Algebra-Intermedia-Octava2-páginas-41

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Sección	9.4	Propiedades	de	los	logaritmos	 597
Ejemplos	de	la	propiedad	3
gol 8!5 z + 3 = log8 1z + 3 2 1>5 =
1
5
 log8 1z + 3 2
gol 5!12 = log5 112 2 1>2 =
1
2
 log5 12
gol 3 x
2 = 2 log3 x
gol 2 4
3 = 3 log2 4
EJEMPLO  1  Utiliza las propiedades 1 a 3 para desarrollar.
 a) b) c) log10 122 2 1>5log4 164 # 180 2log8 
29
43
Solución
a) Regla del cociente
b) Regla del producto
c) Regla de la potencialog10 1 222 1>5 =
1
5
 log10 22
log4 1 64 # 1802 = log4 64 + log4 180
log8 
29
43
= log8 29 - log8 43
Resuelve ahora el ejercicio 11
Con frecuencia tendremos que utilizar dos o más de estas propiedades en el mismo 
problema.
EJEMPLO  2  Desarrolla.
)b)a
)d)c log5 
[x 1x + 4 2 ]3
8
log5 a4 - a
3
b
2
log5 
14 - a 2 2
3
log10 4 1x + 2 2 3
Solución
a) Regla del producto
Regla de la potencia
b) Regla del cociente
Regla de la potencia
c) Regla de la potencia
Regla del cociente
Propiedad distributiva
d) Regla del cociente
Regla de la potencia
Regla del producto
Propiedad distributiva = 3 log5 x + 3 log5 1x + 4 2 - log5 8
 = 3[log5 x + log5 1x + 4 2 ] - log5 8
 = 3 log5 x 1x + 4 2 - log5 8
gol 5 
[x 1x + 4 2 ]3
8
= log5 [x 1x + 4 2 ]3 - log5 8
 = 2 log5 14 - a 2 - 2 log5 3
 = 2[log5 14 - a 2 - log5 3]
gol 5 a4 - a
3
b
2
= 2 log5 a4 - a
3
b
 = 2 log5 14 - a 2 - log5 3
gol 5 
14 - a 2 2
3
= log5 14 - a 2 2 - log5 3
 = log10 4 + 3 log10 1x + 2 2
gol 10 4 1x + 2 2 3 = log10 4 + log10 1x + 2 2 3
Resuelve ahora el ejercicio 21
598	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
EJEMPLO  3  Escribe cada una de las siguientes expresiones como el logaritmo 
de una sola expresión.
a)
b)
Solución
a) Regla de la potencia
Regla del cociente
b)
Regla de la potencia
Regla del cociente
Regla del cociente = log7 
1x + 12 1x + 4 2 2
1x - 5 2 3
 = log7 1x + 12 1x + 42 2 - log7 1x - 5 2 3
 = log7 1x + 1 2 + log7 1x + 4 2 2 - log7 1x - 5 2 3
 log7 1x + 1 2 + 2 log7 1x + 4 2 - 3 log7 1x - 5 2
 = log8 
1z + 2 2 3
z
gol 3 8 1z + 2 2 - log8 z = log8 1z + 2 2 3 - log8 z
log7 1x + 1 2 + 2 log7 1x + 4 2 - 3 log7 1x - 5 2
3 log8 1z + 2 2 - log8 z
Resuelve ahora el ejercicio 39
	4 	Utilizar	propiedades	adicionales	de	los	logaritmos
Las últimas propiedades que analizaremos en esta sección se utilizarán para resolver ecua-
ciones en la sección 9.6.
Ejemplos	de	la	propiedad	4 Ejemplos	de	la	propiedad	5
log6 6
5 5 5 3log3 7 5 7
log9 9
x 5 x 5log5 x 5 x	 (x . 0)
Consejo útil
En el ejemplo 2 inciso b), cuando desarrollamos log5 
14 - a 22
3
, primero usamos la regla del 
cociente. En el ejemplo 2 inciso c), cuando desarrollamos log5  a
4 - a
3
b
2
, primero usamos 
la regla de la potencia. ¿Notas la diferencia en ambos problemas? En log5 
14 - a 22
3
, solo el 
numerador del argumento está elevado al cuadrado, por lo tanto, primero utilizamos la regla 
del cociente. En log5  a4 - a
3
b
2
, todo el argumento está elevado al cuadrado, de modo que 
primero usamos la regla de la potencia.
Comprendiendo 
el álgebra
Nuestras	dos	últimas	
propiedades	de	logaritmos	
están	relacionadas	con	las	
propiedades	de	las	funciones	
inversas.	
Al	principio	de	este	capítulo	
encontramos	que	si	dos	
funciones	f (x)	y	f 21(x)	son	
inversas	entre	sí,	entonces
(f 21	+ f )(x)	5	x
y
( f 	+ f 21)(x)	5	x
También	analizamos	que	las	
funciones
f (x)	5	ax	y	f 21(x)	5	loga	x	
son	funciones	inversas.	Por	lo	
tanto,	tenemos
	 ( f 21	+ f )(x)	5	f 21[ f (x)]
	 5	f 21(a)x
	 5	loga	a
x	5	x
y
	 ( f 	+ f 21)(x)	5	f [ f 21(x)]
	 5	f (loga	x)
	 5	aloga	x	5	x
Prevención de errores comunes
LAS	REGLAS	CORRECTAS	SON
gol a 
x
y
= loga x - loga y
gol a xy = loga x + loga y
Observa que
loga 
x
y
Z
loga x
loga y
gol a 1x - y 2 Z loga x - loga y
loga xy Z 1 loga x2 1 loga y 2gol a 1x + y 2 Z loga x + loga y
Si a . 0 y a  1, entonces
 loga a
x 5 x Propiedad 4
 y aloga x 5 x	 (x . 0) Propiedad 5
Propiedades adicionales de los logaritmos
	 Sección	9.4	Propiedades	de	los	logaritmos	 599
EJEMPLO  4  Evalúa. a) log525 b) !16 log49
Solución
 a) log5 25 puede escribirse como log5 5
2. De acuerdo con la propiedad 4,
log5 25 5 log5 5
2 5 2
 b) !16 log49 puede escribirse como 4log4 9. De acuerdo con la propiedad 5,
!16 log49 = 4log4 9 = 9
Resuelve ahora el ejercicio 55
CONJUNTO DE EJERCICIOS 9.4 
Ejercicios de práctica
Llena	los	espacios	en	blanco	con	la	palabra,	frase	o	símbolo(s)	apropiados	de	la	siguiente	lista.
multiplicado más menos positivos inversas argumento suma compuestas
 1. Podemos aceptar únicamente los logaritmos de números 
.
 2. En la expresión logarítmica loga x, a x se le denomina el 
 del logaritmo.
 3. El logaritmo de un producto es igual a la 
de los logaritmos de los factores.
 4. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del nume-
rador el logaritmo del denominador.
 5. El logaritmo de un número elevado a una potencia es igual al 
exponente por el logaritmo del número.
 6. Si dos funciones f (x) y f 21(x) son entre 
sí, entonces ( f 21 + f )(x) 5 x y ( f + f 21)(x) 5 x.
Practica tus habilidades
Utiliza	las	propiedades	1-3	para	desarrollar.
Escribe	como	logaritmo	de	una	sola	expresión.
.8.7
.01.9
11. 12.
.41.31
.61.51
.81.71
.02.91
21. 22.
.42.32
.62.52 log5
!a !3 b
!4 c
log10
9m
8n
log10 a
z
6
b
2
log8
y 1y + 4 2
y3
log7 x2 1x - 13 2log3
d6
1a - 8 24
log9 1x - 6 23x2log4 Ä
a3
a + 2
log8 b3 1b - 2 2log4 1r + 7 25
log9 12 14 26log6 x7
log5 3
8log10
!x
x - 9
log5 141 # 9 2log2
27
11
log9 x 1x + 2 2log8 7 1x + 3 2
log3 12 # 11 2log2 13 # 5 2
.82.72
.03.92
.23.13
.43.33
.63.53
.83.73
1
2
 [log6 1r - 1 2 - log6 r]4 1 log5 p - log5 3 2
3 log8 y + 2 log8 1y - 9 22 log9 z - log9 1z - 2 2
log5 1a + 1 2 - log5 1a + 10 2log10 x + log10 1x + 3 2
1
3
 log8 76 log4 2
log7 17 - log7 3log2 9 - log2 5
log7 4 + log7 3log2 3 + log2 7
600	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
Determina	el	valor	escribiendo	cada	argumento	usando	los	números	2	y/o	5	y	usando	los	valores	log	a2	5	0.3010	y	loga	5	5	0.6990.
Evalúa	(ver	ejemplo	4).
 61. Expresa loga (x2 2 4) 2 loga (x 1 2) como un solo logaritmo 
y simplifica.
 62. Expresa loga (x 2 3) 2 loga (x2 1 5x 2 24) como un solo 
logaritmo y simplifica.
Utiliza	las	propiedades	123	para	desarrollar.
63. log2 
!4 xy !3 a
!5 a - b
64. log3 c
1a2 + b22 1c2 2
1a - b2 1b + c2 1c + d 2 d
2
Si	log10 x	5	0.4320,	determina	el	valor	de	las	expresiones	siguien-
tes.
65. 66.
67. 68. log10 x
11log10 !4 x
log10 !3 xlog10 x
2
Si	 log10 x 5 0.5000	y	 log10 y 5 0.2000,	determina	el	valor	de	las	
expresiones	siguientes.
 69. log10 xy 70. log10 a
x
y
b
 71. Usando la información dada en las instrucciones para los ejerci-
cios 69 y 70, ¿es posible determinar log10 (x 1 y)? Explica.
 72. ¿Son iguales las gráficas de y 5 logb x2 y y 5 2 logb x? Explica tu respuesta analizando el dominio de cada ecuación.
Ejercicios de conceptos y escritura
 73. ¿Es loga (xyz) 5 loga x 1 loga y 1 loga z? Explica.
 74. ¿Es logb (x 1 y 1 z) 5 logb x 1 logb y 1 logb z? Explica.
 75. ¿Es loga (x2 1 8x 1 16) 5 2 loga (x 1 4)? Explica.
Problemas de desafío
 77. Para x . 0 y y . 0, ¿se cumple 
loga 
x
y
= loga xy -1 = loga x + loga y
-1 = loga x + loga 
1
y
?
 78. Lee el ejercicio 77. De acuerdo con la regla del cociente, 
loga 
x
y
= loga x 2 loga y. ¿Podemos concluir por lo tanto que 
loga x - loga y = loga x + loga 
1
y
?
 79. Utiliza la regla del producto para demostrar que
loga 
x
y
= loga x + loga 
1
y
 80. a) Explica por qué
 76. ¿Es loga (4x2 2 20x 1 25) 5 2 loga (2x 2 5)? Explica.
 b) Desarrolla de forma correcta loga 
3
xy
.
Actividad de grupo
En	grupo,	analicen	y	respondan	el	ejercicio	81.
 81. Considera loga 
"x4
 y
"xy 3
, donde x . 0 y y . 0.
 a) Miembro 1: desarrolla la expresión mediante la regla 
del cociente.
 b) Miembro 2: desarrolla la expresión mediante la regla 
del producto.
loga 
3
xy
Z loga 3 - loga x + loga y
Resolución de problemas
39. 40.
.24.14
.44.34
.64.54 2 log7 1m - 4 2 + 3 log7 1m + 3 2 - [5 log7 2 + 3 log71m - 2 2]4 log6 3 - [2 log6 1x + 3 2 + 4 log6 x]
5 log6 1x + 3 2 - [2 log6 17x + 1 2 + 3 log6 x]2 log9 4 +
1
3
 log9 1r - 6 2 -
1
2
 log9 r
6 log7 1a + 3 2 + 2 log7 1a - 1 2 -
1
2
 log7 a
1
2
 [log5 1x - 8 2 - log5 x]
2 log5 t + 5 log5 1 t - 6 2 + log5 13t + 7 2log2 n + log2 1n + 4 2 - log2 1n - 3 2
47. 48. 49.
.15.05 52. loga !3 5loga 25loga 
1
8
loga 0.4loga 2.5loga 10
53. 54. 55. 56.
57. 58. 59. 60.
1
2
 log6 !3 65 1 !3 27 2 log3 52 log9 !9log3 27
log8 64123 2 log
8 7log4 47log7 2
Grafica	cada	función	exponencial.
 8. y 5 2x
 9. y 5 32x
 10. Grafica la función logarítmica y 5 log2x.
 11. Bacterias El número de bacterias en una caja de Petri es 
N(t) 5 5(2)t, donde t es el número de horas a partir de que 
se colocaron las 5 bacterias originales en la caja. ¿Cuántas 
bacterias hay en la caja
 a) al cabo de una hora?
 b) 6 horas después?
 12. Escribe en forma logarítmica 272/3 5 9.
 13. Escribe en forma exponencial log2
1
64
= -6.
 14. Evalúa log5 125.
 15. Resuelve la ecuación log1>4
1
16
= x para x.
 16. Resuelve la ecuación logx 64 5 3 para x.
Utiliza	las	propiedades	1-3	para	escribir	como	una	suma	o	dife-
rencia	de	logaritmos.
 17. log9 x
2(x 2 5)
 18. log5
7m
!n
Escribe	como	un	solo	logaritmo.
 19. 3 log2 x 1 log2 (x 1 7) 2 4 log2 (x 1 1)
 20. 
1
2
[log7 1x + 2 2 - log7 x]
	 Sección	9.4	 	 Propiedades	de	los	logaritmos	 601
 c) Miembro 3: simplifica primero 
"x4
 y
"xy 3
, luego desarrolla el logaritmo resultante.
 d) Verifiquen cada uno el trabajo de los demás y asegúrense 
de que todas las respuestas sean correctas. ¿Estas expre-
siones pueden simplificarse por los tres métodos?
Ejercicios de repaso acumulados
	[2.5]	82. Resuelve la desigualdad 
x - 4
2
-
2x - 5
5
7 3 e indica 
la solución en
 a) notación constructiva de conjuntos.
 b) notación de intervalos.
	[5.7] 83. a) Escribe una expresión para determinar el área som-
breada de la figura.
c
c
a
c
c
c c
c c
a
 b) Escribe la expresión del inciso a) en forma factorizada.
	[6.4] 84. Despeja x en 
15
x
+
9x - 7
x + 2
= 9.
	[7.7] 85. Multiplica (3i 1 4)(2i 2 5).
	[8.4] 86. Despeja a en a - 6!a = 7.
Prueba de mitad de capítulo: 9.1 - 9.4
Para	determinar	la	comprensión	del	tema	que	se	ha	abordado	hasta	este	momento,	resuelve	esta	pequeña	prueba.	Las	respuestas	y	la	
sección	en	donde	se	trató	el	tema	por	primera	vez,	se	proporcionan	al	final	del	libro.	Repasa	el	tema	de	las	preguntas	que	respondiste	
de	forma	incorrecta.
 1. a) Explica cómo determinar ( f + g)(x).
 b) Si f (x) 5 3x 1 3 y g(x) 5 2x 1 5, determina ( f + g)(x).
 2. Sea f (x) 5 x2 1 5 y g 1x 2 =
6
x
; determina
 a) ( f + g)(x)
 b) ( f + g)(3)
 c) (g + f )(x)
 d) (g + f )(3)
 3. a) Explica lo que significa que una función sea uno a uno.
 b) ¿La función representada mediante la gráfica siguiente 
es uno a uno? Explica.
y
x
En	los	ejercicios	4-6,	para	cada	función,	a)	determina	si	es	una	
función	uno	a	uno;	b)	si	es	una	función	uno	a	uno,	determina	
su	función	inversa.
 4. {(23,2), (2,3), (5,1), (6,8)}
 5. p 1x 2 =
1
3
x - 5
 6. k 1x 2 = !x - 4, x Ú 4
 7. Sea m(x) 5 22x 1 4. Determina m21(x) y luego, en los 
mismos ejes, grafica m(x) y m21(x).
602	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
9.5 Logaritmos comunes
	1 	 Determinar	logaritmos	
comunes	de	potencias		
de	10.
	2 	 Aproximar	logaritmos	
comunes.
	3 	 Aproximar	potencias	
de	10.
Las propiedades de los logaritmos que analizamos en la sección 9.4 se aplican a cualquier 
logaritmo con un número real en la base a, con a . 0 y a  1. Como nuestro sistema nu-
mérico está basado en el número 10, con frecuencia utilizamos logaritmos con una base 10, 
los cuales se denominan logaritmos	comunes. 
Logaritmo común
Un logaritmo común es un logaritmo con una base 10. Cuando la base de un logaritmo no 
se indica, suponemos que la base es 10. Por lo tanto
log x 5 log10 x (x . 0)
Las cinco propiedades que analizamos en la sección 9.4 pueden reescribirse como propie-
dades de logaritmos comunes. 
Propiedades de logaritmos comunes
 1. log xy 5 log x 1 log y
 2. log 
x
y 5 log x 2 log y
 3. log xn 5 n	log x
 4. log 10x 5 x
 5. 10log x 5 x
	1 	Determinar	logaritmos	comunes	de	potencias	de	10
Podemos utilizar la cuarta propiedad de los logaritmos comunes para evaluar logaritmos 
comunes de números que son potencias de 10. Comenzaremos con algunos ejemplos de 
logaritmos comunes de potencias no negativas de 10.
Logaritmos	comunes	de	potencias	no	negativas	de	10
log 1 5 log 100 5 0 log 10 5 log 101 5 1
log 100 5 log 102 5 2 log 1000 5 log 103 5 3
log 10,000 5 log 104 5 4 log 100,000 5 log 105 5 5
También podemos evaluar logaritmos comunes de potencias negativas de 10.
Logaritmos	comunes	de	potencias	negativas	de	10
Comprendiendo 
el álgebra
Para	determinar	logaritmos	
comunes	de	10	elevados	
a	una	potencia	negativa,	
necesitamos	recordar	
la	siguiente	regla	de	los	
exponentes:
a- m =
1
am.
Comprendiendo 
el álgebra
Recuerda	que	un	logaritmo 
es un exponente.	Un	
logaritmo	común	es	el	
exponente	al	que	elevarías	
10	con	el	fin	de	obtener	el	
argumento.	Por	ejemplo,		
log	100	es	el	exponente		
al	que	elevarías	10	para	
obtener	100.	Por	lo	tanto,		
log	100	=	2.
log 0.00001 = log 
1
100,000
= log 10- 5 = -5
log 0.0001 = log 
1
10,000
= log 10- 4 = -4
log 0.001 = log 
1
1000
= log 10- 3 = -3
log 0.01 = log 
1
100
= log 10- 2 = -2
log 0.1 = log 
1
10
= log 10- 1 = -1
	 Sección	9.5	Logaritmos	comunes	 603
	2 	Aproximar	logaritmos	comunes
Vamos a utilizar una calculadora científica o graficadora para aproximar logaritmos comu-
nes. Antes de hacer esto, introduciremos un método para estimar el valor de un logaritmo 
común entre dos números enteros. Por ejemplo, supongamos que queremos estimar el 
valor de log 5. Como 5 está entre 1 y 10, podemos concluir que log 5 está entre log 1 y 
log 10 y vemos lo siguiente:
1 , 5 , 10
log 1 , log 5 , log 10
0 , log 5 , 1
Por lo tanto, podemos concluir que log 5 es un número entre 0 y 1.
EJEMPLO  1  Sin usar tu calculadora, estima los dos números enteros entre los 
cuales estará cada logaritmo común.
 a) log 82 b) log 5091
 c) log 0.7 d) log 0.03
Solución 
 a) Como 82 está entre 10 y 100, tenemos lo siguiente
10 , 82 , 100
log 10 , log 82 , log 100
1 , log 82 , 2
Por lo tanto, log 82 es un número entre 1 y 2.
 b) Como 5091 está entre 1000 y 10,000, tenemos lo siguiente
1000 , 5091 , 10,000
log 1000 , log 5091 , log 10,000
3 , log 5091 , 4
Por lo tanto, log 5091 es un número entre 3 y 4.
 c) Como 0.7 está entre 0.1 y 1, tenemos lo siguiente
0.1 , 0.7 , 1
log 0.1 , log 0.7 , log 1
21 , log 0.7 , 0
Por lo tanto, log 0.7 es un número entre 21 y 0.
 d) Como 0.03 está entre 0.01 y 0.1, tenemos lo siguiente
0.01 , 0.03 , 0.1
log 0.01 , log 0.03 , log 0.1
22 , log 0.03 , 21
Por lo tanto, log 0.03 es un número entre 22 y 21.
Resuelve ahora el ejercicio 15
Ahora aproximaremos logaritmos comunes utilizando una calculadora científica 
o graficadora utilizando la tecla  LOG  como se muestra en la página 604.