Cálculo Integral: Diferenciais

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Diferenciales
CAPíTULO
1
Introducción
En este capítulo analizaremos la diferencial de una 
función. Para resolver integrales es necesario aplicar un 
procedimiento llamado cambio de variable, en el cual se requie-
re calcular la diferencial de la expresión seleccionada. La integral 
∫ cos 2xdx se resuelve por cambio de variable.
Consideraciones generales
En cálculo diferencial aplicamos una regla general de derivación conocida como 
derivada por definición. Con esta regla podemos obtener las fórmulas para derivar 
todo tipo de funciones.
En cálculo integral, sin embargo, no existe una regla general que se pueda apli-
car para integrar las diferenciales. En realidad, cada caso requiere un trato especial. 
La integración es un proceso de ensayos; por esa razón, en este libro te presentare-
mos diversas fórmulas y métodos para facilitar su estudio.
Los científicos y los matemáticos que usan integrales en su trabajo utilizan con 
frecuencia las tablas de integrales. Sin embargo, muchas de las fórmulas que apare-
cen en ellas se obtuvieron a partir de los métodos de integración que analizaremos 
en este texto. Por eso te recomendamos no utilizar estas tablas hasta que hayas de-
sarrollado suficiente experiencia en los métodos de integración normales. Además, 
te sugerimos no mecanizar los métodos, sino que trates de entenderlos dentro de 
la estructura general del cálculo. Es conveniente que resuelvas sólo los ejercicios 
propuestos y los que señale tu profesor. Si tienes dificultad con algunos, insiste en 
obtener la solución; revisa la parte teórica y los ejemplos desarrollados para aclarar 
y afirmar tu conocimiento.
Consideramos oportuno citar algunos conceptos de René Descartes, quien en 
uno de sus libros señala: “Separar y jerarquizar las dificultades procediendo de la 
menor a la mayor cuando se aborda un tema nuevo (…)”.
En efecto, es recomendable que la enseñanza se plantee bajo un esquema gradual 
de dificultad. Hay profesores que por impresionar a sus alumnos empiezan por los 
temas más difíciles y dejan hasta el último los más sencillos. “Conviene dirigir toda 
la fuerza del espíritu a las cosas más sencillas y fáciles de entender y detenerse en 
ellas largo tiempo hasta acostumbrarse a intuir la verdad con claridad y distinción”.
Una vez que tienes un conocimiento firme o eres capaz de manejar los métodos 
para resolver un problema, debes practicar y trabajar con ese conocimiento el tiem-
po que sea necesario para dominarlo. Sólo hasta entonces serás capaz de resolver 
otros problemas semejantes e incluso de mayor complejidad.
Si no comprendes el desarrollo de un problema y sólo lo repites, caerás en una 
mecanización que no te brindará ningún beneficio, pues por sí sola, la repetición 
causa entorpecimiento.
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2 Cálculo integral
El estudio de la parte teórica y de los ejercicios de este libro te facilitará la so-
lución de los problemas que tu profesor te dicte y que seguramente propondrá para 
el examen.
En cálculo diferencial dividimos infinitesimalmente una línea, un área, un vo-
lumen o cualquier otro cuerpo multidimensional representado por una ecuación; es 
decir, hacemos divisiones cada vez más pequeñas. En cálculo integral, por el con-
trario, la suma total de estas divisiones se acerca cada vez más al resultado que se 
desea: una distancia, un área, un volumen o cualquier otro parámetro.
El cálculo es una disciplina sencilla en sus conceptos fundamentales, pero difícil 
y compleja en su aplicación.
En el libro Cálculo diferencial, los autores definen:
“La derivada de una función con respecto a una variable es el límite del incre-
mento de la función entre el incremento de la variable cuando el incremento de la 
variable tiende a cero.
Se expresa:
derivada lím= = ∆
∆∆ →
dy
dx
y
xx 0
Cuando el límite de la razón existe, se dice que la función tiene una derivada”.
Diferenciales
Definición
La diferencial de una función es el producto de la derivada de la función por el incre-
mento de la variable independiente.
Para expresar la diferencial de una función usamos la letra d colocada antes de 
la función.
a) Sea la función y x= 4
Su primera derivada es y x x′ =−= 4 44 1 3
Su diferencial se expresa 
dy x x= ∆4 3
b) Calcula la diferencial de la función
y = 3x2 para x = 4 y el Dx = 0.2
y x x
dy x x
′ = ( ) =
= ∆
3 2 6
6
Sustituyendo:
d x3 6 4 0 2 4 82( ) = ( )( ) =. .
EJEMPLOS 1
d
dx
x nxn n= −1
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Capítulo 1 Diferenciales 3 
Para expresar la derivada de una función podemos utilizar cualquiera de las 
formas siguientes:
 Df (x) Cauchy
 f ′ (x) Lagrange
 y ′ Lagrange
dy
dx
 Leibnitz (Se lee “derivada de y con respecto a x”)
Por lo tanto:
derivada lím= = ∆
∆
= ( ) = ( ) =
∆ →
dy
dx
y
x
Df x f x y
x 0
′ ′
Sea la función y = f (x)
La primera derivada se expresa así:
dy
dx
f x= ( )′
Si multiplicamos ambos miembros por dx, tenemos:
dy = f ′(x)dx
la cual aceptamos como otra definición de la diferencial de una función y se lee: la 
diferencial de una función es igual al producto de la derivada por la diferencial de 
la variable independiente.
a) Calcula la diferencial de y x x= − +5 23
 
y x x
y x
d x x x dx
= − +
= −
− +( ) = −( )
5 2
15 1
5 2 15 1
3
2
3 2
′
b) Calcula la diferencial de y x= −1 3
 
y x
y
x
d x dx
x
= −
= −
−
−( ) = −
−
1 3
3
2 1 3
1 3 3
2 1 3
′
EJEMPLOS 2
Una vez señalada la función de la que hay que obtener su diferencial, debemos 
calcular su primera derivada.
d
dx
x
d
dx
C
=
=
1
0
d
dx
u
du
dx
u
=
2
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4 Cálculo integral
Interpretación geométrica de la diferencial
En la gráfica de la función y = f (x) observamos:
AD x
CD y
= ∆
= ∆
D
C dy
A
x
∆x
∆yα
α ∆x
x + ∆x
B
E F
O
y
x
En el triángulo rectángulo ADB
 
tan
tan
α
α ∆ ′
=
= = ( )
BD
AD
BD AD xf x (1)
Al considerar la definición inicial de la diferencial tenemos:
dy f x x= ′ ( ) ∆ de donde en (1)
 dy BD=
La diferencial de una función y = f (x) en un punto es el incremento de la tangente 
a la curva en ese punto.
Entonces, de acuerdo con la gráfica anterior: ∆ = =y CD dy BD; serán aproxi-
madamente iguales cuando ∆ =x AD sea muy pequeño.
Calcula la diferencia de la función y = 5x2 para x = 4 y el Dx = 0.2
 
y x
y x
=
=
5
10
2
′
Sustituyendo:
dy f x x
d x
= ( ) ∆
( ) = ( )( ) =
′
5 10 4 0 2 8 02 . .
EJEMPLO 3
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Capítulo 1 Diferenciales 5 
a) Calcula el incremento aproximado del área de un cuadrado, cuyo lado mide 
5 m, si éste recibe un aumento de 0.002 m.
Fórmula del área de un cuadrado:
 A = l 2
 l = 5 m
 Dl = 0.002 m
El área del cuadrado depende de la magnitud del lado, por lo que decimos que 
el área es función del lado
 A = f (l) = l 2
 A ′ = f ′(l) = 2l
 dA = f ′(l)  dl
 dA = 2l × dl
dA = 2(5)(0.002) = 0.020 m2
Incremento = 0.020 m2
b) Determina el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo, cuyo 
lado mide 2 m, al aumentar el lado 0.003 m.
Fórmula del volumen de un cubo 
v = l 3
l = 2 m
Dl = 0.003 m
v ′ = f ′(l) = 3l 2
dv = f ′(l)dl
dv = 3l 2 × dl
dv = 3(2)2(0.003) = 0.036 m3
Incremento = 0.036 m3
c) Si 36 6= , calcula el valor aproximado de 38 .
Función:
 
y x
x
=
=
∆ = − =
36 6
38 36 2
 
y x
y f x
x
dy f x dx
=
= ( ) =
= ( )
′ ′
′
1
2
 
dy dx
x
= = = =
= + =
2
2
2 36
1
6
0 166
38 6 0 166 6 166
.
. .
EJEMPLOS 4
Problemas que se resuelven en forma aproximada, 
calculando el incremento de una función
Los números reales 
tienen estructura de 
campo.
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6 Cálculo integral
Fórmulas de diferenciación
Considerando que la diferencial de una función es el producto de su derivada por 
la diferencial de la variable independiente, aceptamos que a cada fórmula de deri-
vacióndesarrollada en el curso de cálculo diferencial le corresponde una diferencia-
ción, la cual citamos a continuación:
En las fórmulas que siguen u y v son funciones de x, C es una constante y n un 
número natural.
a) Calcula d x x5 2 42 − +( )
Primero aplicamos la fórmula 3; para el primer y segundo términos aplicamos 
las fórmulas 4 y 6. Para el último término aplicamos la fórmula 1.
d x x d x d x d xdx dx5 2 4 5 2 4 10 22 2− +( ) = ( ) − ( ) + ( ) = −
Factorizando dx:
= −( )10 2x dx
EJEMPLOS 5
1. d(C) = 0(dx) = 0
2. d(x) = 1(dx) = dx
3. d(u + v − w) = du + dv − dw
4. d(Cu) = C du
5. d(uv) = udv + vdu
6. d(un) = mun − 1du
7. d
u
v
vdu udv
v





 =
−
2
8. d(sen u) = cos u du
9. d(cos u) = −sen u du
10. d(tan u) = sec2 u du
11. d(cot u) = −csc2 u du
12. d(sec u) = tan u sec u du
13. d(csc u) = −cot u csc u du
14. d u
du
u
arc sen( ) =
−1 2
15. d u du
u
arc cos( ) = −
−1 2
16. d u
du
u
arc tan( ) =
+1 2
17. d u
du
u
arc cot( ) = −
+1 2
18. d u du
u u
arc sec( ) =
−2 1
19. d u du
u u
arc csc( ) = −
−2 1
20. d u
du
u
ln( ) =
21. d u du
u b
blog
ln
( ) =
22. d(eu) = eudu
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Capítulo 1 Diferenciales 7 
b) Calcula d x x+





sen
2
Primero aplicamos la fórmula 3; para el primer término aplicamos la fórmula 
2 y para el segundo término aplicamos la fórmula 8.
d x x d x d x
dx x
+





 = ( ) +






= +





sen sen
2 2
1
2
cos 






= +












d
dx
x dx
dx x dx
2
2
1
2
cos
factorizando dx:
 
= +





1 1
2 2
cos x dx
Diferenciación implícita
Hecha la derivación se despeja dy:
Diferenciar
x y y
x y y
d
dx
x y y
d
dx
d x
dx
d
− =
− − =
− −( ) = ( )
( ) −
5 2
5 2 0
5 2
0
5
2
2
2
yy
dx
d y
dx
y dy
dx
dy
dx
dy
dx
y
2
2
0
1 10 2 0
10 2
( ) − ( ) =
− − =
− −( ) = −−
− +( ) = −
1
10 2 1dy
dx
y
EJEMPLO 6
Multiplicando por −1
dy
dx
y
dy y dx
10 2 1
10 2 1
+( ) =
+( ) = ( )
Como:
1
10 2
dx dx
dy dx
y
( ) =
=
+
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8 Cálculo integral
Diferenciales sucesivas de una función
La segunda diferencial de una función es la diferencial de la primera, considerando 
para dx un valor fijo.
dy f x dx
d y f x d x
= ( )
= ( )
′
″2 2
La tercera diferencial resulta igual a la diferencial de la segunda (si dx es constante) 
y así sucesivamente.
Calcula la tercera diferencial de y x x= − −4 5 15 2
 
d x x x x dx4 5 1 20 105 2 4− −( ) = −( )
d x x x x dx2 5 2 44 5 1 20 10− −( ) = −( )
= −( )
− −( ) = −( )
80 10
4 5 1 80 10
3
3 5 2 3 2
x dx
d x x d x d x 
= 240 2 3x d x
EJEMPLO 7
Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se 
enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente!
•	 Regla de los cuatro pasos
•	 Integración
•	 Tablas de integrales
•	 Diferencial de una función
Lo que debes saber
f x u
du
dx
u
xx
′ ′( ) =
= ∆
∆∆ →
lím
0
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Capítulo 1 Diferenciales 9 
Ejercicios de repaso 
1. Calcula las diferenciales de las siguientes funciones:
a) y x= 5 2 Solución: dy = 10x dx
b) y x x x= − + −3 5 4 14 3 Solución: dy = 12 15 43 2x x dx− +( )
c) y x= −3 5 Solución: dy = −
−
5
2 3 5
dx
x
d) y x= −( )4 23 Solución: dy = 2
3 43
dx
x −
e) y x= sen Solución: dy = cos xdx
x2
1 2
sen
f) y x= tan 2 Solución: dy = 2 22sec xdx
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10 Cálculo integral
g) y
x
= cos 3 Solución: dy = 
3 3
2
sen
x
dx
x






h) f x x
x
( ) =
−
3
1
 Solución: f (x) dx = 3 2
1 1
−( )
−( ) −( )
x dx
x x
i) y x x= −tan 2 Solución: dy = sec 2 2x dx−( )
j) y x
a
= arc sen Solución: dy = 
dx
a x2 2−
k) y x= arc cot 2 Solución: dy = −
+
2
1 4
xdx
x
l) y x= arc cos
3
 Solución: dy = −
−
dx
x9 2
m) y x= −( )3 13 Solución: dy = 9 2x dx
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Capítulo 1 Diferenciales 11 
n) y x= 2
2
sen Solución: dy = cos x dx
2
o) y x= ln 2 Solución: dy = 2
x
dx
p) y x= arc cos 2 Solución: dy = −
−
2
1 4 2
dx
x
q) Calcula el valor aproximado de 39 si 36 6= Solución: 6.25
r) Determina el valor aproximado de 1293 si 125 53 = Solución: 5.053
s) Calcula el incremento del área de un cuadrado de lado 7 m al aumentar el lado 3 mm. 
 Solución: DA = 0.042 m2
t) Calcula el incremento aproximado del volumen de un cubo de lado 5.3 m al aumentar el 
lado 0.007 m. Solución: DV = 0.589 m3
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12 Cálculo integral
u) Determina el valor aproximado en el aumento que tendrá el área de una esfera de 8 cm 
de radio cuando el radio aumenta 3 cm. Solución: DA = 603.19 cm2
2. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a) La expresión dy
dx
f x= ( )′ representa la diferencial de la función f(x).
b) dy f x dx= ( )′ es igual a dy f x x= ( ) ∆′ .
c) Para calcular la diferencial de una función no es necesaria la derivada de la función.
d) Es imposible calcular la diferencial de funciones implícitas.
 Solución:
a) Falsa
b) Verdadera
c) Falsa
d) Falsa
3. Resuelve aplicando las diferenciales
a) Calcula el valor aproximado de 27 Solución: 5.2
b) Calcula el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado de 60 cm, si éste 
recibe un aumento de 0.5 cm. Solución: DA = 30 cm2
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Antiderivadas. 
Integración indefinida
Introducción
Para estudiar el crecimiento de las poblaciones, los 
expertos utilizan la fórmula dy
dt
ky= . Si la población 
(y) crece cuando aumenta el tiempo (t), se aplica la ley de cre-
cimiento natural. Si la población disminuye mientras transcurre 
el tiempo, se aplica la ley de decrecimiento natural. La fórmula que se 
utiliza para estos cálculos es una derivada y para encontrar la función que 
pueda aplicarse a un determinado problema, necesitamos expresarla primero 
como una ecuación diferencial dy
y
kdt= y después integrar cada miembro de 
la igualdad, quedando de la siguiente manera: dy
y
k dt= ∫∫ .
CAPÍTULO
2
Antiderivada
La adición y la sustracción son operaciones inversas, al igual que la división y la 
multiplicación; lo mismo se puede decir de elevar una potencia y extraer la raíz 
correspondiente. En cálculo diferencial estudiamos el problema para obtener la de-
rivada f ′(x) de una función f (x).
Ahora nos ocuparemos del problema inverso, es decir, dada la derivada f ′(x) 
trataremos de obtener la función f (x).
Definición
A una función F se le llama antiderivada de una función f, en un intervalo cerrado I, 
si F ′(x) = f (x) para todo valor de x en el intervalo cerrado.
Por comodidad, este concepto se expresa con la frase “F (x) es una antiderivada 
de f (x)”.
Las expresiones integral indefinida y función primitiva son sinónimos de la pala-
bra antiderivada.
a) Integra las siguientes expresiones:
•	 3
2x dx es la diferencial de x3
x3 es la antidiferencial de 3 2x dx
•	 −sen x dx es la diferencial de cos x
cos x es la antidiferencial de −sen x dx
EJEMPLOS 1
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14 Cálculo integral
Las funciones (1, 2 y 3) representadas por f (x) = x4 + C, donde C es una constante 
(un número real no especificado) tienen por derivada F x x′( ) = 4 3 .
Integral indefinida
A la operación de calcular la antiderivada (primitiva) de una función se le llama 
integración y se denota con el símbolo ∫, que es la inicial de la palabra suma.
Si F (x) es una función primitiva de f (x) se expresa:
y f x dx F x C= ( ) = ( ) +∫ si y sólo si F ′(x) = f (x)
La expresión f x dx( )∫ es la antiderivada de f (x) 
∫ es el signo de integración y se lee "integral de"
f (x) Integrando
dx Diferencial de la variable
x Variable de integraciónF(x) Función primitiva
C Constante de integración
si en la expresión
 y f x dx F x C= ( ) = ( ) +∫ (1)
y como en la definición de la antiderivada señalamos que F ′(x) = f (x), sustituimos 
en la expresión anterior:
′ ( ) = ( ) +∫ F x dx f x C
queda:
d
dx
f x dx d
dx
F x C
f x F x
( )  = ( ) +[ ]
( ) = ( )
∫ ′
′
Dado que la derivación y la integración son operaciones inversas, podemos obtener 
las fórmulas de integración directamente de las fórmulas de derivación.
b) Deriva las siguientes expresiones:
•	 f x x( ) = 4
F x x′ ( ) = 4 3
•	 f x x( ) = −4 6 
F x x′ ( ) = 4 3
•	 f x x( ) = +4 4
5
 
F x x′ ( ) = 4 3
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Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 15 
Fórmulas de derivación. Fórmulas de integración
d
dx
k = 0
•	 La derivada de una constante respecto a x es cero.
d
dx
kx k dx
d
dx
kf x kf x
=
( )[ ] = ( )′
 
k dx kx C
kf x dx k f x dx
= +
( ) = ( )
∫
∫∫
•	 La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la 
derivada de la función.
d
dx
x( ) = 1
•	 La derivada de una variable con respecto a sí misma es igual a la unidad.
De suma o diferencia
d
dx
f x g x f x g x( ) ± ( )[ ] = ( ) ± ( )′ ′
 
f x g x dx f x dx g x dx( ) ± ( )[ ] = ( ) ± ( )∫ ∫∫
•	 La derivada con respecto a x de la suma o diferencia de un número finito de 
funciones es igual a la suma o diferencia de sus derivadas.
De potencia
A partir de aquí consideraremos a u como cualquier función de la variable x.
d
dx
u nu dxn n= −1
 
u du u
n
Cn
n
=
+
+
+
∫
1
1
 con n ≠ −1
•	 La derivada de una función u elevada a un exponente entero positivo es igual 
al producto del exponente por la función u elevada a ese exponente disminui-
da en uno, por la derivada de la función u.
 Si n = −1
 
u du
u
du
du
u
u C
l u C
− =
= +
= +
∫∫
∫
1 1
ln
n
El campo de los núme-
ros complejos incluye 
a los números imagi-
narios puros y a los 
números reales.
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16 Cálculo integral
Trigonométricas
d
dx
u u du
dx
sen = cos cos u du u C= +∫ sen
•	 La derivada del seno de una función u es el coseno de la función u multiplica-
do por la derivada de la función u respecto a x.
d
dx
u u du
dx
cos = − sen sen u du u C= − +∫ cos
•	 La derivada del coseno de una función u es igual a menos el seno de la función 
u, multiplicado por la derivada de la función u con respecto a x.
d
dx
u u du
dx
tan sec= 2
 
sec 2 u du u C= +∫ tan
•	 La derivada de la tangente de una función u es igual al cuadrado de la secante 
de la función u, multiplicada por la derivada de la función u con respecto a x.
d
dx
u u du
dx
cot csc= − 2
 
csc cot2 u du u C= − +∫
•	 La derivada de la cotangente de una función u es igual a menos la cosecante 
cuadrada de la función u, multiplicada por la derivada de la función u respec-
to a x.
d
dx
u u u du
dx
sec sec tan= sec tan secu u du u C= +∫
d
dx
u u du
dx
csc = − cot csc cot cscu u du u C= − +∫
 
tan
cot sen
sec
u du u C
u du u C
u du u
= +
= +
= +
∫
∫
ln sec
ln
ln sec taan
ln csc cot
u C
u du u u C
+
= − +
∫
∫ csc
Algunas de las fórmulas de integración citadas pueden estar multiplicadas por 
una constante.
d
dx
uv u dv
dx
v du
dx
( ) = +
•	 Las derivadas de un producto de dos funciones son igual a la primera función 
por la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada de la 
primera.
Se usará para deducir el método de integración por partes.
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Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 17 
Conceptos básicos de la integración
La integral de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma algebrai-
ca de las integrales de las funciones
f x g x h x dx f x dx g x dx h x dx( ) + ( ) − ( )[ ] = ( ) + ( ) − ( )∫∫∫∫
A cada integral habría que sumarle una constante C, pero solamente se escribe la del 
final porque la suma de varias constantes es otra constante.
A continuación analizaremos con detalle los procesos que seguimos para resol-
ver cada integral presentada en los ejemplos anteriores.
La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante 
por la integral de la función.
Si k es una constante que está como factor en el integrando se puede poner 
como factor de la integral, como ya lo hicimos en los dos ejemplos anteriores.
kf x dx k f x dx( ) = ( )∫∫
a) 5 7 22x x dx+ −( )∫
En este ejemplo f x x g x x h x( ) = ( ) = ( ) =5 7 22, , , por lo tanto:
5 7 2
5 7 2 5
3
7
2
2
2
2 3 2
x x dx
x dx x dx dx x x x C
+ −( ) =
+ − = + − +
∫
∫∫∫
 
b) x x
x
dx
4 23 4− +




∫
Primero separamos el integrando en tres fracciones y después aplicamos la 
fórmula.
x x
x
dx x
x
x
x x
x
x
dx x
4 2 4 2
4 2
3 4 3 4
3
− +




 = − +






= −
∫ ∫
xx
dx
x
dx
x dx x dx dx
x
x x x C
+
= − +
= − + +
∫∫∫
∫∫∫
4
3 4
1
4
3
2
4
3
4 2 ln
EJEMPLOS 2
02_Calculo_Integral.indd 17 07/04/13 11:53
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18 Cálculo integral
La integral de una función u de una variable x elevada a un exponente es igual a la 
función elevada al exponente original más uno, todo dividido entre el exponente 
original más uno.
u x du x
u x
n
n
n
( ) ( ) = ( )[ ]
+
+
∫
1
1
Dado que u es una función de x, esta notación puede abreviarse de la forma siguiente:
u du u
n
n
n
=
+
+
∫
1
1
 con n ≠ −1
Si n = −l
u du
u
du
du
u
− =
=
∫∫
∫
1 1
= +ln u C
 = L |u| + C
Esta fórmula se lee: “La integral de la diferencial de una función dividida entre la 
función es igual al logaritmo natural de la función”.
a) 7 72 4x dx x dx= ∫∫
= +7
5
5x C
b) 2
5
2
5
3 3x dx x dx= ∫∫
=





 +
= +
2
5 4
1
10
4
4
x C
x C
a) x dx x c x c2
2 1 3
2 1 3
=
+
+ = +
+
∫
En este ejemplo n = 2
b) dx
x
x C= +∫ ln
Se toma el valor absoluto de x porque no hay logaritmos de números negativos, 
por eso se escribe ln |x|.
EJEMPLOS 3
EJEMPLOS 4
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Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 19 
Dentro del signo de integración se pueden conmutar los factores del integrando.
Para no complicar el desarrollo de una integral al aplicar los signos de 
agrupación y del valor absoluto, éste se coloca en el resultado final.
c) x dx x dx x C x C x C= =
+
+ = + = +
+
∫∫ 1 2
1 2 1 3 2
3 2
1
2 1
3
2
2
3
d) 
dx
x
x dx x C x
2
1
2
1
2 3 1
1
2 23
3
3 1 2
= =
− +





 + = −



− − + −

 + = − +−∫∫ C x C1
4
2
En el ejemplo 3, el radical se expresó como exponente fraccionario aplicando 
la siguiente ley de los radicales:
a amn m n= , en este caso m = 1 y n = 2
Para resolver el ejemplo 4 primero pasamos x3 al numerador de la fracción 
aplicando la siguiente ley de los exponentes:
1
a
a
m
m= −
x x dx x x dx2
3 2 31 1−( ) = −( )∫∫
EJEMPLO 5
x dx x x dx2 ≠ ∫∫
Este desarrollo no es correcto porque la variable de integración x quedó fuera 
del signo de integral.
EJEMPLO 6
Por ningún motivo la variable de integración puede quedar fuera del signo de inte-
gración.
En algunos casos la integración se facilita si primero se realizan las operaciones 
indicadas (productos o cocientes de polinomios).
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20 Cálculo integral
a) 2 1 3x x dx+( ) −( )∫
Primero realizamos la multiplicación de los binomios. El producto que resulte 
será el integrando.
2 1 3 2 3 1 3
2 6 3
2 5 3
2
2
x x x x x
x x x
x x
+( ) −( ) = −( ) + −( )
= − + −
= − −
2 1 3 2 5 3
2 5 3
2
2
x x dx x x dx
x dx x dx dx
+( ) −( ) = − −( )
= − −
=
∫∫
∫ ∫∫
22 5 3
2
3
5
2
3
2
2
3 2
x dx x dx dx
x x x C
− −
=





 −





 − +
=
∫∫∫
33
5
2
33 2x x x C− − +
b) x
x
dx
3 1
2
−
−
∫
Primero realizaremos la división. El cociente que se obtenga será el integrando.
)x x
x x
x
x x
x
x
x x
− −
− +
−
− +−
− +
+ +
2 1
2
2 1
2 4
4 1
4 8
7
2 4
3
3 2
2
2
2
x
x
x x
x
3
21
2
2 4 7
2
−
−
= + + +
−
x
x
dx x x
x
dx
x dx x dx dx
3
2
2
1
2
2 4 7
2
2 4
−
−
= + + +
−






= + +
∫ ∫
∫ ++
−
= + + +
−
∫ ∫∫
∫ ∫∫∫
7
2
2 4 7
2
2
dx
x
x dx x dx dx dx
x
EJEMPLOS 7
La integración se 
facilita si primero se 
realizan las operaciones 
indicadas de productos 
y cocientes de polino-
mios.
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Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 21 
Otras integrales se pueden resolver al sumar y restar al integrando una misma can-
tidad.
En la última integral u = x − 2; du = dx
= +





 + +
= + + + +
=
∫x x x du
u
x x x u C
x
3 2
3 2
3
3
2
2
4 7
1
3
4 7
1
3
ln
++ + + − +x x x C2 4 7 2ln
xdx
x +
∫
5
Para resolver este ejemplo debemos tomar el número 5 de la expresión x + 5. 
Este número se suma y se resta al numerador; la integral que resulte se 
descompone en dos integrales.
xdx
x
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
dx dx
x
+
= + −
+
= +
+
+ −
+
= −
+
∫∫
∫∫
5
5 5
5
5
5
5
5
5
55
∫∫
Para resolver la segunda integral, al denominador le llamaremos u y dado que 
la integral estará en función de u, necesitaremos obtener la diferencial de u.
u = x + 5 du = 1(dx) = dx
Ahora realizaremos el cambio de variable en las dos integrales:
= −
= − +
∫∫ dx du
u
x u C
5
5 ln
Sustituimos el valor de u:
xdx
x
x x C
+
= − + +∫
5
5 5ln
EJEMPLO 8
02_Calculo_Integral.indd 21 07/04/13 11:53
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22 Cálculo integral
Recuerda que la diferencial de una función es dy f x dx= ( )′ , donde f ′(x) es la de-
rivada de la función. La derivada de x + 5 es 1 porque d
dx
x = 1 y d
dx
5 0= .
Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se 
enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente!
•	 Integral indefinida
•	 Función primitiva
•	 Antiderivada
•	 Método de integración
Lo que debes saber
Ejercicios de repaso 
1. Calcula las siguientes integrales:
a) dx∫ Solución: x + C
b) 3 dy∫ Solución: 3y + C
c) dx
x
∫ Solución: ln|x| + C
d) x dx3 4∫ Solución: 4
7
34x x C+
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Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 23 
e) 5 3x dx∫ Solución: 5
4
4x C+
f) 2 3bx dx∫ Solución: b x C
2
4 +
g) 3
4
1 2x dx∫ Solución: 1
2
x x C+
h) dy
y 3
∫ Solución: − +1
2 2y
C
i) dx
y 3
∫ Solución: 1
3
3x C+
j) x x
x x
dx4 2
3 2
1
4
1− + −





∫ Solución: x x
x x
C
5 3
25 3
1
2
1− − + +
k) x dx4∫ Solución: 4
5
x x C+
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24 Cálculo integral
l) x dx23∫ Solución: 3
5
23x x C+
m) dx
x 23
∫ Solución: 3 3 x C+
n) 
3 5
3 23x x
dx−





∫ Solución: − − +4 15 3
x
x C
o) 5 5x dx∫ Solución: 10
3
5x x C+
p) 
x dx
x
−( )
+
∫ 3
3
 Solución: x − 6 ln |x + 3| + C
q) x
x
dx+
+
∫ 2
1
 Solución: x + ln |x − 1| + C
r) x x
x
dx
2 3 5− +∫ Solución: 2
5
2 102x x x x x C− + +
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Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 25 
s) x dx
x
3
1−
∫ Solución: x x x x C
3 2
3 2
1+ + + − +ln
t) y y dy+( ) −( )∫ 2 1 Solución: y y y C
3 2
3 2
2− +
u) 
4 2−( )∫ x
x
dx Solución: 32 16
3
2
5
2x x x x x C− + +
2. Indica si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas.
a) x dx x C−
−
=
−
+∫ 2
3
3
 
b) 
y dx y C
6
7
2
1
14
= +∫ 
c) 5 1x dx x C− = +∫ ln 
Solución: a) Falsa b) Verdadera c) Falsa
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26 Cálculo integral
3. Calcula las siguientes integrales.
a) x x x dx2 32 + −( )∫ Solución: 4
7
2
5
23 2x x x x x x C+ − +
b) x x
x
dx
2 3 2
2
+ +
+
∫ Solución: 1
2
2x x C+ +
c) 
x dx
x
−( )
+
∫ 1
1
 Solución: x − 2ln |x + 1| + C
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Integración de una función 
compuesta
Introducción
La probabilidad y la estadística son herramientas que 
se utilizan en diversas disciplinas. En probabilidad mane-
jamos el concepto de valor esperado o esperanza matemática, 
que en el caso de una variable aleatoria continua se calcula con 
la siguiente integral:
 
xf x dx( )
−∞
∞
∫
 
Observa que en el integrando se tiene el producto de x por una función también 
en términos de x.
Debido a que en cálculo integral no tenemos una fórmula directa para resol-
ver esta integral, debemos realizar la multiplicación y después hacer la integra-
ción, proceso que puede resultar complicado. Otra alternativa es aplicar el méto-
do conocido como método de sustitución el cual resulta más sencillo.
CAPÍTULO
3
Sustitución por cambio de variable
A pesar de que existen varias técnicas para realizar una sustitución, el propósito de 
todas es identificar en el integrando una función que esté multiplicada por la dife-
rencial de esa función y así poder aplicar una fórmula de integración.
En el método de sustitución, se escoge una literal. En nuestro caso, se eligió la u, 
que se iguala a la función que incluye el integrando.
Identifica en las siguientes integrales su función y su diferencial.
a) sen 7 7x dx
u x
du x
( ) ( )
( )∫ ����
Señalamos:
 
u x
u x x
=
( ) =
7
7
EJEMPLOS 1
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28 Cálculo integral
Observa que la variable de la función es y, así que la diferencial en el integrando está 
incompleta porque dy no se multiplica por 5, como en la diferencial que calculamos.
En el primer ejemplo hemos escogido la literal u. A continuación señalamos u(x) 
indicando con ello que u está en función de x, en seguida con du(x) calculamos su 
diferencial.
Algunos autores y profesores, por costumbre y comodidad, proceden de la si-
guiente forma cuando piden integrar una expresión como la que se muestra a con-
tinuación:
sen 7 7
7
7
x dx
u x
du dx
u
du
����( )
=
=
∫
Desde luego que este procedimiento es correcto, pero no debes olvidar que la varia-
ble u en el primer ejemplo está en función de x y en el segundo de y. Esta aclaración 
te será de gran ayuda en cursos superiores.
Para que puedas identificar en el integrando la función y su diferencial, analiza-
remos varios ejemplos.
Ahora calcularemos la diferencial aplicando la fórmula dy f x dx= ( )′ . En 
este caso como tenemos u x x( ) = 7 , la fórmula será du x f x dx( ) = ( )′ , con 
f x d
dx
x′ ( ) = =7 7 .
 du x dx( ) = 7
7x es la función y 7 dx su diferencial.
b) cos 5y dx
u y du y( ) ( )
∫


Señalamos:
 
u y
u y y
=
( ) =
5
5
Como en el ejemplo anterior, calculamos la diferencial; en este caso como la 
variable es y, u y y( ) = 5 y du y f y dy( ) = ( )′ con f y ddy y′ ( ) = 5
du y dy( ) = 5
5y es la función y dy la diferencial (incompleta).
x x dx2
2
3 2+( ) ( )∫
Existen dos formas de resolver este ejemplo. La primera es a partir del método de 
sustitución y la otra es desarrollando la operación que se indicó en la página 17, 
del capítulo 2.
EJEMPLO 2
03_Calculo_Integral.indd 28 07/04/13 11:56
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Capítulo 3 Integración de una función compuesta 29 
Primero lo resolveremos por sustitución:
x x dx
u x
u x x
u x du x
2 2
2
2
3 2
3
+( ) ( ) =
= +
( ) =
( ) ( )
∫� �� �� ��� ��
++
( ) =
3
2du x xdx
En este ejemplo du f x dx= ( )′ , donde f x ddx x x′ ( ) = +( )
2 3 2 .
El integrando está completo porque incluye la función multiplicada por su 
diferencial. Por lo tanto, se puede aplicar la fórmula de integración de la potencia 
de una función.
Sustituyendo:
 = ∫ u du2
Integrando:
 
= +u C
3
3
Con el valor de u, queda:
 =
+( ) +x C
2 33
3
Otra solución se encuentra desarrollando la operación en el integrando:
x x dx2
2
3 2+( ) ( )∫
El integrando es un polinomio, por eso podemos desarrollar su producto e integrar 
término a término.
x x dx x x x dx2
2 4 23 2 6 9 2+() ( ) = + +( )( )∫∫
= + +( )∫ 2 12 185 3x x x dx
= + + ∫∫∫2 12 185 3x dx x dx x dx
= + + +2
6
12
4
18
2
6 4 2x x x C
= + + +1
3
3 96 4 2x x x C
u du u
n
cn
n
∫ =
+
+
+1
1
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30 Cálculo integral
Los dos resultados son correctos porque si desarrollamos el primero de ellos 
tenemos:
x
C x x x C
x x x C
2 3 6 4 2
6 4 2
3
3
9 27 27
3
1
3
3 9 9
+( ) + = + + + +
= + + + +
La constante en el primer desarrollo es 9 + C, la del segundo es C, que son 
equivalentes.
cos 5x dx∫
Para poder aplicar la fórmula cos u du∫ es necesario determinar si el integrando 
está completo o no; es decir, si cuenta con su función y su diferencial.
cos 5
5
5
5
x dx
u x
u x x
du x dx
=
=
( ) =
( ) =
∫
Para completar la diferencial en este ejemplo se tiene que multiplicar y dividir entre 
5, lo cual no altera el valor del integrando porque, de hecho, se está multiplicando 
por uno.
= ( )
( ) ( )
∫1
5
5 5cos x dx
u x du x


Sustituyendo:
 = ∫1
5
cos u du
Integrando:
 = +1
5
sen u C
Con el valor de u, queda:
 = +1
5
5sen x C
EJEMPLO 3
kf x dx k f x dx( ) = ( )∫∫
kf x dx k f x dx( ) = ( )∫∫
k es una constante
cos u du u C= +∫ sen
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Capítulo 3 Integración de una función compuesta 31 
Como puedes observar del desarrollo de los dos ejemplos anteriores, para completar 
el integrando fue necesario multiplicar y dividir por una cantidad.
Justificando el desarrollo, y por comodidad, se acostumbra a proceder como se 
indica a continuación:
3 1 3 1 1 2x dx x dx− = −( )∫∫
Para poder aplicar la fórmula u dun∫ es necesario identificar u(x) y calcular su 
diferencial du(x).
3 1
3 1
3 1
3
1 2x dx
u x
u x x
du x dx
−( )
= −
( ) = −
( ) =
∫
Aquí observamos que falta un 3 en el diferencial de la función. Se completa 
multiplicando y dividiendo por 3.
1
3
3 1 31 2x dx
u x du x
−( ) ( )
( ) ( )
∫ � �� �� �
Se sustituye:
= ∫1
3
1 2u du
Se integra:
= +
+1
3 3
2
1 2 2 2u C
Con el valor de u, queda:
2
9
3 1 3 1x x C−( ) − +
Los dos resultados son correctos.
EJEMPLO 4
1 2
2
=
=a amn m n
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32 Cálculo integral
Como pudiste notar en este ejemplo, la selección de la fórmula correcta se hizo 
mentalmente y no tuvimos que desarrollar el proceso señalado para la integración 
por sustitución.
Para poder aplicar una fórmula de integración es necesario que en el integrando 
esté la derivada de una función, lo cual significa que debe incluir la función u(x) y 
su diferencial du(x).
Es común que se cometan errores en el desarrollo de la integración por no saber 
identificar en forma correcta la función y su diferencial. En ocasiones, sucede que 
a la diferencial de la función le falta algún factor numérico y tenemos que hacer las 
operaciones necesarias para completarla.
Al igual que en este apartado, en el resto del texto se incluyen conceptos y ejem-
plos que permiten entender con facilidad los ejercicios de cada tema.
Deducción de fórmulas para derivar integrales 
de la forma tan , cot , sec , cscx dx x dx x dx x dx∫∫∫∫
Como ya estudiamos el método de sustitución, podemos aplicarlo para deducir las 
fórmulas de derivación de la tan , cot , sec , cscx dx x dx x dx x dx∫∫∫∫
Para tan x dxdd∫
Por trigonometría demostramos que:
tan
cos
x x
x
= sen
de donde:
tan
cos
x dx xdx
x
=∫ ∫ sen
u x
u x x
du x xdx
=
( ) =
( ) = −
cos
cos
sen
Si multiplicamos dos veces por (−1) en el integrando y además sustituimos, tenemos:
= ( )
=
∫
∫
−
−
−
sen x dx
x
du
u
cos
Para integrar es 
necesario identificar la 
función u y su diferen-
cial u′.
a) sen sen7
1
7
7 7 1
7
7x dx x dx x C
u x
du x
= ( ) = +∫ ∫
( ) ( )
� ���
cos
u x
u x x
du x dx
=
( ) =
( )
7
7
7
b) 3 3 3cos x dx x C= +∫ sen
EJEMPLOS 5
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Capítulo 3 Integración de una función compuesta 33 
Por integración:
 = − ( ) +ln u C
Con el valor de u, tenemos:
 = − ( ) +ln cos x C
además:
− ( ) = −






= − −( )
= − +
L x
x
x
cos ln
sec
ln ln sec
ln ln
1
1
1 ssec x
como − ( ) =ln 1 0 se tiene que − ( ) =ln cos ln secx x
Por lo tanto:
 tan ln secx dx x C= +∫
Para cot x dxdd∫
Demostramos en trigonometría que:
 
cot
cos
x
x
x
=
sen
de donde:
 
cot
cos
x dx
xdx
x
∫ ∫=
sen
sen
sen
u x
u x x
du x xdx
=
( ) =
( ) = cos
Si sustituimos:
 
= ∫ du
u
y luego integramos:
 = ( ) +ln u C
03_Calculo_Integral.indd 33 07/04/13 11:56
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34 Cálculo integral
con el valor de u, queda:
= ( ) +ln sen x C
por lo tanto:
cot lnx dx x C= +∫ sen
Para sec x dxdd∫
Multiplicamos y dividimos el integrando por sen x x+( )tan
sec
sec sec tan
sec tan
sec sec t
x dx
x x x dx
x x
x x
∫ ∫= +( )
+
=
+2 aan
sec tan
x dx
x x
( )
+
∫
u x x
u x x x
du x x
= +
( ) = +
( ) =
sec tan
sec tan
sec tann secx x dx+( )2
Si sustituimos:
 
= ∫ du
u
y luego integramos:
 = ( ) +ln u C
Con el valor de u, tenemos:
 = +( ) +ln sec tanx x C
por lo tanto:
sec ln sec tanx dx x x C= + +∫
Para csc x dxdd∫
Se calcula en forma semejante a la sec x dx∫ . Multiplicamos y dividimos el inte-
grando por csc cotx x−( ) .
csc
csc csc cot
csc cot
csc csc c
x dx
x x x dx
x x
x x
∫ ∫= −( )
−
=
−2 oot
csc cot
x dx
x x
( )
−
∫
sen A
A
A
A
A A
A
=
= ° −( )
= −
=
=
1
90
1 2
csc
cos
cos
tan cos
cos
cot AA
03_Calculo_Integral.indd 34 07/04/13 11:56
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Capítulo 3 Integración de una función compuesta 35 
u x x
u x x x
du x x
= −
( ) = −
( ) = −
csc cot
csc cot
csc c2 ssc cotx x dx
Si sustituimos tenemos:
 
= ∫ du
u
luego integramos:
 
= ( ) +
= −( ) +
ln
ln csc cot
u C
x x C
por lo tanto:
csc ln csc cotx dx x x C= − +∫
Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se 
enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente!
•	 Método de sustitución
•	 Cambio de variable
Lo que debes saber
1. Contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Qué elementos debe tener el integrando de cualquier integral para poder aplicar una 
fórmula de integración? 
b) ¿Cuál es el objetivo de aplicar el método de sustitución?
c) ¿Qué debes hacer si al calcular la diferencial de una función ésta no se encuentra completa 
en el integrando de una determinada integral?
EJERCICIOS
03_Calculo_Integral.indd 35 07/04/13 11:56
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36 Cálculo integral
2. Calcula las siguientes integrales:
a) x x dx2
4
6−( )∫ Solución: 1
10
62
5
x C−( ) +
b) 
2
4 3 2
xdx
x+
∫ Solución: 2
3
4 3 2+ +x C
c) x x x x dx3 2
1 3 23 2+( ) +( )∫ Solución: 2
9
3 33 2 3 2x x x x C+( ) + +
d) − +( )∫ sen ay dy1 Solución: 1 1
a
ay Ccos +( ) +
e) 2 6sen x dx( )∫ Solución: − ( ) +1
3
6cos x C
f) cos 3 2x dx+( )∫ Solución: 1
3
3 2sen x C+( ) +
03_Calculo_Integral.indd 36 07/04/13 11:56
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Capítulo 3 Integración de una función compuesta 37 
g) −





∫ tan y dy
2
 Solución: − +2
2
ln sec y C
h) −





∫ sen x
a
dx Solución: a x
a
Ccos





 +
i) 2 5 2 102x x x dx−( ) −( )∫ Solución: 1
2
2 5 2
2
x x C−( ) +
j) 5 5x dx∫ Solución: 10
3
5x x C+
k) 4 2 53 4 2
3
x x x x dx−( ) − −( )∫ Solución: x x C
4 2 45
4
− −( ) +
l) 
4
1
3
4
x dx
x+
∫ Solución: ln 1 4+ +x C
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38 Cálculo integral
m) 2
1 2
dx
x+
∫ Solución: ln 1 2+ +x C
n) x
x
dx+
+
∫ 2
1
 Solución: x x C+ + +ln 1
o) x x
x
dx
2 3 5− +∫ Solución: 2
5
2 102x x x x x C− + +
p) x dx
x
3
1−
∫ Solución: x x x x C
3 2
3 2
1+ + + − +ln
q) x x dx+( ) −( )∫ 2 1 Solución: x x x C
3 2
3 2
2+ − +
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Capítulo 3 Integración de una función compuesta 39 
Ejerciciosde repaso 
1. Calcula las siguientes integrales:
a) dx∫ Solución: x + C
b) 
dx
x
∫ Solución: ln x C+
c) x dx3 4∫ Solución: 4
7
34x x C+
d) 5 3x dx∫ Solución: 5
4
4x C+
e) 2 3bx dx∫ Solución: b x C
2
4 +
f) x x
x x
dx4 2
3 2
1 1− + −





∫ Solución: x x
x x
C
5 3
25 3
1
2
1− − + +
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40 Cálculo integral
g) 5 5 1 3x dx−( )∫ Solución: 1
4
5 1 4x C−( ) +
h) xdx4∫ Solución: 4
5
4x x C+
i) dx
x −( )
∫
1 5
 Solución: −
−( )
+1
4 1 4x
C
j) x dx23∫ Solución: 3
5
23x x C+
k) 
2 5
3 23x x
dx−





∫ Solución: − − +4 15 3
x
x C
l) 3
4
1 2x dx∫ Solución: 1
2
x x C+
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Capítulo 3 Integración de una función compuesta 41 
m) dx
x 3
∫ Solución: − +1
2 2x
C
n) dx
x −
∫ 2 Solución: 13
3x C+
o) dx
x +( )
∫
1 2
 Solución: −
+
+1
1x
C
p) dx
x 23
∫ Solución: 3 3 x C+
q) dx
x −( )
∫
2 4
 Solución: −
−( )
+1
3 2 3x
C
r) 
x dx
x
−( )
+( )
∫ 3
3
 Solución: x x C− + +6 3ln
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42 Cálculo integral
s) x x x dx3
5 25 3 5−( ) −( )∫ Solución: 1
6
53
6
x x C−( ) +
t) x dx−∫ 2 Solución: 2
3
2 2x x C−( ) − +
u) 3 dx∫ Solución: 3x + C
v) 2 32
2
x x dx−( )∫ Solución: 1
3
32
3
x C−( ) +
w) 3 12 3
3
x x dx−( )∫ Solución: 1
4
13
4
x C−( ) +
x) 3 4 2x dx+( )∫ Solución: 1
9
3 4 3x C+( ) +
y) x x dx2 4+∫ Solución: 1
3
4 42 2x x C+( ) + +
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Capítulo 3 Integración de una función compuesta 43 
z) 
x dx
x
2
3 2−
∫ Solución: − − +1
3
23ln x C
aa) 
5
2 32
ydy
y +
∫ Solución: 5
2
2 32y C+ +
ab) 5 1 3x dx−( )∫ Solución: 1
20
5 1 4x C−( ) +
ac) 
6
1
2
3
x dx
x −
∫ Solución: 2 13ln x C− +
ad) 
x dx
x +( )
∫
2 2
 Solución: ln x
x
C+ +
+
+2 2
2
ae) x x dx5 2−∫ Solución: − −( ) − +1
3
5 52 2x x C
af) 
3
3 4
2
3
x
x
dx
−
∫ Solución: − − +1
2
3 4 3x C
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44 Cálculo integral
ag) 
x
x x
dx
+( )
+
∫ 2
42
 Solución: 1
2
42ln x x C+ +
ah) x x dx3
1 2 21+( )∫ Solución: 2
9
1 13 3x x C+( ) + +
ai) 
5
1
3
4 3
x
x
dx
−( )∫ Solución: 
−
−( )
+5
8 14
2
x
C
aj) x
x
dx
2
34 1−
∫ Solución: 4
9
13
3 4
x C−( ) +
ak) 2 3 2 2x x dx−∫ Solución: − −( ) − +1
3
3 2 3 22 2x x C
al) x x dx3 23 −∫ Solución: − −( ) − +3
8
3 32 23x x C
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Constante de integración
Introducción
En tu curso de geometría analítica aprendiste a iden-
tificar las curvas que representan a ciertas ecuaciones. 
Por ejemplo, recordarás que y x= +2 3 es la ecuación de 
una parábola vertical que abre hacia arriba y cuyo vértice está en 
el punto (0, 3). Si calculamos la diferencial de esta misma ecuación 
obtenemos dy xdx= 2 . En este ejemplo realizamos la operación inver-
sa, es decir, integramos y obtenemos y x C= +2 , que no es exactamente 
la expresión que derivamos. En este capítulo aprenderás a calcular el valor de C 
para así obtener la ecuación exacta de la parábola.
Al integrar la diferencial 2x dx se obtiene la función y:
y x dx x C= = +∫ 2 2
donde C es la constante de integración. Por cada valor de C1, C2, C3,... de C, se 
obtiene una función primitiva x2 + C1, x
2 + C2, x
2 + C3,...
De hecho, la expresión y x C= +2 representa una familia de parábolas que 
se trasladan verticalmente una de la otra con el mismo valor de la pendiente para 
cada punto.
dy
dx
x= 2
CAPíTULO
4
Cálculo de valor numérico de la constante C
Para calcular el valor de constante de integración es necesario tener la expresión di-
ferencial que se va a integrar y algunos otros lados, procedimiento que ilustraremos 
en los siguientes ejemplos.
a) Determina la función y f x= ( ), tal que f x x x′( ) = − +9 6 12 cuando 
f 1 5( ) = .
Es una función en forma de ecuación que se cumple en el punto (1, 5). Como 
y f x= ( )
se tiene que:
dy
dx
df x
dx
= ( )
EJEMPLOS 1
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46 Cálculo integral
pero
 
df x
dx
x x( ) = − +9 6 12
entonces
 
dy
dx
x x= − +9 6 12
 
dy x x dx= − +( )9 6 12
Integrando:
dy x x dx
x dx x dx dx
x x x
= − +( )
= − +
= − + +
∫∫
∫∫∫
9 6 1
9 6
9
3
6
2
2
2
3 2
CC
y x x x C= − + +3 33 2
Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condiciones del 
problema, este resultado debe ser igual a 5 para f (1). 
 
f C
C
1 3 1 3 1 1
3 3 1
3 2( ) = ( ) − ( ) + +
= − + +
condición que señala el problema:
 
f
C
C
C
1 5
5 1
5 1
4
( ) =
= +
− =
=
al sustituir el valor de C:
y f x x x x C
y x x x
= ( ) = − + +
= − + +
3 3
3 3 4
3 2
3 2
b) Calcula el valor de la contante de integración cuya f x x x′( ) = + −2 2 
cuando f (1) = 6. Determina también la función.
Es una función que se cumple en el punto (1, 6)
como y = f (x)
se tiene que:
dy
dx
df x
dx
= ( )
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Capítulo 4 Constante de integración 47 
pero,
 
df x
dx
x x( ) = + −2 2
entonces:
 
dy
dx
x x
dy x x dx
= + −
= + −( )
2
2
2
2
Integrando:
dy x x dx
x dx x dx dx
y x x x C
= + −( )
= + −
= + − +
∫∫
∫∫∫
2
2
3 2
2
2
3 2
2
Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condiciones del 
problema, este resultado debe ser igual a 6 para f (1).
 
f C
C
C
1
1
3
1
2
2 1
1
3
1
2
2
2 3 12
6
7
6
3 2
( ) = ( ) + ( ) − ( ) +
= + − +
= + − +
= − ++ C
condición que señala el problema:
 
f
C
C
C
1 6
6 7
6
6 7
6
43
6
( ) =
= − +
+ =
=
sustituyendo el valor de C:
 
y f x x x x C
y x x x
= ( ) = + − +
= + − +
3 2
3 2
3 2
2
3 2
2 43
6
Esta expresión no se simplifica porque es una función y no una ecuación.
a
b
a
b
n
n
n=
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48 Cálculo integral
c) Determina la función cuya f x x x′( ) = − +2 2 4 tenga el valor de 6 cuando 
x = 2.
Es una función que se cumple en el punto (2, 6) como y = f (x), se tiene que:
dy
dx
df x
dx
= ( )
pero,
df x
dx
x x( ) = − +2 2 4
entonces:
dy
dx
x x
dy x x dx
= − +
= − +( )
2
2
2 4
2 4
Integrando:
 
dy x x dx
x dx x dx dx
y x x x C
= − +( )
= − +
= − + +
∫∫
∫∫
2
2
3 2
2 4
2 4
3
2
2
4
Calculamos el valor de C cuando y x x x C= − + +
3
2
3
4 tenga el valor de 6 
cuando x = 2 
 
f C
C
C
2
2
3
2 4 2
8
3
4 8
8 12 24
3
20
3
3
2( ) = ( ) − ( ) + ( ) +
= − + +
= − + +
= + CC
Condición que señala el problema:
 
f
C
C
C
2 6
6 20
3
6 20
3
2
3
( ) =
= +
− =
= −
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Capítulo 4 Constante de integración 49 
Significa geométrico de la constante de integración
x2 es una de las funciones primitivas de la función 2x cuando la contante de integra-
ción vale cero; es decir, 2x es la derivada de una función y f x= ( ).
Si de f x x′( ) = 2 se quiere obtener la familia de las funciones f (x) que tienen 
como derivada a 2x, se tiene entonces:
dy
dx
df x
dx
f x
dy f x dx
= ( ) = ( )
= ( )
′
′
Integrando:
 
dy x dx
y x C
y x C
=
= +
= +
∫∫ 2
2
2
2
2
 (1)
donde C es la constante de integración. Si asignamos a C varios valores, por ejemplo 
3, 0, −2 se tiene de la ecuación (1) las siguientes expresiones:
y x
y x
y x
= +
=
= −
2
2
2
3
2
cuyos lugares geométricos son parábolas que inter-
secan al eje de las y a distancias del origen de 3, 0, 
−2, respectivamente.
Todas estas parábolas tienen el mismo valor 
dy
dx , 
es decir, tienen la misma pendiente 2x para el mismo 
valor de x. Además, la diferencia de sus ordenadas 
Comprobación
Sustituyendo el valor de C:
y f x x x x C= ( ) = − + +
= − + ( ) −
= − + −
=
3
2
3
2
3
4
6 2
3
2 4 2 2
3
6 8
3
4 8 2
3
6 88 12 24 2
3
6 6
− + −
=
x
y
y x2 3
y x2
y
O
x2 2
04_Calculo_Integral.indd49 07/04/13 12:13
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50 Cálculo integral
permanece igual para todos los valores de x, el valor de C no afecta la pendiente de 
ninguna de estas parábolas.
Si establecemos la condición de que la curva de la parábola de nuestro ejemplo 
pase por el punto (1, 3), entonces las coordenadas de este punto deben satisfacer la 
expresión y x C= +2 , de donde:
y x C
C
C
C
= +
= ( ) +
= −
=
2
23 1
3 1
2
Por lo tanto, la ecuación de la parábola que se pide es y x= +2 2 , se grafica tabu-
lando y x= +2 2 .
x 0 1 2
y 2 3 6
f x x
f
f
f
( ) =
( ) = + =
( ) = ( ) + =
( ) = ( ) + =
2
2
2
0 0 2 2
1 1 2 3
2 2 2 6x
O
y
(1, 3)
y = x2 + 2
Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se 
enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente!
•	 Constante de integración
•	 Valor de la constante de integración
Lo que debes saber
04_Calculo_Integral.indd 50 07/04/13 12:13
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Integrales inmediatas. 
Funciones trigonométricas 
directas
CAPÍTULO
5
Introducción
En el capítulo 3 analizamos el método de sustitución 
para resolver una integral. En una gran cantidad de inte-
grales no es tan obvio el cambio por realizar, ya que en otras 
es necesario realizar algún procedimiento previo a la sustitución. 
En este capítulo aprenderás algunos de los procedimientos más comu-
nes para resolver una integral donde intervienen las funciones trigonomé-
tricas directas por el método de sustitución o método de cambio de variable.
Recordatorio de trigonometría
En tu curso de geometría y trigonometría comprobaste las funciones e identidades 
siguientes:
sen x
x
x x x
x
x
= = − = =1 1 2
cot
cos tan cos
cos
cot
cos sen sen
sen
x
x
x x x
x
x
= = − = =1 1 2
sec
cot
tan
tan
cot
sec
cos
x
x
x
x
x
= = − =1 12 sen
cot
tan
csc
cos
x
x
x
x
x
= = − =1 12
sen
sec
cos
tanx
x
x= = +1 1 2
csc cotx
x
x= = +1 1 2
sen
Funciones trigonométricas recíprocas
sen x csc = 1 sec cos
x
x
= 1
sen x
x
= 1
csc 
tan cotx x = 1
cos secx x = 1 tan cot
x
x
= 1
cos
sec
x
x
= 1
 
cot
tan
x
x
= 1
El cálculo se facilita si 
tienes presente tu cono-
cimiento de álgebra y 
trigonometría.
cos
sec
º
cot
A
A
A
A
A A
=
= ( )
= −
=
=
1
90
1 2
sen
sen
sen
−
ssen A
Atan
05_Calculo_Integral.indd 51 07/04/13 12:18
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52 Cálculo integral
Identidades trigonométricas del teorema de Pitágoras
 
sec 2 2
2 2
2 2
2
1
1
1
x x
x x
x x
x
= +
− =
= +
=
tan
csc cot
csc cot
cot cscc 2 1x −
sen
sen
cos sen
sec
2 2
2 2
2 2
2
1
1
1
x x
x x
x x
x
+ =
= −
= −
−
cos
cos
tann
sec
2
2 2
1
1
x
x x
=
= −tan
Fórmulas de integración de las funciones trigonométricas directas
sen
sen
u du u C
u du u C
u du u C
= − +
= +
= +
∫
∫
∫
cos
cos
sec sec
 
sec tan
csc cot csc
csc cot
2
2
u du u C
u u du u C
u du u
= +
= − +
= −
∫
∫
++∫ C
Algunos procedimientos de integración de las funciones 
trigonométricas directas
El integrando es el producto de la potencia de una función 
trigonométrica por su diferencial
3 sen 2 x x dxcos∫
En el integrando tenemos dos funciones: una elevada a un exponente diferente 
de uno y la otra elevada a la potencia uno. Como primera opción elegimos 
u x= sen porque es la función que está al cuadrado y podríamos usar la fórmula 
u du u
n
Cn
n
= + +∫
+1
1
, siempre y cuando en el integrando esté la du.
 
u x
u x x
du x xdx
=
( ) =
( ) =
sen
sen
cos
Sustituyendo u(x) y du(x) en el integrando, se tiene:
 
= ∫3 2u du
Integrando:
 
= +3
3
3u C
Con el valor de u queda:
= +sen 3 x C
EJEMPLO 1
Si una expresión alge-
braica se multiplica y 
divide por un mismo 
número diferente de 
cero, su valor no se 
altera.
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 53 
Sustitución del integrando por una identidad pitagórica
tan 2 7x dx∫
Dado que en las fórmulas de integración de funciones trigonométricas directas 
sólo las funciones secante y cosecante están al cuadrado, aplicamos una identidad 
trigonométrica para expresar la tan 2 7x en términos de una de estas funciones.
Como tan sec2 2 1x x= −
Sustituyendo en el integrado:
= −( )∫ sec 2 7 1x dx
 
u x
u x x
du x dx
=
( ) =
( ) =
7
7
7
Completamos la diferencial multiplicando y dividiendo por 7:
 
= −( )
= ( )( ) −
∫
∫∫
1
7
7 1 7
1
7
7 7 1
7
7
2
2
sec
sec
x dx
x dx dx
Integrando:
 
= − +1
7
7tan x x C
EJEMPLO 2
a) 
−∫ 32
dx
xsen
Como en el caso anterior, tenemos que expresar sen 2 x en función de la 
secante o la cosecante, que son las funciones que están al cuadrado en las 
fórmulas de integración.
Como csc x
x
= 1
sen
Al elevar al cuadrado ambos miembros, tenemos:
csc 2
2
1x
x
=
sen
EJEMPLOS 3
Sustitución del integrando por una identidad trigonométrica recíproca
cot
tan
tan º
csc
cos
A
A
A
A
A
A
=
= −( )
= −
=
1
90
12
sen
05_Calculo_Integral.indd 53 07/04/13 12:18
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54 Cálculo integral
Si sustituimos en el integrando:
 
= − ∫3 2csc x dx
Integrando:
= − −( ) +3 cot x C
 = +3 cot x C
b) 
dx
x xcos 2 2tan +
∫
Como sec
cos
x
x
= 1
Al elevar al cuadrado ambos miembros, tenemos:
 
sec
cos
2
2
1x
x
=
Si sustituimos en el integrando:
 
=
+
=
+( )
∫
∫
sec
tan
sec
tan
2
2
1 2
2
2
x dx
x
x dx
x
Si la función es:
 
u x
u x x
du x xdx
= +
( ) = +
( ) =
tan
tan
sec
2
2
2
Se sustituye en el integrando:
 
= −∫ u du1 2
Integrando:
 
= +
= +
u C
u C
1 2
1 2
1
2
2
Con el valor de u, queda:
 = +( ) +2 2
1 2
tan x C
 = + +2 2tan x C
c) sen 3
1 3
3
x
x
dx
−( )
∫
cos
 
= −( ) −∫ 1 3 33cos x x dxsen
a a
a
a
m
m
=
= −
1 2
1
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 55 
Multiplicación del integrando por su conjugado
Si la función es:
u x
u x x
du x x dx
− −
( ) − −
( ) = ( )
1 3
1 3
3 3
cos
cos
sen
Completamos la diferencial multiplicando y dividiendo por 3:
 
= −( ) ( )−∫1
3
1 3 3 3
3
cos x x dxsen
Si sustituimos en el integrando:
 
= −∫1
3
3u du
Integrando
 
=
−





 +
=
−
+
= − +
−
−
1
3 2
6
1
6
2
2
2
u C
u C
u
C
Con el valor de u, queda:
= −
−( )
+1
6 1 3
2
cos x
C
a anm mn=
tan cot
tan
cot
cot
tan
A A
A
A
A
A
=
=
=
1
1
1
dx
x2 2+
∫
cos
Como el conjugado de 2 2+( )cos x es 2 2−( )cos x multiplicamos el numerador 
y el denominador del integrando por dicho conjugado.
=
+
−
−





∫ 12 2
2 2
2 2cos
cos
cosx
x
x
dx
El producto de un binomio conjugado es igual a la diferencia de sus cuadrados.
= −
+( ) −( )
∫ 2 2
2 2 2 2
cos
cos cos
x
x x
dx
EJEMPLO 4
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56 Cálculo integral
Factorizando:
= −
−
=
−( )
−( )
∫
∫
2 2
4 4
2 1
4 1
2
2
cos
cos
cos
cos
x
x
dx
x
x
dx
Reduciendo 24
1
2
= y extrayéndola del símbolo de integración, tenemos:
 
= −
−
∫1
2
1
1 2
cos
cos
x
x
dx
Como sen 2 21x x= − cos
Sustituyendo
 
= −
= −
∫
∫ ∫
1
2
1
1
2
1 1
2
2
2 2
cos
cos
x
x
dx
x
dx
x
x
dx
sen
sen sen
Como csc x
x
= 1
sen
sen sen sen
sen sen
2
1
x x x
x
x
x
x
x
=
= =cot cos ; csc
Al sustituir en los integrandos tenemos:
= − ∫∫1
2
1
2
2csc cot cscx dx x x dx
Integrando
= − + +1
2
1
2
cot cscx x C
a b a b a b+( ) −( ) = −2 2
a b a b a b+( ) −( ) = −2 2
Multiplicación y división del integrando por una misma cantidad
tan sec2 2x x dx∫
Si multiplicamos y dividimos el integrando por sec 2x , tenemos:
=








=
∫ tan sec sec
sec
tan sec
sec
2 2
2
2
2 2
2
x x
x
x
dx
x x
xx
dx
x x x dx
∫
∫= ( ) −sec tan sec2 2 21 2
EJEMPLO 5
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Capítulo 5 Integralesinmediatas. Funciones trigonométricas directas 57 
Descomposición de una parte del integrando en sus factores
Si la función es:
u x
u x x
du x x x dx
=
( ) =
( ) = ( )
sec
sec
tan sec
2
2
2 2 2
Sustituyendo el integrando y multiplicando y dividiendo por 2 para completar la 
diferencial:
= ( )
=
−
−
∫
∫
1
2
2 2 2 2
1
2
1 2
1 2
sec tan secx x x dx
u du
Integrando
= +
= +
+1
2 12
1 2
1 2
u C
u C
Si sustituimos el valor de u, queda:
= +sec 2x C
sen x dx
xcos 2
∫
cos cos cos
cos cos
2 x x x
x
x x
dx
=
= ∫ sen
sen= ∫ x
x x
dx
cos cos
1
Como tan
cos
x
x
x
= sen ; sec
cos
x
x
= 1 , tenemos:
 
= ∫ tan secx x dx
Integrando
 = +sec x C
EJEMPLO 6
csc
sec
cot
A
A
A
A
=
= ( ° − )
= +
1
90
1
sen
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58 Cálculo integral
Desarrollo de algunas operaciones algebraicas en el integrando
sec tanx x+( )∫ 2
Al desarrollar el binomio cuadrado perfecto, tenemos:
= + +( )
= +
∫ sec sec tan tan
sec sec tan
2 2
2
2
2
x x x x dx
x dx x x dx ++ ∫∫∫ tan 2 x dx
Como tan sec2 2 1x x= −
Integrando la primera y la segunda integral, y sustituyendo la identidad en la 
última:
= + + −( )
= + + −
∫
∫
tan sec sec
tan sec sec
x x x dx
x x x dx dx
2 1
2
2
2∫∫
Integrando
 
= + + − +
= + − +
tan sec tan
tan sec
x x x x C
x x x C
2
2 2
EJEMPLO 7
sen
sen
A
A
A
A
A
A
cos
tan
cos
cot
=
=
Integrar las siguientes expresiones:
a) 3 3 1cos x dx−( )∫
u x
u x x
du x dx
x dx
= −
( ) = −
( ) =
= −( )( )∫
3 1
3 1
3
3
3
3 1 3cos
Sustituyendo
 
= ∫ cos udu
Integrando
 = +sen u C
Si sustituimos el valor de u, tenemos:
 = −( ) +sen 3 1x C
EJEMPLOS 8
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 59 
b) sen 2
3
x dx∫
u x
u x x
du x dx
=
( ) =
( ) =
2
3
2
3
2
3
Multiplicamos y dividimos el integrando por 
2
3
=





 = ∫∫1
2
2
3
2
3
3
2
sen senx dx u du
Integrando: 
 
= − +3
2
cos u C
Si sustituimos el valor de u, obtenemos:
 
= − +3
2
2
3
cos x C
c) sen 3x dx∫
u x
u x x
du x dx
=
( ) =
( ) =
3
3
3
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 3:
 
= ( )
=
∫
∫
1
3
3 3
1
3
sen
sen
x dx
u du
Integrando
 
= − +1
3
cos u C
Si sustituimos el valor de u, obtenemos:
 
= − +1
3
3cos x C
d) sen 2 x x dxcos∫
u x
u x x
du x x dx
=
( ) =
( ) = −
sen
sen
cos
Sustituyendo en u du2∫ y multiplicamos y dividimos el integrando por -1.
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60 Cálculo integral
Integrando
 
= − +u C
3
3
Si sustituimos el valor de u, tenemos:
 
= − +1
3
3sen x C
e) x x dxsen 2∫
 
u x
u x x
du x xdx
= 2
2
2
( ) =
( ) =
Multiplicamos y dividimos el integrando por 2:
 
= ( )
=
∫
∫
1
2
2
1
2
x x dx
u du
sen
sen
Integrando
 
= − 1
2
cos u du
Si sustituimos el valor de u, queda:
= − +1
2
2cos x C
En el curso de cálculo diferencial se estableció que:
 sen sen
2 2x x= ( )
Estas expresiones son diferentes a sen x 2 , pero todas ellas tienen validez, 
como pudiste observar en los ejemplos anteriores.
f) cot 2 y dy∫
Como cot csc2 2 1y y= −
Sustituyendo en el integrando:
 
= −( )
= −
∫
∫∫
csc
csc
2
2
1y dy
y dy dy
Integrando
 = − − +cot y y C
g) dx
xsec 3 1−( )
∫
Como cos
sec
x
x
= 1
u du u
n
Cn
n
=
+
+
+
∫
1
1
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 61 
sec tan
tan sec
cos cot
2 2
2 2
2 2
1
1
1
A A
A A
A A
− =
− =
− =
Sustituyendo en el integrando
= −( )
= −
( ) = −
( ) =
∫ cos 3 1
3 1
3 1
3
x dx
u x
u x x
du x dx
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 3:
 
= −( )( )
=
∫
∫
1
3
3 1 3
1
3
cos
cos
x dx
u du
Integrando
 
= +1
3
sen u C
Si sustituimos el valor de u, tenemos:
 
= −( ) +1
3
3 1sen x C
h) 
cos
cos
3
3
3 3
2
2x
x
dx x x dx
sen
sen∫ ∫= −
 
u x
u x x
du x x dx
=
( ) =
( ) = ( )
sen
sen
3
3
3 3csc
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 3:
 
= ( )
=
−
−
∫
∫
1
3
3 3 3
1
3
2
2
sen x x dx
u du
cos
Integrando
 
=
−





 +
=
−
+
= − +
−
−
1
3 1
3
1
3
1
1
u C
u C
u
C
Si sustituimos el valor de u tenemos:
 = − +
1
3 3sen x
C
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62 Cálculo integral
i) −∫ 3
22
dx
xsen
Como csc x
x
= 1
sen
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
 
csc 2
2
1x
x
=
sen
Sustituimos en el integrando:
 
= −
=
( ) =
( ) =
∫ 3 2
2
2
2
2csc x dx
u x
u x x
du x dx
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 2:
 
= − ( )
= −
∫
∫
3
2
2 2
3
2
2
2
csc
csc
x dx
u du
Integrando
 
= − −( ) +
= +
3
2
3
2
cot
cot
u C
u C
Si sustituimos el valor de u, obtenemos:
 
= +3
2
2cot x C
j) tan
cos
5
52
x dx
x
∫
Como sec
cos
x
x
= 1
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
 
sec
cos
2
2
1x
x
=
Si sustituimos en el integrando, obtenemos:
 
= ∫ tan sec5 52x x dx
 
         tan
   tan
sec
u x
u x x
du x x dx
=
=
=
5
5
5 52
( )
( ) ( )
cos sec
cos
sec
sec
cos
A A
A
A
A
A
=
=
=
1
1
1
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 63 
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 5:
= ( )
=
∫
∫
1
5
5 5 5
1
5
2tan secx x dx
u du
Integrando
 
= +1
5 5
2u C
Si sustituimos el valor de u, tenemos:
 
= ( ) +
= +
1
5
5
2
1
10
5
2
2
tan
tan
x
C
x C
k) dx
x5 5+
∫
cos
Multiplicamos el integrando por el conjugado del denominador:
=
+






+
−






= −
∫ 1
5 5
5 5
5 5
5 5
cos
cos
cos
c
x
x
x
dx
oos
cos cos
cos
cos
x
x x
x
x
dx
5 5 5 5
5 5
25 25 2
+( ) −( )
= −
−
∫
∫
Factorizando
 
=
−( )
−( )∫
5 1
25 1 2
cos
cos
x
x
dx
Como sen 2 21x x= − cos
Sustituimos en el integrando y reducimos 
5
25
:
 
= −∫1
5
1
2
cos x
x
dx
sen
Separamos en dos integrales:
 
= −
= −
∫∫1
5
1 1
5
1
5
1 1
5
2 2
2
sen sen
sen se
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
cos
cos
nn senx x
dx1





∫∫
Como csc ; cot
cos
; csc2
2
1 1= = =
sen sen senx
x
x
x
x
x
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64 Cálculo integral
Sustituimos en los integrados:
= − ∫∫1
5
1
5
2csc cot cscx dx x x dx
Integrando
 
= − − −( ) +
= − + +
1
5
1
5
1
5
1
5
cot csc
cot csc
x x C
x x C
l) 
5
12
dx
x xcos tan +
∫
Como sec
cos
x
x
= 1
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
 
sec
cos
2
2
1x
x
=
Sustituimos en el integrando:
 
=
+
=
+( )
= +( )
∫
∫
−
5
1
5
1
5 1
2
2
1 2
sec
tan
sec
tan
tan
x
x
dx
x
x
dx
x
11 2 2sec x dx∫
 
u x
u x x
du x x dx
= +
( ) = +
( ) =
tan
tan
sec
1
1
2
= −∫5 1 2u du
Integrando
 
= +5
1
2
1 2u C
Sustituyendo el valor de u, queda:
 = + +10 1tan x C
m) sec 4 x dx∫
Como sec sec sec4 2 2x x x=
 = ∫ sec sec2 2x x dx
Además, sec tan2 21x x= +
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 65 
Sustituimos en el integrando:
= +( )
= +( )
=
∫
∫
1 2 2
2 2 2
2
tan sec
sec tan sec
sec
x x dx
x x x dx
x dxx x x dx∫ ∫+ tan sec2 2
 
u x
u x x
du x x dx
=
( ) =
( ) =
tan
tan
sec 2
Integramos la primera integral y realizamos la sustitución en la segunda:
 
= + ∫tan x u du2
Integrando
 
= + +tan x u C
3
3
Si sustituimos el valor de u, tenemos:
 
= + +tan tanx x C1
3
3
n) sen sen sen3 2x dx x x dx∫ ∫=
Como sen 2 21x x= − cos
Sustituimos en el integrando:
 
= −( )
= −
= −
∫
∫
sen
sen sen
sen sen
x x dx
x x x dx
x dx x
1 2
2
cos
cos
ccos 2 x dx∫∫
 
u x
u x x
du x x dx
=
( ) =
( ) = −
cos
cos
sen
Integramos la primera integral y hacemos el cambio de variable en la segunda 
integral:
 
=− − −( )
= − +
∫
∫
cos
cos
x u du
x u du
2
2
Integrando
 
= − + +cos x u C1
3
3
Si sustituimos el valor de u, obtenemos:
 
= − + +cos cosx x C1
3
3
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66 Cálculo integral
o) csc cot5 5x x dx∫
 
u x
u x x
du x dx
=
( ) =
( ) =
5
5
5
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 5
= ( )
=
∫
∫
1
5
5 5 5
1
5
5
csc cot
csc cot
x x dx
u u du
Integrando
 
= − +1
5
csc u C
Si sustituimos el valor de u, obtenemos:
 
= − +1
5
5csc x C
p) tan sec2 23 5x x dx−( )∫
 
= −∫ ∫tan sec2 23 5x dx x dx
Como tan sec2 2 1x x= − , entonces tan sec2 23 3 1x x= −
Sustituimos en el primer integrando:
 
= −( ) − ∫∫ sec sec2 23 1 5x dx x dx
 
u x w x
u x x
= =
( ) =
3 5
3 w x x
du x dx dw x dx
( ) =
( ) = ( ) =
5
3 5
Multiplicamos y dividimos el primer integrando entre 3 y el último entre 5:
= ( ) − − ( )∫∫∫1
3
3 3 1
5
5 52 2sec secx dx dx x dx
Hacemos los cambios de variable:
 
= − − ∫∫∫1
3
1
5
2 2sec secu du dx w dw
Integramos
 
= − − +1
3
1
5
tan tanu x w C
Sustituimos el valor de u y el valor de w para obtener:
 
= − − +1
3
3 1
5
5tan tanx x x C
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 67 
q) tan
cos
6
62
x
x
dx∫
Como sec
cos
x
x
= 1 , entonces sec
cos
6 1
6
x
x
=
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
 
sec
cos
2
2
6 1
6
x
x
=
Sustituimos en el integrando:
= ∫ tan sec6 62x x dx
 
u x
u x x
du x x dx
=
( ) =
( ) = ( )
tan
tan
sec
6
6
6 62
Multiplicamos y dividimos entre 6:
 
= ( )
= ∫
1
6
6 6 6
1
6
2tan secx x dx
u du
Integrando:
 
= +1
6 2
2u C
Si sustituimos el valor de u, obtenemos:
 
= +1
12
62tan x C
r) sec tanx x dx−( )∫ 2
Al desarrollar el binomio cuadrado perfecto:
 
= − +( )∫ sec sec tan tan2 22x x x x dx
Como tan sec2 2 1x x= −
Sustituimos en el integrando:
 
= − + −( )
= − −
∫ sec sec tan sec
sec sec tan
2 2
2
2 1
2 2
x x x x dx
x x x 11
2 22
( )
= − −
∫
∫∫∫
dx
x dx x x dx dxsec sec tan
Integrando
 = − − +2 2tan secx x x C
Factorizamos el número 2 en el primer y segundo términos:
 = −( ) − +2 tan secx x x C
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68 Cálculo integral
s) dx
x1 +
∫
sen
Multiplicamos el integrando por su conjugando del denominador:
=
+
−
−






= −
+( )
∫ 1
1
1
1
1
1 1
sen
sen
sen
sen
sen
x
x
x
dx
x
x −−( )
= −
−
∫
∫
sen
sen
sen
x
dx
x
x
dx
1
1 2
Como 1 2 2− =sen x xcos
Sustituimos en el integrando:
= −
= −
∫
∫∫
1
1
2
2 2
sen
sen
x
x
dx
x
dx
x
dx
cos
cos cos
Como sec
cos
x
x
= 1 ; cos cos cos2 x x x=
Sustituimos en los integrandos:
 
= −





∫∫ sec cos cos
2 1x dx
x
x x
dx
sen
Como sen x
x
x x
xcos
tan ; sec
cos
= = 1
Sustituimos el segundo de los integrandos:
 
= − ∫∫ sec tan sec2 x dx x x dx
Integrando:
 = − +tan secx x C
Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se 
enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente!
Lo que debes saber
•	 Integrales inmediatas
•	 Identidad pitagórica
•	 Identidad trigonométrica recíproca
05_Calculo_Integral.indd 68 07/04/13 12:20
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 69 
Ejercicios de repaso 
1. Calcula las siguientes integrales. Se incluyen ejercicios de otras integrales inmediatas.
a) sen 4 y y dycos∫ Solución: 1
5
5sen y C+
b) 
sec 2
2
y
y
dy∫ Solución: tan y C+
c) 6
3
dx
x
∫ Solución: − +32x C
d) cos sen2 5 5y y dy∫ Solución: − +1
15
53cos y C
e) 3 senx x dx2∫ Solución: − +3
2
2cos x C
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70 Cálculo integral
f) 7 2tan x dx∫ Solución: 7 7tan x x C− +
g) 
dy
y3 5+( )
∫ Solución: −
+( )
+1
4 3 4y
C
h) cos 4x dx∫ Solución: 1
4
4sen x C+
i) x dx−∫ 1 3 Solución: 3
2
23 x C+
j) dx
x 3
∫ Solución: − +1
2 2x
C
k) sec 2 2x dx∫ Solución: 1
2
2tan x C+
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 71 
l) 3 2 8
3 2y y dy−∫ Solución: 9
16
2 8 2 82 23y y C−( ) − +
m) cos 4 3 3y y dysen∫ Solución: − +1
5
35cos y C
n) sen 3 y y dycos∫ Solución: 1
4
4sen y C+
o) 2 3
2
−( )∫ y dy Solución: 4
7
4
7
y y y C− + +
p) 5 2tan y dy∫ Solución: 5 5tan y y C− +
q) tan 2 3 1x dx−( )∫ Solución: 1
3
3 1tan x x C−( ) − +
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72 Cálculo integral
r) 1 3
2
+( )∫ y dy Solución: y y y C+ + +
4 7
2 7
s) x x dx3 4cos∫ Solución: 1
4
4sen x C+ 
t) sen 2 3 3x x dxcos∫ Solución: 1
9
33sen x C+ 
u) tan sec5 22 2x x dx∫ Solución: 1
12
2
6
tan x C( ) +
v) 
5
22
dx
x xcos tan −
∫ Solución: 10 2 1 2tan x C−( ) +
w) tan 2 2y dy∫ Solución: 1
2
2tan y y C− +
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 73 
x) tan∫ 4 x dx Solución: 1
3
3tan tanx x x C− + +
y) 1 2−( )∫ x x dx Solución: 2
3
4
5
2
7
2 3x x x x x x C− + +
z) 2
3
+∫ x
x
dx Solución: − − +1 1
2x x
C
aa) sec 2 5x dx∫ Solución: 1
5
5tan x C+
ab) csc 2 3 5+( )∫ x dx Solución: − +( ) +1
5
3 5cot x C
ac) 
2
52
dy
ysen
∫ Solución: − +2
5
5cot y C
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74 Cálculo integral
ad) sen 3 2 2y y dycos( )∫ Solución: 1
8
24sen y C+
ae) tan sec2 23 3x x dx−( )∫ Solución: − +x C
af) 
3
2
−∫ cos x
xsen
 Solución: − + +3 cot cscx x C
ag) 1
2sen y
dy∫ Solución: − +cot y C
ah) csc cot3
4
3
4
x x dx∫ Solución: − +4
3
3
4
csc x C
2. Para cada una de las siguientes integrales indica cuál de los procedimientos vistos en el 
capítulo aplicarías para resolverla.
a) tan 2 ax dx∫ Solución: Sustituir el integrando por una
 identidad pitagórica.
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Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 75 
b) 
dy
ysen −
∫
3
 Solución: Multiplicar el integrando por su 
 conjugado.
c) −∫ cos1 2 3 3x x dxsen Solución: El integrando es el producto de una 
 potencia trigonométrica por su 
 diferencial.
d) dx
axcos 2
∫ Solución: El integrando se sustituye por una 
 identidad trigonométrica recíproca.
e) sec tan2 5y y dy+∫ Solución: El integrando es el producto de una
 potencia trigonométrica por su 
 diferencial.
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76 Cálculo integral
3. Calcula las siguientes integrales:
a) sen 5 54 3x x dxcos∫ Solución: 3
35
5 52 3cos cosx x C+
b) 2 52tan x dx∫ Solución: 2
5
5 2tan x x C− +
c) −∫ dy
bysen 2
 Solución: 1
b
by Ccot +
d) 
tan
cos sec
x
x x
dx
−
∫
1
 Solución: 2 1sec x C− +
e) 2
3
dx
x xsec sen
∫ Solución: − +csc 2 x C
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Integrales inmediatas. 
Funciones trigonométricas 
inversas
CAPÍTULO
6
Introducción
En este capítulo analizaremos las últimas fórmulas 
básicas de integración. Con esto daremos por terminado 
el estudio de las integrales inmediatas.
Fórmulas de integración de funciones 
trigonométricas inversas
du
a u
u
a
C
du
a u a
u
a
C
du
u u
2 2
2 2
2
1
−
= +
+
= +
−
∫
∫
arc sen
arc tan
aa a
u
a
C
2
1= +∫ arc sec
Algunos procedimientos de integración de las funciones 
trigonométricas inversas
a) Integrar:
dx
x9 2−
∫
Para aplicar la fórmula du
a u
u
a
C
2 2−
= +∫ arc sen , es necesario identificar 
los valores de a2, a, u2, u y calcular u(x) y du (x).
EJEMPLOS 1
u x
u x
u x x
du x dx
2 2=
=
( ) =
( ) =
a
a
2 9
3
=
=
06_Calculo_Integral.indd 77 07/04/13 12:24
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78 Cálculo integral
El integrando está completo porque incluye la función multiplicadapor su 
diferencial. De este modo, podemos aplicar la fórmula de integración citada.
dx
x
du
a u9 2 2 2−
=
−
∫ ∫
Integramos:
= +arc sen u
a
C
Al sustituir los valores de a y de u:
= +arc sen x C
3
b) dx
x3 4 2+
∫
Para aplicar la fórmula du
a u a
u
a
C2 2
1
+
= +∫ arc tan se identifican los 
valores de a2, a, u2, u y se calculan u(x) y du(x).
 
a
a
2 3
3
=
=
u x
u x
u x x
du x dx
2 24
2
2
2
=
=
( ) =
( ) =
Para completar la diferencial se tiene que multiplicar y dividir entre 2. Con este 
procedimiento no se altera el valor del integrando porque se está multiplicando 
por 1:
=
+
∫1
2
2
3 4 2
dx
x
Sustituimos en el integrando:
=
+
∫1
2 2 2
du
a u
Integramos:
=





 +
1
2
1
a
u
a
Carc tan
Con los valores de a y de u, tenemos:
1
6
3
2 3
3
arc tan
x
C+
a
b
c
d
ac
bd











 = 
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Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas 79 
c) 
3
22x
dx
+
∫
Identificamos a2, a, u2, u y calculamos u (x) y du(x)
a
a
2 2
2
=
=
u x
u x
2 2=
=
 
u x x
du x dx
( ) =
( ) =
Sustituimos en el integrando:
 
=
+
∫3 2 2duu a
Integramos:
 
=





 +3
1
a
u
a
Carc tan
Con los valores de a y u, tenemos:
= +3
2
2
2
2
arc tan
x
C
Estos ejemplos se han resuelto aplicando en forma directa las fórmulas de integra-
ción. En el segundo de ellos únicamente fue necesario completar su diferencial. En 
otros casos, es necesario aplicar alguno de los procedimientos que se citan a conti-
nuación.
El integrando se expresa como la suma 
de dos cocientes
x
x
dx+
−
∫ 4
9 2
Separamos en dos integrales:
x
x
dx
x
dx
9
4
92 2−
+
−
∫ ∫
EJEMPLO 2
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80 Cálculo integral
u x
u x x
du x x dx
= −
( ) = −
( ) = −
9
9
2
2
2
Multiplicamos y dividimos entre (−2) la primera integral:
= − −( ) −( ) +
−
−∫ ∫1
2
9 2 4
9
2 1 2
2
x x dx dx
x
Para el resultado de la segunda integral, tomamos el del primer ejemplo de 
este apartado:
= − + +−∫1
2
4
3
1 2u du x Carc sen
Integramos:
= − + +1
2 1
2
4
3
1 2u x Carc sen
Con el valor de u, tenemos:
= − −( ) + +9 4
3
2 1 2x x Carc sen
Este resultado se puede expresar en la forma siguiente:
= − − + +9 4
3
2x x Carc sen
El integrando es una fracción donde el numerador es dx y el 
denominador es de la forma ax bx C2 + +bx , esté dentro o fuera de 
un radical de índice 2.
Algunos de estos casos pueden integrarse completando el cuadrado ax bx2 + . La 
integral resultante puede ser cualquiera de las formas siguientes:
du
u a
du
a u
du
u a
du
u
2 2
2 2
2 2
2
±
−
∫
∫
∫
∫
±
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Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas 81 
Completar el cuadrado es un procedimiento que resulta de gran utilidad cuando el 
integrando incluye funciones cuadráticas. En el curso de aritmética y álgebra apren-
diste que para completar un cuadrado debes sumar a la expresión el cuadrado de la 
mitad del coeficiente de x.
x bx c x bx b b c2 2
2 2
2 2
+ + = + +





 −





 +
Observa que para conservar la igualdad hemos sumado y restado b2
2( ) .
6
4 82
dx
x x− +
∫
Al completar el cuadrado del denominador, se tiene:
x x x x
x
2 2
2
4 8 4 4 4 8
2 4
− + = − +( ) − +
= −( ) +
EJEMPLO 3
El tercer término del trinomio se obtuvo con la mitad de b al cuadrado 42
2 4
2
2( ) = = . 
Recuerda que la factorización del trinomio cuadrado perfecto es un binomio forma-
do por la raíz del primer término, el signo del segundo y la raíz del tercero, elevado 
al cuadrado.
=
−( ) +
∫6
2 42
dx
x
u x
u x
u x x
du x dx
2 22
2
2
= −( )
= −
( ) = −
( ) =
a
a
2 4
2
=
=
Sustituimos en el integrando:
=
+
∫6 2 2duu a
Integramos:
=





 +6
1
a
u
a
Carc tan
a
b
c
d
ad
bc
=
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82 Cálculo integral
Cómo completar el cuadrado cuando el coeficiente de x2 es negativo
Con los valores de a y u, tenemos:
=





 − +
= − +
= −
6 1
2
2
2
6
2
2
2
3
arc tan
arc tan
arc tan
x C
x C
x 22
2
+ C
EJEMPLO 4
dx
x x3 2−
∫
Si se completa el cuadrado del denominador tenemos:
3 3
3 3
2
3
2
2 2
2
2
x x x x
x x
− = − −( )
= − − +





 −














= − −





 −






2
2
3
2
3
2
x
22







Observa el signo menos que precede a los corchetes.
=





 − −





3
2
3
2
2 2
x
a
a
2
2
3
2
3
2
=






=
u x
u x
u x x
du x dx
2
2
3
2
3
2
3
2
= −






= −
( ) = −
( ) =
EJEMPLO 5
a am
n mn( ) =
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Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas 83 
Sustituimos en el integrando:
dx
x
du
a u3
2
3
2
2 2 2 2




 − −






=
−
∫ ∫
Integramos:
 
= +arc sen u
a
C
Con los valores de a y u, tenemos:
=
−
+
=
−
+
= −(
arc sen
arc sen
arc sen
x
C
x
C
x
3
2
3
2
2 3
2
3
2
2 2 3))
( )
+
= −( ) +
2 3
2 3
3
C
x
Carc sen
x
x x2 8 92 − +
∫
Factorizamos la expresión 2 82x x− antes de completar el cuadrado.
2 8 9 2 4 9
2 4 4 4 9
2 2
2
x x x x
x x
− + = −( ) +
= − + −( ) +
Observa que el factor 2 afecta toda la expresión que está entre paréntesis:
 
= − +( ) − ( ) +2 4 4 2 4 92x x
EJEMPLO 6
Cómo completar el cuadrado cuando el coeficiente de x2 no es la unidad
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84 Cálculo integral
Factorizamos el trinomio y sumamos:
 = −( ) +2 2 1
2x
Sustituimos en el integrando:
=
−( ) +
∫ dx
x2 2 12
 
u x
u x
u x x
du x dx
2 22 2
2 2
2 2
2
= −( )
= −( )
( ) = −( )
( ) =
a
a
2 1
1
=
=
Multiplicamos y dividimos en el integrando entre 2
 
=
−( )  +
∫1
2
2
2 2 1
2
dx
x
Sustituimos en el integrando:
 
=
+
∫1
2 2 2
du
u a
Integramos:
 
=





 +
1
2
1
a
u
a
Carc tan
Con el valor de u y con el de a, tenemos:
=






−( ) +
= −( ) +
1
2
1
1
2 2
1
1
2
2 2
arc tan
arc tan
x
C
x C
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Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas 85 
Integra:
a) 
dx
x9 16 2−
∫
a
a
2 9
3
=
=
u x
u x
u x x
du x dx
2 216
4
4
4
=
=
( ) =
( ) =
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 4:
 =
−
∫1
4
4
9 16 2
dx
x
Sustituimos en el integrando:
 = −
∫1
4 2 2
du
a u
Integramos:
 
= +1
4
arc sen u
a
C
Con los valores de a y u, tenemos:
= +1
4
4
3
arc sen x C
b) 
dy
y y 2 16−
∫
a
a
2 16
4
=
=
u y
u y
u y y
du y dy
2 2=
=
( ) =
( ) =
Sustituimos en el integrando:
 
=
−
=∫ du
u u a2 2
EJEMPLOS 7
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86 Cálculo integral
Integramos:
= +1
a
u
a
Carc sec
Con los valores de a y u, tenemos:
= +1
4 4
arc sec y C
c) 
dx
y25 4 2−
∫
a
a
2 25
5
=
=
u y
u y
u y dy
du y dy
2 24
2
2
2
=
=
( ) =
( ) =
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 2:
=
+
∫1
2
2
25 4 2
dx
y
 
Sustituimos en el integrando:
=
+
∫1
2 2 2
du
a u
Integramos:
=





 +
1
2
1
a
u
a
Carc tan
Con los valores de a y u, tenemos:
=





 +
1
2
1
5
2
5
arc tan y C
= +1
10
2
5
arc tan y C 
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Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas 87 
d) 
ydy
y5 2 4+
∫
a
a
2 5
5
=
=
u y
u y
u y y
du y y dy
2 4
2
2
2
2
2
2 2
=
=
( ) =
( ) =
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 2 2 .
=
+
∫1
2 2
2 2
5 2 4
y dy
y
Sustituimos en el integrando:
=
+
∫1
2 2 2 2
du
a u
Integramos:
=





 +
1
2 2
1
a
u
a
Carc tan
Con los valores de a y u, tenemos:
=





 +
= +
1
2