos su representación gráfica. 
Podemos observar cómo nuestro vector 
 ⃗⃗ ⃗( ) ha generado al vector unitario 
 ⃗⃗⃗ .
 
√ 
 
 
√ 
/ y que tiene su misma dirección, 
representado en la gráfica por una 
aproximación como ⃗⃗⃗ ( ). 
Para comprobar la magnitud unitaria, veamos 
lo siguiente; 
| ⃗⃗⃗ | √( ) ( ) 
| ⃗⃗⃗ | √ 
| ⃗⃗⃗ | √ 
| ⃗⃗⃗ | 
Por otra parte, podemos corroborar lo dicho con anterioridad, respecto a que 
el vector unitario es una contracción del vector original, como el resultado 
del producto de un escalar por un vector. 
Analicemos ahora el concepto del vector unitario, en su base canónica y cuya 
nomenclatura es la siguiente; 
 ̂ ̂ ̂ 
 
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Veamos que significan estos vectores; 
Todo vector se puede expresar como una suma de vectores, pero esto implica 
un infinito de formas de hacerlo, sin embargo ocasionalmente será 
conveniente trasladar, esa suma, hasta los vectores unitarios expresados en 
su base canónica; veamos; 
( ) ( ) ( ) 
Ahora podemos expresar esa suma de vectores, como la suma de producto de 
un escalar por un vector; 
( ) ( ) ( ) 
Y en general podemos definir; 
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) ( ) 
Podemos observar entonces que estos vectores cuyas combinaciones son la 
unidad y el cero, son los vectores especiales denominados unitarios en base 
canónica, así pues tendremos que; 
 ̂ ( ) ̂ ( ) 
 ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) 
Por otra parte. Podemos demostrar y/o verificar que estos vectores 
unitarios, expresados en su base canónica, son vectores ortogonales o 
perpendiculares entre sí. 
 
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Producto escalar. 
A esta operación vectorial también se le reconoce como producto punto o 
producto interno, y su resultado no es un vector, sino un escalar y de aquí su 
nombre. 
Veamos; si tenemos un par de vectores; 
 ⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) 
Obtendremos su producto escalar, o producto punto, al multiplicar las 
coordenadas correspondientes, y finalmente sumando sus productos, es 
decir; 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 
Esta operación se realiza de igual manera para vectores en , que en .⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ( )( ) ( )( ) ( )( ) 
Ahora bien, si tenemos a nuestros vectores, relacionados con los vectores 
unitarios; ⃗ ⃗⃗ ⃗ el producto punto puede realizarse de dos maneras; 
Primero; tal y como se indicó anteriormente, es decir, realizando los 
productos de sus coordenadas correspondientes, sin considerar la presencia 
de los vectores unitarios. 
Segundo; multiplicando las coordenadas correspondientes, pero ahora 
considerando los productos de los vectores unitarios, teniendo en cuenta las 
siguientes consideraciones; 
 
 
 
 
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Y con esta última consideración tenemos la ventaja de que si nuestros 
vectores se encuentran expresados como polinomios, podemos realizar esta 
operación exactamente igual, que la de un polinomio; 
Ejemplo. 
 
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
Otra alternativa para realizar esta operación, es convertir nuestra notación 
de vectorial canónica, en notación vectorial o de punto, veamos esto con la 
operación resuelta anteriormente; 
( ) ( ) ( ) ( ) 
Aquí solo operamos los productos correspondientes a cada coordenada, 
realizando finalmente la suma o resta entre ellas, sin operar los vectores 
canónicos. Veamos; 
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
Y como podemos observar, hemos obtenido el mismo resultado escalar que en 
el ejemplo anterior. 
 
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Ahora bien, una de las grandes utilidades de conocer el producto punto entre 
vectores, es que a través de él podemos determinar el ángulo que hay entre 
ellos, a partir de la siguiente definición; 
 ⃗⃗ ⃗ | ⃗⃗ ⃗| | | 
 
 ⃗⃗ ⃗ 
| ⃗⃗ ⃗| | |
 
 ( ) 
Por otro lado, esta expresión nos lleva a determinar también, cuándo dos 
vectores son ortogonales entre sí, es decir, en este caso tendremos lo 
siguiente; 
 ( ) 
De donde se sobreentiende que; 
 ⃗⃗ ⃗ 
 
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Propiedades del producto punto; 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ | ⃗⃗ ⃗| 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 
 
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Producto vectorial. 
A esta operación vectorial también se le reconoce como producto cruz y su 
resultado si es otro vector, cuya característica principal es que será 
ortogonal a los dos vectores que se multiplican. 
Esta operación sólo es posible realizarla en ya que en sería imposible 
encontrar un tercer vector que sea ortogonal al par de vectores que se 
multiplican y que pertenezcan, todos, al mismo plano. 
Veamos; si tenemos un par de vectores ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ de tres dimensiones, que 
pertenecen a un plano, y además son diferentes de cero, tendremos como el 
resultado de su producto cruz, a otro vector que será ortogonal a ambos. 
Así pues, si tenemos los vectores; 
 ⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) 
Para resolver esta operación nos apoyaremos en los determinantes, haciendo 
de nuestros vectores el arreglo matricial siguiente, y resolviéndolo; 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ |
 
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) 
Nótese la importancia de la alternancia de los signos en para cada elemento, 
para operar el determinante. El resultado final de cada uno de las 
componentes dependerá de sus operaciones internas, por supuesto. 
Por otro lado, es muy importante determinar la dirección y el sentido que 
tendrá el vector obtenido como resultado del producto cruz. Esto lo haremos 
aplicando la regla de la mano derecha que consiste en colocar el canto de 
nuestra mano derecha, con el pulgar indicando hacia arriba o hacia abajo 
(sentido del vector cruz) y luego se cierra la mano, recorriendo desde el 
primer vector, hacia el segundo que se está multiplicando; 
 
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Veamos un ejemplo; 
 ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗ ( ) 
 ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ |
 
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| 
 ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (( )( ) ( )( )) (( )( ) ( )( )) (( )( ) ( )( )) 
 ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) ( ) ( ) 
 ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) ( ) ( ) 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) 
Recordemos que el vector resultante es perpendicular (ortogonal) a ambos 
vectores que se están multiplicando. Veamos su gráfico. 
Recordemos la regla derecha. 
El producto nos indica al 
vector ⃗⃗ ⃗ , que aparece 
punteado por encontrarse 
detrás del plano, como el 
primer factor. Y al vector ⃗⃗ ⃗, 
que aparece en negro, como el 
segundo factor. 
Ahora colocamos el canto de la 
mano derecha sobre el vector 
 ⃗⃗ ⃗ y la cerramos hacia el 
vector ⃗⃗ ⃗. Al Final tendremos 
nuestro pulgar, indicando el sentido del vector cruz. 
Recordemos que esto es sumamente importante, ya que el producto cruz 
carece de propiedad conmutativa y esta regla es muy útil para determinar su 
dirección y sentido. 
 
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Propiedades del producto cruz; 
 ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
 ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ) 
 ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ 
 ) ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 ) ( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ | ⃗⃗ ⃗|| ⃗⃗⃗⃗ | 
 ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ 
 ) ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ) 
 ) ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 
 
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1.4 Ecuación de la recta. 
Una de las aplicaciones del álgebra vectorial, es la geometría. Y por ello, 
veremos a continuación la ecuación vectorial de la recta. Esta se puede 
obtener, aquí, de dos maneras; 
1).- Con dos puntos conocidos; 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
2).- Con un punto conocido y su vector director; 
 ( ) ⃗⃗⃗ ( ) 
 ( ) ⃗⃗⃗ ( ) 
Finalmente la ecuación vectorial de la recta queda expresada como; 
( ) ( ⃗⃗ ) 
( ) ( ⃗⃗ ) 
Donde ⃗⃗ ⃗ es denominado vector director y es aquel que determina el sentido 
de la recta y dependerá si vamos del punto a o viceversa, donde podemos 
notar que este coincidirá, en ambos casos, con la dirección de la recta. 
Por ejemplo; 
Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos; 
 ( ) ( ) 
Para una mejor interpretación geométrica podemos imaginar a estos puntos 
como un par de vectores anclados al origen ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), donde su resta nos 
indicará la dimensión del vector director y su sentido dependerá de dónde, a 
dónde, vayamos. 
 
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Veamos el primer caso, que es en el que el vector director viaja de P a Q. 
( ) ( ) ( ) 
Ahora veamos el otro caso, en el que el vector director viaja de Q a P. 
( ) ( ) ( ) 
Ambas expresiones significan lo mismo, es decir, representan al mismo lugar 
geométrico, que en este caso es la recta vectorial. 
Si analizamos esto mismo, pero para el espacio, es decir; 
 ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
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1.5 Ecuación del plano. 
Ahora veremos la ecuación vectorial del plano. Un plano está definido por dos 
vectores, y un vector normal al plano. Y será precisamente ese vector normal 
a dicho plano, el que se obtendrá, por definición, del producto cruz de los 
vectores conocidos y que forman al plano. 
La ecuación vectorial del plano queda definida por la siguiente expresión; 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 
 ( ) 
 ⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
Veamos un ejemplo: 
Encuentre la ecuación vectorial del plano que contiene al punto ( ) y 
tiene como vector normal ⃗⃗⃗ ( ). 
Tenemos lo siguiente; 
 ( ) 
 ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ,( ) ( ) ( )- 
 ⃗⃗⃗ ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ 
[( ) ( ( )) ( )] ( ) 
,( ) ( ) ( )- ( ) 
 
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Ahora, si queremos encontrar la ecuación general del plano, realizamos el 
producto punto indicado. 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
Observemos la representación gráfica; 
 
 
 
 
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1.6 Aplicaciones. 
1).- Demostrar que los tres puntos; ( ) ( ) ( ) 
se encuentran sobre la misma recta, es decir; son colineales. 
Tracemos, con los tres puntos que tenemos, un par de vectores. Y por 
supuesto que estos deberán tener la misma dirección, si estamos hablando de 
puntos colineales. 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) ( ) ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) ( ) ( ) 
Una manera de demostrar si un par de vectores pertenecen a la misma recta, 
es que uno sea igual al otro multiplicado por un escalar. Recordemos que los 
vectores crecen, se contraen o se invierten, pero siempre manteniendo la 
misma dirección. 
Por simple inspección podemos verificar que lo anterior se cumple, es decir; 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
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2.- ¿Qué restricciones deben tener; para que el punto ( ) se 
encuentre; 
a).- Sobre el eje 
b).- Sobre el eje 
c).- Sobre el plano 
d).- Sobre el plano 
a).- Sobre el eje 
Para que un punto s encuentre sobre el eje y, este debe cumplir; ( ) 
 
b).- Sobre el eje 
Para que un punto s encuentre sobre el eje y, este debe cumplir; ( ) 
 
c).- Sobre el eje 
Para que un punto s encuentre sobre el eje y, este debe cumplir; ( ) 
 
d).- Sobre el eje 
Para que un punto s encuentre sobre el eje y, este debe cumplir; ( ) 
 
 
 
 
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3.- Encontrar un vector que tenga la misma dirección que ⃗⃗ ⃗ ( ) 
pero de una longitud determinada. 
Por ejemplo, si deseamos encontrar ese vector cuya dirección sea la misma 
que el vector ⃗⃗ ⃗, pero deseamos que este vector tenga una magnitud igual a 6. 
Entonces nuestro problema se centra en encontrar un vector unitario con 
dirección igual al vector ⃗⃗ ⃗ y escalarlo a 6. 
-Para encontrar el vector unitario, obtenemos primero, la norma del vector 
 ⃗⃗ ⃗; 
| ⃗⃗ ⃗| √( ) ( ) ( ) 
| ⃗⃗ ⃗| √ 
| ⃗⃗ ⃗| √ 
Ahora, bien, el vector unitario puede ser expresado, como el cociente de sus 
componentes entre su norma, es decir; 
 ⃗⃗ ⃗ (
 
√ 
 
 
√ 
 
 
√ 
) 
Y para obtener el vector de magnitud 6 y misma dirección tendríamos que 
multiplicar por 6 cada componente vectorial. 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (
 
√ 
 
 
√ 
 
 
√ 
) 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (
 
√ 
) ( ) 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 
√ 
 ( ) 
Y podemos concluir que se trata de un vector que tiene la misma dirección, 
porque si observamos, tenemos como resultado el producto de un escalar, por 
el vector de referencia. 
 
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4.- Encontrar el área del paralelogramo definido por los vectores; 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ sabiendo que el área esta definida por el producto cruz; | ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ | 
 ⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) 
Obtenemos primero el vector cruz; 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ |
 
 
 
| ,( )( ) ( )( )- ,( )( ) ( )( )- ,( )( ) ( )( )- 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ |
 
 
 
| , - , - , - 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ |
 
 
 
| 
Enseguida obtenemos la norma del vector cruz obtenido; 
 | ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ | | | 
 | ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ | √( ) ( ) ( ) 
 | ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ | √ 
 | ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ | √ | ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ | 
 
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5.- Encontrar el volumendel paralelepípedo definido por los vectores; 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ sabiendo que el volumen esta definida por el valor absoluto 
del producto escalar triple; | ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )| 
 ⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) 
Aquí tenemos dos opciones; 
Primera; realizar primero el producto cruz y después el producto punto. 
Segunda;resolver el determinante de . 
Utilizaremos la segunda opción: 
 | ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )| |
 
 
 
| 
Utilizando la regla de Sarrus o regla d Cramer; para resolver este tipo de 
determinantes, de 3x3, se sugiere repetir los dos primeros vectores, por 
debajo del tercero, para facilitar la obtención de los producto diagonales. 
 | ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )| |
|
 
 
 
 
 
|
| 
 ,( ) ( ) ( )- ,( ) ( ) ( )- 
 ,( ) ( ) ( )- ,( ) ( ) ( )- 
 , - , )- 
 | ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )| |
 
 
 
| | | 
 
 
 
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2.1 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas planas y su 
representación gráfica. 
La parametrización de una curva, en el plano o en el espacio, es la 
representación geométrica de la posición de una partícula en el plano o el 
espacio, en función de una tercera o cuarta variable que es imposible de 
graficar junto con las variables cartesianas y que esta tercera o cuarta 
variable se le denomina, parámetro. 
Una interpretación física habitual de la parametrización es pensar que el 
parámetro ( ) representa al tiempo y que ( ) indica en qué posición del 
plano o del espacio se encuentra una partícula en el instante ( ). Así, pues, 
tendremos que; 
 {
 ( )
 ( )
 
 ,
 ( )
 ( )
 ( )
 
Parametrización de la recta; 
Para parametrizar a la recta, partiremos de su ecuación vectorial; Si tenemos 
un punto conocido ( ) ( ) y un vector director ( ) ( ), 
tendremos que; las ecuaciones parametrizadas de la recta quedaría 
expresadas de la siguiente manera; 
( ) ( ) ( ) 
 {
 
 
 
( ) ( ) ( ) 
 {
 
 
 
 
 
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Ejemplo 1: 
Determine la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos y 
parametrice la ecuación vectorial obtenida; 
 ( ) ( ) 
Para una mejor interpretación geométrica podemos imaginar a estos puntos 
como un par de vectores anclados al origen ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), donde su resta nos 
indicará la dimensión del vector director y su sentido dependerá de dónde, a 
dónde, vayamos. 
 
Veamos el primer caso, que es en el que el vector director viaja de P a Q. 
( ) ( ) ( ) 
Ahora veamos el otro caso, en el que el vector director viaja de Q a P. 
( ) ( ) ( ) 
Ambas expresiones significan lo mismo, es decir, representan al mismo lugar 
geométrico, que en este caso es la recta vectorial. 
Tomemos ambos casos para parametrizar los resultados; 
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
 
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Primer caso: 
( ) ( ) ( ) 
Desarrollamos: 
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) 
Ahora parametrizamos; 
 ( ) {
 
 
 
Segundo caso: 
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) 
Ahora parametrizamos; 
 ( ) {
 
 
 
Como podemos constatar 
en el gráfico, ambas 
ecuaciones paramétricas 
corresponden a la misma 
recta. Aquí debemos solo 
tener cuidado con el 
sentido de recorrido de la 
misma, ya que una 
desplaza hacia la derecha 
 ( ) ; la otra hacia la 
izquierda ( ). 
 
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Parametrización de la circunferencia; 
Para parametrizar la circunferencia, partiremos de las componentes 
rectangulares de uno de los puntos que la componen, expresadas en función 
de su ángulo, respecto de la horizontal, donde el ángulo referido se 
convertirá en el parámetro de la ecuación paramétrica del círculo y su 
dominio será con el completa un giro, o ciclo, completo, alrededor 
de su punto central. 
Circunferencia con centro en el origen; 
 ( ) {
 ( )
 ( )
 
Circunferencia con centro fuera del origen; 
 ( ) {
 ( )
 ( )
 
Ejemplo 1: Parametrice la siguiente circunferencia cuyo centro se encuentra 
en el origen; 
 
 ( ) {
 ( )
 ( )
 
 
 
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Ejemplo 2: Parametrice la siguiente circunferencia cuyo centro se encuentra 
en; ( ) 
( ) ( ) 
 ( ) {
 ( )
 ( )
 
 
 
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Parametrización de la parábola; 
Recordemos primero que la parábola nos puede aparecer en posición vertical 
(hacia arriba o hacia abajo) u horizontal (a la derecha o a la izquierda). 
 2
 
 
 {
 
 
 
Para cada expresión anterior, la parábola abrirá hacia abajo o hacia a la 
izquierda, cuando el signo del cuadrado del parámetro, sea negativo ( ) 
 2
 
 
 {
 
 
 
Ejemplo 1: parametrice la ecuación de la siguiente parábola cuyo vértice está 
en el origen. 
 
 ( ) 2
 
 
 
 
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Ejemplo 2: parametrice la ecuación de la siguiente parábola cuyo vértice está 
en ( ). 
 ( ) 
 ( ) 2
 
 ( ) 
 
 
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Parametrización de la elipse; 
Si partimos de la ecuación de la elipse con centro en el origen; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 {
 ( )
 ( )
 
 
Ahora veamos la ecuación de la elipse con centro fuera del origen; 
( )
 
 
 
( )
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 {
 ( )
 ( )
 
 
 
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Ejemplo 1: parametrice la ecuación de la siguiente elipse cuyo vértice está en 
el origen. 
 
 
 
 
 
 
 ( ) {
 ( )
 ( )
 
 
 
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Ejemplo 2: parametrice la ecuación de la siguiente elipse cuyo vértice está en 
 ( ). 
( ) 
 
 
( )( ) {
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Parametrización de la hipérbola; 
Si partimos de la ecuación de la elipse con centro en el origen; 
 
 
 
 
 
 
Sólo que ahora partiremos de la expresión que nos relaciona a la diferencia 
de las funciones hiperbólicas; 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 {
 ( )
 ( )
 
Ahora veamos la ecuación de la elipse con centro fuera del origen; 
( )
 
 
 
( )
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 {
 ( )
 ( )
 
Para identificar si una hipérbola es horizontal o vertical, dependerá de si el 
eje focal ( ) se relaciona con el eje horizontal o con el vertical; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 1: parametrice la ecuación de la siguiente elipse cuyo vértice está en 
el origen. 
 
 
 
 
 
 
 ( ) {
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) {
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.2 Derivada de una curva en forma paramétrica. 
Para obtener la derivada de una función parametrizada, se tiene que utilizar 
la regla de la cadena. Tal como se indica; 
 ( ) {
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ahora bien; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1 Determine la derivada de la siguiente función; 
 ( ) {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 2 Determine la derivada de la siguiente función; 
 ( ) {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 3 Determine la derivada de la siguiente función; 
 ( ) {
 
 √ 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 √ 
 
 
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2.3 Tangentes a una curva. 
Como ya sabemos de antemano, el concepto o definición geométrica de la 
derivada, es la pendiente de la recta tangente a una curva en cualquier punto 
dado. Y de aquí que podamos utilizar dicho concepto de derivada para 
determinar la ecuación de la recta tangente a cualquier curva, conociendo la 
derivada de dicha curva y las coordenadas del punto de tangencia. 
Debemos tener en cuenta, para determinar si la curva es, o no, regular que su 
vector derivada o vector director debe cumplir con lo siguiente; 
( ( ) ( )) ( ) 
Ejemplo 1 Determine la ecuación de la recta tangente a la curva, para cuando 
 
 
 
 ; 
 ( ) {
 
 
 
Determinamos primero la regularidad de la curva; 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
Como vemos que no existe un parámetro para esta curva que genere un vector 
director nulo, concluimos que nuestra curva, es regular. 
Enseguida determinamos las coordenadas correspondientes al punto de 
tangencia en 
 
 
. 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo que el punto de tangencia es; .
 
 
 
 
 
/ 
 
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A continuación evaluamos las coordenadas derivadas para 
 
 
 para obtener 
el vector director o vector derivada de la recta tangente; 
 ( ) (
 
 
) 
 ( ) (
 
 
) 
Ahora encontraremos la ecuación de la recta tangente a nuestra curva, que 
pasa por el punto .
 
 
 
 
 
/ y tiene como vector director ( ). 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Expresamos en la ecuación de la recta a como su parámetro, para no 
confundir este con el parámetro de la curva. 
Ahora bien, supongamos que necesitamos encontrar la ecuación cartesiana de 
la recta tangente encontrada; desparametricemos; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
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2.4 Área y longitud de arco. 
2.4.1. Áreas; Para el cálculo de áreas bajo curvas paramétricas, tendremos 
lo siguiente. Si sabemos que una curva viene dada por ( ), no negativa, en el 
intervalo , -, entonces el área delimitada por ( ) y el eje de las , viene 
dada por la siguiente integral; 
 ∫ ( ) 
 
 
 
Ahora supongamos que la curva viene dada por las curvas paramétricas; 
 ( ) ( ) 
 ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) (
 
 
) ∫ ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sin embargo, antes de continuar con nuestro cálculo de áreas, debemos tener 
en cuenta un par de observaciones; 
1).-Al igual que ( ) no debe ser negativa en el intervalo , -, tampoco ( ) 
debe ser negativa en dicho intervalo. 
2).- Además, cuando nos integramos con respecto al parámetro debemos 
trazar la curva, siempre, de izquierda a derecha. Es decir, que si a lo largo 
de nuestro intervalo, la curva cambia de dirección, debemos integrar por 
secciones, o sea, en dos o tres intervalos, según sea necesario. 
 
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Ejemplo 1 Determine el área bajo la curva paramétrica dada por el siguiente 
conjunto de ecuaciones paramétricas en el intervalo . 
 {
 
 
 
 
 
 
Comencemos por determinar las coordenadas de los puntos donde y 
 . 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
Es decir, que si nuestra función estuviera expresada en términos de , 
entonces integraríamos el intervalo , - , pero como esta expresada en 
función de entonces integramos en el intervalo , - 
∫ ( ) (
 
 
) 
 
 
 
 ∫ (
 
 
 )
 
 
( ) ∫ (
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 + 
 
 
 *
 
 
 ( )+ *
 
 
 ( )+ 
 *
 
 
 ( )+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ahora bien, si expresamos la función en términos de , tendriamos: 
 
 
 
 
 
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 √ 
 
 
 √ 
(
 
 
)
 
 
( ) 
 
 
 
( ) 
 
 
Por lo tanto, el área bajo esta curva, que es la misma parametrizada, sería; 
 ∫ (
( ) 
 
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Ejemplo 2 Determine el área bajo la curva paramétrica dada por el siguiente 
conjunto de ecuaciones paramétricas. 
 {
 √ 
 
Comencemos por determinar los valores correspondientes a la , para . 
 ( ) ( ) {
 
 
 
Por lo que el intervalo de integración, respecto de , es , -. 
 
 ∫ ( 
 
 
) (
 
 
 
 
 ) ∫ ( 
 
 
 
 
 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
 
 
 *
 ( 
 
 )
 
 
( )
 
 
 
+ , - 
 *
 
 
√ 
√ 
 
+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ahora bien, si expresamos la función en términos de , tendriamos: 
 √ 
 
 
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Por lo tanto, el área bajo esta curva, que es la misma parametrizada, sería; 
 ∫ ( ) 
 
 
 
 
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2.4.2. Longitud de arco; si tenemos ( ) y ( ) y estas no se 
cruzan en el intervalo , -, entonces la longitud del arco viene dada por la 
expresión; 
 ∫ √,( ( )- , ( )- 
 
 
 
Ejemplo 1 Determine la longitud del arco en la curva paramétrica dada por el 
siguiente conjunto de ecuaciones paramétricas en el intervalo . 
 {
 ( )
 ( )
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ∫ √,( - , - 
 
 
 
 ∫ √ 
 
 
 
 ∫ √ ( )
 
 
 ∫ √ ( )
 
 
 ∫ 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 , -
 
 
 , ( )- , ( )- 
 
 
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Ahora bien, si nuestra función estuviera expresada en función de , entonces 
tendríamos que; 
 
 √ ( ) √ , - 
 ∫ √ , ( )- 
 
 
 ∫ √ 0 √ 1
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.5 Curvas planas y graficación en coordenadas polares. 
Un breve repaso al concepto de coordenadas polares, sería recordar que son 
otra alternativa para la representación de un punto en el plano, estas, las 
polares se expresan en función de la distancia que el punto está separado 
desde el origen, o polo, y el ángulo formado con la horizontal, o eje polar para 
el radio vector (esa distancia referida que va desde el origen al punto). 
Es decir, si partimos de que un punto tiene coordenadas cartesianas, 
podemos trasladar sus equivalentes a coordenadas polares; 
 ( ) ( ) {
 
 
 
Para determinar las coordenadas polares de un punto que esta expresado en 
coordenadas cartesianas, tenemos, por un lado, al teorema de pitágoras y 
además, a la tangente del ángulo. 
 √ 
 
 
 
 
Y finalmente, lo que tenemos aquí, es que podemos ir de coordenadas 
rectangulares o cartesianas a coordenadas polares, y viceversa. 
Ahora bien, veamos cómo graficar una expresión o curva en coordenadas 
polares; 
Ejemplo 1 Grafique la siguiente expresión; 
 
Lo primero que habría que hacer es generar una tabla que contenga distintos 
valores de para calcular, a partir de la expresión dada, los valores de 
para esos distintos valores de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 3 
 √ 
 
 
 
 
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Algo que hay que hacer notar, de manera enfática, es que en el cálculo 
diferencial e integral, cuando trabajamos con ángulos, utilizaremos siempre la 
unidad de radianes y estos, serán invariablemente referidos a la unidad . 
 
 ( ) . 
 
 
/ 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.5.2. La recta; 
Si partimos de la ecuación de la recta; 
 {
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
Y esta última expresión es la ecuación general de la recta. Y una manera más 
general de identificar cuando tenemos una expresión, como la anterior, 
verificamos que tengamos en el denominador la combinación seno-coseno, es 
decir; 
 
 
 
 
Por ejemplo; 
 
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Veamos otro ejemplo; 
 
 
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2.5.2. La circunferencia; 
El primer caso a analizar es cuando y se trata de una circunferencia 
con centro en el origen de radio , 
 
Los otros dos casos son; 
 
En el primero tenemos una circunferencia tangente al polo y radio 
 
 
 cuyo 
eje coincide con el eje 
vertical; para el caso positivo 
la circunferencia se graficará 
sobre el eje horizontal, y 
cuando es negativo se 
graficará por debajo de dicho 
eje. 
 
 
 
 
En la segunda 
tenemos también 
tenemos una 
circunferencia 
tangente al polo, 
con radio 
 
 
 y 
cuyo eje coincide 
con el eje 
horizontal; para el caso positivo la circunferencia se graficará a la derecha 
del eje vertical y hacia la izquierda, en el caso contrario. 
 
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2.5.3.-Cardioides, Rosas, Lemniscatas, Espirales y Astroides. 
-Cardioides (Corazones). 
Estas expresiones son muy parecidas al círculo, hasta podríamos decir que se 
trata de un círculo deformado. Y estarán lo mismo que el círculo, hacia arriba 
o abaja con seno y hacia la derecha o a la izquierda con coseno. 
 
Las hay de tres tipos: Sin rizo, Origen, y Con rizo. 
 
 
 | | | | 
 ( ) 
 
 
 
 
 | | | | 
 ( ) 
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 | | | | 
 ( ) 
 
 
-Rosas. 
Son figuras que trazan pétalos; 
 ( ) ( ) 
Para trazar este tipo de gráficas, debemos conocer; 
1.- El número de pétalos; {
 
 
 
2.- El ángulo entre pétalos; 
 
 
 
3.- Ubicación del primer pétalo; ,
 
 
 
 
 
 
4.- Longitud del pétalo; 
 
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Ejemplo 1; Trace la gráfica de la siguiente función polar. 
 ( ) 
1.- El número de pétalos; {( ) 
2.- El ángulo entre pétalos; 
 
 
 
 
 
 
 
3.- Ubicación del primer pétalo; ,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.- Longitud del pétalo; 
 
 
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Ejemplo 2; Trace la gráfica de la siguiente función polar. 
 ( ) 
1.- El número de pétalos; {
 
 
 
 
2.- El ángulo entre pétalos; 
 
 
 
 
 
 
 
3.- Ubicación del primer pétalo; ,
 
 
 
 
 
 
 
4.- Longitud del pétalo; 
 
 
 
 
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-Lemniscata. 
Esta figura es similar al símbolo del infinito ( ) y su expresión tiene una 
gran semejanza con las rosas, excepto que el radio vector y el coeficiente de 
la trigonométrica son elevados al cuadrado, y su particular expresión es. 
 ( ) ( ) 
 √ ( ) √ ( ) 
Podemos imaginarnos a la primera expresión, con coseno, como una rosa con n 
par por lo que tendría 4 pétalos. Pero la expresión cuadrática elimina a un 
par de sus pétalos, lo cual nos dejaría una figura igual al símbolo del infinito 
( ) y como contiene al coseno, su primer pétalo, de longitud inicia en el 
eje . Ahora bien, la región positiva o negativa de la trigonométrica define 
cuál de los dos pétalos se grafican; 
 
 ( ) 
 √ ( ) 
 
 
 
 , ( )- 
 √ ( ) 
 
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Para la segunda expresión, con seno, podríamos imaginarnos una rosa con n 
par y por lo tanto la ubicación del primer pétalo, d longitud está en; 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 √ ( ) 
 
Y de la misma manera que en la consideración anterior, el signo de la 
trigonométrica define cuál pareja de pétalos se graficará. 
 
 
 
 
 , ( )- 
 √ ( ) 
 
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Espirales. 
De Arquímides; son espirales que crecen indefinidamente e inician siempre 
en el origen. Su crecimiento depende de los valores del coeficiente del 
ángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
Logarítmicas; Crecen más rápido que las de Arquímides, dada su 
característica exponencial e inician en relación al coeficiente del ángulo; 
 
 
 
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Cicloides; Este tipo de gráficas resultan de rodar una circunferencia sobre 
distintas superficies, planas o circulares. 
Cicloide; Se logran al hacer girar una circunferencia sobre una superficie 
plana. 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hipocicloide o Astroide; Se logran al hacer girar una circunferencia por 
dentro de otra circunferencia. Este tipo de gráficos dependen de la relación 
de los diámetros de las circunferencias. 
{
 
 
 
 
 
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Epicicloide; Se logran al hacer girar una circunferencia por fuera de otra 
circunferencia y por supuesto que su forma depende de la relación de 
diámetros entre las circunferencias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existen además, una variación enorme de figuras, y estas dependerán de las 
relaciones que existan entre sus diámetros, ya mencionadas. 
 
 
 
 
 
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2.6 Cálculo en coordenadas polares. 
Ejemplo 1.- Calcular el área que se encuentra dentro de y por 
fuera de . 
Como podemos ver en 
la gráfica, el área que 
se encuentra dentro 
del círculo (que por 
ser seno positivo 
abre hacia arriba) y 
fuera del cardioide 
(que por ser seno 
negativo abre hacia 
abajo), es la que se 
haya resaltada y es el 
área que nos interesa 
encontrar. 
Para ello, veamos lo siguiente; 
 
 
 
∫ 
 
 
 
Como podemos observar se trata d área entre gráficas o entre funciones, la 
cual queda definida por la diferencia entre ellas, restando a la más alejada, la 
más cercana al polo, así, tenemos lo siguiente. 
 
 
 
∫ *, - , -+ 
 
 
 
Ahora nos falta determinar los ángulos que definen el recorrido del radio 
vector. Para ello, igualamos ambas funciones y despejamos el ángulo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ahora, para determinar el ángulo final del recorrido, utilizamos la simetría de 
las figuras. Por lo que, si el primero es de respecto de la horizontal, el 
otro será también de , pero en el sentido contrario, así que se trata del 
ángulo; 
 
 
 
 
Finalmente podemos expresar los límites donde integraremos para encontrar 
el área d nuestro interés; 
 
 
 
∫ *, - , -+ 
 
 
 
 
 
Es muy conveniente, antes de integrar, revisar la simetría de la figura, sobre 
todo para determinar los valores seno y coseno donde este valga cero o uno. 
En este caso, podemos ver que la simetría se da alrededor del eje y, es decir 
cuando el ángulo final sería de 
 
 
 y en este ángulo se marca la mitad del 
recorrido, por lo que hasta ahí, tendríamos la mitad del área de nuestro 
interés. Así que replanteando nuestra integral, tomando este ángulo como el 
final, nuestra integral quedaría de la siguiente manera; 
 
 
 
 ∫ *, - , -+ 
 
 
 
 
 
 ∫ *, - , -+ 
 
 
 
 
 
Ahora integramos, pero antes hagamos algunas simplificaciones; 
 ∫ , - 
 
 
 
 
 
 
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 ∫ , - 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 ∫ [ (
 ( )
 
) ] 
 
 
 
 
 
 ∫ , ( ) - 
 
 
 
 
 
 ∫ , ( )- 
 
 
 
 
 
Para integrar 
∫ ( ) 
 ( )
 
 
Ahora sí, integramos; 
 [ 
 ( )
 
]
 
 
 
 
 
Aplicamos teorema fundamental del cálculo; 
 * 0
 
 
1 
 0 .
 
 
/1
 
+ * 0
 
 
1 
 0 .
 
 
/1
 
+ 
 * 0
 
 
1 , -+ * 0
 
 
1 0 .
 
 
/1+ 
 
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 .
 
 
/ ( ) .
 
 
/ 
√ 
 
 .
 
 
/ 
√ 
 
 
Sustituimos estas equivalencias y tenemos; 
 
 , - * *
√ 
 
 + *
√ 
 
++ 
 [ √ √ ] 
 [ √ ] 
Finalmente, el área buscada es; 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 2.- Calcular el área que genera el rizo del cardiode . 
En la gráfica se nos 
muestra el área por 
la que estamos 
interesados. Para 
ello, debemos 
revisar los ángulos 
que la limitan, y 
poder plantear así, 
nuestra integral. 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
Si observamos el recorrido que realiza el radio vector para formar 
nuestro cardioide, podemos observar que inicia en un valor . 
 ( ) ( ) 
Luego empieza el giro, hasta que el radio vector es . 
 
 
 
 
 
 
 
Continúa su giro hasta volver alcanzar el valor , que completa al rizo. 
Este es el ángulo final que buscamos y que corresponde a; 
 
 
 
 
 
 
 
Si expresamos ahora, la integral para el área que buscamos, tendremos que; 
 
 
 
∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 
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Ahora, si aprovechamos la simetría de nuestra figura, podemos observar que 
la mitad del rizo se logra cuando Entonces podemos 
reescribir nuestra integral de área como; 
 
 
 
∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 
 
Ahora sí, integramos y tomamos la primera expresión; 
 ∫ , - 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 ∫ [ (
 ( )
 
)] 
 
 
 
 
 ∫ , ( )- 
 
 
 
 
 
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 ∫ , ( ) - 
 
 
 
 
Para integrar ( ) 
∫ ( ) 
 ( )
 
 
 , ( ) -
 
 
 
 
Aplicamos el Teorema fundamental del cálculo; 
 [ (
 
 
) [ (
 
 
)] (
 
 
)] , ( ) ( ) - 
 , ( ) - , ( ) ( ) - 
 , - , ( ) ( ) - 
 , - 
 , - 
 
 
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Ejemplo 3.- Obtener el área dentro de ( ) y por fuera de . 
El área de nuestro 
interés se encuentra 
señalada en el 
gráfico y se trata d 
una región entre 
gráficas o funciones 
y su área queda 
expresada por la 
siguiente integral; 
 
 
 
∫ *, - + 
 
 
 
Ahora, podemos ver que el área se genera en el intervalo , - pero 
esto generaría la inclusión de áreas que no son de nuestro interés. Para evitar 
lo anterior, utilizaremos el beneficio de la simetría. Si observamos con mayor 
detenimiento, observamos que el área de interés es de cuatro pétalos 
truncos que son exactamente iguales, y además, cada pétalo es también 
simétrico, en dos partes iguales. Y si tomamos la parte superior del primer 
pétalo, integraríamos desde cero hasta el primer punto de intersección entre 
las dos gráficas. Entonces igualamos ambas funciones; 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
Por lo que nuestra integral quedaría de la siguiente manera; 
 
 
 
∫ *, - + 
 
 
 
 
 
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 ∫ , ( ) - 
 
 
 
 
 ∫ , ( ) - 
 
 
 
 
Integramos (Geogebra); 
 [ (
 
 
 ( ) 
 
 
 ) ]
 
 
 
 
Aplicamos Teorema fundamental del cálculo; 
 * (
 
 
 0 .
 
 
/1 
 
 
.
 
 
/) .
 
 
/+ * (
 
 
 , ( )- 
 
 
( )) ( )+ 
 * (
 
 
 0 .
 
 
/1 
 
 
.
 
 
/) .
 
 
/+ 
 * (
 
 
 (
 
 
) .
 
 
/) .
 
 
/+ 
 * (
 
 
( ) .
 
 
/) .
 
 
/+ 
 *(
 
 
( ) .
 
 
/) .
 
 
/+ 
 ,( )- 
 ( ) 
 
 
 
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3.1 Definición de función vectorial de una variable real. 
Una función vectorial de una variable real es una función cuyo dominio es un 
conjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores o puntos 
en . Esto es, que esta función vectorial va a transformar un conjunto de 
números reales en un conjunto de vectores. 
 
Utilizando coordenadas cartesianas, una función vectorial ( ) es un vector 
dependiente de la variable escalar y definida en el espacio ( ), de tal 
manera que; 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
Por lo que todos los conceptos y definiciones de las funciones ordinarias son 
aplicables a las funciones vectoriales, haciendo a cada una de las 
componentes del vector, una función vectorial de una variable. 
Veamos ahora; si consideramos la base canónica para los vectores en ; 
 ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) 
Y la función vectorial; 
 ( ) ( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ 
Tendremos; 
 ( ) ( ( ) ( ) ( )) 
Donde ( ), ( ) y ( ) son funciones reales de la variable real y se dice 
finalmente que ( ) es una función vectorial en . 
 
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Ejemplo 1; 
Tenemos la ecuación vectorial de la siguiente recta, en ; 
 ( ) ( ) ( ) 
Ahora realizamos las operaciones indicadas; vector por escalar, y luego la 
suma vectorial, y así obtenemos la función vectorial con sus respectivas 
componentes vectoriales, que se indica enseguida, y que nos representa a una 
función vectorial en una variable real, cuyo rango o dominio es una recta en 
 . 
 ( ) ( ) 
Si representamos nuestra función en sus componentes, tendremos lo 
siguiente; 
 ( ) ,
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
Lo que hemos obtenido, finalmente, es una correspondencia o transformación 
sobre la recta real en a puntos sobre la recta que pasa por el punto ( ) 
y que es paralela al vector ( ). 
Examinemos otras transformaciones; 
 ( ) , ( )- ( ) 
 ( ) , )- ( ) 
Ahora bien, la expresión o notación de una función vectorial en sus 
componentes vectoriales, nos permitirá aplicar, en ellas, todos los métodos 
del cálculo diferencial e integral, que hemos ensayado, con anterioridad, en 
las funciones reales de una variable real. 
 
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Ejemplo 2; 
Determine las funciones componentes de la siguiente función vectorial y 
determine su dominio. 
 ( ) ( ( ) √ ) 
 ( ) ,
 ( ) 
 ( ) ( )
 ( ) √ 
 
Para determinar el dominio de la función, lo haremos primeramente por 
encontrar el dominio de cada componente; 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) √ , ) 
 
Ahora buscamos la intersección entre estos tres dominios y con ello 
estaremos definiendo el dominio de la función vectorial. 
( ) ( ) ( ) 
( ) , ) , ) 
Por lo que este último, es el dominio de nuestra función vectorial. 
 
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