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Ing. Carla Escobar Olivares 
Lic. Nila Morales 
 
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CAPITULO IV CALCULO II 
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DERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES 
4.1 DEFINICIÓN 
En cálculo una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas 
variables con las otras manteniéndolas constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y 
geometría diferencial. 
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa como o o fx (donde 
es una 'd' redondeada conocida como el 'símbolo de la derivada parcial') 
 
Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,...), es decir: 
A = f(x,y,z,...) 
 
Al realizar esta derivada obtenemos la pendiente de dicha función A paralela al eje de la incógnita respecto 
a la cual se ha hecho la derivada. 
 
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se 
elija. Mientras visto desde el algebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor 
variación en la función. 
Ejemplos 
Considera el volumen V de un cono; Éste depende de la altura h del cono y su radio r de acuerdo con la 
fórmula 
 
La derivada parcial de V respecto a r es 
 
; 
 
y describe la velocidad de cambio con que el volumen de un cono cambia si su radio varía y su altura se 
mantiene constante. La derivada parcial respecto a h es 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%28matem%C3%A1ticas%29
http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vectorial
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial
http://es.wikipedia.org/wiki/Variable
http://es.wikipedia.org/wiki/Gradiente
http://es.wikipedia.org/wiki/Cono_%28geometr%C3%ADa%29
http://es.wikipedia.org/wiki/Cono_%28geometr%C3%ADa%29
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y representa la velocidad de cambio con que el volumen cambia si su altura varía y su radio se mantiene 
constante. 
 
Otro ejemplo tiene que ver con el área A de un círculo, aunque éste sólo depende del radio r del círculo de 
acuerdo con la fórmula 
A = π r 2 
La derivada parcial de A respecto a r es 
 
 
Otro ejemplo, dada la función 
 
A = 3x3y + 2x2y2 + 7y 
 
la derivada parcial de A respecto de x es: 
 
 
 
mientras que con respecto de y es: 
 
 
 
4.2 REGLAS DE DERIVACIÓN 
En análisis matemático, la regla del producto, gobierna la derivación del producto de funciones derivables. 
Puede declararse así: 
 
 
o en la notación de Leibniz así: 
 
 
o informalmente 
 
"la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la 
segunda" 
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo
http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico
http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%28matem%C3%A1ticas%29
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Ejemplo 
 Supón que quieres derivar f(x) = x²sin(x). Usando la regla del producto, obtenemos la derivada f'(x) 
= 2x sin(x) + x²cos(x) (ya que la derivada de x² es 2x y la derivada de sin(x) es cos(x)). 
4.3 REGLA DEL COCIENTE 
En cálculo, la regla del cociente es un método de encontrar la derivada de una función que es el cociente de 
dos otras funciones para las cuales existe la derivada. 
La función a derivar, f(x), puede escribirse como 
 
 
y h(x) ≠ 0, entonces la regla afirma que la derivada de g(x) / h(x) es igual a: 
 
 
Ejemplo 
La derivada de (4x − 2) / (x2 + 1) es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El de abajo por la derivada del de arriba menos el de arriba por la derivada del de abajo, sobre el de abajo 
al cuadrado. 
 
4.4 REGLA DE LA CADENA 
En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. 
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%28matem%C3%A1ticas%29
http://es.wikipedia.org/wiki/Cociente
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_derivada
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%28matem%C3%A1ticas%29
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En términos intuitivos, si una variable, y, depende de una segunda variable, u, que a la vez depende de una 
tercera variable, x; entonces, el ratio de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto 
de el ratio de cambio de y con respecto a u multiplicado por el ratio de cambio de u con respecto a x. 
Supón, por ejemplo, que uno está escalando una montaña a un ratio de 0,5 kilómetros por hora. La 
temperatura es menor a elevaciones mayores; supón el ratio por el cual decrece es 6 °F por kilómetro. Si 
uno multiplica 6 °F por kilómetro por 0,5 kilómetros por hora, obtiene 3 °F por hora. Éste calculo es una 
aplicación típica de la regla de la cadena. 
En términos algebraicos, la regla de la cadena (de una variable) afirma que si la función f es derivable en 
g(x) y la función g es derivable en x, esto es . Entonces 
 
 
Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como: 
 
 
 
donde indica que f depende de g como si ésta fuera una variable. 
 
 
4.5 FUNCIÓN IMPLÍCITA 
Es función implícita la que no se puede despejar la variable independiente de la variable dependiente. 
Un ejemplo de una función implícita seria: 
y3 + y2 + 5xy + x2 + x + y = 0 
En la cual no es posible expresar una de las variables en términos de la otra. 
 
4.6 DIFERENCIAL 
Para poder derivar una función implícita se usa la regla de la cadena, en el caso de la variable independiente 
no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable independiente se considera como una 
funciona que a su vez esta en funciona de la variable dependiente: 
http://es.wikipedia.org/wiki/Variable
http://es.wikipedia.org/wiki/Computaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Kil%C3%B3metro_por_hora
http://es.wikipedia.org/wiki/Temperatura
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Derivable&action=edit
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Notaci%C3%B3n_de_Leibniz&action=edit
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Si es una función en términos de la variable independiente y es una función en 
términos de la variable dependiente, entonces para obtener la derivada: 
 
 
Ejemplo 
Obtener la derivada de 6x2y + 5y3 + 3x2 = 12 + x2y2 
El término 6x2y Se puede considerar que son dos funciones, 6x2 y y por lo que se derivara como un 
producto: 
 
El término 5y3 se deriva como: 
 
 
El termino 3x2 se deriva de forma normal como 6x 
Para el término x2y2 se puede considerar como un producto y se deriva como: 
 
Al unir todos los términos se obtiene: 
 
Agrupando los valores se obtiene: 
 
 
Finalmente despejando se obtiene la derivada de la función implícita: 
 
 
 
4.7 TEOREMA DE TAYLOR 
En cálculo, el Teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció 
en 1712. Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un 
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico
http://es.wikipedia.org/wiki/Reino_Unido
http://es.wikipedia.org/wiki/Brook_Taylorhttp://es.wikipedia.org/wiki/1712
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_derivada
http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo
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punto a: E (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese 
punto. En términos matemáticos: Si n≥0 es un entero y f una función que es derivable n veces en el 
intervalo cerrado [a, x] y n+1 en el intervalo abierto (a, x), entonces se cumple que: 
 
 
Donde, n! denota el factorial de n, y R es el resto, término que depende x y es pequeño si x está próximo al 
punto a. Existen dos expresiones para R que se mencionan a continuación: 
 
 
 
donde ξ , a, x, n pertenecen a los reales 
 
 
 
Si R es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el 
teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial, 
mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema 
fundamental del cálculo integral. 
 
Para algunas funciones f(x), se puede probar que el resto, R, se aproxima a cero cuando n se acerca al ∞; 
dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un 
punto a y son denominadas funciones analíticas. 
 
El teorema de Taylor con R expresado de la segunda forma es también válido si la función f tiene números 
complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con 
múltiples variables. 
 
4.8 DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN 
Derivadas parciales y diferenciales de órdenes superiores. Se llaman derivadas parciales de segundo orden 
de la función z = f(x,y) a las derivadas parciales de las derivadas parciales de primer orden. 
Se usan las siguientes notaciones: 
; 
http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio
http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo
http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo
http://es.wikipedia.org/wiki/Factorial
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo_integral
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo_integral
http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_anal%C3%ADtica
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
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; 
(se empieza derivando por la variable que está más cerca de la función) 
Si las derivadas parciales son continuas, entonces las derivadas cruzadas son iguales. 
 
Igual se definen las derivadas parciales de tercer orden y de órdenes superiores. 
Si las derivadas parciales son continuas entonces no dependen del orden en que se realicen, sino del número 
de veces que se derive respecto de cada una de las variables (aunque el resultado final sea igual, el cálculo 
puede resultar más complicado en un orden que en otro). 
 
Se llama diferencial de segundo orden de una función a la diferencial de su diferencial total: 
 
Análogamente se define la diferencial de tercer orden. 
 
Se siguen unas reglas parecidas a las potencias: 
 
Ejemplo 
Calcula las derivadas parciales segunda de la función: 
Solución: 
Hallamos las derivadas parciales: 
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; 
Derivando repetidamente obtenemos: 
; 
 
; 
4.9 PUNTO CRÍTICO 
Reciben el nombre de puntos críticos aquellos puntos de la una función en los que la derivada tiene valor 
nulo; también pueden recibir el nombre de puntos estacionarios. 
Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, se dice que el punto es un mínimo local; si es 
negativa, se dice que el punto es un máximo local; si vale cero, puede ser un punto de inflexión. Derivar y 
resolver en los puntos críticos es a menudo una forma simple de encontrar máximos y mínimos locales, que 
pueden ser empleados en optimización. 
 
 
 
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%ADnimo_local&action=edit
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A1ximo_local&action=edit
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Punto_de_inflexi%C3%B3n&action=edit
http://es.wikipedia.org/wiki/Optimizaci%C3%B3n
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4.10 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES 
 
Las ecuaciones casi-lineales y las ecuaciones de Pfaff aparecen para resolver los problemas que señalamos 
a continuación: Dado un campo vectorial se pueden pedir: 
1. Superficies ortogonales al campo: se obtienen mediante la ecuación de Pfaff, comprobando previamente 
que es integrable. 
 
2. Superficies tangentes al campo: Se obtienen mediante una ecuación casi lineal. 
 
Dada una familia de superficies se pueden pedir: 1. Superficies ortogonales que contengan una curva: se 
obtienen resolviendo una ecuación casi lineal, e imponiendo a la familia de curvas solución que contenga la 
curva dada. 2. Familia de curvas ortogonales: se obtienen resolviendo una ecuación casi lineal 
 
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Dada una familia de curvas se pueden pedir las superficies ortogonales a la familia dada. Estas se obtienen 
mediante una ecuación de Pfaff que se plantea como sigue: siendo el vector tangente a la familia de curvas 
dada que se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales a cada superficie dada: , siendo 
y , y el vector . 
 
Ejemplos 
 
1.) Calcular las derivadas parciales segundas y comprobar el teorema de igualdad de las derivadas parciales 
mixtas para funciones C2. 
 
f(x; y) = xarctan(x/y) 
 
 
2.) Sean f y g dos funciones de una variable para las cuales existen f" y g". Calcular las derivadas parciales 
segundas de la función h definida por h(x; y) = f[y - g(x)]. 
 
3.) Para 0 < x < y sea: 
 

y
x
t tdteyxf log);(
 
 
Calcular las derivadas parciales segundas de la función f. 
 
4.) Sea 
 










)0;0();( ,0
)0;0();( ,
)(
)(
);( 22
22
yx
yx
yx
yxxy
yxf
 
 
a) Si (x; y)  (0; 0), calcular f/x y f/y. 
b) Mostrar que (f/x)(0; 0) = 0 = (f/y)(0; 0). 
c) Mostrar que (2f/xy)(0; 0) = 1 ; (2f/yx)(0; 0) = -1. 
d) ¿Qué sucedió? ¿Por qué no son iguales las parciales mixtas? 
 
5.) Teorema de Taylor. Sea f(x; y) = ey. 
 
 Obtener la fórmula de Taylor de tercer orden en torno al punto (1; 0). 
 Aprovechar el desarrollo anterior para calcular el valor aproximado de 0,90,2 y compararlo con el valor 
obtenido por calculadora. 
 
 
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6.) Hallar los puntos críticos de la siguiente función: 
 
f(x; y) = (x + y)(xy + 1)