Cálculo Proposicional

Vista previa del material en texto

CÁLCULO
PROPOSICIONAL
2
VARIABLE PROPOSICIONAL
Es aquella que puede representar a una proposición simple o compuesta pero su valor de verdad es desconocido, mientras no se especifiquen los valores de verdad de las proposiciones involucradas.
Las variables proposicional se las representa con las ultimas letras minúsculas del alfabeto español, ejemplo: p, q, r, etc.
3
FORMA PROPOSICIONAL
Son estructuras constituidas por variables proposicionales y relacionadas con los operadores lógicos.
 Se las representa con las letras mayúsculas del alfabeto español A,B, C….D.
Ejemplo:
4
FORMA PROPOSICIONAL
Observaciones 
Las formas proposicionales no tienen valor de verdad conocido y, por lo tanto, no serán consideradas proposiciones.
 Si cada variable proposicional es reemplazada por una proposición simple o compuesta, la forma proposicional se convierte en una proposición.
5
FORMA PROPOSICIONAL
Ejemplo
Dada la siguiente forma proposicional. Construya la Tabla de verdad de una forma proposicional. 
6
FORMA PROPOSICIONAL
Debido a la presencia de las 3 variables proposicionales p, q y r, existirán 23 proposiciones posibles en la tabla de verdad de A. 
Cuando las variables proposicionales p, q y r toman los valores de verdad 1, 0 y 1, respectivamente, se puede apreciar que la proposición resultante es verdadera. 
7
 
	 
 p	 
 q 	
	 V 	 V	 F V V F F
	 V	 F	 F V F V V
	 F	 V	 V F F V F 
	 F	 F	 V F F F V
Ejemplo: 
Construir la tabla de vedad para las siguientes formas proporcionales
Solución:
8
 
	 p	 q	 r						
	 V	 V	 V	 F F V	V	 V	V	V	 
	 V	 V	 F	 F F V	V	 V	V	V	 
	 V	 F	 V	 F F V	V	 V 	F	F	 
	 V	 F	 F	 F F F	V	 V	F	F	 
	 F 	 V	 V	 V V V	V	 V	V	V	 
	 F	 V	 F	 V V V	F	 F	F	V	 
	 F	 F	 V	 V V V	F	 V	F	F	 
	 F	 F	 F	 V F F	V	 F	F	F	 
Solución:
Ejemplo: 
Construir la tabla de vedad para las siguientes formas proporcionales
9
TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS:
Dada la estructura lógica de una forma proposicional:
 
Es Tautología, si los valores de su tabla de verdad todos son verdaderos
Es Contradicción, si los valores de su tabla de verdad, todos son falsos.
Es Contingencia, si los valores de su tabla de verdad hay valores verdaderos y falsos
Ejercicio: Determinar si la siguiente forma proposicional es tautológico, consistente o contradictorio.
	 
 p	 
 q 	 
	 V 	 V	 F V V F F F V V 
	 V	 F	 F V V V F F V V 
	 F	 V	 F V V F F V V F 
	 F	 F	 V F V V V V V F 
10
Cálculo Proposicional
Determina el valor de verdad de las siguientes expresiones, si se sabes que:
(V)	p: María es doctora.
(F)	q: María es casada.
(V)	r: María vive con sus padres.
(F)	s: María viajará a España.
		(q  r)  s		(p  r)  (p  q)
 	 (F  F)  F	 	(V  V)  (V  F)
 V  F	 	 V  F
 F			 V
EJERCICIOS
1. Si se sabe únicamente que P es verdadero, ¿Qué puede afirmarse del valor de verdad de cada una las proposiciones siguientes?
P Λ Q            R → P                   S → ~ P
R Ѵ P        P → Q              R → (S → P)
R Λ P        P → P Ѵ S         P Ѵ S → (Q Λ ~ P)
S Ѵ ~ P  ~ P → Q Λ R      Q Λ ~ P → R Λ Q
2.- Determinar cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías:
P Λ Q → P Λ R                   (P → Q ) → ( ~ Q →P )
P → P Λ Q                         (P ↔ Q) Λ (P Λ ~ Q)
P Λ ~ (Q Ѵ P)                    P Λ ~ ((P Ѵ Q) Ѵ R)
(P → (Q Ѵ ~ P)) → ~ Q        P Ѵ (~ P Ѵ R)
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
13
IMPLICACIÓN LÓGICA
Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A implica lógicamente a B, denotado por A®B , si y sólo si A®B es una tautología. 
Las formas proposicionales pueden ser conectadas con operadores lógicos para formar nuevas formas proposicionales. Dadas A y B, los símbolos: 
RECORDEMOS:
14
EJEMPLO DE IMPLICACIÓN LÓGICA
Dada las siguientes formas proposicionales, demostrar que A implica a B 
	A: p Ù q 
	B: p Ú q 
Solución:
Unimos con la condicional (p  q)  (p  q) y construimos la tabla:
El resultado es tautología, se ha demostrado que A implica a B. 
15
EQUIVALENCIA LÓGICA
Se dice que dos proposiciones son equivalentes, si tienen iguales valores de verdad.
Se lo representa por “  ” pero no es un operador lógico. 
Solución: se construye la tabla de verdad y luego se verifica los resultados
	 p	 q		~p ∨ q
	 V	 V	 V	 V
	 V 	 F	 F	 F
	 F	 V	 V	 V
	 F	 F	 V	 V
Resp: si son equivalentes
Ejjercicio: Demostrar que las siguientes formas proposicionales son equivalentes 
16
Principales leyes lógicas o Tautologías:
17
Principales Leyes Lógicas
18
Equivalencias Notables
19
Equivalencias notables:
20
Principales leyes lógicas
21
Principales leyes lógicas
22
CUANTIFICADORES
Función Proposicional:
Es todo enunciado abierto, que tiene la propiedad de convertirse en una proposición al ser sustituido la variable “x” por una constante específica. Se les denota asi:
P(x) ; q(x) ; etc.
Ejemplo:
 Sea : p(x): x+5=12 ; donde si reemplazamos x por 3 , la expresión es falsa; si reemplazamos x por 7, la expresión es verdadera. Esto escribimos asi:
P(3): 3+5=12 es falsa
P(7): 7+5=12 es verdadera.
23
TIPOS DE CUANTIFICADORES
1.- Cuantificador Universal:
Es toda función proposicional presedida por el Prefijo “Para Todo”, que está denotado por: 
Así por ejemplo:
Se lee: “Para todo x perteneciente a los reales, x2es mayor o igual a cero”
2.- Cuantificador Existencial
 Es toda función proposicional presedida por el prefijo “Existe algún x”, que está denotado por : 
24
Negación de los Cuantificadores:
Dada una función proposicional , tal como : P(x), entonces
 si esta función proposicional está cuantificada y se niega,entonces, se cumple la siguiente igualdad: 
Dada una función proposicional, tal como : P(x), entonces, si esta función proposicional está cuantificada en forma existencial y se niega, entonces, se cumple la igualdad:
25
Circuitos lógicos
Llamados también redes lógicas. Son como su nombre indica, redes que representan posiciones lógicas.
 Estas redes se presentan como redes en serie o como redes en paralelo
 /p /q
26
.
P/
q/
27
Circuitos lógicos
Describir simbólicamente el circuito
p
r
~q
q
~r
1. r y ~q están conectados en paralelo : r v ~q
2. P y (r y ~q) están conectados en serie:
3. q y ~r están conectados en serie:
y
Están conectados en paralelo,
Luego se simboliza:
28
Circuitos lógicos
Determinar el circuito equivalente al circuito:
~p
Solución
El circuito se simboliza por:
~p
q
p
q
~p
29
Circuitos lógicos
Solución
Simplificamos utilizando las leyes lógicas y las equivalencias notables.
Asociativa
Ley del tercio excluido , Idempotencia.
Elemento neutro para la conjunción
El circuito equivalente es: 
~p
q
image2.png
image3.png
image4.wmf
[
]
q
p
q
p
-
Û
Ù
Þ
-
)
(
image5.wmf
[
]
q
p
q
p
B
-
Û
Ù
Þ
-
(
:
oleObject1.bin
oleObject2.bin
image6.wmf
[
]
[
]
q
r
p
r
q
pC
Ù
Ú
Þ
Ú
Ù
-
)
(
)
(
:
image7.wmf
[
]
[
]
q
r
p
r
q
p
Ù
Ú
Þ
Ú
Ù
-
)
(
)
(
oleObject3.bin
oleObject4.bin
image8.wmf
p
 
 
p)]
~
 
 
q
(~
 
 
q)
 
(p
 
[~
Ú
Ù
Û
Ú
image9.wmf
p
p)]
~
q
(~
q)
(p
[~
Ú
Ù
Û
Ú
oleObject5.bin
oleObject6.bin
image10.png
image11.png
image12.wmf
,
:
:
q
p
B
q
p
A
Ù
-
Þ
image13.wmf
q
p
Þ
oleObject7.bin
oleObject8.bin
image14.wmf
[
]
q
q
p
b
p
q
p
a
ción
Simplifica
de
Ley
q
q
p
p
Ponens
Modus
Del
Ley
p
p
excluido
Tercio
del
Ley
p
p
ión
contradicc
de
Ley
p
p
y
p
p
identidad
de
tiene
se
estas
Entre
Þ
Ù
Þ
Ù
-
Þ
Þ
Ù
-
-
Ú
-
-
Ù
-
Û
Þ
-
)
)
:
.
5
)
(
:
.
4
 
:
.
3
)
(
~
 
:
.
2
 
:
.
1
:
oleObject9.bin
image15.wmf
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
p
q
p
q
p
b
p
q
q
p
a
Absurdo
del
Ley
q
q
q
p
Disyuntivo
ismo
Si
del
Ley
r
p
r
q
q
p
hipotètico
ismo
Si
del
Ley
q
q
q
p
Tollens
Modus
de
Ley
Þ
-
Þ
-
Ù
Þ
-
-
Þ
-
Ù
Þ
-
Þ
-
Ù
Ú
-
Þ
Þ
Þ
Ù
Þ
-
Þ
-
Ù
Þ
)
(
)
(
)
)
(
)
:
.
9
)
(
:
log
.
8
)
(
)
(
)
(
log
.
7
)
(
:
..
6
oleObject10.bin
image16.wmf
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
:
.
4
)
)
)
:
.
3
)
)
:
.
2
)
(
:
)
(
:
.
1
r
q
p
r
q
p
c
r
q
p
r
q
p
b
r
q
p
r
q
p
a
Asociativa
Ley
p
q
q
p
c
p
q
q
p
b
p
q
q
p
a
a
Conmutativ
Ley
p
p
p
b
p
p
p
a
ia
Idempotenc
de
Ley
p
p
negación
Doble
involución
de
Ley
Û
Û
º
Û
Û
Ú
Ú
º
Ú
Ú
Ù
Ù
º
Ù
Ù
-
Û
º
Û
Ú
º
Ú
Ù
º
Ù
-
º
Ú
º
Ù
-
º
-
-
-
oleObject11.bin
image17.wmf
F
p
p
c
p
p
b
V
q
p
a
o
Complement
de
Leyes
q
p
q
p
b
q
p
q
p
a
Morgan
D
de
Ley
r
p
q
p
r
q
p
d
r
p
q
p
r
q
p
c
r
p
q
p
r
q
p
b
r
p
q
p
r
q
p
a
vas
Distributi
Leyes
º
-
Ù
º
-
-
º
-
Ú
-
-
Ú
-
º
Ù
-
-
Ù
-
º
Ú
-
-
Þ
Ú
Þ
º
Ú
Þ
Þ
Ù
Þ
º
Ù
Þ
Ú
Ù
Ú
º
Ù
Ú
Ù
Ú
Ù
º
Ú
Ù
-
)
)
(
)
)
:
.
7
)
(
)
)
(
)
:
´
.
6
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
:
.
5
oleObject12.bin
image18.wmf
q
p
q
p
p
d
q
p
q
p
p
c
p
q
p
p
b
p
q
p
p
a
Absorsión
de
Ley
F
F
p
d
p
F
p
c
p
V
p
b
V
V
p
a
Identidad
de
Leyes
q
p
q
p
q
p
b
p
q
q
p
q
p
a
nal
Bicondicio
del
Ley
p
q
q
p
c
q
p
q
p
b
q
p
q
p
a
onal
delCondici
Leyes
Ú
º
Ù
-
Ú
Ù
º
Ú
-
Ù
º
Ù
Ú
º
Ú
Ù
-
=
Ù
=
Ú
=
Ù
=
Ú
-
-
Ù
-
Ú
Ù
º
Û
Þ
Ù
Þ
º
Û
-
-
Þ
-
º
Þ
-
Ù
º
Þ
-
Ú
-
º
Þ
-
)
(
)
)
(
)
)
(
)
)
(
)
:
.
11
)
)
)
)
:
.
10
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
:
.
9
)
(
)
)
(
)
)
:
.
8
oleObject13.bin
image19.wmf
[
]
[
]
ión
Contradicc
C
ía
Tauto
T
C
C
p
d
p
C
p
c
T
T
p
b
p
T
p
a
Neutros
Elementos
r
p
p
p
p
p
r
p
p
p
p
b
r
q
p
r
q
p
a
n
Exportació
de
Ley
p
q
q
p
b
p
q
q
p
a
ión
Transposic
de
Ley
n
n
n
=
=
º
Ù
º
Ú
º
Ú
º
Ù
-
Þ
Þ
Ù
Ù
Ù
º
Þ
Ù
Ù
Ù
Þ
Þ
º
Þ
Ù
-
-
Û
-
º
Û
-
Þ
-
º
Þ
-
;
log
)
)
)
)
:
.
14
)
(
)
....
(
)
....
(
)
)
(
)
(
)
:
.
13
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
:
.
12
3
2
1
3
2
1
oleObject14.bin
image20.wmf
"
image21.wmf
0
:
2
³
Î
"
x
R
x
image22.wmf
0
8
2
:
:
"
lg
"
:
:
2
=
-
Î
$
$
x
R
x
Ejemplo
x
ún
a
Existe
lee
se
x
oleObject15.bin
oleObject16.bin
oleObject17.bin
image23.wmf
[
]
)
(
:
)
(
:
x
p
A
x
x
p
A
x
-
Î
$
º
Î
"
-
image24.wmf
[
]
)
(
:
)
(
:
x
p
A
x
x
p
A
x
-
Î
"
º
Î
$
-
oleObject18.bin
oleObject19.bin
image25.wmf
:
q
p
CONJUNCIÓN
la
con
seasocia
serie
en
Conexión
Una
Ù
-
oleObject20.bin
image26.wmf
:
q
p
DISYUNCIÓN
la
con
asocia
se
paralelo
en
Conexión
Una
Ú
-
oleObject21.bin
image27.wmf
q)
~
(r
p
Ú
Ù
image28.wmf
r
~
 
q
Ù
image29.wmf
q)
~
(r
p
Ú
Ù
image30.wmf
r
~
 
q
Ù
image31.wmf
[
]
r)
~
(q
q)
~
(r
p
Ù
Ú
Ú
Ù
oleObject26.bin
oleObject22.bin
oleObject23.bin
oleObject24.bin
oleObject25.bin
image32.wmf
(
)
[
]
(
)
[
]
p
~
q
p
~
p
q
p
~
Ú
Ú
Ù
Ú
Ú
oleObject27.bin
image33.wmf
(
)
[
]
(
)
[
]
q
p
~
p
~
q
p
p
~
Ú
Ú
Ù
Ú
Ú
image34.wmf
[
]
[
]
q
p
~
q
T
Ú
Ù
Ú
image35.wmf
[
]
[
]
q
p
~
T
Ú
Ù
image36.wmf
q
p
~
Ú
oleObject32.bin
oleObject28.bin
oleObject29.bin
oleObject30.bin
oleObject31.bin