ElementosCuadernillo3

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Elementos de Matemática y Estadística
CUADERNILLO 3
UNIDAD 1: ARITMÉTICA ELEMENTAL
Unidad 1 – Cuadernillo 3
Contenido
1. ECUACIONES CUADRÁTICAS........................................................................3
a. Formas de la ecuación cuadrática............................................................3
i. Sin término lineal....................................................................................3
ii. Sin término independiente.....................................................................5
b. Fórmula resolvente...................................................................................6
2. LOGARITMOS................................................................................................6
a. Definición..................................................................................................6
b. Propiedades..............................................................................................7
c. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.................................................9
2
Elementos de Matemática y Estadística
UNIDAD 1:
ARITMÉTICA
ELEMENTAL
1.ECUACIONES CUADRÁTICAS
Se denominan ecuaciones cuadráticas a aquellas en las que el mayor
exponente de la variable a averiguar es 2 (es decir, está elevada al cuadrado).
a. Formas de la ecuación cuadrática 
Una ecuación cuadrática completa tiene la siguiente forma:
2 0ax bx c  
Donde a ,b , c son tres números reales cualesquiera.
Si falta alguno de los términos, decimos que es una ecuación cuadrática
incompleta; y tendremos dos casos posibles:
• Que falte el término lineal bx . La ecuación queda como:
ax2+c=0
• Que falte el término independiente c . La ecuación toma esta forma:
ax2+bx=0
Las estrategias para resolver este tipo de ecuaciones son las siguientes:
i. Sin término lineal
Si en la ecuación no figura el término lineal bx , es posible proceder de
la siguiente forma:
3
Unidad 1 – Cuadernillo 3
ax2+c=0
ax2=−c
x2=−
c
a
 
Cuando pasamos el exponente como índice, por ser un índice par, no nos
tenemos que olvidar de poner barras de módulo:
|x|=√−ca
Al resolver el módulo vamos a obtener dos valores para x :
x1=√− ca x2=−√− ca
Ejemplo:
1
2
x2−8=0
1
2
x
2
=8
x2=8:
1
2
x2=16
|x|=√16
|x|=4
x1=4 x2=−4
 
Si hacemos la comprobación reemplazando la incógnita por cualquiera de los
dos valores obtenidos como resultado, veremos que ambos satisfacen la
igualdad:
Si x=4 : 1
2
⋅42−8=0
1
2
⋅16−8=0
8−8=0
 
4
Elementos de Matemática y Estadística
Si x=−4 : 1
2
⋅(−4)2−8=0
1
2
⋅16−8=0
8−8=0
Si ambos términos tienen el mismo signo, este tipo de ecuaciones no tiene
resultado en el campo de los números reales, por ejemplo:
x2+1=0
No existe ningún número real, sea cero, positivo o negativo, que elevado al
cuadrado dé como resultado -1, de manera que al sumarle 1 dé cero. 
ii. Sin término independiente
Si en la ecuación no figura el término independiente (c), sacamos x como
factor común:
ax2+bx=0
x⋅(ax+b)=0
Para que un producto dé como resultado cero, alguno de los factores debe
ser cero:
x⋅(ax+b)=0 → { x=0ax+b=0
Uno de los resultados es cero, y el otro se obtiene al despejar en la ecuación
que quedó al sacar el factor común
ax+b=0 → x=−
b
a
Ejemplo:
5
Unidad 1 – Cuadernillo 3
1
3
x2−2 x=0
x⋅( 13 x−2)=0
x1=0
1
3
x−2=0
1
3
x=2
x2=6
 
b. Fórmula resolvente
Para las ecuaciones cuadráticas completas debemos recurrir a la fórmula de
Bhaskara:
x1 ;2=
−b±√b2−4 ac
2a
 
Ejemplo:
4 x2−6x+2=0 {
a=4
b=−6
c=2
 
x1;2=
−(−6)±√ (−6)2−4⋅4⋅2
2
⋅4
x1 ,2=
6±√ 36−32
8
=
6±√ 4
8
=
6±2
8
Cuando llegamos a este punto, separamos
para obtener los dos resultados:
x1=
6+2
8
x1=1
x2=
6−2
8
x2=
1
2
goo.gl/
nkMwaE
Recurso
Multimedia 1
6
http://goo.gl/nkMwaE
http://goo.gl/nkMwaE
http://goo.gl/nkMwaE
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2.LOGARITMOS
a. Definición
logb(a)=c ⇔b
c
=a 
Para resolver un logaritmo, debo preguntarme: ¿a qué exponente hay que
elevar b para obtener a ?
Por ejemplo:
log5 (25)=2 ⇔ 5
2=25
log4( 164 )=−3 ⇔ 4
−3
=
1
64
b. Propiedades
Señalamos, a continuación, algunas propiedades de los logaritmos.
1. No existen logaritmos de 0 ni de números negativos.
Esto se debe a que, de acuerdo con la definición, debería cumplirse:
logb(0)=a ⇔ b
a
=0
Dentro de los campos numéricos no existe ningún par (a, b) que cumpla
con esta condición. Lo mismo ocurre con los números negativos.
2. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0.
logb(1)=0⇔b
0
=1
Esto se cumple para cualquier número que figure como base, excepto para
el 0; pero, por la primera propiedad, dicho número ya estaba excluido.
3. Si la base y el argumento son iguales, el resultado es 1.
logb(b)=1⇔b
1
=b
7
Unidad 1 – Cuadernillo 3
4. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos.
logb(a⋅c)=logb(a)+logb(c)
5. El logaritmo de un cociente es igual a la resta de los logaritmos.
logb( ac )=logb (a )− logb ( c )
6. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente
por el logaritmo de la base.
logb(a
c
)=c⋅log b(a)
7. El logaritmo de una raíz es igual al producto del inverso del
índice por el logaritmo del radicando
logb
c
√ a=
1
c
⋅logb (a )
8. Cambio de base.
La regla para cambiar la base de un logaritmo es la siguiente:
logba=
logca
logcb
Por ejemplo:
log864=
log264
log28
=
6
3
=2
8
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Las bases más utilizadas son 10 y el número
e .
Los logaritmos de base 10 se denominan
logaritmos decimales, y habitualmente se
omite la escritura de la base en la notación. Por
ejemplo:
log10a=loga
Los logaritmos de base e se denominan
logaritmos naturales o neperianos. La
notación de estos logaritmos es diferente. Por
ejemplo:
logea=lna
El número e es un número irracional, cuyo 
valor aproximado es 2,71821.
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Recurso
Multimedia 2
c. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Una de las aplicaciones de los logaritmos es la resolución de ecuaciones
exponenciales (la incógnita figura como exponente).
Por ejemplo:
0,1252x +1=0,03125−3 x+4
Para resolver, seguimos los siguientes pasos:
1º) Aplicamos logaritmos en ambos miembros (puede se un logaritmo en
cualquier base, en general se usa la base diez)
log (0,1252 x+1 )= log (0,03125−3x+ 4 )
2º) Aplicamos la propiedad 6 de los logaritmos (el exponente pasa como
producto)
(2 x+1)⋅log(0 ,125)=(−3 x+4)⋅log (0,03125)
3º) A partir de acá, resolvemos como en cualquier ecuación:
1 El número e es un elemento fundamental en el análisis matemático. En dicha
asignatura profundizaremos el tema.
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https://goo.gl/a54U9H
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Unidad 1 – Cuadernillo 3
2x+1=
(−3x+4)⋅log(0,03125)
log(0,125)
2x+1=
(−3 x+4)⋅5
3
2 x+1=−5 x+
20
3
7 x=
17
3
x=
17
21
 
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Recurso Multimedia 3 Recurso Multimedia 4
goo.gl/BZ3xhs goo.gl/EffGJF
Recurso Multimedia 5 Recurso Multimedia 6
10
https://goo.gl/EffGJF
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https://goo.gl/BZ3xhs
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