Unidad_2_CALCULO_DIFERENCIAL

Vista previa del material en texto

Objetivo: Comprender el concepto de función real y tipos de funciones, 
así como estudiar sus propiedades y operaciones.
UNIDAD 2
FUNCIONES
19/09/2018 M.C. G. Adán Gómez Hernández 11
La presentación mas natural y conveniente de muchas funciones es una
grafica, existe una infinidad de formas para registrar diferentes funciones por
ejemplo un electrocardiograma; para los latidos cardiacos, un polígrafo para
la detención de mentiras y un sismógrafo para la actividad sísmica, estos son
solo algunos ejemplos de los muchos que existen.
Una función se puede representar de diferentes modos: mediante una
ecuación, en una tabla, con una grafica o con palabras. Consideraremos los
tipos principales de funciones que se presentan en el calculo y describiremos
el proceso de usarlas como modelos matemáticos de fenómenos del mundo
real.
Los objetos fundamentales con que tratamos en el calculo son funciones. En
este capitulo se prepara el camino para el calculo al analizar las ideas básicas
referentes a las funciones, sus graficas y las maneras para transformarlas y
combinarlas.
2.1 Concepto de variable, función, dominio, 
codominio y recorrido de una función.
19/09/2018 M.C. G. Adán Gómez Hernández 51
ht
htm#Una%20fun
Una de las primeras necesidades que surgen en las Ciencias Experimentales es
la de poder expresar los valores de una variable en función de los valores de
otra variable. Por ejemplo, podemos estar interesados en expresar:
• El peso de las personas en función de su estatura .
• El peso de las aves de una especie en función de su envergadura .
• El nivel medio de contaminación semanal en función de las
precipitaciones que se han producido .
• La altura del oleaje en función de la velocidad del viento .
• La concentración de oxigeno en el agua en función del tiempo .
El modelo matemático adecuado para expresar una variable en función de
otra variable es la función de una variable. Este modelo, no solo permite
expresar una variable en función de otra, sino que las herramientas asociadas
a este modelo (limites, derivadas, ...) nos permiten abordar y expresar, de
manera sencilla, muchos aspectos interesantes de la relación entre las dos
variables.
En general, diremos que nos interesa expresar una variable en función de
otra variable . La variable puede recibir distintos nombres: variable
dependiente, variable de interés, variable respuesta, ... La variable también
puede recibir diferentes nombres: variable independiente, variable explicativa,
...
Variables dependientes:
Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que
toman las otras variables, por ejemplo: = , y o es la variable
dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le asignen a .
Variable independiente:
Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo
anterior la es la variable independiente. Ya que la es la que depende de
los valores de .
Variable constante:
Es aquella que no esta en función de ninguna variable y siempre tiene el
mismo valor, ejemplo: = .
Una función de una variable, = , es el modelo matemático que nos
dice cual es el valor de la variable para cada posible valor de la variable .
Función de una variable
Algunas veces tiene sentido considerar todos los valores de la recta real como 
posibles valores de , otras veces tiene sentido considerar para solamente 
los valores positivos, otras veces consideraremos un intervalo,...
En general, los valores posibles de reciben el nombre de dominio.
En general, los valores posibles de reciben el nombre de codominio, rango o 
imagen.
Conjunto inicial
Conjunto final
Dominio Rango o recorrido o imagen
ht
Como calcular el rango de una función:
Para calcular el rango de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.
= +−= +−− = +− = +− = +− = += +−
La respuesta es: ℝ− Y el dominio: ℝ−
Calcular el rango y el dominio de = − +
Dominio de la función polinomica entera 
= −− +
Dominio de la función racional
Dominio de la función irracional de índice impar
= − + = − +
Dominio de la función irrracional de índice par= − +
= − ++
= +− +
= +− +
2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva
19/09/2018 M.C. G. Adán Gómez Hernández 191
http://books.google.com.mx/books?id=vCMIOfrbYrAC&pg
=PA83&dq=Funciones+inyectivas,+suprayectivas+y+biye
ctivas&ei=AiCHSvDONqbKyQTEhO2fDg#v=onepage&q=
&f=fal
Las funciones pueden clasificarse como inyectivas, suprayectivas y biyectivas; para entenderlo debemos
recordar las definiciones de domino, imagen, codominio, variable dependiente y variable independiente, lo
haremos con el siguiente ejemplo:
Sea el conjunto = { , , } L� a�l�camo� la �unc�on = +S� obt��n�n lo� t��� �l�m�nto� d�l con�unto = { , , , }= + Al con�unto A �� l� llama dom�n�o d� la �unc�on.
Al con�unto B �� l� llama codom�n�o d� la �unc�on.
A lo� �l�m�nto� d� obt�n�do� a �a�t�� d� �� l�� llama �ma��n o �an�o�n ��t� ���m�lo �l codom�n�o � la �ma��n no t��n�n lo� m��mo� �l�m�nto�
= : va��abl� d���nd��nt�: va��abl� �nd���nd��nt�: ; : := { , , }= { , , , }= { , , , , , }
Función inyectiva
Una función es inyectiva si a cada elemento del rango o imagen se le asocia con uno y solo un elemento del dominio. 
Sea = { , , } = { , , } gráficamente
Note que a cada elemento del 
conjunto recibe solo una línea.
ENTONCES ES EYECTIVA
Sea = { , , } = { , , } gráficamente
: → : = { , , , , ,
: → : = { , , , , ,
Hay un elemento de (el numero 2)
Que recibe 2 flechas, por lo tanto
NO ES EYECTIVA
Anal�za� la �unc�on: = = −
= ℝ� = ℝ
A cada elemento del dominio se le relaciona en la función 
con un elemento de la imagen, por lo tanto es una función
inyectiva
Anal�za� la �unc�on: = =
= ℝ� = [ ,∞
,− , Hay elementos en el dominio
que se le asigna el mismo
valor de la imagen. Por lo
tanto la función es
No es inyectiva
Funciones suprayectivas
Cuando el rango y el codominio son iguales la función es suprayectivaE�c��ba a�uí la �cuac�ón. Sean los conjuntos:= { , , } y = { , } Y la �unc�on = { , , , , ,
C
suprayectiva
A = ,
E � = ,
= { , , , , , }
= { , }: � = { }
� �,
= ?
Func�on�� b���ct�va�
Para que una función sea biyectiva se requiere que sean al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva
= = −
Es al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva; por lo tanto es biyectiva
= ℝ� = ℝ
2.3 Función real de variable real y su
representación gráfica.
19/09/2018 M.C. G. Adán Gómez Hernández 261
Una función real en una variable es una función: → � donde ⊆ � , que usualmente se define por
una formula � = .
(salida)(entrada)
Diagrama como maquina para una función .
Diagrama de flechas para una función .
Grafica de una función.
Las graficas permiten obtener una representación visual de 
una función. Estas entregan información que puede no ser 
tan evidente a partir de descripciones verbales o algebraicas.
Para representar gráficamente una función = , es común
utilizar un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas,
en las cuales, la variable independiente se representa en el
eje horizontal, y la variable dependiente en el eje vertical.
La grafica de = es el conjunto: = { , / ∈ }.
En general, para definir una función real se usan letras
e para representar las variables independientes y
dependientes, respectivamente.
Una función real en general, puede ser representada de distintas 
maneras: 
• Mediante un conjunto de pares ordenados, o tabla de valores.
• Mediante una expresión verbal, donde se describe una regla
con una descripción en palabras.
• Mediante una expresión algebraica, con una formula explicita.
• Mediante una grafica, representada en un sistema de
coordenadas cartesianas.
Estas cuatro formas de representar una función son equivalentes,
sin embargo no siempre es posible el paso de una a otra.
Técnicas básicas para esbozar la grafica de una función.
A continuación se describen algunos pasos a seguir para obtener
un esbozo de la grafica de = , por medio de la
representaciónde puntos:
1. Determinar los puntos de intersección de = con cada 
eje coordenado.
2. Construir una tabla de valores de . escoger un grupo 
representativo de valores de x en el dominio de , y construir 
una tabla de valores , .
3. Representar los puntos , considerandos en la tabla en 
el sistema de coordenadas.
4. Unir los puntos representados por medio de una curva suave.
Nota: Para aproximarse mejor a la curva que represente a la función 
dada, graficar nuevos puntos.
Recapitulando:
• La variable es la variable independiente, y la variable
es la variable dependiente, entonces una función real, es
una función de variable y valor real.
• El dominio de una función es el conjunto de los valores
que puede tomar la variable independiente.
• El recorrido de una función es el conjunto de valores que
puede tomar la variable dependiente.
Graficar = − − ú = =−∞, , , , [ ,∞�
.
�
... .
.
= [ , ]= [ , . ]
2.4 Funciones algebraicas: función polinómial,
racional e irracional.
19/09/2018 M.C. G. Adán Gómez Hernández 291
http://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html
La función lineal es del tipo
Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar
con la variable independiente son: la adición, sustracción,
multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
• Funciones explicitas: se pueden obtener las imágenes de por
simple sustitución.= −
• Funciones implícitas: es donde no se puede obtener las
imágenes de por simple sustitución, hay que efectuar algunas
operaciones.− − =
Funciones polinómicas.
Son aquellas que vienen definidas por un polinomio.= + + + +⋯+
Su dominio es ℝ, es decir, cualquier número real tiene imagen.
Funciones constantes
El criterio viene dado por un numero real=
El grafico es una recta horizontal paralela al eje de las abscisas
= +
El grafico es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos 
de la función.
Donde es un entero no negativo, y los coeficientes , … , ,
son números reales.
Son funciones de este tipo las siguientes:
Función afín
= +
= +
= +0= −
= − −
−
Funciones polinómicas de primer grado
= +
La función lineal:
La función lineal es del tipo =
Y su grafica es una línea recta que pasa por el origen de 
coordenadas=
= +0
En donde es la pendiente de la recta con respecto al eje de las 
absisas.
Si > la función es creciente y el ángulo que forma la recta
Con la parte positiva del eje es agudo.
�
Si < la función es decreciente y el ángulo que forma la 
recta con la parte positiva del eje es obtuso.
�
La función lineal:
Y su grafica es la bisectriz del primer cuadrante y tercer 
cuadrante.
=
Funciones cuadráticas = + +
Son funciones polinómicas de segundo grado, su grafico es
parábola.
Vértice: El vértice de una parábola es el punto donde la 
parábola cruza su eje de simetría.
Pero la ecuación para una parábola también puede ser 
escrita en la "forma vértice":= – ℎ +
En esta ecuación, el vértice de la parábola es el punto (h, k).
El coeficiente de aquí es – ℎ. Esto significa que en la 
forma estándar, = + + , la expresión= − da la coordenada en del vértice.Y la coo�d�nada �n �l vé�t�c� �n es = −
.
Entonces el vértice es − , −
Puede ver como se relaciona esto con la ecuación estándar 
al multiplicar: = – ℎ – ℎ += – ℎ + ℎ +
Si el coeficiente del término es positivo, el vértice será
el punto más bajo en la gráfica, el punto en la parte baja
de la forma U .
Si el coeficiente del término es negativo, el vértice será
el punto más alto en la gráfica, el punto en la parte alta de
la forma U .
Ejemplo: Encuentre el vértice de la parábola. = + –
Aquí, = y = . Así, la coordenada en del vértice es:= − = − = − Sustituyendo en la ecuación original para obtener la coordenada en , obtenemos:= − + – – = – Así, el vértice de la parábola está �n – , – .
Ejemplo: Encuentre el vértice de la parábola. = − + –
Ejemplo: calcular el vértice, los puntos de intersección con el eje de las abscisas y el eje de las ordenadas = = − +
Función racional
Una función racional es una función definida por una
expresión algebraica que es el cociente de dos polinomios.=
Ejemplos de funciones racionales= + = = +− = +−
Trazado de la grafica de una función racional
Para obtener un esbozo de la grafica de = es 
necesario determinar.
• El dominio de la función.
• Asíntotas verticales (si es que las hay), y horizontales.
• Intersección de la grafica de con el eje , si es que existen, 
y con el eje . 
• Graficar en cada región del plano , determinadas por 
las asíntota verticales.
Donde son polinomios tal que≠
ht
Función de proporcionalidad inversa.= Su grafica es una hipérbola.
Sus asíntotas son:ℎ = =
El coeficiente k nos da los cuadrantes donde se ubica.
Ejemplo: construir la grafica de =
Resolver = + Resolver = −−
Resolver = + + Resolver = − + +
Función irracional
La función irracional es mejor conocida como la función raíz,
Tanto con índice par e impar.= �
Como la raíz puede ser par e impar es necesario analizar los 
dos casos respectivamente. 
Si es par entonces la cantidad subradical debe de ser
mayor o igual a . Por lo que el dominio queda restringido
para los valores de que hacen que cumpla esta
condición: =
Si es impar entonces la cantidad subradical toma 
cualquier valor en el conjunto de los números reales, por lo 
que el dominio de es ℝ de otra forma tenemos.
Ejemplo: � == [ ,∞= [ ,∞
x y
0 0
4 2
9 3
16 4
25 5
=
Otros casos Raiz cubica = En este caso tenemos una raíz con índice impar, cualquier valor de tiene raíz.= ℝ= ℝ
x y
0 0
1 1
-1 -1
2 1.2
-2 -1.2
ejemplo: =
2.5 Funciones trascendentes: funciones
trigonométricas y funciones exponenciales.
19/09/2018 M.C. G. Adán Gómez Hernández 491
Funciones trascendentes
No siempre se puede modelar con funciones del tipo
algebraico; esto ha dado lugar al desarrollo de otro tipo de
funciones, las funciones trascendentes, las cuales se clasifican
en:
• Función exponencial: la variable es el exponente.
Función trascendente:
=
ht
nc%
Donde es una constante positiva.
Si = , entonces = y, si = − donde es un entero
positivo, entonces…
Si = , un entero positivo, entonces= ∗ …
n factores
− =
Si es un numero racional, = , donde y son enteros y > , entonces = = �
Existen tres clases de funciones exponenciales =
• Si < < la función exponencial disminuye
,
Es aquella cuya variable contiene expresiones
trigonométricas, exponenciales o logarítmicas.
• Si = la función exponencial, es una constante
• Si a > la función exponencial, aumenta
,
Graficar la función = − determinar intersección en
y , y 
Primero graficamos = −
Luego desplazamos la grafica = − tres unidades hacia arriba 
=
= ℝ= −∞,
Intersección con el eje Intersección con el eje = − == −= −=
=
= − == −= lo�lo� = lo� Por leyes de los lo� = lo�lo� = lo�= lo�lo� = .
Leyes de los exponentes. + =. − =
. =
. =
19/09/2018 M.C. G. Adán Gómez Hernández 53
hipotenusa
Cateto adyacente
�
Las funciones trigonométricas.
� = ℎ� = ℎ� =
� = ℎ
� = ℎ
� =
Para un ángulo agudo �, las seis funciones trigonométricas
se definen como razones de longitudes de lados de un
triangulo rectángulo.
Esta definición no se aplica a ángulos obtusos o negativos.
19/09/2018 M.C. G. Adán Gómez Hernández 54
Para un ángulo � general en posición estándar hacemos que
,
�
, Sea cualquier punto sobre el lado terminal de �
y hacemos que sea la distancia � =
� =
� =
� =
� =
� =
19/09/2018 M.C. G. Adán Gómez Hernández 55
= Función seno
Dominio: ℝ
Recorrido: [− , ]
Período: �
Función coseno
f(x) = cos x 
Dominio: ℝ
Recorrido: [−1, 1]
Período: �
19/09/2018 M.C. G. Adán Gómez Hernández 56
Función = tan
: = ℝ + ∗ � , � ℤ − …, − � ,� , � , …: ℝ: �
19/09/2018 M.C. G. Adán Gómez Hernández 57
Identidades trigonométricas
− � = �
+ � = �� − = �
2.6 Función definida por más de una regla de
correspondencia. Función valor absoluto.
19/09/2018 M.C. G. Adán Gómez Hernández 5814. Representamos la función resultante.
Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones 
a trozos, siguiendo los siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se
calculan sus raíces.
2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de
cada intervalo.
= −− ==
= − − <−
3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los
intervalos donde la es negativa se cambia el signo de la
función.
Representar la función valor absoluto= −− = =
= − − <−
= − +− + =− − == =−∞, , , , , ∞
= − + <− − +− +
= − +
R������nta� la �unc�on valo� ab�oluto= − + −
2.7 Operaciones con funciones: adición,
multiplicación, composición.
19/09/2018 M.C. G. Adán Gómez Hernández 651
son dos funciones reales de variable real.
Llamamos función SUMA de las dos funciones a la función:ℎ = + = +
El dominio de la función suma de las dos funciones es:ℎ = [ ∩ ]
Operaciones con funciones
Suma de funciones
son dos funciones reales de variable real.
Llamamos función PRODUCTO de las dos funciones a la 
función: ℎ = · = ·
El dominio de la función producto de las dos funciones es:ℎ = [ ∩ ]
Producto de funciones
División de funciones
son dos funciones reales de variable real.
Llamamos función DIVISIÓN de las dos funciones a la función:
ℎ = =
El dominio de la función división de las dos funciones es:ℎ = [ ∩ ] − { / = }
son dos funciones reales de variable real.
Llamamos función compuesta de las dos funciones a la función:= =
Composición de funciones
(f o g)(x) (g o f)(x)
Sea = + , y = −
Definir la función + y calcular la imagen de + = + = + + � −= −+ = − = − =
Observe que si se calculan las imágenes por separado y se 
suman, el resultado es el mismo= + = + == − = − = } = + =
Sea = − , y = +
Definir la función − y calcular la imagen de −− = − = − − += − − −= − −
− = − = − − =− = + = − + = = − =
− − = − − − − = + − =
}
Observe que si se calculan las imágenes por separado y se 
restan, el resultado es el mismo
Sea = − , y = + Sea = − − , y = +
Ejemplo: sean = +
y = −=
Dada las funciones = − ; = +
Hallar +
Dada las funciones = − , = −
Veamos si es posible efectuar la suma
Como el = [ ,∞ y = −∞, tenemos que:+ = ∩ = [ ,∞ ∩ −∞, =
Por lo tanto no hay ningún elemento que pertenezca a la
Intersección de los dominios de y , por lo que no existe+ .
Dada las funciones = − ; = +
Hallar ∗ = ∗ = − ∗ +
Como = [ ,∞ y � = ℝ − {− }∗ = ∩ = ,∞ ∩ ℝ − − = [ ,∞
Dadas las funciones = − = calcular
1) ++−−
2.8 Función inversa. Función logarítmica.
Funciones trigonométricas inversas.
19/09/2018 M.C. G. Adán Gómez Hernández 731
Función inversa de otra función
Una función es inyectiva si, y solo si, se verifica que= ⟹ = , es decir, dos elementos del dominio de
una función no pueden tener la misma imagen.
Para que una función f(x) tenga inversa, esta debe ser inyectiva,
si no lo es no podrá tener función inversa.
Dada una función inyectiva , se denomina función inversa 
de − a aquella que cumpla:− = − =
Sean = +
y = − , comprobar si 
inversa de .� = = + −− = + −−
= − +−− = −− = ∴
Calculo de la función inversa de una función.
Calcular la función inversa de = −
Paso 1: llamamos = = −
Paso 2: intercambiamos �o� = −
Paso 3: despejamos la− = → − = → = +
= + → − = +
Comprobamos si el resultado es el correcto
Funciones logarítmicas
Es la función inversa de la función exponencial.
Como vimos en el tema anterior la definición
inversa de una función f(x) tiene inversa, si es
inyectiva. En la figura adjunta se puede ver la
inversa de la función exponencial.
Para se obtiene . Al valor obtenido lo 
llamamos o . La función inversa de la 
exponencial es la que cumple que 
Esta función se llama función logarítmica y,
como puedes observar es simétrica de la
función exponencial con respecto a la bisectriz
del primer y tercer cuadrante.
= .
Funciones logarítmicas
Es la función inversa de la función exponencial y se
denota de la siguiente manera:= , con > y distinto de .
En la figura se representa la gráfica de= de forma similar a como se hizo con la
exponencial. Sus propiedades son simétricas.
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
-3 -2 -1 0 1 2 3
Graficar =
• El = +ℝ y el = ℝ
• Si > la función es creciente
• Si < < la función es decreciente
• Corta al eje en ,
• El eje es asíntota vertical
• La función es inyectiva, esto es si =
entonces =
Características de la función logarítmica.
• En las graficas podemos ver que al multiplicar por una constante = ∗ cambia la rapidez con que la función crece
o decrece <
• Al sumar o (restar) una constante b la grafica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) b unidades, cambiando el punto de 
corte con el eje de las abscisas 
Los logaritmos
Dados dos números reales positivos, y (a≠ , llamamos
logaritmo en base de al numero al que hay que elevar a
para obtener .= equivale == equivale == − equivale − =
/ = − equivale / − =
/ = equivale / =
Propiedades de los logaritmos
• Logaritmo del producto ∗ = +
• Logaritmo del cociente = −
• Logaritmo de una potencia = ∗
• En cualquier base: = � == � =
: = == == ∗ = ∗
∗ = +/ = −= ∗
Logaritmos decimales
Son los de base 10, son los mas usados y por este 
motivo no suele escribirse la base cuando se 
utilizan: lo� = lo� =lo� = lo� =lo� = lo� =lo� = lo� = Por otra parte
lo� . = lo� − = −lo� . = lo� − = −
lo� . = lo� − = −
Cambio de base
Las calculadoras permiten calcular dos tipos de
logaritmos: decimales = y neperianos o
naturales = , que se estudian en cursos
posteriores.
Cuando queremos calcular logaritmos en cualquier
otra base tenemos que recurrir a la formula del
cambio de base:
= ������
19/09/2018 M.C. G. Adán Gómez Hernández 81
Función cosecante
f(x) = csc x 
19/09/2018 M.C. G. Adán Gómez Hernández 82
Función secante
f(x) = sec x 
19/09/2018 M.C. G. Adán Gómez Hernández 83
Función cotangente
f(x) = cot x 
2.9 Funciones con dominio en los números naturales y 
recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas.
19/09/2018 M.C. G. Adán Gómez Hernández 841
Función real 
de variable 
real
Tipos de 
funciones
Algebraicas
Cuadráticas
Cúbicas
Racionales
Trascendentes ExponencialesTrigonométricas
definición
Dominio y 
recorrido
Representación 
tabular
Representación 
grafica
Hiperbólica
s
Lineales
Irrracionales
Polinomiales
Valor 
absoluto
Inversa Logarítmicas
Trigonométricos 
inversas
Suma, resta
Multiplicación, 
división
Operaciones 
con 
funciones
Logarítmicas