Tópicos de Álgebra

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“TÓPICOS DE ÁLGEBRA” 
 
 
 
 
 
 
ELABORADO POR: 
 
M.C. ÁNGEL GARCÍA VELÁZQUEZ 
angel.g20@hotmail.com 
M.I. MARÍA GUADALUPE AMADO MORENO 
lupitaamado@yahoo.com.mx 
 
 
CUERPO ACADÉMICO 
Educación Superior en Ingeniería 
 
 
 
 
 
 
MEXICALI, BAJA CALIFORNIA, MÉXICO Enero de 2011 
SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR 
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICA 
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MEXICALI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Revisión aprobada por la Academia de Ciencias Básicas del 
Instituto Tecnológico de Mexicali 
en enero de 2008 
 
i 
 
C O N T E N I D O 
 
 
PÁGINA 
 
INTRODUCCIÓN vi 
 
AGRADECIMIENTOS viii
 
 
CAPÍTULO 1: OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL ÁLGEBRA 
 
1.1 Definiciones 1 
 
1. 2 Tipos de expresiones algebraicas 2 
 
1. 3 Operaciones algebraicas 2 
 
 1.3.1 Valor absoluto 2 
 
1.3.2 Adición y sustracción 3 
 1.3.2.1 Símbolos de agrupación 
 1.3.2.2 Propiedades 
 
 1.3.3 Producto o multiplicación 6 
 1.3.3.1 Propiedades 
 1.3.3.2 Leyes de los signos 
 1.3.3.3 Leyes de los exponentes 
 1.3.3.4 Multiplicación de multinomios 
 1.3.3.5 Símbolos de agrupación 
 
 1.3.4 Cociente o división 
 1.3.4.1 Leyes de los signos 10 
 1.3.4.2 Leyes de los exponentes 
 
 1.3.5 División de multinomios 12
 
1. 4 Problemas suplementarios 15 
 
 
CAPÍTULO 2: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN 
 
2.1 Tipos de productos notables 24 
 
 2.1.1 Producto de dos binomios 
 
ii 
 
2.1.2 Producto de binomios conjugados 
 2.1.3 Binomio al cuadrado 
 2.1.4 Binomio al cubo 
 
2.2 Tipos de factorización 26 
 
 2.2.1 Multinomios que tienen factor común 26 
 2.2.2 Diferencia de cuadrados 27 
 2.2.3 Trinomios cuadrados perfectos 27 
 2.2.4 Trinomios factorizables que no son cuadrados perfectos 
 2.2.5 Factores de binomios del tipo nn y + x 31 
 2.2.5.1 Suma o diferencia de cubos 33 y x  
 2.2.5.2 Factores de binomios del tipo nn y x  donde n  3 y no divisible 
 por 3 ni por 2 
2.2.6 Factorización por agrupación de términos semejantes 32 
 2.2.7 Trinomios que son reducibles a la diferencia de dos cuadrados 33 
 
2.3 Problemas suplementarios 35
 
 
CAPÍTULO 3: FRACCIONES 
 
3.1 Definición 42 
 3.1.1 Principio fundamental 42 
 3.1.2 Regla de los signos 43 
3.1.3 Reducción a la mínima expresión o simplificación de expresiones 43 
 
3.2 Operaciones con fracciones 44 
 3.2.1 Producto o multiplicación de fracciones 47 
 3.2.2 Cociente o división de fracciones 48 
3.2.3 Suma y resta de fracciones 48 
 
3.3 Fracciones complejas 52 
 
3.4 Problemas suplementarios 54
 
 
CAPÍTULO 4: ECUACIONES LINEALES 
 
4.1 Definiciones 59 
 4.1.1 Igualdad 
 4.1.2 Ecuación 
 4.1.3 Grado de una ecuación 
 
 
iii 
 
4.2 Solución de una ecuación 60 
 
4.2.1 Raíces de una ecuación 
 4.2.2 Ecuaciones equivalentes 
 
4.3 Solución de ecuaciones lineales con una incógnita 61 
 
4.4 Aplicaciones de ecuaciones lineales con una incógnita 65
 
4.4 Sistemas de ecuaciones lineales simultáneas 68
 
4.5 Métodos de solución 69 
 4.5.1 Eliminación por sustitución 69 
 4.5.2 Eliminación por igualación 71 
4.5.2 Método de reducción 72 
 
4.6 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 73 
 
4.7 Problemas suplementarios 76
 
 
CAPÍTULO 5: RADICALES 
 
5.1 Definiciones 79 
 5.1.1 Exponentes fraccionarios y radicales 
 5.1.2 Propiedades 
 
5.2 Operaciones con radicales 83 
 5.2.1 Suma y resta de radicales 83 
 5.2.2 Multiplicación de radicales 83 
 5.2.3 División de radicales 84 
5.2.4 Racionalización 86 
 
5.3 Problemas suplementarios 90
 
 
 
CAPÍTULO 6: ECUACIONES CUADRÁTICAS EN UNA VARIABLE 
 
6.1 Definición 96 
6.2 Métodos de solución 96 
 6.2.1 Por factorización 96 
 6.2.2 Completando el trinomio cuadrado perfecto 100 
6.2.3 Por fórmula general 102
 
 
iv 
 
 
6.3 Regla de signos de Descartes 104 
 
6.4 División sintética 105 
 
6.5 Problemas suplementarios 113 
 
CAPÍTULO 7: LOGARITMOS 
 
7.1 Definición 115 
 
7.2 Propiedades de los logaritmos 119 
 
7.3 Logaritmos comunes o de Brigss 122 
 
7.4 Logaritmos de cualquier base 122 
 
7.5 Relación entre logaritmos con bases distintas 122 
 
7.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 123 
 
7.7 Problemas suplementarios 126 
 
 
CAPÍTULO 8: TRIGONOMETRÍA 
 
8.1 Definición 130 
 
8.2 Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera 132 
 
8.3 Valores numéricos de las funciones trigonométricas   60 ,45 ,30 135 
 
8.4 Identidades trigonométricas 136 
 
8.5 Problemas suplementarios 140 
 
 
FUENTES DE INFORMACIÓN 142 
 
 
 
v 
 
INTRODUCCIÓN 
 
La experiencia de varios años en la impartición de diferentes materias del área de Ciencias 
Básicas, ha permitido observar que existe una fuerte deficiencia en los y las estudiantes de 
ingeniería en las bases matemáticas, particularmente en el álgebra. 
 
El álgebra es fundamental para el buen aprovechamiento de otras áreas de formación 
como son cálculo diferencial e integral, cálculo de varias variables, álgebra lineal, física, 
entre otras. 
 
Es importante mencionar que en ningún curso de la retícula de las diferentes carreras 
del Instituto Tecnológico de Mexicali (ITM), se contemplan conceptos del álgebra, ya que 
estos se estudian en nivel básico y medio superior. Motivo por el cual desde hace varios 
años se imparte Tópicos de Álgebra como curso propedéutico de matemáticas para los 
estudiantes que aspiran ingresar al ITM. 
 
Está dirigido a los y las estudiantes que estudian un curso de álgebra, a los y las 
docentes que lo imparteny en general a todo aquel interesado en aprender los 
conocimientos generales del álgebra. 
 
En tópicos de álgebra se presenta una recopilación de los temas más importantes y 
de mayor utilidad del álgebra. Se divide en 8 capítulos: operaciones fundamentales del 
álgebra, productos notables y factorización, fracciones, ecuaciones lineales, radicales, 
ecuaciones cuadráticas en una variable, logaritmos y trigonometría. Con el propósito de 
afianzar los conocimientos logrados, se proporciona al final de cada capítulo una serie de 
problemas suplementarios. 
 
Al docente le proporciona un concentrado de los temas más utilizados del álgebra 
facilitando el desarrollo de los mismos, ya que contiene una buena cantidad de ejemplos tipo. 
Los temas se exponen de una manera breve y sencilla con base en leyes y propiedades 
fundamentales según el tema analizado. 
 
Para él y la estudiante es una buena opción para el aprendizaje del álgebra, ya que es 
un manual de fácil lectura, utiliza lenguaje cotidiano y una cantidad suficiente de problemas 
resueltos, proporcionando con ello las herramientas para un rápido y mayor entendimiento 
del álgebra aún para el lector más inexperto. 
 
Para obtener un mejor aprovechamiento del contenido de este material se 
recomienda al estudiante, en primera instancia, la lectura concienzuda y sistemática de las 
leyes y propiedades básicas de cada capítulo, para posteriormente proceder al análisis 
detallado de los problemas resueltos, y finalmente resolver los problemas suplementarios 
propuestos al final de cada capítulo. 
 
 
 
 
vi 
 
 
AGRADECIMIENTOS: 
 
 
A la Ing. Flora Elena Morales Pérez y a las estudiantes de ingeniería química: Ana María 
Vázquez Espinoza, Alma Luz Picos y Olga Lydia Rubio Barco, por la ayuda brindada en la 
elaboración de los dos últimos capítulos de Tópicos de Álgebra. 
 
A los maestros y maestras que han utilizado Tópicos de Álgebra y nos han enviado sus 
observaciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
CAPÍTULO 1 
 
 OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL ÁLGEBRA 
 
 
1.1 DEFINICIONES 
 
Un número o una letra o varios números o letras, combinados entre sí, mediante una o más de 
las operaciones fundamentales del álgebra, recibe el nombre de expresiones algebraicas. 
 
Todo grupo de letras que en una expresión algebraica esté separado de otros grupos mediante 
los signos más o menos es un término. 
 
El coeficiente numérico es el número que acompaña a las letras en un término. 
 
El número de una expresión algebraica se llama término independiente. 
 
La potencia a la que está elevada la letra o variable se denomina exponente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El grado de una expresión algebraica, con respecto a una literal, es el mayor exponente de 
dicha literal. 
 
Actividad 1: Determinar el grado de la expresión algebraica: x y + 3 y x - z y x
5 2 2 
 
Es una expresión algebraica de: 
 
Quinto grado con respecto a x 
 
Segundo grado con respecto a y 
 
Primer grado con respecto a z 
 Coeficiente numérico 
 Exponente 
 Literal o variable 
Término independiente 
independiente 
 6 x2 + 2 x y + 10 
 
2 
 
1.2 TIPOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 
Monomio.- Es aquella expresión que contiene solamente un término: 5 x
2
 
Binomio.- Es aquella expresión que contiene dos términos: 5 x + 7 y2 
Trinomio.- Es aquella expresión que contiene tres términos: 5 x + 7 y + 3 x2 
 
En general, las expresiones que contienen más de tres términos se llaman multinomios o 
polinomios. 
 
Cuando una expresión algebraica contiene términos con las mismas letras o variables y diferente 
o igual coeficiente numérico se les llama términos semejantes. 
 
 
1.3 OPERACIONES ALGEBRAICAS 
 
 
1. 3. 1 Valor absoluto 
 
DEFINCIÓN: 
 
 
El valor absoluto de x , denotado por x , se define como: 
 
 x = 
x si x 0
0 si x = 0
- x si x 0







 
 
 
 
Actividad 2: Obtener el valor absoluto. 
 
a) 3 = 3 
 
b) 5 - = - (- 5) = 5 
 
c) 13 - 8 = - 5 = - (- 5) = 5 
 
d) Sea a < 0 b - a = - (a - b) = b - a 
 
 
 
 
3 
 
1. 3. 2 Adición y sustracción 
 
Se considerará a la sustracción como un caso especial de adición, para lo cual se define la 
operación de adición como: 
 
DEFINICIÓN: 
 
La suma o adición algebraica de dos números con el mismo signo es la suma de los valores 
ABSOLUTOS de los dos números, precedida de su signo común. 
 
La suma algebraica de dos números con signo diferente es la diferencia o sustracción de los 
valores ABSOLUTOS de los números, precedida por el signo del número de mayor valor 
absoluto. 
 
Las cantidades que participan en la adición se llaman sumandos. 
 
1. 3. 2. 1 Símbolos de agrupación 
 
DEFINICIÓN: 
 
Cuando un grupo de términos en una expresión algebraica van a ser considerados como un 
solo número, se encierran en paréntesis ( ), corchetes [ ] y/o llaves { }. 
 
Estos símbolos indican también orden de prioridad de las operaciones fundamentales. 
 
Al simplificar alguna expresión algebraica se requiere eliminar símbolos de agrupación. 
 
La eliminación de los símbolos de agrupación debe seguir las siguientes reglas: 
 
 
1.- Si el símbolo de agrupamiento está precedido por el signo “+” dicho símbolo puede ser 
eliminado sin modificar los términos que contiene. 
 
2.- Si el símbolo de agrupamiento está precedido por el signo “-” dicho símbolo puede ser 
eliminado cambiando el signo de cada uno de los términos que contiene. 
 
3.- Cuando una expresión algebraica contiene uno o más pares de símbolos de agrupación, 
encerrado en otro par, para eliminarlos se comienza con los símbolos interiores. 
 
4.- Cuando una expresión algebraica contiene símbolos de agrupación que indican 
multiplicación, suma y resta al mismo nivel, la primera operación que debe efectuarse es la 
multiplicación. 
 
 
 
4 
 
Actividad 3: Sumar los siguientes términos. 
 
 
a) 3 a
2
 b + 2 a
2
 b = 5 a
2
 b (mismo signo) 
 
 
b) 6 x y - 8 x y = - 2 x y (signo diferente) 
 
 
c) 5 x
3
 y - 7 x
3
 y = - 2 x
3
 y 
 
 
d) 12 x y + 4 a = 12 x y + 4 a 
 
 
e) 3 x y + (- 5 x y) = 3 x y - 5 x y = - 2 x y 
 
 
f) 2 + (7 + 8) = 2 + 7 + 8 = 17 
 
 
g) 13 - (7 + 1 - 2) = 13 - 7 - 1 + 2 = 7 
 
 
h) 2 - {3 a + a - [5 + 7 + (a + 2 a)]} = 2 - {4 a - [12 + a + 2 a]} 
 = 2 - {4 a - [12 + 3 a]} 
 = 2 - {4 a - 12 - 3 a} 
 = 2 - {a - 12} 
 = 2 - a + 12 
 = 14 - a 
 
1. 3. 2. 2 Propiedades 
 
 
 
La adición es: 
 
- Conmutativa, es decir a + b = b + a 
 
- Asociativa, es decir a + (b + c) = (a + b) + c 
 
- Permite la existencia del inverso aditivo. Para todo “a” existe “ - a” tal que a + (-a) = 0 
 
 
 
 
5 
 
Actividad 4: Sumar los siguientes multinomios. 
 
a) 3 x
2
 + x - 1 sumando 
 2 x
2
 - 3 x + 2 sumando 
 - x
2
 + 4 x - 3 sumando 
 4 x
2
 + 2 x - 2 suma 
 
 
b) x
3
 + 2 x
2
 - 5 x + 7 ; - 5 x
2
 + 3 + 4 x
3
 (sumandos) 
 
(x
3
 + 2 x
2
 - 5 x + 7) + (- 5 x
2
 + 3 + 4 x
3
) = x
3
 + 2 x
2
 - 5 x + 7 - 5 x
2
 + 3 + 4 x
3
 
 = (1 + 4) x
3
 + (2 - 5) x
2
 + (-5) x + ( 7 + 3) 
 = 5 x
3
 - 3 x
2
 -5 x + 10 
 
 
c) 4 n - 3 a + 6 t; -3 t + 2 a - 5 n; 3 a - 4 n + 3 t 
 
 4 n - 3 a + 6 t 
 - 5 n + 2 a - 3 t 
 - 4 n + 3 a + 3 t 
 - 5 n + 2 a + 6 t 
 
 
Actividad 5: Restar los siguientes multinomios. 
 
a) 3 x - 5 y + 7 z de 5 x + 2 y - 3 z 
 
 5 x + 2 y - 3 z Minuendo 
 - (3 x - 5 y + 7 z) Sustraendo 
 2 x + 7 y - 10 z Restab) 4 x
3
 - 5 x
2
 + 3 de x
3
 + 2 x
2
 - 5 x + 7 
 
(x
3
 + 2 x
2
 - 5 x + 7) - (4 x
3
 - 5 x
2
 + 3) = x
3
 + 2 x
2
 - 5 x + 7 - 4 x
3
 + 5 x
2
 - 3 
 = (1 - 4) x
3
 + ( 2 + 5) x
2
 + (- 5) x + (7 - 3) 
 = - 3 x
3
 + 7 x
2
 - 5 x + 4 
 
 
c) 3 a - 5 b + 7 c de 5 a + 2 b - 3 c 
 
5 a + 2 b - 3 c - (3 a - 5 b + 7 c) = 5 a + 2 b - 3 c - 3 a + 5 b - 7 c 
 = 2 a + 7 b - 10 c 
 
 
 
6 
 
1. 3. 3 Producto o multiplicación 
 
El producto de dos números a y b se puede denotar como a x b, a . b, ab. Cada uno de los 
números que aparecen en el producto se llaman factores. 
 
Ejemplo: 
 
6 a b = 3 x 2 x a x b x 1 entonces: 
3, 2, 6, 3a, 2a, 3b, 6a, 6b, 1, ab, son factores de 6 a b. 
 
 
DEFINICIÓN: 
 
 
Cualquier número que no tenga otro factor que el mismo y la unidad se llama número 
PRIMO. 
 
 
 
1. 3. 3. 1 Propiedades 
 
DEFINICIÓN: 
 
 
La multiplicación de dos factores es conmutativa, esto es: 
 
a  b = b  a 
 a b = b a 
 
La multiplicación es asociativa, esto es: 
 
a (b c) = (a b) c 
 
La multiplicación es distributiva con respecto a la adición, esto es: 
 
a (b + c) = a b + a c 
 
 
 
En la multiplicación es de suma importancia dominar las leyes de los signos y las leyes de los 
exponentes. 
 
 
 
 
7 
 
1. 3. 3. 2 Leyes de los signos 
 
 
El producto de dos números con signo igual es positivo, caso contrario es negativo. 
 
(-) (-) = + (-) (+) = - 
 
(+) (+) = + (+) (-) = - 
 
 
 
1. 3. 3. 3 Leyes de los exponentes 
 
 
Si a y b son números reales y m y n son enteros positivos entonces: 
 
i) a
m
 a
n
 = a
m + n 
ii) (a
m
)
n
 = a
m n
 
iii) (a b)
n
 = a
n
 b
n 
 
 
 
Actividad 6: Simplificar cada una de las siguientes expresiones: 
 
a) a a = a
2
 
 
 
b) (3 x
3
 y
4
) (4 x y
5
) = (3) (4) x
3
 x y
4
 y
5
 = 12 x
4
 y
9
 
 
 
c) 3
2
 5
2
 = [(3) (5)]
2
 = (15)
2
 = 225 
 
 
d) - (- 3 x
2
 y
4
 z) (4 x
2
 y
3
 z
4
) = - (- 3) (4) x
2
 x
2
 y
4
 y
3
 z z
4
 = - (-12 x
4
 y
7
 z
5
) 
 = 12 x
4
 y
7
 z
5
 
 
e)      - 3 x y z 2 x y y z2 4 2 = (- 3) (2) x2 x y4 y y z z2 = - 6 x3 y6 z3 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
1. 3. 3. 4 Multiplicación de multinomios 
 
 
Por la propiedad distributiva de la multiplicación, el producto de un monomio por un 
multinomio es la suma del monomio por cada término del multinomio. Así el producto de 
dos multinomios es igual a la suma de los productos obtenidos al multiplicar cada término 
del multinomio por cada término del otro. 
 
 
Actividad 7: Multiplicar los siguientes multinomios. 
 
a) Multiplicar 3 x - 2 x y + 4 y
2 2 por x
3
 - 2 x
2
 y + x y
2
 - 3 y
3
 
 
 3 x
2
 - 2 x y + 4 y
2
 
 x
3
 - 2 x
2
 y + x y
2
 - 3 y
3
 
 3 x
5
 - 6 x
4
 y + 3 x
3
 y
2
 - 9 x
2
 y
3
 
 - 2 x
4
 y + 4 x
3
 y
2
 - 2 x
2
 y
3
 + 6 x y
4
 
 + 4 x
3
 y
2
 - 8 x
2
 y
3
 + 4 x y
4
 - 12 y
5
 
 
 3 x
5
 - 8 x
4
 y +11 x
3
 y
2
 -19 x
2
 y
3
 +10 x y
4
 - 12 y
5
 
 
 
b) Multiplicar x
2
 - x y - y
2
 por x
2
 + x y + y
2
 
 
 x
2
 - x y - y
2
 
 x
2
 + x y + y
2
 
 x
4
 - x
3
 y - x
2
 y
2
 
 + x
3
 y - x
2
 y
2
 - x y
3 
 + x
2
 y
2
 - x y
3
 - y
4
 
 
 x
4
 - x
2
 y
2
 - 2 x y
3
 - y
4
 
 
 
 
c) Multiplicar - 3 x + 9 + x
2
 por 3 - x 
 
 - 3 x + 9 + x
2
 
 3 - x 
 - 9 x + 27 + 3 x
2
 
 - 9 x + 3 x
2
 - x
3
 
 
 - 18 x + 27 + 6 x
2
 - x
3
 
 
 
 
 
9 
 
1. 3. 3. 5 Símbolos de agrupación 
 
Estos permiten establecer operaciones a realizar y la prioridad de las mismas. 
 
Por el axioma de asociatividad, se pueden omitir los símbolos de agrupación y combinar los 
términos en el orden que se desee, teniendo presente que la multiplicación tiene prioridad sobre 
la suma o sustracción. 
 
Actividad 8: Eliminar los símbolos de agrupación. 
 
 
a) - 5[2(5b + 3y - 3) - 3(b – 2y + 4)] = - 5[10b + 6y - 6 - 3b + 6y - 12] 
 = - 5[7b + 12y - 18] 
 = - 35b - 60y + 90 
 
b) 2 a [3 a - b (3 a - b) - 3 a - b
2
] = 2 a [3 a - 3 a b + b
2
 - 3 a - b
2
] 
 = 2 a [ - 3 a b ] 
 = - 6 a
2
 b 
c) 2 x - {3 x + [4 x - (x - 2 y) + 3 y] - 4 y} - 2 y 
 = 2 x - {3 x + [4 x - x + 2 y + 3 y] - 4 y} - 2 y 
 = 2 x - {3 x + [3 x + 5 y ] - 4 y} - 2 y 
 = 2 x - {3 x + 3 x + 5 y - 4 y} - 2 y 
 = 2 x - {6 x + y } - 2 y 
 = 2 x - 6 x - y - 2 y 
 = - 4 x - 3 y 
 
 
d) - 2 {2 x - [3 y + (4z - 2)]} = - 2 {2 x - [3 y + 4z - 2]} 
 = - 2 {2 x - 3 y - 4z +2} 
 = - 4 x + 6 y + 8 z - 4 
 
 
e) 4 x - {3 y + [4x - (3 y - 4 x) - 3 y] - 4 x} - 3 y 
 = 4 x - {3 y + [4x - 3 y + 4 x - 3 y] - 4 x} - 3 y 
 = 4 x - {3 y + [8x - 6 y ] - 4 x} - 3 y 
 = 4 x - {3 y + 8x - 6 y - 4 x} - 3 y 
 = 4 x - {- 3 y + 4x } - 3 y 
 = 4 x + 3 y - 4x - 3 y 
 = 0 
 
 
 
 
 
 
10 
 
1. 3. 4 Cociente o división 
 
Si a y b son números y si b  0, la división de a entre b se denota por a  b o 
a
b
 . Donde a 
es el dividendo (numerador), b el divisor (denominador), al resultado de la operación se le 
llama cociente y residuo a lo que queda de la misma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La división se puede definir por la propiedad de la multiplicación denominada existencia y 
unicidad del inverso multiplicativo. 
 
 
 
Si a es un número diferente de cero, hay uno y sólo un elemento, al que se denota por a 
- 1
, 
tal que: 
a  a 
- 1
 = a 
- 1 
 a 
 
 a 
1
a
 = 1 = 
1
a
 a = 
a
a











 
 
 
Se pueden establecer las leyes de los signos y de los exponentes para la división, de manera 
similar que para la multiplicación. 
 
1. 3. 4. 1 Leyes de los signos 
 
El cociente de dos números del mismo signo es positivo, caso contrario es negativo. 
-
-
 = + 
+
+
 = +
-
+
 = - 
+
-
 = -
 
Dividendo Divisor 
Cociente 
 Residuo 
 
11 
 
1. 3. 4. 2 Leyes de los exponentes 
 
Si a y b son números reales con b 0 y m y n son enteros positivos entonces: 
 
 
 i) = 
ii) = a
iii) 
a
 = a = a = 1
- n
n
- n 0
a
b
a
b
a
a
a
n n
n
m
n
m 
n
n 






 
 
 
Actividad 9: Simplificar los siguientes cocientes. 
 
 
a) 12 a b entre 3 a b
7 6 2 4
 
 
 
12 a b
 a b
 = 4 a b = 4 a b
7 6
2 4
7 - 2 6 - 4 5 2
3
 
 
 
b) 18 a b c entre 6 a b c
9 8 3 6 5
 
 
 
18 a b c
 b c
 = 3 a b c = 3 a b c
9 8 3
6 5
9 - 6 8 - 5 3 - 1 3 3 2
6 a
 
 
 
Actividad 10: Elevar el cociente a la potencia indicada y simplificar el resultado. 
 
a) 
2 x
 y
2
33
4





 
 
 
 
 
= 
2 x
 y
 = 
2 x
 y
 = 
16 x
 y
 = 
16 x
 y
2
3
4 2
3
2.4
3.4
8
12
4
4
4
4
4
3 3 81 81
 
 
 
b) 
3 x y
 z
2 3
2
4





 
 
 
   
 
= 
3 x y
2 z
 = 
3 x y
 z
 = 
81 x y
 z
 
2 3 4 2 3 8 12
4
4
4
4 4
4 42 16
 
 
 
 
12 
 
1. 3. 5 División de multinomios 
 
Para dividir un multinomio entre otro multinomio el gradodel divisor debe ser menor o igual 
que el del dividendo. 
 
De ser así se efectúan los siguientes pasos: 
 
1. Tanto el dividendo como el divisor se disponen en orden ascendente o descendente de las 
potencias de alguna literal que aparezca en ambos. 
 
 
Ejemplo: Dividir 6 x + 6 x + 7 x + 32 x entre 3 x - 2 + 5 x
4 2 3 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Dividir el primer término del dividendo por el primer término del divisor, obteniéndose así el 
primer término del cociente. 
 
6 x
3 x
 = 2 x
4
2
2
 
 
 
3. Multiplicar el divisor por el primer término del cociente y el producto obtenido se sustrae del 
dividendo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. El residuo obtenido en el paso anterior se trata como un nuevo dividendo y se repiten los 
pasos 2 y 3. Continuando este proceso hasta obtener un residuo en el cual el mayor 
exponente de la variable seleccionada sea menor que el mayor exponente del divisor. 
 
 
6 x
4
 + 7 x
3 
+ 6 x
2
 + 32 x 3 x
2
 + 5 x - 2 
2 x
2
 
6 x
4
 + 7 x
3 
+ 6 x
2
 + 32 x 3 x
2
 + 5 x - 2 
 Residuo 
2 x
2
 
 
- (6 x
4
 + 10 x
3 
- 4 x
2
) 
 - 3 x
3
 + 10 x
2
 + 32 x 
6 x
4
 + 7 x
3 
+ 6 x
2
 + 32 x 3 x2 + 5 x - 2 
 Dividendo Divisor 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. El resultado se expresa como: 
Dividendo
Divisor
 = Cociente + 
Residuo final
Divisor
 
 
Para el ejemplo dado:
 
6 x + 7 x + 6 x + 32 x
3 x + 5 x - 2
 = 2 x - x + 5 + 
5 x + 10
 3 x + 5 x - 2
4 3 2
2
2
2
 
 
 
Actividad 11: Realizar la división de multinomios indicada. 
a) Dividir x - 16 y entre x - 2 y
4 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 x
4
 + 7 x
3 
+ 6 x
2
 + 32 x 3 x2 + 5 x - 2 
2 x
2
 - x + 5 
 
- (6 x
4
 + 10 x
3 
- 4 x
2
) 
- 3 x
3
 + 10 x
2
 + 32 x 
- (- 3 x
3
 - 5 x
2
 + 2 x) 
15 x
2
 + 30 x 
 - (15 x
2
 + 25 x - 10) 
 5 x + 10 
 Residuo final 
 x4 + 0 x3 + 0 x2 + 0 x - 16 y4 x - 2 y 
x
3
 + 2 x
2
 y + 4 x y
2
 + 8 y
3
 
 - x
4
 + 2 x
3 
 y 
 2 x3 y + 0 x2 + 0 x - 16 y4 
 - 2 x3 y + 4 x2 y2 
4 x
2
 y
2
 + 0 x
2
 + 0 x - 16 y
4
 
 0 
0 
 - 4 x2 y2 + 8 x y3 
 8 x y3 + 0 x2 + 0 x - 16 y4 
 - 8 x y3 + 0 x2 + 0 x +16 y4 
 
14 
 
 x - 16 y
 x - 2 y
 = x + 2 x y + 4 x y + 8 y + 
0
 x - 2 y
4 4
3 2 2 3 
 
 x - 16 y
 x - 2 y
 = x + 2 x y + 4 x y + 8 y 
4 4
3 2 2 3 
 
 
 
b) Dividir 6 x - 7 x - 15 x + 2 x + 2 entre 3 x + 1 
4 3 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El resultado es: 
 
 
 
 
6 x - 7 x - 15 x + 2 x + 2
3 x + 1
 = 2 x - 3 x - 4 x + 2 - 
0
 3 x + 1
4 3 2
3 2
 
 
 
 
 
 
6 x - 7 x - 15 x + 2 x + 2
3 x + 1
 = 2 x - 3 x - 4 x + 2 
4 3 2
3 2
 
 
 
6 x
4
 - 7 x
3 
- 15 x
2
 + 2 x + 2 3 x + 1 
2 x
3
 - 3 x
2
 - 4 x + 2 
 
 - (6 x
4
 + 2 x
3 
) 
- 9 x
3
 - 15 x
2
 + 2 x + 2 
- (- 9 x
3
 - 3 x
2
 ) 
 - 12 x2 + 2 x + 2 
 - (-12 x
2
 - 4 x) 
 6 x + 2 
 - (6 x + 2) 
 0 
 
15 
 
1. 4 P R O B L E M A S S U P L E M E N T A R I O S 
 
CAPÍTULO 1 
 
OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL ÁLGEBBRA 
 
1.- Realice las operaciones indicadas. 
 
a) 3 + 5 + 2 
b) 5 - 2 - 1 
c) 11 - 6 - 2 + 1 
d) 7 + (- 2) - (+ 3) 
e) - (4) - (4) - (- 4) - (- 4) 
f)7 - (- 8) + (- 9) 
 
2.- Realice las operaciones indicadas. 
 
a) 2 x + 3 x - 4 x 
b) 2 b - 5 b - 7 b 
c) 5 a - 7 a - 2 a 
d) 9 y - 6 y + 2 y 
e) a - 3 b + 5 a +6 b 
f) - 4 x - 7 y + 2 x + 5 y 
g) 5 s - 2 t - 3 s - t 
h) 9 v - 6 w - 11 v + 11 w 
i) a + b - c + b + c + 2 c + a 
j) a + b - c - b + 2 c - a 
k) - 8 x + 9 y - 3 z + 6 y + 8 x + x - 5 y 
l) 15 a b + 6 x y - 8 a b - 2 x y + 3 x y + 5 a b 
m) 6 x y - 2 a b + 3 y x + 3 b a 
n) 15 a - 6 a b - 8 a + 20 - 5 a b - 31 + a - a b
2 2 2
 
o) - 3 a - 4 b - 6 a + 8 b - 11 a - 2 b - 3 a + b - a
2 2 2 2
 
p) 7 a - 8 a + 5 a + 4 a - 4 ba + a
3 3 3 3 3 2b b b b b2 2 
 
3.- Sume las siguientes expresiones. 
 
a) 2 a - b - 3 c ; a + 5 b - 2 c 
b) 2 x - y + 3 z ; 4 x - 3 y + 2 z 
c) 4 r - 2 s - 6 t ; 3 r + 5 s + 2 t 
d) 2 a - b - 3 c ; a + 5 b - 2 c ; 3 a - 2 b + 4 c 
e) 2 s + 3 t - 4 u ; 3 s - 2 t + 3 u ; - 4 s - 5 t 
f) 4 n - 3 m + 6 p ; - 3 p + 2 m - 5 n ; 3 m - 4 n + 3 p 
g) xy - 2 x z ; 3 x y + 2 z x ; - 4 y x - 3 x z 
 
16 
 
h) x ; 2x ; - 4x3 2 3y x y y x y y x y2 2 2 2 3 2 2 2 22 3 3   
i y x y y xy y y) x ; - 5x ; - 4xy ; - 4x3 3 3 22 2 2 3 2 26 6    
j ax x x ax x a x x ax x) a ; 5a ; 3a ; a 3 2 3 3       8 6 5 142 3 2 3 2 3 2 3 
k) -8a ; a ; - 4a ; 7a2 3 3 2m am m m a m ma am m am      6 5 4 3 42 3 2 3 2 2 2 
l) a ; - 3a ; a ; a
 m - 4m ; m ; - 2m
 a ; -5ab + ab ; 8ba - b
 x ; 5x ; 7x ; 2x
x+2 x+2 x x
3 2 3 3
2 2 2
a a+2 a+3 a
      
       
   
   
    
   
a a a a a a a
m n m n ; n mn n n mn m n n
n ab b b a
o x x x x
x x x x x x x
a a a a
3 3 2 3 2
3 2 2 3 3 2 2 3
2 2 2
2 2 2 3
2 4 5
6 5 6 2
3 2
3 6 13
)
)
)
 
 
4.- Reste la segunda expresión de la primera. 
 
a) 25 ; 13 
b) 24 ; - 10 
c) - 17 ; 6 
d) 6 ; - 17 
e) 5a ; 3 a 
f) - 5 b ; 3 b 
g) 2 a - b ; a + b 
h) 3 y + 2 h ; 2 y + 3 h 
i) 2 x + 3 y + 5 z ; x + 2 y + 4 z 
j) 5 m - 3n + 2 p ; - 3 m + 2 n - p 
k) a + b ; a - b 
l) 2 x y - 3 y z ; - x y + 2 y z 
m) 1830mn14mn13m- ; 19n10mnmm
3322332233  
n) 5de+5cd-8ab+4ac- ; 3cd-2ac+ab 
o) 3223333 20yy6xy8x- ; 11y9xyx  
p) x - y - z ; x - y + z 
q)
3223 6r4321r11r- ; 196r9rr  
r) 5 a - 4 b - 3 c ; - 5 a + 4 b + 3 c 
 
5.- Realice los productos indicados. 
 
a) (a x) (2 b y) 
b) (a
 (b
 (3a
 (2x
2
2
2
3
)( )
) )( )
) )( )
) )( )
a
c ab
d a
e x
3
4
5
2
4
 
f) (2 a b ) ( 6 b a) 
 
17 
 
g) (3v
 (3x
3
7
w v w
h y z x y z
2 4 3
4 2 2 3 3
2
5
)( )
) )( )
 
i) (2a b )(3a c)(bc ) 2 3 2 3 
j y xz y
k n m
l
) )( )( )
) )( )
) )
 (2x
 (-m
 (a) (- 3 a) (a
2
2
2
3 2
2
3 5
3 
m) (5s2 )( )( ) 3 23 2tu su 
n) (a b) (- a b) 
y))(3cd(c q)
)rs)(s(-4r p)
z)4y)(2xzy)((-3x o)
232
222
222


 
r) (3 w) (2 v z) (- 3) 
s) 5(a2y x2 26)( ) 
t) 2 (a b c) (- 2 b c a) (2 c b a) 
 
6.- Realice los productos indicados. 
 
a) (3x
 (8v
 (x
 (R
 (a
3
2
2
2
3
 

  
 
 
x x
b w w av
c x x
d RS S RS
e a a ab
2
2 3
2
2
2
3 2
4 3 2
4 2
4 6 3
)( )
) )( )
) )( )
) )( )
) )( )
 
f) (s
 (a
5
2
 
  
6 8 3
2
3 2 2
2
s s a s
g a b ab
)( )
) )( )
 
h) (m
 (x
4
3
  
 
2 7 4
4 6
2 2 4 3
2 2 3
m n n m x
i x y xy ax y
)( )
) )( )
 
j) (c
 (a
3
n
  
   
5 8 4
2
2 2 2
1 2
c d cd c
k a a an n
)( )
) )( )
 
l) (x
 (a
m+1
m
 
 

   
3 3
3
1 2
1 1 2 2 2
x x x
m b a b a b a b
m m m
n m n m n
)( )
) )( )
 
n) (x
 (-3w
4
3
    
  
6 8 7 5 3
5 7 4 5
3 2 2 3
2 2 3 2 2
x x x a x
o w z wz z a wz
)( )
) )( )
 
 
 
18 
 
7.- Elimine los símbolos de agrupación y simplifique realizando las operaciones 
indicadas. 
 
a) 2 a + [a - (a +b)] 
b) 3 x - [x + y - (2 x + y)] 
c) 2 m - [(m - n) - (m + n)] 
      
     
d) 4x
 a + -2a + b
2        
    
x xy y xy x y
e a b c a
2 2 2 23 2 3
)
 
          
       
f) - - - a + b
 7m2
      
         
b a c
g m n n m n) 2 23 5 3 2 3
 
       
      
h) - 3m + n
i) - -3v - w + -v + 2v - w
       
    
2 2 2 5 6
3 4
m m m n n
v w w v
 
     j) - x2        y xy x xy y xy2 2 22 3 
k) a (2 a - b) - 2 b (a - b) + a b ( a + 3) 
l) 2 x ( x + y) - 3 y ((2 x - y) + x y (2 - y) 
     m) vw v - 3w    v w v w v w2 23 
     
  
n) c c
 2x
2
2
    
   
d d cd d c c d
o x x y x y y
2 2
2
2
3 2 2)
 
  p) 8a 3    2 2 2a b a b a b 
q) 2 a + 3[a - 2 a (a + b)] 
     r) a + 3 -2a + b     2bc a b c a 
     s) - xy x2        y xy y x xy y xy2 2 2 22 3 
 
8.- Realice los productos indicados. 
 
a) (a + 2 b) (2 a - b) 
b) (4 x - a) (2 x + 3 a) 
c) (a + 2 b) (a
2  3 2ab b ) 
  
  22
22
y5xyx2y-3xe)
w2vwvw-2v d)


 
  3223 3b4abb4aab-a f)  
  3222 y3xyyx2xy-2x g)  
  h) a2    a a a2 13 
 
19 
 
  i xy y x xy y) x2    2 2 2 
  j) r2    2 3 22 2 2rs s r rs s 
  
  
k) x
 a
3
2
    
    
x x x x
l ab b c a b c
2 2
2 2
1 1
2)
 
  
  
m) m
 a a
3
x m
   
 
3 2 2 82 2 2 2m n mn m mn n
n b bx m)
 
  
o) (x
 a
a-1
x-1
     
 
     

2 2 3 4 3 1 2
1
x x x x x x
p b a b
a a a a a a
n
)( )
)
 
  
  1223a )
1a q)
212-m
21x




aaaar
aaa
mm
xx
 
  64326432 22x s) yxyxyxy  
 
9.- Realice los cocientes indicados. 
 
a 
a 5 -
 b)
8
24 -
 a)
2

 
6
9
2
7
t
t
 )
x
x
 c)
d
 
3
9
2
8
3x
9x
 )
2x
8x
 e)
f
 
g) 
16m
 
-2m
6
2
n
n m
h
n
m n
4
3 2
6
2 6
5
)
 
i) 
-a8b c
a b c
9 4
5 2
 
 
20 
 
j) 
15x2y z
x y z
5 7
4 3 95
 
k) 
6a6b c
a b c
5
9 8 318
 
l) 
18s
 
54x
2
2
t u
s t u
m
y z
xyz
3 2
3 7 4
3 4
24
)

 
n) 
-a
 
-3m
x
a


a
o
n p
m n p
x
x
2
3
2 35
)
 
p) 
-6xy2z
yz
3
24
 
 
10.- Realice los cocientes indicados. 
 
a) 3a 3a
b) s s
c) 3x - 3x
3
2
2 2
  
 
 
6 9
5
2 2
3 2 4
a b ab
st 
y a x
 
d) 
3a
 
8m
3
9
 

  
5 6
2
10 20 12
2
2 2 3
2 7 4 5 6 3 8
2
ab a b
a
e
n m n m n m n
m
)
 
f) 
6w
 
6a
3
8
 

 
8 20
2
3
3
2 2
4
8 6 6 2 3
2 3
w v wv
w
g
b a b a b
a b
)
 
h) 
x4   

5 10 15
5
3 2x x x
x
 
i
b a b a b
a b
n m n m n
) 
am     3 2 2 4
2 3
 
j
x x x
x
m m m
m
) 
xm+2    

5 6 1 1
2
 
 
 
 
 
21 
 
11.- Realice las siguientes divisiones entre polinomios. 
 
 RESPUESTA 
a) 
2x
 2x - 3
2  

7 6
2
x
x
 
b) 
2a
 a - 3
c) 
2a
 a - 2b
2
2
 

 

a
a
ab b
a b
15
2 5
3 2
2
2
 
d) 
3y
 3y - 2
e) 
2z
 2z - 3z + 2
3
3
2
  
 
  

y y
y y
z z
z
2
2
2
7 6
3
9 11 6
3
 
 
f) 
2t
 t - 3
g) 
2x
 x
3
3
2
    
 
  

  

6 3 9 3
2 3
4 8 2
2 3
7
2
5
4
23
4 2 3
2 2 2 2
2 2
2
t t s ts ts s
t ts s
x x
x
x
x
 
h) 
3r
 3r - 2 -
2r + 3
r
3
2
  
   
5 3 1
1 1
2
2
r r
r r r
 
i
y
x y
x y x y x y x y xy y) 
x
 x
7
6

     
7
5 4 2 3 3 2 4 5 6
j
y
x y
x y x y x y x y xy y) 
x
 x
7
6

     
7
5 4 2 3 3 2 4 5 6
k) 
y
 y
4
2  
 
 
3 3 1
1
2 1
3
2
y y
y y
y 
l) 
t
 t + 2
m) 
x
 x - 2
4
4
  
  
   
  
t t
t t t
x x x
x x x
2
3 2
3 2
3 2
7 2
2 3 1
4 7 2
2 3 1
 
n) 
4a
 4a
3
2  

  

5 3 2
1
9 12
14
1
2a a
a
a
a
 
 
 
12.- Escriba sin denominadores las siguientes expresiones. 
 
a) 
2a2
b8
 
 
22 
 
b) 
v3
w2
 
c) 
x
d) 
vw
2
-2
z y
v w
3 2
2 3
 
e) 
82 r s
r s
 
 
3 1
3 1 24
 
 
 
13.- Simplifique las siguientes expresiones y exprese el resultado sin exponentes 
negativos. 
 
a) a
b) b
-2
-1
x
y2
 
c) 
2x-3y
x y

 
1
1 2 34
 
d) 
3-2 x y
x y
 
 
2 3
1 2 59
 
 e) 
x-2
y3
2







 
f) 
t4
s






3
2
 
 g) q
h) 
8
3
-1
p
n y
m y
2
3
2 3
2 1
3
4

 
 






 
i) 
6-2 r s
r
3 2
4 1
3
3 






 
j) b-1 
3
2b
 
k) 
v-1
w
w
v

1
 
l) 
m
m
-2
-2
 n 3
 
 
23 
 
m) 
s-2 

 
  
r s
r s r
2 1
1 2 2
 
n) 
a-1b a b
b a b a
  
   

 
2 2 1
2 1 1 2
2
2
 
       o) - 3 h -1 4 4 3 32 4 1 2h h h     
         p) 3 2m + 3 + 2 2m + 3       1 2 2 2 13 2 2 2 3 3 2m m m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
CAPÍTULO 2 
 
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN 
 
Ciertos productos ocurren con tal frecuencia en álgebra que merecen atención especial. A estos 
se les llaman productos notables. 
 
 
2.1 TIPOS DE PRODUCTOS NOTABLES 
 
 
2.1.1 Producto de binomios 
 
 
 (a x + b) (c x + d) = a c x
2
 + (a d + b c)x + b d 
 
 
2.1.2 Producto de binomios conjugados 
 
 
 (x + y) (x - y) = x
2
 - y
2
 
 
 
2.1.3 Binomio al cuadrado 
 
 
 (x + y)
2
 = x
2
 + 2 x y + y
2
 
 
 (x - y)
2
 = x
2
 - 2 x y + y
2
 
 
 
2.1.4 Binomio al cubo 
 
 
 (x + y)
3
 = x
3
 + 3 x
2
 y + 3 x y
2
 + y
3
 
 
 (x - y)
3
 = x
3
 - 3 x
2
 y + 3 x y
2
 - y
3
 
 
 
 
Actividad 1: Realizar las siguientes operaciones utilizando productos notables. 
 
a) (4 b + 1) (b + 2) = 4 b
2
 + (8 +1) b + 2 = 4 b
2
 + 9 b + 2 
 
 
25 
 
b) (7 x - 1) (x + 2) = 7 x
2
 + (14 - 1) x - 2 = 7 x
2
 + 13 x - 2 
 
 
 
c) (12 - x) (12 + x) = (12)
2
 - x
2
 = 144 - x
2
 
 
 
 
d) (x - h) (x + h) = x
2
 - h
2
 
 
 
e) [(3 x + 1) - 7] [(3x + 1) + 7] =  3 x + 1 - 7 = 9 x + 6 x + 1 - 492 22 
 = 9 x
2
 + 6 x - 48 
 
 
f) [(7 x
2
 - 1) - (m
4
 + 1)] [(7 x
2
 - 1) + (m
4
 + 1)] = (7 x
2
 - 1)
2
 - (m
4
 + 1)
2
 
 = 49 x
4
 - 14 x
2
 + 1 - (m
8
 + 2 m
4
 + 1) 
 = 49 x
4
 - 14 x
2
 + 1 - m
8
 - 2 m
4
 - 1 
 = 49 x
4
 - 14 x
2
 - m
8
 - 2 m
4
 
 
 
g) [(4 x + 1) - 4]
2 = (4 x + 1)
2
 - 2 (4) (4 x + 1) + 16 
 = (4 x + 1)
2
 - 8 (4 x + 1) + 16 
 = 16 x
2
 + 8 x + 1 -32 x - 8 + 16 
 = 16 x
2
 - 24 x + 9 
 
 
h)  2
3
 x - 3 = 8 x - 36 x + 54 x - 27
3 2
 
 
 
i)  x2
3
 - c = x - 3 x c + 3 c x - c
6 4 2 2 3
 
 
 
j)  x + y + z
2
 = x + 2 x y + 2 x z + y + 2 y z + z2 2 2 
 
 
 
FACTORIZACIÓN DE UN MULTINOMIO 
 
 
Es la representación del multinomio como producto de factores primos. 
 
 
26 
 
2.2 TIPOS DE FACTORIZACIÓN 
 
2.2.1 Multinomios que tienen un factor común 
 
Si cada término de un multinomio es divisible por un mismo monomio, el multinomio se 
puede factorizar dividiendo y multiplicando por el monomio. 
 
Actividad 2: Factorizar los siguientes multinomios. 
 
a) a b + a c + a d = 





a
d a + c a + b a
 a equivale a multiplicar por 1 
 
 d + c + b a =
a
d a
 + 
a
c a
 + 
a
b a
 a = 





 
 
 
b) 3 x3
 - 15 x
2
 + 9 x = 








x 3
 x9 + x15 - x3
 x 3
23
 
 
 
 3 + x 5 - x x 3 =
 x3
 x9
 + 
 x3
 x15
 - 
 x3
 x3
 x 3 =
2
23








 
 
 
c) (2 m - n) 3 r + (2 m - n) 4 s - (2 m - n) (4 t - s) 
 
      
 
 
 
 
 
 
  
 
    s - t 4 - s 4 +r 3 n - m 2 =
n - m 2
s - t 4 n - m 2
 - 
n - m 2
s 4 n - m 2
 + 
n - m 2
r 3 n - m 2
 n - m 2 =
n - m 2
s - t 4 n - m 2 - s 4 n - m 2 +r 3 n - m 2
 n) - m (2 =












 
    
  
   t4 - s 5 +r 3 n - m 2 =
s + t 4 - s 4 +r 3 n - m 2 =
s - t 4 - s 4 +r 3 n - m 2 =
 
 
 
d) 2 a b + 8 a b - 12 a b
3 2 2 3 3 3
 








22
333223
22
b a 2
b a 12 - b a 8 + b a 2
 b a 2 = 
 
27 
 
 
 
= 2 a b 
2 a b
2 a b
 + 
8 a b
2 a b
 - 
12 a b
2 a b
= 2 a b a + 4 b - 6 a b 
2 2
3 2
2 2
2 3
2 2
3 3
2 2
2 2







 
 
2.2.2 Diferencia de cuadrados 
 
Los factores de la diferencia de cuadrados de dos números son respectivamente la suma y la 
diferencia de los dos números. 
b) - (a b) + (a = b - a 22 
 
Actividad 3: Factorizar los siguientes multinomios. 
 
 
a) 4 x - y
2 2 = (2 x - y) (2 x + y) 
 
b)    2 a - 3 b - c + d
2 2
 = [(2 a - 3 b) - (c + d)] [(2 a - 3 b) + (c + d)] 
 = (2 a - 3 b - c - d) (2 a - 3 b + c + d) 
 
c) 25 m - 36 n
8 2
 =    224 n 6 - m 5 
 =    5 m + 6 n 5 m - 6 n4 4 
 
d) 
9
100
 h - 
25
16
 k
8 6 




















2
3
2
4 k 
4
5
 - h 
10
3
 = 
 











 3434 k 
4
5
 + h 
10
3
 k 
4
5
 - h 
10
3
 
 
 
2.2.3 Trinomios cuadrados perfectos 
 
Esta factorización se deriva del desarrollo de un binomio al cuadrado. 
222222
222222
b) - (a b + b a 2 - a asi b + b a 2 - a = b) - (a
 b) + (a b + b a 2 + a asi b + b a 2 + a = b) + (a


 
 
Actividad 4: Factorizar los siguientes multinomios. 
 
 
a) 9 x - 30 x + 25
2
 22 (5) + x 30 - x)(3 = 
 
28 
 
 22 (5) + (5) x)(3 2 - x)(3 = 
 25) - x (3 = 
 
 
b)        3 x + y - 2 3 x + y z + w + z + w
2 2
 2 w)]+ (z - y) + x [(3 = 
 2 w)- z -y + x (3 = 
 
 
 
 
c) 36 m + 96 m n + 64 n
2 2
    = 6 m + 96 m n + 8 n2 2 
 
    = 6 m + 2 (6 m) (8 n) + 8 n2 2 
  = 6 m + 8 n 2 
 
 
d) 9 +x 6 + x 
2 = (x) + 6 x + (3)2 2 
 
= (x) + 2 (3) x + (3)
= (x + 3)
2 2
2
 
 
 
 
e) 22 s 16 + sr 64 + r 64 = (8 r) + 64 r s + (4 s)2 2 
 
= (8 r) + 2 (8) (4) r s + (4 s)
= (8 r + 4 s)
2 2
2
 
 
 
 
f) 
4
y
 + 
5
yx 
 -
25
x
22
 = 
x
5
 - 
x y
5
 + 
y
2












2 2
 
 
2
22
2
y
 - 
5
x
 =
2
y
 + 
2
y
 
5
x
 2 - 
5
x
 =


















 
 
 
 
 
 
 
29 
 
2.2.4 Trinomios factorizables que no son cuadrados perfectos 
 
 Sea el trinomio p x + q x y + r y 2 2 que no se puede factorizar como cuadrado perfecto. 
 
 Se expresará como el producto de dos binomios: 
 
   p x + q x y + r y = a x + b y c x + dy = a c x + a d x y + b c x y + b d y 2 2 2 2 
 
 así: p = a c q = a d + b c r = b d 
 
 Esto es, realizando el producto cruzado de los factores de p x
2
 y r y
2
 
 
p x + q x y + r y = (a x + b y) (c x + d y) 2 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad 5: Factorizar los siguientes multinomios. 
 
a) 22 b 16 + b a 26 + a 3 
 
 Factores de 3 a 
2
= (3 a) (1 a) 
 Factores de 16 b
2
 = (2 b) (8 b) 
 
Producto cruzado 
 
 
 
 
 
 
 2 4 
 2 
 2 6 
 
 
Así 3 a + 26 a b + 16 b
2 2
 = (3 a + 2 b) (a + 8 b) 
 
 3 2 
 1 8 
+ 
a b 
 c d 
 El resultado del producto cruzado: ad y cb se 
suma para obtener q. 
 
a d + c b = q 
 
30 
 
b) 22 v 5 + v u 16 - u 12 
 
 Factores de 12 u 
2
 = (3 u) (4 u) 
 Factores de 5 v
2
 = (5 v) (1 v) 
 
Producto cruzado 
 
 
 
 
 
 
 3 
 20 
 No es posible obtener - 16 u
2
 
 
En estos casos se buscan otros factores para u y v 
 
 Factores de 12 u
2
 = (6 u) (2 u) 
 Factores de 5 v
2
 = (5 v) (1 v) 
 
Haciendo de nuevo el producto cruzado 
 
 
 
 
 
 
 6 
 10 
 16 
 
Se desea obtener - 16 u
2
 para esto se hace la siguiente distribución de signos: 
 
 
 
 
 
 
 - 6 
 - 10 
 - 16 
 
Así 12 u - 16 u v + 5 v
2 2
 = (5 v - 6 u) (v - 2 u) 
 3 5 
 4 1 
+ 
 6 5 
 2 1 
+ 
- 6 5 
- 2 1 
+ 
 
31 
 
c) 8 - u 10 6u2  = (3u - 2) (u + 4) 
 
 
d) 8 u 30 - 18u2  = (6u - 2) (3u - 4) 
 
 
2.2.5 Factores de binomios del tipo nn y + x 
 
Se considerarán factores cuyos coeficientes sean números racionales y exponentes enteros. 
 
 
2.2.5. 1 Suma o diferencia de cubos 33 y x  
 
Al dividir este binomio por x + y se obtiene x - x y + y2 2 así: 
 
x + y = (x + y) (x - x y + y3 3 2 2 ) 
 
Por analogía: 
 
x - y = (x - y) (x + x y + y3 3 2 2 ) 
 
Regla para factorizar la suma de cubos x + y
3 3 
 
El primer factor (x + y) es la suma de la raíz cúbica de los dos números. El segundo 
factor se obtiene del primero y es el cuadrado del primer número menos el producto del 
primer número por el segundo más el cuadrado del segundo número. 
x + y = (x + y) (x - x y + y3 3 2 2 ) 
 
 
Regla para factorizar la diferencia de cubos x - y 
3 3 
 
El primer factor (x - y) es la diferencia de la raíz cúbica de los dos números. El segundo 
factor se obtiene del primero y es el cuadrado del primer número más el producto del 
primer número por el segundo más el cuadrado del segundo número. 
x - y = (x - y) (x + x y + y3 3 2 2 ) 
 
Actividad 6: Factorizar los siguientes multinomios. 
 
a) c - 27
3
 = (c - 3)  c + 3 c + 92 
 
32 
 
 
b) x - 27 y
3 6 = [(x)
3
 - (3 y
2
)
3
] 
 = (x - 3 y
2
) (x
2
 + 3 x y
2
 + 9 y
4
) 
 
 
c)  8 a + c - d3
3
 = (2 a)
3
 + (c - d)
3
 
 = [2 a + (c - d)] [4 a
2
 - 2 a (c - d) + (c - d)
2
] 
 = (2 a + c - d) (4 a
2
 - 2 a c + 2 a d + c
2
 - 2 c d + d
2
) 
 
d) 93 y 64 - 27x = [(3x)
3
 - (4 y
3
)
3
] 
 = (3x - 4 y
3
) (9x
2
 + 12 x y
3
 + 16 y
6
) 
 
CASO ESPECIAL: 
 
2.2.5.2 Factores de binomios del tipo nn y x  donde n  3 y no divisible por 3 ni por 2. 
 
 Esta factorización se logra por la relación. 
 
 1n2n3n223n2n1nnn yyxyx...yxyxx()yx(yx  
 
 1n2n3n223n2n1nnn yyxyx...yxyxx()yx(yx  
 
 
 
 
Actividad 7: Factorizar los siguientes multinomios. 
 
a) a + b
5 5
    = a + b a - a b + a b - a b + b4 3 2 2 3 4 
 
b) x - y
7 7   6542332456 y - y x + y x - y x + y x -y x+ x y -x = 
 
 
 
2.2.6 Factorización por agrupación de términos semejantes 
 
 
Un multinomio de cuatro o más términos se puede reducir a una forma factorizable 
mediante una adecuada agrupación de sus términos. 
 
 
 
 
 
33 
 
Actividad 8: Factorizar los siguientes multinomios. 
 
a) a x - b x - a y + b y = x (a - b) - y (a - b) 
 = (a - b) (x - y) 
b) 
c d - 2 c + 3 d - 6
c d - 2 c - 3 d + 6
 = 
c (d - 2) + 3 (d - 2)
c (d - 2) - 3 (d - 2)= 
(d - 2) (c + 3)
(d - 2) (c - 3)
 
 
 = 
c + 3
c - 3
 
 
 
c) 
s x + 2 s y - t x - 2 t y
2 s x + 4 s y + t x + 2 t y
 
y) 2 +(x t + y) 2 +(x s 2
y) 2 +(x t - y) 2 +(x s
 = 
 
 
 t+ s 2
 t- s
 =
 t)+ s (2 y) 2 +(x 
 t)- (s y) 2 +(x 
 = 
 
 
2.2.7 Trinomios que son reducibles a la diferencia de dos cuadrados 
 
Algunos trinomios se pueden convertir en un cuadrado perfecto, mediante la adición y 
sustracción de un término que sea cuadrado perfecto, y así expresar el trinomio como una 
diferencia de cuadrados. 
 
Actividad 9: Factorizar los siguientes multinomios. 
 
 
a) 4 x + 8 x y + 9 y
4 2 2 4 = 4 x
4
 + 8 x
2 
y
2
 +4 x
2 
y
2
 + 9 y
4
 - 4 x
2
 y
2
 
 = (4 x
4
 + 12 x
2
 y
2
 + 9 y
4
) - 4 x
2 
y
2
 
 = (2 x
2
 + 3 y
2 
)
2
 - (2 x y)
2
 
 = (2 x
2
 + 3 y
2
 + 2 x y) (2 x
2
 + 3 y
2
 - 2 x y) 
 
 
b) x + 4 x + 16
4 2
 = x
4
 + 4 x
2
 + 16 - 4 x
2
 + 4 x
2
 
 = x
4
 + 8 x
2
 + 16 - 4 x
2
 
    = x + 4 x + 4 - 4 x2 2 2 
    = x + 4 - 2 x2
2 2
 
      = x + 4 - 2 x x + 4 + 2 x2 2 
    = x - 2 x + 4 x + 2 x + 42 2 
 
34 
 
 
c) 9 c - 4 a + 4 a b - b
2 2 2
 = 9 c
2
 - (4 a
2 
- 4 a b + b
2
) 
 = 9 c
2
 - (2 a - b)
2
 
 = [3 c + (2 a - b)] [3 c - (2 a - b)] 
 = (3 c + 2 a - b) (3 c - 2 a + b) 
 
 
35 
 
2.3 P R O B L E M A S S U P L E M E N T A R I O S 
 
CAPÍTULO 2 
 
 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN 
 
 
PRODUCTOS NOTABLES 
 
1.- Obtenga los productos indicados. 
 
a) (x + 2) (x + 3) 
b) (b + 1) (b + 1) 
c) (3 y + 1) ( y + 2) 
d) (3 x - 1) (x + 2) 
e) (x - 3) (2 x - 1) 
f) (3 c - 2) (2 c + 3) 
g) (5 h + 3) (4 h - 5) 
h) (2 r + 2 s) (3 r + 3 s) 
i) (8 a + 3 c) (a + 5 c) 
j) (2 m - 3 n) (4 m - 2 n) 
k) (12 x - 3 y) (6 x - 5 y) 
l) (3 r - 5 y) (2 r - 7 y) 
m) (2 w + 7 z) (3 w + 2 z) 
n) (5i - 3 j) (7 i + 2 j) 
o) (7 a - 6 b) (9 a + 8 b) 
p) (10 x - 5 y) (5 x + 2 y) 
 
2.- Desarrolle los siguientes binomios al cuadrado. 
 
 
 
a) x + 2y
 2x - 3
2
2
b)
 
 
 
c) a + 3b
 3w + 2
2
2
d)
 
 
 
2) 3t -1
 3m- 2n
2
2
f )
 
 
 
g) 
 6a - 4b
3 4
2
2
v w
h

)
 
 25y+2x i) 
 
36 
 
 23d-2c )j 
 
 
k) 4r - 2s
 4u - 2v
2
2
l)
 
 
 
m) 6z - 5w
 
2
2
2
1 3n x) 
 
 
 
o) a
 3a
2
3
x by
p b


2
2
4
2
8)
 
 q) 4m5  5 6
2
n 
 
 
r) 
 
7 52 3 4
2
2
v w z
s a am n

)
 
 
 
t) x
 a
a+1
x-2


y
u)
a 2
2
2
5
 
 v) xa  3 2
2
xa 
 
3.- Desarrolle los siguientes productos. 
 
a) (x + 3) ( x - 3) 
b) (y + 9) (y - 9) 
c) (M + N) (M- N) 
d) (X + 3 Y) (X - 3 Y) 
e) (a + 5 b) (a - 5 b) 
f) (5 x + y) (5 x - y) 
g) (3 a + 2 b) (3 a - 2 b) 
h) (7 y - 4 c) (7 y + 4 c) 
  
  
i) 2a 2a
 2x 2x
3 3
2 2
 
 
2 2b b
j y y)
 
  
  
k) 3b 3b
 5v 5v
2 2
4 4
 
 
bc bc
l w w
3 3
2 23 3)
 
m) 
x
3
x
3






 






y y
5 5
 
 
37 
 
n
n n
) 
m m2 2
3
2
5 3
2
5
2 2






 





 
o) 
5a
x
5a
x
p) 
3x
4
3x
4






 












 






y
b
y
b
y y
2 2
5 5
 
q) 
3m 3m2 2
4
2
3 4
2
3
4 4






 






n n
 
r) 
3a 3a2 2
b
x
y b
x
y






 






5
4
5
4
 
 
4.- Desarrolle el cubo de los siguientes binomios. 
 
 
 
a) a + 1
 x + 2
3
3
b)
 
 
 
c) y + 5
 
3
3
2d x) 
 
 
 
e) m- 51
 
3
3
3f w) 
 
 
 
g) w + 3
 10 + a
3
3
h)
 
 
 
i) a
 
2 

3
6
3
3
3
j n)
 
 
 
l) 8 + a
 
4
3
3
5m ab) 
 
 
 
n) xy
 
2 

9
9
3
2
3
o vw)
 
 p) a2b2
3
1 
 
 
 
38 
 
5.- Desarrolle el cuadrado de los siguientes polinomios. 
 
 
 
a) x + y + z
 a + b - c
2
2
b)
 
 
 
c) m- n + p
 
2
2
3d a b c)  
 
 
 
e) x - 3y - z
 
2
2
2
2 5f x x)  
 
 
 
g) r - 2s + t - 3u
 
2
3 2
2
2 1h m n m)   
 
 
 
i) 2x
 
3   
 
x x
j a a
2
2
2
2
4 3
2 3 1)
 
 
6.- Efectúe los siguientes productos. 
 
  
  
a) a - 2b
b) 2w +1
a ab b
w w
2 2
2
2 4
4 2 1
 
 
 
  
  
c) s + 3t
d) x -1
s st t
x x x
2 2
3 2
3 9
1
 
  
 
 
FACTORIZACIÓN 
 
7.- Factorice las siguientes expresiones. 
 
a) x z + x y - x
2
 
b) 3m
c) 2a
2
3
n mn m n
b a b a b
 
 
6 9
8 12
2 3 2
2 2 3 3 3
 
   
    
d) x + y
 a + b
2 4 2z x y z
e a b a b b
 
  )
 
      
        
f) 3r 2m- n
g) 6a - 3b
    
      
4 2 4 2
6 3 2 6 3 2
s m n t s m n
a b a b a b a b a b
 
 
39 
 
h) 10v
i) 9c
j) 4a
2
3
x+1
w z v w z v w z
d c d c d
a x
3 4 3 2 4 4 3 2
2 3 2 2
2
15 30
15 3
8
 
 

 
 
8.- Factorice las siguientes diferencias de cuadrados. 
 
a) m
b) x
2
2


x
y
2
29
 
c) r
d) 36a
2
2


16
4
2
2
s
b
 
e) w2  49 2z 
f) 25m8  36 4n 
g) 
9
16

4
25
4s 
h) 
16
25
i) 
9
100
m n
h m
8 6
8 6
64
36
25
36


 
j) 144m
k) 1 - x
16
8
 625 12m
 
l) v
m) 1- a
4
2
 w
b
4
4
 
n) 9r
o) a
2
2
s t
b b
2 2
2 4
16
36


 
p) 32x
q) c
4
3
y y
d d c


162 5
3
 
 r) n +1 2 236 m 
   
 
s) 5v + 2w
t) x + y
2 2
2 2
3 7 

v w
z
 
 
   
u) 49 - 3a - b
v) 3r - 5a
2
2 2
9 5 r a
 
   w) 8a + 6b 2 23 9 a b 
 
 
 
40 
 
9.- Factorice los siguientes trinomios cuadrados perfectos. 
 
a) x
b) m
2
2
 
 
4 4
2 2
x
mn n
 
c) z
d) m
2
2
 
 
10 25
2 2
z
mn n
 
e) t
f) 9h
2
2
 
 
10 25
6 1
t
h
 
g) 9x
h) 16a
2
2
 
 
12 4
24ab 9
2
2
xy y
b
 
i) 
c2
16
1
2
1
2
 
c
 
j) 
m2
4
3 9
2
 
m
n n
 
k) 
x
l) 
9
2
25 5 4
25
4
5
4
9
2
2 2
 
 
xy y
a ac c
 
m) 25w
n) 81d
8
16
 
 
30 9
126 49
4 5 10
8 6 12
w z z
d c c
 
 
10.- Factorice los siguientes trinomios. 
 
a) x
 5y
c) 9m
2
2
2
 
 
 
 
4 3
6 1
10 1
5 7 22
x
b y
m
d b b
)
)
 
e) 3c
f) 5x
2
2
 
 
11 6
28 15
c
x
 
g) 6y
h) 3y
2
2
 
 
11 5
2
y
y
 
2w35w i) 2  
3h47h j) 2  
7r196r k) 2  
l) 9a2  12 5a 
 
41 
 
m) 5x2  20 15 2xy y 
n) 12u
o) 6h
2
2
 
 
19 5
29 5
2
2
uv v
hk k
 
p) 5a
q) 8p
2
2
 
 
13 6
20 8
2
2
ab b
pq q
 
 
11.- Factorice las siguientes sumas y diferencias de cubos. 
 
a) a
b) r
3
3


b
s
3
3
 
c) m3 27 3k 
d) x
e) 27u
3
3


64
125
3
3
y
v
 
f) 8x
g) m
3
6


216
27
3
3
y
b
 
h) 343x
i) 27a
9
15
y
b
6
12
125
216


 
 
 
j) a - b
k) m + n
3
3
1
8


 
 
12.- Factorice por agrupación de términos (en dos factores). 
 
a) c
b) ay - 2by - 2ax + 4bx
2   cd cx dx
 
c) 3u - 2v - 2vx
d) 4x
4
3

  
3
1 4
4
2
ux
x x
 
e) 3r - s
f) 3w
2
3
 
  
2 6
9 3
2s z rz
aw w a
 
g) 2p
h) 4ax
2
3
w p z qz qw
axy x y
  
  
5 15 6
12 3
2
2
 
i) 3x
j) r s
3
2 3
    
    
3 9 3
3 3
2 2 2 2
4 2 3 2 4 2 2 3 4
x y xy x xy y
t r s u t u r s u t u
 
 
42 
 
CAPÍTULO 3 
 
FRACCIONES 
 
 
3.1 DEFINICIÓN 
 
 
 
 Fracción =
P
Q
 = 
Numerador
Denominador
 Q 0 
 
 
 En álgebra P y Q pueden ser multinomios o polinomios de cualquier orden.En álgebra las fracciones se presentan tan frecuentemente como en aritmética y, como en ésta, 
se pueden combinar mediante adición, sustracción, multiplicación y división. 
 
 
Ejemplo: 
 
5 x + 1
7 x
 + 
1
+ 4
 , 
3 x + 4 y - 5
 x + y
 , 
a + 3 b
a + b
2 2
2 2x 2
 
 
 
 
3.1.1 Principio fundamental 
 
 
 
 Si cada miembro de una fracción se multiplica o se divide por una misma cantidad, 
diferente de cero, el valor de la fracción no se altera; esto es: 
 
P
Q
 = 
P x R
Q x R
 o 
P
Q
 = 
P
R
Q
R
 
 donde P, Q y R pueden ser polinomios, monomios o una cantidad cualquiera. 
 
 
43 
 
3.1.2 Regla de los signos 
 
 
En una fracción se pueden cambiar simultáneamente los signos del numerador y del 
denominador sin alterar el valor de la fracción. 
 
Sin embargo, si se cambia el signo del numerador o del denominador, se debe cambiar 
entonces el signo que precede a la fracción. 
 
 
 
Actividad 1: Representar las siguientes fracciones como otra fracción empleando la regla 
de los signos. 
 
 
a) 
3 - a
2 -a
 = 
2 - a
3 - a
 = 
- (a - 2)
3 - a
 = 
2 - a
- (a - 3)
 
 
 
b) 
22
z - a
b) + (a b) - (a
 
222222 z + a
b) + (a b) - (a -
 = 
z - a
b) + (a b) + a(- -
 = 
z + a
b) + (a b) + a (-
=

 
 
 
c) 
d - c
b -a
 
d - c
a) - (b -
 = 
c - d 
b) - (a -
 = 
c - d
a - b
 = 
 
 
3.1.3 Reducción a la mínima expresión o simplificación de fracciones 
 
 
La mínima expresión de una fracción es aquella en la cual el numerador y el denominador 
no tienen factores comunes. 
 
Para reducir una fracción a su mínima expresión se factorizan tanto el numerador como el 
denominador y luego se divide cada uno de ellos entre cada factor que le sea común. 
 
 
 
Actividad 2: Reducir a su mínima expresión las siguientes fracciones. 
 
a) 
x 2 + x 3 - x
x 6 - x + x
23
23
 = 
x (x + x - 6)
x (x - 3 x + 2)
 = 
x (x - 2) (x + 3)
x (x - 2) (x - 1)
 
2
2
 
 
44 
 
 = 
x + 3
x - 1
 
 
 
b) 
8 -x 4
18 -x 9
 = 
9 (x - 2)
4 (x - 2)
 = 
9
4
 
 
 
c) 
3 a b - 81 a
 a b - 6 a b - 90 a
3
2 2 2 2
12
 = 
3 a (b - 27)
6 a ( 2 b - b - 15)
 = 
b - 27
2 a ( 2 b - b - 15)
3
2 2
3
2
 
 = 
(b - 3) (b + 3 a b + 9)
2 a ( 2 b + 5 ) ( b - 3)
 = 
b + 3 a b + 9
2 a (2 b + 5)
2 2
 
 
 
d) 
a - a c - a b + b c
a - a c - a b + a b c
5 4 4 4
4 3 2 2 2
 = 
a (a - c) - b (a - c)
 (a - c) - a b (a - c)
4 4
2a3
 
 = 
(a - c) (a - b )
 - a b )
 = 
(a - b )
 - a b )
4 4
2
4 4
2( )( (a c a a 3 3
 
 
a
b + a
 = 
)b - (a a
)b + (a )b - (a
 =
22
22
2222
 
 
 
e) 
a - b
a - b
3 3
2 2
 = 
(a - b) (a + a b + b )
(a - b) (a + b)
 = 
a + a b + b
a + b
2 2 2 2
 
 
 
3.2 OPERACIONES CON FRACCIONES 
 
 
 
 a) Producto o multiplicación de fracciones 
 
 
db
ca
d
c
b
a
 si 0 d , b  
 
 b) Cociente o división de fracciones 
 
 
cb
da
d
c
b
a
 si 0 c , b  
 
 
45 
 
 
 c) Suma o resta de fracciones 
 
 
b
ca
b
c
b
a 
 mismo denominador 
 
 
 
db
ccad
d
c
b
a 
 diferente denominador 
 
 
 
De donde se pueden obtener las siguientes consecuencias: 
 
 
Consecuencia 1: Como 
n
n
 = 1 n  o entonces: 
 
a
b
 = 
a
b
 x 1 = 
a
b
 x 
n
n
 = 
a n
b n
 
 
Así 
n b
n a
y 
b
a
 son fracciones equivalentes. 
 
 
 
Consecuencia 2: Si p  o entonces: 
 
p b
p a
 = 
b
a
 
 
 
 = 
b
a
p
b
p
a
p
1
p
1
 
 
 
 
Actividad 3: Obtener fracciones equivalentes a las fracciones dadas. 
 
 
a) 
4
3
 
 = 
3 x 5
4 x 5
 = 
15
20
 
15
20
 = 
15 5
20 5
 = 
3
4


 
 
 
 
46 
 
b) 
10
8
 
 = 
8 2
10 2
 = 
4
5
 
4
5
 = 
4 x 2
5 x 2
 = 
8
10


 
 
 
c) 
b a
b a
4
23
 
 = 
a b a b
a b a b
 = 
b
a
 
b
a
 = 
b x a b
a x a b
 = 
a b
a b
3 2 3
4 3
3
3
3 2
4


 
 
 
 
d) Convierta 
1 - x
3 +x 
 en una fracción cuyo denominador sea x - 1
2
 
 
Por la consecuencia 1: 
 
 
x + 3
x - 1
 = 
x + 3
x - 1
 
x + 1
x + 1
 
 = 
x + 4 x + 3
 + 1
2

x2
 
 
 
Otras consecuencias: 
 
 
 
Consecuencia 3: Si b  o 
 
 
a
b
 = 
a x (- 1)
b x (- 1)
 = 
- a
- b
 = 
 a
 b
 
 
 
 
Consecuencia 4: Si b  o 
 
 
- a
b
 = 
- 1 x a
1 x b
 = 
- 1
1
 x 
a
b
 = - 1 x 
 a
 b
 = 
- a
b
 = 
a
- b
 
 
 
 
47 
 
3.2.1 Producto o multiplicación de fracciones 
 
 
El resultado de esta operación es otra fracción cuyo numerador es el producto de los 
numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. 
 
a
b
 x 
c
d
 = 
a c 
b d
 
 
 
 
Actividad 4: Multiplicar las siguientes fracciones. 
 
a) 














c 2
b a
 
c
b a
2
 
2
23
c 2
b a
 = 
 
 
 
b) 

















3
2
 
7
4
 
5
3
 
35
8
 = 
(3) (35)
(3) (8)
 
105
24
 =  
 
 
 
c) 
















22
y 24
25 + y 5
 
25 - y
y 8
 
   
  
 
25) - (yy 3
25 +y 5
 = 
25 - y y 24
25 +y 5 y 8
 =
222
 
 
5) -(y y 3
5
 =
5) -(y 5) +(y y 3
5) +(y 5
 = 
 
 
 
d) 













b 8 - a 16
y 4 +x 4
 
y - x
y b +x b - y a 2 -x a 2
22
 
= 
2 a (x - y) - b (x + y)
(x + y) (x - y)
 
4 (x + y)
 (2 a - b)












8
 
 
 
 
= 
(x - y) (2 a - b)
(x + y) (x - y)
 
 (x + y)
2 (2 a - b)
= 
1
2












 
 
48 
 
3.2.2 Cociente o división de fracciones 
 
 
 
Es otra fracción que se obtiene aplicando la regla de EXTREMOS POR EXTREMOS Y 
MEDIOS POR MEDIOS: 
 
P
Q
R
S
 = 
P
Q
 
R
S
 = 
P S
Q R
 
 
 
 
Actividad 5: Realizar las siguientes divisiones de fracciones. 
a) 
3
2
 
2
1
 = 
1
2
2
3
= 
(1) (3)
(2 ) (2)
 = 
3
4
 
 
b) 
10 +x 6
x - 4
 
25 - x 9
16 - x
2
2
 = 
(x - 16) (6 x + 10)
9 x - 25) (4 - x)
 
2
2(
 
 = 
(x - 4) (x + 4) 2 (3 x + 5)
(3 x - 5) (3 x + 5) (4 - x)
 
 
   
   
 
= 
- 2 - x + 4 x + 4
3 x - 5 4 - x
 = 
- 2 x + 4
3 x - 5
 
 
c) 
x 3 - x 2
4 - x
 
3 -x 2
2 +x 
2
2
 = 
(x + 2) (2 x - 3 x)
2 x - 3) (x - 4)
2
2(
 
 
 
= 
(x + 2) x (2 x - 3)
2 x - 3) (x + 2) (x - 2)
= 
x
x - 2
(
 
 
3.2.3 Suma y resta de fracciones 
 
Mínimo común múltiplo (MCM) 
 
Cuando un multinomio tiene por factor otro multinomio, se dice que el primero es múltiplo del 
segundo. 
 
49 
 
 
 
El mínimo común múltiplo de un conjunto de multinomios es el multinomio de mayor 
grado y de menores coeficientes enteros que sea exactamente divisible entre cada 
multinomio del conjunto. (Es el mayor número que resulta al sumar los exponentes de 
todas las letras que aparecen en un término) 
 
 
Cálculo del mínimo común múltiplo de un conjunto de multinomios 
 
 
 1.- Se factoriza cada multinomio. 
 
 2.- Se toman los factores no repetidos de mayor grado de cada factorización. 
 
 3.- El producto de estos factores es el MCM. 
 
 
Actividad 6: Determinar el mínimo común múltiplo. 
 
a) De 3 x, 2 x x, 2 x y 2 3 x
3 5 2 2 2 4
, 
 
 = 2 3 x y3 2 5 2 = = 72 x y5 2 
 
 
b) 2 (x - y), 3 (x + y), y (x - y)
2 
 
        = 2 x - y 3 x + y y = 6 y x - y x + y 2 2 
 
 
 
La suma o restade dos o más fracciones que tienen el mismo denominador, es otra fracción 
que tiene como numerador la suma algebraica de los numeradores de las fracciones dadas y 
como denominador el denominador común. 
 
 
Actividad 7: Realizar las siguientes sumas o restas de fracciones. 
 
 
a) 
7
3
 + 
7
6
 - 
7
2
 
7
1 -
 = 
7
3 + 6 - 2
 = 
 
50 
 
b) 
b - a
b a 3
 + 
b - a
b 6
 - 
b - a
a 2
 
b - a
b a 3 + b 6 - a 2
 = 
 
 
c) 
3 -x 
2
 + 
3 -x 
2 +x 2
 - 
3 -x 
4 +x 2
 + 
3 -x 
x 3
 
3x
2 + 2) + x (2 - 4 + x 2 + x 3
 =

 
 
3 -x 
4 + x 3
 = 
3x
2 - x 2 - 6 + x 5
 =

 
 
 
 
Si las fracciones que se van a sumar o restar tienen diferentes denominadores, el 
denominador de la suma o resta es el mínimo común múltiplo de los denominadores. 
 
 
 
Actividad 8: Realizar las siguientes sumas o restas de fracciones. 
 
 
a) 
2
7
 + 
4
5
 - 
5
3
 
 
 
 Factores 5 (1),    12 2 ,2 MCM =   20 = 2 (1) (5) 2 
 
 
3
5
 - 
5
4
 + 
7
2
 
20
7 
2
20
 + 5 
4
20
 - 3 
5
20
 =


















 
 
 
20
57
 =
20
70 + 25 - 12
 =
 
 
b) 
7
a
 + 
a 2
3
 + 
a
2
2
 
a 14
7
a 14
 a + 
a 2
a 14
 3 + 
a
a 14
 2
 =
2
22
2
2
























 
 
 
2
3
a 14
a 2 + a 21 + 28
 = 
 
51 
 
 
c) 
y 2 +x 
1
 - 
y) 2 +(x )yx(
y 3 +x 
 - 
y) +(x y) -(x 
y -x 3

 
 
 
y) 2 +(x y) +(x y) -x (
 )y -y x -y x + (x - )y 3 -y x 3 +y x - (x - y 2 -y x -y x 6 + x3
 =
y) 2 +(x y) +(x y) -x (
y)+(x y) -(x - y) -(x y) 3 +(x - y) 2 +(x y) - x (3
 =
222222
 
 
y -x 
 1
 = 
y) 2 +(x y) +(x y) -x (
 y) 2 + x ( y) +(x 
 =
y) 2 +(x y) +(x y) -x (
 y 2 +y x 3 + x
 =
y) 2 +(x y) +(x y) -x (
 y + x- y 3 +y x 2 - x- y 2 -y x -y x 6 + x3
 =
22
222222
 
 
 
 
d) 
    y +x 4
x 
 - 
 y 6 -x 6
y
 + 
y - x 3
yx 2 - x
 
22
2
 
 
Factorizando los denominadores 
 
      y +x 4
x 
 - 
 
 y -x 6
y
 + 
 y -x y +x 3
y x 2 - x
 =
2
 
     
  y -x y +x 12
y -x x 3 - y +x y 2 + y x 2 - x 4
 =
2
 
 
Realizando operaciones 
 
  y -x y +x 12
y x 3 + x3 - y 2 +y x 2 +y x 8 x4
 =
2 2 2 
 
       
   
      y +x 12
y 2 -x 
 = 
y -x y +x 12
 y -x y 2 -x 
 =
 
y -x y +x 12
y 2+y x 3 -x
 = 
y -x y +x 12
y 2 +y x 2 +y x 5 -x
 =
2 22 2
 
 
 
 
 
52 
 
3.3 FRACCIONES COMPLEJAS 
 
 
Son aquellas en las que el numerador o el denominador, o ambos, son a su vez fracciones. 
 
 
 
Ejemplo: 
 
22
2 2
b - a
b a
 - 3
b - a
b 2
 + 
b + a
a 4
 , 
y +x 
y
x
 + 1
 , 
7
2
 3 
 

 
 
Para simplificar las fracciones complejas: 
 
 
 1.- Se reduce el numerador y el denominador en fracciones simples. 
 
 2.- Se simplifican las fracciones resultantes utilizando la regla de extremos por extremos, 
medios por medios o división entre fracciones. 
 
 
 
Actividad 9: Reducir las siguientes fracciones complejas. 
 
 
a) 
y +x 
y
x
 + 
1
1
 
 
  y
1
 = 
 x+y y 
 x+y 
 = 
1
y +x 
y
 x+y 
  
 
 
 
 
b) 
 
 
b - a
b + a
 - 
b + a
b - a 4
b - a
1
 - 
b + a
2
 
   
   
       
    b - a b + a
 b + a b + a - b - a b - a 4
 b - a b + a
 b + a - b - a 2
 = 
 
 
 
53 
 
   
   
   
   
 22
2 222
22
22
b - a
b + b a 2a - b + b a 2 - a 4
b - a
b 3 - a
 =
 
 b - a b + a
 b + a - b - a 4
 b - a b + a
b - a - b 2 - a 2
 =

 
 
 
 
 
 
    ba3
1
 = 
b 3 - a b - a 3
b 3 - a
 
b 3 + b a 10 -a 3
b 3 - a
 
b - a
b - b a 2 - a - b 4 + b a 8 - a 4
b - a
b 3 - a
 =
22
22
2222
22

 
 
 
c) 
1 +x 
1
 - 1
1
1 -x 
1
 + 1
1
 + 1
 
x
1 +x 
x
1 -x 
 + 
1
1
 = 
1 +x 
1 - 1 +x 
1
1
1 -x 
1 + 1 -x 
1
 + 
1
1
 = 
 
 
 
 
 
  1x
1x 2
 
 1+x x 
 x 1 - x 2
 =
x
1 +x 
x
1 - x +x 
 =


 
 
 
54 
 
3.4 P R O B L E M A S S U P L E M E N T A R I O S 
 
CAPÍTULO 3 
 
FRACCIONES 
 
 
1.- Convierta las siguientes fracciones en fracciones equivalentes cuyo denominador sea 
la expresión indicada en cada caso. 
 
a) 
3
a - 2
 ; 2 - a
b) - 
x - 3y + z
 ; z + y - 2x
2x y z 
 
c) 
v - 2w
v - w
 ; w - v
d) 
s
t
 ; st
 
e) 
b
k
 ; ku 
f
xy
n
) 
xy
 ; y
g) 
6mn
m
 ; m
2
2
 
h) 
y - 2
x - 5
 ; x2  25 
  
  
i) 
z - 5
z + 1
 ; z
j) 
x + 2
x + 3
 ; x + 3
2 


1
1
1
x
x
 
  
  
k) 
2a - 5
a - 4
 ; a - 4
l) 
w - 3
w - 2
 ; w2
4a 1
2 5
3 2


 
a
w
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
2.- Reduzca a su mínima expresión. 
 RESULTADO 
a
a
a a
y
y y
) 
a
 
a - 2
a + 2
b) 
2y
 
y +1
y + 3
2
2
 
 
 
 
3 2
2
1
2 5 3
2
2
 
  
  
c) 
2v - w
 
v - w
v + w
v vw w
v vw w v w
2 2
2 2
3 2
2 2
 
  
 
  
  
d) 
2s -5t
 
s + 2t
2s - t
s st t
s st t s t
2 2
2 2
3 2
2 3 5 2
 
  
 
e) 
cx - cy + dx - dy
 
x - y
2x - y
f) 
x
 
x3 2
2 2
3
2 2
2
cx dy cy dx
y
x y
xy y
x y
  


 

 
  
  
g) 
2y -5
 
2y +1
y -1
y
y y

 
3
1 3
 
  
    
h) 
a +1
 
2a -1
2a +1
2 1
1 2 1
a
a a a a

   
 
i) 
y
 
y +1
y - 2
2  
 
4 3
62
y
y y
 
  
  
j) 
2x
 
x + 2y
2x + y
2   
  
7 6
2 3 2
2
2 2
xy y x y
x xy y x y
 
 
3.- Efectúe las operaciones indicadas y reduzca el resultado a su mínima expresión. 
 
 RESULTADO 
a) 
3x
 
5x2 2y
xy
x y
x y y2
5
3 22
3 2
2 3 2
 
b) 
4xy
 
28xy2 3z
x z
x y z
xy z
z3
2 4
3 3 5
2 2
2
5
7
3 15
 
c) 
7v
 
21
10w
d) 
40r
 
3
5
2
w
vw
vw
v w
r s t
rs
r st
r s t
s
2
3
5
5
3
8
13 39
5
2
3 3
2 3 4 2
3 2 3

.
 
 
56 
 
e) 
7a
 
14a
3b
f) 
9ab
 
3a
 
2 3
3
3 2
b
ab
a b
ab
c
bc
a bc
ab c
2
3
3
3
2
3
2 2
3
3
14
9
14
18
21 7


 
g) 
7xy
2yz
15xy
3yz
 
xz
5
 
h) 
22w
15vw
 
5v
 
2
2 2
2
3
2
 
 
6
21
8
147
6 11
3
2
3
2
2
2
x z
x y
v x
vw
w x
vx
x w
x
 
i) 
1
6
j) 
4r - 8s
br + bs
 
4a
3b
 
x y
x y
x y
x y
ar as
r s








2
2 6
3
3 6
3 6
 
 
 
k) 
y
y + 4
 2y - 6 
y + 3
2y + 8
l) w 
w
 
w
2
2
2 2


  
 

9
3 2
1 2
1
w
w
w
w
 
 
m) xy 
x x
y y
xy yx
x
x
y x
2
2
2
2
3
2
2
9 3







 
 
n) 
2m - m
n
 
n
2
 
2
2 




n
m n m n
m
m
m n
2 2 2
2
3
4
2
2
 
o) 
6t
3t
 
t + 3
t - 3
p) 
6h
6h
 
2h - 3
2h -5
 
2
2
2
2
 
 

 
 
 
 

 
 
5 1
10 3
5 6
2 3 2
5 6
2
6 2
6 11 10
2
2
2
2
t
t
t t
t t
h
h
h h
h h
 
q) 
2x - y
x - 2y
r) 
n + 3
n +1
 
x xy y
x y y
x xy y
x xy y
x y
x y
n n
n
n n
n n
n
n
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
6
4 3
4 4
2 5 2 2
3 2
1
6 9
3 2
1
3
 
 

 
 



 


 
 



 
   
  
  
s) 
q
 
q - 4
q + 2
t) 
r +1
 
2  
 

 
 



 


 
 


q
q q
q q
q q
q
q
r r
r
r r
r r
r
r
12
2 3
6 8
6 8
2
1
4 3
3
1 2
4 3
2
3
2
2
2
2
( ) ( )
 
      
  
u) 1
t t
t
t t t
t t
t
t
 


  
 



2 3
9
3 2 3
2 3
1
32
 
 
 
57 
 
4.- Efectúe las operaciones indicadas y simplifique los resultados. 
 RESULTADO 
a) 
2
5
 1
b) 
1
3
 
2
9
 
 
 
4
15
1
3
5
6
13
18
 
 
1 
yxx
y
yx
y
x
y-x
 d)
 
kb18a
5bk4abb6a
 
b18a
5k
9ak
2b
k3b
a
 c)
2
222
333
222






 
   
   
 
1t
1
 
1tt
1t2
1tt
1
1t
t3
 f)
s2s
1+s
 
4ss
s4
2ss
1s
4s
s2
 e)
2
2
2
222












 
 
g) 
1
y
 
9 3
9
1
3
1
3
2 2
2 2
x y
x y y x y x y






 
        
h) 
3
c - 2d
 0 
1
2
1
2 2c d c d c d c d c d 

 


 
     
 
  
i) - 
2 m -8n
3m - 2n
3 8
3 2 4
5
3 2 4
16
16 42 2
m n
m n m n
m
m n m n
n
m n m n

 

 

 
 
        
j) 
r
r + s
 
3
2
3
2
42rs
r s r s
r rs
r s r s
rs
r s r s 


 

 
 
 
 
5.- Reduzca las siguientes fracciones complejas. 
 
 RESULTADO 
54
55
 
5
2
+2
9
5
-3
 b)
5
4
 
3
1
-2
3
1
+1
 a)
 
 
58 
 
c) 
4 -
1
b 
2b -1
b
2
2
1

b
 
 
d) 
d -
1
d
1-
1
d
 d +1 
 
e) 
2 -
7
a
 
a - 3
a + 2

 
3
2
3 2
2
2
a
a a
 
 
f) 
1 -
n
2m - 3n
1+
n
m - 3n
 
2m - 6n
2m - 3n
 
 
g) 
r +1+
r +1
r -1
r -
2
r -1
 
r
r - 2
 
 
h) 
t
2 
t -1
t + 3





1
1
2
2 3
1
t
t t
t
 
 
i) 
1+
4w
v - w 
v + w
3v - w
3
8
2 2


vw
v w
 
 
j) 
2 -
1
a
b 
a + b
a - b




1
2
1
3
1
b
a
a
b
 
 
 
 
59 
 
CAPÍTULO 4 
 
ECUACIONES LINEALES 
 
4.1 DEFINICIONES 
 
4.1.1 Igualdad 
 
 
 Es el arreglo de dos expresiones algebraicas que tienen el mismo valor. 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 a = b + c ; 2 x + 3 y = 7 z ; r + 5 s = 4 r s + 102 2 
 
 
4.1.2 Ecuación 
 
 
 Es una igualdad entre dos expresiones. Cada expresión recibe el nombre de miembro de 
la ecuación; además en una ecuación hay una o varias cantidades desconocidas llamadas 
incógnitas. 
 
 
 
Ejemplo: 
 3 x - 25 = 5 2 x + 3 y = 73 
    
 Incógnita Incógnitas 
 
 
 
4.1.3 Grado de una ecuación 
 
 
 
 El grado de una ecuación lo determina el máximo exponente en las incógnitas. 
 
 
 
 
60 
 
Ejemplo: 
 Incógnita Grado 
 
3 t - 2 = 2 t + 1 t 1 primer
a x + b = b x + c x 1
y + 2 y - 3 = 0 y 2 segundo
r - 5 r = - 6 r 2
2 2
2
2
 
 
 Una ecuación se llama lineal si es de primer grado y cuadrática si es de segundo grado. 
 
 
 
 
4.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN 
 
 
4.2.1 Raíces de una ecuación 
 
 
 Son los valores de las incógnitas que al ser sustituidos en la ecuación la satisfacen, es decir, 
convierten la ecuación en una igualdad. Conocidas también como soluciones de la ecuación. 
 
 
 
 
4.2.2 Ecuaciones equivalentes 
 
Son aquellas que tienen las mismas soluciones. 
 
 
Ejemplo: 
 
ambas a satisface 3 = x 
3 + x 6 = x 7 1 + x 3 = 2 - x 4 
 
 
 
 
Si se agrega la misma cantidad a dos expresiones que son iguales para el mismo valor de la 
incógnita, o si se multiplican o se dividen las expresiones por una misma constante diferente de 
cero, se obtienen dos nuevas expresiones que son iguales para el mismo valor de la incógnita. 
 
61 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
8 + x 8 = 4 + x 4