CARTILLA N3- LOGARITMO

Vista previa del material en texto

MATEMÁTICA 
3º AÑO Profe Martinez Jorge 
 
1 
 
 
¿Para qué sirven 
Los Logaritmos 
LOGARITMO: se llama logaritmo en base “b” de un número “a” a otro 
número “n” que es el exponente al que debo elevar “b” para obtener “a”, 
(∀ 𝒂, 𝒃 ∈ 𝓡, 𝒂 > 0 , 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1) 
En símbolos: 
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 = 𝒏 ⇔ 𝒃𝒏 = 𝒂 
= 𝟖 
Ejemplo: 
𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟖 = 𝟑 ⇔ 𝟐𝟑 
 
 
 
 
Definición: 
 
 
 
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 = 𝒏 ⇔ 𝒃𝒏 
 
Forma Forma 
Logarítmica Exponencial 
 
 
Ejemplos: 
 
 
𝟐𝟑 = 8 ⇒ 𝐥𝐨𝐠𝟐 8 = 𝟑 
 
24 = 16 ⇒ log2 16 = 4 
32 = 9 ⇒ log3 9 = 2 
 
33 = 27 ⇒ log3 27 = 3 
 
104 = 10000 ⇒ log10 10000 = 4 
LOGARITMO 
Permite a partir de la base y del exponente, obtener el 
argumento. Los logaritmos se emplearon 
principalmente como una herramienta para poder 
simplificar multiplicaciones, divisiones y la extracción 
de radicales cuando teníamos que trabajar con 
números muy muy grandes 
MATEMÁTICA 
3º AÑO Profe Martinez Jorge 
 
2 
 
𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙⦁𝒚) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒚 
2 
𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙 ∶ 𝒚) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 − 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒚 
Propiedades de Logaritmos 
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los 
factores. 
 
 
Por ejemplo: 
Log2(4 .16) = log2 4 + log2 16 
= 2 + 4 
= 6 
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el 
logaritmo del divisor. 
 
 
Por ejemplo: 
 
4 
Log ( 
16 
 
) = log2 4 − log2 16 
= 2 − 4 
= −2 
 
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el 
logaritmo de la base. 
 
 
Por ejemplo: 
 
 
log2(42) = 2. log2 4 
= 2.2 
= 4 
 
El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del 
radicando y el índice de la raíz. 
 
 
 
 
Por ejemplo: 
3 1 
log2( √4) = 
3 
. log2 4 
1 
= 
3 
. 2 
2 
= 
3
 
𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙𝒚) = 𝒚. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 
𝐥𝐨𝐠𝒂( √𝒙) = 
𝒚 
. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 
𝒚 𝟏 
MATEMÁTICA 
3º AÑO Profe Martinez Jorge 
 
3 
 
log 𝑎 𝑥 = 
log𝑏 𝑥 
log𝑏 𝑎 
(de base a a base b) 
Cambio de base 
 
Por ejemplo: 
 
log 
 
27 = 
log3 27 
= 
3 
 
9 log3 9 2 
 
 
 
 
ACTIVIDADES: 
 
 
1. Halla y verifica los siguientes logaritmos aplicando la definición: 
a) 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟗 = b) 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝟏𝟔𝟏) = 
c) 𝐥𝐨𝐠𝟕 𝟕 = d) 𝐥𝐨𝐠𝟖 𝟏 = 
e) 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟏𝟐𝟓 = 
 
 
f) 𝐥𝐨𝐠𝟐 √𝟐 = 
g) 𝐥𝐨𝐠𝟎,𝟓 𝟒 = h) 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 = 
i) 𝐥𝐨𝐠𝟗 𝟏 = j) 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟓 𝟏𝟓 = 
 
2. Calcula el valor de “x” mediante la definición de logaritmo: 
 
a) 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝒙 
𝟑 = 𝟏 
𝟑 
b) 𝐥𝐨𝐠𝟐(√𝒙 − 𝟏) = 𝟐 
c) 𝐥𝐨𝐠𝒙−𝟏(𝟑𝒙 − 𝟏) = 𝟎 d) 𝐥𝐨𝐠√𝒙−𝟏 𝟐 = 𝟐 
 
 
3. Dadas las siguientes expresiones logarítmicas, halla su valor utilizando 
propiedades: 
a) 𝐥𝐨𝐠𝟐(√𝟖. 𝟒) = 
𝟏 
b) 𝐥𝐨𝐠𝟑 ( ) = 
𝟐𝟕 
c) 𝐥𝐨𝐠(𝟎, 𝟏 . 
𝟑
√𝟏𝟎𝟎) = d) 𝐥𝐨𝐠 
𝟓
√𝟐 + 𝐥𝐨𝐠 𝟖 + 𝐥𝐨𝐠 
𝟏 
= 
𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 
e) 𝐥𝐧 𝟏 + 𝐥𝐧 𝒆 + 𝐥𝐧 𝒆𝟑 + 𝐥𝐧 𝟑√𝒆 + 𝐥𝐧 
𝟏 
= 
𝒆 
 
 
𝟓 𝟏 
f) 𝐥𝐨𝐠 𝟖𝟏𝟎 + 𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟎𝟑 + 𝐥𝐨𝐠 √ = 
𝟗 
MATEMÁTICA 
3º AÑO Profe Martinez Jorge 
 
4 
 
4. Expresa como un único logaritmo 
 
a) 𝟐. (𝐥𝐨𝐠 𝒂 + 𝐥𝐨𝐠 𝒄) − 𝐥𝐨𝐠 (
𝒂
) = 
𝒃 𝒃 𝒃 𝟑 
b) 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 + 𝟐. 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒄 = 
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 
c) − 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒄 = 𝟐 
d) (𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 − 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒄): 𝟐 =