Notas 05 Variacion de Funciones - Axel Sánchez Nazario

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VARIACIÓN DE FUNCIONES 
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El objetivo de todo curso de Cálculo Diferencial es el estudio, manejo y aplicación de funciones a la solución de 
problemas cotidianos en los que interviene una variable independiente. 
 
 
Para ello, vimos por separado los conceptos sobre funciones, limites, continuidad y derivadas. 
 
 
Sin embargo, todavía no es suficiente para poder describir una situación real mediante una función y obtener 
algún beneficio en nuestro problema. 
 
 
Adicional a todos los temas anteriormente descritos, necesitamos entender y utilizar varios teoremas que nos 
ayuden a precisar el aprovechamiento de funciones. 
 
 
Estos teoremas son: 
 
 
1) Teorema de Weierstrass 
 
 
2) Teorema de Bolzano 
 
 
3) Teorema de Rolle 
 
 
4) Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial 
 
 
5) Teorema de Cauchy 
 
 
 
Alrededor de estos teoremas se construyó toda la teoría y práctica del Cálculo Diferencial, desde sus inicios en el 
siglo XVII hasta nuestros días. 
 
VARIACIÓN DE FUNCIONES 
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* Teorema de Weierstrass. 
 
 
Si una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es continua en el intervalo cerrado [ 𝑎 , 𝑏 ] entonces: 
 
 
Entre todos los valores de 𝑓(𝑥) existe un valor 𝑀 = 𝑓(𝑥1) llamado el Máximo Absoluto, que no es superado por 
ningún otro valor de la función en [ 𝑎 , 𝑏 ] 
 
 
De forma semejante, existe un valor 𝑚 = 𝑓(𝑥2) llamado el mínimo absoluto, que no supera a ninguno de los 
valores de la función en [ 𝑎 , 𝑏 ] 
 
 
 
 
 
En esencia, Weierstrass establece la existencia del máximo y mínimo absolutos, a partir de la continuidad de una 
función. 
 
 
Los valores máximo y mínimo absolutos pueden estar en cualquier punto del dominio de la función, incluso en 
los extremos. 
 
 
 
 
 
VARIACIÓN DE FUNCIONES 
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* Teorema de Bolzano. 
 
 
Si una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es continua en el intervalo cerrado [ 𝑎 , 𝑏 ] y un valor de la función es 𝑦0 tal que se 
verifica que 𝑚 ≤ 𝑦0 ≤ 𝑀 entonces: 
 
 
Existe al menos un valor 𝑥0 ∈ [ 𝑎 , 𝑏 ] para el cual 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) 
 
 
 
 
 
 
 
Partiendo de la continuidad de una función, Bolzano nos asegura la existencia de todos los valores de la función, 
entre el máximo y del mínimo absolutos. 
 
 
De hecho, nos asegura que cada uno de esos valor de 𝑓(𝑥) corresponden a un valor 𝑥 dentro del dominio de la 
función. 
 
 
 
 
 
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* Teorema de Rolle. 
 
 
Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función que cumple con las siguientes condiciones: 
 
1) es continua en el intervalo cerrado [ 𝑎 , 𝑏 ] 
 
2) es derivable en el intervalo abierto ( 𝑎 , 𝑏 ) 
 
3) 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) 
 
 
Entonces, existe por lo menos un valor 𝑥0 ∈ ( 𝑎 , 𝑏 ) para el cual 𝑓
′(𝑥0) = 0 
 
 
 
 
 
 
Este teorema se volvió muy popular puesto que se emplea frecuentemente para encontrar los máximos y mínimos 
relativos de una función, pero su inconveniente es la exigencia en el cumplimiento de sus tres hipótesis. 
 
 
Se descubriría con el paso del tiempo, que sólo es un caso particular del siguiente teorema. 
 
 
 
 
 
VARIACIÓN DE FUNCIONES 
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* Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial. 
 
 
Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función que cumple con las siguientes condiciones: 
 
1) es continua en el intervalo cerrado [ 𝑎 , 𝑏 ] 
 
2) es derivable en el intervalo abierto ( 𝑎 , 𝑏 ) 
 
 
Entonces, existe por lo menos un valor 𝑥0 ∈ ( 𝑎 , 𝑏 ) para el cual 
 
 
𝑓′(𝑥0) =
 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 
𝑏 − 𝑎
 
 
 
 
 
 
Es el teorema más importante del Cálculo Diferencial, empezando porque sólo requiere la continuidad y la 
derivabilidad de una función, para poder aplicarlo. 
 
 
Pero además, nos permite extender las ideas de variación de funciones y rectas tangentes, a cualquier punto dentro 
de su dominio, con sólo relacionarlo con la variación de los extremos de dicho dominio. 
 
 
Se acostumbra incluir en el teorema las siguientes consecuencias directas del mismo. 
 
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Corolarios: 
 
 
1) Una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) cuya derivada es nula en un intervalo, necesariamente es una función constante. 
 
 
Si la derivada es nula en todo el intervalo, la pendiente 
de la recta tangente en todos los puntos de su dominio 
es cero. 
 
 
En consecuencia, la recta tangente es horizontal y 
única para todos los puntos del dominio. 
 
 
 
2) Si dos funciones 𝑦 = 𝑓1(𝑥) y 𝑦 = 𝑓2(𝑥) tienen sus derivadas iguales en un intervalo, entonces sólo 
difieren en una constante en dicho intervalo. 
 
 
Como tienen la misma derivada en todo el intervalo, 
tienen la misma pendiente sus rectas tangentes en 
todos los puntos de su dominio. 
 
 
En consecuencia, están recorriendo el mismo 
desarrollo pero en una ubicación diferente del plano 
cartesiano. 
 
𝑓1(𝑥) = 𝑓2(𝑥) + 𝑘 
 
 
Esto nos lleva a la idea de curvas paralelas. Conocida 
una, se puede saber cómo se comporta la otra. 
 
 
Este hecho será fundamental para hablar de las 
constantes de integración 
 
 
El estudio y determinación de las constantes de integración conducirá hacia una materia llamada Ecuaciones 
Diferenciales. 
 
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* Teorema de Cauchy (Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial para dos funciones) 
 
 
Sean 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) dos funciones que cumplen con las siguientes condiciones: 
 
1) Son continuas en el intervalo cerrado [ 𝑎 , 𝑏 ] 
 
2) Son derivables en el intervalo abierto ( 𝑎 , 𝑏 ) 
 
3) 𝑔′(𝑥) ≠ 0 ∀ 𝑥 ∈ ( 𝑎 , 𝑏 ) 
 
 
Entonces, existe por lo menos un valor 𝑥0 ∈ ( 𝑎 , 𝑏 ) para el cual 
 
 
 𝑓′(𝑥0) 
𝑔′(𝑥0)
=
 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 
𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)
 
 
 
Este teorema es una consecuencia un poco más elaborada del Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial, 
cuando decidimos comparar algebraicamente los postulados del mismo a dos funciones distintas. 
 
 
Al plantearlo, conseguimos comparar el comportamiento de dos funciones con desarrollo diferente, mediante la 
relación que exista entre sus respectivas derivadas y la relación que exista entre los extremos de un mismo 
dominio. 
 
 
Para comprender los teoremas mejor, se acostumbra analizar su aplicación a algunas funciones. 
 
 
* Ejercicio: Investigar si la función cumple las condiciones del teorema de Rolle. En caso afirmativo, determinar 
los valores para los cuales se verifica. 
 
𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥 + 3 𝑒𝑛 [ −2 , 2 ] 𝑦 = 4 − 𝑥2 3⁄ 𝑒𝑛 [ −3 , 3 ] 
𝑦 = | 𝑥 − 2 | 𝑒𝑛 [ −2 , 6 ] 𝑦 = −𝑥3 + 3𝑥 − 3 𝑒𝑛 [ −2 , 1 ] 
 
 
 
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* Ejercicio: Investigar si la función cumple las condiciones del teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial. 
En caso afirmativo, determinar para que valores se verifica. 
 
𝑦 = 𝑥3 − 𝑥 𝑒𝑛 [ −2 , 2 ] 𝑦 = (𝑥 − 2)2 3⁄ 𝑒𝑛 [ 0 , 3 ] 
𝑦 =
 2 
𝑥
 𝑒𝑛 [ −1 , 2 ] 𝑦 = 2𝑥2 3⁄ + 1 𝑒𝑛 [ −8 , −1 ] 
 
 
* Análisis de funciones 
 
 
En Geometría Analítica, es común analizar una curva en base a sus intersecciones y simetrías con todas las 
referencias cartesianas. Si hace falta, se evalúan algunos puntos para poder hacer un trazo aproximado de su 
gráfica. 
 
 
En Cálculo Diferencial, usaremos la primera y segunda derivadas como herramientas para hacer el análisis de la 
curva a lo largo de su recorrido. 
 
 
Estas herramientas funcionan en dos partes: 
 
 
La primera derivada siempre nos dice lo que hace la función que le dio origen, es decir, nos dice hacia donde se 
dirige la curva. 
 
 
¿Cómo lo hace? Recordemos que la primera derivada nos da el valor de la recta tangente a la curva en cualquier 
punto de ella. Significa que si dejamos la trayectoria de la curva en punto en particular, el desplazamiento a partir 
de ahí sería en la dirección de la recta tangente. 
 
 
En consecuencia, lo que haga la recta tangente en un punto, nos dice como es la curva en ese punto. 
 
 
Con esto en mente,tenemos tres opciones para la primera derivada: 
 
𝑓′(𝑥) > 0 
 
Curva creciente 
𝑓′(𝑥) < 0 
 
Curva decreciente 
𝑓′(𝑥) = 0 
 
Recta tangente horizontal 
 
 
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Que sea creciente o decreciente es una cuestión arbitraria, que se considera cuando la variable independiente 
recorre su camino de izquierda a derecha. 
 
 
1) Si la variable dependiente también crece, decimos que la curva es creciente 𝑓′(𝑥) > 0 
 
 
 
 
2) Si la variable dependiente decrece, decimos que la curva es decreciente 𝑓′(𝑥) < 0 
 
 
 
 
3) Si la variable dependiente no crece ni decrece, estamos ante una recta tangente horizontal, indicando la 
presencia de un máximo o un mínimo relativos. 𝑓′(𝑥) = 0 
 
 
 
 
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La segunda derivada siempre nos dice como se está moviendo la curva, y también tiene tres escenarios: 
 
𝑓′′(𝑥) > 0 𝑓′′(𝑥) < 0 𝑓′′(𝑥) = 0 
 
 
 
Un punto de inflexión es el momento en el cual la curva está cambiando de una concavidad a otra, y por lo tanto, 
su valor es cero. 
 
 
Con la información anterior, analizada en conjunto, podemos hacer un bosquejo de la gráfica de la función. 
 
 
Obviamente, hay casos particulares que merecen especial atención, como aquellos puntos en los cuales la función 
no existe, la primera derivada no existe, o la segunda derivada no existe. 
 
 
Para ayudarnos en el desarrollo del análisis de una función, es recomendable primero establecer los puntos críticos 
de la función, que son los siguientes: 
 
 
- Donde la función, la primera o la segunda derivadas no existan 
 
- Donde la función tenga cambios de regla de correspondencia 
 
- Donde la primera o la segunda derivadas valgan cero 
 
 
Usualmente, entre esos puntos se establecen intervalos en los cuales la curva tiene un comportamiento 
perfectamente definido y estable. 
 
 
Uniendo todos los segmentos de la curva, tendremos el bosquejo de la gráfica en todo su dominio. 
 
 
 
 
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* Ejemplo: Analizar el comportamiento de la siguiente curva 𝑦 = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 12𝑥 − 10 
 
 
Nuestro método se basa en la primera y segunda derivadas, por lo que empezamos obteniendo ambas 
 
𝑦′ = 6𝑥2 + 6𝑥 − 12 𝑦′′ = 12𝑥 + 6 
 
 
Como la función y sus derivadas son polinomios, no tenemos situaciones por inexistencia de puntos. 
 
 
En este ejemplo tampoco hay cambios de regla de correspondencia. 
 
 
Si la primera derivada la igualamos con cero, obtenemos dos raíces: 𝑥1 = −2 𝑥2 = 1 
 
 
Si la segunda derivada la igualamos con cero, obtenemos una raíz: 𝑥3 = −
1
2⁄ 
 
 
Estos tres valores son nuestros puntos críticos, por lo tanto nos interesa conocer su ubicación. Para ello los 
evaluamos en la función original, y obtenemos 
 
𝑃1( −2 , 10 ) 𝑃2( 1 , −17 ) 𝑃3 ( −
1
2
 , −
7
2
 ) 
 
 
Para hacer el análisis vamos a utilizar el siguiente método: 
 
 
Colocamos sobre el eje X los valores críticos indicando el motivo de ser críticos 
 
 
Arriba del eje X colocamos los valores asociados con la primera derivada, mientras que abajo del eje X están 
aquellos asociados con la segunda derivada. 
 
 
Ahora solo tenemos que evaluar puntos dentro de los intervalos formados en la primera y en la segunda derivada, 
para ir conociendo el signo asociado en cada intervalo. 
 
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Por ejemplo, la primera derivada cuando 𝑥 < −2 la podemos analizar con 𝑥 = −3 
 
 
𝑓′(−3) = (+) 
 
 
El resultado numérico, que en este caso es 24, no es lo esencial sino el signo positivo asociado al resultado, lo 
cual indica que la curva está creciendo en dicho intervalo hasta llegar al máximo relativo en donde la derivada 
valdrá cero. 
 
 
 
Si continuamos llenando el signo en todos los intervalos, la primera derivada termina así 
 
 
 
 
Podremos decir en este momento que la curva es creciente cuando 𝑥 ∈ ( −∞ , −2 ) ∪ ( 1 , ∞ ) mientras que es 
decreciente cuando 𝑥 ∈ ( −2 , 1 ) 
 
 
Cuando la curva va creciendo y llega a una derivada igual a cero, indica la presencia de un máximo relativo, que 
en nuestro ejemplo será el punto 𝑃( −2 , 10 ) 
 
 
Cuando la curva va decreciendo y llega a una derivada igual a cero, indica la presencia de un mínimo relativo, 
que en nuestro ejemplo será el punto 𝑃( 1 , −17 ) 
 
 
Estas dos últimas conclusiones se obtuvieron con lo que se llama criterio de la primera derivada para máximos 
y mínimos. 
 
 
Ahora vamos a repetir el proceso con los intervalos creados en la segunda derivada, y obtendremos el signo 
asociado con ellos. 
 
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Así llegamos a lo siguiente 
 
 
 
Podemos concluir que la curva es cóncava hacia abajo cuando 𝑥 < − 1 2⁄ 
 
 
La curva es cóncava hacia arriba cuando 𝑥 > − 1 2⁄ 
 
 
La transición de una concavidad a la otra se produce en el punto 𝑃( − 1 2⁄ , − 7 2⁄ ) que es el punto de inflexión. 
 
 
De las combinaciones de signos con ambas derivadas, podemos hacer la gráfica 
 
 
Bosquejo de la gráfica Gráfica a escala natural 
 
 
Observa de la gráfica como, el máximo relativo obtenido con la primera derivada igualada a cero, no es el máximo 
absoluto, porque hay muchos otros puntos mayores que él. Por eso recibe el nombre de máximo relativo. 
 
 
 
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De la misma manera, el mínimo relativo obtenido con la primera derivada igual a cero, no es el mínimo absoluto, 
porque hay muchos otros puntos menores que él. Por eso recibe el nombre de mínimo relativo. 
 
 
Conocer la gráfica para una función, nos puede ayudar a entender mejor su comportamiento y, llegado el 
momento, tomar decisiones sobre los valores que resuelvan mejor un problema determinado. 
 
 
En la actualidad, la tecnología nos permite observar fácilmente la gráfica de una función. Sin embargo, el análisis 
de algunos ejemplos puede ayudarnos a entender cómo se comporta una función y porqué. 
 
 
* Ejercicio: realiza el análisis del comportamiento de las siguientes curvas 
 
𝑦 =
 3𝑥5 − 20𝑥3 
32
 𝑦 = 3 − (𝑥 − 2)2 3
⁄ 
𝑦 = 2𝑥3 − 12𝑥2 + 24𝑥 − 15 𝑦 = 2𝑥 + 3𝑥2 3⁄ 
𝑦 = 4𝑥3 − 3𝑥4 − 1 𝑦 =
2𝑥2
𝑥2 + 2
 
𝑦 = 1 −
2𝑥
𝑥2 − 16
 𝑦 =
2𝑥2
𝑥2 − 9
− 1 
 
 
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* Problemas de optimización 
 
 
Se trata de establecer una función para un problema real, y partiendo de ahí describir su comportamiento en todo 
su dominio, de donde podremos obtener resultados óptimos para nuestros fines particulares. 
 
 
Es muy común que los resultados óptimos que necesitamos se presenten en los extremos relativos, ya sea el 
máximo o el mínimo, aunque no son exclusivos, y en ocasiones recurrimos al criterio y al sentido común para 
determinar la mejor solución a un problema. 
 
 
Una guía para resolver este tipo de problemas es la siguiente: 
 
 
1) ¿Qué se pretende optimizar? Esto nos ayuda a enfocar nuestras ideas y a establecer la función que responde 
a nuestro problema. Recibe el nombre de función objetivo. 
 
 
2) Reconocer los datos del problema 
 
 
3) Identificar las variables y sus dependencias 
 
 
4) Combinar datos y variables para dejar una función con una sola variable independiente 
 
 
5) Aplicar los criterios de optimización 
 
Estos criterios se basan en la primera y la segunda derivadas, con los cuales buscamos los extremos 
relativos y decidimos si son la solución a nuestro problema. 
 
Si no es así, recurrimos a la información que tenemos del comportamiento general de la función y su 
gráfica. Usando el sentido común localizamos la mejor solución a nuestro alcance. 
 
 
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* Ejemplo: Se quiere construir una caja rectangular de base cuadrada sin tapa. Calcular el volumen máximo 
que se puede obtener con 1,200 cm2 de material. 
 
 
¿Qué pretendemos optimizar? Buscamos el volumen máximo de la caja. 
 
 
De la geometría básica, sabemos que el volumende un prisma cuadrangular es 
 
 
𝑉 = 𝑎2𝑏 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 
 
 
Ahora necesitamos reducirla a una sola variable independiente para poder 
aplicar los criterios vistos en este curso. 
 
 
Si desdoblamos la caja, tendremos el desarrollo mostrado 
 
 
El área total de material es 𝐴 = 4𝑎𝑏 + 𝑎2 
 
 
Y al igualarla con la condición del problema 
 
 
4𝑎𝑏 + 𝑎2 = 1200 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 
 
 
 
En esta ecuación de condición despejamos a la variable más sencilla, en este caso 𝑏 
 
𝑏 =
 1200 − 𝑎2 
4𝑎
 
 
 
Al llevar este resultado a la función objetivo, llegamos a 
 
 
𝑉 = 300𝑎 −
 𝑎3 
4
 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
 
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Ahora lo que hacemos es aplicar los criterios de optimización, empezando con las derivadas 
 
𝑉′ = 300 −
3
4
𝑎2 𝑉′′ = −
3
2
𝑎 
 
 
Igualando a cero la primera derivada, obtenemos 𝑎1 = −20 𝑎2 = 20 
 
 
Para saber cuál de las dos nos conduce a un máximo, sustituimos ambas en la segunda derivada y observamos el 
signo para la concavidad 
 
 
𝑉′′(−20) = (+) que por ser positivo indica concavidad hacia arriba, y en consecuencia tenemos un mínimo 
 
 
𝑉′′(20) = (−) que por ser negativo indica concavidad hacia abajo, y en consecuencia tenemos un máximo 
 
 
Entonces concluimos, el volumen máximo se obtiene con 𝑎 = 20 𝑐𝑚 y 𝑏 = 10 𝑐𝑚 
 
 
Y el volumen máximo posible es 𝑉𝑚𝑎𝑥 = 4,000 𝑐𝑚
3 
 
 
Ejercicios: Aplicando los criterios de optimización, resuelva los siguientes problemas: 
 
 
a) Se quiere construir una caja rectangular de base cuadrada que tenga una capacidad de 2000𝑐𝑚3 Si el costo 
unitario del material para los costados es de $1.5⁄𝑐𝑚2 y el costo unitario del material para la tapa y para 
la base es de $3⁄𝑐𝑚2, obtenga las dimensiones para invertir el mínimo costo en material. 
 
 
b) Un paquete puede enviarse por correo ordinario sólo si la suma de su altura y el perímetro de su base no 
es mayor de 2m. Encuentre las dimensiones de la caja de máximo volumen que puede enviarse por correo 
si la base de la caja es cuadrada. 
 
 
c) Un trozo de alambre de 48cm de longitud, se va a cortar en dos partes. Una se doblará para formar un 
círculo y la otra se doblará para formar un cuadrado. ¿Dónde debe hacerse el corte de modo que la suma 
de las áreas del cuadrado y del círculo sea máxima? 
 
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d) Una plataforma petrolera se encuentra a 45km del punto más cercano a la playa. Desde ahí, y en línea recta 
a lo largo de la costa, se encuentra una refinería a 150km. 
 
Si la conducción por mar cuesta 1.5 𝑈𝑆𝐷⁄𝑚 y la conducción por tierra cuesta 0.8 𝑈𝑆𝐷⁄𝑚, encuentre la 
ruta más económica para llegar de la plataforma a la refinería. 
 
 
e) La compañía K2 tiene capacidad para producir 500 salas anuales. Si fabrica x salas, puede venderlas a 
un precio igual a 200 − 0.15𝑥 dólares cada una. Además, tiene costos totales anuales de acuerdo con la 
función 4000 + 6𝑥 − 0.0001𝑥2 dólares. 
 
¿Cuál es el número de salas que nos dará la máxima utilidad al año? 
 
 
f) En el diseño de una cafetería se estima que si se ocupan de 0 a 60 lugares, la ganancia por lugar tendrá un 
valor de $ 15 
 
Sin embargo, si la ocupación sobrepasa los 60 lugares, la ganancia en cada lugar se verá disminuida en 12 
centavos por el número de lugares excedentes de 60 
 
Determine el número de lugares que se deben ocupar para obtener la máxima ganancia total. 
 
 
g) Un canalón metálico para el agua de lluvia va a tener caras laterales de 10cm y un fondo horizontal de 
15cm, con los lados formando ángulos iguales con el fondo. ¿Cuánto debe valer el ángulo 𝜃 para 
maximizar la capacidad de acarreo del canalón?