Algebra-Intermedia-Octava2-páginas-4

Vista previa del material en texto

Sección	6.4	Resolución	de	ecuaciones	racionales		 389
 (x + 2)(x - 2) # ( 3x
(x + 2)(x - 2)
+
1
x - 2 ) =
2
x + 2
# (x + 2)(x - 2)
3x
(x + 2)(x - 2)
+
1
x - 2
=
2
x + 2
3x
x2 - 4
+
1
x - 2
=
2
x + 2
.
 (x + 2) (x - 2) # 3x
 (x + 2) (x - 2) 
+ (x + 2) (x - 2) # 1
 x - 2 
=
2
 x + 2 
# (x + 2) (x - 2)
(2p + 1)(p - 5).
22
(2p + 1)(p - 5)
-
3
2p + 1
=
2
p - 5
22
2p2 - 9p - 5
-
3
2p + 1
=
2
p - 5
.
 x = -3
 2x = -6
 2x + 2 = -4
 4x + 2 = 2x - 4
 3x + (x + 2) = 2(x - 2)
 (2p + 1) (p - 5) # 22
 (2p + 1) (p - 5) 
- (2p + 1) (p - 5) # 3
 2p + 1 
=
2
 p - 5 
# (2p + 1) (p - 5) 
—
22
0
-
3
11
=
2
0
¡
 
22
2(5)2 - 9(5) - 5
-
3
2(5) + 1
2
5 - 5
 
22
2p2 - 9p - 5
-
3
2p + 1
=
2
p - 5
 5 = p
53 = 7p
73 - 3p = 4p + 2
22 - 3p + 15 = 4p + 2
22 - 3(p - 5) = 2(2p + 1)
EJEMPLO 4 Resuelve 
Solución    Primero factoriza el denominador x2 ] 4, y luego determina el MCD.
El MCD es (x + 2)(x ] 2). Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el MCD y 
después utilizamos la propiedad distributiva. Este proceso eliminará las fracciones 
de la ecuación.
 
 
 
 
 
La verificación mostrará que ]3 es la solución.
Resuelve ahora el ejercicio 39
EJEMPLO 5 Resuelve la ecuación 
Solución    Factorizamos el denominador y después determinamos el MCD.
Multiplica ambos lados de la ecuación por el MCD, 
 
 
 
 
 
Al parecer, la solución es 5. Sin embargo, debemos verificar, ya que aparece una 
variable en un denominador.
Verifica 
 Sustituye p por 5.
 Indefinido Indefinido
Como 5 hace que el denominador sea 0 y la división entre 0 es indefinida, 5 es una 
solución extraña. Por lo tanto, se debe escribir como respuesta “no existe solución”.
Resuelve ahora el ejercicio 43
Comprendiendo 
el álgebra
Cada	vez	que	resuelvas	una	
ecuación	racional	con	una	va-
riable	en	algún	denominador,	
debes	verificar	el	valor	obteni-
do	en	la	ecuación	original.	En	
el	ejemplo	5,	el	valor	de	p	=	5	
es	una	solución extraña.
390	 Capítulo	6	 	 Expresiones		racionales	y	ecuaciones	
Proporción
Una proporción es una ecuación de la forma .
a
b
=
c
d
 , b Z 0, d Z 0
Si 
a
b
=
c
d
, entonces ad = bc, b Z 0, d Z 0
A
B
A
C
D
A
A
B
B
D
C
C
B C
(a)
(b)
FIGURA 6.3
AB
BC
=
A¿B¿
B¿C¿
Consejo útil 
Recuerda, siempre que resuelvas una ecuación en la que aparezca una variable en algún de-
nominador, debes verificar la solución para asegurar que no es una solución extraña. Si una 
aparente solución da por resultado en algún denominador 0, entonces es una solución extraña 
y no es una solución verdadera para la ecuación.
	3 	Resolver	proporciones
Figuras semejantes
Las figuras semejantes son aquellas cuyos ángulos correspondientes son iguales y cuyos 
lados correspondientes son proporcionales.
Las proporciones son ecuaciones racionales y por lo tanto pueden resolverse multiplican-
do ambos lados de la proporción por el MCD. Las proporciones también pueden resolver-
se mediante la multiplicación cruzada del siguiente modo:
Las proporciones son usadas al trabajar con figuras semejantes.
La Figura 6.3 ilustra dos conjuntos de figuras semejantes.
En la Figura 6.3a, la proporción de la longitud del lado AB respecto de la longitud 
del lado BC es igual a la proporción de la longitud del lado A¿B¿ respecto de la longi-
tud del lado B¿C¿ Es decir,
En un par de figuras semejantes, si la longitud de un lado se desconoce, éste puede deter-
minarse utilizando proporciones.
Comprendiendo 
el álgebra
Recuerda	que	las	proporcio-
nes	son	ecuaciones	racionales,	
por	lo	tanto,	siempre	que	
resuelvas	una	proporción	que	
contiene	una	o	más	variables	
en	algún	denominador,	debes	
verificar	el	resultado	para	ase-
gurarte	de	que	los	valores	que	
obtengas	no	son	soluciones	
extrañas.
	 Sección	6.4	Resolución	de	ecuaciones	racionales		 391
 x = -3 x = 3
 x + 3 = 0 o x - 3 = 0
 (x + 3)(x - 3) = 0
 x2 - 9 = 0
 x2 = 9
 (x - 3) # x2
 x - 3 
=
9
 x - 3 
# (x - 3) 
x2
x - 3
=
9
x - 3
.
 1 = 1
 
5
5
6
6
 
AB
BC
=
A¿B¿
B¿C¿
 x = 6 x = -5
 x - 6 = 0 o x + 5 = 0
 (x - 6)(x + 5) = 0
 x2 - x - 30 = 0
 x2 - x = 30
 x(x - 1) = 6 # 5
 5x # x - 1
5
=
6
x
# 5x
 
x - 1
5
=
6
x
 
AB
BC
=
A¿B¿
B¿C¿
 - 
3
2
= - 
3
2
 
9
-6
9
-6
 
(-3)2
-3 - 3
9
-3 - 3
 
x2
x - 3
=
9
x - 3
 x 3
— 
9
0
9
0
 
32
3 - 3
9
3 - 3
 
x2
x - 3
=
9
x - 3
 x 3
 Verdadero
 Indefinido
EJEMPLO 6 Triángulos semejantes Los triángulos ABC y ABC en la Figura 
6.4 son figuras semejantes. Determina la longitud de los lados AB y BC.
Solución    Podemos establecer una proporción y despejar x. Entonces, podemos 
determinar las longitudes.
 
 
 
 Multiplica ambos lados por el MCD, 
5x.
 
 
 Factoriza el trinomio.
Como la longitud del lado de un triángulo no puede ser un número negativo,  5 no 
es una respuesta posible. Al sustituir x por 6, vemos que la longitud del lado BC es 
6 y la longitud del lado AB es 6  1 o 5.
Verifica 
 
 Verdadero
Resuelve ahora el ejercicio 49
La respuesta al ejemplo 6 también podría obtenerse mediante multiplicación cruza-
da. Ahora trata de resolver el ejemplo 6 utilizando la multiplicación cruzada.
EJEMPLO 7 Resuelve 
Solución    Esta ecuación es una proporción. La resolveremos multiplicando am-
bos lados de la ecuación por el MCD, x  3. 
 
 
 
Factoriza la 
diferencia de dos 
cuadrados.
Verifica
x � 1
6
A�
B� C�
A
B C5
x
FIGURA	 6.4	 	 
Como x = 3 hace que el denominador sea 0, entonces 3 no es solución de la ecuación. 
Ésta es una solución extraña. La única solución para la ecuación es  3.
Resuelve ahora el ejercicio 45
392	 Capítulo	6	 	 Expresiones		racionales	y	ecuaciones	
Para o 
1
RT
=
1
100
+
1
300
1
RT
=
1
R1
+
1
R2
1
RT
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
+ Á +
1
Rn
f(x) = 1.x = 2x = -1 o
a = -1, f(a) = 1.a = 2
 f(-1) = -1 -
2
(-1)
= -1 + 2 = 1
 f(2) = 2 -
2
2
= 2 - 1 = 1
 f(x) = x -
2
x
 a = 2 a = -1
 a - 2 = 0 o a + 1 = 0
 (a - 2)(a + 1) = 0
 a2 - a - 2 = 0
 a2 - 2 = a
 a # ( a -
2
a ) = a # 1
a -
2
a
= 1, a Z 0
f(a) = a -
2
,
f(x) = x -
2
x
.
a
En el ejemplo 7, ¿qué se obtendría si comenzamos con la multiplicación cruzada? 
Resuélvelo así y observa.
	4 	Resolver	problemas	que	incluyen	funciones	racionales
EJEMPLO 8 Considera la función Determina todos los valores 
de a para los que f (a) = 1.
Solución    Como necesitamos encontrar todos los valores para los 
que . Empezaremos por multiplicar ambos lados de la ecuación por 
a, el MCD.
Verifica	 	
Resuelve ahora el ejercicio 53
En la Figura 6.5, ilustramos la gráfica de para mostrar las respuestas que se 
obtuvieron en el ejemplo 8. Observa que cuando
	5 	Resolver	problemas	de	aplicación	mediante	expresiones	
racionales
Ahora veremos un problema de aplicación que involucra ecuaciones racionales.
EJEMPLO 9 Resistencia total En electrónica, la resistencia total RT, de los resis-
tores conectados en un circuito paralelo, se determina mediante la fórmula
donde R1, R2, R3,..., Rn son las resistencias de los resistores individuales (medidos en 
ohms) en el circuito. Determina la resistencia total si dos resistores, uno de 100 ohms y 
el otro de 300 ohms, están conectados en un circuito paralelo. Ver Figura 6.6.
Solución    Como solo hay dos resistencias, utilizamos la fórmula
Sea R1 =100 ohms y R2 = 300 ohms; entonces
�5
�4
�3
�2
�1
2
5432�4�5 �3 �2 �1 x
y
f(x) � 1
2
x
f(x) � x �
FIGURA	 6.5	 	 
R1
100 ohms
R3
300 ohms
�
�
FIGURA	 6.6	 	 
	 Sección	6.4	Resolución	de	ecuaciones	racionales		 393
 f =
pq
q + p
 o f =
pq
p + q
 
f (q + p) 
 q + p 
=
pq
 q + p
 f(q + p) = pq
 qf + pf = pq
 p qf( 1
 p 
) + p q f( 1
 q 
) = pq f ( 1
 f 
)
 pqf ( 1
p
+
1
q ) = pqf ( 1
f )
 
1
p
+
1
q
=
1
f
1
p
+
1
q
=
1
f
,
 RT =
300
4
= 75
003 = 4RT
003 = 3RT + RT
 003 RT # 1
 RT 
= 300 
3
RT ( 1
 100 
) + 300 RT( 1
 300 
)
003 RT
# 1
RT
= 300RT( 1
100
+
1
300)
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el MCD, 300RT. 
Por lo tanto, la resistencia total del circuito en paralelo de 75 ohms.
Resuelve ahora el ejercicio 93
	6 	Despejar	una	variable	en	una	fórmula	con	expresiones	
racionales
Si mientras despejas una variable en una fórmula, dicha variable aparece en más de un 
término, es posible despejar la variable mediante factorización. Este proceso se demuestra 
en los ejemplos 10, 11 y 12.
EJEMPLO 10 Óptica Una fórmula que se utiliza en el estudio de la óptica es
donde
p es la distancia a la que se encuentra un objeto respecto de una lente o espejo,
q es la distancia de la imagen respecto de la lente o espejo, y
f es la longitud focal de la lente o espejo.
Para una persona que utiliza lentes, q es la distancia desde las lentes a su retina (ver 
Figura 6.7). Despeja f de esta fórmula.
Solución    Nuestro objetivo es aislar la variable f. Comenzamos por multiplicar ambos 
lados de la ecuación por el mínimo común denominador, pqf, para eliminar fracciones.
 
 Multiplica ambos lados por el MCD, pqf.
 Propiedad distributiva.
 Simplifica.
 Factoriza f.
 Divide ambos lados entre q + p.
 
Resuelve ahora el ejercicio 69
p q
FIGURA	 6.7	 	 
394	 Capítulo	6	 	 Expresiones		racionales	y	ecuaciones	
Solution
f =
dw
l - d
.
dw
l - d
= f
 
dw
 l - d
=
f (l - d) 
 l - d 
 dw = f(l - d)
 dw = fl - df
 df - df + dw = fl - df
 df + dw = fl
 d(f + w) = fl
 d (f + w) =
fl
 (f + w) 
 (f + w) 
 d =
fl
f + w
P =
A
1 + rt
.
 
A
1 + rt
= P
 
A
 1 + rt
=
P (1 + rt) 
 1 + rt 
 A = P(1 + rt)
 A = P + Prt
x
x + 7
+
3
x + 7
CORRECTO
x
x + 7
+
3
x + 7
=
x + 3
x + 7
INCORRECTO
 = x + 3
 
x
x + 7
+
3
x + 7
= (x + 7)
x
x + 7
+
3
x + 7 )(
EJEMPLO 11 Actividad bancaria Una fórmula que se utiliza en la banca es 
A = P + Prt, donde A representa la cantidad que se debe pagar al banco cuando se 
prestan P dólares a una tasa de interés simple, r, durante el tiempo, t, en años. Des-
peja P en esta ecuación.
Solución    Como los dos términos que contienen la variable P están en el lado 
derecho de la ecuación, factorizamos P en ambos términos.
 P está en ambos términos.
 Factoriza P.
 Divide ambos lados entre 1 + rt para
 aislar P.
 
Entonces, 
Resuelve ahora el ejercicio 73
EJEMPLO 12 Física Una fórmula que se usa en física para calcular la fuerza 
de las palancas es d =
fl
f + w
. Despeja f de esta fórmula.
Solución    Empezamos por multiplicar ambos lados de la fórmula por f + w para elimi-
nar fracciones. Luego reescribimos la expresión con todos los términos que contienen f a 
un lado del signo igual, y todos los términos que no incluyen f, al otro lado del signo igual.
 Multiplica por f + w para eliminar 
fracciones.
 Propiedad distributiva.
 
Aísla en el lado derecho de la 
ecuación los términos que contienen f.
 
 Factoriza f.
 
Aísla dividiendo f dividiendo ambos 
lados entre l ] d.
 
Entonces, 
Resuelve ahora el ejercicio 79
Comprendiendo 
el álgebra
Algunas	veces,	cuando	quieres	
despejar	una	variable	de	una	
fórmula,	la	variable	aparece	
en	dos	o	más	términos	que	
no	están	en	el	mismo	lado	
de	la	ecuación.	Cuando	esto	
sucede,	primero	tienes	que	
agrupar	todos	los	términos	
que	contienen	la	variable	en	
el	mismo	lado	de	la	ecuación.	
Entonces	factorizas	la	variable	
que	deseas	despejar.	
Prevención de errores comunes
Recuerda que cuando resolvemos ecuaciones que contienen fracciones, multiplicamos 
ambos lados de la ecuación por el MCD para eliminar las fracciones en la ecuación. Si 
sumamos o restamos expresiones racionales, escribimos las fracciones con el MCD y luego 
sumamos o restamos los numeradores conservando el denominador común.
Por ejemplo, considera el problema de suma
	 Sección	6.4	Resolución	de	ecuaciones	racionales		 395
.
a
b
=
c
d
, b Z 0, d Z 0
Si
a
b
=
c
d
 , entonces ad = bc, b Z 0, d Z 0.
9. 10. .21.11
13. 14. 15. 16.
.02.91.81.71
21. .42.32.22
.62.52 .82.72
29. .23.13.03
33. 34. 35. 36.
.83.73 39.
.14.04 42.
43. 44.
45. 46.
.84.74
2
x2 + 2x - 8
-
1
x2 + 9x + 20
=
4
x2 + 3x - 10
5
x2 + 4x + 3
+
2
x2 + x - 6
=
3
x2 - x - 2
x2
x - 9
=
81
x - 9
x2
x - 5
=
25
x - 5
2
w - 5
=
22
2w2 - 9w - 5
-
3
2w + 1
y
2y + 2
+
2y - 16
4y + 4
=
2y - 3
y + 1
a -
a
4
+
a
5
= 19
8
x2 - 9
=
2
x - 3
-
4
x + 3
6
x + 3
+
5
x + 4
=
12x + 31
x2 + 7x + 12
1
w - 3
+
1
w + 3
=
-5
w2 - 9
3z - 2
z + 1
= 4 -
z + 2
z - 1
2 -
5
2b
=
2b
b + 1
b -
8
b
= -7x +
6
x
= -7
15
x
+
9x - 7
x + 2
= 9
2x - 1
3
-
x
4
=
7.4
6
x +
2
x
=
27
x
x -
4
3x
= - 
1
3
x - 3
x + 1
=
x - 6
x + 5
m + 1
m + 10
=
m - 2
m + 4
4.5
y - 3
=
6.9
y + 3
5.6
-p - 6.2
=
2
p
3
x + 1
=
2
x - 3
5y - 2
7
=
15y - 2
28
c + 3
c + 1
=
5
2
x - 2
x - 5
=
3
x - 5
3 +
2
x
=
1
4
2
r
+
5
3r
= 1
2
y
+
1
2
=
5
2y
3
4
- x = 2x
w
2
+
2w
3
=
7w
6
z
3
-
3z
4
= - 
5z
12
3x
10
+
2
5
=
4x - 3
5
3x
8
+
1
4
=
2x - 3
8
a + 2
7
=
a - 3
2
6x + 7
5
=
2x + 9
3
1
4
=
z + 2
12
11
b
= 2
12
x
= 4
15
x
= 3
 1. Para eliminar una expresión racional de una ecuación, mul-
tiplicamos ambos lados de la ecuación por el .
 2. Siempre que resuelves una con una va-
riable en el denominador, debes comprobar los valores ob-
tenidos en la ecuación original.
 3. Cuando resolvemos una ecuación racional con una variable 
en el denominador y el valor que se obtuvo hace que el de-
nominador sea 0, llamamos a la solución .
 4. Una es una ecuación de la forma
CONJUNTO DE EJERCICIOS 6.4 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
proporción ecuación racional solución extraña figuras semejantes mínimo común denominador
multiplicación cruzada no tiene solución factorización un número infinito de soluciones
 5. Una proporción puede resolverse mediante 
del siguiente modo:
 6. Las figuras cuyos ángulos correspondientes son iguales y cu-
yos lados correspondientes son proporcionales se llaman 
.
 7. Si mientras despejas una variable en una fórmula, dicha va-
riable aparece en más de un término, necesitarás hacer uso 
de la para despejar la variable.
 8. Si el único valor que se obtiene al resolver una ecuación ra-
cional es una solución extraña, entonces la ecuación 
.
Practica tus habilidades
Resuelve cada ecuación y verifica tu solución.