Ruben Becerril Fonseca, Daniel R Jardon Arcos, J Guadalupe Reyes Victoria - Calculo diferencial en varias variables (2002) - José Guerrero

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en varias variables
Rubén Becerril Fonseca
Daniel R. Jardón Arcos
J. Guadalupe Reyes Victoria
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UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA-IZTAPALAPA
División de Ciencias Biológicas y de la Salud
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com
Rector General
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA-Iztapalapa
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Secretario
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División de Ciencias Biológicas y de la Salud
Director
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Secretario Académico
Mtro. Arturo Preciado López
División de Ciencias Básicas e Ingeniería
Director
Dr. Tomás Viveros García
Secretario
Dr. José Antonio de los Reyes Heredia
ISBN 970-31-0096-1
Primera Edición: 2002
Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa
Av. San Rafael Atlixco 186, Col. Vicentina
México, D.F. 09340
Impreso y hecho en México
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CÁLCULO
DIFERENCIAL
EN VARIAS VARIABLES
Rubén Becerril Fonseca
Daniel Jardón Arcos
J. Guadalupe Reyes Victoria
Departamento de Matemáticas
UAM-IZTAPALAPA
2002 © UAM-I
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Prefacio
Uno de los principales problemas que tiene un lector estudioso de las cien-
cias básicas (física, química, matemáticas) o de la ingeniería, es el .de-en-
contrar aislados en la abundante literatura muchos temas de su interés.
Por un lado, los textos clásicos orientados hacia, las partes aplicadas de la
ciencia que tienen relevancia, no son del todo accesibles al joven lector, y
para su lectura imponen una cantidad considerable de prerrequisitos. Por
otra parte, la literatura teórica en muchas ocasiones causa tedio en los
aspirantes al ejercicio práctico de la ciencia.
La presente obra trata de equilibrar las dos cuestiones: la parte teórica,
de una forma simple, y su uso en las partes aplicadas de la ciencia, pensando
en la formación del futuro científico, ingeniero, técnico, etcétera. Para su
lectura se presuponen conocimientos elementales de cálculo diferencial de
una variable. Los demás conceptos el lector no matemático puede irlos
aprendiendo durante el camino.
En el primer capítulo hacemos un bosquejo de los elementos necesarios
para leer el trabajo, como son los sistemas de ecuaciones, las matrices y
determinantes. De esta manera se hace una reseña de los elementos básicos
del Algebra Lineal.
El capítulo 2 trata de los aspectos básicos de los objetos geométricos
elementales en el espacio Euclidiano: las rectas, los planos. Para su
construcción necesitarnos los conceptos de vector, ángulo y distancia.
Aquí se estudia también el problema de vectores y valores propios de una
matriz cuadrada real.
En el capítulo 3 se estudian los elementos básicos de las curvas planas
y espaciales, sus propiedades diferenciables: su velocidad y aceleración.
El capítulo 4 muestra el estudio de los campos escalares diferenciables
Rrl —» IR , y los elementos para realizarlo: las derivadas parciales, el
gradiente, el polinomio de Taylor, etcétera.
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En el capítulo 5 se hace una muestra somera de la teoría básica de
los campos vectoriales diferenciables del tipo K" —• Rm (n,m < 3) y los
conceptos asociados más importantes se enuncian y ejemplifican: la diver-
gencia, el rotor y el gradiente.
En los apéndices se incluyen tópicos clásicos de los cursos de cálculo en
varias variables como: elementos básicos de superficies en R3, orientación
y longitud de una curva en M3, límites y continuidad de campos es-
calares, planos tangentes, valores extremos de un campo escalar y las
funciones implícitas.
Este libro es producto de varios cursos de Matemáticas IV para los es-
tudiantes de Ciencias Biológicas y de la Salud (CBS) en la Universidad
Autónoma Metropolitana Iztapalapa, durante los años 1992 - 1999. La
presentación es diferente de la de los cursos clásicos debido a que las necesi-
dades de las propias licenciaturas (ingenieros bioquímicos, bioteenólogos y
en alimentos) así lo requieren.
Deseamos manifestar nuestro agradecimiento al Dr. Gerardo Saucedo,
Director de la División de CBS, al M. en C. Arturo Preciado, Secretario
Académico de la División de CBS, a la Dra. María José Arroyo, ex-
Directora de la División de CBI y al Dr. Ernesto Pérez, Jefe del Departa-
mento de Matemáticas por todo el apoyo y entusiasmo que nos brindaron.
También queremos resaltar la contribución de los profesores y alumnos que
usaron versiones preliminares y cuyos valiosos comentarios nos ayudaron a
mejorar el texto. La presentación final se logró gracias a la colaboración de
Daniel Espinosa (Flash).
Por último, quisiéramos agradecer a nuestras respectivas familias por
toda la paciencia infatigable a lo largo de este proyecto.
R.B.F., D.R.J.A., J.G.R.V.
IZTAPALAPA 2002
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Contenido
Capítulo 1. Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes 7
1.1 Sisteméis de ecuaciones 7
1.2 Matrices . , U
1.3 Operaciones básicas de matrices 12
1.4 Determinantes de orden tres 20
1.5 Inversa de una matriz 31
1.6 La regla de Cramer , . . 33
1.7 Sistemas lineales homogéneos 39
1.8 El método de Gauss-Jordan . . . 15
Capítulo 2. Vectores en R2 y R3 65
2.1 Sistemáis de coordenadas en R2 y R3 65
2.2 El producto escalar y la norma en R3 72
2.3 El producto vectorial , . 82
2.4 El triple producto escalar y bases de R3 86
2.5 Vectores y valores propios de una matriz . . - . - . . 96
2.6 Rectas y Planos en R3 110
Capítulo 3. Curvas en R2 y en R3 127
3.1 Curvas suaves 127
3.2 La segunda derivada. Aceleración 146
Capítulo 4. Campos escalares en R3 149
4.1 Regiones en R2 y R3 . , 149
4.2 Campos escalares en R3 . . . 155
4.3 Superficies y curvas de nivel 158
4.4 Derivadas parciales y el gradiente : . . 165
4.5 La regla de la cadena 170
4.6 Derivada direccional . 176
4.7 El Teorema de Taylor 179
4.8 Diferencial total de un campo escalar 195
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CONTENIDO
Capítulo 5. Campos vectoriales en R3 205
5.1 Funciones del tipo R" -> R7" 205
5.2 La matriz jaeobiana . . : . . . . . . . . 219
5.3 La regla de la cadena 223
5.1 Cambios de coordenadas 228
5.5 Campos vectoriales en R2 y R3 248
5.6 Divergencia, gradiente y rotor 259
Capítulo 6. Elementos Básicos de Superficies en R3 277
G.l Superñcies de revolución 278
6.2 Superficies cilindricas 282
6.3 Superficies cónicas 283
6.1 Elipsoides, Hiperboloides y Paraboloides 287
Capítulo 7. Orientación de curvas y poligonales 301
7.1 Orientación 301
7.2 Longitud de arco y ángulo entre curvas 305
7.3 Ejercicios 310
Capítulo 8. Límites y puntos singulares 311
8.1Puntos de acumulación y límites 311
8.2 Puntos singulares 314
8.3 Continuidad 317
Capítulo 9. Valores extremos de funciones R2 —» R 321
9.1 Plano tangente 321
9.2 Puntos regulares y críticos 324
9.3 Formas cuadráticas básicas . 327
9.4 Puntos críticos no degenerados 333
9.5 Multiplicadores de Lagrange 347
Capítulo 10. Funciones implícitas 361
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Capítulo 1
Sistemas de ecuaciones,
matrices y determinantes
1.1 Sistemas de ecuaciones
Iniciamos con el problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales de
2 x 2 con coeficientes reales de la forma
aux + a12y =
donde on , ai2, 021, 022? &i y ̂ 2 son constantes reales y x,y son incógnitas.
< Despejamos a la variable x de la primera ecuación y la sustituimos
en la segunda.
De la relación
aux + ai2y = bx
se obtiene que
aux = 61 - ai2y
lo que implica que, si an / 0, entonces
—
Al sustituir en la segunda ecuación del sistema se tiene
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8 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
que nos permite resolver para la variable y de la siguiente forma.
De la ecuación
d2\{b\ - a\2y)b2 =
au
se obtiene
anb2 - a2\bi - a2iüi2y + ana22y
de donde,
aub2 - a2ibi = y(aua22 -
De esta manera, si
a\\a22 — a2\a\2 ^ 0
entonces podemos despejar a y, quedando
= y
d\\a22 — a2\a\2
Es decir,
y =
Al sustituir esta igualdad en la ecuación (*) se obtiene la indeterminada x
de la siguiente cadena de igualdades
b\ -
_
X —
Q11Q22-Q21012
61(011022-021012) -Q
Q11Q22-Q21Q12
De donde,
b\a22 — a\2b2
x = >
Concluimos la discusión con el siguiente lema.
LEMA 1.1 Para el sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas
\ a2xx -f a22y = by
con an, a\2, a2\, a22, b\, b2 números reales, se tiene la solución dada por
la pareja
b\a22 -x =
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1.1 Sistemas de ecuaciones
y
aub2 -
sabiendo que a\ia22 ~ «2i«i2 7̂ 0
NOTACIÓN. Para una expresión real ad — be definimos el arreglo
a b
c d
mediante la igualdad
EJEMPLO. Para
nemos
a b
c d
— ad — be
ai2, «12, ,«22> ^í* b2 números reales arbitrarios te-
«11 «12
«21 «22
b\ «12
b2 a22
b2
aub2 -
En esta notación, las soluciones del sistema dado en el Lema 1.1 se
escriben
x =
b\ aX2
b2 a22
« i i
«11 «12
«21 «22
«11 «12
«21 «22
Para tal sistema de ecuaciones se introduce el siguiente arreglo formado
por los coeficientes que intervienen en el sistema
« n «12 b\
«21 «22 b2
y le llamamos la matriz principal del sistema.
Se obtienen de esta las submatrices cuadradas (2 x 2),
«11 «12
«21 «22
b\ «12
b2 a22
«n
y a cada arreglo se le asocia un número distinguido propio
D = «11 «12
«21 «22
«11 «12
«21 «22
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10 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
h
b2
«n
«21
«12 \
«22 /
b2 )
bx
«2
«n
«21
«12
«22
h
b2
Dx =
llamados sus determinantes correspondientes.
Con esta última notación se tiene el siguiente resultado.
COROLARIO 1.1 Las soluciones x, y del sistema inicial se calculan por
sabiendo que D / 0.
EJEMPLO. Resolver el sistema
2x-3y = l
3x + 2y = 2
La matriz principal del sistema es
2 - 3 1
3 2 2
Las submatrices asociadas son
2 - 3 \ / 1 - 3
3 2 j ' \2 2
y los determinantes correspondientes se calculan
2 - 3
3 2
2 1
3 2
D = 2 - 33 2
( 1U
f 2
3
\Jl
-3
2
1
2
1
2
2
3
- 3
2
1
2
4 + 9 = 13^0
= 2 + 6 = 8
- 4 - 3 = 1
Esto nos lleva a que las soluciones del sistema de ecuaciones son
_ Dx _ 8
X ~ ~D ~ 13
En la discusión mostrada al resolver un sistema lineal de dos ecuaciones
con dos incógnitas nos encontramos con los conceptos auxiliares de solución
que son, las matrices y los determinantes. Estudiamos estos objetos
matemáticos y sus propiedades en las próximas secciones. Más adelante
volveremos al problema de resolver sistemas de ecuaciones lineales.
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1.2 Matrices 11
1.
Un
2 Matrices
arreglo de la forma
/ «11
«21
«12
«22
«13
«23
' ' '«ln
'*'«2n
\
\ «mi «m2 «m3 ' ' ' arnn
donde cada a-vj es un número real, se llamará una matriz real de dimen-
siones m x n. Esto es, el arreglo consta de m — renglones y n — columnas
El i-ésimo renglón de la matriz sería
• ' ' ain
y se llamaría el i-ésimo vector renglón.
Al arreglo
aiJ \
\ «mj
se le denomina el j-ésimo vector columna.
Una entrada a¿j de la matriz estaría en el i-ésimo renglón y la j-ésima
columna (i define los renglones y j define las columnas).
EJEMPLO. La matriz real
7 - 2
es de (3 x 5).
<3 Mencionamos algunos elementos de la matriz
«34 = 7, <2i5 = 8, «23 = 1, «32 = 3
El segundo vector renglón es
(2 3 1 - 1 0 )
mientras que el tercer vector columna es
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12 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
Una matriz con dimensiones m = n tal se llamará matriz cuadrada.
EJEMPLO. Las matrices
1 2
4 - 2
1 O O
0 - 2 3
2x2 V 0 1 0
3x3
son cuadradas.
A una matriz con entradas idénticamente nulas se llamará matriz nula
y se denota por
/ O 0 -.-O- \
0 0 ---O
O =
0 0 • • • 0
1.3 Operaciones básicas de matrices
En adelante identificaremos a las matrices reales por letras mayúsculas:
A, B, C, • • • M, • • •
y sus entradas reales por minúsculas
Dos matrices se pueden sumar si tienen las mismas dimensiones, es
decir, si
A = Arnxni &
 = £>mxn
entonces A + B tiene sentido. De hecho, si las matrices tienen entradas
entonces su suma se define por la suma de entradas correspondientes, esto
es,
EJEMPLO. Sean las matrices reales
1 ' 0 - 3
A= I 0 1 1
- 1 4 2
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1.3 Operaciones básicas de matrices 13
2 3 4
< No tienen sentido la suma matricial A -f- B por ser de diferentes
dimensiones. O
EJEMPLO. Sean las matrices reales
0 1 0 1
1 4 x z / 2 x 4
O Su suma tiene sentido y se calcula
- 1 4 3 2 \ / 0 1 0 1 \ / - 1 5 3 3
- 2 1 8 2 ) + \ - 1 4 - 1 2 ) ~ \ - 3 5 7 4
Una cantidad escalar es un número real arbitrario y lo identificamos
por las letras griegas
A, //, r, • • •
Dada la matriz A — (a¿j)mxm se define la nueva matriz XA d e m x n
obtenida al multiplicar por el escalar A, como aquella que se obtiene de
multiplicar por A cada una de sus entradas, esto es,
EJEMPLOS.
i. Si tomamos
A - 3 , A =
entonces
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14 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
OBSERVACIONES.
1. La matriz O = (0) (nula) es el elemento matricial que al sumarse a
cualquier matriz no la altera:
2. Dada A una matriz arbitrariay A = - 1 , se define -A = {-l)A como
la matriz inversa aditiva de A, tal que
EJEMPLO. Sean las matrices
M B(2 2 ) ' *~ \ 0 - 3
Calcular: A 4- B, 3,4, A + 2B, yl - B.
< Mediante cálculos directos, obtenemos,
3i4 = 3 ( 2 2 ) = { 6 6
2 2 \ / - 1 1
O - 6 y ^ 2 - 4
Sea .4 = (a-ij) una matriz arbitraria de m x n, se define la matriz trans-
puesta de A como la matriz d e n x m que se obtiene de a¿j intercambiando
renglones por columnas. Identificada por At, sus entradas la definen por
A1 = (aJZ)
EJEMPLOS.
i. Dada la matriz ( 2 x 3 )
A = \
* 2x3
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1.3 Operaciones básicas de matrices 15
se tiene que su transpuesta es la matriz (3 x 2)
/i -i
A1 = 0 1
V 1 2 , 3x2
ii. Para la matriz renglón
A = (l - 1 4 )
se obtiene la matriz transpuesta dada por el vector columna,
Al=\ - 1
4
1
2
1
- 1
- 1
1
2
1
iii. Para la matriz cuadrada de 2 x 2
su transpuesta es
Sean AmXn,BnXs dos matrices reales. Se define su producto como la
matriz Cmxs obtenida de la siguiente forma:
ln \
\
«22
\ «mi «m2
Cll C12
C21 C22
Cm2
«271
bu \
c l s
/
donde la entrada c^ de C se obtiene de multiplicar los elementos del i-
éisimo renglón de A con los de la j-ésima columna de B, y realizar la suma
de estos productos.
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16 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
Esto es,
din )
z-ésimo renglón
b2j
\ anj
j-ésima columna
n
= anbij + ai2b2j -f a¿363j H ainbnj — ̂ a^b^
siendo que el producto del i-ésimo renglón de A con la j-ésima columna de
B se define por la suma anterior.
Si tenemos
A\ \
A2
A =
\ An
donde
Ai = ( a{1 ai2 ain )
B= ( B1 B2 "• Bs
siendo el vector columna
Bj =
bl
entonces los elementos del producto se calculan, mediante
Cij = AtB
J =
k=i
con el producto estipulado por la suma anterior.
En otras palabras, para poder multiplicar dos matrices A — AmXn y
B = es necesario que el número n de columnas de A coincida con
el número n de renglones de £?, y el resultado (producto) es una matriz
C = Cmxs de dimensiones m x s
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1.3 Operaciones básicas de matrices 17
EJEMPLO. Sean las matrices
A = { - 1 0
1 0 1 - 1 4
V - l 2 3 - 1 0 / 2 x 3
Calcular BA y AB.
<3 a. BA = 52x5 ^3x2, como 5 ^ 3 no tiene sentido el producto.
b . AB = A¡X2 B2X5, en este caso tiene sentido el producto y se realiza
A continuación mostramos el cálculo de algunos elementos C{j del pro-
ducto de las matrices dadas
- 1 ) - 3 - 2 - 1
C12 = (3 2)(0 2 ) - 0 + 4 - 4
ci3 = (3 2)(1 3 ) - 3 + 6 = 9
ci4 = (3 2 ) ( - l - l ) - - 3 - 2 -
ci5 = (3 2)(4 0 ) - 1 2 + 0 - 1 2
c23 = (-l 0)(0 2 ) - 0 + 2 - 2
c35 = (0 1)(4 0 ) = 0
La matriz obtenida es de ( 3 x 5 ) O
EJEMPLO. Sean las matrices
3x2
Calcular: AB y BA.
< a. AB — A2x3^3x2 = ^2x2 es una matriz cuadrada de (2 x 2)
" = ' ? ; $
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18 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
los cálculos se muestran a continuación:
d i = 6 - 1 + 10 = 15 c2i = 3 - 3 + 4 = 4
ci2 = 8 + 2 4- 5 = 15 c22 = 4 + 6 + 2 = 12
b. £?̂ 4 = ^3x2^2x3 = C*3x3 es una matriz cuadrada de ( 3 x 3 ) .
Dejamos al lector la verificación de los cálculos. >
El ejemplo precedente muestra que en general el producto de matrices
no es conmutativo, es decir, en general AB ^ BA
TEOREMA 1.1 Sean las matrices A = ^4mXn, B — BmXn, C = Cexm
a. Se tiene la siguiente regla de distribución del producto con la suma de
matrices
C(A + B)
b. Si X es un número real (escalar,) entonces
C{\B) = (XC)B
< Damos a la matriz (A + B) = (A7 + BJ) en forma de columnas.
Por otro lado, si escribimos a la matriz C = (C¿) en renglones entonces
C(A + B) = (d) (AJ + Bj) = (dAj) + (d Bj)
TEOREMA 1.2 5z A = ^ m x n , B = 5 n X s , C - Q X m son matrices
reales7 entonces el producto es asociativo, esto es,
C(AB) = (CA)B
<3 Es un cálculo directo y se omite o
EJEMPLO. Sean las matrices.
( 2 x 2 )
K J \ ~ v / 3x2
a. Verificamos que se cumple la relación
B) = {CA
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1.3 Operaciones básicas de matrices 19
<\ Primeramente realizamos la suma, de matrices A -f B y lue^o calcu-
lamos C(A + B)
Por otro lado,
CA + CB =
lo que prueba la validez de la relación. \>
b. Ahora comprobamos la asociatividad
C(AB) = (CA)B
<\ Por un lado,
Por otro lado,
(CA)B =
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20 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
lo que prueba la igualdad. O
La matriz cuadrada
/ 1 0 0 — 0 \
0 1 0 • • • 0
0 0 1 • • • 0
V 0 0 0 - - - 1 /
\ / TI. X II
con l'.s en la diagonal y los otros elementos nulos, es tal que si A = Amxn
es una matriz arbitraria, entonces
AI = A
I se llamará matriz identidad de n x m.
EJEMPLO. Sea la matriz
3x2
y sea / = L)X2 la matriz identidad, se tiene que
3 2
< AI = AI2x2 = | 2 1
1 0
1 0
0 1
3 2
= I 2 1 I =A >
1 0
1.4 Determinantes de orden tres
En esta parte definimos para las matrices cuadradas de dimensiones 2 x 2
y 3 x 3 , un número característico: su determinante. Este concepto, así
como sus propiedades, pueden ser generalizadas para matrices cuadradas
de dimensiones mayores.
Para una matriz cuadrada de 2 x 2 real
A = «11 «12
«21 «22
se define el número característico |̂ 4| llamado su determinante, por la
igualdad
\A\ = «11 «12
«21 «22
= «11 «22 — «21 «12-
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1.4 Determinantes de orden tres 21
Cambiando un poco la notación, lo anterior nos dice que para la mntriz
A = ( a* fl
su determinante se calcula por la igualdad
ai
a-2
= (lib-2 — a.ob\ —
a i do
Esto nos dice que los determinantes de una matriz A de orden 2 x 2 y
la de su transpuesta A 1 son iguales.
EJEMPLO. El determinante de la matriz
2 1
A =
1 1
2 1
= 2 - 1 = 1 >
se calcula
< \A\= 1 1
Para una matriz real de 3 x 3
ai bi c\
= | a2 b2 o¿
«3 h <'\i
definimos de igual forma su determinante \A\ como
\A\ =
ax
a2 C2 =
(l2 ('2
+ c
(¡2 bo
b¿ c-¿
donde los determinantes 2 x 2 en el desarrollo se calculan ordinariamente.
EJEMPLO. Calculamos el determinante de la matriz
1 2 3
2 3 4
3 4 5
1
2
3
2
3
4
3
4
5
= 1
3
4
4
5
- 2
2
3
4
5 + 3
2
3
3
4
= 1(15 - 16) - 2(10 - 12) + 3(8 - 9) - - 1 + 4 - 3 = 0 o
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22 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
Dado el determinante
los números a,,!),.(•,. (i = 1,2,3) se llaman los e l e m e n t o s del de termi -
nante .
Si SÍ1 considera un elemento del determinante, sedice que el determi-
nante de la matriz 2 x 2 que so obtiene al quitar el renglón y la columna
donde se localiza tal elemento es su menor correspondiente.
EJEMPLO. En el determinante
1 2 3
2 3 1
3 1 5
para el número 3 en el centro, su menor correspondiente es
1 3
3 5
E J E M P L O . En el determinante
0 1 6
1 -11 11
TT/2 v/2 1
para TT/2. SU menor es
1
-11
6
11
Definimos la paridad de un elemento de un determinante como la suma
del número, el renglón v del número de la columna donde se encuentra.
EJEMPLO. En el determinante
1 2 3
2 3 4
3 o4 5
el elemento indicado 4 tiene paridad^
Es el mismo determinante,
1 o2 3
2 3 4
3 4 5
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1.4 Determinantes de orden tres 23
el elemento 2 tiene paridad=
Igualmente, en
1 2 o3
2 3
3 4
el elemento 3 tiene la paridad= 1 + 3 = 4
Definimos para un elemento aLJ de un determinante de 3 x 3 su cofactor
A-ij como el número (que lleva signos)
donde i es el número de renglón, j el número de columna y MLJ es su menor
correspondiente.
EJEMPLO. Consideremos nuevamente el determinante del ejemplo ante-
rior, entonces,
i. El elemento 4 indicado,
tiene cofactor ( —1)3+2 1 3
2 4
1 2 3
2 3 4
3 o4 5
1 3
2 4
= - ( 4 - 6 ) = 2
ii. Análogamente, el elemento 1 indicado,
ol 2 3
2 3 4
3 4 5
tiene cofactor ( -
3 4
4 5
3 4
4 5 = 1 5 - 16 = - 1
iii. De igual manera, en el mismo determinante,
1 o2 3
2 3 4
3 4 5
2 tiene cofactor A = ( — 1)2 + 1
2 3
4 5
2 3
4 5
= - ( 1 0 - 12) = 2
Observemos que inicialmente un determinante se desarrolló
ai
C2
C3
= °l
í>2 C2
b¿ c¿ 1
a2 c2
«3 C3
a2 62
^ 3 >̂3
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24 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
Si se definen
Ai = cofactor (ax) = ( -1 )
1 + 1
£?i = cofactor (61) = (—1)1+
c2
a2 c2
« 3
« 3
d = cofactor (Cl) = ( -1 )
1 + 3
en esta notación, el determinante se puede desarrollar mediante
a i 61 Ci
a2 62 C2
Un resulado más general sobre el desarrollo de un determinante viene
dado por el siguiente teorema, cuya prueba omitimos.
TEOREMA 1.3 (del desarrollo) Cualquier determinante 3 x 3 se cal-
cula como la suma de los términos de un renglón (o una columna) por sus
cofactores.
En particular, al desarrollar por la tercer columna,
= C\C\ 4- C2C2 -
ai 61 ci
a2 ^2 C2
donde el cofactor de c\ es
el cofactor de C2 es
C3
C\ — &2 t>2
d3 b3
ai bi
«3 ¿>3
ai bi
Q2 62
es cofactor de C3. >
EJEMPLO. Calcular el determinante
1 0 - 1
4 0 - 1
0 2 4
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1.4 Determinantes de orden tres 25
desarrollando por la segunda columna.
<3 Utilizando las paridades y el teorema del desarrollo 1.3 se tiene que
1
4
0
0
0
2
- 1
- 1
4
= - 0
4
0
i
4 + 0
1
0
- 1
4 - 2
1
4
- 1
EJEMPLO. Calculamos el conocido determinante
1 2 3
2 3 4
3 4 5
desarrollando por el segundo renglón.
1 2 3
2 3 4
3 4 5
= -2(10 - 12) + 3(5 - 9) - 4(4 - 6) = 4 - 12 + 8 = 0. >
LEMA 1.2 5¿ un determinante cambia los renglones por columnas, no se
altera tal. Esto es, el determinante de una matriz y el determinante de su
transpuesta coinciden.
2 3
4 5 + 3
1 3
3 5 - 4
1 2
3 4
< Por el teorema del desarrollo tenemos
CL2
«3
C2 4-
ai a2 a3
b\ 62 63
c\ c2 c3
LEMA 1.3 5z en un determinante se intercambian dos renglones (o dos
columnas) el signo del determinante se cambia.
< Por el teorema del desarrollo se tiene
-biBi+cid
— c2b3) — bi(a2cs — a^c2) -f 01(0262' — #3^2)
a2
«3
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26 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
Por otro lado, al calcular el determinante después de intercambiar los
dos primeros renglones, obtenemos
a2 b2 c2
a\ b\ c\ = CL2(b\C3 — C\b3) — b2(aic3 — a3c\) + c2(a\b3—
ci3 b3 c3
= -a1(b2c3 - c2b3) + bi(a2c3 - c2a3) - ci(a2b3 - a3b2)
ax b1 ci
a2 b2 c2
ci3 b3 c3
O
EJEMPLO. Ya hemos calculado el determinante
1 0 - 1
4 0 - 1
0 2 4
= - 6
< Si intercambiamos las columnas primera y segunda, obtenemos, al
desarrollar por la nueva primer columna
0 1 - 1
0 4 - 1
2 0 4
= 2 1 - 1
4 - 1
= 2 ( - l + 4 ) =
Del Lema 1.3, para el determinante con dos renglones iguales, al inter-
cambiarlos, obtenemos
ai
ai
«3
bi
h
b3
C\
C\
c3
= -
a1
ai
«3
bi
b\
b3
C\
C\
c3
lo que implica que tal determinante es nulo debido a que 0 es el único
número real que es igual a su negativo. Esto es,
COROLARIO 1.2 Si en un determinante se repiten dos renglones o dos
columnas el determinante vale cero.
EJEMPLO. Por un cálculo directo, se tiene que el determinante siguiente
con dos renglones iguales
- 3 ( 4 - 1 ) - 3 ( 4 - 1 ) = 0
cuando se desarrolla por la segunda columna.
Tenemos además el siguiente importante resultado sobre desarrollos.
1
1
1
0
3
3
1
4
4
-3 1
1
4
1
1
1
4
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1.4 Determinantes de orden tres 27
COROLARIO 1.3 La suma de los productos pares de los elementos de
una fila o renglón por los complementos algebraicos correspondientes es
cero.
Es decir, para cualquier determinante se cumplen las igualdades
- o
61 ¿ i + b2A2 + b3A3 = 0
C\A\ + C2A2 + C3.A3 = O
<] Consideremos un determinante arbitrario
ai &i c\
a2 b2 c2
entonces
bi
b3 c3
, B2 =
ai
a3 c3
C2 = -
di 61
0,3 63
Ao = -
Por el colorario 1.2 el siguiente determinante se anula
0 =
a i ¿>i
ai bi
al desarrollar tal determinante por el segundo reglón se tiene
0 =
«1 h
«1 h
a3 b3
Q
&3 C 3
ai Ci
a3 c3
i42 4-^1^2 + C1C2
ai bi
a3 63
lo que prueba la primer igualdad.
Las otras se prueban de forma análoga. >
OBSERVACIÓN. Para cualquier escalar A £ R se tiene que
Aai ^ 1 ^ c i
tt2 b2 C2
a3 b3 c3
= A
li + A61S1 + Aci = A(aii4i + biBi + cid)
ai 61 ci
a2 b2 c2
a3 b3 c3
Esto se resume en el siguiente resultado.
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28 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
LEMA 1.4 Se puede sacar fuera del determinante un factor común de los
elementos de un renglón (o una columna).
OBSERVACIÓN. Utilizando el Lema 1.4 con A = 0, obtenemos,
0
a2
« 3
0
b2
bs
0
c2
C3
=
0&i
C 3
« 3
a i
C2
«3 63 C3
= 0 O
lo que nos conduce al siguiente corolario.
COROLARIO 1.4 5z en un determinante un renglón (o una columna)
tiene todos sus elementos cero, entonces su valor es cero.
OBSERVACIÓN. Sea A un número real tal que a\ — Aa2, ¿>i = A62, C\ —
AC2, entonces de acuerdo al Lema 1.4 y al corolario 1.4,
al
a2
^3
h
b2 c2
C3
== Ü9
C3
= X
a2
a2
C3
= 0 >
Esto implica el siguiente corolario.
COROLARIO 1.5 Si en un determinante un renglón (o una columna)
es proporcional a otro renglón (o a otra columna) entonces tal vale cero.
EJEMPLO. Al calcular el determinante
1
1
4
0
3
12
1
4
16
=
1
1
4(1)
0
3
4(3)
1
4
4(4)
- 4
1
1
1
0
3
3
1
4
4
- 4(0) = 0
en virtud que el último determinante tiene dos renglones repetidos y se
anula.
OBSERVACIÓN. Sean Ai,/?i,7i números reales arbitrarios, entonces
-h Ai &i + /?i ci + 7ia2 ¿>2 C 2
«3 ¿>3 C3
-6iBi • 4- (Ai^i +.
«i bi c\ Ai /3i 7i
tt9 L?2 C2 4~ Ü2 t?2 ^2
tt3 ^3 C3 fl3 ^3 C3
Resumimos la discusión previa en el siguiente:
71 Cx
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1.4 Determinantes de orden tres 29
COROLARIO 1.6 Si en un determinante un renglón (o una columna)
los elementos son sumas, entonces tal determinante puede ser descompuesto
como la suma de los determinantes de los sumandos correspondientes (res-
petando factores).
EJEMPLO. Calcular el determinante
4 5 6
1 0 1
- 1 1 0
< Claramente se puede descomponer en la siguiente cadena.
4
1
1
5
0
1
6
1
0
=
2 + 2 2 + 3 3 + 3
1 O 1
- 1 1 O
-u 0 1
1 O
2 3
1 O
2
1
- 1
+ -3
2
0
1
3
1
0
+
2 3 3
1 O 1
1 1 O
1 1
- 1 0
= (2(-l) + 3 - 2) + (3 - (2 - 3)) - (-1) +4 = 3
donde los determinantes en la última suma se han calculado, el primero
desarrollando por la primer columna, y el segundo por su segunda columna.
COROLARIO 1.7 El valor del determinante no cambia cuando a un
renglón (o una columna) se le agregan proporcionales de otro renglón (co-
lumna) paralelo.
< Sea A e R un escalar arbitrario, entonces, ya que un determinante
con un renglón repetido es cero, tenemos que
0-2 ^2
a-3 b3
a2
C3
±X
62 C2
&2 C2
0.2
as
=
b\ C\
62 C2
¿>3 c 3
ai ± AÍ
Q>2
+ Q>2
«3
O2 C2
C3
± A62 Ci ± AC2
62 C2
í>3 C3
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30 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
Todas los resultados enunciados se llaman transformaciones elementa-
les de los determinantes.
EJEMPLO. Calcular el determinante
1 2 3
2 1 2
3 2 1
O Con arreglo al Colorario 1.7 esto se puede calcular por la cadena de
igualdades
1 2 3
2-2(1) 1-2(2) 2-2(3)
3-3(1) 2-3(2) 1-3(3)
1
2
3
1
0
0
2
1
2
2
- 3
- 4
3
2
1
3
- 4
- 8
-3 - 4
-4 - 8 = 24 - 16 = 8 O
Estos resultados sobre transformaciones elementales de los determi-
nantes se pueden generalizar para órdenes (dimensiones) más grandes.
Aquí hemos detallado la teoría apenas para órdenes 2 y 3.
Tenemos el siguiente resultado para el cálculo del del determinante de
un producto de matrices cuadradas.
TEOREMA 1.4 (determinante de un producto) Sean A = A-¿x-¿,
B = #3x3 dos matrices cuadradas de 3 x 3, entonces
\AB\ = \A\\B\
Esto es, el determinante de un producto es el producto de los determinantes
< Es un cálculo directo y omitimos su demostración O
EJEMPLO. Sean las matrices
A — B =
verificar la igualdad \AB\ = \A\\B\.
< En el anterior ejemplo se calcularon los determinantes
1 2 3
2 3 1
3 1 2
\B\ =
1 2 3
0 3 1
0 1 2
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1.5 Inversa de una matriz 31
de donde \A\\B\ = ( —18)(5) = -90
Por otro lado,
AB =
cuyo determinante se calcula
1
2
3
2
3
1
3 \
1
2 /
/ 1
o
1 0
2
3
1
3
1
2
AB\ =
1 11 11
2 14 11
3 11 14
1 11 11
2 14 11
3 11 14
1 11 11
2 - 2 ( 1 ) 14-2(11) 11-2(11)
3 - 3 ( 1 ) 11-3(11) 14-3(11)
1 11 11
0 - 8 -11
0 -22 -19
- 8 -11
-22 -19
= 8(19) - 11(22) = 152 - 242 = -90
que prueba la igualdad mencionada. \>
1.5 Inversa de una matriz
Damos una forma de calcular la inversa de una matriz cuadrada de 2 x 2,
así como una condición necesaria y suficiente de su existencia.
Una matriz cuadrada
A = A2X2 =
es invertible si existe una matriz
B — £?2x2 =
tal que / = AB = BA, donde
a b
c d
x y
z w
T 1 0
0 1
es la matriz identidad de 2 x 2.
Se identifica B — A~~l y se llama matriz inversa de A.
T E O R E M A 1.5 Si A = A2X2 es tal que \A\ / 0, entonces A es invertible.
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32 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
<] Buscamos una matriz de 2 x 2
x y
z w
tal que / = BA, es decir, buscamos números reales x, y, z, w tales que
1 0
0 1
x y
z w
a b
c d
ax + cy bx + dy
az + cw bz -f dit;
lo que nos lleva al sistema de ecuaciones lineales
ax + cy — 1
6x + dy = 0
az + cw — 0
bz-\-dw = I
Primeramente resolvemos , mediante el Lema 1.1, el sistema de 2 x 2
J ax -\- cy — \
\ bx + dy = 0
donde tenemos por hipótesis que P = ad - be ^ 0.
Al calcular los otros determinantes se obtiene
= d
1
0
a
c
d
1
0
= -b
lo que implica que
- 6
ad — be' D ad — be
En forma análoga, se obtienen las otras variables
—c —a
-, w =be — ad ad — be' be — ad ad — be
De esta manera, yl"1 la matriz inversa de A tiene coeficientes,
d ~
EJEMPLO. Sea la matriz
2 1
1 1
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1.6 La regla de Cramer 33
<] Calculamos el determinante de A, obteniendo
\A\ = 2 1
1 1
y por el teorema 1.5, A es invertible, y su inversa, A !se calcula
^ _ _ •
1
Veriftcamos esta afirmación realizando el producto de las matrices
AA~l =
2 1
1 1
1 - 1
- 1 2
1 0
0 1
= / >
1.6 La regla de Cramer
En esta parte generalizamos el resultado sobre la solución de un sistema de
ecuaciones lineales obtenido en el Lema 1.1, para sistemas lineales de tres
ecuaciones con tres incógnitas.
Consideremos ahora el sistema de tres ecuaciones lineales con coefi-
cientes reales con tres incógnitas x,y,z
a,\x + b\y + c.\z = d[
Ü2X + b<).y + C'2Z — d'2
a-¿x 4- b:iy 4- c:iz = d:i
<3 I n t r o d u c i m o s , d e i g u a l f o r m a q u e p a r a l o s s i s t e m a s l i n e a l e s d e 2 x 2
l o s d e t e r m i n a n t e s
D =
D,=
ai
a2
di b\ c\
d-2 ^2 C 2
d-s 63 c 3
= di-Ai +f/2^2 +d;^4;3
D 2 -
ai di ci
a2 d2 c2
ai 61 di
a2 62 <̂ 2
a¿ b¿ d¿
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34 Sistemas de ecuaciones, matr ices y de terminantes
Si multiplicamos el primer renglón del sistema por 4i? el segundo
renglón del sistema por A>>, el tercer renglón del sistema por A-¿, obte-
nemos que
<iiA[X + b\Aiy + c.\Aiz = diAi
(l-yAoX + 1)2 A2V + C2A2Z = í/2^2
a:Ji4:{;r + 6:{Í43;Í/ + c-¿A-¿z = d¿A3
Así, ni sumar los miembros derechos e izquierdos respectivos se obtiene
(a,.4i + a2A2 + Í / . ^ ; 0 ^ + (^1^1 + b'iM + b-¿A3)y -f ( c ^ ! -f
El colorado 1.3 implica que la anterior igualdad se escribe como
Dx + 0;«/ + 0¿ = Dx
De donde, si D ^ 0, entonces, al despejar x, se consigue el valor
De igual furnia, podemos obtener y, z mediante un procedimiento simi-
lar (suponiendo que D / 0).
Resumimos la anterior discusión en el siguiente resultado.
TEOREMA 1.6 (Regla de Cramer) Para el sistema lineal de tres
ecuaciones con tres incógnitas dado, se tiene una tripleta de soluciones
dadas por las igualdades
X~ D' V~~ D1 "~ D
suponiendo que D ^ 0.
EJEMPLO. Resolver, utilizando La regla de Cramer, el sistema de ecua-
ciones
x + 2y + 3z = 1
2x + 3y + z = 0
3x -h y + 2y = 0
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1.6 La regla de Cramer 35
< Calculamos los determinantes respectivos.
D =
1
2
3
2
3
1
3
1
2
=
1 2 3
2-2(1) 3-2(2) 1-2(3)
3-3(1) 1-3(2) 2-3(3)
1 2 3
0 - 1 -5
0 - 5 -7
- 1 - 5
0 í
1 2 3
O 3 1
O 1 2
1 1 3
2 O 1
3 0 2
= 7-25 = -18/0
= 1
3 1
1 2 =6-1=5
Dz =
1 2 1
2 3 0
3 1 0
= - 1
i
2 1
3 2
2 3
3 1 = -7
Por La regla de Cramer se obtiene finalmente que
Dx 5 Dv - 1 1 Dz - 7
x = -18 2/= T T =D -18 18 D
7
18
A continuación, iniciamos el estudio de aquellos sistemas de ecuaciones
de 3 x 3 (tres ecuaciones por tres incógnitas ) donde el determinante del
sistema se anula, pero se obtienen soluciones imponiendo una condición
adicional.
Consideremos el mismo sistema inicial
a\x + b\y -h c\z = d\
a2x -f b2y + c2z = d2
a3x -f b3y + c3z = d3
pero, supóngase que en este caso el determinante principal se anula, esto
es,
D = a2 b2 c2 = 0
Supóngase, además, que el determinante tiene el menor de 2 x 2
ai bi
a2 b2
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36 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
Consideremos entonces el sistema de 2 x 3 dado por las dos ecuaciones
primeras del sistema
(R): a\x + + c\z =
a2x -f b2y 4- c2z — d2
Tomamos a la variable z como un parámetro ¿, es decir, hacemos z — t
v resolvemos el sistema de 2 x 2
-f ¿i?/ = di — ci¿
a2x -f 2̂2/ — d2 — c2t
mediante El método de Cramer, en virtud que el determinante principal
del sistema D — aib2 — a2bi no se anula, por hipótesis.
Calculemos los otros determinantes,
n —
Uy —
di
d2
bi
b2
ax
d2
—.Clt
-c2t
c,
c2
J
1
d i -
d2
b2
+
di
-d2
Clt
c2t
di
d2
h
b2
ai
a2
b2
= A3t +
di
d2
- c 2
di
d2
ai
0-2
bi
b2
bi
b2
-Ci
- c 2 t-
« i í - f
ai di
a2 d2
= B3t +
ai di
de donde, por El método de Cramer, las soluciones de tal sistema (R)
vienen dadas por
A3t+
D
di
d2
D
bi
b2
a2
A3t+
di
d2
di
d2 b2
y J.
Afirmamos que estas soluciones resuelven la tercera ecuación también
cuando el determinante
ai b\ di
a 2 b2 d2
a3 63 ds
= 0.
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1.6 La regla de Cramer 37
En efecto, al sustituir los valores de x, y y z, se tiene,
-\-c3z = a3
* A3t +
\
di h
d2 2̂
c3
\
I
+ h
f B3t +
\
ai di
a2 d2
C3
•c3í
03^43* + b3B
c3
a3
di h
d2 b2
3Í+C3C3Í , a 3
+ 63
ai di
di 61
d2 b2
+ 63
c3
-d3
al 1̂
a! <¿1
tí 
tí
61
> 02
O!
a2
a3
b2
b3
di
d2
d3 d3Q3^3
c3 c3 c.
61 di
a2 b2
63 d3
= d3.
ai
a2
« 3
bi
b2
b3
c2
C3
y
a i
«2
« 3
bi
b2
63
d i
d2
d3
El hecho de que ambos determinantes
D =
se anulan, se entiende, según el cálculo anterior, de que el sistema inicial de
3 x 3 es compatible. Para este caso, las soluciones de tal sistema vienen
dadas por la tripleta mencionada.
EJEMPLO. Resolver el sistema de ecuaciones
< Calculamos primeramente el determinante principal
1
1
2
1
- 1
0
1
3
4
— 2 1 13 4-4
1
1
1
- 1D =
luego verificamos que tiene el menor
1 1
= 2(4)+4(-2) =
D =
1 -1
= -1.-1 = -2^0.
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38 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
Posteriormente, para verificar la compatibilidad del sistema calculamos
(si se va a utilizar z — t como parámetro) el determinante
1
1
2
1
- 1
0
1
- 2 = 2 1 1
- 1 - 2
1 1
1 - 1
Según el método sugerido, consideramos el primer par de ecuaciones
(donde D / 0) y hacemos z — t, obteniendo el sistema
x + y =l-t
x - y = -2 - 3t
que resolvemos por El método de Cramer.
1 1 _ t 1
- 2 - 1 ~~ 3t - 1
A, =
1 -
- 2 -
1
1
t
3t
1
- 2
1
- 1
-t
-3t
= l-(-t-3t) = 1+4*
= - 2 - 3* - (1 - t) = - 2 - 3¿ - 1 + 1 = - 3 - 2í
De donde, las soluciones al sistema inicial son
x ~ D ~
^ _
y - D -"
_
-2 ~ 2
-3-2t _ 3
- 2 - ¿
donde í € M es un número real arbitrario. >
Lo anterior se puede resumir en el siguiente resultado.
LEMA 1.5 Para el sistema de ecuaciones lineales
a\x + biy + c\z — di
a2x + b2y + c2z = d2
+ 63j/ + c3z = d3
que satisface las condiciones,
a. El determinante principal se anula:
D =
ai
«3
c2
C 3
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1.7 Sistemas lineales homogéneos 39
b. El menor ( 2 x 2 ) de D,
c. El determinante de compatibilidad se anula.
«1 Oí
a 2 62
b:i d-¿
= 0
se tiene un sistema parametrizado de soluciones
x = A:it
d'2
Cli
a 2
C;
b\
b'i
(h
b2
z = t
donde t G M es un número real arbitrario.
Observamos que el método para resolver este tipo de ecuaciones de
3 x 3 consiste en ignorar la tercer ecuación y resolver paramétricamente el
sistema inicial de 2 x 3 . La tercer ecuación se resuelve automáticamente
con las soluciones del sistema de 2 x 3 , sabiendo que el determinante de
compatibilidad se anula.
1.7 Sistemas lineales homogéneos
En esta sección iniciarnos el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales
que no tienen términos independientes. A tales sistemas les llamaremos
homogéneos.
El procedimiento de solución de estos sistemas sigue el patrón de solu-
ción de los sistemas lineales en el Lema 1.5.
Considérese el problema por resolver del sistema homogéneo de 2 x 2
3x + 2y = 0
12x + Sy = 0
Es claro que cuando x = 0, y — 0 se tiene una solución del sistema,
llamada la solución trivial.
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40 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
Al tratar de utilizar La regla de Cramer (Lema 1.1) no tiene sentido tal
regla, pues
D =
3 2
12 8
= 24 - 24 = 0
Procedemos entonces a ignorar una de las ecuaciones y nos quedamos,
con la primera, por ejemplo,
3;r + 2.(y = 0
Al despejar //, obtenemos
y = —¿
Sea. / € R arbitrario y pongamos x — /, entonces y = ^ t .
Afirmamos eme estos valores de x y y (en términos de t ) también
resiné ven la otra ecuación.
< En efecto, por una simple sustitución se tiene
12.r -f 8y = 12/ + 8 ( — / I =• 12/ - 12/ = O >
El método utilizado en este ejemplo se puede generalizar para cualquier
sistema (2 x 2)
ax -f by — 0
ex + dy = 0
donde ad — be = 0.
Consideremos ahora el sistema homogéneo de dos ecuaciones lineales
con tres incógnitas
• b2y + c2z = 0
Una simple sustitución prueba que x = y = z = 0 es una solución de tal
sistema (solución trivial). Nos interesa encontrar soluciones no triviales
del sistema.
Para ello, supongamos sin pérdida de generalidad que z =̂ 0. Entonces,
del sistema
f ciix -tbiy + ciz = 0
(̂ Ü2X + b?y + coz = 0
se obtiene
f a.\x -h 612/ = -c\z
1 anx + b\y = —c2z
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1.7 Sistemas lineales homogéneos 41
o equivalentemente,
o bien,
a i x + b i
(12X-Í-62
= - c i
= - C 2
Poniendo 1; = j , u> = ^ se obtiene
CL\V -\- b\ W = —C\
CloV ~\- 62 W = — C2
que se resuelve por determinantes si D = a 162 — a^bi ^¿0.
<l Primeramente encontramos
ci\ b\ —c\
Q'2 6 2 — C2
la matriz principal del sistema. Después, calculamos los determinantes
asociados
Dw =
Ya que v = %-,w = %
- c 2 6;
ai - c
• = — C 1 6 2
tenemos entonces que
- - Ri y. — £21
z ~ D ' 2 ~ D
Por lo tanto, para que x, ?/, 2 sean soluciones del sistema, se deberá
cumplir la cadena de igualdades
t =
 x
 =
 z
 = V
Dv D Dw
para t € R. O
Se obtiene el siguiente resultado.
LEMA 1.6Todas las soluciones del sistema lineal homogéneo se obtienen
por
do77de í E R, 2/
D =
a2 &2
i -
7̂ 0, D v =
£>«;* = B3t
= Dt = C3t
—C\ b\
—C2 Ó2
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42 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
EJEMPLO. Resolver el sistema lineal homogéneo
í x -2y +3z = 0
\ Ax +5y -6z = 0
<I Formamos la matriz del sistema
1 - 2 - 3
4 5 6
y calculamos a que los determinantes asociados,
= 5 4 - 8 - 1 3
= -15 + 12 = - 3Dv
D
=
1
4
- 3
6
- 2
5
- 2
5
1 - 3
4 6
De esta manera, la solución se escribe
12 = 18
Para ilustrar, si t = 1, entonces x = —3, y = 18, z = 13 es solución del
sistema de ecuaciones.
Si t — y/2, se tendría en este caso que la tripleta x = —3>/2, y =
18\/2, z = 13v2 resuelve tal sistema. O
Consideremos ahora el sistema homogéneo de 3 x 3
b\y + c\z = 0
b2y + c2z = 0
a3x -f 63?/ -f c32 = 0
donde claramente x = y = z = 0es una solución trivial del sistema.
Nos interesa el caso cuando tal sistema tiene soluciones no triviales.
Procedemos a buscar tales soluciones no triviales mediante el método uti-
lizado para resolver, sistemas lineales en el Lema 1.5.
< Habíamos obtenido las ecuaciones
Dx = Dx, Dy = Dy Dz = Dz
en la discusión del Método de Cramer (Teorema 1.6).
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1.7 Sistemas lineales homogéneos 43
Para este caso
Dx =
lo que implica que
0 6i ci
0 b2 c2
0 b3 c3
Dx = 0,
= 0, Dv = 0, = 0
De aquí que, si al menos una de las variables x, y ó z es diferente de cero
tendríamos necesariamente que D — 0.
Recíprocamente si D = 0 entonces alguna de las variables x,y ó z
pueden ser diferentes de cero. >
Se obtiene entonces el siguiente resultado.
T E O R E M A 1.7 Para que un sistema lineal homogéneo de 3 x 3 tenga
soluciones no triviales es necesario y suficiente que D = 0.
Ahora supongamos que D = 0 y que hay un menor 2 x 2 de D diferente
de cero. Esto es, podemos suponer que
= D =
ai
c3
a2 b2
sin pérdida de generalidad.
Por el Lema 1.5 el sistema homogéneo tiene solución debido a que el
determinante de compatibilidad se anula, pues di = d2 = ds — 0
Por otro lado, del Lema 1.6, se tiene que el sistema homogéneo dado
por el par de ecuaciones
axx -f bxy -f C\z = 0
a2x 4- b2y + c2z — 0
tiene solución
x = b2 c2
t = A3t,
y = -
z =
ai
«2
z
d
02
h
b2
= C3t
Afirmamos que x, y, z soluciones de este sistema resuelven la tercera
ecuación.
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44 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
En efecto, al sustituir los valores de x, y, z se cumple
a3x + b3y + c3z = a3(A3t) + b3(B3t) + c3(C3t) =
= (a3A3 + 63B3 + c3C3)t = Dt = 0
debido a que D = 0 por hipótesis.
Por lo tanto,
x = A3t y = B3t z = C3t
para t G E. arbitrario resuelven el sistema lineal homogéneo de 3 x 3. D>
EJEMPLO. Consideremos el sistema
x + 2y - 3z = 0
2x - y + * = 0
3x + y - 2z = 0
< Ya que el tercer renglón de la matriz asociada es la suma de los dos
primeros tenemos que
1
2 -
3
=
2
-1
1
1
2
1
- 3
1
_2
2
- 1
2
1
2
1-h
- 3
1
- 3
+
2
1
2
2
2
- 1
2 - 1
2
- 1
- 1
- 3
1
- 3 + 1
- 3
1
1
= 0
pues en cada determinante se repiten renglones.
Por otro lado, el menor
1 2
2 - 1 = -1-4= -5/0,
lo que nos dice que para encontrar la solución, podemos considerar el par
de ecuaciones
x + 2y - 3z = 0
2x - y + z = 0
Utilizando el Lema 1.4 se tiene que
z —
2
- 1
1
2
- 3
1
- 3
1
1
2
í =
2
- 1
= (2 — 3)t = —í
í = - ( l + 6) = - 7 t
= - 5 í
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1.8 El método de Gauss-Jordán 45
es decir, la solución del sistema viene dado por la tripleta
donde t E R es un número arbitrario. \>
1.8 El método de Gauss-Jordán
En esta parte damos , otra metodología para resolver sistemas de ecuaciones
lineales, utilizando propiedades aritméticas de las matrices con entradas
reales. Como se observará, este método no apela en ningún momento a
los determinantes menores del sistema, ni al orden mismo del sistema, es
decir, el número de ecuaciones puede ser arbitrario, así como el número de
incógnitas que intervienen en el sistema.
EJEMPLO. Resolver el sistema de ecuaciones
3x + 2y + z = 5
x + y - z = 0
4x - y + 5¿ = 3
< Primeramente cambiamos el orden del sistema intercambiando las
primeras ecuaciones
x + y — z — 0
3x + 2y + z = 5
4x — y -f 5z = 3
Multiplicamos por tres la primera y la restamos de la segunda
3x + 2y + z = 5
3x + 3t/ - 3¿ = 0
-y + 4y = 5
obteniendo el par de ecuaciones
x + y-z = 0
-y + 4z - 5
Después, multiplicamos por la cuatro la primera del sistema inicial y la
restamos de la tercera del mismo
4x - y + 5z = 3
4x + 4y - 4z = 0
-5y + 9z = 3
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46 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
obteniendo así el sistema
x -f y — z — 0
-by -f 9z = 3
D e e s t a m a n e r a , h e m o s o b t e n i d o e l s i s t e m a n u e v o 3 x 3
en la cual la variable x no aparece en las ecuaciones segunda y tercera.
De éste, omitimos la primera y resolvemos el sistema 2 x 2
-y + Az = 5
-by + 9z = 3
que tiene sólo a las variables x, y.
Si multiplicamos por cinco la primer ecuación de este sistema y la resta-
mos de la segunda obtenemos
-by 4- 9z = 3
-5y + 20z = 25
0 - l l z = -22
De esta forma, nos queda entonces el sistema escalonado
cuyo número de variables va disminuyendo en cada ecuación.
Resolviendo la tercera ecuación final para 2,
-llz = -22
se obtiene que
22
z 2
-11
Al sustituir en la segunda ecuación escalonada el valor de 2, se tiene
que
5 = -y + 42 = -y + 4(2) = y + 8
de donde,
y = 8 - 5 = 3
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1.8 El método de Gauss-Jordán 47
Finalmente, se sustituyen los valores y — 3, z = 2 en la ecuación primera
del sistema escalonado y se obtiene,
lo que nos lleva a que x = — 1
Es decir, x — — 1, y = 3, 2 = 2 resuelven el sistema inicial. >
OBSERVACIÓN. Si del sistema inicial se crea la matriz principal
3
1
4
2
1
- 1
1
- 1
5
5
0
3
donde la última columna está formada por los elementos independientes
del sistema, tal proceso se logra también escalonando tal matriz mediante
operaciones elementales (como en los determinantes)
i t \ —* -*i25 -*̂ 2 —* -*¿1
1 1 - 1 0
3 2 1 5 | (3ñi - i?2)
4 - 1 5 3
(5ñ2 - R3)
3
1
4
2
1
- 1
1
- 1
5
5
0
3
Donde las expresiones R\ —> R2, R2 —> R\ definen la operación elemen-
tal de intercambiar los renglones primero y segundo en la primera equiva-
lencia de matrices. La operación de multiplicar por tres el primer renglón
y restarle el segundo para asignarlo al segundo rengón en la segunda equi-
valencia de matrices, se define por (3R\ — R2) —> R2- Análogamente, la
expresión (4/?i — R¿) —» R3 para la segunda equivalencia de matrices define
la operación de multiplicar por cuatro el reglón primero, restarle el tercero,
y asignar el resultado a la nueva matriz equivalente como un tercer renglón.
Las otrasexpresiones designan operaciones semejantes.
De la matriz escalonada se tiene el nuevo sistema
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48 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
que se resuelve hacia atrás como en el ejemplo anterior. O
E J E M P L O . Resolver el sistema lineal ( 5 x 3 ) ,
x + 2y + 3z = 14
3x + 2y + z = 10
2x + 3y + z = 5
< Vamos a utilizar el mismo método que en el ejemplo anterior, y para
ello formamos la matriz del sistema.
/ 1 2 3 14 \
3 2 1 10
1 1 1 6
2 3 1
1 1 0
5
3 /
/ 1 2 3 14 \
1 1 1 6
1 1 0 3
2 3 1 5
3 2 1 10
(R2-R1)
/ 1 2 3 14 \
0 - 1 -2 -8
0 - 1 - 3 -11
1 5 23
4 8 32
0 (4ñ2
/ 1 2 3 14 \
0 - 1 -2 - 8
0 0 1 3
0 15
0
/ 1 2
i i
0 0
o
3
-2
1
0
0
14 \
-8
3
1
0 /
Como se obtiene la ecuación (inconsistente) del cuarto renglón ñnal
0 = Ox 4- 0y + Oz = 1
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1.8 El método de Gauss-Jordán 49
el sistema no es compatible y, por lo tanto, el sistema inicial do 5 x 3 no
tiene solución. D>
EJEMPLO. Resolver el sistema de ecuaciones lineales (5 x 3)
x + 2y + Sz = 14
3x + 2y 4- 2 = 10
.r + ?y + 2 = 6
2;r + 3y - z = 5
x* -f y = 3
que se obtiene del sistema del ejemplo anterior al cambiar apenas el signo
de z en la cuarta ecuación.
< Formamos la matriz del sistema y utilizamos el método anterior pura
escalonar la matriz, como se muestra
/ 1
o
o
o
\ °
/ 1
3
1
2
1
/ 1
1
1
2
\ 3
3
3
2
7
2
1
1
3
2
14 \
11
8
23
3 2 /
2
2
1
3
1
14 \
3
6
3
1
1
- 1
0
14 \
10
6
5
R-2
1 10
i?,,
- R-d) {R2 - R4)
/ 1
0
/ 1
0
0
0
0 0
0 0
0 0
2
1
0
0
3
3
1
\ 0 0 0
14
11
3
-12
12
14
11
3
-12
0
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50 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
/ 1 2 3 M \
0 1 3 11
0 0 1 3
0 0 0 0
\ 0 0 0 0 /
que nos lleva, al sistema escalonado de 3 x 3 ,
y el cual de inmediato nos da el valor de z.
Al sustituir el valor de z en la segunda ecuación, se tiene
y/+ 3(3) = 11
de donde, y = 2.
Finalmente, si se sustituyen estos valores en la primer ecuación de éste
sistema último se tiene
14 = .r + 2(2) + 3(3) = x + 13
con lo que .v = 1.
Por lo tanto, la solución del sistema inicial de 5 x 3 viene dado por
x= 1, y = 2, z = 3 O
Al método mostrado en los ejemplos precedentes se le llama El método
de Gauss-Jordán para la solución de un sistema de ecuaciones de (ra x/j).
Tal método consiste en escalonar mediante operaciones elementales a
una matriz para obtener una matriz equivalente que defina un sistema de
ecuaciones lo más simple posible.
EJEMPLO. Resolver mediante El método de Gauss-Jordán el sistema de
ecuaciones
x + 5y + 4z + 3w = 1
2x -y + 2z -w = 0
5x + 3y + Sz + w = 1
<3 La matriz del sistema se escalona mediante el siguiente proceso:
- R2) - R3) - Rs
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Casa abierta al tiempo
1.8 El método de Gauss-Jordán 51
(2R2 - R3)
Esta última matriz define al nuevo sistema de 2 x 4
+ 5y + 4z -f 3w = 1 '
-lly + 6z + 7w = 2
Resolvemos tal sistema por El método de Cramer, al efectuar el despeje
de términos en las variables x, y.
+ 5y = 1- (4z + 3w)
lly = 2 - (62 + Iw)
Primeramente, calculamos los determinantes
D = 5
11 = 11
Dr =
1 - (4z 4- 3w) 5
2 - (62 + Iw) 11
- {Az + 3w)] - 5[2 - (62 -f 7IÜ)]
= 1 - 142 + 2w
Por lo tanto,
x=^
y D
1
0
=
1
2
1 -
2 -
- ( 4 2
- (62
142 H
11
- 6 2 -
11
+ 3w)
+ 7^)
[-2w
7w
=
1
2
1
2-62
14
6
i r
2
11 11
7
Para dar una solución parametrica al sistema, utilizamos dos varia-
bles auxiliares poniendo: w = t¿, 2 = v, lo que nos lleva a que la solución
biparamétrica se escriba
w = u
Z = V
x- ±-^v
y v
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52 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
El método de Gauss-Jordan involucra el concepto de matrices seme-
jantes.
DEFINICIÓN. Sea A = (a^) una matriz real de (n x m), por una ope-
ración elemental en A entendemos la suma en alguno de sus renglones
(columnas) de un múltiplo de un renglón paralelo (o columna paralela),
un intercambio de renglones (o de columnas), o suponiendo que ningún
renglón (o columna) se multiplicó por un escalar el producto de un renglón
(o columna por un escalar).
EJEMPLO. En la matriz
se multiplica el primer renglón por dos y se resta al segundo renglón asig-
nando el resultado al segundo renglón definido por (2R\ — R2) —> #2? para
obtener la matriz
/ 1 5. 4 3 1 \
0 9 6 5 2
\ 5 3 8 1 1 /
como en el ejemplo precedente.
Los ejemplos anteriores que muestran El método de Gauss-Jordan ilus-
tran un buen número de operaciones elementales en las matrices.
DEFINICIÓN. Dos matrices del mismo orden (m x n) se dicen ser se-
mejantes si una se obtiene de la otra por un número finito de operaciones
elementales.
Cuando una matriz cuadrada A = Anxn es semejante a otra matriz
B — BnXn, suponiendo que ningún renglón (o columna) se multiplicó por
un escalar, él corolario 1.7 implica el siguiente resultado.
LEMA 1.7 Si A es semejante (como se mencionó) a B, entonces sus
determinantes difieren apenas por un signo.
<3 Esto se sigue de que pudo haber intercambio de renglones. D>
De aquí se obtiene el siguiente resultado.
COROLARIO 1.8 Si A es semejante (como se mencionó) a B y en las
operaciones elementales no hay intercambio de renglones, entonces, sus
determinantes coinciden, esto es,
\A\ = \B\
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1.8 El método de Gauss-Jordan 53
EJEMPLO. Consideremos la matriz
A =
< Después de las operaciones elementales siguientes, se tiene
/ l 2 3 \
A = I 2 1 2 I (2fíi - ü2) -+ i?2, (3ñi -> fl3) -
Con lo que
1
2
3
2
1
2
3
2
1
=
1 2 3
0 3 4
0 4 8
4 8
3 2 = 24 - 16 =
Esto ya se ha calculado en ejemplo posterior al corolario 1.7 mediante
la cadena de igualdades
1
2
3
2
1
2
3
2
1
—
1 2 3
2-2(1) 1-2(2) 2-2(3)
3-3(1) 2-3(2) 1-3(3)
1 2 3
0 - 3 -4
0 -4 - 8
-3 - 4
-4 - 8
3 4
4 8 = 24 - 16 =
Estas igualdades involucran (salvo signos) a las matrices semejantes,
donde no se ha alterado por factor alguno a los renglones, ni se han per-
mutado. D>
Utilizando El método de Gauss-Jordan para escalonar una matriz, pro-
cedemos a encontrar un método del cálculo de inversa multiplicativa de una
matriz cuadrada, cuando es posible.
Consideremos un sistema de ecuaciones de (3 x 3)
a\X + b\y + c\z = á\
a2x + b2y + c2z = d2
a3x -f &3y +
 C3Z = ^3
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54 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
Debido a la regla de multiplicación de matrices, tal sistema se puede
escribir matricialmente como
ai bi
^ 3 ^3 C3
Esto es, si definimos por
( h \
a2 b2 c2 , X =
«3 h c3 J
lo anterior se escribiría simplemente por la ecuación matricial
AX = d
Así, el sistema de ecuaciones inicial se transforma en laecuación matri-
cial mencionada.
EJEMPLO. Considere el sistema de ecuaciones lineales
2x + 3y- z = - 1
6x - Iz + 2z = 0
\x-Vy - 11 z = -2
Este sistema se puede escribir como la ecuación matricial
Consideremos entonces un sistema matricial
AX = d
asociado a un sistema de ecuaciones, donde A es una matriz cuadrada de
3 x 3 .
Si existiera una matriz inversa B de A, esto es, una matriz B tal que
entonces del sistema matricial se obtiene, al multiplicar por B la izquierda
de cada miembro, la relación
BAX = Bd
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1.8 El método de Gauss-Jordán
Esto nos lleva, en virtud que DA — / , a que se -cumpla la, igualdad
IX = Bd.
Por otro lado, la matriz identidad / satisface que
/ 1 o o \ / , \ / ,• \
IX = 0 1 0 \ \ y = [y = A"
V 0 0 1 ) \ z j \z I
lo que nos lleva finalmente a la ecuación matricial
X = Dd
que indica los valores de x,y,z que resuelven el sistema lineal dado. Esto
pues, si la matriz D se escribe por
( «i ft\ 7ia2 íh 72
«3 #3 73
entonces la ecuación matricial X = Dd que resuelve? el sistema se escribe
como
x \ / «! /?! 7 l \ / d{
2/ = ^2 íh 72 I d2 = ^2^1 + foh
o equivalentemente,
x = a\d\ 4-
y = a2di + ft2d2
Esta metodología de solución de un sistema de (3 x 3) nos conduce
al problema de calcular la matriz inversa D de la matriz principal del
sistema .4, en caso de que tal matriz inversa exista. Una condición de
existencia de la matriz D se obtiene a través de la generalización natural
del teorema 1.6 para el caso de matrices 3 x 3 .
T E O R E M A 1.8 Si A = i43 x 3 es tal que su determinante no se anula:
\A\ ^0, entonces A es invertible. Esto es, existe una matriz D = £3x3 tal
que AD — I — BA, donde I es la matriz identidad de 3 x 3 .
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56 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
EJEMPLO. Considere la matriz
A =
1 2 3
1 0 8
<\ Un cálculo directo nos muestra que
i
2
1
2
5
0
1
3
8
=
2
5
3
3
+ 8 1
2
2
5
lo que nos dice que .4 es una matriz invertible >
EJEMPLO. Considere la matriz
1
2
- 1
6
4
2
1
- 1
5
< Al calcular su determinante mediante operaciones elementales se tiene
1 6 1
2 1 - 1
- 1 2 5
1 4
0 8 9 = 0
0 8 9
lo que hace que A no sea una matriz invertible. >
Analicemos por un momento el sistema matricial asociado al sistema de
ecuaciones
AX = d
y la ecuación matricial de soluciones
X = Bd
Estas podrían escribirse por la pareja
AX = Id
IX = Bd
donde / es la matriz identidad de 3 x 3.
Un procedimiento general del Método de Gauss-Jordan para resolver el
sistema nos llevaría a considerar la matriz siguiente de 3 x 6
ai &i ci 1 0 0
M = \ a2 b2 c2 0 1 0
c3 0 0 1
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1.8 El método de Gauss-Jordan 57
y mediante operaciones elementales llevarla (según la segunda ecuación
matricial) a la matriz de 3 x 6:
/ 1 0 0 a i (3i 7i
N = I 0 I 0 a2 02 72
\ 0 0 1 a3 03 73
que resolvería el sistema de ecuaciones dado.
En otras palabras, dada una matriz ^3x3 que se pueda invertir, el pro-
ceso de llevar a la matriz M en la matriz N mediante operaciones elemen-
tales nos permite calcular la matriz inversa B de A, cuando se considera la
submatriz 3 x 3 de JV que se conforma desde la cuarta columna:
Este método nos permite entonces calcular la inversa de una matriz
cuadrada si es invertible. En el caso de que no sea invertible la matriz
inicial, el método mismo nos lleva a un absurdo durante los cálculos de las
operaciones elementales. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos.
EJEMPLO. Calcular la inversa de la matriz
A =
< Ya hemos calculado |J4| = —1, lo que indica que A es invertible.
Construimos la matriz de Gauss-Jordan y procedemos a realizar opera-
ciones elementales.
1 2 3 1 0 0
2 5 3 0 1 0 I (2fii - R2) -> fi2,
1 0 8 0 0 1
(~R2) — R2
1 2 3 1 0 0
0 1 - 3 - 2 1 0 ) (2R2-R3)-+R3
0 2 - 5 1 0 - 1
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58 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
1 2 3 1 0 0 \
0 1 - 3 - 2 1 0 (-fl3) -> R3
0 0 - 1 - 5 2 1 /
1 2 3 1 0 0 \
0 1 - 3 - 2 1 0 I (3R3 + fí2) -> -R2, (3#3 - ñ i ) - • ñ i
0 0 1 5 - 2 - 1 /
1 - 2 0 14 - 6 - 3
0 1 0 13 - 5 - 3 | (2#24- fíi) -> i?!
0 0 1 5 - 2 - 1
- 1 0 0 40 -16 - 9
0 1 0 13 - 5 - 3 | (-/?!) -^ i?!
0 0 1 5 - 2 - 1
1 0 0 -40 16 9
0 1 0 13 - 5 - 3
0 0 1 5 - 2 - 1
Esto implica que la matriz inversa A~l de matriz dada A es
-40 16 9
A'1 = ( 13 - 5 - 3
5 - 2 - 1
Dejamos al lector verificar que a~lA = / D>
Este procedimiento sirve también para calcular inversas de matrices de
2 x 2 , como lo ilustra el siguiente ejemplo.
EJEMPLO. Sea A la matriz de 2 x 2 dada por
1 1
O Ya hemos calculado su determinante, obteniendo |̂ 4| = 1, lo que le
hace una matriz invertible.
Construimos la matriz de Gauss-Jordán y le aplicamos operaciones ele-
mentales para calcular A~l\
1 1 0 1 J ñ l ~ R2
2 1 5
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1.8 El método de Gauss-Jordán 59
1 1 0 1 \
0 1 - 1 2 ; (^2-rtlJ-iíl
- 1 0 - 1 1
0 1 - 1 2
/ 1 0 1 -1
~ v o 1 - 1 2
Esto nos dice que la matriz inversa de A es
- 1
EJEMPLO. Consideremos la matriz
A =
<\ Ya hemos calculado \A\ = 0 , lo que nos dice que A no es una matriz
invertible.
Usemos El método de Gauss-Jordán para tratar de conseguir una in-
versa de A.
1 6 4 1 0 0
2 4 - 1 0 1 0 ) (2ñi - R2) -> R2,(Ri +R3) -» #3
- 1 2 5 0 0 1
1 6 4 1 0 0
0 8 9 2 - 1 0 ) (R2- R3) -> R 3
0 8 9 1 0 1
1 6 4 1 0 0
0 8 9 1 0 0
0 0 0 1 - 1 - 1
Ya que el renglón tercero de esta última matriz tiene ceros en sus tres
primeros lugares, no es posible conseguir en adelante una matriz de forma
que nos permita continuar el proceso.
De aquí que el mismo Método de Gauss-Jordán pone obstrucciones por
sí mismo para calcular una inversa de A, si es que A no es invertible. D>
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60 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
Ejercicios.
1. Dadas las matrices
- 1 0 1 3 \ / 4 5 3 2 1
A= I - 2 1 0 - 1 , 5 = 1 3 4 0 - 1
0 1 - 1 2
3x4
- 2 0 3 1 0
3x4
Realizar las operaciones matriciales A - B, B - A, 2A, —6B, 2A - 3B, (A +
B)\Al - 2B\ Bl - 2A\Al 4- \B*.
2. Dadas las matrices
3x3
a. Calcular C2, C3, DC, CDl,DE, ED, {DE)2, (ED)2.
b. Si A y B son como el ejercicio 1, calcular CA,AlC,DCA,DCB.
3. Calcular, usando el teorema 1.5, la inversa de la matriz indicada.
3 - 1 \ „ / 4 2
3x2
A =
1 0 0 3
4. Calcular los siguientes determinantes
a. Mediante la segunda columna,
b. Mediante el tercer renglón.
c. Mediante la primera columna.
2 1 1
0 3 1
4 - 1 1
3 - 1 0
1 2 - 1
0 4 3
0 - 1 1
4 3 2
1 6 3
d. Mediante la primera columna.
1 0 0
0 eos tp - sin (p
0 sin ip eos (p
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1.8 El métodode Gauss-Jordán 61
donde <¿> es un ángulo arbitrario.
e.
2 3 4
2 a + 3 b+A
2 c+3 d+4
f.
1 x x
1 2/ 2/2
1 z z2
Ai O O
O A2 O
O O A3
h.
Ai 1 O
O A2 1
O O A2
5. Un número real A se llamará un valor propio de la matriz cuadrada
^3x3(0 ^2x2) si satisface la ecuación característica
det(A - XI) = 0
donde / es la matriz identidad. Calcular los valores propios de las siguientes
matrices
a.
2 1
1 1
b.
-1
6. Calcular los determinantes de las matrices dadas.
7. Resolver mediante El método de Cramer los sistemas,
a.
5x — y — z = 0
r -f- 2y + 3z = 14
r _i_ ̂ ?/ 4-22 — 16
b.
c.
x + 3y - 6z = 12
z + 2y + bz = -10
2x + 5y + 2z = 6
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62 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
d.
x 4- y 4- z — O
3x 4- 6y 4- 5z = O
x 4- 4y 4- 3z = O
8. Resolver mediante El método Gauss-Jordan los sistemas
a.
3xi 4- 2x2 = 4
X\ — 4x2 — —1
7xi 4- 10x2 = 12
b.
c.
d.
e.
f.
g.
3xi — 16x2 = —5
xi 4- 5x2 4- 4x3 = 1
2xi 4- 10x2 4- 8x3 = 3
3xi 4- 15x2 4- 12x3 = 5
X\ — 3x2 4- 2x3 = — 1
x\ 4- 9x2 4- 6x3 = 3
x\ + 3x2 4- 4x3 = 1
2xi + x 2 - x3 = 5
xi -2x 2 4-3x3 = -3
lx\ 4- x2 — X3 = 10
2x\ — x2 4- 3x3 4- 2x5 = 1
xi 4- X2 — X3 4- X4 = 4
Xi — X3 4- 2x4 = 6
3xi — X2 4- X3 — X4 = 0
3xi - x2 4- x3 4- 2x5 = 18
2xi - 5x2 4- x4 4- x5 = -7
Xi — X4 4- 2x5 = 6
2x2 4- x3 4- x4 - x5 = 10
xi 4- x2 - 3x3 4- x4 = 1
4xi 4- 2x2 + 3x3 = -2
2xi 4- 8x2 - x3 = 8
9xi 4- x2 4- 8x3 = 0
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1.8 El método de Gauss-Jordán 63
9. Mediante El método de Gauss-Jordán, calcular las matrices inversas (si
las hay) de
/ 1 0 0 0 \
1 1 0 0
1 1 2 0
\ 1 1 2 4 /
h.
/ 1 0 0 0 \
0 2 0 0
0 0 3 0
\ 0 0 0 4 )
10. Una matriz A se llamará ortogonal si satisface que A1 A — I. ¿Cuáles
de las siguientes matrices son ortogonales?
a.
0 - 1
1 0
b .
2 1
- 1 0
d.
- 1 2
2 1
c.
f.
2
1
_ 2
0
1
—;
2
1 \
)
0
- 1
0
1
0
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Capítulo 2
Vectores en M2 y TD)3
2.1 Sistemas de coordenadas en M2 y M3
Comenzamos ahora el estudio de la geometría de los espacios IR2 y R3
proviéndolos de un sistema de coordenadas cartesiano.
A cada punto, p en un espacio real se le asocia una n-ada de números
de una manera binívoca
p < • (x i ,x 2 , - - - , x n )
El número entero n se llamará la dimensión del espacio.
La asociación se llamará un sistema de coordenadas cartesiano del
n-espacio, denominado Rr\
El número n de coordenadas dependerá de la situación de los puntos de
un espacio determinado. Esto es, para asignarle una colección de números
a un punto p, debemos identificar primeramente la situación del punto y el
espacio donde está contenido. Tal asociación debe ser dada de manera que
a cada punto en un espacio determinado le corresponde una única colección
de números #i, • • • , xn, y viceversa. Esto es, dada una n-nada de números,
existe un punto único p en tal espacio con el cual está asociado.
EJEMPLO.
Para un espacio unidimensional n = 1, se necesita apenas una coorde-
nada,
R1 : p < > xi
Para un espacio bidimensional n — 2, se necesitan dos coordenadas,
R 2 : p^>(Xx)
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66 Vectores en R2 y
Para un espacio tridimensional n — 3, son necesarias tres coordenadas,
R3 : p< >(xux2,x3)
Para el espacio cuatridimensional n — 4, se necesitan cuatro coordena-
das,
: p
La figura 2.1 ilustra este ejemplo para n = 1, 2, 3.
(-1.2)
-1
Figura 2.1: Coordenadas en Rn para un entero positivo n pequeño.
La localización de un punto p con sus coordenadas asociadas #i, • • • ,xn
en un espacio real Rn se hace mediante un sistema rectangular de ejes
que tienen coincidencia en el punto común 0, y que están graduados por
unidades escogidas previamente.
EJEMPLO.
a. El punto ( — 1,2) describe de manera única a un punto en el plano R2.
La manera de localizarlo se muestra en la figura 2.1.
b. El punto (1,-1,2) describe una posición en el espacio R3. La figura 2.1
muestra la forma de localizarlo en el espacio.
c. El punto (0,-1,1,4,-3) describe de forma única una posición en el
espacio real de dimensión 5 (R°).
EJEMPLO. Al estudiar un gas ideal se toman las variables principales
P — Presión, V = Volumen, T — Temperatura.
< De esta manera, cada estado del gas se representa por una tripleta
{P,V,T)
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2.1 Sistemas de coordenadas en R2 y R;i 67
que corresponde a un punto en R'1. \>
EJEMPLO. Para estudiar un sistema de cuerpos puntuales que se mueven
en el espacio R'\ es necesario determinar la posición de los cuerpos mediante
un sistema de coordenadas. Así, si tenemos los cuerpos m\, ///•_>, • • • • ttin. a
cada uno le corresponde una posición en Rf dada, por
respectivamente, en cada instante del movimiento. La figura 2.2 ilustra
esta situación.
r
x2
Figura 2.2: Cuerpos moviéndose (in el es])acio tridimensional.
A continución, le damos una estructura algebraica a R" definiendo
dos operaciones: la suma de puntos, y el producto de un número real
(escalar) por un punto de Rn .
Dados dos puntos p = (xi, x2, • • • i xn), q = (vi, Vi, • • * •» Vn)i
 (>li v\ espa-
cio Rn, se define el punto p 4- q como aquél punto con coordenadas
p 4- q = (xi 4- 2/i, x2 4- y2, • • • , ̂ « 4- ?/„.)
EJEMPLO. En el plano R2, si p = (-1,2) . q = (3,7) entonces el punto
p 4- ̂ E R2 es aquél que se obtiene mediante
p + ry = ( -1 , 2) 4- (3, 7) = ( -1 4- 3, 2 4-7) = (2, 9)
EJEMPLO. En el espacio R3, si p = (-1,4,2) y q = (TT. \[2, i ) , se tiene
que
A . . <Si _
Dados, el punto p = (x¡, 2:2, • • • , xn) en R
r', y el escalar A. se define el
nuevo punto Xp como aquél en Rn con las coordenadas
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68 Vectores en R2 y R3
EJEMPLO.
a. Sean p = (-1,2, \,í) en R4 y A = 3, entonces
Xp = 3 ( - l , 2 , - , i) = (-3,6,1,12)
o
h. Sran p = (1,-1,6, yrS) en R
5 y A = - 5 entonces,
Ap = ( -5 ,5 , -30 , -1 , -40 )
Las operaciones definidas de esta manera tienen propiedades heredadas
de las propiedades de los números reales. Esto se observa en el siguiente,
L E M A 2.1 Si p[,P'2*(ji,(i2 £ R" y A,/¿ £ R se cumplen las igualdades
a.
(pi + P'i) + (¡i = P\ + {P2 + Qi)
b.
P\ +(1\ = q\ 4-Pi
c.
d.
(A +
e. 5/ O = (0, • • • , 0) es el punto en R" con coordenadas nulas, entonces,
para todo punto p G R" .se cumple que
p-hO-p
f. 5/ se toma A = — 1, entonces al definir por ( — l)p = —p, se cumple
< Son cálculos directos realizados mediante las coordenadas.
Por ejemplo, para demostrar la propiedad b., si p\ = (x\,X2, • • • ,#„),
v 9i = (2/i»2/2. • • • . 2/u), entonces
, 2/2 ' " "
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