TP Funciones parte 2 Ej 13

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Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
Práctico 2 Funciones Polinómicas – Ejercicio 13 1
SOLUCION Y COMENTARIOS
Las funciones cuadráticas están definidas para cualquier número real.
Su dominio es siempre el conjunto de los números reales.
Como las tres funciones graficadas son cuadráticas, para todas ellas es Domf = .
Buscamos entonces el conjunto imagen y la fórmula que caracteriza a cada una de ellas.
Imagen de f.
La imagen de una función a partir de su gráfico se determina
sobre el eje de las ordenadas considerando el conjunto de
los valores “b” para los cuales la recta horizontal que pasa
por “b” corta al gráfico de la función por lo menos una vez.
Entonces, si (x; b) es un punto de dicha intersección, resulta
que f(x) = b.
Luego, para el gráfico de la función cuadrática dada:
Imf =  0 ;
También podemos hallar la imagen de la función utilizando el vértice de la parábola. Como en el
vértice, o sea el punto (0; 0), la función alcanza un mínimo, entonces la imagen es el intervalo que va
desde el valor mínimo de la función a más infinito, es decir,
Imf =  0 ;
Fórmula de f.
La gráfica corresponde a una función cuadrática de la forma f(x) = ax2 (a y a 0).
Sabiendo que el punto (3; 12) pertenece a la gráfica de la función lo usamos para hallar a,
f(3) = 12  a.32 = 12  a = 12 : 9  a =
9
12
 a =
3
4
Luego es a =
3
4
y la fórmula que define a f es:
f(x) =
3
4
x2
12
3
a.
13. Para cada uno de los siguientes gráficos de funciones cuadráticas, den dominio,
imagen y la fórmula que la caracteriza.
12
3
a b c
3
18
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Práctico 2 Funciones Polinómicas – Ejercicio 13 2
Imagen de f.
Hallemos la imagen de la función utilizando el vértice
de la parábola.
Como el vértice, o sea el punto (3; 18), es un
máximo de la función, entonces la imagen es el
intervalo que va desde menos infinito hasta el valor
máximo de la función, es decir,
Im f =  ;18
Fórmula de f.
Observamos que la gráfica de f obtiene trasladando
 3 unidades hacia la derecha el gráfico de y= ax2 (con a<0). Por lo que resulta y = a(x-3)2
 Y luego trasladando 18 unidades hacia
arriba el gráfico de y = a(x-3)2.
Por lo que resulta y = a(x-3)2 + 18.
Obsevá que las coordenadas del vértice se
visualizan en la ecuación que define la
parábola que estamos estudiando:
y = a(x-3)2 + 18, siendo V = (3; 18)
Como la parábola es la gráfica asociada a la función f
que estamos estudiando, entonces la fórmula de f es:
f(x) = a(x-3)2 + 18
Nos falta encontrar a.
Como el punto (0; 0) pertenece a la gráfica de f verifica que f(0) = 0.
3
18
b.
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Práctico 2 Funciones Polinómicas – Ejercicio 13 3
Reemplazando en
f(x) = a(x-3)2 + 18
es: f(0) = a(0 -3)2 + 18 = 0  a(-3)2 + 18 = 0
 9a + 18 = 0
 a = -18 : 9
 a = -.2
Entonces f(x) = - 2(x – 3)2 + 18
Imagen de f.
Nuevamente para hallar la imagen de la función,
podemos utilizar el vértice de la parábola. Como
el vértice, o sea el punto (0; 3), es un mínimo de
la función, entonces la imagen es el intervalo que
va desde el valor mínimo de la función a más
infinito, es decir, Im f =  3 ; .
Fórmula de f
Para hallar la fórmula de f tenemos en cuenta que la gráfica de la parábola asociada a la función no
es más que un desplazamiento en k unidades hacia arriba de la parábola de ecuación y = ax2.
Como k = 3 (la gráfica de y = ax2 está desplazada 3 unidades hacia arriba), entonces la ecuación de
la parábola es de la forma y = ax2 + 3.
Además, el punto (1; 5) es un punto de la parábola, reemplazando sus coordenadas en y = ax2 + 3
podemos hallar a.
5 = a 12 + 3  5 = a + 3  a = 2
Con lo que la ecuación de la parábola es y = 2x2 + 3 y en consecuencia la fórmula de f es:
f(x) = 2x2 + 3
Observación:
Dada la función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c (con a 0) y conocidas las coordenadas del vértice de la
parábola asociada, se puede mostrar que:
f(x) = ax2 + bx + c = a (x - p)2 + k ; (con a 0)
donde p y k son las coordenadas del vértice, V = (p; k).
En el anexo teórico (pág. 40) encontrás una expresión similar, relacionada al eje de simetría de la
parábola, donde se dice que una función cuadrática dada por:
f(x) = ax2 + bx + c; (con a y a 0).
se puede expresar en forma equivalente por:
-1 1
3
5
c.
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Práctico 2 Funciones Polinómicas – Ejercicio 13 4
a4
bac4
a2
bxa)x(f
22 




 
donde la ecuación del eje de simetría es la recta x =
a2
b .
Si recordamos que el vértice es el único punto que pertenece al eje de simetría y a la parábola,
entonces por pertenecer al eje de simetría, su abscisa es
a2
b .
Además
a4
bac4 2 =
a2
bf 




Entonces: 








a2
b-f;
a2
bV