logaritmos - Martín Nuñez

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<C> 1978 
- Edici6n preparada por la Fundaci6n para el Desarrollo del 
Instituto Universitario de Tecnologia del Estado de Trujillo, 
Valera. Venezuela, 
- Impreso en Espana - Printed in Spain 
I.S.B.N.: 84-499-2366-2. 
DepOsito legal.: M. 884-1979. 
- Imprime Novograph, S. A. 
Otra, de lnin, Km. 12,450. Madrid-34: 
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MODULO 8 
LOS LOGARITMOS
 
Y SUS PROPIEDADES
 
AUTORES: 
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JORGE E. GUERFU~ftO:',.~,} . 
JUAN J. PIZARR9;;~!( .. 
INDICE 
Psg. 
8.1. Concepto de logaritmo t. • • . . . • . • . • . • • • • • • • . . . . • • • • • • . • • • • • • . • . • . • 7
 
a2. Leyes de los logaritmos 9
 
8.3. Logaritmos de base diez 10
 
8.4. Concepto de caracterlstica y mantisa 11
 
8.5. Propiedades de los logaritmos decimales 12
 
8.6. Logaritmos naperlanos (base e) 13
 
8.7. Ecuaciones logaritmicas ;.................. 13
 
8.8. Conversi6n de logaritmos de una a otra base 14
 
8.9. Antilogaritmo. Concepto 15
 
8.10. Cologaritmo de un nurnero 15
 
8.11. Aplicaciones de los loqarttrnos . . . . . . .. 16
 
APENDICE N.o 1. Ejercicios complementarios · 19
 
A. Ejercicios de aplicaci6n 
B. Ejercicios de investigaci6n 
APENDICE N.o 2. Auto-Evaluaci6n......................... . . . . . . . . . . .. 37
 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
','i~'~'S,::-j'j\" ~J~~~~":<; .r\;-~ ''''; ~ .-;~ :;-: ",",,:,::',r--' -...
 
"I,"" "''''''l'f~''':'''~''''~'''~'''~~'mf;'\~!!if'
 
OBJETIVOS 
AI -terminar de estudiar este modulo usted estara en condiciones de:
 
Interpretar y usar correctamente las notaciones sobre logaritmos y potencias.
 
Demostrar las propiedades de los logaritmos en base al conocimiento de las 
propiedades de la potenciaci6n. 
'0 
Identificar los logaritmos comunes y determinar caracterlstlcas y mantisa.
 
Identificar el numero neperiano y manejar correctamente expresi6nes con el
 
nurnero e.
 
Determinar el nurnero al cual corresponde un logaritmo cualquleja.
 
Aplicar los principios aprendidos sobre logaritmos, para desarrollar ope-, 
raciones. 
, ,*-'i.~ 
.~ .:"'o'e '";;"1:;i:;l.Qi!",,'ti~ 
http:�.�.�.�������....������.������.�.�
_Jj.~7?7t.~:.j~,:· . 
1,4116 
0,9291 
2,5378 
Forma logaritmica 
log10 25,8 
109l08,51 
log10 N 
,/\ 
__ r"> 
,') X' 
}:) 
Forma exponencial 
a) 101,4116 = 25,8 
b) 100.92~1 = 8,51 
c) 102.5378 = N 
EJEMPLOS 
e = 2,71828182845... 
50 = 1 
51 = 5 
52 = 25 
53 = 125, etc. 
Luego siendo la base 5, el logaritmo de 1 (que se escribe log 1) es 0, porque 
o es el exponente a que hay que elevar la base 5 para que de 1; el log 5 es 1; el 
log 25 es 2, el log 125 es 3, etc. 
Pudiendo tomarse como base de un sistema de loqarttrnos cualquier numero 
positivo diterentede uno, los sistemas de logaritmos vulgares 0 de Briggs, tienen 
por base 10, y elsistema de logaritmos naturales °neperianos creados por Neper, 
tienen por base el numero e." 
8.1. CONCEPTO DE LOGARITMO 
Es importante darse cuenta de que la forma exponencisl y la forma logaritmi­
ca SOn dos maneras de expresar la mismacosa: 
En el ejemplo a), el 10 de la forma exponencial es la base y; 1,4116 es el 
. exponente. Enla forma logaritmica, 10 es la base, y, 1,4116 es el I09aritnJ 
Vemos, pues, que' la palabra -toqarttrno­ es unsin6nimo de. ~.' . 
Logaritmo de un nurnero real positivo es el exponente al que se debe elevar 
.otro nurnero real positivo diferente de uno lIamado base para obtener el-numero 
dado, Asi: 
. '.-··;i·'. 
~%:;':/1ii~"~~:f~'''''Ff''C ',~", :'~.Jj,'t:"t;;:;"'~C;,\~?~'~f'iI"~i~~;r'M!~~:I"¥ .I,'Y!' ,, ;ll1f4i" iii'" 'iM~;~~,~:~1 ~t' ~ 1 ;>~'~ J ~'" .,.' . .." ,.. ,~. .. ." ! .,' ...... . .r '>:I'-if_~ ';> ' .•;'" '" _. 1: 
• " "~ A.,i·. ' M 
.',' '.' " 0 ( /" ::. X
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/ /: 
r ~..J 
t ,., ,"
~l~'fl!~\ii	 , ,.1+>'1 " i""'~),(~.~;;«"lJII_n } 
Definicion 
La expresi6n log aN, qulere decir el exponente al que deberemos elevar a(a > 0, 
y, a +- 1) para obtener N(N > 0). Asf, pues, el enunciado log aN = X significa 
a' = N. 
EJEMPLO 
Escribir: log101000 3, en forma exponencial. 
! •. 
\1J -; 
Soluclen 
Tenemos que:	 a 10
 
x 3
 
N 1000
 
Por tanto: 103 1000, porque a I N.	 -z­
\/
...,. \ !(.1 
, 
c- .?-. . 
EJEMPLO 
1 fl"Escribir: 2- 4	 -1- en orma oqarttmica. 
6 1	 -,/ /fI
/i 
I 
Soluclen 
En este caso tenemos a 2
 
x - 4
 
1
N 
16 
l 
Por tanto:	 log2(1/16) -4 I')So' ·f 
Porque: logaN x 
,,...,, 
...~ !~~ 
r; ~Jh.EJEMPLO	 <, .., 
Hallar el valor nurnerlco de log48 \.~ '\.
 
,
 
)/ 
Soluclon	 ... 
Sea: log48 N 
Entonces:	 4N 8 
Podemos hallar N si expresamos los dos miembros de la igualdad como una 
potencia de 2, tenemos: 
(22)N 23 
22N 23 
2N	 3 
N 3/2 
.,;.; ~ . 
8.2. LEYES DE L~ LOGARITMOS 
Por ser la logaritmacion Y potenclaclon operaciones inversas, las propiedades 
de una de elias se pueden deducir de las propiedades de la otra. 
A) LOGARITMO DE UN PRODUCTO 
EI logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los 
facto res, es decir, si m, n, b son nurneros reales positivos y b of. 1 entonces: 
10gbm· n = 10gbm + 10gbn 
Demostracien 
Sea: 10gbm = c, y logbn = d 
, Luego: be = m, y bd = n
 
De donde: m- n = be. bd
 
Por tanto: 10gbm . n = c + d
 
Y: 10gbm· n = 10gbm + logbn 
B) L'OGARITMO DE UN COCIENTE 
EI logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el 
logaritmo del divisor, es decir, si m, n, b son nurnaros reales posltivos y b of. 1, 
entonces: 
109b( ~ ) = IOgbm - log~ 
Demostraclen 
Sea: logbm = c, y log~ = d
 
Luego: be = m, y b d Ii
=
 
De donde: ~ = ~ =
 be- d 
n b d 
Por tanto:	 c-dI09b( ~ ) 
y: log~I09b( ~ ) IOgbm ­
.~~'~i,ii~;<"'~""",,'.~~1lt""'\>'", ':' ­-+,-.>~:~" ,~iJ}~ .. 
" 
'C;{' ,:' 
~., , 
C) LOGARITMO DE UNA POTENCIA 
EI logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el loga­
rltmo de la base de dicha potencia, es decir: 
10giPn n 10giP 
Demostracl6n 
Sea: 10giP = x 
Luego: b' = ~ (b ') n = (a)n 
b ?" = anEs decir:
 
Entonces: 10giPn = n x
 
Por tanto: logba" = n logba 
D) LOGARITMO DE LA BASE 
EI logaritmo de la base es igual a 1, es decir: 
logbb 
Demostraci6n 
Sea: log~ x 
Luego: b' b x 
Por tanto: 10gbb 
E) LOGARITMO DE LA UNIDAD 
EI logaritmo de la unidad es igual acero, es declr: 
IOgb1 o 
Demostraci6n 
Sea: IOgb1 = x 
Luego: b' x o 
Por tanto: logb1 =0 
8.3. LOGARITMOS DE BASE DIEZ 
,'\~:~'" '~,"~"7"'"",?~~;~_ )9t'o_~~'~~\'fA.;'ti"""!,~~ 
log10x = Ioqx 
IOg10X = Y 
Por ser el sistema de los logaritmos decimales el mas usual y generalizado, se 
acostumbra no escribir la base 10: 
EJEMPLOS 
Queriendo significar con esto que, cuando no aparece esc rita, la base del 
logaritmo de un nurnero, es porque su base es 10. 
La caracteristica del logaritmo de un nurnero es igual al exponente de 10 
cuando el numero esta escrito con notaci6n cientifica. 
log 2; log 10; log 7; log 15, etc. 
A) DETERMINACION DE LA CARACTERISTICA 
a) log 25 = log 2,5 X 101 
Por tanto. la caracteristica de log 25 es + 1. 
b) log 0,05 = log 5,0 X 10-2 ' 
Por tanto, la caracteristica de log 0,05 es - 2. 
La mantisa dellogaritmo de unnumero se hall a mediante el uso de las tablas 
logaritmos. 
mos a connnuacton los logaritmos cuya base es 10 y por estar de acuerdo Con 
nuestro sistema de numeraci6n reciben el nombre de /ogaritmos comunes 0 
decima/es (tam bien se les suele lIamar logaritmos vulgares). La siguiente ecua­
ci6n define los logaritmos decimales: 
EJEMPLO 
8.4. CONCEPTO DE CARACTERISTICA Y MANTISA 
Ellog 100 es un logaritmo decimal y debera leerse «Iogaritmo de cien de base 
10... Los logaritmos siguientes son tarnblen logaritmos decimales: 
EI logaritmo de todo nurnero que no sea potencia de 10 no es un numero 
entero, sino unnurnero que consta de una parte entera y una parte decimal, la 
parte entera se llama caracteristica y la parte decimal se denomina mantisa. 
La caracteristica es negativa si el nurnero es menor que 1, cero si el nurnero 
esta comprendido entre 1 y 10, positiva si el nurnero es mayor que 10.. 
La mantisa es siempre positiva. 
En la .secclon inicial de este modulo se estableci6 que la base de un sistema 
de logaritmos puede ser cualquier nurnero real positive diferente de 1. Tratare­
~~~~Ifi1£,.j.\".':J',""::'''' "c~ilf'., ".L 
'(J
,<:I.Y'
,j	 v 
X8.5. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS COMUNES 
EI sistema de logaritmos deeimales eumple con todas las leyes vistas en la 
unidad 8.2. pero, adernas, por ser su base 10 tiene eiertas propiedades partieula­
res que se indican a eontinuaei6n: . 
a) 
b) 
c) 
d) 
Los logaritmos de nurneros que son poteneias de 10 son nurneros enteros. 
Los logaritmos de nurneros menores que 1 son nurneros negativos. 
Los logaritmos de nurneros mayores que 1 son numeros positivos. 
Los logaritmos de nurneros eomprendidos entre 1 y 10 sonnumeros 
mayores que eero y menores que uno, 0 sea: 
Si 1 < x < 10, entoneesO < log x < 1. 
EJEMPLO 
Si x = 5, entonees log 5 = 0,6990 0 < 0,6990 < 1. 
e) Los logaritmos de numeroseomprendidos entre 10 y tooson nurneros 
mayores que uno y menores que dos, 
Si 10 < x < 100, entonees 1 < log x < 2 
EJEMPLO 
Si x = 12, entonees log 12 = 1,0792, Y 1 < 1,0792 < 2 
f)	 Los logaritmos eomprendidos entre 100 y 1.000 son numeros mayores 
que 2 y menores que 3. 
Si 100 < x < 1.000, entonees 2 < log x < 3 
EJEMPLO 
Si x = 125, entonees log 125 = 2,0969, Y 2 < 2,0969 < 3 
g)	 Los logaritmos eomprendidos entre 1.000 y 10.006 son nurneros mayores 
que 3 y menores que 4 y asi sueesivamente con los logaritmos de nume­
ros eomprendidos entre dos poteneias sueesivas de 10, mayores que 1. 
De igual forma es posible observar que: 
h)	 Los logaritmos de numeros eomprendidos entre 0,1 Y 1 son numeros 
mayores que - 1 Y menores que O. 
Si 0,1 < x < 1, entonees - 1 < log x < O. 
EJEMPLO 
Si x 0,5, entonees log 0,5 = 9,6690 - 10, Y - 1 < 9,6990 ~ 10 < 0 
,1;­
7,7782 -10, Y 
••~~{'46i,r;~~~r;:/~~),·:: 
log',2+ 10g.4 = 
Si x = 0,006, entonees log 0,006 
- 3 < 7,7782 - 10 < - 2 
o la incognita es la base de un Ioqarltmo como en las eeuaeiones: 
i) Los logaritmos de nurneros eomprendidos entre 0,01 y 0;1 son numeros 
mayores que - 2 Y menores que - 1. 
l' ,
log3x = 2; log3(x2 - 1) = 2 IOg3(X + 1) , 
Si 0,01 < x < 0,1, entonees - 2 < log x < - 1. 
In x (omitiendo la base) 
Si 0,001 < x < 0,01, entonees - 3 < log x < - 2. 
Si x = 0,07, entonees log 0,07 = 8,8451 - 10, Y - 2 < 8,8451 ­ 10 < - 1 
j) Los logaritmos de numeros eomprendidos entre 0,001 y 0,Q1 son nurne­
ros mayo res que - 3 Y menores que - 2. 
k) Los logaritmos eomprendidos entre 0,0001 y 0,001 son numeros mayores 
que - 4 Y menores que - 3 Y asi sueesivamente con los logaritmos de 
nurneros eomprendidos entre dos poteneias sueesivas de 10 menores 
que 1. 
Una ecuacion logaritmiea es aquella en la eual apareeen logaritmos de la 
incognita 0 de, polinomios que eontienen la incognita, como por ~jemplo: 
8.7. ECUACIONES LOGARITMICAS 
8.6. LOGARITMOS NEPERIANOS (BASE e) 
Los logaritmos de base e se lIaman neperianos 0 naturales y su sentido es de 
gran utili dad, debido a que las propiedades ,de muehos tenornenos de la na­
turaleza se desarrollan eonservando estreeha relaclon con la funclon exponeneial 
de base e. 
EI logaritmo natural de un numero real x se aeostumbra a denotar: 
EJEMPLO 
EJEMPLO 
1; log ,81 = 4 
o simplemente la ecuaci6n contiene loqarltrnos, por ejemplo:
 
log353 - 10g32 = x
 
EI conocimiento y aplicaci6n de las leyes de los logaritmos son la base en la 
soluci6n de ecuaciones logaritmicas. 
EJEMPLO 
Cual es el valor de X en la ecuacion: 
log .2 + log .4 
Solucl6n 
Aplicando la propiedad del logaritmo de un producto se obtiene: 
f 8
log .(2 x 4) = 1 X -:
 ., log.8 = 1
 
,{ ~·-B 
De donde se deduce que x 8 por la propiedad:
 
log.,b = 1(b > 0, Y b 1= 1)
 
8.8. CONVERSION DE LOGARITMOS DE UNA A OTRA BASE 
Sabemos que:
 
log aN = x, significa a' = N
 
N tomamos logaritmos naturales, tenemos: 
In a~ = In N 
Si en la ecuaci6n a' 
-Pero: Ina' = xlna
 
Por tanto: In N = x In a
 
In N
 
Luego: x =-­
In a
 
Pero: x = logaN
 
Por tanto: logaN = ~
 
In a 
EJEMPLO 
Dado:	 In 15 2,70805
 
In 3 1,09861
 
t"1'li"S'~~1Hiy'04j' ~~,<:"l~.. .-':l.<,,,t. ~ 
A\\f&i~!5rf~t~~:~::~if("~~~ ·;-~:;:~'\'1't::~';::t;'-~;~-'·~:~Vh. 
Encontrar: log J 15 
In 15 2,70805 
log315	 2,465In 3 1,09861 
8.9. ANTILOGARITMO 
EI antilogaritmo es el numero que corresponde a un logaritmo dado! 
Si log x = a, el nurnero x sera lIamado el antilogaritmo de a. Es decir, que si 
log x = a, entonces 10a = x = antilogaritmo de a. Para hallar el antilogaritmo 
de un nurnero, se utilizan las tab las de logaritmos, pero se invierte el proceso 
empleado para hallar el logaritmo. 
EJEMPLO 1 
Si el logaritmo de un nurnero es 0,3502 encontrar el nurnero. • 
Soluci6n 
Como el nurnero no 10 conocemos 10 designamos por x, luego log x = 0,3502 
con caracteristica 0 y mantisa 3502. Buscamos 3502 entre las mantisas de la 
tabla, que se localizan en la fila 22 columna 4. De manera que los digitos de x son 
224;-..eomo la caracteristica es 0, entonces x = 2,24. 
8.10. COLOGARItMO DE UN NUMERO 
Definimos el cologaritmo de un nurnero como el logaritmo del inverso multi ­
plicativo de ese nurnero, es decir: 
.1Colog x log---x 
EJEMPLOS -p.., 
1	 1
Colog 5 = log -; colog 0,1 = log -- = log 10 
5	 0,1 
Como en general hemos definido el cologaritmo asi: co log x = log 1/x, y, 
recordando que el logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador 
menos el logaritmo del denomindor, tenemos: 
1Colog x = log - = log 1 - log x 0- log x - logx 
x 
. Entonces, la siguiente igualdad es cierta: 
colog x = - log x 
~y;.;~- ,.	 I..,,: 
De manera que, sequn fa anterior igualdad, podemos transformar el logaritmo 
de un cociente como una surna, asl: 
x 
log - = log x - log y, pero reemplazando . y 
- log y, por colog y, resulta: 
x . 
log - = log x - log Y = log x + colog Y 
Y 
EJEMPLO 
Hallar el log 1~ , utilizando el cologaritmo. 
Solucion 
3 3	 .
log 10 =' log 3 - log 10 = log 3 + c010g 10 
. 1 
log3 + log -- =	 log 3 + log 0,1 
10
 
Pero: log 3 = log 3 x 10° = 0;4771
 
log 0,1 = log 1 X 10- 1 = - 1
 
Por tanto: 
Observese que se suman las caracteristicas y las mantisas separadamente~-: 
Ahora, como log (225 x 0,38) = 1,9320, buscamos el antilogaritmo de 1,9320
 
en la tabla que es: 85,5. De manera que:
 
225 x 0,38 = 85,5 
2.	 Oalculo de potencia y ralces
 
Hallar por logaritmos (0,07)6
 
SolucJon 
log (0,07)6 (se escribe el logaritmo de la potencia) = 
6 log 0,07 (ya que log x n = n log x) 
610g 7 x 10~~?= 6x (2, y 0,8451) = - 12, Y + 5,0706 
3,0706 - 10 
EI antilogaritmo de 3,0706 - 10 es 0,000000118 aproximadamente, de manera 
que: 
(0,07)6 = 0,0000000118 
30 
log 3 + log 0,1 0,4771 +(-1) 9,4771 - 10log (	 1 ) 
8.11.	 APLICACION DE LOS LOGARITMOS 
Los logaritmos y sus propiedades nos permiten hallar resultados de operacio­
nes aparentemente dificiles en forma raplda y tacll. Veamos algunos casos: 
A) CALCULO DE PRODUCTOS Y COCIENTES 
1. Calcular por medio de logaritmos: 225 x 0,38 
Solucion
 
Se expresa el logaritmo del producto:
 
log (225 x 0,38)	 log 225 + log 0,38 
log 2,25 x 102 + log 3,8 X 10- 1 
(2 y, 0,3522) + (- 1, Y 0,5798) 
2 + (- 1), Y 0,3522 + 0,5798 
1, Y 0,9320 
1,9320 
i¥ffiw 1~k~~~~~'\~~.,,~, ,2..-, 
1 
,:.\ ~,t:,": ~ ( ii£$i$2&W"'m'(,~'~.·."",p;r"'i~·'J"i:r;··:·;>::,'·n;<tJil~~~(;1(f·~~~'q& ..
~'" .... .., "I", .•,." ••" '. '\. ." "r •.,."':ll'?,~, ,-,.-. ""4',<r~~",~f' 
i . ,'. '. > ••".:' ',' ',. I ,~ , •. ' ', '.", ' ••••. '. "1{.;;';·"".'/>l:il'Y,''-,~. 
APENDICE 1 
..,j., 
"::ti'. 
EJERCICIOS
 
COMPLEMENTARIOS
 
A. EJERCICIOS DE APLlCACION 
B. EJERCICIOS DE INVESTIGAClqN 
Sea: 
Por tanto: 
Luegola forma logaritmica sera: 
Luego la forma exponencial es: 
b) Escribir 271 /3 
c) Hallar el valor numerico de log3(1/81) 
Solucl6n 
Solucl6n 
,". 
Solucion 
a) Escribir log2(1/8) 
, .. '..: 
J .:,~.,.,." 
. t""J!f;1,; 
;,.:; 
_ .: 
'~ic,,' " 
. 
I	 .-~ '. ,'1 )'->'::f;~;;.}".=¥f#w~.n~~~~,~i 
fj~i :'~:·.;w.f-
':" .lf~:-< 
- 3 en forma exponencial 
",,'"\ 
;..~) 
1	 '~,:,,' 
a = 2' N = -' x -3. 8 .	 , I 
-../ l 
12-3 
8 
I 
.. , 33 en forma logaritmica: ~ 
t "j 
a = 27; N 3; x 1/3 7+'	r .''" 
q ~ , .) 
..:1 "1 
1 1 
log273 ;I3	 ......"~. ,. 
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I 
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1 't. I, "..... ..log3(1/81) N~3N .;» "'3 81 
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13 N 3 -43 ~3N
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... ,
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.1 
27'3 = 3 
(J2)2 = ~, '0 v _ 
34 = 81 ~_,_ 
IOgI0(7/5) 
log1015 = 10g105 x 3 = 
.. ~ 'j -c-,)
c.1) log327-=-'---"'-----=-----:------------::- ­
c:2) IOg101.000 
q:3),JOg24'~" 
'.,~c.;4)logl0(O,01) \ to 
'6.5)' log3243 _''''-", 
G.' \c.6) log61 ~ . ­
, " \ 
c.7) log2(1/8)...L2_' _'-'<05"',"-----:-:--=------.,--------- ­
c .8) ,Iog48 '-I "1 c;, ", '\ '\ 
c .9) log3(1 /81) -='0",-':_.,---"i; 
c.10) log279 _'D.=..·-:'~-_'"::",,-'-i__...:.:.... 
c.11)logj2{4) _c;-:-',-------"'------------ ­
c.12) log'~ (a > 0) 
c) Hallar el valor nurnerico de: 
'3Vl~'2.i 
IOg10123 = 310g1012 
d) Aplicar la propiedad 0 ley de logaritmo de la base a: 
IOg10123 
c) Aplicar la propiedad 0 ley de logaritmo de una potencia a: 
IOglO(7/5) = log107 - 10g105 
log10,10 
a) Aplicar la propiedad 0 ley de logaritmo 
+,. 
. b.10) 
b.11 ) 
j,;/ b.12) 
':';.~ , 
,bL Aplicar la propiedad 0 ley de logaritmo de un cociente a: 
A.2. 
Soh¢i6n 
Solucl6n 
,Soluci6n 
.t'i 
I 
I:' 
Luego: 
N -4 " 
Es decir; 
p-<~._ . y) .;J
log3(1 /81) -4 ...;, ~ ~ -- '?, '~ 1<1: -;J 
_ 
">. 
'7 ' :;. ~ ~ v-, 
II..) "-'", \'\ C _ 
.V\-:;; .B.1. , 
a) Escribir en forma exponencial: -
\\
 
_
 
J, \ ). ~ 
~' .'a.1) log28 = 3,,, _ ,; " I 
a.2) log10100 = 2
 
a.3) log216 = 4
 
a .4) log10(O,1 )
 
~ 
1
a.5) log273 = - _ 
3 
,
a.6) log71 = 0
 
_ 
a.7) log464 = 3 
a.8) IOgI0(O,001) = - 3 
3a.9) log48 = ­ de un producto a, IOg10152 \, 
\ 
a .10) log51/5 = - 1 
10g105 + 10g103a.11) log168 = ~ \(
4 
log5125 = 3 _----:.:.__...:..- -----:_a.12) 
, ~'. 
b) Escribir cada una de las igualdades siguientes en forma logaritmica:
 
. ,(i
 
b.1 ) 32 = 9-- - lJ~'1 :.. ,'1 ~ C
25 ~> ,~b.2) = 32 ~;.<...-:----':::..-.dL-----------­
b.3) , \
103 = 1.000 -.:~'7"'t~~--------------­
b.4) , ....... ..>'~~
2- 3 = 1/8 -~----'f----'----:::c~~~--------­
b.5) 43 = 64 __~ -"+~----i---=-------------­
b.6) 50- = 1 ---?';.....l _
-' 
b.7) 10 - 2 = ~ n. 
",VI :-1" 
r ' 
b.8) 16""! = 4 ~'II 
~' 
b.9). 7-
1 =2.:7 ~ , -",.\ ,
, :~ 
c ' 
"jfiliMf'$f~·,~-i,'n' - 'tJ:l:.1~\iI;""·.,~.u. ',' .' ,:,'_'='M" 
'
---
.iii_r~~!';i\t\',·;,.\,r,~,	 71~~1:' ~~ "1J~,;~~,/£t ·'/,1,," .,~.~ _;:; ,/:~;~/ff!fJr?~!t(w/,-'-~', . r,o';,;' (,-'t; 1;3';~¢ij;.::!'~~£·liv~'~" 
\v{;\,fq/'~"""tl'\\~','d' X~,~" . m'*4ii.~
: 'i~~" ;}','~: > "',~"- '. 
Solucl6n f) Expresar en palabras la propiedad del logaritmo de una potencia. 
IOg1010 = 1 g) Dar una explicaci6n de la igualdad: 
Xl = Xe) Aplicar la propiedad 0 ley de logaritmo de la unidad a: 
IOg101 h)	 Tomar como hip6tesis la anterior relaci6n y demostrar la propiedad del 
logaritmo de la base: 
Solucion 
log.v = 1 
IOg101 o 
$:.~. :. i) (Aplicar las dos ultirnas propiedades rnenclonadas para determinar el valor 
.de los siguientes logaritmos. 
B.2.	 ,. '4 
s • ',,. i.1 ) IOg10)1O =-
a) Un cociente se puede expresar como el producto de su numerador y el i.2) IOgl/2(1/8)
inverso multiplicativo del denominador. Usar este hecho para demostrar
 
i.3) log/1,361 -1
la ley de los logaritmos de un cociente. 
X	 j) Dar una explicaci6n de la igualdad: '\ 
10gb V log t>X - log bV 1­
XO = 1 
\ 
b) Aplicar la propiedad anterior para determinar el valor de las siguientes k) Tomar como hip6tesis la anterior relaci6n y demostrar la propiedad del 
expresiones: logaritmo de la unidad. 
. \~" 
log318 - 10g32 = 0'J~~ log.1 = 0 
log345 - log39 = \ Q "" ~ }=CL.,. 
<J::S ....1 
e) Aplicar la propiedad de los logaritmos para determinar el valor de las 
c) Redactar en palabras la propiedad de.' logaritmo de un cociente. siguientes expresiones: 
d) Anotar las justificaciones correspondientes a la siguiente demostraci6n J "'::' 
1"" . \ ~- 0 
de las propiedades del logaritmo de una potencia. . e.1) log3(1/5) + 109:)5 =_ . J ..; i ­
9.2)	 log2100 + 2 log2(1/10) 
log~n =, n 'og~ I' ).-,( 
.m)	 Justificar los pasos del siguiente raciocinio, considerando a, b nurneros 
reales diferentes de 1. 
d.1 )	 n log~ ':" x 
d.2) log~ = x/n
 
d.3) a = b x/n m.1) log~ = x, y, log.b = Y x, YE IR
 
dA) an = b X m.2) b x = a, y, aY = b
 
d.5) log~n = x m.3) bX·b=aY·a
 
' !d.6) log~n = n log~ m.4) bX+1 = ay+1
 
m.5) log ~ Y+ 1 = X + 1.
 
e) Aplicar la propiedad del logaritmo de una potencia para dar expresiones
 m.6) (y + 1) log~ = x + 1 
equivalentes a las siguientes:
 
m.7) (y + 1) x = x + 1
 
9.2) log381 = m.8) (y + 1) = (1 + 1/x)
 
e.4) log xx3 + log xx2 '!l.9) y = 1/x
 
n)	 j..aue propiedad puede deducirse del racloclnfo anterior? 
0)	 Dar el valor de los siguientes logaritmos empleando la propiedad anterior 
(el inverso multiplicativo de un logaritmo). 
0.1) 10g&2 =	 0.2) log273 
p)	 Como consecuencia de las funciones exponencial y toqarltmica se obtie­
nen las siguientes relaciones. 
p.1) log~ = 10gbY <=> X = Y p.2) a' = a Y <=> x = Y 
p.3) Usar las relaciones anteriores para demostrar 10 siguiente: 
b 10gba =a 
q) La expresi6n log.~ se puede hacer equivalente a la expresi6n: 
loge
a 
; donde e es un real positive d iferente de 1. 
logeb 
EJEMPLO 
log J1i log(10)1/2 1 
logo.1 j10 = 
logO,1 log 10-1 2 
Aplicar la anterior propiedad (cambio de base) para resolver los siguientes 
logaritmos: . 
q.1) 10g32 1/4 = 
q.2) log10(101/4) == 
q.3) log0,2125 = 
q.4) log1r.i!8 = 
A.3. 
a)	 j..Cuales de los siguientes logaritmos son logaritmos decimales? 
e) 10go4 
f) log102 
g) IOgh1 
h) log b 
e:i 
log 3 
log.c
log..a
log d 
t*r%fti:\/;g;i·, d;*"Ui.;-"' z:':'.:ttLdlO>':'''''''>' 
+ 1 
+ 1 
+ 1 
+2 
- 1 
-2 
+4 
l~\';'" 
h) log b 
CARACTERISTICA 
.. '.'4 .. ,<;;;r·~; ..!;",··, 
f) log102 
log 3,2 X 101 
log 2,4 X 101 
log 1,25 X 101 
log 1,267 X 102 
log 7,6 x 10-1 
log 3,2 x 10-2 
log 3,2856 x 104 
d) log d 
NOTACION CIENTIFICA 
log 32 
log 24 
log 12,5 
log 126,7 
log 0,76 
log 0,032 
log 32856 
Hallar la caracteristica de los logaritmos de cada uno de los siguientes 
numeros, escribiendolos en notaci6n cienUfica. 
LOGARITMO 
log10x = log x. 
a) enteros 
b) naturales 
c) negativos 
Son logaritmos decimales aquellos que cumplen con: 
a) En cada uno de los ejercicios siguientes subrayar fa respuesta que sea 
correcta. 
Los logaritmos comunes 0 decimales se caracterizan por: 
a) Cumplir algunas propiedades de los otros logaritmos. 
b) Tener como base el nurnero natural 10. 
c) Tener como base cualquier numero real positivo dlterente de 1. 
Por tanto 
b) Los logaritmos de los siguientes nurneros: 0,01; 0,001; 10; 100; 1.000; 
0,0001 son siempre nurneros. 
a) log 3 
Son logaritmos decimales. 
B.3.·. 
Solucl6n 
i· -
»: 
::':':: 
,t. 
1_:. A.4. 
.....~. a)/_,;,f~ , ... " 
.':J',' '. ~ •.• , 
'c .» :-~~:iiIftItl!G';j"":~,~'t-' 
c) Hallar la caracteristica de cada uno de los siguientes lograritmos. 
8.4. 
a)	 Escribir tatso 0 verdadero frente a cada una de las siguientes afirmacio­
nes, segun sean ciertas 0 no. 
a.1)	 EI logaritmo de todo numero, que no es una potencia de 10 es un 
nurnero: 
Entero ---- ­
a.2)	 Los siguientes numeros: 0,1; 1/100; 0,0001; 1; 1/10000 no son poten­
cias de 10----­
a .3)	 La parte entera y la parte decimal de algunos logaritmos se IIaman 
caracterlstica y mantisa respectivamente ---- ­
aA)	 La caracteristica de todo logaritmo es siempre un nurnero po­
sitivo ---- ­a .5)	 La caracterlstica de un logaritmo nunca puede ser cero ---- ­
a.6)	 La caracteristica de un logaritmo nunca es un nurnero nega­
tivo----­
a.7) La mantisa de un logaritmo siempre es un numero positi ­
vo---­
a.8)	 5i logx = 9,8021 - 10, entonces la mantisa de log xes el nurnero 
-0,8021 --- ­
a.9)	 5i log x = 0.3215. entonces la caracteristica de log x es el numero 
entero 3215. 
a.10)	 5i log x = 8.3212 - 10, entonces el log x es un numero com­
pletamente negativo. 
b)	 Escribir en los espacios correspondientes la caracteristica y la mantisa 
con su respectivo signo (positivo 0 negativo) de cada uno de los siguien­
tes logaritmos. 
Logaritmo	 Caracterlstica Mantisa 
b.1) log 6 = 0,7782
 
b.2) log 6,5 = 0,8129
 
b.3) log 9,23 = 0,9652
 
bA) log 1,35 = 0,1303
 
b.5) log 5,58 = 0,7466
 
b.6) log 36,2 = 1,5587
 
b.7) log 0,072 = 8,8573 - 10
 
b.8) log 0,08 = 8,9031 - 10
 
b.9) log 1,36 = 0,1335
 
b.10) 'log 1200 = 3,0792
 
CaracterlsticaLogaritmo 
c.1) log 1,5 
c.2) log 2,3 
c.3) log 3,5 
cA) log 1,53 
c.5) log 6,32 
c .6) log 5,59 
c.7)	 l.C6mo son las caracteristicas de los anteriores logaritmos? 
c.8) Explicar el porqus de esos resultados. 
los an­c.9)	 l.Que otro logaritmo tienen la misma caracteristica que 
teriores? 
A.S. 
a) 5ubrayar la respuesta correcta. 5i log x 0,7782, podemos asegurar que 
x es un numero 
a) mayor que 1 y menor que 10. 
b) mayor que 10 y menor que 100. 
c) mayor que 100 y menor que 1.000. 
B.S. 
a) 5ubrayar la respuesta correcta. 
a.1) 5i log 15 = x, podemos asegurar que-x es un nurnero 
a) mayor que 2 y menor que 3 
b) mayor que 3 y menor que 4 
c) mayor que 1 y menor que 2 
a.2)	 5i log x = 2,1461, podemos asegurar que x es un numero com­
prendido: 
a) entre 1 y 10 
b) entre 100 y 1.000 
c) entre 10 y 100 
a.3) 5i log 12.000 = x, podemos asegurar que x es un nurnero com­
prendido: 
a) entre 3 y 4 
b) entre 5 y 6 
c) entre 4 y 5 
·.. I,\~'	 ;1., r '(' 
i' 
a.4) Si log x = 9,7072 - 10, podemos asegurar que x es un nurnero 
comprendido: 
a) entre 0,01 y 0,1 
b) entre 0,1 y 1 
c) entre 0,001 y 0,1 
a.5) Si log 0,02 = x, podemos asegurar que x es un nurnero com­
prendido: 
a) entre - 3 y ­ 2 
b) entre - 4 Y ­ 3 
c) entre - 2 Y ­ 1 
a.6) Si log x = 7,7682 - 10, podemos asegurar que x es un nurnero 
comprendido: 
a) entre 0,001 y 0,01 
b) entre 0,0001 y 0,001 
c) entre 0,00001 y 0,0001 
a.7) Si log 0,0004 = x, podemos asegurar que x es un nurnero com­
prendido: 
a) entre - 2 Y ­ 1 
b) entre - 3 y - 4 
c) entre - 4 Y - 3 
a.8) EI conjunto de los nurneros enteros son los logaritmos de los nume­
ros que son potencias: 
a) de 10 
b) de 20 
c) de 30 
a.9) Si log x = 0, entonces x es igual: 
a) a cero 
b) a diez 
c) a uno 
A.6. 
Hallar el valor de x en la ecuaci6n: 
log354 - log32 x 
Solucion 
54log354 - log32 log32 (cociente de un logaritmo) 
Entonces: 
Lo cual,	 por definici6n, 
3' = 27 
3' = 33 
Luego: 
x = 3 
8.6. 
Resolver para x las siguientes ecuaciones logaritmicas: 
a) log(x2 - 3x) = 1 
b) log(x2 - 4) - log(x - 2) = 1 
c) log x = log(x - 4) 
d) 1092(x + 1) + log2(x - 1) = 3 
e) IOg3(X2 - 1) = 2 log3(x + 1) 
A.7. 
Encontrar: 
1091590 =	 In 90 _ 4,49981 
In 15 - 2,70805 
1091590 =	 1,6616421 
8.7. 
a) Vatlendose de los logaritmos naturales encuentre el valor de: 
log892 =;',	 _ 
1091428 
1091332 
b) Demuestre: 
10ge4 =	 10g24 
10928 
c) Sabiendo que: 
log416 
109464 
l,t,hI.,,<.,J I;z;tt~.:r\",:,r: ..	 ;/ ~"... ,.~:/~; 
,.' ~ 
CARACTERISTICA MANTISA ANTILOGARITMOLOGARITMODetermine: 
log6416	 a.1) log x 3,7067 
a.2) log x 1,6503 
a.3) log x 29646 
a.4) log x 0,9614 
A.B. 
a.5) log x 0,1903
 
a) Si el logaritmo de un numero es 8,9657 - 10, hallar el numero. a.6) log x 0,0043
 
a.7) log x 9,9983 - 10----­•Solucl6n 
a.8) logx 8,8222 - 10 _ 
log x = 8,9657 - 10 a.9) log x 7,5717 -10 ---- ­
Luego: Caracterlstica es - 2 
Mantisa es 0,9657 b) Hallar los nurneros cuvos logaritmos son: 
Entre las mantisas de la tabla 9657 corresponde a la fila 92, columna 4. b.1) 1,6525 
Luego los dlgitos de x son 924, como la caracteristlca es - 2, entonces b.2) 3,9060 
x.= 9,24 x 10- 2 = 0,0924. b.3) 2,8340 
Cuando la mantisa del logaritmo del numero no esta directamente en la tabla, b.4) 9,4272 - 10 _ 
usamos la interpolaci6n como se explica en el ejemplo siguiente: b.5) 0,0341 _ 
b) Hallar el nurnero cuyo logaritmo es 2,647. 
b.6) 2,6596,	 _ 
Vemos en la tabla que las mantisas mas pr6ximas a .6487 son .6484 y .6493 Y 
b.7) 9,5979 - 10 ~ _procedemos con estos numeros aSI: 
b.8) 2,6518 
numero mantisa b.9) 89143 -10	 _
.64931 4,460 
10/4,450 + x .6487 13f9
x 4.450 .6484
 
A.9. 
_x_ = 2.­
10 9 Buscar el cologaritmo pedido, transtorrnandolo en logaritmo. 
colg 7 = log 1/7 = log 0,142 
9 x = 30 
log 1,42 x 10-1 = - 1 Y 0,1523 
1 9,1523 - 10 
x = 3­
3 
B.9. 
Luego, el nurnero que corresponde a la mantisa dada es 4453. Para localizar 
el punto decimal observamos que si la caracterlstica del logaritmo dado es 2, a En los siguientes ejercicios buscarlos cologaritmospedidos, transtorman­
sabemos que el nurnero tiene 3 cifras de parte entera. EI resultado es 445.3. dotes en logaritmos: 
a.1) colg 5 = _
 
a.2) colg 10 = ----.,_
B.8. 
a.3) colg 425 
a.4) colg 125a) Utilizar la tabla de logaritmos para hallar el valor de x en cada uno de los 
a.5) colg 750siquientes ejercicios: 
WMif:u¥**'Vfji";;'4 :, ;'';''''''Lil. 
'<';.l'w-T	 .: h':':'''';lfi'''~$'' 
8.6) colg 0,004 =
 
a.7) colg 0,2 =
 
a .8) colg 2,5 =
 
a.9) colg 800 =
 
b) Usando cologaritmos, hallar los siguientes logaritmos: 
b.l) log 2/5 =
 
b.2) log 3/9 =
 
b.3) log 2/10 =
 
b.4) log 3/24 =
 
b.5) log 1/2 =
 
b.6) log 0, 1/0,2
 
b.7) log 0,5/0,25
 
b.8) log 5/0,5 =
 
b.9) log 0,24/6 =
 
b.l0) log 0,32/8 =
 
A.10. 
a) Calcular por medio de logaritmos 0,431 x 0,004 x (- 32,5). 
Soluci6n 
Notemos que hay un factor negativo y como no existen logaritmos de nurne­
ros negativos se toma el logaritmo del producto como si todos los factores 
fuesen positivos, teniendo en cuenta al final el signo correspondiente del resul­
tado, ya que por inspecci6n el producto de dos facto res positivos y un factor 
siempre es negativo, asi: 
log (0,431 x 0,004 x 32,5)
 
log 0,431 x log 0,004 + log 32,5
 
log 4,31 x 10- 1 + log 4 x 10- 3 + log 3,25 X 101
 
- 1 Y0,6345 + (- 3 Y0,6021) + 1 yO,5119
 
(- 1 + (- 3) + 1) Y(0,6345 + 0,6021 + 05119)
 
- 3 Y1,7485
 
- 2 Y0,7485
 
8,7485 - 10
 
EI antilogaritmo de 8,7485 - 10 es 0,056, de manera que: 
0,431 x 0,004 x (- 32,5) = - 0,056 
b) Hallar, usando logaritmos, 
41,52 
0,012 
Solucl6n 
log (41,52/0,012)	 log 41,52 - log 0,012 
log 41,52 + colg 0,012 
log 41,52 + log 1/0,012 
log 41,52 + log 83,3 
log 4,152 x 10 + log 8,33 X 101 
1,6182 + 1,9206 = 3,5388 
EI antilogaritmo de 3,5388 es 3460, de manera que: 
41,52 
= 3460 
0,012 
c) Usando logaritmo, hallar :.J32 
Soluci6n 
-rz: 1 1
log V 32 = - log 32 = -log 3,2 x 101 
7 7 
2..- 1,5051 0,215
7 
EI antilogaritmo de 0,215 es 1,64, de manera que::;32 = 1,64.. 
8.10. 
a) Utilizando logaritmos decimales hallar los siguientes productos: 
a.l) 426 x 0,038 ---------- _ 
a.2) 0,327 x 3,45 _ 
a.3) 0,238 x 0,027 _ 
a.4) 3,56 x - (0,21) _ 
a.5) - (14,32) x - (7,22) _ 
a.6) - (186,5) x 3,29 _ 
a.7) -(0,0021) x 0,0067 _ 
b) Hallar, usando logaritmos, 
b.l) 236/0,25 _
 
b.2) 0,34/157----- -----,__
 
b.3) - 3,21/0,48
 
bA) - 92,5/1,46 _
 
b.5) - 0,312/ - 3,48 _
 
c) Encontrar los siguientes resultados utilizando logaritmos: 
c.l) (18,65)4 _ 
c.2) (0,83)2 -----, _ 
C.3)
c.4) 
~28)7 
7 954 
_ 
_ 
3 
C.5)	 31,5 x 0,64 
0,15 x 62,3 ~ _'___ _ 
» c: -I o I m < » r- c: » o - o z 
» -a m z c - o m I\) 
,. 
~R~.'l)';;WI',,1li" :J",','C	 ~~~?J'·F:,"'~_-··V"-\" -r~~T'~F"jt"t;_~-~!~_0,-·-" .' - ''(;'; ,	 "(I:I.!':~~ 
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1.	 Marque con una X el cuadro correspondiente a la respuesta que sea correcta: 
a)	 Los logaritmos decimales de nurneros que son potencias de 10, son 
nurneros que pertenecen al conjunto de nurneros: 
d	 reales positivoso	 naturales 
o	 enteros
't._ 
b)' Los logaritmos decimales de nurneros que no son potencia de 10, se 
descomponen de una parte entera y una parte decimal que siempre es: 
o	 negativa 
o	 positiva 
o	 cero 
c)	 Si el log 0,0026 es igual a log 2,6 x 10- 3, entonces la caracterlstica del 
log 0,0026 es: 
o 3 
o -3 
o	 10 
d)	 Si la caracterfstica del log x es + 2, entonces log x se puede expresar 
como una potencia de 10 elevado ala: 
o 2 
o -2 
o	 0 
e)	 Si el log x tiene como caracteristica - 5 Y como mantisa + 0,312, enton­
ces el log x se puede expresar asl: 
o - 5031 
o - (5.0312) 
0, 5.0312 - 10 
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f)	 La caracteristica del logaritmo de un numero es otro numero negativo 
cuando el numero es menor que: 
o	 cero 
o	 diez 
o uno
 
g) La caracterlstlca del log 0,0008 es el nurnero:
 
o -5
 
o -:-4
 
o -3
 
2.	 Usando la tabla de logaritmos (y redondear si es necesarlo) encontrar el valor 
de x en cada ejercicio:
 
a) log 0.0076 = x ---,-_
 
b) log 0,0197 = x _
 
c) log 3,465 = x _
 
d) log 27,961 = x .' 
e) log 379,5 = x - ­
f) log x = 3.8887 .........'...:,__ 
g) log x = 0,8500 ....:...-_ 
h) log x = 7.6010 - 10, -'----_ 
i) log x = 9.7604 - 10 _ 
j) log x = 0.3692 , 
3.	 Utilizar cologaritmos 0 logaritmos sequn sea necesario para desarrottar los'· . 
siguientes ejercicios: 
a)	 log ( 0.;2 ) _ 
b)	 log 26)( 0,13	 _ 
c)	 log ( ~10~732 ) _ 
d)	 0,705 x (-0,126) -=-- _ 
. 5/ 3.12 x 0,6
 
e) V 0.003 __
 
4.	 Muchos nurneros enteros pueden descomponerse en facto res como tarnbien 
algunos numeros enteros pueden ser el resultado de alqun cociente. Es decir 
que si x E Z, Y E Z puede ser que: .. 
leniendo en cuenta las dos posibilidades anteriores, es factible encontrar el 
jog x, y, el log y sabiendo que: 
, x =' a' b 1\ Y = eta, sin utilizar ninguna tabla, conociendo ellog a, ellog b, 
81 ~og c, y, el log d. 
Por tanto, a continuaci6n encontrara los logaritmos de algunos numeros con 
-Ell proposlto de que halle otros logaritmos peoidos, sin utilizar tablas, tratando de 
descomponer tales nurneros como dijimos antes: 
Dados: I.og 3 = 0,4771; log 2 = 0,3010 
log 7 = 0,8451; log 5 = 0,6990 
a) Hallar log 36 
b) Explicar c6mo descompuso log 36 
c) Encontrar alguna justlflcaclon matematlca. l,Cual? 
d) Hallar log 120 
e) Justificar la respuesta 
'<	 f) Hallar el loq 2 4utilizando los logaritmos dados anteriormente. 
g)	 Hallar log 202,5 
h),l,Que concluye al respecto? 
x = a· b 6 Y = c/d 
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BIBLIOGRAFIA 
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DEPARTAMENTO DE INVESTIGACION EDUCATIVA DE VOLUNTAD EDITORES: 
Tabla de ioqeritmos. 1,a edici6n. Bogota-Colombia, Voluntad Editores, S. A. 
I. 1~77, 310 paqtnas. 
DEPARTAMENTO DE INVESTIGACION EDUCATIVA DE VOLUNTAD EDITORES: 
ij' Matematicas - Educaci6n creativa. 1.a edicion, Bogota-Colombia. Voluntad 
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BUOOR A.: Algebra elemental. 2.a edici6n. Espana. Editorial Medlterraneo. 1970, 
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Texto recomendado: 
CURSO BASICO DE MATEMATICAS. Editorial 
1979, Editecnica Suramericana, C. A. 
\-'" 
Schroedel, Madrid, 
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