Logaritmos

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Logaritmos
ÁLGEBRA
Docente: José Luis Vásquez Carhuamaca 
Semana 30
- ÁLGEBRA
Objetivos:
 Utilizar adecuadamente la definición del
logaritmo.
 Aplicar las diversas propiedades de los
logaritmos.
 Resolver problemas diversos relacionados
con el logaritmo.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. Aplicaciones de los logaritmos
3. Logaritmo decimal
4. Propiedades
2. Definición del logaritmo
5. Problemas diversos
- ÁLGEBRA
APLICACIÓN DE LOS LOGARITMOS
El tema de logaritmos esta muy relacionada al tema de
potenciación y radicación. Además que tiene bastante
aplicación en la vida cotidiana , como por ejemplo en los
siguientes casos:
Al consumir una medicina, pasa
en la sangre y posteriormente
se va eliminando una
determina parte en cada
unidad de tiempo.
Los índices de crecimiento son
exponenciales, se aplica en la
oferta y demanda; que son 2 de
las relaciones fundamentales
en cualquier análisis
económico.
Sirve para medir el crecimiento
de los ahorros de acuerdo al
tiempo, además del interés
compuesto.
Cuando se realizan las
estadísticas sobre la campaña
publicitaria que se va a lanzar,
se hacen cálculos matemáticos
con logaritmos. Estas
estadísticas definen el fracaso o
éxito de la campaña.
- ÁLGEBRA
Notación:
log𝑏𝑁 = 𝑥
Donde
Se lee: logaritmo de 𝑁 en base 𝑏 es igual a 𝑥.
Definición 
log𝑏𝑁 = 𝑥 ⟺ 𝑏𝑥= 𝑁
• 𝑁: número del logaritmo 𝑁 > 0
• 𝑏: base del logaritmo 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1
• 𝑥: es el logaritmo de N en base b 𝑥 ∈ ℝ
Ejemplos
𝟏. log28 = ⟺ 2
3 = 83
𝟐. log381 = ⟺ 3
4 = 814
𝟑. log5
1
25
= −2 ⟺ 5−2=
1
25
𝟒. log497 =
1
2
⟺ = 7
𝟏
𝟐
49
Resultados notables:
log𝑏𝑏 = 1 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1log𝑏1 = 0
Ejemplos
• log99 = 1
• log 2 2 = 1
• log81 = 0
• log𝜋1 = 0
LOGARITMOS
- ÁLGEBRA
LOGARITMO DECIMAL
log 𝑁 = log10𝑁
Ejemplos
• log 100 = log10100 = 2
• log 0,1 = log10
1
10
= −1
IDENTIDAD FUNDAMENTAL
𝑏log𝑏𝑵 = 𝑵
Ejemplos
𝟏. 9log96 = 6
𝟐. 7log74 = 4
𝟑. 8log25 = 23 log25 = 2log25
3
= 5 3 = 125
Observación 
log𝑏𝑏
𝒙 = 𝒙
Ejemplos
𝟏. log66
𝟓 = 5
𝟐. log21024 = log22
10 = 10
Aplicación
Halle el valor de 𝑥 si 2𝑥 = 7
Resolución:
En 2𝑥 = 7
𝐥𝐨𝐠𝟐2
𝑥 = 𝐥𝐨𝐠𝟐7
𝑥 = log27 = 2.807…
- ÁLGEBRA
𝐈. = log𝑏 𝑀. 𝑁log𝑏𝑀 + log𝑏𝑁
= log𝑏
𝑀
𝑁
log𝑏𝑀 − log𝑏𝑁
Ejemplos
𝟏) log432 + log42 = log4 32.2 = log464 = 3
𝟐) log65 + 1 = log65 + log66 = log630= log6 5.6
𝟑) log 100𝑥 = log100 + log𝑥 = 2 + log𝑥
𝟒) log3162 − log32 = log3
162
2
= log381 = 4
𝟓) log550 + log56 − log512 = log5
50.6
12
= log525 = 2
𝐈𝐈𝐈.
𝑏𝒎
log 𝑎 𝑛 log𝑏𝑎
𝒏
𝒎
=
Ejemplos
𝟏)
7 3
log 5 2 log75
𝟐
𝟑
=
𝟐)
81
log 32 =
3 4
log 2 5 = log32
𝟓
𝟒
𝟑) log 36 = log 6 2 = 𝟐log 6
Observación 
log 𝑎
𝑏 𝑏𝒎
log 𝑎𝒎
𝒏
𝑏
log 𝒏 𝑎= =
Ejemplo
𝟑
2
• log 5
𝟑
2
𝟑
= log 5𝟑 = log 125
2
𝐈𝐈.
Teoremas
Considerando que las siguientes expresiones
logarítmicas existen en ℝ, se cumple:
- ÁLGEBRA
𝐈𝐕.
log𝑏𝑎
log𝑏𝑏𝒄
𝒄log𝑏𝑎 =
Ejemplos
𝟏) Calcule log37 a base 5
log37 =
log𝑏7
log𝑏3𝟓
𝟓
= log98
log𝑏8
log𝑏9𝟔
𝟔𝟐)
𝟑) Calcule log52 a base 2
log52 =
log𝑏2
log𝑏5𝟐
𝟐
log52 =
1
log𝑏5𝟐
log52. log25 = 1
Observaciones 
log𝑏𝑎 =
1
log𝑎𝑏
log𝑏𝑎 . log𝑏𝑎 =1
Ejemplos
𝟏) log67 =
1
log𝑏6𝟕
𝟐)
1
log𝑏34
= log34
𝟑) log3𝜋. log𝜋3 = 1
log𝑏𝑎. log𝑐𝑏 = log𝑐𝑎
log𝑏𝑎. log𝑐𝑏. log𝑑𝑐 = log𝑑𝑎
Ejemplos
𝟏) log56. log25 = log26
𝟐) log710. log13 = log73𝟏𝟎
𝟑) log82. log78. log57 = log52
Regla de la cadena
- ÁLGEBRA
Regla del intercambio
𝑎log𝒃𝑐 = 𝑐log𝒃𝑎
Comprobación
𝑎log𝒃𝑐 = 𝑎
log𝒃𝑎 . log𝒂𝑐
= 𝑎log𝒂𝑐 log𝒃𝑎
= 𝑐log𝒃𝑎
Ejemplos
𝟐. 8log𝟐5 = 5log𝟐8 = 53 = 125
𝟑. −25log𝟓7 = −7log𝟓25= −72=−49
𝟏. 3log𝟔2 = 2log𝟔3
Aplicación
Halle su solución
Resolución
Sea la ecuación 𝑥log𝟒5 + 5log𝟒𝑥 = 250.
En 𝑥log𝟒5 + 5log𝟒𝑥 = 250
5log𝟒𝑥 + 5log𝟒𝑥 = 250
2.5log𝟒𝑥 = 250
5log𝟒𝑥 = 125
5log𝟒𝑥 = 53
log𝟒𝑥 = 3
𝑥 = 43
𝑥 = 𝟔𝟒
𝑎log𝒃𝑐
𝑎log𝒃𝑐
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