TP Funciones parte 2 Ej 15

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UBA XXI Modalidad virtual
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
Práctico 2 . Funciones Polinómicas – Ejercicio 15_2 1
SOLUCION Y COMENTARIOS
g(x) = 2 x (x – 3)
 C0; C+ y C- de g(x) = 2x(x - 3)
Podemos escribir a g(x) = 2x(x – 3) como g(x) = 2x2 – 6x y proceder a desarrollar el ejercicio en
forma similar a lo que hicimos en el ítem anterior.
Pero esto no es conveniente, pues necesitaremos volver a escribirla como producto, para hallar
los intervalos de positividad y negatividad.
Veamos que también, podemos hallar los ceros de g a partir de su expresión como producto.
Como para hallar el conjunto de ceros, C0(g), debemos ver para qué valores del dominio de g es
g(x) = 0 hacemos:
2x (x - 3) = 0
Y como para que un producto sea cero alguno de los factores o ambos es cero,
2x = 0 ó x – 3 = 0
x = 0 ó x = 3
Entonces: C0(g) ={0; 3}.
Observa que si hubiéramos usado la propiedad: x2 + bx + c = a(x - x1) ( x - x2) donde x1 y
x2 son las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0, que enunciamos con anterioridad, no
teníamos que hacer ningún cálculo.
Para hallar C+(g), debemos encontrar los valores del dominio de la función para los cuales g es
positiva, es decir, g(x) > 0. Esto es resolver la inecuación:
2x (x - 3) > 0
O, dividiendo por 2 ambos miembros:
x(x-3) > 0
Como el producto es mayor que cero ambos factores son positivos o ambos negativos, tenemos:
x > 0  x – 3 > 0  x < 0 x – 3 < 0
Resolviendo resulta:
S1 = (3; +) S2 = (-; 0)
S = S1 S2
S = (3; +) (-; 0) =  - [0; 3]
Por lo tanto C+(g) = (3; +) (-; 0) = - [0; 3]
En forma similar hallamos el conjunto de negatividad de g; C -(g).
15. Para las funciones
f(x) = -x2 -2x + 1 g(x) = 2 x (x-3) h(x) = (x -1)2 + 3
determiná:
a. C0; C+ y C-a
b. Los valores máximos y mínimos relativos.
c. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
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Práctico 2 . Funciones Polinómicas – Ejercicio 15_2 2
Resolviendo la inecuación 2x (x - 3) < 0 resulta:
C -(g) = (0; 3)
 Los valores máximos y mínimos relativos de g(x) = 2 x (x-3)
La ecuación de la parábola asociada al gráfico de g es y = 2x(x-3). Como a = 2 > 0, la
parábola tendrá sus ramas hacia arriba, lo que significa que el vértice, se corresponde con un
mínimo de la función g.
Recordemos que el vértice es el único punto de la parábola que pertenece al eje de simetría de la
misma. Si encontramos la ecuación del eje de simetría, encontramos también la abscisa del vértice.
Los puntos (0; 0) y (3; 0) pertenecen a la parábola asociada a la función g . Como tienen la misma
imagen esto significa que son simétricos respecto al eje de simetría de la parábola. Por lo tanto sus
abscisas equidistan del eje. Es decir, 0 y 3 están a la misma distancia del eje de simetría.
En consecuencia el eje de simetría pasa por la
abscisa que es el punto medio entre 0 y 3.
La hallamos haciendo:
2
3
2
03
x 


Entonces la ecuación del eje de simetría es:
2
3x 
Comprobemos que es cierto reemplazando en la ecuación de la parábola y = 2x(x-3), por dos puntos
simétricos respecto al eje.
Por ejemplo: si x1 = 1; y = 2.1(1-3) = -4. Entonces (1; -4) pertenece a la parábola.
Su simétrico; (2; -4) también pertenece pues si x2 = 2; y = 2.2 (2-3) = -4
Entonces, el eje de simetría de la parábola asociada a la función dada es la recta de ecuación
2
3
x  .
Por lo que el vértice de esta parábola es el punto
3 3
; g
2 2
  
    
.
Hallemos
3
g
2
 
 
 
:
23 3 3
g 2 . 6 .
2 2 2
       
   
3 9
g 2 . 9
2 4
   
 
3 9
g 9
2 2
    
3 9
g
2 2
  
 
Por lo tanto, el vértice es el punto
3 9
;
2 2
  
 
y es un mínimo de la función, con lo cual la función no
tiene máximo.
 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de g(x) = 2 x (x-3)
Como el vértice
3 9
;
2 2
  
 
es un mínimo de g(x) = 2x2 – 6x, entonces esta función decrece a la
izquierda del eje de simetría x =
3
2
y crece a la derecha de dicho eje.
Por lo tanto: g(x) es decreciente en el intervalo
3
;
2
   
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Práctico 2 . Funciones Polinómicas – Ejercicio 15_2 3
g(x) es creciente en el intervalo 3 ;
2
  
 