ALGEBRA SEM 16 - 2022 II

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Centro Preuniversitario de la UNS S-16 Ingreso Directo 
 
 ALGEBRA 
 Ciclo 2022-II 
 “LOGARITMOS” 
 
LOGARITMO 
“Se denomina logaritmo de un número real positivo 
al exponente al cual será necesario elevar una 
base positiva y diferente de la unidad para obtener 
como resultado una potencia igual al número 
propuesto” 
 
Notación: xlogy b ...................................( I ) 
Donde: y = logaritmo ( y R) 
 x = número propuesto ( )Rx  
 b = base )1bRb(   
 
De acuerdo con la definición de logaritmo y de la 
notación (I), se puede establecer que: 
 xb y  ........................................( II ) 
Si se sustituye (I) en (II) se obtendrá la siguiente 
igualdad fundamental: 
 
x
xlog
b b  
Ejemplo: De acuerdo con la definición de 
logaritmo, podemos establecer: 
 
2 3= entonces,
3
log8 : =
2
81) Como :
 
Esto se lee así: “3 es el logaritmo de 8 en base 2” 
3 3= entonces,
-3
log: - =
3
2) Como : 1
27
1
27 
 Esto se lee así: “-3 es el logaritmo de 
27
1
en 
base 3” 
 
PROPIEDADES GENERALES DE LA FUNCION 
LOGARITMICA 
 
1. En el campo de los números reales no existe el 
logaritmo para números negativos. 
2. Si la base b está comprendida entre cero y uno 
(0 < b< 1) los números comprendidos entre 
cero y uno tienen logaritmos positivos y los 
logaritmos de números mayores que uno serán 
negativos. 
3. Si la base b es mayor que uno ( b > 1), los 
números comprendidos entre cero y uno tienen 
logaritmos negativos y los logaritmos de 
números mayores que uno serán positivos. 
4. El logaritmo de la unidad es cero. 
 
 1bRb01log b 
 
 
5. El logaritmo de la base es uno. 
 
 1bRb1blog b 
 
 
PROPIEDADES OPERATIVAS DE LOS 
LOGARITMOS 
 
A) Logaritmo de un Producto: 
  Rx,x;1b0b 21 
 
 2xblog1xblog)2x.1x(bLog  
 
 Ejemplo: 
 15LogT 8 , podríamos expresarlo como: 
 5log3log)5.3(logT 888  
 
B) Logaritmo de un Cociente: 
 
 

 Rxxbb 21,;10 
 
 2xblog1xblog)
2x
1x(bLog  
 
 Ejemplo: 
 )
2
17
(logT 5 , podríamos expresarlo como: 
 Semana N° 16 
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 2log17logT 55  
 
C) Logaritmo de una Potencia: 
 
 Qn;Rx;1b0b   
 
 xblogn
n
xblog  
 
 Ejemplo: Reducir: 





  logloglogT 
 Por la propiedad: 
 
      7log32log53log4T 723  
 )1(3)1(5)1(4T  
 T= 4+5+3 12T  
 
D) Podemos elevar a un mismo exponente a la 
base y al número, y el logaritmo no varía. 
 
 Qn;Rx;1b0b   
 
n
x
b
logxblog n 
 
 Ejemplo: Para 16log 9 tenemos: 
 256log16log16log 81
2
99
2  , o también 
 4log16log16log 399
 
 
 * Corolario: 
n
m
blog
m
b
n
 
 
E) Cambio de base: 
 Permite expresar el logaritmo de un número x 
en base b en otra base m, según la fórmula: 
 
 
log
b
x =
log
m
x
log
m
b
 blog m
x log
b
x log
m=
.
Incógnita 
Dato
Dato 
 Ejemplo: Expresar 5log 3 , en base 2 
 De acuerdo con la 1ra. Fórmula : 
 
3log
5log
5log
2
2
3  
 
 Ejemplo: Expresar 3log7 en base 7 
 Según la 1ra. Fórmula: 
 
7log
3log
3log
3
3
7  , es decir: 
 
7log
1
3log
3
7  
 
 PROPIEDAD: El logaritmo de un número x en 
base b es igual al inverso del logaritmo de b en 
base x. 
 
bxlog
1
xblog  
 
REGLA DE LA CADENA 
 
Es una relación matemática que permite multiplicar logaritmos 
dispuestos en la forma. 
 
elogelog.dlog.clog.alog
bdcab
 
 
Ejemplo: Calcular el valor de x de la 
igualdad: 
 532log.7log
7x
 
 
Aplicar la regla de la cadena en el primer 
miembro es equivalente a hacer 
simplificaciones sucesivas, tal como se 
indica: 
532log.7log
7x
 
 
Después de simplificar cuidadosamente, 
nos queda: 
532log
x
 
Por definición de logaritmo se debe 
establecer que: 
32x
5
 
De donde: x = 5 
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Observaciones: Para la resolución de 
algunos ejercicios pueden ser útil tener en 
cuenta las siguientes relaciones. 
 
I) Si: 2x1x2xblog1xblog  
 







1b0b
Rx;x
21 
 
II) alogccloga bb  
 
SISTEMAS DE LOGARITMOS 
 
Un sistema de logaritmo de base b, es el conjunto 
de todos los logaritmos de los números reales 
positivos en base b, tal que b > 0 1b  
Ejemplo: Para los conjuntos: 








Rx;xlogy/RyA
2
 








Rx;xlogy/RyB
8,0
 
Tenemos: 
A : Es un sistema de logaritmos en base 2 
B : Es un sistema de logaritmos en base 0,8 
Es fácil deducir que así como existen infinitas 
bases; existen también infinitos sistemas de 
logaritmos de entre los cuales los de mayor uso 
son dos. 
 
A) SISTEMA DE LOGARITMOS DECIMALES 
 También llamados logaritmos vulgares o 
logaritmos de Briggs, es el sistema que tiene 
como base al número 10, es decir: 








Rx;xlogy/RyA 10 
 
 Notación utilizada: xlogxlogy 10  
 
 Lectura: y= log x: logaritmos del número x 
 
B) SISTEMA DE LOGARITMOS NATURALES 
 También llamado sistema de logaritmos 
neperianos, en honor a su inventor Jhoan 
Napier, es el sistema que tiene como base al 
número irracional: e= 2, 718 281 82.... 
 Notación utilizada: xlnxlogy e  
 Lectura: y= ln x: logaritmo natural del número 
x 
 
C) FORMULAS DE CONVERSION 
 
 I. Conversión de logaritmos naturales en 
decimales. 
 
log x = 0,4343 ln x
Dato
Icógnita 
 
 II. Conversión de logaritmos decimales en 
naturales. 
 
x = 2,3026ln x
Dato
Icógnita
log
 
 
COLOGARITMO Y ANTILOGARITMO 
 
 COLOGARITMO 
 Se llama cologaritmo de un número de una 
base dada al opuesto (negativo) del logaritmo 
de dicho número, es decir: 
 xlogxlogCo bb  







1b0b
Rx 
 
 ANTILOGARITMO 
 Llamada también exponencial, se define así: 
 
x
b
bxloganti  





1b0b
Rx
 
 Ejemplo: Reducir: 
  
)5,0(loganti4logCoT 42  
 Por las definiciones: 
5,0
2
44logT  
 2
1
2
2
42logT  
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 Por propiedad: 
4)2(log2T
2
 
 2)1(2T  
 T = 0 
 
RELACIONES ENTRE OPERACIONES: 
Colog ; antilog y log 
 
I. x)x(logloganti bb  
 
II. x)xloganti(log bb  
 
III. x)xloganti(logco bb  
 
GRAFICA DE LA FUNCION LOGARITMICA 
CASO I: Si : 0 < b < 1 
Para este caso la gráfica de la función logaritmo es 
como se muestra; de donde se pueden apreciar las 
siguientes propiedades: 
 
I)  ;)F(Ran;;0)F(Dom 
 Esto significa que la curva está situada siempre 
a la derecha del eje de las ordenadas (eje Y) 
II) F es univalente (inyectiva) en todo su dominio. 
 Esto significa que tiene inversa. 
III) Intercepta al eje X en (1; 0) 
 Esto significa que el punto: (1; 0)  F 
IV) La función es decreciente en todo su dominio 
 ,Fx,x
21
 si: )x(F)x(Fxx
2121
 
V) Si x crece ilimitadamente, F(x) decrece 
ilimitadamente. 
VI) Si x se aproxima cero, F(x) crece 
ilimitadamente. 
F(x
2
)
Y
x
2 X1
x
1
F(x )
y=x
1F:y=b x
F-1: y = log b
x
1
 
CASO II: Si : b > 1 
La gráfica de la función es como la mostrada en la 
figura 
De donde podemos apreciar las siguientes 
propiedades: 
I)  ;)F(Ran;;0)F(Dom, la curva 
está situada siempre a la derecha del eje de las 
ordenadas (eje Y) 
 
II) F. es univalente (inyectiva) en todo su dominio 
por lo tanto tiene inversa. 
 
III) Intercepta al eje X en (1; 0) es decir el punto (1; 
0)  F 
 
IV) La función es creciente en todo su dominio: 
 Fx,x 21  , 
 Si: )x(F)x(Fxx 2121  
V) Si x crece ilimitadamente, F(x) crece 
ilimitadamente. 
VI) Si x se aproxima a cero F(x) decrece 
ilimitadamente. 
y=x F( x )1
x1
1 x2 X
Y
1
F( x )2
F: y = logb
x
F: y = b
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROBLEMAS PROPUESTOS 
1. El valor de la expresión: 625log128log100log 52 k 
a) 10 b) 5 c) -10 d) -5 e) 397 
 
2. El valor de la expresión: 


















125
1
log
81
1
log
16
1
log 532J 
a) 4 b) 7 c) 11 d) -3 e) 3 
 
3. Si: 70,05log;30,02log  , entonces el valor de la expresión: 
:;14log35log es 
a) 0,70 b) 0,40 c) 1,3 d) 1,6 e) NA 
 
4. Calcular el valor de: 1024log....6log.5log.4log.3log 10235432 
a) 100 b) 10 c) 1 d) 0 e) 2 
 
5. Si: log2=a ; log3=b; calcular: 3 275log 
a) ba  b) 3 2ab c)  ba 
3
2
 
 d)  22
3
2
 ab e) NA 
6. Halle “x” en: 
511
6
711
4
57
2
log





x 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 7 
 
7. Si: ba 23log;2log 55  , hallar: 300log 5 
a) 2a+3b b) 3a+2b c) a+b d) 2a+b e) a+b+1 
 
8. Resolver:   225log28log72log
2
1
log x 
 a) 96 b) 112 c) 109 d) 22 e) 16 
 
9. Calcular: 8loglogloglog 4
9
425,024
antiE  
a) 4 b) 2 c) -2 d) 6 e) 8 
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
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10. Si: 4log7log  ba abcabc ; determinar el valor de: 








c
ba
E abc
3
log 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 
 
11. Resolver: 4loglog
2
2 
x
x
x
x xx 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
12. Calcular: 
24log1
1
40log1
1
15log1
1
538 




M 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
13. Si ,28log 14 a hallar 16log 49 en términos de “ a ” 
a) 
1
2


a
a
 b) 
2
22


a
a
 c) 
1
21


a
a
 
d) 
3
24


a
a
 e) 
1
1


a
a
 
14. Efectuar: 4log281log13log1 6498 3678   
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
15. Simplificar: 
3log27log
6log26log1
28
22
6.2
63


E 
a) 73 b) 74 c) 75 d) 76 e) 77 
 
 
16. Dada la función   xf x
2
1log1
, halle su dominio. 
a)  RDomf b) 1;0Domf c) 4;0Domf 
d) 
2
1
;0Domf e) 2;0Domf 
 
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
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III EXAMEN SUMATIVO UNS 2017 III 
17. Para la función real de variable real:   xxf 222 logloglog , el 
dominio es: 
a) ,2 b) ,4 c)  ,5,0 
d)  ,125,0 e) R+ 
 
ORDINARIO UNS 2018 I 
18. Hallar el dominio de la función:    1log 2  xxf 
A) ;1 B)  ,1 C) ;0 
D)  ,0 E)  ; 
19. Si: 06logloglog  xxx Hallar el producto de las dos soluciones: 
a) 0,001 b) 0,1 c) 0,01 d) 10 e) 100 
20. Si  baa
b
ba





 
loglog
4
log entonces el valor de 
 92 29 loglog18 baE
ab
 es: 
a) 89 b) 87 c) 85 d) 83 e) 81 
21. Si los números:     







5
2
log;log;3log
a
a
aa ; ….. forman una progresión 
aritmética; el término que sigue es: 
a)  3.2log 3 b)  26log c)  3.2log 4 d)  20log e)  32log 
22. Si ba  son dos números enteros consecutivos y 
  56log56log56log56log baba  , entonces el valor de  ba  es: 
a) 15 b) 14 c) 12 d) 10 e) 8 
23. Los números:    33log13log;2log  xx Forman en ese orden una 
progresión aritmética, calcular el valor de “x”. 
a) 5log b) 5log 2 c) 5log 3 d) 3log e) 3log 5 
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24. Al reducirse la expresión: 
2009
532 16log
1
110log
1
115log
1











W el 
resultado es: 
a) 3 b) 2 c) 3/2 d) 1 e) -1 
25. Resolver la ecuación:   5loglog27logloglog2  xx 
a) 10 b) 100 c) 1 d) 20 e) 8 
26. Sabiendo que: .4771,03log;3010,02log  Diga Usted. ¿Cuántas 
cifras tiene el número 1250? 
a) 52 b) 53 c) 54 
d) 55 e) 58 
III EXAMEN SUMATIVO UNS 2010 – III 
27. Siendo ,32 3020 xN  ¿Cuántas cifras enteras tiene N? 
 4771,03log;3010,02log  
 a) 20 b) 19 c) 21 d) 25 e) 23 
III EXAMEN SUMATIVO UNS 2015 III 
28. El valor de:     esxxxx ,!9log20...642log  
a) 10 +10log2 b) 1+10log2 c) 10log2 
d) log2 e) log (10!) 
III EXAMEN SUMATIVO UNS 2016 I 
29. Calcular el valor de x que satisfacen la ecuación: 
  
1
2
1 logloglog

baxba 
a) 104 b) 100 c) 1000 d) 105 e) 10 
III EXAMEN SUMATIVO UNS 2016 I 
30. Dados las funciones    
1
,
13



x
x
xgexf
x , las inversas, en ese 
orden, respectivamente son: 
a) 
1
;
3
1ln


x
xx
 b) 
1
;
3
ln
x
xx
 c) 
1
;
3
1ln


x
xx
 
d) 
1
;
3
1ln


x
xx
 e) 
1
1
;
2
3ln


x
xx