CÁTEDRA DE MATEMÁTICA Facultad de Agronomía

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CARTILLA DE EJERCICIOS DE MATEMATICA 
 
INGRESANTES 2012 
 
INGENIERIA AGRONOMICA 
 
Facultad de Agronomía de la U.N.L.Pam. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Adjunto: Lic. Andrea PIA SALVADORI 
 Jefes de Trabajos Prácticos: Prof. Rosana BOTTA GIODA 
 Lic. Daniela SCARIMBOLO 
 Ayudantes de Primera: Prof. FOLGUERAS Ana 
 Prof. DÍAZ Cristina 
 
 
 
 
 
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2 
 
 
Los contenidos mínimos correspondientes a la asignatura Matemática son los 
siguientes: 
Lógica matemática y conjuntos numéricos. Análisis combinatorio. Álgebra, 
matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Geometría Analítica. Funciones. 
Límite y continuidad. Cálculo infinitesimal (derivadas e integrales). Nociones de 
ecuaciones diferenciales. 
Algunos de estos temas ya fueron abordados en el nivel medio, por lo que se 
recomienda su revisión para favorecer una mejor comprensión de las actividades 
que se desarrollarán en la asignatura. 
Para esto, presentamos un material de consulta que contiene actividades de 
repaso para realizar. 
Los invitamos a realizarlas y cualquier duda que les pueda surgir pueden 
escribirnos ingresando a la página de la cátedra www.agro.unlpam.edu.ar/moodle/ 
y luego al foro de consultas que los docentes responderán oportunamente a ellas. 
Ante cualquier inconveniente pueden escribir al docente responsable de la cátedra 
Lic. Andrea Pía Salvadori andreapia@agro.unlpam.edu.ar 
 
 
 
 
 
http://www.agro.unlpam.edu.ar/moodle/
mailto:andreapia@agro.unlpam.edu.ar
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NÚMERO REAL 
Diferentes clases de números reales. 
 
En matemáticas, los números reales incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) 
como a los números irracionales aquellos que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen 
infinitas cifras decimales no periodicas, tales como: . Números reales son aquellos que poseen 
una expresión decimal. 
Pueden ser descritos de varias formas, aparentemente simples, pero estas carecen del rigor necesario 
para los propósitos formales de matemáticas. 
 
 
Tipos de números reales 
 
Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son 
aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, 
mientras que los irracionales son todos los demaś. Los números racionales también pueden describirse 
como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales 
tienen una expansión decimal aperiódica: 
Ejemplos 
1/4 = 0,250000... ES un número racional puesto que es periódico a partir del tercer numero 
decimal. 
5/7 = 0,7142857142857142857.... ES racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285). 
es irracional y su expansión decimal es aperiódica 
 
Operaciones con números reales 
 
Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones 
importantes: 
1. No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en 
números reales, razón por la que existe el conjunto de los números complejos donde estas 
operaciones sí están definidas. 
2. No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie, es decir, 
no existe la operación de dividir entre nada. 
Estas dos restricciones tienen repercusiones importantes en ramas más avanzadas de las matemáticas: 
existen asíntotas verticales en los lugares donde una función se indefine, es decir, en aquellos valores de 
la variable en los que se presenta una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de 
la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de 
construcción de gráficas en geometría analítica. 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional
http://es.wikipedia.org/wiki/Cociente_(aritm%C3%A9tica)
http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_entre_cero
http://es.wikipedia.org/wiki/As%C3%ADntotas
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)
http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_entre_cero
http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_de_una_funci%C3%B3n
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Notación 
 
Los números reales miden cantidades continuas que se expresan con fracciones decimales que tienen 
una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. 
Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo 
que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia. 
Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más 
conciso escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos 
como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el 
concepto y significado del número real. En el análisis matemático los números reales son objeto principal 
de estudio. Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la 
continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los números enteros lo son de las 
matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad. 
 
Construcciones de los números reales 
 
Construcción axiomática 
 
El conjunto de números reales, denotado por es aquel conjunto en el que cada elemento cumple cada 
una de las siguientes proposiciones: 
1. Si , entonces (Cerradura en la suma) 
2. Si , entonces (Conmutatividad en la suma) 
3. Si , entonces (Asociatividad en la suma) 
4. Existe de manera que para todo (Neutro aditivo) 
5. Para cada existe un elemento tal que (Inverso aditivo) 
6. Si , entonces (Cerradura en la multiplicación) 
7. Si , entonces (Conmutatividad en la multiplicación) 
8. Si , entonces (Asociatividad en la multiplicación) 
9. Existe de manera que para cualquier (Neutro multiplicativo) 
10. Para cada existe un elemento tal que (Inverso 
multiplicativo) 
11. Si , entonces (Distributividad de la multiplicación en la 
suma) 
12. Si , entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía) 
o 
o 
o 
13. Si , y entonces (Transitividad) 
14. Si y , entonces (Monotonía en la suma) 
15. Si , y , entonces (Monotonía en la multiplicación) 
16. Si es un conjunto no vacío acotado superiormente en , entonces tiene supremo en 
(Axioma del supremo) 
Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma 
es el que distingue de otros cuerpos ordenados como . 
 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_discretas
http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_tricotom%C3%ADa
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Construcción por números decimales 
 
Consideramos los números decimales como los conocemos intuitivamente. Sabemos que 
, es decir, el número π se expresa como el número entero 3 
y una secuencia infinita de dígitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc. 
Un número decimal se expresa entonces como donde x es un número entero y cada di 
es un elemento del conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Además, consideramos que no existen las colas de 9. 
Al conjunto de todos los números decimales donde x es un número entero positivo se le denotapor y 
se le llama el conjunto de los números reales positivos. 
Al conjunto de todos los números decimales donde x es un número entero negativo se le denota por y 
se le llama el conjunto de los números reales negativos. 
Al número decimal se le llama cero. 
Al conjunto se le denota por y se le llama conjunto de números reales. 
 
Se define la relación de orden total de los números decimales como 
 
1. para todo 
2. siempre que y 
3. para todo 
4. Dados dos números reales cualesquiera y , 
en cualquiera de los casos siguientes: 
o 
o y además existe tal que para todo y 
 
ÁLGEBRA ELEMENTAL 
 
La álgebra elemental es una fundamental y relativamente básica forma de álgebra enseñada a los 
estudiantes que se presumen tienen poco o nada de conocimiento formal de las matemáticas más allá de 
la aritmética. Mientras que en aritmética solo ocurren los números y sus operaciones aritméticas 
elementales (como +, -, ×, ÷), en álgebra también se utilizan símbolos para denotar números (como x, y, a 
y b). Éstos son llamados variables. Esto es útil porque: 
 Permite la generalización de ecuaciones aritméticas (y de inecuaciones) para ser indicadas como 
leyes (por ejemplo para toda y ), y es así el primer paso al estudio 
sistemático de las propiedades del sistema de los números reales. 
 Permite la referencia a números que no se conocen. En el contexto de un problema, una variable 
puede representar cierto valor que todavía no se conoce, pero que puede ser encontrado con la 
formulación y la manipulación de las ecuaciones. 
 Permite la exploración de relaciones matemáticas entre las cantidades (por ejemplo, “si usted 
vende x boletos, entonces, su beneficio será 3x - 10 dólares”). 
Estas tres son los hilos principales del álgebra elemental, que deben ser distinguidos del álgebra 
abstracta, un tema más avanzado enseñado generalmente a los estudiantes universitarios. 
En álgebra elemental, una expresión puede contener números, variables y operaciones aritméticas. Por 
convención, éstos generalmente se escriben con los términos con exponente más altos a la izquierda (ver 
polinomio); algunos ejemplos son: 
 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_pi
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
http://es.wikipedia.org/wiki/0,9_peri%C3%B3dico
http://es.wikipedia.org/wiki/Orden_total
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas
http://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
http://es.wikipedia.org/wiki/Variable
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Inecuaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_abstracta
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_abstracta
http://es.wikipedia.org/wiki/Expresi%C3%B3n_matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio
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En un álgebra más avanzada, una expresión también puede incluir funciones elementales. 
Una ecuación es la aseveración de que dos expresiones son iguales. Algunas ecuaciones son verdades 
para todos los valores de las variables implicadas (por ejemplo ); tales ecuaciones son 
llamadas identidades. Las ecuaciones condicionales son verdades para solamente algunos valores de las 
variables implicadas: . Los valores de las variables que hacen la ecuación verdadera se 
llaman las soluciones de la ecuación. 
 
Signos de operación 
 
Al igual que en la aritmética, en el álgebra se usan las operaciones de suma, resta, multiplicación, y 
división. Adicionalmente están las operaciones de potenciación y radicación. 
Los signos de operación son: 
 Suma: + 
 Resta: - 
 Multiplicación: × o ·, o es implícito entre las variables 
 División: /, : o 
 Potenciación: Es un pequeño número o letra arriba y a la derecha de una cantidad 
 Radicación: 
 
Signos de relación 
Indican la relación que hay entre dos expresiones. Los signos de relación son: 
 Menor que: < 
 Mayor que: > 
 Igual a: = 
 
Signos de agrupación 
Los signos de agrupación se usan para cambiar el orden de las operaciones. Las operaciones indicadas 
dentro de ellos deben realizarse primero. 
Los signos de agrupación son: 
 El paréntesis: () 
 El corchete: [] 
 La llave: {} 
 
Expresiones algebraicas 
 
Término 
Término es una expresión algebráica elemental donde se encuentran solo operaciones de multiplicación y 
división de números y letras. El número se llama coeficiente y las letras conforman la parte literal. Tanto 
el número como cada letra pueden estar elevados a una potencia. En una expresión algebraica con 
varios términos, éstos están separados con signos de suma y resta. 
Término independiente 
El término independiente es el que consta de solo un número y no tiene parte literal. 
Términos semejantes 
Los términos semejantes son los que tienen exactamente la misma parte literal (con las mismas letras 
elevadas a los mismos exponentes), y varían solo en el coeficiente. Solo se pueden sumar y restar 
términos semejantes. No se pueden sumar y restar términos que no sean semejantes, sin embargo, se 
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_elemental
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_(%C3%A1lgebra)
http://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Suma
http://es.wikipedia.org/wiki/Resta
http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)
http://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Radicaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Potencia
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puede multiplicar y dividir todo tipo de término. Si en una expresión algebraica hay varios términos 
semejantes, éstos se pueden simplificar sumándolos o restándolos. 
Grado de un término 
El grado de un término puede ser de dos tipos, grado absoluto y grado relativo. 
 Grado absoluto. Es la suma de los exponentes de cada letra de la parte literal. 
 Grado relativo. Se toma en cuenta con respecto a una letra, y es el exponente de esta letra. 
 
Polinomio 
Es una expresión algebraica que contiene uno o más términos. Cuando el polinomio consta de 
uno, dos y tres términos se llama monomio, binomio y trinomio respectivamente. 
 Monomio: Es una expresión algebraica que contiene un solo término 
 Binomio : Es una expresión algebraica que contiene dos términos 
 Trinomio : Es una expresión algebraica que contiene tres términos 
Valor numérico de un polinomio 
Es el valor que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos y luego realizar las operaciones del 
polinomio. 
Leyes del álgebra elemental1 
 
Propiedades de las operaciones 
 La operación de adición (+) 
o se escribe 
o es comutativa: 
o es asociativa: 
o tiene una operación inversa llamada sustracción: , que es igual a 
sumar un número negativo, 
o tiene un elemento neutro 0 que no altera la suma: 
 La operación de multiplicación (×) 
o se escribe o 
o es comutativa: = 
o es asociativa: 
o es abreviada por yuxtaposición: 
o tiene una operación inversa, para números diferentes a cero, llamada división: , 
que es igual a multiplicar por el recíproco, 
o tiene un elemento neutro 1 que no altera la multiplicación: 
o es distributiva respecto la adición: 
 La operación de potenciación 
o se escribe 
o es una multiplicación repetida: (n veces) 
o no es ni comutativa ni asociativa: en general y 
o tiene una operación inversa, llamada logaritmo: 
http://es.wikipedia.org/wiki/Monomio
http://es.wikipedia.org/wiki/Binomio
http://es.wikipedia.org/wiki/Trinomio
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_elemental#cite_note-law-0
http://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Conmutatividad
http://es.wikipedia.org/wiki/Asociatividad_(%C3%A1lgebra)
http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_opuesto
http://es.wikipedia.org/wiki/Sustracci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativo
http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutro
http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_multiplicativo
http://es.wikipedia.org/wiki/Cero
http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_multiplicativo
http://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_distributiva
http://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo
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o puede ser escrita en términos de raíz n-ésima: y por lo tanto las raíces 
pares de números negativos no existen en el sistema de los números reales. (Ver: sistema 
de números complejos) 
o es distributiva con respecto a la multiplicación: 
o tiene la propiedad: 
o 
o tiene la propiedad: 
 
Orden de las operaciones 
 
Para completar el valor de una expresión, es necesario calcular partes de ella en un orden particular, 
conocido como el orden de las operaciones. Primero se calcula los valores de las expresiones encerradas 
en signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves), seguidas por multiplicaciones y divisiones, y 
seguidas finalmente por las sumas y las restas. 
 
Propiedades de la igualdad 
 
La relación de igualdad (=) es: 
 reflexiva: 
 simétrica: si entonces 
 transitiva: si y entonces 
 
Leyes de la igualdad 
La relación de igualdad (=) tiene las propiedades siguientes: 
 si y entonces y 
 si entonces 
 si dos símbolos son iguales, entonces, uno puede ser sustituido por el otro. 
 regularidad de la suma: trabajando con números reales o complejos sucede que si 
entonces . 
 regularidad condicional de la multiplicación: si y no es cero, entonces . 
Leyes de la desigualdad 
La relación de desigualdad (<) tiene las siguientes propiedades: 
 de transitividad: si y entonces 
 si y entonces 
 si y entonces 
 si y entonces 
Regla de los signos 
En el producto (cociente) de números positivos (+) y negativos (-) se cumplen las siguientes reglas: 
 
 
 
 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
http://es.wikipedia.org/wiki/Igualdad_matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_reflexiva
http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_sim%C3%A9trica
http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_transitiva
http://es.wikipedia.org/wiki/Igualdad_matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Inecuaci%C3%B3n
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RECTA REAL 
La recta real es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el 
cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y 
los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada 
punto de la recta y un número real. 
 
Esta recta numérica real o recta de coordenadas, se construye como sigue: se elige de manera arbitraria 
un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia 
adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta 
numérica. 
Intervalo 
En análisis, se denomina intervalo a todo subconjunto conexo de la recta real. Más precisamente, son las 
únicas partes I de R que verifican la siguiente propiedad: 
si x e y pertenecen a I, x ≤ y, entonces para todo z tal que x ≤ z ≤ y, z pertenece a I. 
Contenido 
[ocultar] 
 1 Notación 
 2 Clasificación 
 3 Generalización 
 4 Véase también 
 5 Referencias 
Notación 
Para representar intervalos, usan habitualmente dos notaciones, por ejemplo, para representar el 
conjunto de los x tal que a ≤ x < b se puede representar [a; b) o bien [a; b] . La primera es la vigente en el 
mundo anglosajón, la segunda en Francia y en la francofonía. La regla del corchete invertido resulta más 
intuitiva si uno se imagina que el corchete es una mano que tira hacia fuera o empuja hacia dentro, 
respectivamente, un extremo del intervalo. En el ejemplo anterior, a pertenece al intervalo mientras que b 
no. 
 
Es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de una recta o segmento, en el que se 
encuentra un ordenamiento interno entre ellos. Los intervalos es el espacio que se da de un punto a otro 
en el cual se toman en cuenta todos lo puntos intermedios. Por ejemplo: en una recta tenemos un 
intervalo:[-2,2]entre este espacio se encuentran los números (-2-1,0,1,2) aquí se encuentra un 
intervalo.....ya que el espacio abarca una serie de números consecutivos que se corresponden entre sí. 
 
También existe una regla memotécnica para el uso del paréntesis: si se dibuja sobre la recta real dos 
intervalos adyacentes, como (0; 1) y (1; 2) (es decir, se pinta la recta real y se coloca cuatro paréntesis 
donde corresponda), entre los dos intervalos cabe un signo 1 (o lo que corresponda según los intervalos) 
cabe, apretado pero cabe. Mientras que si los dos intervalos son (0, 1] y [1, 2), o (0, 1] y [1, 2) el número 
no cabe, o cabe muy estrangulado. O sea, que si los dos intervalos son abiertos, el número 1 no 
pertenece a ninguno, y por tanto hay espacio para meterlo en medio. 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
http://es.wikipedia.org/wiki/Cero
http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_conexo
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
javascript:toggleToc()
http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_cerrado#Notaci.C3.B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_cerrado#Clasificaci.C3.B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_cerrado#Generalizaci.C3.B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_cerrado#V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n
http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_cerrado#Referencias
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Recta_real.svg
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Intervalo.png
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10 
 
Clasificación 
Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados y 
semi abiertos) o según sus características métricas (su longitud: nula, finita no nula, o infinita). 
Aquí están todos los casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo, y l su longitud: 
Notación Intervalo 
Longitud 
(l) 
Descripción 
 
 
 
Intervalo cerrado de longitud finita. 
 
 
 
Intervalo cerrado en a, abierto en b 
(semicerrado, semiabierto). 
 
 
 
intervalo abierto en a, cerrado en b. 
 
 
intervalo abierto. 
 
 
 Intervalo (semi) abierto. 
 
 
 Intervalo (semi) cerrado. 
 
 
 Intervalo (semi) cerrado. 
 
 
 Intervalo (semi) abierto. 
 
 
 Intervalo a la vez abierto y cerrado. 
 
 
 
intervalo cerrado de longitud nula. Es un 
conjunto unitario. 
 
x no existe 
Sin 
longitud 
conjunto vacío. 
 
Valor absoluto 
 
En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin su respectivo 
signo, sea este positivo (+) o negativo (-); o en otras palabras, su distancia en la recta numérica hasta el 
valor cero. Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y -3. 
El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en 
diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede 
generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, 
cuerpos o espacios vectoriales. 
 
Gráfica de la función valor absoluto 
 
 
 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_m%C3%A9trico
http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADo
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto#cite_note-Argand-0
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_positivo
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativo
http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia
http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_num%C3%A9rica
http://es.wikipedia.org/wiki/Cerohttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_(matem%C3%A1tica)
http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia
http://es.wikipedia.org/wiki/Norma_vectorial
http://es.wikipedia.org/wiki/Cuaterni%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_ordenado
http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1tica)
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Absolute_value.png
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Contenido 
 
 1 Valor absoluto de un número real 
o 1.1 Propiedades fundamentales 
o 1.2 Otras propiedades 
 2 Valor absoluto de un número complejo 
o 2.1 Propiedades 
 3 Programación del valor absoluto 
 4 Notas 
 5 Referencias 
 6 Enlaces externos 
 
Valor absoluto de un número real 
 
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por:2 
 
Note que, por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo. 
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real corresponde a la distancia a lo 
largo de la recta numérica real desde hasta el número cero. En general, el valor absoluto de la 
diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o 
métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia. 
 
Propiedades fundamentales 
 
No negatividad 
 
Definición positiva 
 
Propiedad multiplicativa 
 
Propiedad aditiva 
Otras propiedades 
 
Simetría 
 
Identidad de indiscernibles 
 
Desigualdad triangular 
 
(equivalente a la propiedad aditiva) 
 
Preservación de la división (equivalente a la propiedad 
multiplicativa) 
Otras dos útiles inecuaciones son: 
 
 
Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo: 
 
 
 
 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto#Valor_absoluto_de_un_n.C3.BAmero_real
http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto#Propiedades_fundamentales
http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto#Otras_propiedades
http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto#Valor_absoluto_de_un_n.C3.BAmero_complejo
http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto#Propiedades
http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto#Programaci.C3.B3n_del_valor_absoluto
http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto#Notas
http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto#Referencias
http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto#Enlaces_externos
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto#cite_note-Wolfram-1
http://es.wikipedia.org/wiki/Cero
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativo
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa
http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia
http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_real
http://es.wikipedia.org/wiki/Cero
http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia#Distancia_.28geometr.C3.ADa.29
http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia#Distancia_.28geometr.C3.ADa.29
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Definici%C3%B3n_positiva&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_multiplicativa
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_aditiva&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADa
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Identidad_de_indiscernibles&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_triangular
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Preservaci%C3%B3n_de_la_divisi%C3%B3n&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/wiki/Inecuaci%C3%B3n
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12 
 
ACTIVIDAD 1: NÚMEROS REALES 
 
Luego del estudio del apunte teórico, resolver la siguiente guía de ejercicios utilizando los conceptos 
teóricos antes vistos. 
 
1) Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justificar las respuestas: 
 
a) 2/3 es un elemento de Z. 
b) -1/3 es un elemento de Q. 
c) 2,9 es un número racional. 
d) a/b para cualquier a y b enteros es un número racional. 
e) -6 es un elemento de Z, pero no un elemento de N. 
f)  es un elemento de R, pero no es un elemento de Q. 
g) Todo número irracional es un número real. 
h) Todo número entero es un número racional. 
i) Existen números decimales que no son reales. 
j) Hay números reales que son racionales e irracionales 
k) Todo porcentaje puede expresarse como decimal. 
l) Todo porcentaje es un número real. 
 
2) Escriba la expresión sin utilizar los símbolos del valor absoluto 
 
a) u si u es no negativo. b) 2 xsi 2 x 
c) b3a si 3 ba d) 11y si 11 y 
 
3) Simplifique y elimine cualquier exponente negativo: 
 
 211
3
2
3
cba
abc

 
4) Responder Verdadero o Falso y justificar todas las respuestas: 
 
a) yxyx  22 para x,y 0 
b)   aa 2 para cualquier número real a. 
c) Si n es par 
n x es definida para cualquier número real x. 
 
5) Simplifique y elimine cualquier exponente negativo 
a) 
6
3
2
6
1
2
1
2











yz
x
 b)    
bababaaba tttt
 /./ c) 
10
2
1
5
1
5
2
./.
10
3














yxyx d) 
  2
1
2
3
2
1
6/1./.2







aaa 
 
Resuelva las siguientes operaciones: 
 
434 222 a)  
 
  1212 b)  .
 
4
3
3
2
1
1
8
7
1 c)
2
3 






 
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13 
 
18
6 33 28 d)



 .
 
  3 1991 e)  .
 
2
5
8
7
2
1
4
3
16
3
8
4
1
2
 f) 













.
 
 
6) Dada la siguiente expresión indique la opción verdadera: 
   zyzyzyzy  . 
a) y+z b) 2y c) y-z 
d) 2z e) f) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. 
 
 
7) Si 4 122a y 321b entonces a + b = ? 
 Marque la opción verdadera: 
a) 2 b) 3 c) 6 6 
d) 3 e) Ninguna de las opciones anteriores es 
correcta. 
 
 
8) a) Dada la expresión 
3
123.2
6
33   nn
 marque la opción verdadera: 
I) 
222 n 
II
) 
223 n
 
III) 423 n 
IV) 
26 n 
 V) Ninguna de las opciones anteriores 
es correcta. 
 
b) ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a un número racional? 
I)  275  II)  228  III)   75.75  
a) Sólo I b) Sólo III c) Sólo I Y II 
d) Sólo II Y III e) f) Ninguna de las opciones anteriores es 
correcta. 
 
 
9) Indique si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas, justificando sus respuestas por 
medio de un desarrollo algebraico: 
  322222 a) 212   nnn ..
 
2
2
 b) b.b
b
b.b m
n
nm

 
 
  18
124
29
624
 c)
a
a.a
a
a.a

 
    10002210 d) 3131  nn :.
 
 
 
 
 
 
 
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14 
 
FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 
En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una 
matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números 
debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el 
número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + 
b). 
 
Factorizar un polinomio, antes que nada, hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar 
utilizando números reales, si se consideran los números complejos sí se puede. Existen métodos de 
factorización, para algunos casos especiales. 
 
CASO I - FACTOR COMÚN 
 
Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor 
exponente y el divisor común de sus coeficientes. 
Factor común monomio 
Factor común por agrupación de términos 
 
 
 
si y solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x. 
 
Factor común polinomio 
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga 
menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino condos. 
un ejemplo: 
 
Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El 
otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir: 
La respuesta es: 
En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo: 
Se puede utilizar como: 
Entonces la respuesta es: 
CASO II - FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS 
 
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos 
características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se 
agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir: 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_primos
http://es.wikipedia.org/wiki/Binomio_conjugado
http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio
http://es.wikipedia.org/wiki/Binomio
http://es.wikipedia.org/wiki/Trinomio
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15 
 
 
 
Un ejemplo numérico puede ser: 
entonces puedes agruparlos de la siguiente manera: 
Aplicamos el primer caso (Factor común) 
 
 
 
CASO III - TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 
 
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante 
equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un T.C.P. debemos 
reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego 
extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos 
por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al 
cuadrado. 
 y 
Ejemplo 1: 
Ejemplo 2: 
Ejemplo 3: 
Ejemplo 4: 
Organizando los términos tenemos 
Ejemplo 5: 
Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por 
el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda: 
Al verificar que el doble producto del primero por el segundo termino es -20xy determinamos que es 
correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría. 
 
 
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16 
 
CASO IV - DIFERENCIA DE CUADRADOS 
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por 
medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.) 
 
O en una forma mas general para exponentes pares: 
 
Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos 
da r+1 factores. 
 
Ejemplo 1: 
 
Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo. 
 
 
 
La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada 
término y representar estas como el producto de binomios conjugados. 
 
CASO V - TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN 
 
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que 
completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el 
mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. 
 
 
CASO VI - TRINOMIO DE LA FORMA X2 + BX + C 
 
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el 
término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz 
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17 
 
cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término 
independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio. 
Ejemplo: 
Ejemplo: 
Ejemplo: 
CASO VII - SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS A LA N 
La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un 
número impar): 
Quedando de la siguiente manera: 
 
Ejemplo: 
La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Que dando de la 
siguiente manera: 
Ejemplo: 
 
Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización. 
 
CASO VIII - TRINOMIO DE LA FORMA AX2 + BX + C 
 
En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del 
segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término 
independiente, o sea sin una parte literal, así: 
Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica el término independiente por el coeficiente del 
término x2 
 
Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre si den como resultado el término 
independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x 
 
Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en 
paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente. 
Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2 
 
Queda así terminada la factorización 
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18 
 
 
 
 
CASO IX - CUBO PERFECTO DE TETRANOMIOS 
 
Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que: 
 
 
 
 
 
POLINOMIO 
En matemáticas, se denomina polinomio a una expresión algebraica constituida por un número finito de 
variables y constantes, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y 
potenciación con exponentes naturales. Por ejemplo: 
es un polinomio, pero: no, porque incorpora la división y un exponente fraccionario. 
El polinomio de un sólo término se denomina monomio, el de dos binomio, el de tres trinomio , el de 
cuatro cuatrinomio o polinomio de "N" términos dependiendo de cuantos haya. 
La expresión general de los polinomios que sólo tienen una variable, los más utilizados, es: 
 
por ejemplo: 
 
Se denomina grado de un polinomio a la mayor potencia de los monomios que lo componen. 
Operaciones con polinomios 
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios 
semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un monomio por el término del otro 
monomio y se simplifican los monomios semejantes, posteriormente. 
Factorización: Para factorizar un polinomio de segundo grado completo (con todos los términos) se 
divide por el inverso de una de sus raíces sumado con la incógnita, siendo los factores el número por el 
que dividimos y el resultado; ya que no hay resto, cumpliéndose así que dividendo = divisor Χ cociente + 
resto. En caso de que el polinomio no tenga término independiente se sacará la incógnita como factor 
común y ya está factorizado. También se puede factorizar usando las igualdades notables. 
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas
http://es.wikipedia.org/wiki/Expresi%C3%B3n_matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Sustracci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Monomio
http://es.wikipedia.org/wiki/Binomio
http://es.wikipedia.org/wiki/Trinomio
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cuatrinomio&action=edit&redlink=1
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19 
 
Ejemplos: Las funciones polinómicas de una variable (x), se corresponden con diversas curvas planas, 
que se pueden representar en un sistema de coordenadas cartesianas XY. 
 
 
Polinomio de grado 2: 
f(x) = x2 - x - 2 
= (x+1)(x-2) 
 
 
Polinomio de grado 3: 
f(x) = x3/5 + 4x2/5 - 7x/5 - 2 
= 1/5 (x+5)(x+1)(x-2) 
 
 
Polinomio de grado 4: 
f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5 
 
 
Polinomio de grado5: 
f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2 
La función es un ejemplo de función polinómica con 
coeficiente principal 13 y una constante de 3. 
Operaciones con polinomios 
Valor numérico de un polinomio 
Partiendo de un polinomio P(x), el cálculo del valor numérico que ese polinomio toma para un valor 
concreto de x, x= b, se obtiene sustituyendo la variable x del polinomio por el valor b y se realizan las 
operaciones. El resultado de P(b) es valor numérico del polinomio para x= b. 
En el caso general: 
tomara un valor para x = b, de: 
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Polynomialdeg2.png
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Polynomialdeg2.png
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Polynomialdeg3.png
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Polynomialdeg3.png
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Polynomialdeg4.png
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Polynomialdeg5.png
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20 
 
Ejemplo: Dado el polinomio: cual es su valor para x= 2, sustituyendo x por 
su valor, tenemos: Con el resultado de: 
Adición de polinomios: La suma de polinomios es una operación, en la que partiendo de dos 
polinomios P(x) y Q(x), obtenemos un tercero R(x), que es la suma de los dos anteriores, R(x) tiene por 
coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de los monomios de P(x) y Q(x) del mismo 
grado. 
Dados los dos polinomios P(x) y Q(x): y 
el polinomio suma R(x), será: 
que es lo mismo que: 
 
sacando factor común a las potencias de x en cada monomio: 
 Ejemplo: 
Escribiendo los polinomios de modo que los monomios de igual grado estén alineados verticalmente, la 
suma de los polinomios es el polinomio resultante de sumar las coeficientes de los monomios del mismo 
grado, como se ve en el ejemplo. 
 
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 
Multiplicación de un polinomio por un escalar: Partiendo de un polinomio P(x), el producto de este 
polinomio por un escalar k, es un polinomio k P(x), en el cual cada uno de los coeficientes de los del 
polinomio se ha multiplicado por k. 
Si el polinomio es: Y lo multiplicamos por k: 
Dando lugar a: 
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21 
 
 
 
 Ejemplo: 
Partiendo del polinomio: Lo multiplicamos por 3, 
 
Operando con los coeficientes: 
 
Y tenemos como resultado: 
esta operación también puede expresarse del siguiente modo: 
 
Que es la forma aritmética para hacer la operación. 
Multiplicación de un polinomio por un monomio: Partiendo de un polinomio P(x), y un monomio M(x), 
el producto P(x)*M(x) es un polinomio que resulta de multiplicar los coeficientes del polinomio por el del 
monomio, y sumar a los grados del polinomio el del monomio, veamos: Si el polinomio es: 
 y el monomio es: el producto del polinomio por el monomio es: 
 Agrupando términos: 
 
El producto de exponentes de la misma base, es la base elevada a la suma de los exponentes: 
 Que es el resultado del producto. 
 Ejemplo: 
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22 
 
Partiendo del polinomio: 
y del monomio: 
La multiplicación es: 
aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación: 
 
realizando las operaciones: 
esta misma operación, se puede representar de esta forma:
 
donde se multiplica cada uno de los monomios del polinomio P(x) por el monomio M(x) 
 
MULTIPLICACIÓN DE DOS POLINOMIOS 
Dados dos polinomios P(x) de grado n y Q(x) de grado m, el producto de estos dos polinomios P(x) * Q(x) 
que será un polinomio de grado n + m, así si: 
 
entonces: 
aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación: 
agrupando términos: operando potencias de la misma base: 
 
Ejemplo: vamos a multiplicar los polinomios: 
http://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_distributiva
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23 
 
 
 
el producto de los polinomios P(x) * Q(x): 
 
lo realizaremos paso a paso, multiplicando P(x) por cada uno de los monomios de Q(X), sumando 
después el resultado, así en primer lugar haremos la multiplicación: 
 
que resulta: 
 
ahora multiplicamos P(x) por el segundo monomio de Q(x), x: 
 
al realizar la operación se colocan los resultados alinados verticalmente según las potencias de x, del 
siguiente modo: 
 
hacemos lo mismo con el tercer monomio de (x): 
lo que resulta: 
 
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24 
 
hechas ya las multiplicaciones de P(x) por cada uno de los monomios de Q(x), hacemos la suma de los 
productos parciales, según las distintas potencias de x, con lo que obtenemos el resultado: 
 
este polinomio de 5º grado es el producto de P(x) de 3º grado y Q(x) de 2º grado. 
 
División de polinomios: La división de polinomios tiene la mismas partes que la división aritmética, así 
hay dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado 
de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero, siempre hallaremos dos polinomios C(x) (cociente) y 
R(x) (resto) que podemos representar: 
 
 
tal que: dividendo = divisor × cociente + resto 
El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado 
de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x). 
 ejemplo: 
que para la realización de la división representamos: 
 
 
como resultado de la división finalizada: 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Dividendo
http://es.wikipedia.org/wiki/Divisor
http://es.wikipedia.org/wiki/Cociente
http://es.wikipedia.org/wiki/Resto
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25 
 
Teorema Del Resto: El resto R de la división de un polinomio P(x) por un binomio de forma (x + a) es el 
valor numérico del polinomio dividendo, sustituyendo "x" por el opuesto de "a" (es decir, por − a). 
Formalmente puede expresarse como: 
Por ejemplo, si para se obtiene el resto: 
 
Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la 
división es exacta. 
 
ACTIVIDAD 2: Factorización de expresiones algebraicas. Expresiones Racionales. 
 
 
1) Factorizar las siguientes expresiones algebraicas utilizando el procedimiento indicado en cada caso: 
 Factor común 
a) 345 x5x7x  b) 234 xxx 462  
 
c) 16x4x8x4x 237  
d) 5432 12x16x4x8x  e) 32 h
15
2
h
25
4
h
5
2
 f) 5732 m
3
2
m
15
16
m
9
8
m
3
4
 
 
 Factor común por grupos 
a. 3624  x23 xx b. 4222 456  xxxx 3x c. 48362 245  xxxx 3x
 
d. 2323 2578  xxxx 3x e. 91239123 456  xxxx 2x f. 22 456  xxxx 2x 
 
 Diferencia de cuadrados 
a. 2x16 
b. 2x
36
1
 c. 4x
4
1
81 
d. 254 2x e. 29x4x f. 364x 
 
 Trinomio cuadrado perfecto 
a. 168  x2x b. 144  x2x 
c. 
4
9
3  x2x 
d. 44 3  x6x e. 25612816  x2x f. 25,0 x2x 
 
 Cuatrinomio cubo perfecto 
a. 12575153  xx 2x b. 6448123  xx 2x c. 1
2
3
4
3
8
1 3  xx 2x 
 
2) Factorizar las siguientes expresiones combinado los casos anteriores: 
a. 12167 23  xxx b. 55 x3x c. 3284 25  xx 3x 
d. xxx 463
2
1 24  3x e. xx 456020
3  2x f. 12186 2  xx 
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26 
 
g. xxx 122436 24  3x 
 
 
3) ¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas racionales son irreducibles? 
 
a. 
4
32


x
x
 b. 
4
162


x
x
 c. 
96
3
2 

xx
x
 d. 
1
1
2
3


xx
x
 
 
4) Simplificar las siguientes expresiones algebraicas: 
a. 
32
3
 ya
ya
 
 
b. 
32
43
10
15
 yx
yx
 c. 
 
xx
xx
2
2
2
23


 
d. 
 xx
xxx
555 2
23


 e. 
 yx
yxyx
2
332
2
108 
 f. 
4
9
9124
2
2


x
xx
 
 
 
5) Indicar cualesde las siguientes expresiones son equivalente: 
 
a. 
25
4
 yx
yx
 b. 
1
12
2
2


x
xx
 c. 
2
23
2
2


xx
xx
 d. 
2223
)1(
yxyx
xxy


 
 
6) Calcular y simplificar: 
 
a. 
9
15
9
5
22 

 xx
x
 b. 
34
3
32
)3(2





xx
x
xx
x
22
 c. 
11
2


 2x
x
x
x
 d. 
xx
x
xx
x
3
62
34
5





22
 
 
7) Operar y simplificar: 
 
a. 
2
3
2
1
4 x
x
x
x 

-2
 b. 
x - 65x2 2
23 4
x
x
x
xx 



 c. 
22x 13
11
2 

 x
 d. 
2-x1x-2 




2
23 44
x
x
x
xx
 
 
8) Resolver: 
a. 
3
3
2


x
x
x b. 















 xx
x
x
1
1
1
2
1
1
2
 c. 
d. 
96
1
9
1
96
1
2 



 xxxxx 22
 e. 
1
1
1
111
1


















 xx
x
x
x
x
 
 
f. 
2
332
x
yx
yx
y
yx










 
 
 
9) Dadas las siguientes funciones cuadráticas en forma polinómica cbxaxxf  2)( , escribirlas 
en forma canónica vv yxxaxf 
2)()( , completando cuadrados. 
 



















 x
x
x
x
x
x
111
2 3
2
2
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27 
 
a. 34)( 2  xxxf b. 20122)( 2  xxxg c. 12
3
1
)( 2  xxxm d. 
4
29
93)( 2  xxxp 
 
POLINOMIOS 
 
1. Dadas las siguientes expresiones algebraicas, identificar aquellas que sean polinomios. En 
caso que no sean, indicar por qué. 
a) 25x7x4  b) 25 xx
4
5  c)     43x1x  d) 32x5x 33
2
 
e) 6yxyxy3x 34232  f) 73x3xx3 x3  g) 
x
2
x3x2x 345  
 
2. Para cada uno de los polinomios del ejercicio anterior indicar: 
a) grado 
b) coeficiente principal y término independiente 
c) variables 
 
3. Escribir un polinomio en la indeterminada x, con coeficientes racionales, completo, de grado 
seis y cuyo coeficiente principal sea 
2
3
 . 
 
4. Dados los polinomios: P(x) = x2 – 3x + 9 ; Q(x) = 2x3 + 7x – 1 ; R(x) = x +5; 
 T(x) = 4x2 + x y S(x) = 0,1 x. 
 
 Hallar: a) P + Q + T b) R 3 
 c) P. (T + S) d) (R – S)2 
 e) Q  R f) (Q . R)  T 
 
5. Dados:  
2
1
3 3  yyA ;   5334  yyyyB 
 determinar: a) 3 A – B b) A2 – 1 
 c) El cociente y el resto de dividir B por A. 
 
6. En cada apartado calcular el cociente y el resto de dividir P por Q. En caso de ser 
 posible, aplicar la Regla de Ruffini: 
 
a) P(x) = x4 + 5 x3 – 2 x2 – x Q(x) = x –2 
b) P(y) = y5 + 2y2 – 3y4 – y + 2 Q(y) = y +1 
c) P(x) = x4 – x + 1 Q(x) = 2x2 +2 
 
7. Determinar P(a) en cada caso: 
 
a) P(x) = x4 + 5 x3 – 2 x2 – x a = -1 
b) P(x) = 
2
1
 x – 2 x2 + x3 a = 0,5 
c) P(x) = x6 – 2 x4 + x2 + x – 1 a = 2 
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28 
 
 
8. Determinar las raíces de P(x) = 
23 5xx  . 
 
9. Indicar si el número 2 es raíz del polinomio yyyy 485 234  . En caso afirmativo, indicar su 
orden de multiplicidad y, si es posible, las restantes raíces. 
 
10. Determinar un polinomio de tercer grado cuyas raíces sean –1, 2 y 3. 
 
 
 
 
FUNCIÓN MATEMÁTICA 
 
Función de X en Y: la condición de existencia asegura que de cada elemento sale alguna flecha y la de 
unicidad que sólo sale una. 
 
En matemáticas, una función f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de 
elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único 
elemento del codominio f(x). Se denota por: 
Definición 
Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia 
matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se 
denota , en lugar de 
Notación y nomenclatura 
Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por o . 
A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función. 
Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por 
o codomf. Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede 
hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término 
codominio. 
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Codominio
http://es.wikipedia.org/wiki/Correspondencia_matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Correspondencia_matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Correspondencia_matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Aplicaci%C3%B3n_2.svg
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29 
 
Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se 
le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores 
o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por o o . 
 
Una preimagen de un es algún tal que . 
Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del 
dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio. 
Ejemplos 
 La función definida por , tiene como dominio, codominio e imagen a todos los 
números reales 
 
Función con Dominio X y Rango Y 
 Para la función tal que , en cambio, si bien su dominio y codominio son 
iguales a , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el 
cuadrado de un número real. 
 En la figura se puede apreciar una función , con 
 
 
Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a 
de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente, 
 
Esta función representada como relación, queda: 
Representación de funciones: Las funciones se pueden presentar de distintas maneras: 
 usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la 
forma y = f(x). Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la 
definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos 
que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto 
a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el {\rm 
dominio naturl],} de la función. 
http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_imagen
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
http://es.wikipedia.org/wiki/Infinito
http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Aplicaci%C3%B3n_2.svg
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30 
 
Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales. 
Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades". 
 Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función. 
Ejemplo: 
 X| -2 -1 0 1 2 3 
 Y| 0 1 2 3 4 5 
 Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos. 
Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)} 
 Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las 
funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas. 
FUNCIÓN LINEAL 
Se denomina función lineal de una variable real a una función matemática de la forma: 
 
donde m y b con constantes. La denominacióncorrecta de este tipo de funciones es función afín. 
La razón de este abuso de lenguaje es, probablemente, el hecho de que toda función afín f(x) = mx + b 
tiene una función lineal asociada f(x) = mx. De hecho, una ecuación de la forma y = mx + b se denomina 
ecuación lineal. Toda función afín tiene orden de crecimiento lineal, y se comporta asintóticamente como 
su función lineal asociada. Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la 
forma siguiente 
 que se conoce como ecuación de la recta en el plano xy. 
 m es denominada la pendiente de la recta. 
 b es la ordenada en el origen, el valor de y para x= 0, es el punto (0,b). 
Ejemplo en el plano xy 
http://es.wikipedia.org/wiki/Par_ordenado
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafos
http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continua
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_discreta
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_lineal
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Orden_de_crecimiento&action=edit&redlink=1
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31 
 
 
En la figura se ven tres rectas, que corresponden a las ecuaciones afines siguientes: 
 
en la primer recta el parámetro m = ½, esto es, el crecimiento de la recta es ½, cuando aumentamos x en 
una unidad, y aumenta en ½ unidad, el valor de b es 1, luego la recta corta el eje y en el punto y = 1. 
La ecuación: 
tiene el valor de la pendiente m = ½, igual que en el caso anterior, por eso estas dos rectas son paralelas, 
como el valor de b = -1, esta recta corta el eje de las y en el punto y = -1. 
La tercera ecuación, es: 
la pendiente de la recta, el parámetro m = 2, indica que cuando el valor de x aumenta en una unidad, el 
valor de y la hace en dos unidades, el corte con el eje y, lo tiene en y = 1, dado que el valor de b = 1. 
En el caso de una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las 
x a través de la expresión: 
Función cuadrática 
 
Una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica que se define 
mediante un polinomio de segundo grado como: 
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_polin%C3%B3mica
http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:FuncionLineal01.svg
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32 
 
 
 
Gráficas de funciones cuadráticas 
donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano XY haciendo: 
 
esto es: es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el 
signo de a. 
Corte con el eje y 
 
La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0): 
 lo que resulta: 
http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Par%C3%A1bolas_verticales.svg
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica_11.svg
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33 
 
la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino independiente de la función. 
Corte con el eje x 
La función corta al eje x cuando y vale 0: 
las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se 
obtienen como es sabido por la expresión: 
donde: se le llama discriminante, Δ: 
 
según el signo del discriminante podemos distinguir: 
 Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos: x1 y 
x2. 
 Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en x1, la parábola solo tiene un punto en común con el 
eje x, el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen. 
 Δ < 0, la ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x. 
 
FORMA FACTORIZADA 
Toda función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada: 
se puede factorizar como: 
siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no 
escribirse, el coeficiente de x2 sería siempre 1. x1 y x2 representan las raíces de f(x). En el caso de que el 
Discriminante Δ sea igual a 0 entonces x1 = x2 por lo que podríamos escribir: 
En este caso a x1 se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. 
FORMA CANÓNICA 
Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente 
manera: 
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado
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34 
 
A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado 
(h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma 
polinómica y se realiza el siguiente procedimiento: Dado: 
 Se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el lineal. 
 
 Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la igualdad. 
 
 Se factoriza formando el cuadrado de un binomio. 
 sustituyendo: 
 la expresión queda: 
 
 
 
FUNCIÓN EXPONENCIAL 
Funciones exponenciales 
http://es.wikipedia.org/wiki/Forma_can%C3%B3nica
http://es.wikipedia.org/wiki/Trinomio_cuadrado_perfecto
http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_de_un_binomio
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35 
 
 
Gráfica de Funciones exponenciales 
Definición 
 
Tipo Función real 
Dominio 
 
Codominio 
 
Imagen 
 
Propiedades Biyectiva 
Convexa 
Estrictamente creciente 
La función exponencial es una función real que tiene la propiedad de que al ser derivada se obtiene la 
misma función. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números 
reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota 
equivalentemente como f(x)=ex ó exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales. 
En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial si tiene la forma 
 
siendo números reales, . Se observa en los gráficos que si a > 1 la curva será 
creciente. 
http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Funciones_matem%C3%A1ticas
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_real
http://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Codominio
http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_imagen
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_convexa
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_mon%C3%B3tona
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_real
http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inversa
http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_natural
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Exponentials.svg
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36 
 
 
 
Crecimiento de la función exponencial. 
Se llama (función) exponencial de base e la función definida sobre los reales por x →ex. 
 La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés 
en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando 
la variable vale 0. 
 Relación adición-multiplicación: 
 
 
 Inversa del logaritmo: 
 La tangente en x = 1, T1, pasa por el origen. La tangente en x = 0, T0, pasa por el punto (-1, 0). 
Logaritmo 
 
 
Representación gráfica de logaritmos en varias bases: 
el rojo representa el logaritmo en base e, 
el verde corresponde a la base 10, 
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Exponencial_gr%C3%A1fico.png
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Logarithms.png
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37 
 
y el púrpura al de la base 1,7. 
. 
En matemática, el logaritmo de un número en una base determinada es el exponente al cual hay que 
elevar la base para obtener el número. Es la función matemática inversa de la función exponencial. 
Por ejemplo, el logaritmo con base b de un número N es el exponente x al que hay que elevar esa misma 
base para que nos dé dicho número N. 
La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 . 
Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un 
número fijo (base b) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de la 
exponencial x = bn. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n. Así, en la 
expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2. 
Por ejemplo: 
Se denomina logaritmo neperiano (ln) o logaritmo natural al logaritmo en base e de un número o 
resultado dado por el exponente. 
Definición analítica 
 
En la imagen se puede ver la representación gráfica del logaritmo neperiano, como también la 
representación de las rectas tangentes a la función en x = e (Te) y en x = 1 (T1). 
Podemos introducir la función logarítmica como una función analítica que es de hecho la función primitiva 
de otra función analítica bien conocida. Para definir de esa manera el logaritmo empezamos con algunas 
observaciones: 
Identidades logarítmicas 
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_primitiva
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Logaritmo_funci%C3%B3n1.png
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38 
 
Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos: 
 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. 
 
 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del 
denominador. 
 
 El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la 
potencia. 
 
 El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del 
radicando. 
 
Logaritmo en base b (cambio de base) 
Son comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 
(logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número 
como base de los logaritmos no es crucial, debido a que se pueden hacer conversiones de una base a 
otra de forma sencilla. Para ello, es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b 
(suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1): 
 
en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos: 
 
En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como , en ciencias que hacen uso 
de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en 
magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), del sonido(dB), de la energía de un terremoto 
(escala de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces. Las 
propiedades de los logaritmos son una base que facilita aún más su resolución. 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e
http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_binario
http://es.wikipedia.org/wiki/PH
http://es.wikipedia.org/wiki/Candela
http://es.wikipedia.org/wiki/Decibelio
http://es.wikipedia.org/wiki/Escala_de_Richter
CÁTEDRA DE MATEMÁTICA – Facultad de Agronomía U.N.L.Pam 
 
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ACTIVIDAD 3: FUNCIONES 
 
1.- Indique para cada uno de los siguientes gráficos, si pertenecen a funciones reales o no. 
a) 
 
 
b) 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.- Relacionar cada fórmula con la tabla y el gráfico que corresponda: 
 
f1) y=x+2 f2) y=x2+2 f3) y=x3+2 f4) y=2 
 
t1) 
x 0 1 
-
1 
2 
-
2 
y 2 3 1 4 0 
 
 
t2) 
x 0 1 
-
1 
2 
-
2 
y 2 3 1 10 
-
6 
 
 
t3) 
x 0 1 
-
1 
2 
-
2 
y 2 2 2 2 2 
 
 
t4) 
x 0 1 
-
1 
2 
-
2 
y 2 3 3 6 6 
 
 
g1) 
 
g2) 
 
g3) 
 
g4) 
 
 
 
3.- Dadas las funciones: 
a)  .
2
1);2();1(halle;.2.3)( 2 fffxxxf  
b)    .1;
3
1halle;
1
)(  xff
x
xf 
c)    ..5;halle;)( 22 axfxfxxf  
 
4.- Halle el dominio de f(x) siendo: 
a)   5.3 24  xxxf 
 
b)  
4
3



x
x
xf 
c)   8 xxf d)   42  xxf 
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e)  
9.3
1
2 

x
xf f)   3 2 6.2  xxf 
 
5.- Considere las rectas I) 5.
2
1  xy ; II) y = -3/4.x – 1. 
a) ¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen al gráfico de la recta? 
 (5; 0) (-2; 4) (-10; 0) (-4; 2) 
b) Realice su gráfico. 
c) Encuentre los puntos de intersección con los ejes coordenados. 
 
6.- En cada caso, escribir la ecuación de la recta que pasa por P y tiene pendiente m; 
luego trazar la gráfica. 
a.- P = (3,1) ; m = 1/2 , -2 b.- P = (-2,4) ; m = 1, -3, -1/2 
 
7.- En cada caso, obtener la ecuación de la recta que satisfaga las condiciones dadas: 
a.- pasa por el punto A = (5,-2) y es paralela al eje y 
b.- pasa por el punto A = (-4,2) y es perpendicular al eje x 
c.- pasa por el punto A = (5,-3) y tiene pendiente –4 
d.- pasa por el punto A = (0,-2) y tiene pendiente 5 
e.- pasa por el punto A = (2,-4) y es paralela a la recta 5x-2y = 4 
f.- pasa por el punto A = (4,5) y es perpendicular a la recta 3x+2y = 7 
g.- la abscisa al origen es –5 y la ordenada al origen es -1 
h.- pasa por los puntos A = (5,2) y B = (-1,4) 
 
8.- Una agencia de renta de automóviles, los alquila a razón de $10 el día más $0,20 por kilómetro 
recorrido. Si y es el costo en pesos de alquilar el automóvil por día, y x indica el número de 
kilómetros recorridos en un día: 
a) Determinar la función y=f(x) que expresa el costo diario de renta de un automóvil. 
b) ¿Cuál es f(250)? ¿Qué representa? 
c) Si se dispone de $210, ¿cuántos kilómetros recorre en un día? 
d) Comentar el dominio restringido de esta función. 
 
9.- Dadas las siguientes funciones cuadráticas: 
a) pase a la forma polinómica: 
i) )
2
3
)(5(  xxy ii) 3)1(
3
1 2  xy 
b) escriba en forma factorizada: 
i) 62  xxy ii) 652  xxy 
c) exprese en forma canónica: 
i) )2)(1(  xxy ii) 532  xxy 
 
10.- Considere la parábola 53.
2
1 2  xxy y analice si los siguientes puntos pertenecen o no a la 
misma. 
 (0;5) (-1;17/2) (-2; 11) (1;-17/2) (-2;13) 
 
 
 
 
 
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11.- Complete la siguiente tabla y grafique en forma aproximada. 
Ecuación Eje de 
simetría 
Coordenadas 
del vértice 
Raíces 
reales 
2)2(  xy 
3)2( 2  xy
 
 
742  xxy
 
 
)2)(2(  xxy
 
 
2)1(2  xy
 
 
 
12.- Resuelva analítica y gráficamente cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones: 
a) 





72
13
2 xxy
xy
 
b) 






xxy
xxy
2
84
2
2
 
c) 






23
2 2
xy
xy
 
d) 






22
122
xy
xxy
 
 
13.- Una persona decide construir un corral rectangular que pueda contener la mayor cantidad de 
animales. Se sabe que cada animal necesita 2m2 para vivir, que el cerco será de 7 hilos de 
alambre y que se dispone de un total de 1400 m. ¿Cuál será la longitud de cada uno de los lados 
del corral? 
 
14.- Haga la gráfica aproximada de las siguientes funciones polinómicas, escritas en forma 
factorizada.a) y = -(x - 3) (x + 3) (x - 1) x 
b) y = (x - 1)2 (x + 3)2 x2 
c) y = 3.(x +5)2 (x -2)3 (x+1) 
 
15.- Obtenga la fórmula de cada una de las siguientes funciones polinómicas: 
 
a) Función de grado 3. Puntos de intersección de la gráfica con el eje x: (-2 ; 0) , (-1 ; 0) , (1/2 ; 0); 
f (-3) = -14 
 
b) Función de grado 4. an= 2/3 ; f (2) = 0 ; x1= -1/3 es una raíz doble ; x2 = 3 es una raíz simple. 
 
16.- Halle dominio y codominio de las siguientes funciones: 
 
a) 22  xy 
c)  42log3  xy 
b) 23  xy d)   135log5  xy 
 
17.- Resuelva las siguientes ecuaciones: 
 
 
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a) 201.0log x 
 
b) 
3
2
4
1
log x 
 
c)     22log6log 33  xx 
 
d)       235log53log1log 222  xxx 
 
e) 162932  xx 
 
f) 213 xe 
 
 
 
18.- La población de cierta ciudad crece a una tasa del 2% anual. Cuando se efectuó el último 
censo eran 134.536 personas. Encuentre una función que le permita estimar la población que 
tendrá la ciudad en el futuro, si se mantiene el crecimiento actual. A los 3 años y a los 10 años del 
mismo ¿de cuánto será la población?