Função Quadrática

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FUNCIÓN 
CUADRÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La función cuadrática es una función matemática que 
puede representarse en forma de ecuación, gráfica o 
tabla. Su forma general se escribe como: 
 
 
F(x) = ax^2 + bx + c 
 
 
Donde a, b y c son constantes reales, y a ≠ 0. 
 
 
 
El gráfico de una función cuadrática se representa en 
un plano cartesiano y tiene forma de parábola. Esta 
parábola puede abrirse hacia arriba o hacia abajo, 
dependiendo del signo de la constante a: 
 
 
 
- Si a > 0, la parábola abre hacia arriba y tiene un 
mínimo. 
 
- Si a < 0, la parábola abre hacia abajo y tiene un 
máximo. 
 
 
 
 
La recta de simetría de la parábola está determinada 
por el valor de x que hace que la función se anule (f(x) 
= 0). 
 
 Esta recta de simetría se calcula resolviendo la 
ecuación cuadrática: 
 
 
Ax^2 + bx + c = 0 
 
 
 
 
 
La fórmula de la solución de una ecuación cuadrática 
es: 
 
 
 
X = [-b ± √(b^2 – 4ac)] / 2ª 
 
 
 
Existen diferentes métodos para graficar una función 
cuadrática, como la tabla de variación, el método de 
puntos notables o utilizando la fórmula general de la 
función. 
 
 
 
Algunas propiedades importantes de las funciones 
cuadráticas incluyen: 
 
 
 
- La gráfica de una función cuadrática es una 
parábola. 
 
- La función es simétrica respecto a la recta de 
simetría. 
 
 
- El vértice de la parábola representa el mínimo o 
máximo de la función, dependiendo de la apertura. 
 
- Si el coeficiente a es positivo, la parábola abre 
hacia arriba y tiene un mínimo en el vértice. 
 
 
- Si el coeficiente a es negativo, la parábola abre 
hacia abajo y tiene un máximo en el vértice. 
 
 
 
Las funciones cuadráticas tienen aplicaciones en 
varios campos de la ciencia y la ingeniería, como en la 
descripción del movimiento de proyectiles, en 
problemas de optimización y en el estudio de 
trayectorias. 
 
 
 
Características de la función cuadrática 
 
 
 
Las funciones cuadráticas presentan una serie de 
características específicas que las hacen únicas y 
fundamentales en matemáticas: 
 
 
 
- La función cuadrática está definida para todos los 
valores reales de la variable independiente (x). 
 
- La parábola representativa de la función es 
simétrica con respecto a un eje vertical que pasa 
por su vértice, también conocido como la recta de 
simetría. 
 
 
- El vértice de la parábola es el punto más alto o 
más bajo de la función, según la constante a. Si a 
> 0, el vértice es un mínimo; si a < 0, el vértice es 
un máximo. 
 
- La apertura de la parábola también está 
determinada por la constante a. Cuanto mayor sea 
el valor absoluto de a, más estrecha será la 
parábola; cuanto menor sea, más ancha será. 
 
 
- La abertura de la parábola también se ve afectada 
por el término bx. Si bx ≠ 0, la parábola se 
desplazará horizontalmente, alterando la posición 
del eje de simetría. 
 
 
 
Interceptos de la función cuadrática 
 
 
 
Los interceptos x e y son puntos importantes para 
entender la función cuadrática. Estos se determinan 
cuando la función cruza los ejes x o y en el plano 
cartesiano: 
 
 
 
- Intercepto x: se calcula al resolver la ecuación ax² 
+ bx + c = 0. Si la función tiene dos raíces reales 
(x1 y x2), entonces hay dos interceptos x. Si solo 
tiene una raíz real, solo hay un intercepto x. Si la 
función no tiene raíces reales, no hay interceptos 
x. 
 
- Intercepto y: se determina cuando x = 0, lo que 
simplifica la ecuación a f(0) = c. Si c ≠ 0, entonces 
hay un intercepto y en el punto (0, c). 
 
 
 
 
Transformaciones de la función cuadrática 
 
 
 
La función cuadrática puede ser transformada 
mediante el cambio de algunas de sus constantes, lo 
que afecta la apariencia y las características de la 
parábola: 
 
 
 
- Cambio en la constante a: cambia la apertura de 
la parábola y el sentido de la misma. 
 
- Cambio en la constante b: desplaza la parábola 
horizontalmente, alterando la posición del eje de 
simetría. 
 
 
- Cambio en la constante c: desplaza la parábola 
verticalmente. 
 
 
 
Aplicaciones de la función cuadrática 
 
 
La función cuadrática tiene amplias aplicaciones en 
diversos campos del conocimiento: 
 
 
 
- La física utiliza la función cuadrática para describir 
la trayectoria de proyectiles lanzados en el aire, 
como balas, pelotas y otros objetos en 
movimiento. 
 
- En la ingeniería, se utiliza para resolver problemas 
de optimización en el diseño de estructuras y 
sistemas, como la determinación de la mejor 
forma para un arco o una viga. 
 
 
- En economía, la función cuadrática puede 
representar la relación entre el precio y la 
demanda de un producto, o el comportamiento de 
los costos y los beneficios en una empresa. 
 
 
 
Gráficas y transformaciones de funciones 
cuadráticas 
 
 
 
Para graficar una función cuadrática, es útil determinar 
algunos puntos clave: 
 
 
 
- El vértice: el punto más alto o más bajo de la 
parábola. Se determina con la fórmula x = -b / 2ª. 
 
- Los interceptos x: los puntos donde la parábola 
interseca el eje x. Se encuentran resolviendo la 
ecuación ax² + bx + c = 0. 
 
 
- El intercepto y: el punto donde la parábola 
interseca el eje y. Se encuentra sustituyendo x = 0 
en la ecuación. 
 
 
 
Hay varias formas de representar una función 
cuadrática: 
 
 
 
- Forma general: f(x) = ax² + bx + c 
 
- Forma vertex: f(x) = a(x – h)² + k, donde (h, k) 
representa el vértice de la parábola. 
 
 
- Forma factorizada : f(x) = a(x – r)(x – s), donde r y 
s son las raíces de la ecuación. 
 
 
 
Las transformaciones de la función cuadrática 
incluyen: 
 
 
 
- Compresión o estiramiento vertical: multiplicando 
la función por una constante a > 1 (estiramiento) o 
0 < a < 1 (compresión). 
 
- Compresión o estiramiento horizontal: 
multiplicando la variable independiente (x) por una 
constante a > 1 (compresión) o 0 < a < 1 
(estiramiento). 
 
 
- Reflexión: multiplicando la función o la variable 
independiente por -1 para reflejar la parábola a 
través del eje x o y. 
 
- Desplazamiento vertical: sumando o restando una 
constante k a la función para desplazar la 
parábola hacia arriba o hacia abajo. 
 
 
- Desplazamiento horizontal: sumando o restando 
una constante h a la variable independiente para 
desplazar la parábola hacia la izquierda o hacia la 
derecha. 
 
 
 
Fórmulas relacionadas con la función cuadrática 
 
 
Además de la fórmula general, existen otras fórmulas 
útiles relacionadas con las funciones cuadráticas: 
 
 
 
- Fórmula del discriminante: Δ = b² - 4ac, que 
determina el número y la naturaleza de las raíces 
de la ecuación. Si Δ > 0, hay dos raíces reales; si 
Δ = 0, hay una raíz real; si Δ < 0, no hay raíces 
reales. 
 
- Fórmula de Bhaskara: x = (-b ± √Δ) / 2ª, que 
permite resolver una ecuación cuadrática para 
encontrar sus raíces. 
 
 
- Fórmula del eje de simetría: x = -b / 2ª, que 
determina la posición del eje de simetría de la 
parábola. 
 
 
 
En conclusión, las funciones cuadráticas tienen una 
amplia gama de aplicaciones en diversos campos, y su 
comprensión es fundamental en el estudio de las 
matemáticas y otras disciplinas científicas y técnicas.