guia 2

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Departamento de Matemáticas
TAV 2013
MAT1610 ? Cálculo I
Gúıa N◦ 2
Ĺımites de funciones.
PROBLEMAS DEL TEXTO GUIA
1. Sección 2.3: completa
2. Sección 2.4: completa
3. Sección 2.5: completa
4. Sección 2.6: completa
PROBLEMAS ADICIONALES
1. Demuestre que ĺım
x→1
|x− 1|
1− x
no existe.
2. Demuestre por definición que:
a) ĺım
x→−2
(3x+ 5) = −1 b) ĺım
x→2
x
x+ 1
=
2
3
c) ĺım
x→ 3
2
[x] = 1 d) ĺım
x→a
cos x = cos a
3. Demuestre que los siguientes ĺımites no existen:
a) ĺım
x→0
sen2
1
x
.
b) ĺım
x→2
x
x− 2
.
c) ĺım
x→0
tan
1
x
.
1
4. Aplicando la definición de ĺımite demuestre que:
a) ĺım
x→ 3
2
4x2 − 9
2x− 3
= 6
b) ĺım
x→2
(x2 − 1) = 3
c) ĺım
x→3
f(x) = 6
siendo f(x) =

2x si x < 3
8 si x = 3
3x− 3 si x > 3
Dibuje un gráfico en cada caso.
5. Calcular los siguientes ĺımites y justificar su respuesta:
ĺım
x→2
x2 + 5
x2 − 3
ĺım
x→1
x2 − 2x+ 1
x3 − x
ĺım
x→1
(x− 1)
√
2− x
x2 − 1
ĺım
x→1
(
1
1− x
− 3
1− x3
)
ĺım
x→1
xm − 1
xn − 1
(m,n ∈ N) ĺım
x→0
√
1 + x− 1
x
ĺım
x→0
sen 5x
x
ĺım
x→a
√
x− b−
√
a− b
x2 − a2
(a > b)
6. Calcular los siguientes ĺımites:
ĺım
x→0
1− cos x
x2
ĺım
x→0
tan 2x
sen 3x
ĺım
x→0
(
1
sen x
− 1
tan x
) ĺım
x→π
sen 3x
sen 2x
ĺım
x→π
4
cos x− sen x
cos 2x
ĺım
x→0
√
2−
√
1 + cos x
sen2 x
ĺım
x→0
1
x
(
1
3 + x
− 1
3
) ĺım
x→0
(3 + x)3 − 27
x
ĺım
x→0
1
x
(
√
3 + x−
√
3
x
) ĺım
x→0
√
1 + 2x−
√
1− 3x
x
ĺım
x→0
√
x2 + 1
x+ 1
ĺım
x→0
√
x2 + p2 − p√
x2 + q2 − q
2
7. Si ĺım
x→3
f(x) = 2 calcular:
ĺım
x→3
f 2(x) ; ĺım
x→2
f(x2 − 1) ; ĺım
x→4
f(2x− 5)
8. Si f(x) =

x− 4 −1 < x < 2
x2 − 6 2 < x < 5
Calcular ĺım
x→2
f(x)
9. Si f(x) =

x3 − 1
x− 1
si x < 1
sen 3x
x
si x > 1
Calcular ĺım
x→1
f(x)
10. Si f(x) =

x2 x 6= 2
0 x = 2
encuentre ĺım
x→2
f(x)
Dado ε = 0,001 determine δ > 0 de manera que |f(x)−1| < ε cuando 0 < |x−2| < δ.
11. Calcule:
a) ĺım
x→ 3
2
4x3 + 8x2 − 3x− 9
10x3 + 9x2 − 5x+ 6
b) ĺım
x→a
xm − am
xp − ap
, m, p ∈ Z+
c) ĺım
x→1
[
2
1− x2
− 3
1− x3
]
12. Calcule:
a) ĺım
x→a
x3 − a3√
x−
√
a
, a ∈ R+ b) ĺım
x→a
n
√
x− n
√
a
m
√
x− m
√
a
, n,m ∈ Z+
c) ĺım
x→1
3x− 2−
√
4x2 − x− 2
x2 − 3x+ 2
13. a) ĺım
x→a
2a− 3
√
4(a3 + x3)
3
√
4(a3 + x3)− 2x
b) ĺım
x→1
√
x− 4
√
x
3
√
x− 5
√
x
14. Sean x1 < x2 las ráıces de la ecuación x
2−2ax+b2 = 0, a, b ∈ R+, a > b. Encuentre
los siguientes ĺımites:
a) ĺım
b→a
x2 − x1√
a− b
b) ĺım
b→a
ax2 − b2
ax1 − b2
c) ĺım
b→a
ax2 − bx1
ax1 − bx2
3
15. Calcule:
a) ĺım
x→0
sen 4x
sen 3x
b) ĺım
x→0
7x− sen 3x
2x+ 3 sen 4x
c) ĺım
x→0
Arc sen x
x
16. Calcule:
a) ĺım
x→a
sen x− sen a
sen x
2
− sen a
2
b) ĺım
x→π
sen x
2
+ cos x
1 + sen2 x+ cos x
c) ĺım
x→π
4
cos(x+ π
4
)
tan x− 1
17. a) ĺım
x→0
tan(x− π
4
)− 1
sen x
b) ĺım
x→π
2
tan x(1− tan x
2
)
18. a) ĺım
x→0
2x − 3x
x
b) ĺım
x→0
4x − 2x
5x − 3x
19. Dadas las funciones:
f(x) =
x2 − x− 6
x− 3
g(x) =

x2 − x− 6
x− 3
si x 6= 3
3 si x = 3
h(x) =

x2 − x− 6
x− 3
x 6= 3
5 x = 3
a) Dibuje el gráfico de cada función
b) Analice su continuidad en x = 3
c) Redefina aquellas funciones en x = 3 cuando la discontinuidad sea evitable.
20. Localice los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones.
Clasifique la discontinuidad en evitable o esencial:
a) f(x) =
x
x3 − 4x
b) g(x) =
1
sen 2x
c) h(x) = [x]
21. Determine los intervalos donde son continuas las siguientes funciones:
a) f(x) =
1
x2 − 9
b) g(x) =
4
x2 + x
c) h(x) =
√
x− 5
x+ 6
4
22. Encuentre los valores de p y q de manera que la función:
f(x) =

−2 sen x si x ≤ −π
2
p sen x+ q si −π
2
< x < π
2
cos x si π
2
≤ x
sea continua en todo R. Haga el gráfico de f .
23. Demuestre que si f es una función continua en [a, b] tal que f(a) < a y f(b) > b,
entonces existe un punto c en [a, b] donde f(c) = c. (Propiedad del punto fijo). Ilustre
esta propiedad gráficamente con una función adecuada.
24. Bosqueje los gráficos de las siguientes funciones señalando sus puntos de discontinui-
dad y el caracter de éstos
a)
x3 − 1
x2 − 1
b)
3
√
1 + x− 1
x
c)
cos x
| cos x|
d) Arc tan
1
x− 4
e) sen
1
x
f) x sen
1
x
g)
sen x
x
h)
sen 2x
x− x2
i) x[
1
x
] j)
√
x− [x]
k) [x] sen πX
25. Localice los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones y construya su gráfi-
co:
a) ĺım
n→∞
1
1 + xn
con x ≥ 0
b) ĺım
n→∞
x2n − 1
x2n + 1
c) ĺım
n→∞
n
√
1 + x2n
5
26. ¿Es obligatoriamente discontinua en un punto dado la suma de dos funciones f(x) +
g(x) si:
a) f es continua pero g es discontinua en x = a?
b) f y g son discontinuas en x = a?
27. Demuestre que si f(x) es una función continua en un punto a y f(a) > 0, entonces
existe una vecindad de a donde f es positiva.
28. Demuestre que si f(x) es un polinomio de grado n tal que el primer y último coeficiente
tiene signos opuestos, entonces f tiene al menos una ráız positiva.
29. Demuestre que si una función f(x) monótona está definida en [a, b] y toca todos los
valores comprendidios entre f(a) y f(b), entonces f es continua en [a, b].
30. Demuestre que si un veh́ıculo recorre un camino de 500 Km. con velocidad promedio
de 50 km
h
, entonces debe existir un tramo de 50 km. que fue recorrido exactamente
en 1 hora.
6