SOLUCIONARIO CALCULO DE VARIAS VARIABLES

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Soluciones de septiembre de Cálculo (grupo D) (2016)
1. Sea f (x, y) una función diferenciable en todo el plano. Se sabe que sus derivadas direccionales en el punto
(1, 2) según los vectores
�
1/
p
2 ,�1/
p
2
�
y (3/5 , 4/5) son �
p
2 y 3 , respectivamente, y que f (1, 2)=2 .
Calcular la ecuación del plano tangente y de la recta normal a gráfica de f (x, y) en el punto (1, 2) . [2 ptos]
rf (2, 1)=
�
f
x
(1, 2), f
y
(1, 2)
�
⌘ (c, d) , D(u,v) f (2, 1)=cu+dv !
1p
2
c� 1p
2
d=�
p
2
3
5 c +
4
5 d= 3
! f
x
(1, 2)=1, f
y
(1, 2)=3 .
Plano tangente: z=2+(x�1)+3(y�2) , x+3y�z=5 . Recta normal a la superficie: x= (1, 2, 2)+t(1, 3,�1) .
2. Sea h(x, y, z)=g
�
u(x,y,z), v(x,y,z)
�
, con u(x,y,z)= x2+2yz , v(x,y,z)= y2+2xz , y g(u,v) campo escalar C1.
Simplificar al máximo, con la regla de la cadena, la expresión (y2�xz)@h@x +(x2�yz)
@h
@y +(z2�xy)
@h
@z . [2 ptos]
@h
@x =
@g
@u2x+
@g
@v 2z
@h
@y =
@g
@u2z+
@g
@v 2y
@h
@z =
@g
@u2y+
@g
@v 2x
!
(y2�xz)@h@x +(x2�yz)
@h
@y +(z2�xy)
@h
@z
= 2
�
xy2�x2z+x2z�yz2+yz2�xy2
� @g
@u + 2
�
y2z�x2z+x2y�y2z+x2z�x2y
� @g
@v = 0 .
Elegir entre 3 y 3*:
3. Sea f (x, y)= (x�1)3+(y�x)2�3x . Hallar sus máximos y mínimos locales y precisar si alguno es absoluto.
[2 ptos]
f
x
=3(x�1)2�2(y�x)�3=0 , (x�1)2=1
f
y
=2(y�x)=0 ! y= x % ! (0, 0) y (2, 2) . H=
�����
6(x�1)+2 �2
�2 2
�����=6(x�1) .
(0, 0) silla
(2, 2) mínimo.
El valor mínimo f (2, 2)=�5 no es absoluto, pues, por ejemplo, sobre y= x es f (x, x)= x3�3x �!
x!�1
�1 .⇥
O basta encontrar un punto donde valga menos, por ejemplo: f (�2,�2)=�21<�5
⇤
.
3*. Calcular
ª
V
z dx dy dz si V es el sólido limitado por x=0 , y=0 , x+y=2 , z=0 y z=e�x . [2 ptos]
π 2
0
π 2�x
0
π e�x
0
z dz dy dx =
π 2
0
π 2�x
0
1
2e
�2xdy dx =
Ø 2
0
�
1� x2
�
e�2xdx = (partes)
=
�
x
4 �
1
2
�
e�2x
⇤2
0 �
1
4
Ø 2
0 e
�2xdx = 12+
1
8
⇥
e�2x
⇤2
0 =
3+e�4
8 .⇥
Algo más corto haciendo
Ø 2
0
Ø 2�y
0
Ø e�x
0 z dz dx dy
⇤
.
4. Comprobar el teorema de Green para f(x,y)=
�
x, x2
�
sobre la parte de la elipse 4x2+9y2=1 con x �0 . [2 ptos]
D
1/3
1/2
g
x
� f
y
=2x .
∫
D
2x =
π 1/3
�1/3
π p1�9y2/2
0
2x dx dy = 12
Ø 1/3
0 (1�9y
2) dy = 16�
1
2
⇥
3y3
⇤1/3
0 =
1
9 .
O con x= r2 cos ✓ , y=
r
3 sen ✓ , J=
r
6 ,
1
6
Ø 1
0
Ø ⇡/2
�⇡/2 r
2 cos ✓ d✓ dr = 16 ·
1
2 ·2 =
1
9 .
Sobre x=0 el campo es nulo y la elipse viene dada por c(t)=
� 1
2 cos t,
1
3 sen t
�
, t 2
⇥
� ⇡2 ,
⇡
2
⇤
:
!
º
@D
f ·ds =
π ⇡/2
�⇡/2
�
c
2 ,
c
2
4
�
·
�
� s2 ,
c
3
�
dt = 16
Ø ⇡/2
0 (1�s
2)c dt = 16
⇥
s� 13 s3
⇤⇡/2
0 =
1
9 .
5. Comprobar el teorema de Gauss para f(x,y,z)=
�
x, 1, y
�
y el sólido dado por 0 z1�
�
x2+y2
�2 . [2 ptos]
B
S
div f=1 . Cilíndricas:
±
V
div f =
π 2⇡
0
π 1
0
π 1�r4
0
r dz dr d✓ = 2⇡
Ø 1
0
�
r�r5
�
dr = 2⇡3 .
Sobre la base B : (x, y, 0) ,
∞
�(x, 1, y)·(0, 0,�1) dx dy=�
∞
� y dx dy= 0 (impar).
Sobre la tapa S : r(x, y) =
�
x, y, 1�(x2+y2)2
�
! r
x
⇥ r
y
=
�
4x(), 4y(), 1
�
(exterior).∫
�
�
4x2(x2+y2)+4y(x2+y2)+y
�
dx dy=
π 2⇡
0
π 1
0
4r5cos2✓ dr d✓= 13 ·2⇡=
±
@V
f ·dS .
impar impar 2r5(1
| |
+cos 2✓)⇥O bien, r(r, ✓)= �r cos ✓, r sen ✓, 1�r4� . . . ⇤ .